econometrie des variables ives

Econométrie des Variables Qualitatives. Cours C. Hurlin 1

Maîtrise d’Econométrie

Université d’Orléans

Econométrie des Variables Qualitatives

Polycopié de Cours

Christophe HURLIN

Janvier 2003

January 21, 2003

Contents

1 Modèles Dichotomiques Univariés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1 Spécification linéaire des variables endogènes dichotomiques . . . . . . . . . . . . 81.2 Modèles Logit et Probit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Comparaison des modèles probit et logit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Présentation des modèles dichotomiques en termes de variable latente . . . . . . 21

2 Estimation des Paramètres par la Méthode du Maximum de Vraisemblance . . . . . . 262.1 Estimation par maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1 Matrices Hessiennes et Matrices d’information de Fischer . . . . . . . . . 282.1.2 Unicité du maximum global de la fonction de log-vraisemblance . . . . . . 30

2.2 Algorithmes de maximisation de la vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Propriétés Asymptotiques des Estimateurs du Maximum de Vraisemblance . . . . . . . 353.1 Convergence du Critères de MV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Convergence d’estimateurs dans les modèles non linéaires . . . . . . . . . 363.1.2 Application aux modèles Logit et Probit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Lois et variance asymptotiques de l’estimateur de MV . . . . . . . . . . . . . . . 394 Méthodes d’Estimation non Paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1 La méthode du score maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Estimation semi-paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Comparaison des estimateurs paramétriques, non paramétriques et semi paramétriques 47

5 Tests de Spécification et Inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1 Tests d’hypothèse sur les paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.1 Test de Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.2 Tests du rapport des maxima de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.3 Test du score ou du multiplicateur de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2 Tests de spécification des modèles dichotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54A.1 Rappels sur les notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.1.1 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54A.1.2 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.1.3 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


Maîtrise d’Econométrie



Modèles à Variables Endogènes Qualitatives

Christophe HURLIN

Août 2002


Chapitre I

Modèles Dichotomiques Univariés

Modèles Logit et Probit


Introduction

Un des développements majeurs de l’économétrie dans les années 60 et 70, fut sans con-teste lié à l’utilisation croissante des données microéconomiques relatives à des caractéristiqueséconomiques d’agents individuels (firmes, consommateurs, centres de profits...). A cette époque,les bases de données microéconomiques ont en effet pu être constituées, puis exploitées prin-cipalement du fait de l’extension des capacités informatiques et de la réduction de leur coût.Bien souvent, les données statistiques disponibles dans ces bases sont relatives à des caractèresqualitatifs comme par exemple la catégorie socio-professionnelle, le type d’études suivies, lefait de travailler ou au contraire d’être au chômage, d’acheter ou de ne pas acheter un cer-tain produit etc.. Or, comme nous allons le voir dans ce chapitre, les méthodes d’inférencetraditionnelles ne permettent pas de modéliser et d’étudier des caractères quantitatifs : desméthodes spécifiques doivent être utilisées tenant compte par exemple de l’absence de continu-ité des variables traitées ou de l’absence d’ordre naturel entre les modalités que peut prendrele caractère qualitatif. Ce sont ces méthodes spécifiques les plus usuelles qui seront l’objet dece cours d’économétrie des variables qualitatives.

Historiquement l’étude des modèles décrivant les modalités prises par une ou plusieurs vari-ables qualitatives date des années 1940-1950. Les travaux les plus marquants de cette époquesont sans conteste ceux de Berkson (1944, 1951) consacrés notamment aux modèles di-chotomiques simples (modèles logit et probit). Les premières applications ont alorsessentiellement été menées dans le domaine de la biologie, de la sociologie et de la psycholo-gie. Ainsi, ce n’est finalement que récemment, que ces modèles ont été utilisés pour décriredes données économiques avec notamment les travaux1 de Daniel L. MacFadden (1974)et de James J. Heckman (1976). Or, l’application des techniques économétriques propresaux variables qualitatives à des problématiques économiques a d’une part largement contribuéà améliorer l’interprétation des modèles simples (comme par exemple le modèle logit avec lestravaux de MacFadden), et d’autre part à identifier des problèmes économiques dont la struc-ture, si elle n’est pas qualitative au sens propre du terme, en mathématiquement très proche(c’est par exemple le cas de la consommation de bien durable avec le modèle de Tobin de 1958).Ces développements ont ainsi conduit à introduire un modèle intermédiaire entre les modèlesqualitatifs et le modèle linéaire habituel : le modèle tobit.

Dans la suite du cours, nous supposerons l’existence d’un caractère qualitatif qui peut pren-dre K modalités disjointes. Si K = 2, on dit que la variable est dichotomique. Exemple :être au chômage ou ne pas être au chômage. Dans le cas général K ∈ N∗, on dit que la vari-able est polytomique. A ce niveau de l’exposé, la question qui se pose est de savoir commentreprésenter un caractère qualitatif dans le cadre d’un modèle économétrique ? Si l’on considère

1 Il convient ici de rappeler que ces deux économètres ont obtenu conjointement le prix nobel d’économie en2000, cf. document en annexe.


par exemple le type d’études suivies par un étudiant (université, école d’ingénieur etc..), lacatégorie socio-professionnelle (ouvrier, employé, cadre..), ou le fait d’être au chômage, com-ment doit on représenter ces différents caractères qualitatifs ? La réponse naturelle à cesquestions consiste à associer une variable quantitative (ou codage) au caractèrequalitatif.

Considérons l’exemple de la variable qualitative y = ”niveau d’étude” pouvant prendre 3modalités : ”licence”, ”master”, ”doctorat”. Plusieurs choix sont possible pour coder cettevariable qualitative. La première consiste tout simplement à associer à y une variable quanti-tative x pouvant prendre trois valeurs réelles distinctes (a, b, c) ∈ R3 suivant les modalités dey. La connaissance de la valeur prise par la variable x permet alors de connaître la modalitéde la variable y et inversement. Le choix du triplet de valeurs (a, b, c) est alors à priori noncontraint : on peut par exemple prendre (1, 2, 3) ou (3, 5, 8) en référence au nombre d’annéesd’étude suivies. Ainsi, on définit par exemple la variable x de la façon suivante :

x =

358

si y = ”licence”si y = ”master”si y = ”doctorat”

Mais d’autres formes de codage auraient pu être envisagées dans ce cas. On peut par exemplereprésenter la variable qualitative par le vecteur z = (z1, z2, z3) où les variables zi, i = 1, 2, 3

sont de type dichotomique avec :

z1 =10

si y = ”licence”sinon

z2 =10

si y = ”master”sinon

z3 =10

si y = ”doctorat”sinon

Les variables zi sont appelées variables dummy ou variables muettes. Il s’agit ici d’uneautre représentation quantitative de y à valeur cette fois dans (0, 1)3 . Ainsi, de façon généraletoutes les représentations quantitatives de y s’écrivent sous la forme d’une application injectivede ”licence”,”master”,”doctorat” dans un espace Rp, p ∈ N∗.

L’intérêt principal du codage (ou de la représentation quantitative des variables qualitatives)est de pouvoir se ramener à des lois discrètes sur Rp. Ainsi, si l’on considère l’exemple précédentla loi de z est une loi multinomialeM (1; p1, ., pi, .., pK) où pi désigne la probabilité que la ieme

modalité de la variable y se réalise. De la même façon, la variable z1 suit une loi de BernouilliB (1, p1) . Il faut toutefois utiliser avec prudence la loi d’une telle représentation : elle est eneffet, par nature, conditionnelle au codage choisi. Les seules caractéristiques véritablementliées à la variable qualitative sont celles qui ne dépendent pas de la représentation choisie, et nesont autres que les probabilités p1,..., pK . Ainsi, les moments (moyenne, variance etc..) de lavariable codée ont en général peu de sens. Dans l’exemple précédent, l’espérance de la variablecodée x n’a pas de signification particulière. En revanche, l’espérance des variables dummies zipermet de retrouver les probabilités pi. De plus, le calcul d’un coefficient de corrélation entredeux variables codées x et z dépend naturellement des codages retenus, et ne peut donc êtreinterprété économiquement. En revanche, la notion d’indépendance entre deux variables codéereste indépendante du codage retenu.


Dans le cadre de ce premier chapitre, nous allons nous intéresser au modèle le plus simple, àsavoir le modèle dichotomique, dans lequel la variable expliquée du modèle ne peut prendreque deux modalités. Le plan de ce chapitre est le suivant. Nous commencerons par présenter lesprincipaux modèles dichotomiques, et en particulier les modèles logit et probit. Puis, dans uneseconde section, nous intéresserons au problème de l’estimation des paramètres de ces modèles,notamment par la méthode du maximum de vraisemblance. Dans une troisième partie, nousétudierons la convergence des estimateurs du maximum de vraisemblance. Enfin, dans unedernière section nous aborderons les tests de spécification de ces modèles ainsi que les différentsproblèmes d’inférence.


1. Modèles Dichotomiques Univariés

Par modèle dichotomique, on entend un modèle statistique dans lequel la variable expliquée nepeut prendre que deux modalités (variable dichotomique). Il s’agit alors généralement d’expli-quer la survenue ou la non survenue d’un événement.

Hypothèse On considère un échantillon de N individus indicés i = 1, .., N. Pour chaqueindividu, on observe si un certain évenément s’est réalisé et l’on note yi la variable codéeassociée à évenement. On pose, ∀i ∈ [1, N ] :

yi =10

si l’événement s’est réalisé pour l’individu isi l’événement ne s’est pas réalisé pour l’individu i

(1.1)

On remarque ici le choix du codage (0, 1) qui est traditionnellement retenu pour les modèlesdichotomique. En effet, celui-ci permet définir la probabilité de survenue de l’événement commel’espérance de la variable codée yi, puisque :

E (yi) = Prob (yi = 1)× 1 + Prob (yi = 0)× 0 = Prob (yi = 1) = piL’objectif des modèles dichotomiques consiste alors à expliquer la survenue de l’événement

considéré en fonction d’un certain nombre de caractéristiques observées pour les individus del’échantillon. Comme nous le verrons par la suite, on cherche dans ces modèles, à spécifier laprobabilité d’apparition de cet événement.

Quels sont alors les principaux champs d’application des modèle dichotomiques ? Nouspouvons ici évoquer quelques pistes, sur lesquelles nous reviendrons par la suite. Un des do-maines d’application traditionnel consiste en l’étude des choix d’éducation. Ainsi, parmiles premiers travaux utilisant les modèles à réponses qualitatives, plusieurs s’intéressaient auxcomportements des étudiants que ce soit en terme de choix de filières, ou en termes de choixd’établissements. Il s’agissait alors de modéliser ces comportements en fonction d’un certainnombres de caractéristiques propres aux universités (présence de campus, débouchés profession-nels etc..) ou aux étudiants (CSP des parents, études antérieures etc..). Typiquement, il s’agitpar exemple, de modéliser le choix des étudiants entre une université en ville ou un campus, cechoix étant représenté par une variable dichotomique que l’on va cherche à modéliser en fonctionde plusieurs facteurs comme le revenu, le sexe de l’étudiant, la distance domicile-université etc..Du fait de l’organisation privée des études aux Etats-Unis, de telles modélisations ont connu ungrand intérêt, que ce soit dans une perspective purement académique ou dans une perspectiveappliquée. On peut citer ici par exemple l’étude de Radner et Miller (1970).

Un autre domaine d’application consiste en la modélisation des risques de défaillance dansune relation de prêt, ou dans tout autre forme de contrat d’engagement (contrat d’abonnementtéléphonique, contrat d’assistance etc...). On considère par exemple une variable dichotomiqueprenant deux modalités : ”rupture du contrat” et ”poursuite du contrat”, et l’on cherche àexpliquer variables par différents facteurs socio-économiques. Il s’agit ici des techniques de


bases des méthodes de scoring largement utilisées dans le secteur bancaire et dans le secteurdes télécommunications.

Cette liste d’application n’est bien entendu pas exhaustive. Nous allons à présent montrerque la modélisation des variables dichotomiques ne peut se faire à l’aide d’une spécificationlinéaire standard.

1.1. Spécification linéaire des variables endogènes dichotomiques

En effet, la question que l’on peut naturellement se poser à ce stade de l’exposé, est de savoiren quoi les modèles dichotomiques, et plus généralement les modèles à variables endogènesqualitatives, se distinguent du modèle linéaire classique étudié en cours de licence. En effet,il s’agit de comprendre pourquoi l’utilisation de méthodes d’estimation particulières s’avèreindispensable pour ce type de modèles. Pour ce faire, appliquons naïvement une modélisationlinéaire simple au cas d’une variable endogène dichotomique.

Supposons que l’on dispose de N observations yi, ∀i = 1, ..,N d’une variable endogènedichotomique codée yi = 1 ou yi = 0 par convention, lorsque parallèlement les observations deK variables exogènes sont xi = x1i ..x

Ki , ∀i = 1, .., N . Dans ce cas, le modèle linéaire simple

s’écrit :yi(1,1)

= xi(1,K)

β(K,1)

+ εi(1,1)

∀i = 1, .., N (1.2)

où β = (β1...βK) ∈ RK désigne un vecteur de K paramètres inconnus et où les perturbationsεi sont supposées être indépendamment distribuées. On peut alors mettre en évidence plusieursproblèmes liés à l’utilisation de cette spécification linéaire simple pour modéliser notre variabledichotomique.

Premièrement, les termes de gauche et de droite de l’équation (1.1) sont de nature différentes.La variable yi est de type qualitative tandis que la somme xiβ+εi est une variable quantitative.On peut répondre à ceci que le membre de gauche correspond en fait au codage (ici 0 ou 1)associé à la variable qualitative; dès lors, il n’y aurait plus de problème. Mais il est évident quece codage est lui même par nature arbitraire, et que les valeurs de β obtenues pour ce codagesont nécessairement différentes de celles obtenues pour tout autre codage. Elles seraient parexemple de αβ si le codage était de type (0,α). Ainsi, le premier problème de l’applicationdu modèle linéaire simple à une variable dichotomique, est que le paramètre β dumodèle (1.1) n’est pas interprétable.

Deuxièmement, une étude graphique montre que l’approximation linéaire est peu adaptéeau problème posé. Considérons pour cela le modèle linéaire avec une seule variable explicative(K = 1), notée x1i , et une constante. On pose β = (β0 β1) et l’on considère le modèle linéairesuivant :

yi = β0 + xiβ1 + εi ∀i = 1, .., N (1.3)

Pour constater l’inadéquation de ce modèle à reproduire correctement la variable endogènedichotomique yi, il suffit de se placer dans un repère x1, y et de reproduire les N différentscouples x1i , yi , ∀i = 1, ..,N. Naturellement, du fait du statut dichotomique de la variableendogène, le nuage de points ainsi obtenu se situe soit sur la droite y = 0, soit sur la par-allèle y = 1. Ainsi, comme on l’observe sur la figure (??), il est impossible d’ajuster de


Figure 1.1: Ajustement Linéaire d’une Variable Endogène Dichotomique

y

x

y =

y =

0

droite d’ajustement linéaire

façon satisfaisante, par une seule droite, le nuage de points, associé à une variabledichotomique qui, par nature, est réparti sur deux droites parallèles.

Troisièmement, la spécification linéaire standard ne convient pas aux variables dichotomiques,et plus généralement aux variables qualitatives, car elle pose un certain nombre de problèmesmathématiques.

1. Sachant que dans la cas d’une variable endogène yi dichotomique, celle-ci ne peut prendreque les valeurs 0 ou 1, la spécification linéaire (1.1) implique que la perturbation εi nepeut prendre, elle aussi, que 2 valeurs, conditionnellement au vecteur xi :

εi = 1− xiβ avec une probabilité de pi = Prob (yi = 1)

εi = −xiβ avec une probabilité de 1− piAinsi, la perturbation εi du modèle (1.1) admet nécessairement une loi discrète,ce qui exclut en particulier l’hypothèse de normalité des résidus.

2. Lorsque l’on suppose que les résidus εi sont de moyenne nulle, la probabilité pi associéeà l’événement yi = 1 est alors déterminée de façon unique. En effet, écrivons l’espérancedes résidus :

E (εi) = pi (1− xiβ)− (1− pi)xiβ = pi − xiβ = 0On en déduit immédiatement que :

pi = xiβ = Prob (yi = 1) (1.4)

Ainsi la quantité xiβ correspond à une probabilité et doit par conséquent satis-faire un certain nombre de propriétés et en particulier appartenir à l’intervallefermé [0, 1] .

0 ≤ xiβ ≤ 1 ∀i = 1, .., N (1.5)

Or rien n’assure que de telles conditions soient satisfaites par l’estimateur des MoindresCarrés utilisé dans le modèle linéaire (1.1). Si de tels contraintes ne sont pas assurées, lemodèle

yi = β0 + xiβ1 + εi E (εi) = 0 ∀i = 1, .., Nn’a pas de sens.


3. Enfin, même si l’on parvenait à assurer le fait que les contraintes (1.5) soient satisfaites parl’estimateur des Moindres Carrés des paramètres du modèle linéaire, il n’en demeureraitpas moins une difficulté liée à la présence d’hétéroscedasticité. En effet, on constateimmédiatement que, dans le modèle (1.1), la matrice de variance covariance des résidusvarie entre les individus en fonction de leur caractéristiques associées aux exogènes xipuisque :

V (εi) = xiβ (1− xiβ) ∀i = 1, .., N (1.6)

Pour démontrer ce résultat il suffit de considérer la loi discrète des résidus et de calculerla variance :

V (εi) = E ε2i = (1− xiβ)2 Prob (yi = 1) + (−xiβ)2 Prob (yi = 0)= (1− xiβ)2 pi + (−xiβ)2 (1− pi)

Sachant que d’après la relation (1.4) on a pi = xiβ, on en déduit que :

V (εi) = (1− xiβ)2 xiβ + (−xiβ)2 (1− xiβ)= (1− xiβ)xiβ [(1− xiβ) + xiβ]= (1− xiβ)xi

Or, de plus ce problème d’hétéroscédascticité ne peut pas être résolu par une méthoded’estimation des Moindres Carrés Généralisés tenant compte de la contrainte d’inégalité(1.5), puisque la matrice de variance covariance des perturbations (1.6) dépend du vecteurβ des paramètres à estimer dans la spécification linéaire, qui est par nature supposéinconnu.

Pour toutes ces différentes raisons, la spécification linéaire des variables endogènes quali-tatives, et plus spécialement dichotomiques, n’est jamais utilisée et l’on recourt à des modèleslogit ou probit, que nous allons à présent étudier, pour représenter ces variables.

1.2. Modèles Logit et Probit

Les modèles dichotomiques probit et logit admettent pour variable expliquée, non pas un codagequantitatif associé à la réalisation d’un évenement (comme dans le cas de la spécificationlinéaire), mais la probabilité d’apparition de cet évenement, conditionnellement aux variablesexogènes. Ainsi, on considère le modèle suivant :

pi = Prob (yi = 1|xi) = F (xiβ) (1.7)

où la fonction F (.) désigne une fonction de répartition. La choix de la fonction de répartitionF (.) est a priori non contraint. Toutefois, on utilise généralement deux types de fonction :la fonction de répartition de la loi logistique et la fonction de répartition de la loi normalecentrée réduite. A chacune de ces fonctions correspond un nom attribué au modèle ainsi obtenu: modèle logit et modèle probit2.

Definition 1.1. On considère le modèle dichotomique suivant :

pi = Prob (yi = 1|xi) = F (xiβ) ∀i = 1, .., N (1.8)

2Qui selon toute logique aurait du être nommé modèle nomit et non modèle probit.


Dans le cas du modèle logit, la fonction de répartition F (.) correspond à la fonctionlogistique ∀w ∈ R :

F (w) =ew

1 + ew=

1

1 + e−w= Λ (w) (1.9)

Dans le cas du modèle probit, la fonction de répartition F (.) correspond à lafonction de répartition de la loi normale centrée réduite ∀w ∈ R :

F (w) =w

−∞

1√2πe−

z2

2 dz = Φ (w) (1.10)

Ainsi, pour une valeur donnée du vecteur des exogènes et du vecteur des paramètres β, onpeut définir les deux modèles d’une façon équivalente :

Definition 1.2. Le modèle logit définit la probabilité3 associé à l’événement yi = 1,comme la valeur de la fonction de répartition de la loi logistique considérée aupoint xiβ :

Modèle logit : pi = Λ (xiβ) =1

1 + e−xiβ∀i = 1, .., N (1.11)

Dans le cas du modèle probit, cette probabilité est définie comme la valeur de lafonction de répartition de la loi normale centrée réduite N (0, 1) considérée au pointxiβ :

Modèle probit : pi = Φ (xiβ) =xiβ

−∞

1√2πe−

z2

2 dz ∀i = 1, .., N (1.12)

A ce stade de l’exposé, la question que l’on se pose immédiatement est de savoir quellessont les différences fondamentales entre les modèles probit et logit ? Quand doit on utiliserl’un plutôt que l’autre ? Quelles sont les propriétés particulières de ces deux modèles ? Bienentendu, ces deux modèles ne diffèrent que par la forme de la fonction de répartition F (.) . Ainsi,il faut donc se rappeler quelles sont les propriétés respectives des lois logistiques et normales,pour comprendre quelles peuvent être les différences et les similitudes entre les modèle logit etprobit.

1.3. Comparaison des modèles probit et logit

Historiquement, les modèles logit ont été introduits comme des approximations de modèlesprobit permettant des calculs plus simples. Dès lors, il n’existe que peu de différences entre cesdeux modèles dichotomiques. Ceci s’explique par la proximité des familles de lois logistiques etnormales. Les deux fonctions de répartition Λ (w) et Φ (w) sont en effet sensiblement proches,comme on peut le constater à partir du tableau (1.1) où sont reportées les valeurs de cesfonctions pour différentes valeurs de w. Mais cette similitude est encore grande si l’on considèreune loi logistique transformée de sorte à ce que la variance soit identique à celle de la loi normaleréduite. En effet, nous avons vu que la loi logistique usuelle admet pour fonction de répartition

Λ (w) =1

1 + e−w

3La variable yi étant dichotomique, la probabilité d’apparition de l’événement complémentaire yi = 0 estdéfinie par 1− pi avec :

1− pi = e−xiβ

1 + e−xiβ


Cette loi a une espérance nulle et une variance égale à π2/3. C’est pourquoi, il convient denormaliser la loi logistique de sorte à obtenir une distribution de variance unitaire, comparableà celle de la loi normale réduite. On définit pour cela une loi logistique transformée.

Definition 1.3. La loi logistique transformée de paramètre λ admet pour fonctionde répartition4 , notée Λλ (w) , ∀w ∈ R

Λλ (w) =eλw

1 + eλw=

1

1 + e−λw(1.13)

A cette fonction de répartition correspond une variance de π2/ 3λ2 . Ainsi, il convient decomparer la loi normale centrée réduite à la loi logistique transformée, de paramètre λ = π/

√3,

dont la fonction de répartition est définie comme suit :

Λ (w) = Λπ/√3 (w) =

1

1 + e−πw√

3

(1.14)

Cette loi admet par construction une variance unitaire. On observe ainsi à partir du tableau(1.1), que les réalisations de cette fonction Λπ/

√3 (.) sont très proches de celles de la fonction

Φ (.) associée à la loi normale réduite et ce notamment pour des valeurs de w proche de 0, c’està dire des valeurs dites centrales, car proches de la moyenne de la distribution.Certains auteurs proposent d’utiliser d’autres paramètres λ afin de mieux reproduire encore

la fonction de répartition de la loi normale pour des valeurs centrales. En particulier Amemiya(1981) propose d’utiliser un paramètre5 λ = 1.6 et donc de retenir la loi logistique transforméeΛ1.6 (.) . Comme on peut l’observer sur le tableau (1.1), la fonction de paramètre 1.6 est encoreplus proche de Φ (.) que la fonction de paramètre π/

√3. pour les valeurs centrales proches de

0 (w < 1 en l’occurrence dans le tableau).

Tableau 1.1: Comparaison des Fonctions de Répartition Λλ (w) et Φ (w)

w 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 2 3Φ (w) 0.5 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.8413 0.9772 0.9987Λ (w) 0.5 0.5250 0.5498 0.5744 0.5987 0.6225 0.7311 0.8808 0.9526

Λπ/√3 (w) 0.5 0.5452 0.5897 0.6328 0.6738 0.7124 0.8598 0.9741 0.9957

Λ1.6 (w) 0.5 0.5399 0.5793 0.6177 0.6548 0.6900 0.8320 0.9608 0.9918So u r c e s : A n em iy a ( 1 9 8 1 ) , t a b le 1 , p a g e 1 4 8 7 e t c a l c u ls d e l ’a u t e u r .

Quoiqu’il en soit, il apparaît ainsi que les fonctions de répartition des lois normales cen-trées réduites et des lois logistiques simples ou transformées sont extrêmement proches. Parconséquent, les modèles probit et logit donnent généralement des résultats relativement simi-laires. De nombreuses études ont d’ailleurs été consacrées à ce sujet comme par exemple cellede Morimune (1979)6 ou de Davidson et MacKinnon (1984). Ainsi a priori, la question du choixentre les deux modèle ne présente que peu d’importance. Toutefois, il convient d’être prudentquand à la comparaison directe des deux modèles.

4Par convention, la fonction de répartition de la loi logistique simple correspondant au cas λ = 1 sera notéΛ (.) afin d’alléger les notations.

5Cette valeur 1.6 est dérivée du rapport des fonctions de densité φ (w) /λ (w) évalué au point w = 0.6Morimune K. (1979), ”Comparisons of Normal and Logistic Models in the Bivariate Dichitomous Analysis”,

Econometrica 47, 957-975.


En effet, les valeurs estimées des paramètres dans les modèles probit et logit ne sont pasdirectement comparables puisque les variances des lois logistiques et normale réduite ne sontpas identiques. Cette différence de variance implique que la normalisation des coefficients βn’est pas identique et que par conséquent les estimateurs de ces paramètres obtenus dans lesdeux modèles ne fournissent pas des réalisations identiques.

Proposition 1.4. Supposons que l’on note respectivement βP et βL les estimateursdes paramètres β obtenus dans les modèles probit et logit. Amemiya (1981) proposeen première approximation d’utiliser la relation suivante entres les estimationsprobit et logit7 :

βL 1.6βP (1.15)

Toutefois, si ces approximations sont relativement précises sur certains échantillons com-portant peu de valeurs ”extrêmes” (c’est à dire lorsque la moyenne des valeurs xiβ est prochede zéro), elles seront moins précises en présence de nombreuses valeurs xiβ éloignées de zéro.Une façon équivalente8 de vérifier l’adéquation de cette approximation consiste à observer si lavaleur moyenne des probabilités pi est proche de 0.5 (Davidson et MacKinnon 1984). Si tel estle cas, les estimateurs des coefficients du modèle logit seront environ 1.6 fois supérieurs à ceuxdu modèle probit.

Considérons l’exemple des données de l’article de Spector et Mazzeo (1980), paru dansJournal of Economic Education, et intitulé ”Probit Analysis and Economic Education”. Il s’agitici d’évaluer la probabilité pour un étudiant d’obtenir le passage en post-graduate (variabledichotomique graduate), l’équivalent du master. Cette probabilité est modélisée comme unefonction d’une constante (cons), du score obtenu au tuce (test of understanding of collegeeconomics) et de la moyenne obtenue au niveau du graduate (grad). Sur la figure (1.2) sontreportés les résultats d’estimation du modèle logit tandis que sur la figure (1.3) sont reportésles résultats d’estimation du même modèle probit. Considérons par exemple le coefficient de lavariable tuce. Le modèle logit nous donne une estimation de 0.0855 pour ce paramètre alors quele modèle probit donne une estimation de 0.05266. On vérifie alors que, pour cet échantillon,les approximations (1.15) sont satisfaisantes puisque selon cette formule, on devrait obtenir uneestimation logit de paramètre de l’ordre de 0.05266 ∗ 1.6 = 0.0843 ou 0.0955 si l’on considèrel’approximation 0.05266 ∗ π/√3. Ces approximations sont en effet très proches de la vraieestimation du paramètre dans le modèle logit.

De la même façon, Amemiya (1981) propose différentes approximations permettant d’ap-procher les estimations des modèles logit et probit à partir des estimations obtenues dans lemodèle linéaire simple, présenté précédemment.

Proposition 1.5. On note βP l’estimateur obtenu dans le modèle probit, βL l’es-timateur obtenu dans le modèle logit et βLP l’estimateur obtenu dans le modèlelinéaire. Amemiya (1981) propose les approximations suivantes pour les modèles

7En utilisant la normalisation de la variance, on peut aussi retenir comme approximation un facteur π/√3

1.81, en posant βL πβP /√3.

8 Sachant que Φ (0) = Λ (0) = 0.5, il équivalent de vérifier si la moyenne des valeurs xiβ est proche de 0 ou sila moyenne des probabilités pi = F (xiβ) est proche de 0.5, avec F (x) = Λ (x) dans le cas du modèle logit etF (x) = Φ (x) dans le cas du probit.


Figure 1.2: Estimation d’un Modèle Logit

probit et linéaire :

βLP 0.4βP pour tous les paramètres à l’exception de la constante (1.16)

βLP 0.4βP + 0.5 pour la constante (1.17)

et les approximations suivantes pour les modèles logit et linéaire :

βLP 0.25βL pour tous les paramètres à l’exception de la constante (1.18)

βLP 0.25βL + 0.5 pour la constante (1.19)

Ainsi si l’on considère l’exemple des données de l’article de Spector et Mazzeo (1980), lesestimations de la constante et des paramètres des variables tuce et grad obtenues dans lemodèle linéaires sont respectivement égales à −1.4493, 0.0160 et 0.4619. Or, si l’on compareces résultats à ceux obtenus à partir des modèles logit et probit (figures 1.2 et 1.3), on obtientles résultats relativement proches. Ainsi, dans le cas du modèle logit pour la variable tucel’approximation donnerait 0.25 ∗ 0.08555 = 0.0214 et 0.25 ∗ 2.53828 = 0.6346 pour la variablegrad. Pour la constante l’approximation donne une valeur approchée égale à −0.25 ∗ 10.656 +0.5 = −2.164. Cers approximations seront d’autant plus proches des valeurs estimées qu’il y aaura un grand nombre d’observations xiβ proches de 0, car en effet les fonctions de répartitiondes lois logistiques et normales ne se démarquent pas d’une droite dans cette zone.


Figure 1.3: Estimation d’un Modèle Probit

En conclusion, il apparaît que les résultats des modèles probit et logit sont généralementsimilaires que ce soit en termes de probabilité ou en termes d’estimation des coefficients β sil’on tient compte des problèmes de normalisation. C’est le sens de cette conclusion d’Amemiya.

”Because of the close similarity of the two distributions, it is difficult to distin-guish between them statistically unless one has an extremely large number of observa-tions. Thus, in the univariate dichotomous model, it does not matter much whetherone uses a probit model or a logit model, except in cases where data are heavilyconcentrated in the tails due to the characteristics of the problem being studied.”,Amemiya T. (1981), page 1487.

