statistiques à deux variables. 1)presentation d.d. : double dimension ou l.r. : régression...
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Statistiques à deux variables •
1)PRESENTATION
• D.D. : Double Dimension• ou L.R. : Régression linéaire • Ou deux variables
Variable Variable Effectif
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5
6
0,50
0,25
1
1
inix iy
x y n
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
Représentation graphique:Nuage de points
Nuage de points
x
y
o
Variable x
Variable Y
effectif
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
x
y
o
A
x y n
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
x
y
o
A
B
x y n
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
x
y
o
A
B C
x y n
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
x
y
o
A
B C
D
x y n
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
x
y
o
A
B C
DE
x y n
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
x
y
o
A
B C
DE
F
x y n
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
x
y
o
A
B C
DE
FH
x y n
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
• Point Moyen • • G( ) yx,
x
y
o
G
A
B C
DE
FH
x y n
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
Co-Variance
• = = ),cov( yx xy yxn
yxn
i
iii
2)AJUSTEMENT LINEAIRE
• Si les points du nuage le justifient, on peut ajuster le nuage par une droite d’équation oubaxy BxAy
x
y
o
G
A
B C
DE
FH
x y n
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
AJUSTEMENT PAR LES MOINDRES CARRES:REGRESSION • Ajustement de y par rapport à x : projection verticale
AJUSTEMENT PAR LES MOINDRES CARRES:REGRESSION • Ajustement de y par rapport à x : projection verticale
• y = a x + b avec• =• et cette droite passe par le point moyen
xVar
yxa
),cov( 2)( x
xy
x
y
o
G
A
B C
DE
FH
x y n
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
AJUSTEMENT PAR LES MOINDRES CARRES:REGRESSION • Ajustement de y par rapport à x : projection verticale
• y = a x + b avec• =• et cette droite passe par le point moyen
xVar
yxa
),cov( 2)( x
xy
bxay
x
y
o
G
A
B C
DE
FH
x y n
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
AJUSTEMENT PAR LES MOINDRES CARRES:REGRESSION• ajustement de x par rapport à y : projection horizontale
AJUSTEMENT PAR LES MOINDRES CARRES:REGRESSION• ajustement de x par rapport à y : projection horizontale
• = avec
• et cette droite passe par le point moyen
x yyVar
yx ),cov(
yx
x
y
o
G
A
B C
DE
FH
x y n
0 4,25 1
1 3 1
2 3 1
3 1,75 1
4 1,50 1
5 0,50 1
6 0,25 1
3)COEFFICIENT DE CORRELATION LINEAIRE ENTRE X ET Y:
• r = yx
yx
),cov(
• r =
• Si r > 0 alors la droite monte
• Si r < 0 alors la droite descend
yx
yx
),cov(
• On a toujours: -1 r 1
• On a toujours: -1 r 1
• si r = 1 ou r = -1 alors les droites d’ajustement sont confondues et les points alignés
• On a toujours: -1 r 1
• si r = 1 ou r = -1 alors les droites d’ajustement sont confondues et les points alignés
si r > 0,8 on dit que l’on a une bonne corrélation linéaire entre x et y
• Et l’ajustement linéaire se justifie
• si x et y sont indépendantes alors r =0