statistiques à deux variables. 1)presentation d.d. : double dimension ou l.r. : régression...

Statistiques à deux variables •

1)PRESENTATION

• D.D. : Double Dimension• ou L.R. : Régression linéaire • Ou deux variables

Variable Variable Effectif

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5

6

0,50

0,25

1

1

inix iy

x y n

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

Représentation graphique:Nuage de points 

Nuage de points 

x

y

o

Variable x

Variable Y

effectif

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

x

y

o

A

x y n

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

x

y

o

A

B

x y n

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

x

y

o

A

B C

x y n

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

x

y

o

A

B C

D

x y n

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

x

y

o

A

B C

DE

x y n

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

x

y

o

A

B C

DE

F

x y n

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

x

y

o

A

B C

DE

FH

x y n

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

• Point Moyen • • G( ) yx,

x

y

o

G

A

B C

DE

FH

x y n

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

Co-Variance 

• = = ),cov( yx xy yxn

yxn

i

iii

2)AJUSTEMENT LINEAIRE  

• Si les points du nuage le justifient, on peut ajuster le nuage par une droite d’équation oubaxy BxAy

x

y

o

G

A

B C

DE

FH

x y n

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

AJUSTEMENT PAR LES MOINDRES CARRES:REGRESSION • Ajustement de y par rapport à x : projection verticale

AJUSTEMENT PAR LES MOINDRES CARRES:REGRESSION • Ajustement de y par rapport à x : projection verticale

• y = a x + b avec• =• et cette droite passe par le point moyen

xVar

yxa

),cov( 2)( x

xy

x

y

o

G

A

B C

DE

FH

x y n

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

AJUSTEMENT PAR LES MOINDRES CARRES:REGRESSION • Ajustement de y par rapport à x : projection verticale

• y = a x + b avec• =• et cette droite passe par le point moyen

xVar

yxa

),cov( 2)( x

xy

bxay

x

y

o

G

A

B C

DE

FH

x y n

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

AJUSTEMENT PAR LES MOINDRES CARRES:REGRESSION• ajustement de x par rapport à y : projection horizontale

AJUSTEMENT PAR LES MOINDRES CARRES:REGRESSION• ajustement de x par rapport à y : projection horizontale

• = avec

• et cette droite passe par le point moyen

x yyVar

yx ),cov(

yx

x

y

o

G

A

B C

DE

FH

x y n

0 4,25 1

1 3 1

2 3 1

3 1,75 1

4 1,50 1

5 0,50 1

6 0,25 1

3)COEFFICIENT DE CORRELATION LINEAIRE ENTRE X ET Y:

• r = yx

yx

),cov(

• r =

• Si r > 0 alors la droite monte

• Si r < 0 alors la droite descend

yx

yx

),cov(

• On a toujours: -1 r 1      

• On a toujours: -1 r 1      

• si r = 1 ou r = -1 alors les droites d’ajustement sont confondues et les points alignés 

• On a toujours: -1 r 1      

• si r = 1 ou r = -1 alors les droites d’ajustement sont confondues et les points alignés 

        si r > 0,8 on dit que l’on a une bonne corrélation linéaire entre x et y

• Et l’ajustement linéaire se justifie

• si x et y sont indépendantes alors r =0