Toutefois, comme le note Amemiya (1981), il convient d’être prudent dans l’utilisation desapproximations pour comparer les modèles probit et logit. Il est toujours préférable de raisonneren termes de probabilités pi = F (xiβ) et non en termes d’estimation des paramètres β pourcomparer ces résultats.

”The reader should keep in mind that this equality [equation (1.15)] constitutesonly a rough approximation and that a different set of formulae may work betterover a different domain. When one wants to compare models with different prob-ability functions, it is generally better to compare probabilities directly rather thancomparing the estimates of the coefficients even after an appropriate conversion”,Amemiya T. (1981), page 1488.


Si les deux modèle sont sensiblement identiques, il existe cependant certaines différencesentre les modèles probit et logit, comme le souligne d’ailleurs Amemiya. Nous évoquerons icideux principales différences :

1. La loi logistique tend à attribuer aux événements ”extrêmes” une probabilitéplus forte que la distribution normale.

2. Le modèle logit facilite l’interprétation des paramètres β associées au variablesexplicatives xi

Nous allons à présent étudier successivement ces deux propriétés. Premièrement, la fonctionde densité associée à la loi logistique possède en effet des queues de distribution plus épaissesque celles de la fonction de densité de la loi normale (distribution à queues ”plates”). La loilogistique présente donc un excès de Kurtosis9 : il s’agit d’une distribution leptokurtique. End’autres termes, nous avons vu que les lois logistique et normale appartiennent à la même familledes lois exponentielles et sont par nature très proches, notamment pour les valeurs proches de lamoyenne de la distribution. Toutefois, le profil de ces deux distributions diffère aux extrémitésdu support : pour la loi normale, les valeurs extrêmes sont moins pondérées, la fonction derépartition tendant plus vite vers 0 à gauche du support et vers 1 à droite.

Economiquement, cela implique que le choix d’une fonction logistique (modèlelogit) suppose une plus grande probabilité10 attribuée aux évenements ”extrêmes”,comparativement au choix d’une loi normale (modèle probit), que ce soit à droite ougauche de la moyenne de la distribution, les lois normales et logistiques étant symétriques.Pour visualiser ce phénomène, il convient de comparer la fonction de répartition associée à laloi normale centrée réduite avec la fonction de répartition associée à la loi logistique possédantles deux premiers moments identiques à la loi N (0, 1) .

Sur le graphique (1.4) est reportée la différence Λ (w)− Φ (w) en fonction de w :On constate qu’à droite du support, pour des valeurs élevées de w (w > 1.5 environ), on

a Φ (w) > Λ (w) . La fonction de répartition de la loi normale est au dessus de celle de la loilogistique. Etant donnée la définition de la fonction de répartition, F (w) =Prob(W ≤ w) ,cela signifie que la probabilité que la réalisation de la variable W soit inférieure au seuil w estplus grande dans le cas de la loi normale que dans le cas de la loi logistique. Inversement,pour un seuil w donnée, la probabilité d’obtenir des valeurs supérieures à ce seuil (des valeurs”extrêmes”) est plus grande dans le cas de la loi logistique que dans le cas de la loi normale. Onvérifie ainsi la propriété de la loi logistique qui sur-pondère les valeurs extrêmes en comparaisonde la loi normale. Naturellement, puisque les distributions sont symétriques, on obtient le mêmerésultat à gauche du support pour des valeurs très faibles de w (w < −1.5 environ).

9L’excès de Kurtosis est défini en référence au moment d’ordre d’une loi normale centrée réduite. Si X suitune loi normale N µ,σ2 , la Kurtosis est égale à µ4 = 3σ

4. Par convention, le degré d’excès de Kurtosis, définipar µ4/σ

4 − 3, est nul.10Bien entendu, la différence entre les résultats des modèles probit et logit ne pourra être observée que si l’on

dispose de suffisament d’observations des exogènes se situant dans ces zones ”extrêmes”.


Figure 1.4: Différence des Fonctions de Répartition Λ (w)− Φ (w)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Λ- Φ

Deuxièmement, il existe une propriété particulièrement intéressante propre au modèle logit,qui facilite en particulier l’interprétation des paramètres β associées au variables explicatives xi.Attention, comme nous le verrons par la suite, les valeurs numérique des estimations n’ont pasd’interprétation économique directe, en raison du problème de la normalisation de la variancerésiduelle. Ainsi, il faut retenir que la seule information directe réellement utilisable est lesigne des paramètres, indiquant si la variable associée influence à la hausse ou la baisse laprobabilité de l’événement considéré. Toutefois, on peut en outre calculer les effets marginaux :les effets marginaux mesurent la sensibilité de la probabilité de l’événement yi = 1 par rapportà des variations dans les variables explicatives xi. Et c’est précisément dans ce contexte, quel’utilisation d’un modèle logit peut faciliter l’analyse de ces effets marginaux.

Au delà, de ces différences entre les lois logistiques et normales, il existe en effet certainespropriétés du modèle logit qui sont particulièrement utiles pour simplifier les calculs ainsi quel’interprétation économique des résultats d’estimation des paramètres β associées au variablesexplicatives. Tout d’abord, si l’on note pi = Prob(yi = 1) = Λ (xiβ) , étant donnée la définitionde la loi logistique on remarque que plusieurs égalités, permettant de simplifier les calculs,peuvent être établies comme suit :

exiβ = pi 1 + exiβ

logpi

1− pi = xiβ

1− pi = 1

1 + exiβ

En plus de ces différentes relations, il existe une égalité qui est en outre particulièrementintéressante en ce qui concerne l’analyse économique des résultats d’estimation. Il s’agit de larelation suivante :

exiβ =pi

1− pi


En effet, on sait que la probabilité pi désigne la probabilité associée à l’événement yi = 1,et que la quantité 1− pi désigne par conséquent la probabilité associée à l’événement comlpé-mentaire pi = 0.

Proposition 1.6. De façon générale, la quantité ci = pi/ (1− pi) représente le rapportde la probabilité associée à l’événement yi = 1 à la probabilité de non survenue decet événment : il s’agit de la cote (”odds”). Dans un modèle logit, cette cotecorrespond simplement à la quantité exiβ :

ci =pi

1− pi = exiβ modèle logit (1.20)

Si ce rapport est égal à ci pour l’individu i, cela signifie qu’il y a ci fois plus de chance quel’événement associé au code yi = 1 se réalise, qu’il ne se réalise pas (” ci contre 1” dans lelangage usuel).

Exemple : Considérons les 32 observations tirées de l’échantillon de Spector et Mazzeo(1980). Les données correspondant aux variables exogènes tuce et grad, ainsi que la variableendogène dichotomique graduate sont reportés sur les trois premiers quadrants de la figure(1.5). A partir des estimations obtenues dans le modèle logit (cf. figure 1.2), on a calculéla cote associée à l’événement ”être en post graduate”. Sans surprise on constante que parexemple l’individu 10, qui a obtenu la meilleure note de l’échantillon au tuce (29) et qui aobtenu une moyenne de 3.92/4 aux examens de graduate a une cote de 5.9. C’est à dire qu’ila 6 plus de chances d’obtenir le passage en post graduate que de ne pas l’obtenir alors que lamoyenne des cotes pour l’échantillon est de 0.97. De la même façon, l’individu 5 qui obtenu lanote maximale (4) aux examens de graduate à une cote de 3.64. Ces deux individus figurentparmi les étudiants qui ont effectivement obtenu le passage en post graduate (graduate = 1).

Au delà du simple calcul de la cote, on peut en outre chercher à mesure les effets marginauxsur la cote. Il s’agit alors de mesurer l’impact, pour le ieme individu d’une variation de la jeme

variable explicative, notée x[j]i , sur la cote. Supposons que l’on considère une variation d’uneunité de cette variable, et calculons alors la variation induite de la cote. En effet, étant donnéla propriété (??) du modèle logit, on peut alors facilement mesurer l’impact d’une variationd’une unité d’une des variables explicatives sur cette cote. En effet, si l’on note c la cote del’événement yi = 1, xi = x

[1]i ...x

[K]i le vecteur des variables explicatives et β = (β1...βK) le

vecteur des paramètres associés, on a :

ci =pi

1− pi = expK

k=1

x[k]i βk =

K

k=1

exp x[k]i βk

On peut alors isoler la part de la cote imputable à une variable x[j]i quelconque de la façonsuivante. Supposons que la variable x[j]i augmente de une unité, nouvelle cote notée ci est égaleà :

ci = exp x[j]i + 1 βj

K

k=1k=j

exp x[k]i βk = exp βj

K

k=1

exp x[k]i βk

Proposition 1.7. Dans un modèle logit, un accroissement d’une unité de la variableexogène x[j]i ,toutes choses égales par ailleurs, multiplie la valeur de la cote par


Figure 1.5: Données et Calcul de la Cote à partir du Modèle Logit : Spector et Mazzeo (1980)

0 10 20 30 4010

15

20

25

30Résultats au tuce

0 10 20 30 402

2.5

3

3.5

4Moyenne des examens au graduate

0 10 20 30 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1Reussite passage en post graduate

0 10 20 30 400

1

2

3

4

5

6Cote de la réussite en Post-Graduate

exp βj . Si l’on note ci la cote initiale et ci la cote obtenue après variation de lajeme variable explicative, on a :

ci = exp βj ci (1.21)

Exemple : Considérons l’échantillon de Spector et Mazzeo.. Nous avons vu que le 10eme

individu de l’échantillon avait obtenu une note de 29 au tuce. Calculons la variation de sacote s’il avait obtenu 30 au lieu de 29. Les estimations obtenues dans le modèle logit (cf.figure 1.2) nous donne une estimation du paramètre associé à tuce égale à 0.0855. Dès lors, lecoefficient multiplicatif à appliquer à la cote est de exp (0.0855) = 1.0893. La cote initiale du10eme individu était de 5.9. Donc après modification de la note au tuce sa cote doit passer à5.9 ∗ 1.0893 = 6.4269. On vérifie en estimant à nouveau (non reproduit) le modèle logit avecla valeur modifiée (30) de l’exogène tuce pour le 10eme individu que le cote estimée est égale à6.43.

Toutefois, de façon plus générale, on calcule les effets marginaux non pas à partir de la cotemais directement à partir des probabilité associé à l’événement de référence. On cherche ainsi à


établir quelle est la variation de la probabilité de l’événement yi = 1 en cas de variation d’unedes variables exogène. On considérera ici uniquement le cas de variables explicatives continues.Dans ce cas, pour de petites variations de la jeme variable explicative, on peut approximer lavariation de probabilité pi par la dérivée de celle-ci par rapport à la variable x

[j]i :

∂pi

∂x[j]i

=∂F (xiβ)

∂x[j]i

=∂F (xiβ)

∂ (xiβ)

∂ (xiβ)

∂x[j]i

=∂F (xiβ)

∂ (xiβ)βj

puisque xiβ =Kk=1 x

[k]i βk.

Proposition 1.8. Dès lors, si l’on note f (.) la fonction de densité des résidus dumodèle dichotomique, l’effet marginal associé à la jeme variable explicative x[j]i estdéfini par :

∂pi

∂x[j]i

= f (xiβ) .βj (1.22)

Suivant que l’on considère un modèle probit ou un modèle logit, cette dérivées’écrit comme suit :

∂pi

∂x[j]i

=exiβ

(1 + exiβ)2 βj modèle logit (1.23)

∂pi

∂x[j]i

=1√2πexp −1

2(xiβ)

2 .βj modèle probit (1.24)

Puisque par définition f (.) > 0, le signe de cette dérivée est donc identique à celui deβj . Dès lors, l’augmentation d’une variable associée à un coefficient positif induit une haussede la probabilité de réalisation de l’événement yi = 1. Inversement, la hausse d’une variableassocié à un coefficient négatif induit une baisse de la probabilité de réalisation de l’événementyi = 1. Par exemple, si l’on considère les données de Spector et Mazzeo (190) et les résultatsd’estimation des probit et logit (figures 1.2 et 1.3), les deux variables tuce et grad sont affectéesd’un coefficient dont l’estimateur a une réalisation positive. Ainsi, une augmentation de lanote au tuce ou une augmentation de la moyenne aux examens du graduate conduit à uneamélioration de la probabilité de passage en postgraduate.

Enfin, plutôt que d’exprimer l’effet marginal sous la forme de la dérivée ∂pi/∂x[j]i , on préfère

généralement calculer une élasticité, cette dernière ayant l’avantage d’être indépendante desunités de mesure.

Definition 1.9. Ainsi, on définit l’élasticité εpi/x

[j]icomme la variation en pourcent-

age de la probabilité de survenue pi de l’événement codé yi = 1, suite à une variationde 1% de la jeme variable explicative x[j]i :

εpi/x

[j]i=

∂pi

∂x[j]i

x[j]i

pi= f (xiβ)

x[j]i βj

F (xiβ)(1.25)

Cette expression peut se simplifier dans le cas du modèle logit sachant que F (x) = ex/ (1 + ex)et que f (x) = ex/ (1 + ex)2. Pour un logit, l’élasticité prend la valeur suivante :

∀i ∈ [1, N ] εpi/x

[j]i=

x[j]i βj

1 + exp (xiβ)modèle logit (1.26)


Plusieurs remarques doivent être faites à ce niveau. Tout d’abord, pour les deux modèles,l’élasticité est une fonction non linéaire des autres composantes du vecteur xi. On peut ainsicalculer l’influence des variables explicatives annexes sur la sensibilité du modèle à l’évolutiond’une variable j particulière. On peut par exemple calculer :

∂ εpi/x

[j]i

∂x[k]i

∀k = j,∀i ∈ [1, N ] (1.27)

Deuxième remarque, les fonctions de densité f (.) des modèles logit et probit étant symétriqueset unimodales,elles atteignent donc leur maximum en zéro. Ainsi, l’impact d’une variable ex-plicative est d’autant plus important pour les individus donc le scalaire xiβ est proche de zéro.En d’autres termes, pour les individus pour lesquels on est pratiquement sûr de la survenued’un évenement ( pi = F (xiβ) proche de 1 ou xiβ, positif et très élevé), l’élasticité sera faible: seule une variation très importante des variables explicatives pourra modifier sensiblement laprobabilité. De la même façon, les individus pour lesquels on est pratiquement sûr de la nonsurvenue d’un évenement (pi = F (xiβ) proche de 0 ou xiβ, négatif et très élevé en valeurabsolue), l’élasticité sera faible.Enfin, troisième et dernière remarque les formules ci-dessus fournissent des mesures indi-

viduelles des effets marginaux, et généralement il est utile de calculer l’élasticité au point moyende l’échantillon afin de répondre à la question : quel est l’impact moyen (dans l’échantillon) dela variation de 1% de la jeme variable explicatives ? Deux possibilité peuvent être retenues :soit on calcule l’élasticité en remplaçant les valeurs individuelles xi par les moyennes empiriquesde ces composantes sur l’échantillon, ∀j ∈ [1,K] :

εp/xj =f (xβ)

F (xβ)x[j]βj (1.28)

où le vecteur x est défini par x = (1/N)xi et le scalaire x[j] vaut x[j] = (1/N)x[j]. La deuxièmesolution consiste à calculer la moyenne des élasticités individuelles sur l’ensemble de l’échantil-lon, ∀j ∈ [1,K] :

εp/xj =1

N

N

i=1

εpi/x

[j]i

(1.29)

1.4. Présentation des modèles dichotomiques en termes de variable latente

Généralement, bien que cela ne soit pas nécessaire on présente les modèles dichotomiques entermes de variables latentes ou inobservée y∗i , la variable observée yi étant alors un indicateurdes valeurs prises par y∗i . Cette référence à une variable latente permet de mieux comprendrel’émergence des modèles dichotomiques à partir de certains problèmes ou de biologie.

L’exemple le plus célébre (repris dans Amemiya 1981) est tiré de la bio-économétrie (n’ou-blions que c’est dans ce domaine que furent proposées les premières applications) celui del’insecticide : on diffuse dans un espace clos un insecticide et l’on cherche à dé terminer la doseminimale permettant de tuer les insectes. Pour cela, on observe au terme d’une période fixéles insectes i morts pour lesquels on adopte le code yi = 0 et ceux encore vivants codés yi = 1.On suppose alors que chaque insecte dispose d’une capacité de résistance propre qui se traduitpar un seuil inobservable de produit, noté y∗i , telle que si la dose de produit est supérieure à ceseuil l’insecte est mort (yi = 0 ), et qu’il reste vivant (mais malade peut être) pour une dose


inférieure (yi = 1). Il s’agit alors de modéliser la probabilité de survie de l’insecte i en fonctionde la dose d’insecticide et des observations faites sur yi. On suppose pour cela qu’un certaindosage γ est diffusé sur l’ensemble des insectes. On voit immédiatement que ce problème peuts’écrire de la façon suivante :

yi =10

si y∗i > γsinon

(1.30)

où la variable latente y∗i peut s’écrire comme la somme d’une combinaison linéaire de carac-téristiques propres à chaque insecte et d’une terme aléatoire.

y∗i = xiβ + εi (1.31)

Si le terme aléatoire εi est distribué selon une loi normale, on retrouve un modèle probit, sice terme est distribué selon une loi logistique on retrouve le modèle logit.

Un autre exemple, toujours tiré d’une étude biologique de Ashford et Sowden (1970), con-cerne la probabilité pour un mineur de contracter une maladie des poumons (événement codéyi = 1) lorsque sa tolérance inobservable, notée y∗i , aux conditions de travail et en particulieraux poussières de charbon est inférieure à certain seuil γ inconnue. On suppose que la toléranceest liée à l’âge du mineur noté xi. De la même façon, ce modèle peut s’écrire sous la forme :

yi =10

si y∗i = β1 + β2xi + εi < γsinon

(1.32)

où εi a une distribution normale ou logistique suivant les modèles. Ici l’événement yi = 1 (mal-adie) apparaît quand la variable latente y∗i est inférieure à un seuil γ.Mais il aurait parfaitementété possible de considérer une variable latente égale à −y∗i et un seuil −θ pour retomber sur unerelation semblable à celle de l’exemple précédent où y∗i > γ. Une autre manière aurait consisterà coder l’événement ”maladie” en 0. Par la suite, nous considérerons un modèle où l’on a yi = 1lorsque y∗i > γ, ce qui permet d’écrire que pi = F (xiβ − γ). En effet, on a bien11 :

pi = Prob (yi = 1) = Prob (y∗i > γ)

⇐⇒ pi = Prob (εi > γ − xiβ) = 1− Prob (εi < γ − xiβ)

⇐⇒ pi = F (xiβ − γ) (1.33)

Dans le cas où γ = 0, on retrouve l’écriture des modèles dichotomiques proposée jusqu’àprésent : pi = F (xiβ) .

Proposition 1.10. Tout modèle dichotomique univarié peut s’écrire sous la formed’une équation de mesure de la forme :

yi =10

si y∗i > γsinon

(1.34)

où γ ∈ R et où la variable latente y∗i inobservable est définie en fonction de carac-téristiques observables xi et d’une perturbation εi i.i.d. 0,σ

2ε :

y∗i = xiβ + εi (1.35)

11On suppose que la loi des perturbations est symétrique f (x) = f (−x) , dès lors on a F (x) = 1− F (−x) .


Ce modèle peut également s’exprimer sous la forme :

pi = Prob (yi = 1) = F (xiβ − γ) (1.36)

où la fonction F (.) désigne la fonction de répartition associée à la loi des perturba-tions εi.

Ainsi, si F (.) = Φ (.) on retrouve le modèle probit et si F (.) = Λ (.) on retrouve le casdu modèle logit. De façon générale, l’équation (1.33) correspond en effet aux définitions desmodèles logit et probit posées dans la section précédente.

A ce stade deux aspects doivent être discutés (Colletaz 2001). Le premier aspect concerne lanormalisation du seuil γ qui évidement ne peut être identifié que si la combinaison linéairexiβ ne comporte pas de terme constant. Si la combinaison linéaire inclut un terme constantet s’écrit sous la forme xiβ = β1 +

Kj=2 xi,jβj , alors il est seulement possible d’estimer la

constante c telle que :

pi = F (xiβ − γ) = F

β1 +K

j=2

xi,jβj − γ

= F

β1 +K

j=2

xi,jβj

Il y a alors indetermination du couple (β1, γ) puisqu’il existe une infinité de couples tels que

β1 = β1 − γ. Deux choses l’une : ou l’on possède une information a priori sur le seuil γ quipermet alors de lever l’indétermination et d’identifier β1, soit l’on impose a priori une contraintesur l’une ou l’autre des paramètres pour identifier l’autre. Dans ce dernier cas, généralement onsuppose γ = 0 ce qui permet d’obtenir l’égalité β1 = β1. Sans perte de généralité, on considèredonc une écriture de la forme :

pi = F (xiβ) (1.37)

Le second aspect du modèle à variable latente concerne la normalisation de la vari-ance des perturbations εi. Partant de la relation (1.37) pour γ = 0, on a pi = F (xiβ) =

Prob (εi < xiβ) et donc ∀λ ∈ R+, on obtient :

pi = Probεiλ<xiβ

λ= Prob εi < xiβ ∀λ > 0 (1.38)

avec β = β/λ et εi = εi/λ, ∀i ∈ (1, N) . En d’autres termes, la détermination de la probabilitépi n’est pas unique par rapport au terme aléatoire εi et au vecteur de paramètres β : à carac-

téristiques (yi, xi) données, une infinité de couples εi,β conduit à une même probabilité pi desurvenue de l’événement codé yi = 1. Cette infinité de couples est définie par la proportionnalité:

εi,β =1

λεi,β ∀λ ∈ R+ (1.39)

Le choix d’une solution unique s’effectue encore une fois en imposant une contrainte soitsur le vecteur des paramètres β, soit sur la loi des perturbations εi, et plus précisément sur leurvariance, la loi étant fixée par le choix du modèle logit ou probit. C’est cette dernière solutionqui est généralement privilégiée. On sait en effet que la variance des résidus εi est égale à π2/3

dans le cadre du modèle logit et que cette variance est égale à l’unité dans le modèle probit. Lesvariances des perturbations étant fixée par le choix de la loi F (.), c’est donc sur le vecteur de


paramètres β que porte l’incertitude puisque les composantes de ce vecteur sont définis à unfacteur λ positif près. Naturellement, cette incertitude est sans conséquence pratique puisquetoute composante non nulle dans le ”vrai” vecteur β a une image dans le β contraint et que parailleurs les deux valeurs étant de même signe cela n’affecte pas la mesure des effets marginaux.

Proposition 1.11. Dans les modèles logit et probit, la variance de l’erreur du mod-èle n’est pas identifiable : elle est normalisée à l’unité dans le cas du probit etest égale à π2/3 dans le cas du logit. Par conséquent, la valeur numérique desparamètres estimés n’a pas d’intérêt en soi dans la mesure où il ne correspondentaux paramètres β de l’équation de la variable latente qu’à une constante multi-plicative près. De plus, le seuil γ n’est pas identifiable car il se confond au termeconstant du vecteur des explicatives xi.

Ainsi, la seule information réellement utilisable est le signe des paramètres, indiquant sila variable associée influence à la hausse ou la baisse la probabilité de l’événement considéré.Le signe des coefficients et le calcul des effets marginaux restent les deux seules informationsdirectement exploitables en ce qui concerne les variables explicatives.

Exemple : afin de mieux comprendre reprenons l’exemple du modèle de Ashford et Sowden(1970), où l’on considère la probabilité pour un mineur de contracter une maladie des poumons(événement codé yi = 1) lorsque sa tolérance inobservable, notée y∗i , aux conditions de travailet en particulier aux poussières de charbon est inférieure à certain seuil γ inconnue. On supposeque la tolérance est liée à l’âge du mineur noté xi par une relation affine.

yi =10

si y∗i = β1 + xiβ2 + εi > γsinon

On suppose que la variance des perturbations i.i.d. εi est égale à σ2i = σ2, ∀i ∈ (1,N) . Dèslors, pour un individu i la probabilité de décès s’écrit sous la forme :

pi = Prob (yi = 1)

= Prob (εi > γ − β1 − xiβ2)= F (β1 − γ + xiβ2) (1.40)

Si l’on considère un modèle probit, les perturbations du modèle doivent suivre une loinormale centrée réduite. La contrainte sur la variance égale à l’unité, impose d’écrire le modèlesous la forme suivante :

pi = Probεiσ>

γ − β1 − xiβ2σ

(1.41)

= Φβ1 − γ

σ+xiβ2σ

(1.42)

= Φ β1 + xiβ2 (1.43)

avec β1 = (β1 − γ) /σ et β2 = β2/σ. Seuls deux paramètres β1 et β2 seront estimés, alors qu’ily a 4 paramètres structurels (β1,β2, γ,σ) . L’adoption d’une normalisation du type γ = 0 etσ = 1 permet alors d’identifier les paramètres β1 et β2.Si l’on considère un modèle logit, on sait que la variance résiduelle doit être égale à π2/3

dès lors que l’on impose le choix d’une loi logistique simple pour les perturbations du modèle.


Ainsi, la contrainte sur la variance résiduelle égale à π2/3, impose d’écrire le modèle sous laforme suivante :

pi = Probπ√3

εiσ>

π√3

γ − β1 − xiβ2σ

= Λπ√3

β1 − γ

σ+

π√3

xiβ2σ

= Λ β1 + xiβ2 (1.44)

avec β1 = π (β1 − γ) /√3σ et β2 = πβ2/

√3σ. En effet, dans ce cas les perturbations normalisées

εi = πεi/σ√3 vérifient la contrainte sur la variance puisque :

E ε2i =π2

3σ2E (εi) =

π2

3

Encore une fois, seuls les paramètres β1 et β2 seront estimés, alors qu’il y a 4 paramètresstructurels (β1,β2, γ,σ) dans le modèle initial. L’adoption d’une normalisation du type γ = 0et σ = 1 permet dans ce cas d’identifier les paramètres β1 et β2.


2. Estimation des Paramètres par laMéthode duMaximum de Vraisem-blance

Considérons le modèle suivant :

Hypothèse On considère un échantillon de N individus indicés i = 1, .., N. Pour chaqueindividu, on observe si un certain évenément s’est réalisé et l’on note yi la variable codéeassociée à évenement. On pose ∀i ∈ [1, N ] :

yi =10

pi = F (xiβ)1− pi = 1− F (xiβ) (2.1)

où xi = x1i ..xKi , ∀i = 1, .., N désigne un vecteur de caractéristiques observables et où

β = (β1...βK) ∈ RK est un vecteur de paramètres inconnus.

On cherche naturellement à estimer les composantes du vecteur β. Dans le cas des mod-èles dichotomiques univariés, plusieurs méthodes d’estimation sont envisageables (GMM parexemple). Toutefois la méthode la plus usitée lorsque la loi des perturbations est connue con-siste en la méthode du maximum de vraisemblance. Nous ne considérerons pas ici le cas desobservations répétées12 .

2.1. Estimation par maximum de vraisemblance

Dans le cas du modèle dichotomique univarié, la construction de la vraisemblance est extrême-ment simple. En effet, à l’événement yi = 1 est associée la probabilité pi = F (xiβ) et àl’événement yi = 0 correspond la probabilité 1 − pi = 1 − F (xiβ) . Ceci permet de considérerles valeurs observées yi comme les réalisations d’un processus binomial avec une probabilitéde F (xiβ) . La vraisemblance des échantillons associés aux modèles dichotomiques s’écrit donccomme la vraisemblance d’échantillons associés à des modèles binomiaux. La seule particularitéétant que les probabilités pi varient avec l’individu puisqu’elles dépendent des caractéristiquesxi. Ainsi la vraisemblance associée à l’observation yi s’écrit sous la forme :

L (yi,β) = pyii (1− pi)1−yi

Dès lors, la vraisemblance associée à l’échantillon de taille N, noté y = (y1, .., yN ) s’écrit dela façon suivante.

Definition 2.1. Pour un modèle dichotomique univarié simple, la vraisemblanceassociée à l’échantillon de taille N, noté y = (y1, .., yN ) , s’écrit sous la forme :

L (y,β) =N

i=1

pyii (1− pi)1−yi =N

i=1

[F (xiβ)]yi [1− F (xiβ)]1−yi (2.2)

Il ne reste plus alors qu’à spécifier la fonction de distribution F (.) pour obtenir la formefonctionnelle de la vraisemblance. Ainsi, ∀xiβ ∈ R dans le cas du modèle logit, on a:12Cas où à chaque valeur des caractéristiques exogènes correspondent plusieurs observations du caractère

qualitatif. Ceci traduit la possibilité de répéter plusieurs fois l’expérience sous les mêmes conditions. Comme lenote Anemiya (1980) ce cas est plus fréquent en biologie qu’en économie.


F (xiβ) =exiβ

1 + exiβ= Λ (xiβ)

alors que pour le probit, on a :

F (xiβ) =xiβ

−∞

1√2πe−

z2

2 dz = Φ (xiβ)

De cette définition, on déduit alors la log-vraisemblance comme suit :

log L (y,β) =N

i=1

yi log [F (xiβ)] + (1− yi) log [1− F (xiβ)] (2.3)

En distinguant les observations yi = 1 et celles pour lesquelles on a yi = 0, la log-vraisemblance peut s’écrire sous la forme :

log L (y,β) =i : yi=1

logF (xiβ) +i : yi=0

log [1− F (xiβ)] (2.4)

L’estimateur du maximum de vraisemblance des paramètres β est obtenu en maximisantsoit la fonction de vraisemblance L (y,β) soit la fonction de log-vraisemblance log L (y,β) .En dérivant la log vraisemblance (équation 2.3) par rapport aux éléments du vecteur β, dedimension (K, 1), on obtient un vecteur de dérivées, noté G (β) , appelé vecteur du gradient.

G (β) =∂ log L (y,β)

∂β=

N

i=1

yif (xiβ)

F (xiβ)xi + (yi − 1)

f (xiβ)

1− F (xiβ)xi

où f (.) est la fonction de densité associée à F (.) et où xidésigne la transposée du vecteur xide dimension (1,K) . En simplifiant, l’expression du gradient, on obtient alors :

G (β) =N

i=1

[yi − F (xiβ)] f (xiβ)F (xiβ) [1− F (xiβ)] xi (2.5)

On peut en outre exprimer le gradient en distinguant les observations yi = 1 et celles pourlesquelles on a yi = 0 :

G (β) =i : yi=1

f (xiβ)

F (xiβ)xi −

i : yi=0

f (xiβ)

[1− F (xiβ)]xi (2.6)

Definition 2.2. L’estimateur β du maximum de vraisemblance du vecteur de paramètreβ ∈ RK dans un modèle dichotomique est défini par la résolution du système de Kéquations non linéaires en β :

β =argmaxβ

[log L (y,β)] (2.7)

⇐⇒∂ log L y,β

∂β=

N

i=1

yi − F xiβ f xiβ

F xiβ 1− F xiβxi = G β = 0 (2.8)


où G (β) désigne le gradient associé à la log-vraisemblance ∂ log L (y,β), évalué aupoint β.Dans le cas du modèle logit, ce système se ramène à :

GL β =N

i=1

yi − Λ xiβ xi = 0 (2.9)

Dans le cas du modèle probit, on a :

GP β =N

i=1

yi − Φ xiβ φ xiβ

Φ xiβ 1− Φ xiβxi = 0 (2.10)

En effet, l’écriture du gradient dans le cas du modèle logit se simplifie en tenant comptede la propriété de la loi logistique selon laquelle, si l’on note λ (x) la densité associée à Λ (x) ,on a la relation suivante : ∀x, λ (x) = Λ (x) [1− Λ (x)] . Dès lors, l’expression (2.5) se simplifiepuisque :

GL (β) =N

i=1

[yi − Λ (xiβ)] λ (xiβ)Λ (xiβ) [1− Λ (xiβ)] xi =

N

i=1

[yi − Λ (xiβ)]xi

Première remarque : comme de façon générale avec la méthode d’estimation du maxi-mum de vraisemblance, l’équation de définition (2.8) peut s’interpréter comme une conditiond’orthogonalité imposée sur les variables explicatives et les résidus généralisés. Cette égalité esten effet l’équivalent empirique d’une condition de la forme E [(xiwi) εi] où εi est le résidu dansle modèle non linéaire yi = F (xiβ) + εi et où wi est une variable de pondération. En effet, sil’on pose :

wi =f (xiβ)

F (xiβ) [1− F (xiβ)] εi = yi − F (xiβ)

alors l’équation (2.8) se réécrit sous la forme :

G (β) =N

i=1

(xiwi) [yi − F (xiβ)] = 0⇐⇒1

N

N

i=1

(xiwi) εi = 0 (2.11)

Cette propriété est particulièrement facile à visualiser dans le cas du modèle logit. Defaçon générale, les estimateurs du maximum de vraisemblance constituent un cas particulier desestimateurs des moments.

Deuxième remarque : le système défini par l’équation (2.8) est non linéaire. L’estimateurβ ne peut être obtenu directement. Un algorithme d’optimisation numérique de la vraisemblanceest donc nécessaire. Comme nous le verrons dans la section suivante, ces algorithmes se fondentà la fois sur le gradient mais aussi sur la matrice hessienne des dérivées secondes. C’est pourquoi,nous allons donné l’expression des gradients et des matrice hessiennes, notées H (β) , dans lecas particulier des modèles logit et probit.

2.1.1. Matrices Hessiennes et Matrices d’information de Fischer

Commençons par définir les matrices hessiennes associée à la log vraisemblance des modèlesdichotomiques univariés.


Definition 2.3. Pour un modèle dichotomique univarié, la matrice hessienne asso-ciée à la log vraisemblance d’un échantillon de taille N, noté y = (y1, .., yN ) , s’écritsous la forme :

H (β)(K,K)

=∂2 log L (y,β)

∂β∂β= −

N

i=1

yi

F (xiβ)2 +

1− yi[1− F (xiβ)]2

f (xiβ)2 xixi

+N

i=1

yi − F (xiβ)F (xiβ) [1− F (xiβ)] f (xiβ)xixi (2.12)

où f (.) désigne la dérivée de la fonction de densité f (.) associée à F (.) .

En effet, en omettant les arguments des fonctions et les indices il vient :

H (β) =∂

∂β

∂ log L (y,β)

∂β=

∂

∂βG (β)

=∂

∂β

N

i=1

(yi − F ) fF (1− F ) xi

=F (1− F )F 2 (1− F )2

∂ [(y − F ) f ]∂β

x− (y − F ) fF 2 (1− F )2

∂ [F (1− F )]∂β

x

En simplifiant, il vient :

H (β) =−f2 + (y − F ) f

F (1− F ) x x− (y − F ) fF 2 (1− F )2 [f (1− F )− Ff ] x x

= − f2

F (1− F ) x x+(y − F ) fF (1− F ) x x−

f2 (y − F )F 2 (1− F ) x x+

f2 (y − F )F (1− F )2 x x

En regroupant les termes en f2 et en f on obtient alors :

H (β) =f2 x x

F 2 (1− F )2 [F (1− F ) + (y − F )F − (y − F ) (1− F )] +(y − F ) fF (1− F ) x x

=f2 x x

F 2 (1− F )2 2 yF − F 2 − y +(y − F ) fF (1− F ) x x

= − f2

F 2 (1− F )2 y (1− F )2 + (1− y)F 2 x x+(y − F ) fF (1− F ) x x

= − y f2

F 2x x− (1− y) f2

(1− F )2 x x+(y − F ) fF (1− F ) x x

En intégrant les indices et les arguments des fonctions F (.) , f (.) et f (.) on retrouve alorsl’expression de la matrice hessienne H (β) donnée dans l’équation (2.12). Attention, il n’existepas d’expression simplifiée dans le cas des modèles logit et probit de la matrice hessienne. Enrevanche, l’espérance de la matrice hessienne, qui intervient dans le calcul de la matrice devariance covariance asymptotique de l’estimateur de maximum de vraisemblance, a une écritureplus simple.

En effet, en partant de l’expression (2.12) de la matrice hessienne de la fonction de logvraisemblance et en considérant que dans le modèle dichotomique on a :

E (yi) = F (xiβ) (2.13)


on peut alors établir que :

E [H (β)] = E∂2 log L (y,β)

∂β∂β= −

N

i=1

E (yi)

F (xiβ)2 +

E (1− yi)[1− F (xiβ)]2

f (xiβ)2xixi

= −N

i=1

1

F (xiβ)+

1

1− F (xiβ) f (xiβ)2 xixi

En effet, le second terme de l’expression (2.12) s’annule lorsque l’on applique l’opérateurespérance. Cette expression peut alors se simplifier comme suit :

E [H (β)] = −N

i=1

f (xiβ)2

F (xiβ) [1− F (xiβ)] xixi

On reconnaît ici bien sûr, l’expression de l’opposé de la matrice d’information de Fischer.

Definition 2.4. Pour un modèle dichotomique univarié, la matrice d’informationde Fischer I (β) s’écrit sous la forme :

I (β) = −E ∂2 log L (y,β)

∂β∂β=

N

i=1

f2 (xiβ)

F (xiβ) [1− F (xiβ)]xixi (2.14)

Dans le cas du modèle logit, cette matrice est définie par :

I (β) =N

i=1

λ (xiβ)xixi =N

i=1

exp (xiβ)

[1 + exp (xiβ)]2xixi (2.15)

Dans le cas du modèle probit, cette matrice est définie par :

I (β) =N

i=1

φ2 (xiβ)

Φ (xiβ) [1− Φ (xiβ)]xixi (2.16)

En effet, dans le cas du modèle logit on a Λ (x) [1− Λ (x)] = λ (x) , dès lors l’expression dela matrice d’information de Fischer se simplifie comme suit :

I (β) =N

i=1

λ2 (xiβ)

Λ (xiβ) [1− Λ (xiβ)] xixi =N

i=1

λ (xiβ)xixi (2.17)

Il nous reste à présent à montrer que si la fonction de log vraisemblance admet un maximumglobal, ce dernier est unique.

2.1.2. Unicité du maximum global de la fonction de log-vraisemblance

Si l’on admet que le maximum global de logL (y,β) existe, la condition suffisante pour que cemaximum soit unique consiste à montrer que la fonction logL (y,β) est concave. Etant donnéel’écriture (2.4) de la log-vraisemblance, il suffit alors de montrer que les fonctions log [F (x)] etlog [1− F (x)] sont concaves.


Dans le cas du modèle logit, les dérivées première et seconde de la fonction log [F (x)] =log [Λ (x)] sont les suivantes :

∂ log [Λ (x)]

∂x=

1

Λ (x)

∂Λ (x)

∂x=(1 + ex)

exex

(1 + ex)2 =

1

1 + ex

∂2 log [Λ (x)]

∂x2=

∂

∂x

1

1 + ex=

−ex(1 + ex)

2 < 0

Les dérivées première et seconde de la fonction log [1− Λ (x)] sont les suivantes :∂ log [1− Λ (x)]

∂x= − 1

1− Λ (x)∂Λ (x)

∂x= −(1 + e

x)

1

ex

(1 + ex)2= − ex

1 + ex= −Λ (x)

∂2 log [1− Λ (x)]∂x2

= −∂Λ (x)∂x

=−ex

(1 + ex)2< 0

Dans le cas du logit, les fonctions log [F (x)] et log [1− F (x)] sont donc strictement concaves,donc la log-vraisemblance logL (y,β) est elle même strictement concave. S’il existe un maximumà cette fonction en β, ce maximum est global. Le même résultat peut être mis en évidence dansle cas du modèle probit.

Proposition 2.5. Dans un modèle dichotomique univarié, la fonction de log-vraisemblancelogL (y,β) est strictement concave, ce qui garantit l’unicité du maximum de cettefonction. Dans la pratique, ce résultat garantit la convergence des estimateurs dumaximum de vraisemblance vers la vraie valeur β0 des paramètres, quel que soit lechoix des conditions initiales et de l’algorithme d’optimisation utilisé.

Comme le note Colletaz (2001), il peut toutefois arriver que l’on observe des difficultésdans la progression de l’algorithme vers la solution. Généralement ces difficultés conduisentà l’affichage de valeurs anormalement grandes, en valeur absolue, pour un ou plusieurs desparamètres du modèle. Ceci correspond au cas de la classification parfaite dans lequel uneou plusieurs combinaisons de variables explicatives permet de prévoir parfaitement la survenueou la non survenue de l’événement considéré. Par exemple, considérons le cas où K > 1, et sipour une variable explicative notée zi = 1 lorsque yi = 1, alors que yi = 1 ou yi = 0 lorsquezi = 0. Dans ce cas, Prob (yi = 1/zi = 1) = 1 quelles que soit les valeurs prises par les autresvariables explicatives xi. Cela contraint l’algorithme à donner une valeur extrêmement forte àla combinaison linéaire βzi + βxi, c’est à dire à donner une valeur théoriquement infinie auvecteur β, de sorte que l’on rencontre alors des problèmes numériques. Le plus souvent, onobservera une valeur estimée de β particulièrement élévée en valeur absolue avec un écart typeassocié tendant vers la nullité. Pour résoudre ce problème, il suffit la ou les variables concernéesainsi que la totalité des observations parfaitement classées, soit celles associées aux observationstelles que zi = 1 et plus généralement aux variables ou aux combinaisons de variables autorisantcette classification parfaite.


2.2. Algorithmes de maximisation de la vraisemblance

Comme nous l’avons vu l’obtention de l’estimateur de maximum de vraisemblance β du vecteurde paramètres β ∈ RK implique de résoudre un système de K équations non linéaires de laforme :

G β =∂ log L y,β

∂β=

N

i=1


F xiβ 1− F xiβxi = 0 (2.18)

avec F (.) = Λ (.) dans le cas du logit et F (.) = Φ (.) dans le cas du probit. Un tel problèmen’admet pas de solution analytique. La résolution d’un tel système ne peut se faire qu’enutilisant une procédure d’optimisation numérique. Les algorithmes utilisées dans les principauxlogiciels d’économétrie sont généralement13 construit selon l’une ou l’autre de ces deux méthodes: la méthode de Newton Raphson et la méthode du score. Nous n’évoquerons ici que la méthodede Newton Raphson.

Les méthodes d’optimisation numérique sont utilisées pour maximiser une fonction f (θ)lorsque la condition du premier ordre ∂f (θ) /∂θ = 0 n’admet pas de solution analytique ; le θoptimal doit être déduit par tatônnement ou par un algorithme itératif. Dès lors, un algorithmeitératif utilise trois principaux éléments :

1. Des valeurs initiales θ0 pour amorcer le processus itératif

2. Une règle de passage d’un vecteur θ au suivant

3. Une règle d’arrêt si il y a convergence

********************************************************* INSERER GRAPHIQUE SUR LA PROCEDURE *********************************************************En ce qui concerne le choix des conditions initiales, ce choix est d’autant plus important

que le critère à maximiser f (θ) est complexe. Dans le cas des modèles dichotomiques, on saitque la fonction f (θ) à maximiser (la vraisemblance ou la log vraisemblance suivant les cas) estglobalement concave : dès lors, on est assuré que l’algorithme converge vers la vraie valeur desparamètre, c’est à dire vers la solution14 unique qui maximise f (θ) , et cela quelles que soientles conditions initiales. Mais même dans ce cas particulièrement favorable, la convergence peutêtre extrêmement longue si les valeurs de départ sont trop éloignées de l’optimum. Pour lesmodèles logit et probit, les logiciels usuels considèrent des valeurs initiales pour l’algorithmede maximisation de la vraisemblance égales aux réalisations des estimateurs obtenus dans lemodèle linéaire :

yi = xiβLP + εi β0 = βLP (2.19)

La règle d’arrêt est généralement du type : arrêter le processus itératif si la variation deθ ou du critère f (θ) entre l’itération actuelle et la précédente est inférieure à une valeur seuil(souvent appelée tolérance).

13 Sous Eviews et LimDep, la méthode utilisée est celle de Newton-Raphson.14 Si cette dernière existe. On admettra l’existence d’un maximum.


Reste à définir la règle de passage d’un vecteur θ au suivant. Une règle de passage consisteà partir des valeurs initiales θ0, à trouver le prochain vecteur des paramètres θ1 tel que :

f (θ1) ≥ f (θ0)et ainsi de suite à la ieme étape :

f (θi) ≥ f (θi−1) (2.20)

Ainsi, on obtient une règle du type :

θi = θi−1 + λi−1Di−1 (2.21)

où λi−1 désigne le pas à l’itération i− 1 et Di−1 est la direction. Di−1 indique la direction quedoivent prendre les composantes du nouveau vecteur θi et ι−1 indique l’amplitude du saut danscette orientation. Dans une méthode du gradient, la direction est déterminée par le gradientde la fonction f (θ) . dans le cas K = 1, si le gradient est positif cela signifie que l’on se situe àgauche de l’optimum : donc on se déplace en augmentant θi > θi−1. En ce qui concerne le pas,on cherche alors λi tel que ∂f (θi + λiDi) /∂λi ≈ 0.

La méthode d’optimisation de Newton Raphson est une méthode du gradient15 qui est no-tamment recommandée lorsque le critère à maximiser est globalement concave, ce qui est le casde la fonction de log vraisemblance dans un modèle dichotomique univarié. Dans cette méthode,la direction est déterminée par le gradient de la fonction f (θ) , noté G (θ) , tandis que le pasest déterminé par le hessien, noté H (θ) . En effet, cette méthode considère un développementlimité de la condition du premier ordre du programme de maximisation de la fonction f (θ).Soit un point solution θi, satisfaisant la condition du premier ordre.

∀i ∂f (θi)

∂θ= G (θi) = 0

On peut alors donner l’expression d’un développement limité autour de ce point θi. Ainsi,pour tout point θi+1, on obtient la relation suivante au voisinage de θi :

G (θi+1) = G (θi) +∂G (θi)

∂θ(θi+1 − θi) = 0

ou encore :G (θi+1) = G (θi) +H (θi) (θi+1 − θi) = 0

On en déduit la relation suivante :

∀i, θi+1 = θi −H (θi)−1G (θi) (2.22)

La méthode de d’optimisation de Newton Raphson ainsi fondé sur cette règle de passage,nécessite le calcul à chaque étape du hessien H (θi) .

Proposition 2.6. Appliqué au problème de maximisation de la vraisemblance d’unmodèle dichotomique, la règle de passage de l’algorithme d’optimisation de New-ton Raphson, entre le vecteur d’estimation βi−1 de la i − 1eme itération et vecteurd’estimation βi de la ieme itération est alors définie par la relation :

βi = βi−1 −∂2 log L (y,β)

∂β∂β β=βi−1

−1∂ log L (y,β)

∂β β=βi−1

(2.23)

15Pour un exposé des méthodes du gradient en général voir Alban 2000, pages 49 et suivantes.


ou encoreβi = βi−1 −H βi−1

−1G βi−1 (2.24)

L’itération est alors arrêté si la variation βi−βi−1 ou la variation du critère log L y,βi −log L y,βi−1 est inférieure à un certain seuil fixé dans le programme. Le dernier estimateur

obtenu βi = β correspond alors à l’estimateur optimal du maximum de vraisemblance. Pour êtreplus précis, il convient de montrer que la suite des βi converge vers l’estimateur du maximumde vraisemblance.

On vérifie immédiatement que si la suite βi converge vers une limite β, cette limite estforcement solution des équations de vraisemblance. En effet, si l’on pose β = lim

i→∞βi, et en

considérant la limite des membres de l’égalité (2.24) on a :

β = β −H β−1G β ⇐⇒ H β

−1G β = 0

La matrice hessienne étant définie positive strictement, on a bienG β = ∂ log L y,β /∂β =

0. Par conséquent, si la suite βi des estimateurs obtenus par l’algorithme de Newton Raphson,convergent vers une quantité β, cette quantité est solution des équations du premier ordre duprogramme de maximisation de la vraisemblance. Autrement dit, si la suite βi converge, elleconverge alors nécessairement vers l’estimateur du maximum de vraisemblance β défini par lacondition :

∂ log L y,β

∂β= G β = 0 (2.25)

Reste maintenant à démontrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance β, quelque soit l’algorithme d’optimisation utilisé, converge vers la vraie valeur β des paramètresdes modèles logit et probit. Etudions pour cela les propriétés asymptotiques du maximum devraisemblance.


3. Propriétés Asymptotiques des Estimateurs duMaximumde Vraisem-blance

Lorsque l’on cherche à établir les propriétés asymptotiques des estimateurs du maximum devraisemblance dans le cadre de modèles dichotomiques, et plus généralement dans le cadrede modèle à variables qualitatives, toute la difficulté réside dans le fait que l’on dispose pasd’expression analytique pour ces estimateurs. En effet, nous avons vu que les équations devraisemblance associées au probit et au logit sont non linéaires dans les paramètres. Dès lors,il n’est pas possible alors d’exprimer les estimateurs, solutions de ces équations, comme desfonctions simples des observations. Nous avons vu qu’il était alors nécessaire de recourir à desalgorithmes d’optimisation numériques. Mais devant l’impossibilité d’écrire les estimateurs dumaximum de vraisemblance comme des fonctions simples des observations, il est alors difficiled’étudier la convergence de ces estimateurs comme nous avions pu le faire dans le cas desmodèles linéaires standard. Il convient ainsi d’adopter une démarche particulière où l’on vachercher à étudier la convergence du critère de maximum de vraisemblance, afin de démontrerla convergence des estimateurs du MV, solutions du programme de maximisation de ce critère.Un certain nombre de rappels sur les différentes notions de convergence sont proposés dans

l’annexe (A.1). Toutefois, la lecture de ces rappels doit nécessairement s’accompagner d’uneétude plus systématique des fondements probabilistes de ces notions16.

3.1. Convergence du Critères de MV

On considère un modèle dichotomique univarié simple :

yi =10

si y∗i ≥ 0sinon

(3.1)

y∗i = xiβ0 + εi (3.2)

avec Prob (yi = 1) = F (xiβ) où F (.) désigne la fonction de répartition de εi, où xi = x1i ..xKi ,

∀i = 1, .., n désigne un vecteur de caractéristiques observables et où β0 ∈ RK est un vecteurde paramètres inconnus. On suppose que l’on dispose d’un échantillon de n individus indicési = 1, .., n.

Nous avons vu précédemment que l’estimateur β du maximum de vraisemblance du vecteurde paramètre β0 dans ce modèle dichotomique est défini par la résolution du système de Kéquations non linéaires en β. En effet, si l’on pose :

β =argmaxβ

[log L (y,β)] (3.3)

où la fonction log L (y,β) est définie par l’équation (2.3) :

log L (y,β) =n

i=1


16Voir par exemple, ”Méthodes Statistiques”, Philippe Tassi, Economica 1989


on vérifie que la condition nécessaire de ce programme s’écrit :

∂ log L y,β

∂β=

n

i=1


F xiβ 1− F xiβxi = G β = 0 (3.5)

où G (β) désigne le gradient associé à la log-vraisemblance ∂ log L (y,β), évalué au point β. Ontrouve alors un système de K équations non linéaires.

Ainsi, nous ne pouvons pas obtenir d’expression analytique de l’estimateur β du maximum devraisemblance. Dès lors, la question qui se pose est de savoir comment montrer que l’estimateurβ est convergent. Autrement dit, il s’agit de savoir comment établir le résultat suivant ?

βp−→

n→∞ β0 (3.6)

où β0 désigne la ”varie” valeur des paramètres β. En effet, tout le problème consiste à établirune propriété de convergence de l’estimateur sans disposer d’une expression analytique de celui-ci. Tout ce que l’on sait pour l’instant, c’est que si la fonction de log-vraisemblance dans lesmodèles logit et probit admet un maximum, ce maximum est unique, puisque nous avons montréque la fonction log L (y,β) est dans ces deux cas concave.

3.1.1. Convergence d’estimateurs dans les modèles non linéaires

Pour résoudre ce problème, nous allons tout d’abord exposer une méthode générale permettantd’établir la convergence d’estimateur dans des modèles non linéaires. Considérons le problèmesuivant. On cherche à minimiser en θ un critère Cn (y, θ) :

minθ

Cn (y, θ) (3.7)

sous θ ∈ Θ (3.8)

Ce critère Cn (y, θ) peut être soit celui somme des carrés des résidus (critère des MCO), soitcelui de la somme des carrés pondérés (critère des MCG), etc.. De façon générale, ce critèrecorrespond à la classe des M-estimateurs. Soit θ0 le vrai vecteur de paramètres permettantde minimiser le critère et soit y un vecteur de variables endogènes observables. On considèreun M-estimateur quelconque noté θn défini par :

θn =argminθ

[Cn (y, θ)] (3.9)

On cherche alors à établir que cet estimateur est convergent et cela sans spécifier le critèreCn (y, θ). La convergence de θn se traduit par la relation :

θnp.s.−→n→∞ θ0 (3.10)

Pour établir ce résultat on a besoin de faire trois hypothèses :

Hypothèse 1 θ ∈ Θ, Θ ∈ RK compact.


Hypothèse 2 Le critère Cn (y, θ) converge presque sûrement et uniformément par rapport àθ vers une fonction C∞ (θ, θ0)

Cn (y, θ)p.s.−→n→∞ C∞ (θ, θ0) (3.11)

Hypothèse 3 La fonction C∞ (θ, θ0) admet un minimum unique en θ = θ0 :

∀θ ∈ Θ, C∞ (θ0, θ0) ≤ C∞ (θ, θ0)

L’idée de la démonstration du résultat (3.10) est alors la suivante. On considère la suite

des estimateurs θn définie sur un ensemble compact. On sait que toute suite définie sur un

ensemble compact admet au moins une valeur limite. Soit θL une des valeurs d’adhérence de

la suite θn . Il suffit alors de montrer que cette valeur d’adhérence est unique et correspond

à la vraie valeur θ0 des paramètres du modèle.

Soit θL une des valeurs d’adhérence particulière de la suite θn . Il existe alors une sous

suite θL

n qui converge vers θL.

θL

np.s.−→n→∞ θL

Sachant que le M-estimateur θn minimise le critère Cn (y, θ) , on a par construction Cn y, θn ≤Cn (y, θ) , ∀θ ∈ Θ. Ce résultat vaut aussi pour la sous suite θ

L

n . Par conséquent :

∀θ ∈ Θ Cn y, θL

n ≤ Cn (y, θ)

Cette inégalité est en particulier valable pour la valeur θ0 ∈ Θ :

Cn y, θL

n ≤ Cn (y, θ0) (3.12)

Considérons à présent la limite en probabilité des termes de droite et de gauche de cetteinégalité. Pour cela, on utilise le résultat de convergence suivant :

fn (.)p.s.

−→n→∞ f (.)

xp.s.−→n→∞ x0

=⇒ fn (xn)p.s.

−→n→∞ f (x0)

Sachant que θL

n converge vers θL, et que sous l’hypothèse 2 le critère Cn (y, θ) converge

vers C∞ (θ, θ0), on montre que la limite en probabilité du terme de gauche de l’inégalité (3.12)peut s’écrire sous la forme suivante :

Cn y, θL

np.s.−→n→∞ C∞ θ

L, θ0 (3.13)

De la même façon, on montre que le terme de droite de l’inégalité (3.12) converge en prob-abilité vers la quantité suivante :

Cn (y, θ0)p.s.−→n→∞ C∞ (θ0, θ0) (3.14)

Dès lors on obtient l’inégalité suivante définie sur les limites des critères :

C∞ θL, θ0 ≤ C∞ (θ0, θ0) (3.15)


Sachant que sous l’hypothèse 3, θ0 est la seule valeur qui assure le minimum global de lafonction C∞ (θ, θ0), c’est à dire que ∀θ ∈ Θ on a C∞ (θ0, θ0) ≤ C∞ (θ, θ0), on en conclut queθL correspond nécessairement à θ0 :

θL = θ0 (3.16)

En d’autres termes, la sous suite θL

n converge vers la vraie valeur θ0 des paramètres.

Donc par conséquent, la suite θn converge elle aussi vers la vraie valeur θ0 des paramètres.

θnp.s.−→n→∞ θ0 (3.17)

On ainsi réussi à démontrer la convergence de notre M-estimateur θn vers la vraie valeur desparamètres θ0. Appliquons à présent cette méthode dans le cas de l’estimateur du maximumde vraisemblance dans le cadre des modèles dichotomiques univariés.

3.1.2. Application aux modèles Logit et Probit

Dans le cas d’un modèle dichotomique simple (logit ou probit), l’estimateur βn (noté aussi β)du maximum de vraisemblance du vecteur de paramètre β est défini par la maximisation d’uncritère Cn (y,β0) qui correspond, bien évidemment à la log vraisemblance du modèle (équation2.3) :

βn =argmaxβ

Cn (y,β) (3.18)

où l’on pose17

Cn (y,β) =1

nlog L (y,β) =

1

n

n

i=1


où F (.) désigne une fonction de répartition. On note β0 la vraie valeur des paramètres. Onsuppose que l’hypothèse 1 est vérifiée, c’est à dire que β ∈ Θ, Θ ∈ RK compact. Reste à établirque les hypothèses 2 et 3 sont valides.

Montrons que tout d’abord que le critère CN (y, θ) converge presque sûrement et uniformé-ment par rapport à θ vers une fonction C∞ (θ, θ0) , c’est à dire que :

Cn (y, θ)p.s.−→n→∞ C∞ (θ, θ0)

Dans notre cas, on sait que

Cn (y,β) =1

n

n

i=1

yi logF (xiβ) + (1− yi) log [1− F (xiβ)]

=1

n

n

i=1

yi logF (xiβ) +1

n

n

i=1

(1− yi) log [1− F (xiβ)] (3.20)

Etudions la convergence des différents éléments de cette somme. On suppose que les variablesxi sont aléatoires. Sous certaines hypothèse de régularités, on sait que :

1

n

n

i=1

yi logF (xiβ)p−→

n→∞ E yi logF (xiβ)

17Afin de simplifier les calculs, on pose que Cn (y,β) = (1/N) log L (y,β) . On aurait pu assimiler le critèredirectement à la log vraisemblance. Quoiqu’il en soit ces deux définitions du critère laissent inchangée ladéfinition de l’estimateur du maximum de vraisemblance β.


1

n

n

i=1

(1− yi) log [1− F (xiβ)] p−→n→∞ E (1− yi) log [1− F (xiβ)]

Or si l’on note Ex l’espérance conditionnelle à xi, on a :

E [yi logF (xiβ)] = Ex E [yi logF (xiβ)] / xi= Ex [E (yi/xi) . logF (xiβ)]

en appliquant la loi de Bayes, on sait que :

h (y, θ) = f (y/θ) g (θ) = g (θ/y) f (y) (3.21)

où h (.) désigne la densité jointe de y et de θ, et où f (.) et g (.) désignent suivant les cas lesdensités marginales et conditionnelles des v.a.r. y et θ. On en déduit le théorème de Bayes :

g (θ/y) =f (y/θ) g (θ)

f (y)(3.22)

*********************************** Finir Demonstration ****************************************

Donc finalement, on a :

1

nlog L (y,β)

p.s.−→n→∞

n

i=1

F (−xiβ0) log [F (xiβ0)]+ [1− F (−xiβ0)] log [1− F (xiβ0)] = L∞ (y,β)

3.2. Lois et variance asymptotiques de l’estimateur de MV

Nous avons vu précédemment que la fonction de vraisemblance des échantillons associés auxmodèles logit et probit était concave. Par conséquent, si la solution des équations de vraisem-balance existe, cette solution est unique et correspond bien au maximum de la focntion de logvraisemblance. Nous avons vu en outre, dans la section précédente, que sous certaines condi-tions, l’estimateur du maximum de vraisemblance ainsi obtenu est convergent. Dès lors, nousallons à présent nous intéresser à la loi asymptotique de ce estimateur ainsi qu’à sa varianceasymptotique.

Pour garantir à la fois la convergence et la normalité asymptotique des estimateurs dumaximum de vraisemblance dans les modèles logit et probit, un certain nombre de conditionsdoivent être validées (cf. Amemiya 1985, Greene 1997). Deux approches sont retenues suivantque l’on suppose que les variables explicatives sont des variables aléatoires continues ou desvariables déterministes. Dans le cas de variables explicatives aléatoires continues, les conditionsse ramènent à imposer l’indépendance des xi, la même distribution pour tous les xi i = 1, ..N ,en admettant l’existence de moments d’ordre suffisant (Amameyia 1976). Dans le cas de vari-ables explicatives déterministes, les conditions imposent alors aux valeurs xi d’être bornées :∃m > 0 et ∃M < ∞, tels que m < xki < M, ∀k ∈ R, ∀i = 1, .., N, et cela de sorte à as-surer que la matrice de variance covariance asymptotique existe (Gourieroux et Monfort 1981).Nous supposerons ici que nous avons des variables explicatives aléatoires et que les conditionscorrespondantes sont satisfaites.


Proposition 3.1. Sous certaines conditions, l’estimateur du maximum de vraisem-blance β est convergent et suit asymptotiquement une loi normale de moyenneégale à la vraie valeur β0 des paramètres et de matrice de variance covariance égaleà l’inverse de la matrice d’information de Fischer I (β0) évaluée au point β0 :

√N β − β0

L−→N→∞

N 0, I (β0)−1 (3.23)

avec

I (β0) = −E∂2 log L (y,β)

∂β∂β β=β0

=N

i=1

f2 (xiβ0)

F (xiβ0) [1− F (xiβ0)]xixi (3.24)

Nous avons vu précédemment que la matrice d’information de Fischer peut se simplifiernotamment dans le cas du modèle logit. En effet, dans le cas où F (.) = Λ (.) , on a :

I (β) =N

i=1

λ (xiβ)xixi =N

i=1

exp (xiβ)

[1 + exp (xiβ)]2xixi

Dans le cas du modèle probit, il n’y a pas de simplification particulière.

I (β) =N

i=1

φ2 (xiβ)

Φ (xiβ) [1− Φ (xiβ)]xixi

L’idée de la démonstration18 de cette propososition est la suivante. Si l’on note G (β) =∂ logL (.) /∂β le vecteur de gradient et H (β) = ∂2 logL (.) /∂β∂β la matrice hessienne, onsait que l’estimateur du maximum de vraisemblance satisfait la condition du premier ordre

G β = 0. Considérons un developpement limité à l’ordre 1 autour de cette condition autour

de la vraie valeur des paramètres β0. En ometant les termes de degré supérieurs à 2, il vient :

G β = G (β0) +H (β0) β − β0 = 0

En prémultipliant cette égalité par H (β0)−1 , on obtient β − β0 = −H (β0)−1G (β0) , ce

qui peut se réecrire sous la forme :

√N β − β0 = − 1

NH (β0)

−1 √Ng (β0)

où le vecteur g (β0) de dimension (K, 1) est défini par :

g (β0)(K,1)

=1

N

Ni=1 ∂ logL (yi,β) /∂β1

..Ni=1 ∂ logL (yi,β) /∂βK−1Ni=1 ∂ logL (yi,β) /∂βK

(3.25)

En supposant que chaque composante (1/N) Ni=1 ∂ logL (yi,β) /∂β1 est i.i.d, on alors appli-

quer le théorème central limite à g (β0) . Parallèlement, si l’on applique une loi des grands

nombres à H (β0) /N, on montre finalement que la quantité√N β − β0 a une distribution

normale de moyenne 0 et de matrice de variance covariance −E [H (β0)] .

18Pour une dsitribution rigorueuse voir le cours de A. Holly (1999).


Une remarque doit être faite ici concernant la matrice de variance covariance asympotique deβ, notée Vas β = I (β0)

−1 . Naturellement, cette matrice de variance covariance dépend de lavraie valeur du paramètre β0 qui est par définition inconnue. Dès lors, on retient généralement

comme estimateur de la matrice de variance covariance asympotique la matrices I β−1dans

laquelle la vraie valeur des paramètres β0 a été remplacée par son estimateur β.

Vas β = I β−1= −E ∂2 log L (y,β)

∂β∂β β=β

−1(3.26)


4. Méthodes d’Estimation non Paramétriques

Un des problèmes qui peut se poser lors de la phase d’estimation des paramètres des modèlesdichotomiques19 par maximum de vraisemblance provient de l’hypothèse que l’on fait sur ladistribution des résidus du modèle. Considérons le modèle dichotomique suivant :

yi =10

si y∗i = xiβ0 + εi ≥ 0sinon

où εi est une perturbation i.i.d. 0,σ2ε . Lorsque l’on cherche à estimer les paramètres β0par maximum de vraisemblance, on postule une certaine distribution pour les termes εi. Onconsidère par exemple une distribution logistique dans le cas d’un modèle logit et une distrib-ution normale dans le cas d’un probit. Or, rien ne garantit a priori que cette distribution quel’on utilise pour construire la vraisemblance de l’échantillon corresponde réellement à la ”vraie”distribution des perturbations εi. Naturellement, une erreur sur la distribution des termes εiconduit alors nécessairement à une estimation du maximum de vraisemblance non efficace desparamètres β0.

Une des solutions pour se prémunir contre ce risque de mauvaise spécification de la loi desperturbations du modèle, consiste tout à s’afranchir de toute de hypothèse sur la distributionparamétrique des résidus dans la phase d’estimation des paramètres β0. On parle alors deméthodes d’estimation non paramètriques. Nous ne présenterons ici que les méthodes duscore maximum et une méthode semi-paramétrique (Alban 2000).

4.1. La méthode du score maximum

Commençons par définir l’estimateur du score maximum.

Définition L’estimateur du score maximum est obtenu par la maximisation, parrapport au vecteur β ∈ RK , d’un critère constitué du nombre de fois où xiβ > 0lorsque yi = 1 et du nombre de fois où xiβ < 0 lorsque yi = 0 :

βs =argmaxβ

1

N

N

i=1

Iyi=1Ixiβ>0 + Iyi=0Ixiβ<0 (4.1)

où Ix désigne la fonction indicatrice.

L’idée générale de cette méthode est la suivante. On sait que la probabilité associée àl’événment yi = 1 est définie par pi = Prob (εi < xiβ) = F (xiβ) . En d’autres termes, on ayi = 1 quand l’inégalité εi < xiβ est vérifiée. Si l’on considère à présent des valeurs de εisuffisament faibles relativement à xiβ, cette relation peut être approximée de la façon suivantexiβ − εi xiβ > 0. Ainsi, on doit observer yi = 1 quand xiβ est positif, si tant ait que l’ondispose de la vraie valeur β0 du vecteur β. Parralèment, on doit observer yi = 0 quand xiβ estnégatif. En termes de probabilités on obtient les approximations suivantes :

Prob (yi = 1) Prob (xiβ > 0)

19Problème qui n’est pas spécifique aux modèles à variable explicative dichotomique.


Prob (yi = 0) Prob (xiβ ≤ 0)Le critère du score maximum consiste alors à maximiser en β la fréquence empirique (le

score) des évements (yi = 1) et (xiβ > 0) .

Une autre interprétation de la méthode du score est qu’elle compare le signe de la prédiction,c’est à dire le signe de xiβ, avec celui de la variable transformée δi = 2yi−1 qui prend la valeur-1 quand yi = 0 et la valeur 1 quand yi = 1. On compare donc une valeur observée δi qui estpositive quand l’événement yi = 1 se réalise avec la quantité xiβ, qui pour la vraie valeur β0du vecteur β, doit elle aussi être positive quand l’événement yi = 1 se réalise. Ainsi, le critèredu score maximum peut s’écrire sous la forme :

βs =argmaxβ

1

N

N

i=1

δisgn (xiβ) (4.2)

où la fonction sgn(z) est définie de la façon suivante :

sgn (z) =

10−1

si z > 0si z = 0si z < 0

Le principal avantage de cette méthode du score maximum est qu’elle ne nécessite aucunehypothèse sur la distribution des résidus εi. Mais cet avantage constitue en outre sa principalelimite. En effet, puisque l’on ne construit aucune vraisemblance pour obtenir l’estimateur βset puisque le critère à maximiser n’est pas continument différentiable, le calcul des principalesstatistiques de tests sur cet estimateur ne peut pas se faire avec les techniques usuelles. Parexemple, les écarts types associés au vecteur βs ne peuvent pas être calculés à partir des formulesusuelles, fondées par exemple sur la dérivée seconde d’une fonction critère continue (fonctionde log-vraisemblance dans le cas de l’estimateur du MV). Une possibilité consiste à calculer lesestimateurs des variances des estimateurs βs par des méthodes de bootstrap (Greene 1997).

Ainsi, l’information fournie par la méthode du score minimum est limitée, et de plus l’esti-mateur βs est généralement inefficace par rapport à l’estimateur du maximum de vraisemblance.De plus, son exploitation est elle aussi très limitée : il n’est par exemple pas possible de calculerles effets marginaux associées aux variables explicatives sans postuler une hypothèse sur la dis-tribution F (.) . De plus, le fait de ne pas imposer de dsitribution a priori n’assure aucunementque l’estimation sera plus précise ou que les prévisions seront plus satisfaisantes. C’est pources raisons que se sont développées des méthodes intermédiaires : les méthodes d’estimationsemi-paramétrique.

4.2. Estimation semi-paramétrique

L’idée des méthodes semi-paramétrique dans ce contexte (Klein et Spady 1993) consiste toutsimplement à séparer le modèle en deux : une partie paramétrique correspondant au scalairexiβ et une partie non paramétrique correspondant à la fonction de répartition F (.) .

Dans un modèle dichotomique simple, nous avons vu que l’on l’égalité pi = E (yi) dès lorsque le modèle s’écrit sous la forme pi = Prob (yi = 1) . De façon plus précise, on obtient donc


l’égalité suivante :pi = E (yi|xi) = F (xiβ) (4.3)

Ainsi, décrire l’espérance conditionnelle de yi sachant xi revient en fait à décrire la fonctionde répartition F (.), que l’on cherche à maximiser en β. On définit r (xi) , appelée fonction delien, cette espérance conditionnelle :

r (xi) = E (yi|xi) =∞

−∞yif (xi, xi)

f (xi)dyi (4.4)

La démarche est alors la suivante : on cherche dans un premier temps à estimer la fonctionde lien r (z) , qui n’est autre que la fonction de répartition F (z) . Une fois que l’on disposed’un estimateur de F (z), noté F (z), en tout point z, il suffit d’écrire la log-vraisemblance del’échantillon en fonction de la loi estimée F (xiβ) , et de maximiser cette quantité par rapportà β pour obtenir un estimateur βsp.

Comment estimer cette fonction de lien, qui correspond en fait la fonction de répartitionF (z) ? On utilise ici une méthode non paramétrique fondateur sur un estimateur à noyau.Sans le démontrer, on admettra le résultat suivant :

Proposition 4.1. La probabilité associée à l’observation yi en tout point x0i peutêtre estimée par la moyenne pondérée :

r x0i =

N

i=1wi x

0i yi

N

i=1wi (x0i )

(4.5)

où la pondération wi x0i est définie par la relation :

wi x0i = K

xi − x0ih

(4.6)

où K (.) désigne un opérateur noyau et h une fenêtre.

Ainsi, cette proposition nous permet de reconstruire toute la fonction de répartition F (xi)en appliquant la formule (4.5) pour chaque observations xi, i = 1, .., N. On dispose alors d’unesuite de N réalisations d’un estimateur F (xiβ) pour une valeur donnée du vecteur β.

L’opérateur noyauK (.) , ou kernel, fournit une mesure de la distance entre le point considéréxi0 et n’importe quel autre point xi de l’échantillon. Plus la distance est importante, plus l’onattribue une faible valeur à la pondération, donc plus la valeur du kernel est faible. C’est unefonction continue, symétrique autour de zéro, intégrant à 1, et nulle pour de grandes valeurs deson argument. Les fonctions kernel les plus souvent utilisées sont les suivants :Sur la figure (4.1) ont été reportées les valeurs de ces différentes fonctions, ce qui permet de

visualer la décroissance du poids accordé aux observations éloignées du point central x0i .Le paramètre h de la pondération (4.6) est appelé fenêtre (ou bandwidth parameter) sert

à calibrer la distance entre xi et xi0, en pénalisant plus ou moins les poids éloignés de xi0.Plus h est petit, plus l’opérateur wi (xi0) privilégie les points proches de xi0. Un exemple devaleur de la fenêtre correspond à h = 0.15 (xv − xu) où xv − xu désigne l’écart maximal entreles observations (upper moins lower). Naturellement, il convient d’évaluer l’impact de ce choixsur l’estimateur de β en faisant varier h.


Tableau 4.1: Définition des Principales Fonctions Kernel

Noyau DéfinitionGaussien K (x) = 1√

2πexp −x2/2

Epanechnikov K (x) = 34 1− x2 .I|x|≤1

Triangulaire K (x) = (1− |x|) .I|x|≤1Uniforme K (x) = 1

2 .I|x|≤1

Figure 4.1: Fonctions Kernel K (x) Usuelles

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

EpanechnikovTriangulaireUniformeGaussienne

Remarque Dans le cas des estimateurs semi-paramétriques, le choix de la fenêtreh permet d’arbitrer entre le biais de l’estimateur non paramétrique et sa vari-ance. Une fenêtre petite fournira un biais plus faible mais un estimateur moinsefficace (de plus grande variance), alors qu’une fenêtre plus large s’approcherade l’estimation par les moindres carrés linéaires dans lesquels tous les pointssont pris en compte avec la même pondération.

En résumé, l’approche semi-paramétrique consiste à construire un estimateur à noyau dela vraisemblance évalué pour une valeur quelconque de β, et à maximiser cette fonction pourobtenir l’estimateur semi-paramétrique noté βs. La construction de l’estimateur à noyau defonction de log-vraisemblance se réalise de la façon suivante. Pour une valeur quelconqueβ ∈ RK , les étapes de la construction sont les suivantes :

1. Première étape : On estime pour le premier individu (i = 1), la fonction de lien au


voisinage du point z01 = x1β pour la valeur retenue de β.

r z01 =

N

i=1wi z

01 yi

N

i=1wi (z01)

avec wi z01 = Kzi − z01h

Dans le cas d’une fonction kernel gaussienne, on a par exemple ∀i = 1, ..,N :

Kzi − z01h

=1√2πexp −1

2

zi − z01h

2

=1√2πexp −1

2

xiβ − x1βh

2

On obtient ainsi une estimation de la fonction de répartition F z01 = r z01 au pointz01 = x1β. On répète alors l’opération pour les N individus, j = 1, .., N, et ce faisant onobtient N réalisations d’un estimateur à noyau F (xjβ) de la fonction de répartition F (.)évaluée aux N points z0j = xjβ conditionnellement à la valeur β.

∀j = 1, .., N r z0j =

N

i=1wi z

0j yi

N

i=1wi z0j

avec wi z0j = K

zi − z0jh

2. Deuxième étape : A partir des N réalisations de l’estimateur à noyau F (xjβ) on con-struit un estimateur de la fonction de log vraisemblance du modèle associée à l’échantillony = (y1, y2, ..., yN ) :

log L (y,β) =N

i=j

yj log F xjβ0 + (1− yj) log 1− F xjβ

0 (4.7)

On peut ainsi finallement obtenir une valeur estimée de la log-vraisemblance log L (y,β)pour toute valeur du vecteur β ∈ RK .

Il ne reste plus alors qu’à maximiser la fonction log L (y,β) en β. Pour cela on utilisera uneprocédure numérique d’optimisation (par exemple une méthode du gradient Newton Raphson)qui à partir d’une condition initiale sur β permettra d’obtenir l’estimateur semi-paramétriqueβs :

βs =argmaxβ

log L (y,β) (4.8)

Généralement, la condition initiale choisie dans les algorithmes d’optimisation, notée β0,

correspond à un estimateur simple comme par exemple l’estimateur du score maximum ou unestimateur des MCO :

β0 = βs =argmaxβ

1

N

N

i=1

Iyi=1Ixiβ>0 + Iyi=0Ixiβ<0


4.3. Comparaison des estimateurs paramétriques, non paramétriques et semi paramétriques

****************************************************** INSERER Programme Matlab et Résultats ***********************************************************


5. Tests de Spécification et Inférence

Comment tester le modèle dichotomique ? Comment tester les paramètres de ce modèle ?Autant de questions auxquelles nous allons à présent tacher de répondre. Nous commenceronspar évoquer les tests d’hypothèse sur les coefficients, puis dans une seconde sous section nousenvisagerons les principaux tests de spécification sur les modèles dichotomiques.

5.1. Tests d’hypothèse sur les paramètres

Les différentes méthodes d’estimation présentées précédemment conduisent à des estimateursasymptotiquement normaux lorsque le nombre d’observations tend vers l’infini. Il est doncfacile d’utiliser ces divers estimateurs pour construire des procédures de tests dont certainesseront asymptotiquement équivalentes. Nous présentarons ici les principales procédures de testà partir de la méthode d’estimation du maximum de vraismeblance qui est la plus souventutilisée. On retouve alors la trilogie :

1. Test de Wald

2. Test du score ou multiplicateur de Lagrange : LM (Lagrange Mulitplier)

3. Test du rapport des maxima de vraisemblance : LRT (Likelihood Ratio Test)

On rappelle que ces trois tests sont asymptotiquement équivalents, ce qui implique qu’ilspeuvent notamment se contredire sur poetits échantillons. De plus, leur distribution n’étantvalide qu’asympotitquement, il convient d’être prudent dans leur utilisation sur de petits échan-tillons. On sait en outre que le test LRT est localement le plus puissant et que donc il devraitêtre a priori préféré. Nous n’envisagerons ici que le cas d’un test bidirectionnel20 sur un coeffi-cient ou sur un ensemble de coefficients.

5.1.1. Test de Wald

On considère le test H0 : βj = a contre H1 : βj = a où βj désigne la jeme composante du

vecteur de paramètres β = (β1 , ..,βK) ∈ RK d’un modèle dichotomique. L’idée du test deWald est d’accepter l’hypothèse nulle si l’estimateur non contraint βj de βj est proche de a.La stratistique de test est une mesure bien choisie de la proximité de βj − a à zéro.

On sait que dans la formulation générale d’un test de contraintes de type H0 : g (β) = r, oùr est un vecteur de dimension (c, 1) , on a le résultat suivant :

g β − r GV β G g β − r L−→N→∞

χ (c)

20Le passage à un test unidirectionnel tel que H0 : β = a contre H1 : β > a peut se faire simplment enconsidérant les statistiques des test bidirectionnels et en adaptant la valeur critique.Pour un test de Wald surun seul coefficient, l’intervalle d’acceptation à 5% est [−1.96, 1.96] pour un test H1 : β = a alors qu’il devient]−∞, 1.96] pour le test H1 : β > a .


où β désigne l’estimateur du maximum de vraisemblance non contraint, avec G = ∂g (.) /∂β ,

et V β l’estimateur de la matriuce de variance covariance des coefficients. Dans le cas qui

nous intéresse, on a g (β) = βj et r = a. Le vecteur G, de dimension (K, 1) , comporte K − 1zéros et 1 à la jeme position. Ainbis, on obtient le résultat suivant :

Definition 5.1. La statistique du test de Wald associée au test unidirectionnel H0 :βj = a contre H1 : βj = a admet la loi suivante sous H0 :

βj − a (vjj)−1 βj − a =

βj − a2

vjj

L−→N→∞

χ2 (1) (5.1)

où vjj désigne l’estimateur de la variance de l’estimateur du jjeme

coefficient βj.

Ainsi, si l’on note χ295% (1) le quantile à 95% de la loi χ2 (1) , le test de Wald au seuil de 5%

de l’hypothèse H0 consiste à accepter H0 si βj − a2

/vjj est inférieur à χ295% (1) , et à refuser

H0 si cette quantité est supérieure à χ295% (1) .

La plupart des logiciels (sauf SAS) ne propose pas cette statistique de Wald, mais unestatistique zj définie comme la racine carré de la précédente. Compte tenu du lien entre la loinormale centrée réduite et la loi du Chi2 à un degré de liberté, on a immédiatement sous H0 :

zj =βj − avjj

L−→N→∞

N (0, 1) (5.2)

et en particulier pour un test de nullité H0 : βj = 0, on retrouve :

zj =βj

vjj

L−→N→∞

N (0, 1) (5.3)

5.1.2. Tests du rapport des maxima de vraisemblance

Dans le cas des modèles dichotomiques, on peut appliquer sans difficulté particulière la logiquedu test du rapport des maxima de vraisemblance. Ainsi, on estime le modèle non contraintet d’autre part le modèle contraint : soient βj et β

c

j les deux estimations ainsi obtenues. Lastatistique LRT correspond alors tout simplemnt à l’écart des log-vraisemblance:

Definition 5.2. La statistique LRTj du test du rapport des maxima de vraisemblanceassociée au test unidirectionnel H0 : βj = a contre H1 : βj = a admet la loi suivantesous H0 :

LRTj = −2 logL y,βj − logL y,βc

jL−→

N→∞χ2 (1) (5.4)

où βj et βc

jdésignent respectivement les estimateurs non contraint et contraint deβj.

Naturellement si l’on note χ295% (1) le quantile à 95% de la loi χ2 (1) , le test du rapportdes maxima de vraisemblance au seuil de 5% de l’hypothèse H0 consiste à accepter H0 siLRTj < χ295% (1) , et à refuser H0 si LRTj > χ295% (1) . Cette porcédure est asymptotique-ment équivalente à celle d’un test de Wald.


Dans le cas d’un test portant sur plus d’un paramètre, on utilise la statistique suivante

LRT = −2 logL y,β − logL y,βc L−→

N→∞χ2 (r) (5.5)

où r désigne le nombre de restrictions imposées sur les paramètres, et où β et βcdésigne les

estimateurs respectivement non contraint et contraint du vecteur complet β.

5.1.3. Test du score ou du multiplicateur de Lagrange

Le principe de ce test est le suivant. On sait que si l’hypothèse nulle est satisfaite, les deuxestimateurs non contraint βj et contraint β

c

j doivent relativement proches l’un de l’autre, et quedonc la même propriété doit être vérifiée pour le vecteur des des conditions du premier ordrede la maximisation de la log varisemblance.

Definition 5.3. La statistique LMj du test du multiplicateur de Lagrange associéeau test unidirectionnel H0 : βj = a contre H1 : βj = a admet la loi suivante sous H0 :

LMj =∂ logL (y,β)

∂β β=βc

I−1∂ logL (y,β)

∂β β=βc

L−→N→∞

χ2 (1) (5.6)

où βj et βc

jdésignent respectivement les estimateurs non contraint et contraint deβj.

L’estimateur I de la matrice d’iinformation de Fischer peut être obtenu par :

I =N

i=1

∂ logL (yi,β)

∂β β=βc

∂ logL (yi,β)

∂β β=βc

et où∂ logL (y,β)

∂β β=βc=

N

i=1

∂ logL (yi,β)

∂β β=βc

5.2. Tests de spécification des modèles dichotomiques

Reste à présent à étudier les tests de spécifications qui permettent d’évaluer la qualité del’ajustement par les modèles dichotomiques. Plusieurs solutions peuvent être adoptées à ceniveau pour comparer les différents modèles : comparaison tant au niveau du choix de lafonction F (.) qu’au niveau du choix des variables explicatuves xki . Par la suite, on notera

F (xiβ) la quantité F xiβ . Les différents critères présentés ici sont comme des fonctions de

perte et il ne faut pas croire trouver un critère optimal pour chaque situation.

Nombre de prédictions fausses : le critère s’écrit sous la forme

Nombre de fausses prédictionsN

i=1

(yi − yi)2 (5.7)

où yi = 1 si F (xiβ) ≥ 1/2 et yi = 0 si F (xiβ) < 1/2. Cette quantité donne le nombre defausses prédictions puisque (yi − yi)2 si seullement yi = yi : c’est à dire dans le cas où yi = 1


alors que yi = 0, ou dans le cas où yi = 0 alors que yi = 1. Ce critère est souvent utilisé enanalyse discriminante. Le problème avec ce critère est que l’on considère de la même façonun individu ayant une probabilité pi = F (xiβ) = 0.49 et un individu ayant une probabilitépi = F (xiβ) = 0 : on pénalise ces deux individus de la même façon dans le cas d’un échecdu modèle (c’est à dire lorsque our les deux individus on a yi = 1) et on les valorise de lamême façon en cas de réussite. En, particulier, lorsque l’on considère des événements avec uneforte probabilité (par exemple de sortir du chômage) ou au contraire une très faible probabilité(par exemple de tomber malade), la plupart des modèles obtiendront de bons résultats selon cecritère.

Somme des Carrés des Résidus (SCR) : ce critère traditionnel s’écrit sous la forme

Somme des carrés des résidusN

i=1

yi − F (xiβ)2

(5.8)

Rappelons que dans les modèles dichotomiques, on modélise la probabilité pi = E (yi) =

F (xiβ) . Ce critère ne souffre pas de la critique précédente concernant le critère du nombrede fausses prédictions. C’est un crtère naturel puisquu’il correspond à la somme des carrés desrésidus dans un modèle de régression linéaire standard à partir de laquell le R2 est construit.Toutefois, l’utilisation de ce critère ne peut pas être défendue de la même façon dans le modèlelinéaire simple et dans les modèles dichotomiques. En effet, nous avons vu que les modèlesdichotomiques étaient des modèles hétéroscédastiques. C’est pourquoi Efron (1978) proposeune mesure analogue au R2 :

R2 de Efron (1978) = 1−Ni=1 yi − F (xiβ)

2

Ni=1 (yi − y)2

(5.9)

où y = N−1 Ni=1 yi. Cette mesure alternative peut être défendue par une approche axiomatique

(cf. Efron 1978)L.

SCR pondérée par les probabilités estimées : ce critère s’écrit sous la forme

SCR pondéréeN

i=1

yi − F (xiβ)2

F (xiβ) 1− F (xiβ)(5.10)

La principale raison de préférer ce critère à la somme non pondérée est la suivante. Il paraîtraisonnable d’attacher une plus grande perte aux erreurs faites en prévoyant des variables defaible variance, étant donné qu’il est plus facile de pérvoir des variables de faible variance quedes variables de plus forte variance. Dès lors, il paraît raisonnable de pondérer la somme descarrés des résidus par un poids qui est inversement proprtionnel à la variance.

Coefficient de Corrélation des Carrés : ce critère s’écrit sous la forme

Coefficient de corrélation des carrés

Ni=1 (yi − y)F (xiβ)

2

Ni=1 (yi − y)2 N

i=1 F (xiβ)− F2

(5.11)

Cette mesure est liée à la SCR non pondérée. Dans un modèle de régression standard,cette mesure serait identique au R2 de Effron. Bien que cette égalité ne soit pas vraie dans


les modèles dichotomiques, les mêmes critiques s’appliquent au coefficient de corrélation descarrésqu’à la SCR.

Log - Vraisemblance : ce critère s’écrit sous la forme

Log-Vraisemblance log L y,β =N

i=1

yi log F xiβ + (1− yi) log 1− F xiβ (5.12)

Ce critère est particulièrement bien adapté pour comparre des modèles qui ne possèdent pasles mêmes dimensions. En effet, on sait que si l’on désire tester r contraintes linéaires sur les

paramètres la −2 logL y,βj − logL y,βc

j suit asympotiquement un χ2 (r) . Une normli-

sation de la quantité log L y,β a été proposée par McFadden pour se ramener à une quantité

similaire à un R2 :

R2 de McFadden (1974) = 1−log L y,β

log L (y, 0)(5.13)

où log L (y, 0) désigne le maximum de la fonction de log vraisemblance obtenu lorsque tous lescoefficients de la regrssion β sont nuls à l’exception du terme constant.


6. Application

Proposer une application avec :

1. Problème économique et spécification en variable latente

2. Estimation Logit Probit

3. Comparaison avec estimation non paramétrique (score maximum et semi paramétrique)

4. Calcul des cotes et des probabilités individuelles

5. Calcul des effets marginaux : calcul des elasticités moyennes selon les deux formules etdes elasticités individuelles

6. Vérification des calculs de l’estimateur de la matrice de variance covariance asymptotique

7. Calcul des principaux critères d’évaluation (R2 de McFadden etc..)

8. Tests d’hypothèse sur les paramètres : Wald, LRT et LM

******************* A FINIR ********************


A. Annexes

A.1. Rappels sur les notions de convergence

Les rappels proposés dans le cadre de cette section portent sur les différentes notions de con-vergence. Toutefois, la lecture de ces rappels doit nécessairement s’accompagner d’une étudeplus systématique des fondements probabilistes de ces notions21.

Considérons une séquence de T v.a.r. X1,X2, ...,Xi, ...,XT, indicées par i. Supposons quel’on souhaite étudier le comportement de la moyenne empirique de ces v.a.r. lorsque T aug-mente. On cherche ainsi à déterminer le comportement asymptotique de la v.a.r. transformée,XT , telle que :

XT =1

T

T

i=1

Xi (A.1)

Pour cela, il convient d’utiliser la notion de convergences.

A.1.1. Convergence en probabilité

La notion de convergence en probabilité est définie de la façon suivante :

Definition A.1. (Convergence en Probabilité) Soit XT∞T=1 une séquence de variablesaléatoires scalaires. Cette séquence converge en probabilité vers c,∀c ∈ C, si pourtoute valeurs arbitraires ε > 0 et δ > 0, il existe une valeur N, telle que ∀T ≥ N :

P [|XT − c| > δ] < ε (A.2)

Alors, on note :XT

p−→ c⇐⇒ plimXT = c (A.3)

Exprimée autrement, cette définition signifie que pour un échantillon de taille infinie, laprobabilité que la réalisation de la variable XT diffère de la valeur c de plus ou moins δ (δétant aussi petit que l’on veut) est inférieure à toute valeur ε aussi petite soit-elle. En d’autrestermes, les réalisations de la variable XT sont concentrées au voisinage de la valeur c.

Propriété Une suite de matrices de v.a.r. XT∞T=1, de dimension (m,n) ,converge en prob-abilité vers une matrice C, de dimension (m,n), si chaque élément de Xt converge enprobabilité vers l’élément correspondant de C. De façon plus générale, si l’on considèredeux séquences de v.a.r. XT ∞T=1 et YT ∞T=1 , de dimension (m,n) , alors :

XTp−→ YT (A.4)

si et seulement si, la différence entre les deux suites converge en probabilité vers zero :

XT − YT p−→ 0 (A.5)

Enfin, il convient de rappeler deux propriétés qui nous serons utiles dans la caractérisationdes distributions asymptotiques des estimateurs usuels.21Voir par exemple, ”Méthodes Statistiques”, Philippe Tassi, Economica 1989


Theorem A.2. (Théorème de Slutsky) Soit XT∞T=1 une suite de (n, 1) vecteurs admet-tant une limite en probabilité définie par c, et soit g (.) une fonction continue en c,satisfaisant g : Rn −→ Rn, et ne dépendant pas de T, alors :

g (XT )p−→

T→∞g (c) (A.6)

L’idée est la suivante. Si la fonction g (.) est continue, la quantité g (XT ) se situera auvoisinage de g (c) , dès lors que XT se situe au voisinage de c. En choisissant une valeur deT suffisamment grande, la probabilité que la réalisation de XT se situe au voisinage de cpeut être définie aussi proche de l’unité que l’on le désire. Un exemple simple est le suivant.Considérons deux séquences de v.a.r. telles que plim X1,T = c1 et plim X2,T = c2, alorsplim (X1,T +X2,T ) = c1 + c2. La démonstration de ce résultat est immédiate dès lors que l’onmontre que la fonction g (X1,T ,X1,T ) = X1,T +X2,T est une fonction continue en (c1, c2) .

Propriété 1 Une condition suffisante pour qu’une suite de v.a.r. XT ∞T=1 converge en prob-abilité vers une constante réelle c est :

limT→∞

E (XT ) = c (A.7)

limT→∞

V (XT ) = 0 (A.8)

L’intuition de cette propriété est simple. Si pour un ordre T suffisamment grand, la variableXT admet c pour espérance et a une variance qui tend vers 0, alors la fonction de distributionde XT sera infiniment concentrée autour de la valeur c.

A.1.2. Convergence en moyenne quadratique

Une forme de convergence plus restrictive que la convergence en probabilité est la convergenceen moyenne quadratique (m.s. pour mean square convergence).

Definition A.3. Une suite de suite de v.a.r. XT ∞T=1 converge en moyenne quadra-tique vers c, si pour tout ε > 0, il existe une valeur N , telle ∀T ≥ N :

E (XT − c)2 < ε (A.9)

Alors, on note :XT

m.s.−→ c (A.10)

Naturellement, étant donné cette définition, la convergence en moyenne quadratique impliquela convergence en probabilité, mais la réciproque n’est pas vraie :

XTm.s.−→ c =⇒ XT

p−→ c

La notion de convergence en m.q. nous permet alors d’introduire l’inégalité de Chebyshev.

Proposition A.4. (Inégalité de Chebyshev) Soit X une v.a.r. telle que la quantitéE (|X|r) existe et soit finie pour r > 0. Pour tout δ > 0, et toute valeur de c, onmontre que :

P |X − c| > δ ≤ E (|X − c|r)

δr(A.11)


Le résultat selon lequel la convergence en moyenne quadratique implique la convergenceen probabilité peut être démontré à partir de l’inégalité de Chebyshev. Pour cela, il suffit deremarquer que si XT

m.s.−→ c, alors il existe un couple de valeurs positives (δ, ε) et une valeur N,tel que E (XT − c)2 < δ2ε, pour tout T ≥ N . Il s’ensuit que :

E (X − c)2δ2

=E |X − c|2

δ2< ε ∀T ≥ N

L’inégalité de Chebyshev implique alors que :

P |X − c| > δ < ε ∀T ≥ NDonc, on montre ainsi que XT

p.−→ c.

A.1.3. Convergence en loi

Le troisième type de convergence que nous utiliserons cette année est la convergence en loi ouconvergence en distribution.

Theorem A.5. (Théorème de Paul Levy) Soit XT∞T=1 une suite de v.a.r. et soit FXT (x)

la fonction de distribution cumulative de XT . Si XT converge en loi vers une v.a.r.X admettant FX (x) pour fonction caractéristique, alors :

limT→∞

FXT (x) = FX (x) ∀x ∈ R (A.12)

On note alors :XT

loi−→T→∞

X ou XTL−→

T→∞X (A.13)

Un certain nombre de propriétés nous serons particulièrement utiles par la suite :

Propriété 1 La convergence en probabilité implique la convergence en loi :

XT −X p−→T→∞

0 =⇒ XTL−→

T→∞X (A.14)

Propriété 2 La convergence en loi vers une constante réelle implique la convergence en prob-abilité :

∀c ∈ R XTL−→

T→∞c =⇒ XT

p−→T→∞

c (A.15)

Propriétés 3 Soient deux suites de v.a.r. XT∞T=1 et YT ∞T=1 telle que XT L−→ X et YTp−→

c, alors :(i) XT + YT

L−→ X + c

(ii) XTYTL−→ cX

(iii) XT

YT

L−→ Xc avec c = 0

Propriété 4 Soient XT et X des vecteurs aléatoires de Rp, tels que XTL−→

T→∞X ,et soit g (.)

une fonction continue définie de Rp and Rn, alors :

g (XT )L−→

T→∞g (X) (A.16)


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Figure A.1: L’économie a travers les prix nobel, Problèmes Economiques 2001

MASTER ECONOMETRIE ET STATISTIQUE APPLIQUEE (ESA)



Chapitre 2

Modèles Multinomiaux

Modèles Logit Multinomiaux Ordonnées et non Ordonnés

Christophe Hurlin

Polycopié de Cours

Master Econométrie et Statistique Appliquée (ESA) Université d’Orléans Faculté de Droit, d’Economie et de Gestion Bureau A 224 Rue de Blois – BP 6739 45067 Orléans Cedex 2 www.univ-orleans.fr/deg/masters/ESA/

January 21, 2003

Contents

1 Modèles Multinomiaux Ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1 Exemples de Modèles Multinomiaux Ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Dosage d’insecticide : Gurland, Lee et Dahm (1960) . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Acquisition d’un bien immobilier : David et Legg (1975) . . . . . . . . . . 7

1.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Modèles Multinomiaux Séquentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Modèles Multinomiaux Non Ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1 Des modèles de choix probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Logit multinomial indépendant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Spécification du Logit Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2 Estimation des paramètres du logit multinomial . . . . . . . . . . . . . . 213.2.3 Exemples de modèles logit multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Logit Conditionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.1 Spécification du logit conditionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.2 Estimations des paramètres du logit conditionnel . . . . . . . . . . . . . . 273.4.3 Exemples de modèles logit conditionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Logit Universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 L’hypothèse d’indépendance des alternatives non pertinentes . . . . . . . . . . . . . . . 304.1 Test de l’hypothèse IIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Modèle Alternatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.1 Probit multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.2 Logit Hierarchisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


Introduction

Nous allons à présent envisager le cas des modèle multinomiaux, ou plus précisément desmodèles à variable expliquée qualitative multinomiale (ou polytomique). Ce sont des modèlesdans lesquels la variable expliquée peut prendre plus de deux modalités1 . Nous allons voir qu’ilexiste trois catégories de modèles multinomiaux :

1. Modèles multinomiaux ordonnés

2. Modèles multinomiaux séquentiels

3. Modèles multinomiaux non ordonnés

Dans la pratique, les modèles non ordonnés sont les plus fréquents, c’est pourquoi nousleur accorderons une attention toute particulière. Dans cette catégorie, on trouve notammentle modèle logit multinomial et le modèle logit conditionnel de McFadden qui sontles modèles les plus utilisés et qui constituent une extension du logit binaire étudié dans lechapitre précédent. Nous verrons toutefois, que si ces modèles sont simples à utiliser, ils posenttoutefois un problème de cohérence en raison d’un propriété peu réaliste d’indépendance desétats non pertinents. C’est pourquoi, des modèles alternatifs ont été développés comme lemodèle logit hierarchisé ou le modèle probit multinomial. Ces derniers requièrent toutefoisdes techniques d’estimation relativement complexes.

Commençons par décrire le cadre général de ces modèles multinomiaux.

Definition 0.1. On considère un modèle multinomial dans le lequel la variable dépen-dante qualitative observée pour le ieme individu ∀i = 1, .., N , notée yi, peut prendremi + 1 modalités indicées j = 0, 1, 2, ..,mi, supposées mutuellement exclusives pourchaque individu i :

mi+1

j=0

Prob (yi = j) = 1 ∀i = 1, .., N (0.1)

La probabilité associée à chaque réponse est définie par :

Prob (yi = j) = Fij (x,β) ∀i = 1.., N ∀j = 0, 1, ..,mi (0.2)

Partant de cette définition, on peut faire quatre remarques.

1. On remarque tout d’abord que le nombre de modalitésmi prises par la variable dépendanteyi peut dépendre de l’individu : on peut avoir mz = mk.

2. La fonction de répartition Fij (x,β) correspond à la probabilité que l’individu i choisissela modalité j en fonction des variables explicatives x et du vecteur de paramètres β. Cettefonction peut ainsi différer suivant les individus (indice i) mais aussi suivant les modalités(indice j).

1Voir l”introduction du premier chapitre pour la définition générale des modèles à variable qualitative.


3. Dans un modèle multinomial, la probabilité associée à lami+1eme modalité (généralement

l’événement codé en 0) n’a pas besoin d’être spécifiée puisqu’elle peut être calculée à partirdes mi probabilité comme suit :

Prob (yi = 0) = 1−mi

j=1

Fij (x,β) ∀i = 1.., N

Si l’on définit Ni=1 (mi + 1) variables binaires yij telles que :

yij =10

si yi = jsinon

∀i = 1.., N ∀j = 0, 1, ..,mi (0.3)

alors on peut écrire la vraisemblance associé à l’échantillon y = (y10, ...., y1m1, ..., yN0, ...., yNmN

)

comme le produit des probabilités associées aux différentes modalités, et ceci pour tous lesindividus :

L (y,β) =N

i=1

mi

j=0

Fij (x,β)yij (0.4)

Les résultats généraux concernant les estimateurs du MV et les propriétés asymptotiquesdes estimateurs étudiées dans le chapitre 1 concernant les modèles binaires restent valables ici.Il n’y a donc pas de difficulté technique concernant l’estimation des paramètres de ces mod-èles. Mais les modèles polytomiques peuvent avoir des formes mathématiques très différentessuivant les hypothèses retenues. C’est pourquoi la recherche d’une forme adaptée au problèmeéconomique posé constitue dans la plupart des cas, la plus grande difficulté bien avant les méth-odes d’estimation et d’inférence. Si ces modèles posent des problèmes, ce sont avant tout desproblèmes de choix de modélisation. Pour mieux comprendre ces difficultés, nous allonsà présent distinguer les modèles multinomiaux ordonnés, les modèles multinomiaux séquentielset les modèles multinomiaux non ordonnés.


1. Modèles Multinomiaux Ordonnés

Avant de définir précisément ce que sont les modèles multinomiaux ordonnés, commençons pardéfinir leur champ d’application. Les modèles ordonnés sont utilisés lorsque les valeursprises par la variable multinomiale correspondent à des intervalles dans lesquelsva se trouver une seule variable latente inobservable continue. Ainsi, un modèlepolytomique univarié ordonné est un modèle dans lequel on a une variable, plusieurs modalités,et un ordre naturel sur ces modalités. On suppose que les modalités sont identiques pour tousles individus :

mi = m ∀i = 1.., NDefinition 1.1. Un modèle polytomique univarié ordonné peut s’écrire sous laforme :

yi =

01...m

si y∗i < c1si c1 ≤ y∗i < c2...si y∗i > cm

∀i = 1.., N (1.1)

avec cj+1 ≥ cj et où la variable latente y∗i est défini pary∗i = xiβ + εi (1.2)

avec xi = x1i ..xKi , ∀i = 1, .., N , β = (β1...βK) ∈ RK, εi i.i.d. 0,σ2ε et où εi/σε suit une

loi de fonction de répartition F (.) .

Naturellement, si la fonction F (.) correspond à la loi logistique, F (.) = Λ (.) , le modèleest un modèle logit multinomial ordonné, tandis que si la fonction F (.) correspond à la loinormale centrée réduite, F (.) = Φ (.) , le modèle est un modèle probit multinomial ordonné.Du point de vue pratique, naturellement un tel découpage en classe sur y∗i n’a de sens que si lenombre de classes est relativement faible.

Naturellement, à partir de la définition précédente on peut déduire la loi de la variablequalitative observée yi qui nous servira par la suite à construire la fonction de vraisemblance.En effet, on a :

Prob (yi = 0) = Prob (y∗i < c1) = F

c1σε− xiβ

σε

Prob (yi = 1) = Prob (c1 ≤ y∗i < c2) = Fc2σε− xiβ

σε− F c1

σε− xiβ

σε...

Prob (yi = m) = Prob (y∗i > cm) = 1− F

cmσε− xiβ

σε

De façon générale, on obtient le résultat suivant :

Proposition 1.2. Dans un modèle polytomique univarié ordonné satisfaisant la déf-inition 1.1, la probabilité associée à l’événement yi = j, ∀j = 0, 1, ..,m est définie par:

Prob (yi = j) = Fcj+1σε− xiβ

σε− F cj

σε− xiβ

σε∀i = 1.., N

avec par convention c0 = −∞ et cm+1 =∞.


Il ne reste plus alors qu’à construire la vraisemblance associée à l’échantillon y comme suit :

L (y,β, c1, .., cm,σε) =N

i=1

mi

j=0

Prob (yi = j)yij

=N

i=1

mi

j=0

Fcj+1σε− xiβ

σε− F cj

σε− xiβ

σε

yij

(1.3)

où la variable dichotomique yij est définie par :

yij =10

si yi = jsinon

∀i = 1.., N ∀j = 0, 1, ..,m

Généralement seuls les paramètres β = β/σε et cj = cj/σε sont identifiables. La vraisemblances’écrit alors en fonction de ces paramètres comme suit :

L y,β, c1, .., cm =N

i=1

mi

j=0

F cj+1 − xiβ − F cj − xiβyij

(1.4)

On vérifie en outre que le vecteur xi ne peut contenir de constante pour les mêmes raisond’identification qui avaient été évoquées dans le cas du modèle dichotomique en ce qui concernela normalisation du seuil γ. On ne peut identifier à la fois le paramètre associé à la constanteet les seuils cj .

Il n’y a alors aucune difficulté technique à maximiser la fonction de log-vraisemblance enβ, c1, ..et cm pour obtenir les estimateurs du maximum de vraisemblance dont les propriétés sontidentiques à celles étudiées dans le modèle dichotomique univarié, si ce n’est que l’on estime enoutre les paramètres de seuil cj :

β =argmaxβ

logL y,β, c1, .., cm (1.5)

cj =argmaxcj

logL y,β, c1, .., cm (1.6)

avec

logL y,β, c1, .., cm =N

i=1

m

j=0

yij log F cj+1 − xiβ − F cj − xiβ (1.7)

où F (.) est une fonction de répartition donnée.

Nous allons à présent étudier plusieurs exemples de modèles qualitatifs multinomiaux ordon-nées afin de mieux appréhender le type de problèmes économiques auxquels cette modélisations’adapte. Ces exemples sont repris de Amemiya (1981).

1.1. Exemples de Modèles Multinomiaux Ordonnés

Considérons plusieurs exemples de modèles multinomiaux ordonnés.


1.1.1. Dosage d’insecticide : Gurland, Lee et Dahm (1960)

Le premier exemple relève de la bio-économétrie, domaine privilégié des premières applicationsdes modèles qualitatifs.. Il s’agit de l’étude de Gurland, Lee et Dahm (1960) parue dansBiometrics qui constitue une extension en multinomial de l’exemple de l’insecticide étudié dansle modèle dichotomique. On considère un dosage d’insecticide xi vaporisé sur le ieme individu etl’on note y∗i la tolérance de cet individu au produit. Naturellement, on suppose que la toléranceest inobservable et continue. On suppose pour simplifier que la tolérance y∗i est distribué selonune loi N µ,σ2 de paramètre inconnus. On suppose en outre que la variable observée yi quitraduit l’état de l’insecte peut prendre à présent trois valeurs, m = 3 et ∀i = 1.., N :

yi =

012

si l’individu i est vivantsi l’individu i est moribondsi l’individu i est mort

On suppose que l’individu meurt si et seulement si le dosage de l’insecticide dépasse latolérance xi > y∗i , et qu’il reste vivant si au contraire sa tolérance dépasse d’un montant γle dosage d’insecticide, c’est à dire si et seulement si y∗i > xi + γ, où γ est un paramètreinconnu. Entre les deux, l’insecte est mal en point. Un tel problème correspond bien à lastructure d’un modèle polytomique ordonné, puisque les valeurs prises par la variablemultinomiale (yi = 0, 1, 2) correspondent à des intervalles dans lesquels va se trouverune seule variable latente inobservable continue, à savoir la tolérance y∗i . En effet,un tel problème peut se modéliser sous la forme :

yi =

012

si y∗i > xi + γsi xi < y∗i ≤ xi + γsi y∗i ≤ xi

(1.8)

Les probabilités associées au trois modalités sont donc égales à :

Prob (yi = 0) = Prob (y∗i > xi + γ) = 1− Φ xi + γ − µ

σ= Φ

µ− γ − xiσ

Prob (yi = 1) = Prob (xi < y∗i ≤ xi + γ) = Φ

xi − µ+ γ

σ− Φ xi − µ

σ

Prob (yi = 2) = Prob (y∗i < xi) = Φ

xi − µσ

où Φ (x) désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Naturellement,puisque la somme de ces trois probabilité est égale à l’unité, seules deux probabilités seronteffectivement estimées. Considérons seulement Prob (yi = 0) et Prob (yi = 2) , c’est à dire lesprobabilités de rester vivant et de décès. L’estimation de la probabilité Prob (yi = 2) , sous laforme Prob (yi = 2) = Φ (β0 + β1x) , fournit un estimateur β0 du coefficient associé à la con-stante et un estimateur β1 du coefficient associé à xi. On peut alors identifier les paramètresstructurels σ et µ en résolvant le système trivial β0 = 1/σ et β1 = −µ/σ et proposer deux esti-mateurs σ = 1/β0 et µ = β1β0. De la même façon, l’estimation de la probabilité Prob (yi = 0) ,sous la forme Prob (yi = 0) = Φ (α0 + α1x) , fournit un estimateur α0 du coefficient associé à laconstante et un estimateur α1 du coefficient associé à xi. On peut alors identifier le paramètrestructurel manquant à savoir le seuil γ. En effet, on sait que α0 = (µ− γ) /σ, connaissant unevaleur de µ et de σ on peut en déduire un estimateur pour γ, tel que γ = µ− σα0. Naturelle-ment, l’estimateur du paramètre α1 = −1/σ est obtenu sous la contrainte α1 = −β0. Donc


dans ce modèle, l’estimation des probabilités Prob (yi = 0) et Prob (yi = 2) permet d’identifierles trois paramètres structurels µ,σ et γ. Notre bio-économètre connaît alors la distribution dela tolérance y∗i des insectes et le seuil γ d’insecticide.

1.1.2. Acquisition d’un bien immobilier : David et Legg (1975)

L’étude de David et Legg (1975) parue dans le Journal of Business and Economic Statistics,est une tentative de modélisation du prix des biens immobiliers en fonction d’un certain nom-bre de caractéristiques comme la taille du bien immobilier, l’âge de l’acquéreur, le revenu del’acquéreur, le nombre d’années d’études de l’acquéreur etc.. Les données de David et Leggsont présentées de la façon suivante. On observe si l’acquisition d’un bien immobilier a eulieu, les biens étant regroupés en trois catégories suivant leur prix. Etant donné la nature desdonnées utilisées, le prix de chaque bien est inobservable et seul son appartenance à l’une destrois catégories est observée :

yi =

012

si le prix du bien i acquis est inférieur à $28,999si le prix du bien i acquis est compris entre $29,000 et $54,999si le prix du bien i acquis est supérieur à $55,000

(1.9)

David et Legg (1975) proposent de modéliser la variable polytomique yi = 0, 1, 2 selonl’appartenance d’une variable inobservable y∗i à trois classes distinctes :

yi =

012

si y∗i < c1si c1 ≤ y∗i < c2si y∗i > c2

∀i = 1.., N (1.10)

où la variable latente y∗i est distribuée selon une loi normale N xiβ,σ2 , où le vecteur xi

comporte l’ensemble des caractéristiques du bien citées précédemment.. On suppose que levecteur xi ne comporte pas de constante. Le problème consiste donc à estimer les paramètresstructurels c1, c2, σ et les K paramètres du vecteur β. On a donc K +3 paramètres structurelsà estimer. Les probabilités associées aux trois modalités sont définies de la façon suivante :

Prob (yi = 0) = Prob (y∗i < c1) = Φ

c1σ− xiβ

σ

Prob (yi = 1) = Prob (c1 ≤ y∗i < c2) = Φc2σ− xiβ

σ− Φ c1

σ− xi β

σ

Prob (yi = 2) = Prob (y∗i > c2) = 1− Φ

c2

σ− xiβ

σ= Φ −c2

σ+ xi

β

σ

Dès lors, la log-vraisemblance de l’échantillon est définie par la fonction :

logL (y,β, c1, c2,σ) =N

i=1

yi0 log Φc1σ− xiβ

σ+ yi1 log Φ

c2σ− xiβ

σ− Φ c1

σ− xiβ

σ

+yi2 log Φ −c2σ+ xi

β

σ

Ce qui peut s’écrire sous une forme log-linéaire dans les paramètres :

logL y,β, c1, c2 =N

i=1

yi0 log Φ c1 − xiβ + yi1 log Φ c2 − xiβ − Φ c1 − xiβ

+yi2 log Φ −c2 + xiβ (1.11)


avec x = x/σ. La procédure du maximum de vraisemblance fournit alors une estimation pourles K + 2 paramètres β, c1 et c2. Dès lors, on ne peut pas dans ce cas identifier la variance σdu fait de la normalisation imposée par le choix de la distribution normale. Par conséquentl’estimation de ce modèle ne permet pas d’identifier les paramètres de seuil c1 et c2 et lesparamètres β, mais seulement les transformées β, c1 et c2. Ceci n’a pas d’importance dès lorsque l’on s’intéresse uniquement aux effets marginaux des variables xi sur la probabilité d’acheterdes biens immobiliers appartenant aux trois catégories. On peut par exemple calculer l’impactde la taille du logement sur la probabilité d’acheter un logement dont le prix est inférieur à$28,999 et comparer celle-ci avec l’impact de la taille du logement sur la probabilité d’acheterun logement dont le prix est supérieur à $55,000. En effet, on peut calculer 3 ∗N ∗K dérivéessuivantes :

∂Prob (yi = j)

∂x[k]i

∀i = 1.., N, ∀j = 0, 1, 2 ∀k = 1..,K

Dans cette étude, tout comme dans les modèles multinomiaux en général, il y a finalementplusieurs façons d’interpréter la variable latente y∗i .

Remarque Dans un modèle multinomial, il n’y a généralement aucune nécessité dedonner un nom et d’expliquer réellement ce qu’est la variable latente y∗i . Peuimporte ce qu’elle représente, il suffit juste de supposer que c’est une variablecontinue qui affecte la variable polytomique observée yi. Le fait de nommery∗i permet simplement de faciliter la justification économique du choix desvariables explicatives xi.

Dans le cas présent de l’étude David et Legg (1975), on peut dire que la variable latente y∗icorrespond au prix du bien immobilier. Dans ce cas, si cette variable est par ailleurs observable,il aurait été préférable au lieu d’estimer les probabilités, d’estimer directement la relation entrele prix du bien et les caractéristiques xi observées. Mais rien ne nous contraint dans le faitd’assimiler y∗i au prix des biens : cette variable inobservable y

∗i peut représenter n’importe

quelle grandeur économique susceptible d’affecter l’achat de biens des trois catégories de prix etqui elle même dépend des variables xi (taille du logement, revenu et âge de l’acquéreur etc..).Ce peut être par exemple, la disponibilité à payer le bien immobilier.

1.2. Application

On considère une application tirée d’une étude de J. Gunther de la Federal Reserve Bank deDallas, intitulée ”Between a Rock and a Hard Place : The CRA-Safety and Soundness Pinch”.Le fichier de données disponible sur le sitye web (??) est intitulé Gunther.xls. Cette étude portesur le Community Reinvestment Act (CRA), loi promulgué aux Etats Unis en 1977 et visantà encourager les institutions de dépôts (banques et autres institutions financières) à répondreaux besoins en crédit des communautés dans lesquelles elles opèrent2. Toutes les banques sontainsi évaluées par des instances de contrôle qui sont les suivantes : Office of the Comptrollerof the Currency (OCC), Board of Governors of the Federal Reserve System (FRB), Office ofThrift Supervision (OTS), and Federal Deposit Insurance Corporation (FDIC). En effet, la loirecquiert que les agences de contrôle mentionnées, évaluent régulièrement les performance desinstitutions au regard des objectifs du CRA.

2Pour un historique et une présentation plus global du CRA, consulter le sitehttp://www.ffiec.gov/cra/history.htm.


La performance des institutions en ce qui concerne le fait de favoriser les besoins en créditde la communauté est évalué dans le contexte des informations disponibles sur cette institution(capacités, contraintes diverses, stratégie..), des informations sur la communauté (démographie,données économiques, prêts, investissements..) et des informations sur ses concurrents et surl’état du marché. Une notation (ou rating) est alors attribué selon quatre modalité : yi = 1 pourperformance remarquable, yi = 2 pour performance satisfaisante,; yi = 3 pour performance àaméliorer, yi = 4 pour performance déplorable.

L’étude de Gunther porte sur 350 observations de ces rating et propose de modéliser cesratings en fonction de plusieurs variables explicatives intitulées respectivement loa, prl, equ,roa, sec, ass, metro et growth. La variable loa désigne le ratio prêts sur actif total de labanque, la variable prl désigne le ratio actifs douteux sur actif total, la variable equ désigne leratio capitaux propres sur actif, la variable roa désigne le ratio dividende sur actifs, la variablesec désigne le ratio investissements de valeurs sur actifs, la variable ass le logarithme de l’actifde la banque, la variable metro prend une valeur 1 si la banque à son siège dans une MSA (∩)et 0 sinon, et enfin la variable growth désigne le taux de croissance du Pib de l’état dans lequella banque opère. Dans le tableau ci dessous sont reproduit les valeurs ces différentes variablespour les 10 premiers individus de l’échantillon.

Figure 1.1:

Nous allons à présent modéliser le rating sous la forme d’un probit ordonné. En effet, dans cecas précis, les valeurs prises par la variable multinomiale peuvent correspondre à des intervallesdans lesquels va se trouver une variable latente inobservable. On a ici un ordre naturel surles modalités allant de la satisfaction la plus complète au regard des objectifs du CRA à laperformance déplorable. Pour modéliser ce probit ordonné sous Eviews, on choisit EstimateEquation dans le menu Quick, et l’on retient la méthode ORDERED - Ordered Choice avecune Error Distribution de type Normal. On indique ensuite la variable polytomique ainsi queles variables explicatives, la constante ne pouvant être introduite pour une raison de colinéarité.Les coefficients des variables roa et sec sont alors non significativement différents de zéro. Onretire donc ces variables et les résultats obtenus pour le probit ordonnés sont alors les suivants:On observe cette fois que toutes les variables sont significatives de même que les trois seuils


Figure 1.2: Estimation d’un Probit Ordonné

c1, c2 et c3 tels que :

yi =

1234

si y∗i < c1si c1 ≤ y∗i < c2si c2 ≤ y∗i < c3si y∗i > c3

∀i = 1.., N y∗i = xiβ + εi (1.12)

On obtient ainsi des réalisations c1 = −3.645, c2 = −2.725 et c3 = −1.61. On peut alorscalculer pour chaque banque la probabilité d’obtenir un rating très satisfaisant (yi = 1) de lafaçon suivante :

Prob (yi = 1) = Prob (y∗i < c1) = Φ c1 − xiβ

où c1 = c1/σε, β = β/σε. On peut donc estimer cette probabilité de la façon suivante :

Prob (yi = 1) = Φ c1 − xiβ (1.13)

où c1 est un estimateur convergent de c1 et où β est un estimateur convergent de β. Ainsi dansle cas de notre modèle pour l’individu 1, on montre que la réalisation de l’estimation de lavariable latente est :

x1β = 0.068 ∗ 5.24− 6.138 ∗ 0.0559− 11.273 ∗ 0.250−1.7245 ∗ 0.3982 + 0.7685 ∗ 0 + 10.748 ∗ 0.0120

= −3.359


Dès lors, on a :

Prob (y1 = 1) = Φ c1 − x1βΦ (−3.645 + 3.359)Φ (−0. 286)0.387

De la même façon, on peut calculer pour cette banque la probabilité que yi = 2 :

Prob (y1 = 2) = Φ c2 − x1β − Φ c1 − x1βΦ (−2.725 + 3.359)− Φ (−0. 286)Φ (0. 634)− 0.3870.736− 0.3870. 349

Ainsi pour tous les individus on peut calculer les probabilités associées aux quatre modalités.On obtient les résultats suivants pour les dix premiers individus :

Figure 1.3: Probabilités Estimées du Probit Ordonné


2. Modèles Multinomiaux Séquentiels

Avant de définir précisément ce que sont les modèles multinomiaux séquentiels, commençonspar définir leur champ d’application. Les modèles séquentiels sont utilisés pour ren-dre compte de choix effectués ou d’événements selon une séquence bien précise, leplus souvent dans le temps, et dont les réalisations successives conditionnent na-turellement l’ensemble des modalités futures. Ces modèles possèdent la particularité deconstruire la séquence des événements comme le produit des probabilités élémentaires associéesà la réalisation d’un seul évenement à chaque étape.

Definition 2.1. Soit T le nombre d’étapes et yi = 1, .., N une variable polytomiquedont les modalités sont 1, 2, .., T. On écrit alors la probabilité de s’arrêter à l’étapet comme une fonction Ft (xiβ) , t = 1, 2, .., T :

Prob (yi = j) =

j−1

s=1

[1− Fs (xiβ)]× Fj (xiβ) (2.1)

L’exemple typique est celui de la réussite aux examens, qui est bien entendu conditionnéepar la réussite aux examens antérieurs dans le cursus. Considérons l’exemple de la réussite aumaster. On cherche à modéliser la probabilité qu’un étudiant obtienne son Master en fonctionde caractéristiques individuelles, comme le revenu moyen des parents, la moyenne des notesau baccalauréat, la série du baccalauréat etc.. On note yi = 1 si le ieme étudiant a obtenu lebaccalauréat mais pas la licence, yi = 2 si l’étudiant a obtenu la licence mais pas le master etyi = 3 si l’étudiant a obtenu le master. Naturellement, la probabilité associée à l’obtention dumaster s’écrit :

Prob (yi = 3) =2

s=1

[1− Fs (xiβ)]× F3 (xiβ)

= [1− F1 (xiβ)]× [1− F2 (xiβ)]× F3 (xiβ)

De la même façon, la probabilité associée à l’obtention de la licence s’écrit :

Prob (yi = 2) =1

s=1

[1− Fs (xiβ)]× F2 (xiβ) = [1− F1 (xiβ)]× F2 (xiβ)

La probabilité que les individus n’obtiennent pas leur baccalauréat, c’est à dire que yi = 1,est calculée en utilisant tout l’échantillon constitué des deux sous groupes : les étudiants ayantobtenu le baccalauréat et ceux qui ont échoué (yi = 0 non modélisée). On utilise ensuite le souséchantillon des étudiants ayant obtenu le baccalauréat pour déterminer les caractéristiques dela probabilité d’obtenir la licence yi = 2. Et enfin, on utilise le sous échantillon des étudiantsayant obtenu la licence pour déterminer les caractéristiques de la probabilité d’obtenir le masteryi = 3.


2.1. Application

******************************* Application Eviews ******************************cf. Ordered Models- Chandek, Meghan Stroshine (1999). Race, expectations and evaluations of police perfor-

mance: An empirical assessment. Policing 22(4):675- http://faculty.smu.edu/tfomby/eco6352/data/


3. Modèles Multinomiaux Non Ordonnés

Nous allons à présent envisager la classe des modèles multinomiaux les plus fréquents enéconomie : les modèles multinomiaux non ordonnés. Il existe deux grandes classes demodèles multinomiaux non ordonnés suivant que ces modèles satisfont ou ne satisfont pas unehypothèse particulière qui est l’hypothèse d’Indépendence des Alternatives Non Perti-nentes (IANP ou IIA en anglais pour Independance of Irrelevant Alternative). Cette hy-pothèse traduit le fait que le rapport de deux probabilités associés à deux évenements partic-uliers est indépendant des autres événements. Ainsi, la première grande classe de modèle estconstitué par les modèles logit multinomiaux non ordonnés qui comprend notamment :

1. Les modèles logit multinomiaux indépendants ou modèles logit multinomiaux.

2. Les modèles logit multinomiaux conditionnels ou modèles logit conditionnels.

3. Les modèles logit multinomiaux universels ou modèles logit universels.

Tous ces modèles satisfont l’hypothèse IIA, or nous verrons qu’une telle hypothèse pose desproblèmes de cohérence dans certaines modélisations économiques. C’est pourquoi des modèlesalternatifs ont été développés de sorte à ne pas satisfaire cette hypothèse contestable : cetteseconde classe de modèles comprend notamment le modèle logit hierarchisé, le modèle probitmultinomial.

Toutefois, dans la pratique les modèles multinomiaux les plus fréquemment utilisés restentles modèles logit satisfaisant l’hypothèse IIA. C’est pourquoi dans cette section, nous nouslimiterons à l’étude de cette classe de modèles multinomiaux non ordonnés. Nousétudierons les modèles alternatifs dans la prochaine section. Mais avant de présenter la classedes logit multinomiaux non ordonnés, nous allons introduire ces modèles en décrivant leurutilisation essentielle, à savoir celle de rendre compte de choix probabilistes. Lesmodèles multinomiaux non ordonnés sont en effet avant tout des modèles permettant de décriredes choix individuels en présence d’utilité stochastique.

3.1. Des modèles de choix probabilistes

Supposons qu’un individu ait a effectuer un choix rationnel entre m + 1 modalités procurantm + 1 niveaux de satisfaction différents pour l’individu. On postule que les choix rationnelspeuvent être représentés par une fonction d’utilité. Rappelons qu’une fonction d’utilité U (ω)est définie à une transformée croissante près : si la fonction h (.) est une fonction croissanteet continue, h (U (ω)) est une autre fonction d’utilité associée au même préordre que celui deU (ω). On considère le cas où le niveau d’utilité est stochastique et décrit par une fonctionU (.) dépendant d’un terme aléatoire. Ce choix peut se justifier par ne mauvaise perceptionde la qualité des différentes modalités ou en raison d’une grande difficulté à évaluer de façoncertaine les niveaux d’utilité. On pose que pour chaque modalité j = 0, 1, ..,m, l’utilité del’individu s’exprime sous la forme suivante :

Uj = U (xj , εj) = v (xj) + εj ∀j = 0, 1, ..,m (3.1)


où v (.) est une fonction continue déterministe et où εj est une variable aléatoire i.i.d. dont la loiest décrite par la fonction de densité f (.) et la fonction de répartition F (.) . On suppose queles perturbations εj ,∀j = 0, 1, ..,m sont indépendantes. Ainsi l’utilité aléatoire associéeà la jememodalité dépend des caractéristiques propres à cette modalité

On définit une variable polytomique y qui prend m + 1 modalités suivant les choix del’individu :

y = j si l’individu choisit la jememodalité ∀j = 0, 1, ..,mDès lors, la probabilité que notre individu choisisse la modalité j correspond à la probabilité

que cette modalité lui confère un niveau d’utilité supérieure à toutes les autres modalités quis’offrent à lui. En effet, la probabilité que l’individu choisisse la modalité j est définie par :

Prob (y = j) = Prob U (xj , εj) > U (x0, ε0) , U (xj , εj) > U (x1, ε1) ,....., U (xj , εj) > U (xk, εk) , ....., U (xj , εj) > U (xm, εm) (3.2)

Prenons par exemple la probabilité que l’agent choisisse la modalité 0 :

Prob (y = 0) = Prob U (x0, ε0) > U (x1, ε1) , U (x0, ε0) > U (x2, ε2) ,....., U (x0, ε0) > U (xk, εk) , ....., U (x0, ε0) > U (xm, εm)

ce qui peut se réécrire sous la forme suivante :

Prob (y = 0) = Prob [U (x0, ε0) > U (xk, εk) ,∀k = 1, ..,m]= Prob [v (x0) + ε0 > v (xk) + εk,∀k = 1, ..,m]= Prob [εk < v (x0)− v (xk) + ε0,∀k = 1, ..,m]

Pour calculer cette probabilité à partir des fonctions de densité f (.) , rappelons la définitionde la densité jointe.

Definition 3.1. La densité jointe de deux v.a.r. continues X et Y , notée fX,Y (x, y) ≥0, satisfait les propriétés suivantes :

∀ (a, b, c, d) ∈ R4 P (a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =b

a

d

c

fX,Y (x, y) dy dx (3.3)

∞

−∞

∞

−∞fX,Y (x, y) dy dx = 1 (3.4)

La fonction de distribution cumulative jointe, notée FX,Y (x, y) est alors définie par,∀ (a, b) ∈ R2 :

FX,Y (a, b) = P (X ≤ a, Y ≤ b) =a

−∞

b

−∞fX,Y (x, y) dy dx (3.5)

On sait en outre que si les variables X et Y sont dites indépendantes si et seulementsi fX,Y (x, y) = fX (x) fY (y) . L’indépendance implique par conséquent que FX,Y (x, y) =FX (x) FY (y) . Ainsi, si l’on suppose que les perturbations εj sont indépendantes et distribuées


selon une loi de distribution f (.) , et si l’on note vj = v (xj) , la probabilité Prob (y = 0) peuts’écrire sous la forme :

Prob (y = 0) =∞

−∞

m

k=1

Prob [εk < v0 − vk + ε0] f (ε0) dε0

=∞

−∞

v0−v1+ε0

−∞f (ε1) dε1 ×

v0−v2+ε0

−∞f (ε2) dε2 × ..

..×v0−vm+ε0

−∞f (εm) dεm f (ε0) dε0

En d’autres termes, si l’on note F (.) la fonction de répartition associée à la loi des pertur-bations εj , on a:

Prob (y = 0) =∞

−∞

m

k=1

F [v (x0)− v (xk) + ε0] f (ε0) dε0

De façon générale, quelque soit la modalité j = 0, 1, ..,m on montre ainsi que :

Prob (y = j) =∞

−∞

m

k=0k=j

F [v (xj)− v (xk) + εj ]

f (εj) dεj (3.6)

Supposons à présent que la loi des perturbations soit une loi de Gompertz3 :

F (z) = exp [− exp (−z)] (3.7)

f (z) = exp [−z − exp (−z)] (3.8)

Alors, il est possible de donner une expression analytique à la probabilité que l’agent choisissela modalité 0.

Prob (y = 0) =∞

−∞

m

k=1

exp [− exp (−v0 + vk − ε0)] exp [−ε0 − exp (−ε0)] dε0

=∞

−∞exp −

m

k=1

exp (−v0 + vk − ε0) exp [−ε0 − exp (−ε0)] dε0

********************************* FINIR DEMONSTRATION *********************************Finalement, on montre que :

Prob (y = 0) =exp [v (x0)]m

k=0

exp [v (xk)]=

1

1 +m

k=1

exp [v (xk)− v (x0)]

avec par convention v (x0) = 0. De façon générale, la probabilité que l’individu choisisse lamodalité j est définie par :

Prob (y = j) =exp [v (xj)]m

k=0

exp [v (xk)](3.9)

3Dite aussi loi des valeurs extrêmes.


Or, si l’on se restreint à une classe des fonctions v (.) affines, avec v (xj) = βjxj ,

cette formulation de la probabilité associée à la jeme modalité est précisément lamodélisation de la probabilité que l’on retiendra dans les modèles logit multinomi-aux non ordonnés.

Considérons à présent le cas où l’on dispose d’un ensemble de N individus indicés i = 1, .., Nayant les mêmes préférences que l’individu de référence de l’exemple précédent. De la mêmefaçon sous les hypothèse d’indépendance des perturbations εj et sous une hypothèse particulièresur la distribution des ces perturbations, on montre que la probabilité que l’individu i choisissela modalité j, ∀j = 0, ..,m, est définie par :

Prob (yi = j) =exp [v (xi,j)]mk=0 exp [v (xi,k)]

(3.10)

où xi,j désigne la valeur du vecteur de variable explicative pour l’individu i conditionnant lechoix de la jeme modalité.

Suivant la forme de la fonction v (xi,j) plusieurs modèles peuvent être envisagés.

1. Le modèle logit multinomial indépendant (ou logit multinomial) est obtenulorsque la fonction v (.) est une fonction linéaire dont les paramètres βj dif-fèrent selon les modalités et pour laquelle les variables explicatives varientuniquement en fonction des individus :

v (xi,j) = xiβj (3.11)

2. Le modèle logit multinomial conditionnel (ou logit conditionnel) est obtenulorsque la fonction v (.) est linéaire, les paramètres β sont indépendants desmodalités et que les variables explicatives diffèrent selon les modalités et lesindividus :

v (xi,j) = xi,jβ (3.12)

3. Le modèle logit multinomial universel (ou logit universel) est obtenu pourtoute fonction v (.) continue dépendant de paramètres βj conditionnels auxmodalités et de l’ensemble des variables explicatives du modèle :

v (xi,j) = v βj , xij (3.13)

3.2. Logit multinomial indépendant

Comme nous l’avons dit précédemment, le modèle logit multinomial indépendant4 (ou logitmultinomial) est obtenu lorsque la fonction v (.) est linéaire, les paramètres βj diffèrent selon lesmodalités et que les variables explicatives varient uniquement en fonction des individus, c’està dire lorsque v (xi,j) = xiβj . Dès lors, on peut définir la forme générale de la probabilité quel’individu i choisisse la modalité j de la façon suivante :

4 Il convient de faire attention ici sur la terminologie employée. Amemiya (1981) qualifie le modèle logit con-ditionnel de modèle indépendant puisque construit sur l’indépendance des perturbations. Donc pour Amemiya,le modèle indépendant ici étudié n’est qu’un cas particulier sans nom du logit universel..


Definition 3.2. Dans un modèle logit multinomial, la probabilité que l’individu ichoisisse la modalité j, ∀j = 0, ..,m, est définie par :

Prob (yi = j) =exp xiβjm

k=0

exp (xiβk)=

exp xiβj

1 +m

k=1

exp (xiβk)(3.14)

où le vecteur β0 est normalisé à zéro : β0 = 0.

Sous l’hypothèse de normalisation β0 = 0, la probabilité associée à la modalité de référence0 est définie par :

Prob (yi = 0) =1

m

k=0

exp (xiβk)=

1

1 +m

k=1

exp (xiβk)(3.15)

Exemple : Considérons à présent un exemple de modèle logit multinomial. On cherche àmodéliser la probabilité de défaillance d’abonnés en fonction de leur revenu, noté ri, et d’uneconstante. Supposons que la variable observable yi puisse prendre trois modalités : défaillancetotale (modalité 0), défaillance partielle (modalité 1) et remboursement intégral de la créance(modalité 2). L’hypothèse selon laquelle les paramètres βj diffèrent selon les modalités revienten fait à poser que :

Prob (yi = 1) =exp β

[1]1 + β

[2]1 ri

1 + exp β[1]1 + β

[2]1 ri + exp β

[1]2 + β

[2]2 ri

Prob (yi = 2) =exp β

[1]2 + β

[2]2 ri

1 + exp β[1]1 + β

[2]1 ri + exp β

[1]2 + β

[2]2 ri

où β[2]1 désigne le coefficient associé au revenu (2eme variable explicative) dans la modélisation

de la probabilité de la défaillance partielle (1ere modalité), tandis que β[2]2 désigne le coefficientassocié au revenu (2eme variable explicative) dans la modélisation de la probabilité de l’absencede défaillance (2eme modalité). On suppose ici que le revenu n’affecte pas de façon identiquela probabilité de défaillance partielle et la probabilité d’absence de défaillance. Par contre lerevenu du couple ne diffère suivant que ce dernier rembourse totalement ou de façon partielleson prêt. Essayons à présent de recenser les implications de la spécification d’un modèle logitmultinomial indépendant.

3.2.1. Spécification du Logit Multinomial

On considère un modèle multinomial pour lequel la probabilité que l’individu i choisisse lamodalité j = 0, ..,m s’écrit sous la forme :


k=0

exp (xiβk)

où les vecteurs de paramètres βj ∈ RK peuvent différer selon les modalités j. La premièreremarque sur cette spécification concerne la normalisation β0 = 0. En effet, supposons que


cette normalisation ne soit pas imposée a priori. On obtient alors une expression équivalente àla probabilité (3.14) en divisant les deux membres de la probabilité par exp (β0xi) :

Prob (yi = j) =exp xiβj / exp (xiβ0)m

k=0

exp (xiβk) / exp (xiβ0)

=exp xi βj − β0m

k=0

exp [xi (βk − β0)]

En posant β∗j = βj − β0, ∀j, et donc β∗0 = 0, on obtient alors une expression de la probabilitéProb (yi = j) similaire à celle de la définition, sans imposer la normalisation β0 = 0.

Prob (yi = j) =exp xiβ

∗j

m

k=0

exp (xiβ∗k)=

exp xiβ∗j

1 +m

k=1

exp (xiβ∗k)

(3.16)

Ainsi écrire la probabilité sous la forme exp β∗jxi / [1 +mk=1 exp (xiβ

∗k)] revient en fait

à normaliser les paramètres du modèle qui correspondent en fait aux différences entre lesparamètres originaux β et le vecteur de paramètres de la modalité de référence, ici en l’oc-currence β0. Ainsi, les paramètres s’interprètent comme des écarts au référentiel(c’est à dire aux paramètres de la modalité 0). On peut exprimer cette propriété de lafaçon suivante.

Proposition 3.3. Dans un modèle logit multinomial à m+1 modalités, la probabilitéassociée à la jeme modalité dépend des écarts βk − βj avec k = j et k = 0, 1, ..m :


k=0

exp (xiβk)=

1

1 +m

k=0k=j

exp xi βk − βj

(3.17)

Les m probabilité indépendantes dépendent alors de (m+ 1)m/2 différences deparamètres βk − βj . Les paramètres ne sont pas identifiables à moins d’imposerune contrainte de normalisation : par exemple β0 = 0.

Exemple : considérons un modèle avec 3 modalités (m = 2), j = 0, 1, 2. On a alors :

Prob (yi = 0) =1

1 + exp [xi (β1 − β0)] + exp [xi (β2 − β0)]

Prob (yi = 1) =1

1 + exp [xi (β0 − β1)] + exp [xi (β2 − β1)]

Prob (yi = 2) =1

1 + exp [xi (β0 − β2)] + exp [xi (β1 − β2)]

Par construction 2j=0 pj = 1. On dispose ainsi de deux probabilités indépendantes pour

déterminer trois différences de paramètres (β1 − β0) , (β2 − β0) et (β2 − β1) .Naturellement, cesdifférences de paramètres ne sont identifiables que si l’on impose une contrainte de normalisationdu type β0 = 0. Dès lors, on a deux probabilités indépendantes qui nous permettent d’identifierdeux paramètres β1 et β2. Ces paramètres s’interprètent comme des écarts au vecteur β0.

Corollary 3.4. Dans un modèle logit mutinomial à m+ 1 modalités :

• Les paramètres associés à la modalité de référence, généralement 0, sont nor-malisés à zéro : seuls les paramètres associées à m modalités peuvent êtreestimés.


• Les paramètres du modèle s’interprètent comme des écarts au référentiel (c’està dire aux paramètres β0 de la modalité 0)

• La log vraisemblance s’écrit uniquement en fonction des vecteurs β1, ...,βm

La seconde propriété centrale dans l’analyse des modèles logit multinomiaux concerne lesratio de probabilités pj/pk où j et k sont deux modalités distinctes. En effet, on montre lapropriété suivante :

Proposition 3.5. Dans le cas d’un modèle logit multinomial, le rapport des proba-bilités associés à deux modalités j et k distinctes, ∀j = 0, ..,m et ∀k = 0, ..,m, s’écritsous la forme :

pjpk=Prob (yi = j)

Prob (yi = k)=exp xiβjexp (xiβk)

= exp xi βj − βk (3.18)

Ce rapport de probabilités est indépendant des alternatives autres que j et k.

Ainsi, on illustre une hypothèse très particulière de ces modèles logit multinomiaux indépen-dants : à savoir l’hypothèse d’Indépendence des Alternatives Non Pertinentes (IANPou IIA en anglais pour Independance of Irrelevant Alternative). Cette hypothèse traduit le faitque le rapport de deux probabilités associés à deux évenements particuliers est indépendantdes autres événements. La question que se pose est alors de savoir si une telle hypothèse estsatisfaite en pratique.

Pour montrer à quel point cette hypothèse peut s’avérer inadéquate, reprenons l’exemple duchoix de transport proposé par Mac Fadden et connu sous le nom de ”bus bleu, bus rouge”. Onconsidère qu’un individu pour se rendre à son travail à le choix entre deux modes de transports.

yi =01

si l’individu prend le métrosi l’individu prend un bus bleu

On note pb = p0 la probabilité que l’individu prenne le bus bleu et pm = p1 la probabilitéque l’individu prenne le métro dans cette configuration de choix. Supposons maintenant quel’on offre à l’individu la possibilité soit de prendre un bus bleu, soit de prendre un bus rouge.

yi =

012

si l’individu prend le métrosi l’individu prend un bus bleusi l’individu prend un bus rouge

La probabilité que l’agent prenne le bus s’écrit donc sous la forme :

pb = Prob (yi = 1) + Prob (yi = 2) (3.19)

La probabilité que l’agent prenne le métro demeure pm = p0 et reste à un niveau inchangé parrapport au cas précédent étant donné les nouvelles alternatives proposées. Si l’on admet quela couleur du bus a vraisemblablement peu de chance d’affecter le choix du mode de transport,on doit avoir que les probabilités de sélection p1 et p2 doivent être égales :

Prob (yi = 1) = Prob (yi = 2) (3.20)


Maintenant, si l’hypothèse IIA est satisfaite le rapport entre la probabilité de prendre lemétro et la probabilité de prendre le bus devrait être la même dans les deux modèles : en effet,ce ratio doit être indépendant des alternatives. Or, ici ce ratio vaut p0/p1 dans la premièremodélisation et vaut :

pmpb=

p0p1 + p2

=1

2

p0p1

Ce ratio diffère de celui que l’on avait obtenu en l’absence de l’alternative ”bus rouge” : l’hy-pothèse IIA n’est donc pas satisfaite.

En conclusion, l’hypothèse IIA n’est que rarement satisfaite, ce qui pose le problème dela cohérence d’une modélisation de type logit multinomial pour rendre compte de choix prob-abilistes. Nous reviendrons dans la prochaine section sur cette hypothèse IIA et les modèlesalternatifs qui en rendement compte. Toutefois, le modèle logit multinomial indépendant esttrès souvent utilisé compte tenu de la simplicité de sa mise en oeuvre pratique. C’est ce quenous allons voir à présent en ce qui concerne l’estimation des paramètres de ce type de modèles..

3.2.2. Estimation des paramètres du logit multinomial

Tout comme dans le cas du modèle logit dichotomique, l’estimation des paramètres des modèleslogit multinomiaux peut se faire de différentes façons :

1. Méthodes du maximum de vraisemblance

2. Méthodes de moments : GMM, moments simulés etc..

3. Méthodes non paramétriques et semi-paramétriques

Nous n’étudierons ici que la méthode du maximum de vraisemblance à information complète.

Comme nous l’avons vu précédemment la vraisemblance associée à un modèle logit multino-mial indépendant àm+1modalités s’écrit en fonction dem vecteur de paramètres βj , j = 1, ..,mdu fait de la normalisation β0 = 0. Ainsi l’estimation des paramètres du modèle logit multino-mial s’effectue alors en maximisant la log-vraisemblance par rapport aux vecteurs de paramètres(β1,β2, ...,βm) :

logL (y,β1,β2, ...,βm) =N

i=1

m

j=0

yi,j log [Prob (yi = j)]

avec yi,j = 1 si yi = j et 0 sinon, et où les probabilités Prob (yi = j) sont définies par :

Prob (yi = j) =exp xiβjmk=0 exp (xiβk)

=exp xiβj

1 + mk=1 exp (xiβk)

Prob (yi = 0) =1


avec β0 par convention.


Proposition 3.6. La log vraisemblance associée à un modèle logit multinomial àm+ 1 modalités j = 0, 1, ..,m s’écrit :


i=1

m

j=1

yi,jxiβj −N

i=1

log 1 +m

k=1

exp (xiβk) (3.21)

avec β0 = 0 par convention.

En effet, on sait que la log-vraisemblance est définie par la relation suivante :


i=1

m

j=0

yi,j log (pi,j)

=N

i=1

m

j=0

yi,j logexp xiβj


Si l’on pose Hi = log [1 +mk=1 exp (xiβk)] , cette expression devient :


i=1

m

j=0

yi,jxiβj −N

i=1

Hi

m

j=0

yi,j

Sachant que par conventionβ0 = 0 on a donc :

N

i=1

m

j=0

yi,jxiβj =N

i=1

m

j=1

yi,jxiβj

Etant donnée la définition de la variable yi,j qui prend la valeur 1 si yi = j et 0 sinon, on aimmédiatement que :

m

j=0

yi,j = yi,0 + yi,1 + ..+ yi,m−1 + yi,m = 1

En effet, on sait que la variable yi ne peut prendre qu’une seule et même valeur parmi les m+1modalités, dès lors m

j=0 yi,j = 1. Ainsi, on obtient que :

N

i=1

Hi

m

j=0

yi,j

=N

i=1

Hi =N

i=1

log 1 +m

k=1

exp (xiβk)

Puisque en effet Ni=1 yi,0 = 1. On en déduit alors finalement que :


i=1

m

j=1

yi,jxiβj −N

i=1

log 1 +m

k=1

exp (xiβk)

On retrouve alors l’expression (3.21) de la log-vraisemblance. Notons au passage que la fonc-tion de log-vraisemblance d’un modèle logit multinomial indépendant est globale-ment concave5 et que par conséquent on peut utiliser différents algorithmes d’optimisationnumérique propres à ce type de problème (Newton Raphson par exemple) et que les résultatsne sont pas sensibles au choix des conditions initiales de ces algorithmes.

5La démonstration de ce résultat est laissée au lecteur à titre d’exercice.


Definition 3.7. Le gradient associé à la log-vraisemblance d’un modèle logit multino-mial est défini ∀z = 1, ..,m :

∂ logL (y,β1,β2, ...,βm)

∂βz=

N

i=1

(yi,z − pi,z)xi (3.22)

avec pi,z = Prob (yi = z) .

En effet, on a :

∂ logL (y,β1,β2, ...,βm)

∂βz=

∂

∂βz

N

i=1

m

j=1

yi,jxiβj

− ∂

∂βz

N

i=1

log 1 +m

k=1

exp (xiβk)

=N

i=1

yi,zxi −N

i=1

exp (xiβz)

1 +mk=1 exp (xiβk)

xi

Connaissant la définition de pi,z = Prob (yi = z) , on a donc :

∂ logL (y,β1,β2, ...,βm)

∂βz=

N

i=1

yi,zxi −N

i=1

pi,zxi =N

i=1

(yi,z − pi,z)xi

On retrouve naturellement la même expression que dans le cas du modèle logit bivarié. Dela même façon, la matrice hessienne est définie par :

∂2 logL (y,β1,β2, ...,βm)

∂βj∂βk= −

N

i=1

pi,j (Ij,k − pi,k)xixi (3.23)

où la fonction indicatrice Ij,k est telle que Ij,k = 1 si k = j et 0 sinon.

Enfin, on peut naturellement étudier les effets marginaux dans un modèle logitmultinomial indépendant de la façon suivante.

Definition 3.8. Les effets marginaux d’une variation de la variable exogène x[k]i ,∀k = 1, ..,K sur la probabilité que l’individu i choisisse la jeme modalité, ∀j = 0, 1, ..,m,sont définis par :

∂pi,j

∂x[k]i

= pi,j β[k]j −

m

z=0

pi,zβ[k]z (3.24)

où β[k]j est la kemecomposante de βj associé à la variable explicative x

[k]i et où pi,j =

Prob (yi = j) désigne la probabilité que l’individu i choisisse la jeme modalité :

pi,j =exp xiβjm

z=0exp (xiβz)

(3.25)

Pour démontrer ce résultat, on pose H (xi) =mz=0 exp (xiβz) En effet, on sait que

∂pi,j

∂x[k]i

=∂

∂x[k]i

exp xiβjH

=1

H (xi)2

∂ exp xiβj

∂x[k]i

×H (xi)− exp xiβj∂H (xi)

∂x[k]i

=1

H (xi)2 β

[k]j exp xiβj ×H (xi)− exp xiβj

m

z=0

β[k]z exp (xiβz)


En simplifiant cette expression, on fait apparaître les probabilités pi,j = exp xiβj /H, eton trouve :

∂pi,j

∂x[k]i

= β[k]j

exp xiβjH (xi)

− exp xiβjH

m

z=0

β[k]zexp (xiβz)

H

= β[k]j pi,j − pi,j

m

z=0

β[k]z pi,z

On retrouve ainsi l’expression (3.24) des effets marginaux. Il convient de remarquer que,pour chaque individu, pour une variable explicative quelconque x[k]i , on doit calculer m + 1

effets marginaux associés aux probabilités pi,j pour j = 0, 1, ..,m.

Dans le cas d’un modèle dichotomique à deux modalités (m = 1), on retrouve évidemmentla formule proposée dans le premier chapitre. En effet, nous avions vu que pour un modèle logitunivarié :

∂pi

∂x[k]i

=exiβ

(1 + exiβ)2βk (3.26)

Selon la formule (3.24), dans un modèle à 2 modalités on doit avoir

∂pi,1

∂x[k]i

= pi,1 β[k]1 − pi,0β[k]0 − pi,1β[k]1

avec pi,1 = Prob (yi = 1) et pi,0 = Prob (yi = 0) = 1 − pi,1 et pi,1 = exiβ/ 1 + exiβ . Par

normalisation, on pose β[k]0 = 0, ∀k, dès lors, il vient ∂pi,1/∂x[k]i = pi,1β[k]1 − p2i,1β[k]1 ou encore :

∂pi,1

∂x[k]i

= β[k]1

exiβ

1 + exiβ− exiβ

1 + exiβ

2

= β[k]1

exiβ

(1 + exiβ)2

On retrouve naturellement la formule proposée dans le cadre du premier chapitre pour le modèlelogit dichotomique.

3.2.3. Exemples de modèles logit multinomial

Le exemple de modèle logit multinomial est tiré de Perloff et Watcher (1979). Aux Etats-Unis en 1977-1978 est mis en place un programme de subventions destiné à lutter contre lechômage endémique lié à la crise économique du début des années 70. Ce programme viseà proposer des réductions de taxes aux entreprises qui embauchent de nouveaux salariés etplus particulièrement des salariés non qualifiés. Perloff et Watcher (1979) proposent d’évaluerl’utilité de ce programme en régressant la variation en pourcentage de l’emploi dans la ieme

firme, notée y∗i , sur différentes variables explicatives incluant notamment une variable dummyindiquant si l’entreprise participe au programme. Etant donnés que les premiers résultats deces régressions n’étaient pas satisfaisant, les auteurs ont alors regroupées les entreprises en cinqclasses : celles pour lesquels y∗i était compris dans les intervalles S0 = ]−∞,−1] , S1 = ]−1, 2] ,S2 = ]2, 30] , S3 = ]30, 45] et S4 = [45,+∞[ . Ils ont alors estimé un modèle non ordonné detype logit multinomial en essayant de modéliser la probabilité

pi,j = Prob (y∗i ∈ Sj) (3.27)


en utilisant les mêmes variables explicatives que dans leurs premières estimations. Dans leurmodèle les variables xi,j sont indépendantes des modalités (xi,j = xi) et les coefficients βjvarient avec les modalités. On a vu que généralement lorsque la variable latente y∗iest continue, distribuée selon une loi normale et observable, il est préférable derégresser directement y∗i sur un ensemble de variables explicatives plutôt que devouloir modéliser les probabilités que y∗i tombe dans certains intervalles. Pourtant,si y∗i est distribuée selon une loi inconnue et non normale qui dépend de xi d’une façon pluscompliquée qu’un simple problème de localisation dans un intervalle, la procédure de Perloff etWatcher peut donner de meilleurs résultats que les MCO de y∗i sur xi.

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3.3. Application

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3.4. Logit Conditionnel

Comme nous l’avons vu, le modèle logit multinomial indépendant permet d’envisager une mod-élisation où les paramètres diffèrent selon les modalités, mais où les variables explicatives sontles mêmes quelles que soient les modalités. Ces dernières ne varient qu’avec les individus. Sil’on reprend la notation de l’utilité stochastique utilisée précédemment, on a un modèle où laprobabilité que l’individu i choisisse la modalité j s’écrit sous la forme :

Prob (yi = j) =exp [v (xi,j)]m

k=0

exp [v (xi,k)](3.28)

où la fonction v (.) est linéaire, les paramètres βj diffèrent selon les modalités et que les variablesexplicatives varient uniquement en fonction des individus :

v (xi,j) = xiβj (3.29)

Une alternative à ce modèle logit multinomial consiste à supposer qu’au contraire lesparamètres β sont indépendants des modalités et que ce sont les variables explica-tives qui diffèrent selon les modalités et les individus :

v (xi,j) = xi,jβ (3.30)

On obtient alors, un modèle logit multinomial conditionnel (ou logit condition-nel) introduit par McFadden (1973). La définition d’un modèle logit conditionnel est ainsila suivante :

Definition 3.9. Dans un modèle logit conditionnel, la probabilité que l’individu ichoisisse la modalité j, ∀j = 0, ..,m, est définie par :

Prob (yi = j) =exp (xi,jβ )m

k=0

exp (xi,kβ)=

exp x∗i,jβ

1 +m

k=1

exp x∗i,kβ(3.31)


où par convention x∗i,j = xi,j − xi,0.

Nous allons à présent étudier quels sont les avantages et limites de cette spécification avantde proposer différentes applications.

3.4.1. Spécification du logit conditionnel

Commençons par étudier le rapport de probabilités dans un modèle logit conditionnel. Onconstate immédiatement que ce modèle vérifie l’hypothèse IIA tout comme le modèle logitmultinomial.

Proposition 3.10. Dans le cas d’un modèle logit conditionnel, le rapport des prob-abilités associés à deux modalités j et k distinctes, ∀j = 0, ..,m et ∀k = 0, ..,m, s’écritsous la forme :

pjpk=Prob (yi = j)

Prob (yi = k)=exp (xi,jβ)

exp (xi,kβ)= exp [(xi,j − xi,k)β] (3.32)

Ce rapport de probabilités est indépendant des alternatives autres que j et k.

Ainsi, le modèle logit conditionnel de McFadden vérifie l’hypothèse d’Indépendence desAlternatives Non Pertinentes (IANP ou IIA en anglais pour Independance of IrrelevantAlternative). Donc l’avantage de ce modèle ne se situe pas dans ses propriétés vis à vis del’hypothèse d’IIA.

L’avantage de ce modèle se situe d’avantage dans la possibilité qui est offerte de prédire laprobabilité d’une nouvelle modalité (virtuelle) en fonction de variables explicatives simulées.

Proposition 3.11. Le modèle logit conditionnel permet d’estimer la probabilité as-sociée à une modalité virtuelle de la façon suivante :

Pm+1 =exp x∗i,m+1β

1 +m

k=1

exp x∗i,kβ + exp x∗i,m+1β(3.33)

où β désigne un estimateur convergent de β obtenu sur la base des modalitésj = 0, ..,m existantes et où x∗i,m+1 est une estimation des caractéristiques exogènesassociées à la m+ 1eme modalité virtuelle.

C’est l’exemple typique du modèle hypothétique de choix de transport cité dans Amemiya(1981) et Alban (2000). Prenons l’exemple d’une collectivité territoriale envisageant la miseen place d’un nouveau mode de transport public, le tramway, en plus des modes de transportscollectifs existant (le bus pour simplifier). Pour évaluer la probabilité que les administréschoisissent le tramway, on conduit tout d’abord une enquête sur les choix des modes de transportexistant : le but est de calculer la probabilité que l’individu choisisse le bus (modalité 1), lavoiture (modalité 2), ou le vélo (modalité 3). On a ici m + 1 = 4 modalités, la modalitéde référence (codée 0) étant les autres modes de transports (marche à pieds, roller, auto-stopetc..). Les variables explicatives sont exprimées en différences par rapport à leur valeur prisesdans la modalité 0. Il s’agit par exemple du temps de transport moyen du domicile au lieu detravail pour le mode j, noté ti,j = x

[1]i,j et le coût au kilomètre de ce mode, noté ci,j = x

[2]i,j ,


pour l’individu i. Le modèle donne alors la probabilité qu’un individu caractérisé par des tempsrelatifs (ti,1, ti,2, ti3) et des coûts (ci,1, ci,2, ci3) choisisse le mode de transport j = 1, 2, 3. Laprobabilité que l’individu i choisisse le bus est par exemple égale à :

Prob (yi = 1) =exp (β0 + β1 ti,1 + β2 ci,1)

1 +3

k=1

exp (β0 + β1 ti,j + β2 ci,j)

=exp x∗i,1β

1 +3

k=1

exp x∗i,kβ

avec β = (β0 β1 β2) et x∗i,j = (1 ti,j ci,j) .

Comme le mode de transport métro (modalité 4) n’existe pas encore, les variables de tempsde trajet ti,4 et de coût ci,4 ne sont pas disponibles. Mais elles peuvent être simulées à partird’une évaluation du temps de trajet du métro et du coût au kilomètre de ce mode de transportdans d’autres villes. Soient ti,4 et ci,4 les évaluations correspondantes. Si l’on dispose en outred’un estimateur convergent β du vecteur de paramètres β, on peut alors calculer la probabilitéqu’un individu i prenne le métro lorsque celui-ci sera effectivement mis en place :

Prob (yi = 4) =exp β0 + β1 ti,4 + β2 ci,4

1 +3

k=1

exp β0 + β1 ti,j + β2 ci,j + exp β0 + β1 ti,4 + β2 ci,4

Cela donne la probabilité que l’individu i choisisse le métro plutôt que les autres modes detransport.

3.4.2. Estimations des paramètres du logit conditionnel

Tout comme dans le cas du modèle logit multinomial, plusieurs méthodes peuvent être util-isées pour estimer les paramètres d’un modèle logit conditionnel : méthodes du maximumde vraisemblance, méthodes de moments, méthodes non paramétriques et semi-paramétriques.Nous n’étudierons ici que la méthode du maximum de vraisemblance à information complète.

La vraisemblance associée à un modèle logit conditionnel àm+1modalités s’écrit en fonctiond’un vecteur β ∈ RK de K paramètres.

logL (y,β) =N

i=1

m

j=0

yi,j log [Prob (yi = j)]

avec yi,j = 1 si yi = j et 0 sinon, et où les probabilités Prob (yi = j) sont définies par :

Prob (yi = j) =exp (xi,jβ )m

k=0

exp (xi,kβ)=

exp x∗i,jβ

1 +m

k=1

exp x∗i,kβ

avec par convention x∗i,j = xi,j − xi,0.Proposition 3.12. La log vraisemblance associée à un modèle logit conditionnels’écrit alors :

logL (y,β) =N

i=1

m

j=0

yi,jxi,jβ −N

i=1

logm

k=0

exp (xi,jβ) (3.34)

=N

i=1

m

j=1

yi,jx∗i,jβ −

N

i=1

log 1 +m

k=1

exp x∗i,jβ


avec x∗i,j = xi,j − xi,0 par convention.

En effet, on sait que la log-vraisemblance est définie par la relation suivante :

logL (y,β) =N

i=1

m

j=0

yi,j log (pi,j)

=N

i=1

m

j=0

yi,j logexp x∗i,jβ

1 + mk=1 exp x∗i,jβ


logL (y,β) =N

i=1

m

j=0

yi,jx∗i,jβ −

N

i=1

m

j=0

yi,j

log 1 +m

k=1

exp x∗i,jβ

=N

i=1

m

j=1

yi,jx∗i,jβ −

N

i=1

log 1 +m

k=1

exp x∗i,jβ

puisque par construction mj=0 yi,j = 1 et que x∗i,0 = 0. On retrouve alors l’expression (3.34)

de la log-vraisemblance. De la même façon que pour un modèle logit multinomial, la fonctionde log-vraisemblance d’un modèle logit conditionnel est globalement concave.

3.4.3. Exemples de modèles logit conditionnel

Un premier exemple de modèle logit conditionnel est donné dans l’étude de 1976 de McFadden(prix Nobel 2000). Dans cette étude, préalablement réalisée en 1968, McFadden utilise un logitconditionnel pour analyser la sélection des projets autoroutiers faite par la division californiennedes autoroutes (California Division of Highways) pour les districts de San Fransisco et de LosAngles durant les années 1958-1966. L’échantillon porte sur N = 65 projets. Le iemeprojetpeut être choisi parmi mi routes possibles et la probabilité de sélection est donnée par :

Prob (yi = j) =exp (xi,jβ )

mi

k=0

exp (xi,kβ)∀j = 0, 1, ..,mi (3.35)

où xi,j est un ensemble de caractéristiques attribuées à la route j dans le projet i (duréede trajet, nombre de kilomètre, difficulté de construction etc..). Naturellement pour chaqueprojet, le nombre de routes possibles diffère : d’où la présence d’un terme mi pour le nombre demodalités. Naturellement, l’ensemble des caractéristiques xi,j diffère avec la nature du projetmais aussi selon les routes envisagées pour ce projet.

McFadden considère deux ensembles de variables explicatives xi,j : un premier ensemble necomportant que des variables de coûts et de bénéfices, le second ensemble regroupe les variablesdu premier ainsi que des variables qui expriment les sentiments de la population sur le projet etle degré selon lequel la population sera affectée par le projet. A chaque ensemble de variablesexplicatives, McFadden associe un modèle logit conditionnel différent et le choix du modèle estfait selon le critère de la log-vraisemblance et le critère du nombre de prédictions fausses. Ce quemontre ainsi McFadden c’est que pour chaque projet le classement entre les différentes routes(selon la probabilité de sélection pi,j) diffère selon le modèle utilisé. Suivi que l’on ne considère


que des variables de coûts - bénéfices ou des variables liées aux souhaits de la population, lesprobabilités affectés pour un même projet aux différentes routes varient.

3.4.4. Applications

*********************************************** Application Eviews ou Limdep à programmer ***********************************************

3.5. Logit Universel

La dernière catégorie des modèles logit multinomiaux est celle du logit universel, qui commeson nom l’indique englobe le logit multinomial indépendant et le logit multinomial conditionnelde McFadden. Si l’on reprend la notation de l’utilité stochastique utilisée précédemment, on aun modèle où la probabilité que l’individu i choisisse la modalité j s’écrit sous la forme :

Prob (yi = j) =exp [v (xi,j)]m

k=0

exp [v (xi,k)](3.36)

où la fonction v (.) est linéaire, les paramètres βj diffèrent selon les modalités et que les variablesexplicatives varient uniquement en fonction des individus :

Definition 3.13. Le modèle logit multinomial universel (ou logit universel) est obtenupour toute fonction v (.) continue dépendant de paramètres βj conditionnels auxmodalités et de l’ensemble des variables explicatives du modèle :

v (xi,j) = v βj , xij (3.37)

La probabilité que l’individu i choisisse la modalité j, ∀j = 0, ..,m, est alors définiepar :

Prob (yi = j) =exp v βj , xijm

k=0

exp v βj , xij

(3.38)

On peut montrer que si les fonctions v βj , xij dépendent de l’ensemble des caractéris-tiques, le modèle logit universel ne satisfait pas l’hypothèse d’indépendance des alternativesnon pertinentes (IIA). Lorsque v (.) est linéaire dans les paramètres βj , on retrouve alors lemodèle logit indépendant.


4. L’hypothèse d’indépendance des alternatives non pertinentes

Tests + modèles alternatifs.

4.1. Test de l’hypothèse IIA

4.2. Modèle Alternatifs

4.2.1. Probit multinomial

4.2.2. Logit Hierarchisé

cf amemiya


Bibliographie

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David J.M. et LeggW.E. (1975), ”An application of Multivariate Probit Analysis to the Demandfor Housing”, Journal of Business and Economic Statistics, August 1975, 295-300

Gourieroux C. (1989), ”Econométrie des Variables Qualitatives”, Economica.

Gurland J., Lee I.et Dahm P. (1960), ”Polytchotomous Quantal Response in Biological Assay”,Biometrics, Sept. 1960, 382-388.


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McFadden D. (1976), ”The Revealed Prefrences of a Government Bureaucracy: Empirical Ev-idence”, Bell Journal of Economic Mangament, Spring 1976, 55-72

Spector L.C. et MazzeoMcFadden M. (1980), ”Probit Analysis and Economic Education”, Jour-nal of Economic Education, 11(2), 37-44


MASTER ECONOMETRIE ET STATISTIQUE APPLIQUEE (ESA)



Chapitre 3

Modèles à Variable Dépendante Limitée

Modèles Tobit Simples et Tobit Généralisés

Christophe Hurlin

Polycopié de Cours

Master Econométrie et Statistique Appliquée (ESA) Université d’Orléans Faculté de Droit, d’Economie et de Gestion Bureau A 224 Rue de Blois – BP 6739 45067 Orléans Cedex 2 www.univ-orleans.fr/deg/masters/ESA/

Contents

1 Le Modèle Tobit Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1 Estimation par les Moindres Carrés Ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Application des MCO à l’ensemble des observations . . . . . . . . . . . . 91.1.2 Application des MCO aux observations pour lesquelles y∗i > 0 . . . . . . . 12

1.2 Estimation par la méthode en deux étapes : Heckman (1976) . . . . . . . . . . . 141.3 Estimation par le Maximum de Vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Log Vraisemblance dans un modèle Tobit simple . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Re-paramétrisation d’Olsen (1978) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Effets marginaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 Propriétés de l’estimateur du MV sous des hypothèses non standard . . . . . . . 27

1.6.1 Hétéroscédasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.2 Non normalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7 Extensions du modèle Tobit Simple : modèles à censure multiples . . . . . . . . . 351.7.1 Modèle Tobit simple à censures multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.2 Modèle Tobit simple à double censure : Rosett et Nelson (1975) . . . . . 371.7.3 Application modèle à double censure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Les Modèles Tobit Généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1 Modèle Tobit Généralisé Type 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.1 Définition du Tobit généralisé de type II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.2 Estimation par Maximum de Vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.3 Estimation en deux étapes : Heckman (1976) . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.5 Modèle de Troncature Auxiliaire ou Modèle Heckit . . . . . . . . . . . . . 48

2.2 Autres Modèles Tobit Généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.1 Modèle Tobit Généralisé Type 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.2 Modèle Tobit Généralisé Type 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.3 Modèle Tobit Généralisé Type 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Les Modèles à régimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1 Modèle à régimes observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2 Modèle à régimes inobservables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51A.1 Concavité de la log-vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51A.2 Programme de simulation d’un probit simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


Introduction

Nous allons à présent envisager le cas desmodèles à variable dépendante limitée :ce sontdes modèles pour lesquels la variable dépendante est continue mais n’est observableque sur un certain intervalle. Ainsi, ce sont des modèles qui se situent à mi cheminentre les modèles de régression linéaires où la variable endogène est continue et observableet les modèles qualitatifs. En effet, les modèles à variable dépendante limitée dérivent desmodèles à variables qualitatives, dans le sens où l’on doit modéliser la probabilité que la variabledépendante appartienne à l’intervalle pour lequel elle est observable. Nous verrons que lastructure de base des modèles à variable dépendante limitée est représentée par le modèleTobit. Avant de présenter plus en détail les modèles à variable dépendante limitée, et plusspécifiquement le modèle Tobit, il convient au préalable de préciser les termes que nous allonsutilisés par la suite dans le cadre de ce chapitre.

Les modèle Tobit se réfèrent de façon générale à des modèles de régressionsdans lesquels le domaine de définition de la variable dépendante est contraint sousune forme ou une autre. En économie, de tels modèles ont été initiés par James Tobin(1958). Son analyse portait sur les dépenses de consommation en biens durables et reposaitsur une régression tenant compte spécifiquement du fait que ces dépenses ne peuvent pas êtrenégatives. La variable dépendante était ainsi assujettie à une contrainte de non négativité.Tobin qualifia son modèle de modèle à variable dépendante limitée1 (limited dependentvariables model) d’où le titre de ce chapitre. Ce modèle et ses généralisations sont plus connusparmi les économistes sous le nom de modèle Tobit. Ce terme a été introduit par Goldberger(1964) en raison des similarités avec le modèle probit.

Toutefois, ces modèles sont aussi appelés modèles de régression censurées (censoredregression models) ou modèle de régression tronquée (truncated regression models). Cetteterminologie plus précise permet en effet d’introduire la distinction entre des échantillons tron-qués et des échantillons censurés :

1. Un modèle de régression est dit tronqué lorsque toutes les observations des variablesexplicatuves et de la variable dépendante figurant en dehors d’un certain intervalle sonttotalement perdues.

2. Un modèle de régression est dit censuré lorsque l’on dispose au moins des observationsdes variables explicatives sur l’ensemble de l’échantillon.

Nous verrons par la suite que le modèle Tobit est ainsi un modèle de régressioncensurée. Les modèles censurés et tronqués ont été utilisés dans d’autres disciplines indépen-damment de leur utilisation et développement en économie, et ce notamment en biologie et dans

1Tobin J. (1958), ”Estimation of Relationships for Limited Dependent Variables”, Econometrica, 26, 24-36.


les sciences de l’ingénieur. En biologie, de tels modèles furent utilisés pour représenter le tempsde survie des patients en fonction de certaines caractéristiques : les échantillons étaient en effetcensurés ou tronquées dès lors que le patient reste en vie à la dernière date d’observation del’échantillon ou si il ne peut pas être ausculté à cette date pour une raison quelconque. De lamême façon en ingénierie, les modèles censurés et tronqués sont utilisés pour analyser le tempsde survie d’un matériel ou d’un système en fonction de ses caractéristiques. De tels modèlessont alors qualifiés demodèles de survie (survival models). Les économistes et les sociologuesont aussi utilisés des modèles de survie pour évaluer la durée de phénomènes comme le chômage,le mariage, la durée de résidence dans certains lieux etc... Mathématiquement, les modèles dedurée appartiennent à la même classe que les modèles Tobit, mais font souvent l’objet d’untraitement à part.

Entre 1958, date de parution de l’article de Tobin et les années 70, les modèles Tobit ont étéutilisés très fréquemment en économie sous l’effet de la conjonction de deux phénomènes : d’unepart la plus grande disponibilité de bases micro-économiques et d’autre part le développementdes capacités informatiques qui a permis de traiter des modèles Tobit de grande taille. Du faitde ces très nombreuses applications, différentes extensions et généralisations ont été proposéespour le Tobit : modèle Tobit généralisé,modèles à seuils stochastiques... C’est pourquoion a introduit la caractérisation de modèle Tobit simple pour désigner le modèle développépar Tobin et le distinguer des autres extensions. Amemiya (1983) identifie ainsi 5 typesde modèle de Tobit, le Tobit simple étant qualifié de modèle Tobit Type I.

Plus formellement, considéronsN couples de variables (xi, y∗i ) où la variable y∗i est engendrée

par un processus aléatoire tel que E (y∗i /xi) = xiβ, où β ∈ RK est un vecteur de paramètres.On suppose que la variable y∗i n’est pas toujours observable : on ne l’observe que si sa valeurest supérieure à un certain seuil ci. On peut ainsi construire une variable yi, qui est égale à y∗ilorsque celle-ci est observable et qui vaut ci par convention lorsque y∗i n’est pas observable.

yi =y∗ici

si y∗i > cisinon

∀i = 1, ..N (0.1)

La constante ci peut être identique pour tous les individus. Deux cas peuvent alors se présentersuivant la nature des observations :

1. Si le vecteur xi est observable pour tous les individus et cela indépendamment du fait quela variable y∗i soit observable ou non, on un échantillon censuré. Seule la variable y

∗i

est observable sur un intervalle [ci,+∞[2. Si le vecteur xi est observable uniquement pour les individus pour lesquels la variable y∗iest observable, on un échantillon tronqué. On ne dispose d’observations (xi, y∗i ) quepour les individus pour lesquels y∗i > ci.

On a par exemple un échantillon tronqué dans le cadre d’une enquête où les ménages nerépondent à l’enquête que s’ils répondent à la question permettant de déterminer y∗i . Ceuxpour lesquels y∗i ≤ ci ne répondent pas à l’enquête ou sont éliminés de l’échantillon par lesenquêteurs.


L’utilisation de modèles Tobit suppose que soient particulièrement connus les résultats relat-ifs aux moments et aux moments conditionnels d’une variable distribuée selon une loi normaletronquée. C’est pourquoi, avant de présenter ces modèles, nous proposons les résultats suiv-ants. Soit Φ (.) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N (0, 1) et soit φ (.)la fonction de densité associée.

Proposition 0.1. Considérons une variable y suivant une loi normale tronquée telleque :

y =y∗

0si y∗ > 0sinon

(0.2)

où y∗ est distribuée selon une loi normale N m,σ2 . On admet alors les propriétéssuivantes :

1. Espérance de y :E (y) = mΦ

m

σ+ σ φ

m

σ(0.3)

2. Espérance conditionnelle de y :

E (y/y > 0) = m+ σφ m

σ

Φ mσ

= m+ σ λm

σ(0.4)

où λ (x) = φ (x) /Φ (x) désigne le ratio de Mill.

3. Variance de y :

V (y) = σ2 Φm

σ+m

σW

m

σ−W 2 m

σ(0.5)

avec W (x) =x

−∞Φ (t) dt = xΦ (x) + φ (x) . Par conséquent :

V (y) = m2Φm

σ+mσ φ

m

σ+ σ2 Φ

m

σ−m2Φ2

m

σ

−2mσ φm

σΦ

m

σ− σ2 φ2

m

σ

4. Variance conditionnelle de y :

V (y/y > 0) = σ2 1− mσλm

σ− λ2

m

σ(0.6)

Notons simplement que puisque le ratio de Mill λ (x) joue un grand rôle dans l’analyse desmoments d’une loi normale tronquée, il est intéressant de vérifier qu’il s’agit d’une fonctiondécroissante de x :

∂λ (x)

∂x=−λ (x)W (x)

Φ (x)(0.7)


La forme générale du ratio de Mill est reproduite sur la figure (0.1).

Figure 0.1: Ratio de Mill : λ (x) = φ (x) /Φ (x)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

Ratio de Mill

Etudions à présent le modèle Tobit Simple ou modèle Tobit de type 1 suivant la terminologied’Amemiya (1983).


1. Le Modèle Tobit Simple

Comme nous l’avons dit en introduction le modèle Tobit2 a été développé par Tobin (1958),même si le terme de modèle Tobit n’est apparu qu’en 1964 dans un article de Goldberger. Dansson étude, Tobin cherche à modéliser la relation entre le revenu d’un ménage et les dépensesen biens durables. Il dispose pour cela d’un échantillon de N = 735 consommateurs tiré duSurvey of Consumer Finances. Tobin observe que lorsque l’on représente les couples revenus- dépenses des N consommateurs, la relation obtenue ressemble au graphique (1.1) ci-dessous.Une des caractéristiques essentielles des données étant que plusieurs observations pour lemontant des dépenses de consommation sont nulles. En effet, ces observations sontnulles pour tous les ménages n’ayant pas acheté de biens durables sur la période. Pour cesindividus, on dispose ainsi d’observations sur le revenu mais pas d’observations sur les dépensesde consommation : on un échantillon censuré.

Figure 1.1: Nuage de Points : Modèle Tobit Simple

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

1

2

3

4

5

6

Cette propriété remet en cause l’hypothèse de linéarité et montre que les moindres carrésordinaires ne sont pas la méthode pertinente pour estimer une telle relation. De façon plusgénérale, on peut pas ici utiliser une densité continue pour expliquer la distributionconditionnelle des dépenses par rapport au revenu : en effet, une distribution continueest incompatible avec le fait que plusieurs observations des dépenses soient nulles. C’est doncdans ce contexte que Tobin propose son modèle à variable dépendante limitée (limited dependentvariable model).

2Dans cette section nous parlerons de modèle Tobit en réference au Tobit simple pour alléger les notations.


L’histoire que propose Tobin est alors la suivante. Considérons un agent qui a le choix entredeux biens x et y, qui cherche à maximiser son utilité U (x, y) sous sa contrainte de budget de laforme x+ py ≤ R, où p est le prix relatif et R le revenu. On suppose que le prix du bien x sertde numéraire. On admet parallèlement que la consommation de bien x satisfait une contraintede non négativité x ≥ 0, mais que la consommation de bien y vérifie une contrainte du typey ≥ y0 ou y = 0. Cette contrainte traduit simplement une indivisibilité des premières unités debiens y. Supposons que y∗ soit la solution du programme de maximisation de l’utilité sous lacontrainte de budget et la contrainte x ≥ 0.

(x∗, y∗) = arg maxx,y

U (x, y)

sc : x+ py ≤ R.sc : x ≥ 0

Dès lors, deux cas sont à considérer : soit le niveau de consommation potentielle du bieny∗ est suffisamment élevé par rapport au seuil y0 et l’agent consomme effectivement du bieny en quantité y∗, soit il n’est pas suffisamment élevé et l’agent ne consomme pas de bien y.Formellement on a :

y =y∗

0si y∗ > y0

Si l’on suppose que la solution non contrainte y∗ est fonction d’un certains nombres decaractéristiques x et d’une perturbation ε sous la forme y∗ = β0 + β1x + ε et si l’on supposela normalité des perturbations ε , alors on peut reproduire des valeurs de la consommation ysemblables à celles du graphiques (1.1). Il suffit pour cela de supposer que les seuils y0 sont lesmêmes pour tous les individus et que y0 = 0.

Ainsi, le modèle originellement proposé par Tobin (1958) est le suivant :

Definition 1.1. Un modèle Tobit Simple ou modèle Tobit de type I est défini par :

y∗i = xiβ + εi ∀i = 1, ..N (1.1)

yi =y∗i0

si y∗i > 0si y∗i ≤ 0 (1.2)


β = (β1...βK) ∈ RK est un vecteur de paramètres inconnus et où les perturbationsεi sont distribués selon une loi N 0,σ2ε .

On suppose ainsi que les variables yi et xi sont observées pour tous les individus, maisque les variables y∗i sont observables uniquement si elles sont positives. On note X la matricede dimension (N,K) telles que les lignes de cette matrice correspondent aux vecteurs xi. Onsuppose en outre que

limN→∞

X X = QX

où QX est une matrice définie positive.

Remarquons que l’écriture d’un seuil nul y∗i > 0 peut parfaitement être changé en un seuily∗i > y0 sans que le modèle soit changé. Il suffit pour cela d’absorber dans le vecteur des


caractéristiques xi une constante et de lui associer un coefficient égal à y0. Le cas où les seuilsyi,0 diffèrent selon les individus nécessite toutefois de modifier le modèle.

Essayons à présent de comprendre pourquoi l’application d’une méthode de moindres carrésordinaires ne permet pas d’estimer de façon convergente le vecteur des paramètres β associésaux variables explicatives.

1.1. Estimation par les Moindres Carrés Ordinaires

Au delà des calculs, on observe immédiatement sur l’exemple de la figure (1.1) que l’applicationdes Moindres Carrés Ordinaires n’est pas la méthode adéquate pour révéler la relation entreconsommation et revenu pour au moins eux raisons :

1. Le nuage de point sera alors mal décrit par une relation du type consommation = a+ b ∗revenu puisque le nuage de points comporte deux parties distinctes.

2. L’hypothèse de loi continue généralement faite sur les perturbations n’est pas adaptéedans ce cas puisque la valeur nulle de la consommation est observée de nombreuses foisdans l’échantillon et a donc sans doute une probabilité d’apparition nettement différentede zéro.

Nous allons toutefois montrer l’application des MCO à l’ensemble des observations ou l’ap-plication des MCO aux seules observations pour lesquelles on observe la variable y∗ conduit àune estimation biaisée des paramètres du vecteur β.

On suppose que les N observations de l’échantillon sont générées à partir du processusgénérateur de données suivant :

yi =y∗i0

si y∗i = xiβ + εi > 0sinon

∀i = 1, ..N

avec xi = x1i ..xKi , ∀i = 1, .., N, β = (β1...βK) ∈ RK et où les perturbations εi sont distribués

selon une loi N 0,σ2ε . On cherche ici à estimer le vecteur de paramètre β par le méthode desMoindres Carrés Ordinaires. Deux solutions sont alors envisageables :

1. Soit on applique les MCO à l’ensemble des observations (xi, yi) de l’échantillon

2. Soit on applique les MCO aux seules observations (xi, yi) pour lesquels y∗i > 0.

Commençons tout d’abord par appliquer lesMCO à l’ensemble des observations de l’échan-tillon.

1.1.1. Application des MCO à l’ensemble des observations

L’estimateur des MCO appliqué à l’ensemble des N couples d’observations (yi, xi) est définipar la relation suivante :

βLS =N

i=1

xixi

−1 N

i=1

xiyi (1.3)


Supposons pour commencer que les variables exogènes xi sont déterministes et déterminons

alors l’expression de E βLS , comme suit :

E βLS =N

i=1

xixi

−1 N

i=1

xiE (yi) (1.4)

Cette expression dépend de la quantité E (yi) qui correspond à l’espérance d’une variablenormale tronquée. En appliquant la formule de l’espérance d’une loi normale tronquée, onmontre que :

E (yi) = xiβΦxiβ

σε+ σε φ

xiβ

σε

On en déduit immédiatement que l’estimateur des moindres carrés β est biaisé : en effet la

quantité E βLS est une fonction non linéaire de β et ne peut donc pas être égale à β. Lebiais peut être positif ou négatif et pour le caractériser, considérons le cas où K = 1, on a alors

βLS =Ni=1 x

2i

−1Ni=1 xiyi et l’on en déduit que :

E βLS =Ni=1 xiE (yi)

Ni=1 x

2i

=1Ni=1 x

2i

N

i=1

x2i βΦxiβ

σε+ xiσε φ

xiβ

σε

Si l’on admet quelimn→∞ V βLS = 0

alors, on en déduit que l’estimateur βLS converge vers E βLS qui dans le cas général diffère

de la vraie valeur β des paramètres :

βLSp−→

N→∞β = β (1.5)

L’estimateur des MCO de β appliqué sur l’ensemble des observations est non con-vergent. Il est alors relativement difficile dans le cas de variables déterministes de donner unrésultat général sur la forme du biais, c’est à dire sur le fait que l’estimateur βLS sur-estime ousous estime la vraie valeur β des paramètres. C’est pourquoi, nous allons à présent envisagerle cas de variables explicatives stochastiques.

Envisageons à présent le cas où les variables xi sont des variables aléatoires. Goldberger(1981) a étudié les biais asymptotiques de l’estimateur des MCO dans ce cas en supposant queles toutes les variables explicatives xi, à l’exception du terme constant, étaient distribuées selonune loi normale. Goldberger réécrit ainsi le modèle sous la forme :

yi =y∗i0

si y∗i = α+ xiβ + εi > 0sinon

∀i = 1, ..N

avec xi = x1i ..xKi , ∀i = 1, .., N, β = (β1...βK) ∈ RK et γ ∈ R. Les résidus εi sont distribués

selon une loi normale N 0,σ2ε .

Hypothèse On suppose que les variables explicatives xi sont distribuées selon une loi normaleN (0,Ω) avec cov εix

(k)i = 0, ∀k = 1, ..,K.


L’hypothèse de nullité de l’espérance des variables explicatives xi n’est pas gênante icipuisque si l’on considère des variables non centrées, on peut sans problème intégrer cette quan-tité dans le terme constant α.

Proposition 1.2. Sous les hypothèses de Goldberger (1981), l’estimateur βLS desMoindres Carrés Ordinaires obtenu sur l’ensemble des observations (xi, yi) vérifie :

βLSp−→

N→∞β ×Φ α

σy(1.6)

où α correspond à la constante de l’équation y∗i = α+ xiβ + εi et σ2y = σ2ε + β Ωβ, oùΩ désigne la matrice de variance covariance des variables explicatives xi.

La démonstration de cette proposition figure dans Greene (1981)Exemple : Considérons le cas où α = 0. Etant donné que Φ (0) = 0.5, lorsque il n’y pas

de constante dans la définition de la variable latente y∗i (α = 0), alors on obtient une relationdu type plim βLS = 0.5× β. Dans ce cas, l’estimateur obtenu sur la totalité de l’échantillon

converge asymptotiquement vers la moitié de la vraie valeur β des paramètres. En effet, sousl’hypothèse de normalité avec E (xi) = 0, si la constante α est nulle, on a alors E (y∗i ) = 0. Lavariable y∗i est centrée et distribuée selon une loi symétrique, la loi normale N xiβ,σ

2ε . Dès

lors sous l’hypothèse de Goldberger lorsque α = 0, on a Prob (y∗i > 0) = Prob (y∗i ≤ 0) = 0.5.

Pour un échantillon de taille N suffisante, on a donc approximativement autant d’observationsnulles de yi que d’observations strictement positives : N1 N/2. Dès lors, la prise en comptede l’ensemble des observations dans l’estimation des MCO va conduire à un estimateur de βconvergeant vers la moitié de la vraie valeur du vecteur β. Dans le cas K = 1, la pente de ladroite d’ajustement linéaire associée à la régression sur l’ensemble des observations (c’est à direβLS) correspond dans ce cas à la moitié de la pente β associée à la vraie relation linéaire entrey∗i et xi.************************************* Insérer Graphique avec α = 0 *************************************

Une des conséquences remarquables de cette proposition est la suivante :

Remark 1. Sous les hypothèses de Goldberger (1981), l’estimateur défini par laquantité β

c

LS = (N/N1) × βLS, où N1 est le nombre d’observations pour lesquellesy∗i > 0, est un estimateur convergent de β. Un estimateur convergent de α peut êtreobtenu de façon similaire.

βc

LS =N

N1βLS

p−→N→∞

β (1.7)

De la même façon pour l’estimateur corrigé αcLS de la constante α, on a :

αcLS =N

N1αLS

p−→N→∞

α (1.8)

Reprenons l’exemple du cas où le terme constant est nul : α = 0. On a vu alors quel’estimateur des MCO était biaisé et convergeait vers la moitié de la vraie valeur des paramètres:

βLSp−→

N→∞β ×Φ 0

σy=

β

2


Or sous les hypothèses de Goldberger et en particulier sous l’hypothèse E (xi) = 0, imposerla nullité de α revient à imposer la nullité de E (y∗i ) . Comme nous l’avons dit la variable y

∗i est

alors centrée et distribuée selon une loi symétrique, la loi normale N xiβ,σ2ε . Dès lors, lorsque

α = 0, on a Prob (y∗i > 0) = Prob (y∗i ≤ 0) = 0.5. Pour un échantillon de taille N suffisante,on a donc approximativement autant d’observations nulles de yi que d’observations strictementpositives :

N1p−→

N→∞N

2

Ainsi l’estimateur corrigé βc

LS est convergent puisque :

βc

LS =N

N1× βLS

p−→N→∞

2 plim βLS = β

Greene (1983) dérive les matrices de variance covariance asymptotiques de cet estimateur.Malheureusement, on peut utiliser cet estimateur que dans la mesure où l’on est sur que les hy-pothèses de Goldberger sont satisfaites et en particulier l’hypothèses selon laquelle les variablesexplicatives sont distribuées selon des lois normales. Rien n’est spécifié sur les propriétés decet estimateur lorsque les variables explicatives ne sont pas distribuées selon une loi normale.Il faudra donc utiliser une autre méthode pour estimer β dans le cas général.*********************************************************** Illustrer par simulation biais sur βLS et convergence de β

c

LS ***********************************************************

Appliquons à présent la méthode des MCO aux seules observations pour lesquelles y∗i > 0afin d’estimer le vecteur de paramètres β.

1.1.2. Application des MCO aux observations pour lesquelles y∗i > 0

Compte tenu du graphique (1.1), il était clair que l’application des MCO à l’ensemble desobservations (xi, yi) de l’échantillon devait conduire à une estimation biaisée du coefficient quilie le revenu à la consommation. C’est ce que nous avons démontré dans la section précédente.Mais lorsque l’on restreint l’échantillon aux seules observations pour lesquelles la variable latentey∗i est positive, ce résultat est beaucoup moins évident à illustrer graphiquement.

Appliquons ainsi les MCO aux seules observations pour lesquelles y∗i > 0. L’estimateur desMCO, noté βy>0, est défini par la relation :

βy>0 =yi>0

xixi

−1

yi>0

xiyi (1.9)

où yi>0désigne la sommation sur les indices i = 1, ..,N pour lesquels on a yi > 0. Supposons

que les variables exogènes xi sont déterministes et déterminons alors l’expression de E βy>0 ,comme suit :

E βy>0 =yi>0

xixi

−1

yi>0

xiE (yi/yi>0) (1.10)

Cette expression dépend de la quantité E (yi/yi>0) qui correspond à l’espérance condition-nelle d’une variable normale tronquée. En appliquant la formule correspondante, on montre


que :

E (yi/yi>0) = xiβ + σεφ xiβ

σε

Φ xiβσε

= xiβ + σε λxiβ

σε(1.11)

où λ (x) = φ (x) /Φ (x) désigne le ratio de Mill. Dans ce cas encore, l’estimateur des MCO estdonc biaisé et le biais peut être positif et négatif :

E βy>0 =yi>0

xiE (yi/yi>0)

yi>0x2i

= β + σεyi>0

xiλ (xiβ/σε)

yi>0x2i

(1.12)

Envisageons à présent le cas où les variables xi sont distribuées selon une loi normale. On seplace alors dans le cadre des hypothèses de Goldberger (1981) décrites à la section précédente.On suppose que les variables explicatives xi sont distribuées selon une loi normale N (0,Ω) avec

cov εix(k)i = 0, ∀k = 1, ..,K. Sous ces hypothèses, Goldberger obtient le résultat suivant :

Proposition 1.3. Sous les hypothèses de Goldberger (1981), l’estimateur βy>0 desMoindres Carrés Ordinaires obtenu sur les seules observations (xi, yi) pour lesquellesy∗i > 0 vérifie :

βy>0p−→

N→∞1− γ

1− ρ2γβ (1.13)

les paramètres γ et ρ étant respectivement définis par :

γ =1

σyλ

α

σyα+ σyλ

α

σy(1.14)

ρ2 =1

σ2yβ Ωβ (1.15)

où α correspond à la constante de l’équation y∗i = α+ xiβ + εi et où σ2y = σ2ε + β Ωβ,

avec Ω matrice de variance covariance des variables explicatives xi.

La démonstration de cette proposition figure dans Goldberger (1981). On peut montrer queles paramètres γ et ρ vérifient :

0 ≤ γ ≤ 1 0 ≤ ρ2 ≤ 1

Dés lors, de façon générale on montre que l’estimateur des MCO appliqué aux seules observa-tions yi > 0 sous estime l’ensemble des composantes du vecteur β.

plimN→∞

βy>0 ≤ β (1.16)

Une des conséquences remarquable de cette proposition est la suivante :

Remark 2. Sous l’hypothèse de normalité des variables xi, le degré de sous estima-tion est totalement uniforme pour tous les éléments de β.

1

β(k)plimN→∞

β(k)

y>0 = ξ ∀k = 1, ..,K (1.17)


Ainsi le biais affecte de façon symétrique l’ensemble des paramètres estimés. Ce résultatn’est plus valable dès lors que l’on lève l’hypothèse de normalité.

*** Déterminer le cas particulier où l’estimateur βy>0 n’est pas biaisé c’est à dire lorsque

γ = σ−1y λα

σyα+ σyλ

α

σy=

α

σyλ

α

σy+ λ2

α

σy= 1

********************************************************* Insérer Simulations Biais + Graphique pour le cas particulier ********************************************************

1.2. Estimation par la méthode en deux étapes : Heckman (1976)

Puisque la méthode des Moindres Carrés Ordinaires ne peut conduire qu’à des estimationsbiaisées des paramètres dans le cas d’un modèle Tobit simple, sauf dans des cas très particuliers,différentes méthodes d’estimation alternatives ont été proposées. La méthode d’estimation quiest la plus utilisée aujourd’hui est celle du maximum de vraisemblance (Goldberger 1981, Olsen1978). Toutefois cette méthode est relativement ”gourmande” en termes de capacités de calcul,notamment dans la phase d’optimisation. C’est pourquoi, dans les années 70, du fait descontraintes informatiques, d’autres méthodes d’estimation ont souvent été privilégiées parcequ’elles nécessitaient moins de capacités de calcul : tel est le cas de la méthode d’estimation endeux étapes d’Heckman (1976).

Heckman (1976), suivant une suggestion de Gronau (1974), propose un estimateur en deuxétapes dans un modèle Tobit généralisé à deux équations (modèle que nous aborderons dansles sections suivantes). Cet estimateur peut aussi être utilisé pour estimer les paramètres d’unmodèle Tobit simple ou modèle Tobit de type I. Pour comprendre cette méthode, considéronsla formule de l’espérance conditionnelle de yi sachant que yi > 0 :

E (yi/yi>0) = xiβ + σε λxiβ

σε(1.18)

où λ (x) = φ (x) /Φ (x) désigne le ratio de Mill. Ainsi, l’espérance conditionnelle de yi sachantyi > 0 peut être décomposée en une composante linéaire en β et une composante non linéaire enβ. Considérons à présent la partie quantitative du modèle Tobit, c’est à dire celle qui correspondà l’observation de yi > 0. Pour ces observations on a une relation du type :

yi = E (yi/yi>0) + vi

où vi est de moyenne nulle. On remplace alors l’espérance conditionnelle par son expression, etl’on obtient la relation suivante.

Proposition 1.4. Le modèle Tobit simple, pour yi > 0, peut être représenté par larégression non linéaire hétéroscédastique suivante :

yi = xiβ + σε λ (xiδ) + vi (1.19)

avec δ = β/σε et vi = yi −E (yi/yi>0) et E (vi) = 0 etV ar (vi) = σ2ε − σ2εxiδλ (xiδ)− σ2ελ (xiδ)

2 (1.20)


Ainsi, pour estimer les paramètres β, il suffit de considérer la régression non linéaire (1.19)et d’en déduire un estimateur βH à partir des N1 observations pour lesquelles yi > 0. La seuledifficulté provenant de l’hétéroscédasticité des perturbations vi, puisque V ar (vi) dépend descaractéristiques xi via le ratio de Mill λ (xiδ) et directement dans l’expression xiδλ (xiδ) . Telleest l’idée de la procédure d’Heckman.

Proposition 1.5. La procédure d’estimation d’Heckman (1976) comporte deuxétapes :

1. Etape 1 : Estimer le ratio δ = β/σε à partir du modèle probit dichotomiquesuivant par une méthode de maximum de vraisemblance

zi =10

si yi > 0sinon

∀i = 1, ..N (1.21)

avec Prob (zi = 1) = Φ (xiβ/σε) = Φ (xiδ) . Soit δ l’estimateur du MV de δ.

2. Etape 2 : Régresser yi sur xi et λ xiδ par une méthode de Moindres Carrésen ne considérant uniquement les N1 valeurs positives de yi

yi = xiβH + σε λ xiδ + vi (1.22)

On note alors γH = βH σε l’estimateur des paramètres du modèle Tobitainsi obtenu.

En effet sous la forme (1.19), le modèle quantitatif apparaît comme un modèle linéaire enβ et σε.

Réécrivons le modèle sous forme vectorielle pour dériver les lois asymptotiques. On pose Z =X λ où X désigne la matrice de dimension (N1,K) dont les lignes correspondent aux vecteur

de variables explicatives xi pour lesquelles yi > 0 et où λ désigne un vecteur de dimension (N1, 1)

dont le jeme élément est donné par l’estimateur du ratio de Mill λ xjδ . Soit γ = β σε le

vecteur des K + 1 paramètres à estimer. Le modèle (1.19) s’écrit alors sous la forme :

y = Zγ + w (1.23)

où y désigne le vecteur des N1 observations de yi pour lesquelles yi > 0 et où les résidusw = (w1...wN1) sont tels que :

wi = vi + ηi = vi + σε λ (xiδ)− λ xiδ (1.24)

Le résidu se décompose ainsi en la somme du résidu vi de la représentation (1.19) et d’un termeprovenant de l’erreur d’estimation du paramètre δ = β/σε dans la phase n1 d’estimation duprobit. L’estimateur de Heckman en deux étapes est alors défini par :

γH = Z Z−1

Z y

Amemiya (1983) établit alors lé résultat suivant en ce qui concerne la distribution asymp-totique de γH (cas particulier de Heckman 1979) :


Proposition 1.6. L’estimateur en deux étapes de Heckman (1976) est asympto-tiquement normalement distribué :

N− 12

1 (γH − γ)p−→

N→∞N (0, Vγ) (1.25)

où N1 désigne le nombre d’observations telles que yi > 0, avec

Vγ = σ2ε (Z Z)−1Z Σ+ σ2ε (I − Σ)X (X D1X)

−1X (I − Σ) Z (Z Z)−1 (1.26)

Il faut noter que dans cette expression de Vγ , la seconde matrice dans les crochets provientdu fait que le ratio de Mill λ a du être estimé dans une première étape. Si la valeur de ce ratioétait connu, la matrice de variance covariance asymptotique deviendrait simplement :

Vγ = σ2ε (Z Z)−1Z ΣZ (Z Z)

−1

Au delà de ces résultats, on vérifie que l’estimateur de Heckman en deux étapes estasymptotiquement convergent :

γHp−→

N1→∞γ (1.27)

On dispose ainsi d’un estimateur convergent et qui ne nécessite dans la première étape quel’utilisation d’un estimateur du maximum de vraisemblance pour un probit simple. Cet estima-teur représente donc un gain de capacités de calculs par rapport à l’estimateur du maximum devraisemblance appliqué directement au modèle Tobit. Remarquons toutefois, que cet es-timateur est biaisé à distance finie en raison de la corrélation entre la perturbationwi = ηi + vi et la variable explicative λ xiδ .

1.3. Estimation par le Maximum de Vraisemblance

La procédure d’estimation la plus utilisée aujourd’hui est celle du maximum de vraisemblance.En effet, les capacités informatiques sont désormais suffisantes pour envisager l’optimisation desfonctions de vraisemblance associées directement aux modèles Tobit et non plus uniquementaux probit dichotomiques comme dans le cas de la procédure d’Heckman (1976). Commençonspar définir la log-vraisemblance associée au modèle Tobit simple :

yi =y∗i0


∀i = 1, ..N

avec xi = x1i ..xKi , ∀i = 1, .., N, β = (β1...βK) ∈ RK et où les perturbations εi sont distribués

selon une loi N 0,σ2ε .

1.3.1. Log Vraisemblance dans un modèle Tobit simple

Considérons un échantillon de N observations yi, noté y = (y1, .., yN ) . La vraisemblance de cemodèle est définie par :

L y,β,σ2ε =i: yi=0

1− Φ xiβ

σε i: yi>0

1

σεφ

yi − xiβσε

(1.28)

En effet, on sait que si l’on définit une variable dichotomique probit zi telle que

zi =10


∀i = 1, ..N (1.29)


alors on peut écrire la probabilité que la variable yi prenne des valeurs positives sous la formeProb (zi = 1) = Prob (εi/σε < xiβ/σε) = Φ (xiβ/σε) . Par conséquent, la probabilité que yiprenne une valeur nulle s’écrit comme la probabilité complémentaire :

Prob (yi = 0) = Prob (zi = 0) = 1− Φ xiβ

σε

Ce qui explique le terme du premier produit de la fonction de vraisemblance (1.28). Lesecond terme de cette expression correspond tout simplement au produit des lois marginalesdes variables yi positives. On sait que si yi > 0, on a part définition yi = y∗i = xiβ + εi oùles perturbations εi sont distribués selon une loi N 0,σ2ε . On en déduit que les variables yisont distribuées selon une loi normale N xiβ,σ

2ε . Ainsi, la loi marginale d’une observation yi

positive est définie par la quantité :

1

σε√2πexp −1

2

yi−xiβσε

2

=1

σεφ

yi − xiβσε

où φ (.) désigne la fonction de densité associée à loi normale centrée réduite.

On en déduit l’écriture de la log-vraisemblance :

Proposition 1.7. La log-vraisemblance concentrée associée à un échantillon y =

(y1, .., yN ) dans un modèle Tobit simple s’écrit :

logL y,β,σ2ε =i: yi=0

log 1− Φ xiβ

σε− N12log σ2ε −

1

2σ2ε i: yi>0(yi − xiβ)2 (1.30)

où N1 désigne le nombre d’observations pour lesquelles yi > 0.

En effet, on sait que la log-vraisemblance est définie par :


log 1− Φ xiβ

σε+i: yi>0

log1

σεφ

yi − xiβσε

=i: yi=0

log 1− Φ xiβ

σε−i: yi>0

log (σε) +i: yi>0

log φyi − xiβ

σε

=i: yi=0

log 1− Φ xiβ

σε−N1 log (σε) +

i: yi>0

log1√2πe− (yi−xiβ)

2

2σ2ε

=i: yi=0

log 1− Φ xiβ

σε−N1 log (σε)− 1

2σ2ε i: yi>0(yi − xiβ)2

−N12log (2π)

En omettant les termes constants (log-vraisemblance concentrée), il vient :


log 1− Φ xiβ

σε−N1 log (σε)− 1

2σ2ε i: yi>0(yi − xiβ)2

Sachant que N1 log (σε) = (N1/2) log σ2ε , on retrouve l’expression (1.30) de la fonction de logvraisemblance.

On en déduit alors l’expression des dérivées premières par rapport à β et à σ2ε :


Definition 1.8. Dans le cas d’un modèle Tobit, le gradient associé à la log-vraisemblances’écrit sous la forme suivante :

∂ logL y,β,σ2ε∂β

= − 1σε i: yi=0

φ xiβσε

xi

1− Φ xiβσε

+ 1

σ2ε i: yi>0(yi − xiβ)xi (1.31)

∂ logL y,β,σ2ε∂σ2ε

=1

2σ3ε i: yi=0

xiβ φ xiβσε

1− Φ xiβσε

− N12σ2ε

+1

2σ4ε i: yi>0(yi − xiβ)2 (1.32)

Amemiya (1973) démontre que l’estimateur γ = β σε du maximum de vraisemblance

satisfaisant :γ =argmax

γ[logL (y, γ)] =argmax

β,σεlogL y,β,σ2ε (1.33)

est convergent et asymptotiquement distribué selon une loi normale de moyenne nulle et devariance égale à l’inverse de la matrice d’information de Fischer :

√N (γ − γ0)

L−→N→∞

N 0, I (γ0)−1 (1.34)

avec

I (γ) = −E ∂2 log L (y, γ)

∂γ∂γ γ=γ0

(1.35)

où γ0 désigne la varie valeur du vecteur de paramètres3. Nous allons à présent proposer un

changement de paramètre permettant d’obtenir une expression de la log-vraisemblance globale-ment concave, comme dans le cas des modèles logit et probit dichotomiques.

1.3.2. Re-paramétrisation d’Olsen (1978)

Nous avons montré que les estimateurs du maximum de vraisemblance des paramètres d’unmodèle Tobit simple, notées respectivement β et σε, sont solution du programme :

maxβ,σε

logL y,β,σ2ε

et vérifient donc par conséquent les conditions nécessaires suivant, correspondant à l’annulationdu vecteur gradient de la log-vraisemblance :

∂ logL y,β,σ2ε∂β

β=β

= − 1σε i: yi=0

φ xiβσε

1− Φ xiβσε

xi

+ 1

σ2ε i: yi>0yi − xiβ xi = 0

∂ logL y,β,σ2ε∂σ2ε

σ2ε=σ2ε

=1

2σ3ε i: yi=0

φ xiβσε

1− Φ xiβσε

xiβ

− N1

2σ2ε+

1

2σ4ε i: yi>0yi − xiβ

2

= 0

Pour déterminer les estimateurs β et σε, il convient donc de résoudre ce système de K +

1 équations non linéaires. Comme dans le cas des modèles probit et logit, il n’existe pasd’expression analytique des solutions de ce programme. La résolution d’un tel système ne peut

3La formule de la matrice de variance covariance asympotoique des estimateurs du MVC dans la paramétri-sation (β,σε) est donnée dans Amemiya (1973).


donc se faire qu’en utilisant une procédure d’optimisation numérique. Nous avons vu dans lepremier chapitre, que généralement on recours alors à des algorithmes d’optimisation fondésnotamment sur la méthode du gradient (comme l’algorithme de Newton Raphson par exemple).

Amemiya (1973) a démontré que la fonction de vraisemblance du modèle Tobitparamétrée en β et σε n’est pas globalement concave. Cette propriété est alorsparticulièrement gênante puisque nous savons que les solutions des algorithmesd’optimisation numérique sont alors extrêmement sensibles au problème du choixdes conditions initiales.S’il existe des extrema locaux de la fonction à optimiser, en l’occurrence ici la fonction de

log-vraisemblance, il peut arriver que l’algorithme converge vers ces extrema locaux. En effet,si l’on utilise des conditions initiales dans l’algorithme d’optimisation relativement proches desextrema locaux de la fonction de log-vraisemblance, alors il y a des risques que l’algorithmed’optimisation s’arrête en ces points pour lesquels le gradient est nul, mais qui ne maximisentpas de façon globale la fonction de log-vraisemblance. On risque alors d’obtenir des estimateursnon convergents des vrais paramètres du modèle Tobit, non pas en raison de mauvaises pro-priétés de la méthode économétrique utilisée (maximum de vraisemblance), mais simplement enraison de la défaillance de l’algorithme d’optimisation numérique utilisé pour maximiser la log-vraisemblance. Plusieurs solutions, non exclusives les unes des autres, peuvent être apportéesà ce problème :

1. La première solution consiste à modifier les valeurs des conditions initiales de l’algorithmesd’optimisation4 de sorte à vérifier la robustesse des estimations obtenues à la modificationde ces valeurs. Si le changement des valeurs initiales ne conduit à aucune modificationdes estimations des paramètres, cela tend à montrer que l’algorithme a convergé versun extremum global. Si en revanche, les estimations sont modifiées, cela prouve que lasolution précédente n’était pas un extremum global de la fonction de vraisemblance. Maisse pose alors la question de savoir ce qu’il en est pour les nouvelles estimations obtenues? Correspondent elles à un extremum global de la fonction de la vraisemblance ?

2. La deuxième solution consiste à vérifier la robustesse des estimations au choix de l’algo-rithme d’optimisation. Généralement, plusieurs algorithmes sont proposés sous les logi-ciels usuels : simplex, Newton Raphson, Marquadt etc.. Ces algorithmes, fondées surdes méthodes différentes, n’ont pas la même sensibilité au choix des conditions initiales.Ainsi, si pour différents algorithmes, on obtient des estimations relativement proches, celatend à prouver que ces estimations correspondent au maximum global de la fonction delog-vraisemblance. Si, en revanche, on obtient des estimations sensiblement différentespour différents algorithmes ayant convergés, cela tend à montrer que certains de ces algo-rithmes, pour les conditions initiales posées, ne permettent pas d’identifier le maximumglobal de la vraisemblance. La question qui se pose est alors de savoir quel algorithmedoit être privilégié en fonction du problème posé ?

3. La troisième solution proposée par Olsen (1978) consiste à reparamétriser la fonctionde vraisemblance de sorte à garantir sa concavité globale. Dès lors, on supprime le prob-lème de la sensibilité des solutions des algorithmes au choix des conditions initiales surles paramètres puisqu’il n’existe qu’un seul extremum global pour la fonction de log-vraisemblance. Le choix des conditions initiales et de l’algorithme n’affecte alors que la

4 Sous Eviexs, cliquez pour cela sur l’onglet options dans la fenêtre d’estimation.


vitesse de convergence des procédure d’optimisation, et ne doit pas théoriquement affecterles résultats.

La solution d’Olsen (1978) est ainsi particulièrement habile puisqu’elle supprime le problèmeen reformulant la log-vraisemblance du modèle Tobit en des paramètres transformés θ = β/σεet h = σ−1ε de sorte à obtenir une nouvelle expression de la log-vraisemblance re-paramétréeglobalement concave.

Proposition 1.9 (Olsen 1978). La log-vraisemblance d’un modèle Tobit re-paramétréeen θ = β/σε et h = σ−1ε est globalement concave :

logL (y, θ, h) =i: yi=0

log [1− Φ (xiθ)] +N1 log (h)− 12i: yi>0

(hyi − xiθ)2 (1.36)

où N1 désigne le nombre d’observations pour lesquelles yi > 0.

Preuve : la matrice hessienne associée à la log-vraisemblance logL (y, θ, h) s’écrit sous laforme suivante :

H (θ, h)(K+1,K+1)

=∂2 log L(y,θ,h)

∂θ∂θ∂2 log L(y,θ,h)

∂θ∂h∂2 log L(y,θ,h)

∂h∂θ∂2 log L(y,θ,h)

∂h2

(1.37)

Olsen (1978) démontre alors que la matrice hessienne H (θ, h) est égale à la somme de deuxmatrices telles que :

H (θ, h) = ∆+ Γ =Ψ (θ, h) 00 −N1

h2+

− i: yi>0xixi i: yi>0

xiyi

i: yi>0yixi i: yi>0

y2i

où le bloc Ψ (θ, h) de dimension (K,K) est défini par ::

Ψ (θ, h) =i: yi=0

φ (xiθ)

1− Φ (xiθ) xiθ − φ (xiθ)

1− Φ (xiθ) xixi

avec xiθ−φ (xiθ) [1− Φ (xiθ)]−1 < 0. En effet, on sait que la quantité φ (z)+zΦ (z) correspondà la primitive de la fonction Φ (z) :

φ (z) + zΦ (z) =z

−∞Φ (t) dt > z ∀z ∈ R

On en déduit que ∀z ∈ R :

φ (z) > z [1− Φ (z)]⇐⇒ z − φ (z) [1− Φ (z)]−1 < 0

Dès lors, puisque xixi est une matrice définie positive, les deux matrices ∆ et Γ sont des ma-trices définies négatives (cf annexe A.1) : dès lors, la matrice hessienne est égale à la somme dedeux matrices définies négatives, elle est donc définie négative. La fonction de log-vraisemblanceest donc globalement concave.

Lorsque la log-vraisemblance est paramétrée en h et θ, le gradient s’écrit sous la formesuivante :


Definition 1.10. Le gradient associé à la log-vraisemblance d’un modèle Tobit re-paramétrée en θ = β/σε et h = σ−1ε est :

∂ logL (y, θ, h)

∂θ=

i: yi=0

φ (xiθ)

1− Φ (xiθ)xi −1

2i: yi>0

(hyi − xiθ)xi (1.38)

∂ logL (y, θ, h)

∂h=N1h− 12i: yi>0

(hyi − xiθ) yi (1.39)

Compte tenu du résultat d’Olsen, il est possible en utilisant des algorithmes d’optimisationusuels de déterminer les estimateurs du maximum de vraisemblance des paramètres transformésθ et h. Ces estimateurs sont solutions du programme suivant :

θ h =maxθ,h

logL (y, θ, h)

et vérifient naturellement les conditions nécessaires suivantes :

∂ logL (y, θ, h)

∂θ θ=θ

=∂ logL (y, θ, h)

∂h h=h

= 0

On en déduit alors les estimateurs des paramètres du modèles Tobit originel puisque l’on aθ = β/σε et h = σ−1ε :

σε = h β = θ σε (1.40)

La matrice de variance covariance asymptotique des estimateurs σε et β se déduit alors de

celle de θ et β, qui s’exprime en fonction de la matrice hessienne H θ, h selon les formules

usuelles.

1.4. Application

Considérons tout d’abord une application sur données simulées qui nous permettra par la suited’évaluer la portée des biais. On simule un échantillon de 1000 points satisfaisant les propriétéssuivantes :

yi =y∗i0

si y∗i = α+ βxi + εi > 0sinon

∀i = 1, ..N

avec xi ∈ R, ∀i = 1, ..,N, pour une taille d’échantillon N = 1000 et où les perturbations εi sontdistribués selon une loi N 0,σ2ε . On pose la valeur suivante des paramètres :

α = 1 β = 0.8 σ2ε = 1

On suppose ici que la variable explicative xi satisfait l’hypothèse de Goldberger (1981): la variable explicative xi est distribuée selon une loi normale N (0,Ω) , avec Ω = 1, et estindépendante du résidu, cov (εixi) = 0. Le programme permettant de simuler la série observableyi est fourni en annexe (A.2). Commençons par estimer les paramètres α,β et σ2ε par uneméthode de maximisation de la vraisemblance standard. Les résultats sont représentés dans lafigure (1.2) :Eviews indique tout d’abord que l’échantillon simulé comporte 781 observations pour lesquelles

yi > 0 et 219 observations censurées à gauche, c’est à dire pour lesquels yi = 0. On vérifie toutd’abord que l’algorithme d’optimisation numérique de la maximisation de la vraisemblance aconvergé après 5 itérations.. Compte tenu de la taille d’échantillon N relativement importante,


Figure 1.2: Estimation Modèle Tobit Simple par Maximum de Vraisemblance

les réalisations des estimateurs α = 0.965 et β = 0.793 sont très proches des vraies valeurs α = 1et β = 0.8. Eviews fournit en outre un estimation de la variance résiduelle, comme tenu de ladistribution choisie (en l’occurrence une loi normale dans le cas d’un modèle Tobit simple) : laréalisation de l’estimateur σ2ε est alors égale à 0.97, valeur relativement proche de la vraie valeurde la variance σ2ε = 1. Les z statistiques correspondant aux tests de nullité des paramètres nouspermettent de rejeter l’hypothèse nulle au seuil de 5% pour les trois paramètres α,β et σ2ε.

Comparons la réalisation de ces estimateurs du maximum de vraisemblance à celles obtenuespar les estimateurs desMCO appliqués à l’échantillon complet, notés αLS , βLS et σ

2ε,LS reportés

sur la figure (1.3).On vérifie que l’estimation par les MCO sur les 1000 points des paramètres α et β donne

des résultats largement moins bons que ceux obtenus par maximum de vraisemblance, puisquenous avons vu précédemment que ces estimateurs sont biaisés. En effet pour une vraie valeurβ = 0.8, la réalisation de l’estimateur des MCO est, dans notre expérience, de 0.6253.

Nous avions vu que sous l’hypothèse de normalité des variables xi (hypothèse de Goldberger1981), l’estimateur des MCO du paramètre β vérifie :

βLSp−→

N→∞β ×Φ α

σy(1.41)

Dans le cas de notre expérience, sachant que α = 1 et que :

σ2y = σ2ε + β Ωβ = σ2ε + β2Ω = 1 + 0.82 × 1 = 1. 64


Figure 1.3: Estimation par les MCO sur l’échantillon complet

on en déduit que

βLSp−→

N→∞0.8×Φ 1√

1.64= 0.8×Φ (0. 78087) = 0.6260

Ainsi, on sait que théoriquement l’estimateur βLS converge en probabilité vers la valeur0.6260. On vérifie en effet sur la figure (1.3), pour une taille d’échantillonN = 1000 relativementimportante, que la réalisation de βLS = 0.6253 est très proche de cette valeur asymptotique.

Nous avions vu en outre, toujours sous l’hypothèse de normalité des variables explicativesxi, que l’estimateur des MCO corrigé β

c

LS = (N/N1)× βLS est convergent :

βc

LS =N

N1× βLS

p−→N→∞

β

Dans le cas de notre simulation, la réalisation de cette estimateur vaut :

βc

LS =N

N1× βLS =

1000

781× 0.6253 = . 80064

Cette réalisation est en effet très proche de la vraie valeur β = 0.8. On remarque que pournotre échantillon simulé, la réalisation de l’estimateur des MCO corrigé est plus proche de lavraie valeur que l’estimateur du MV.

************************** 1) Faire estimation MCO sur partie positive de la distribution**** 2) Introduire N simulations sur βLS , β

c

LS , βy>0, βMV et βHec en contrôlant le pour-centage de données censurées : Matlab**** 3) Répartir les applications Eviews ou Limdep sur les différentes sections ?**********************

1.5. Effets marginaux

Supposons que l’on dispose d’un estimateur convergent β des paramètres β et d’un estimateurconvergent σ2ε de la variance des résidus. On cherche à mesurer les effets marginaux.


Definition 1.11. Les effets marginaux dans un modèle de régression censuré corre-spondent à la déformation des prévisions sur une variable continue engendrée parune variation d’une unité d’une des variables explicatives.

Il y alors plusieurs prévisions possible dans le cas du modèle Tobit suivant que l’on s’intéresseà la variable censurée yi ou à la variable latente y∗i . En effet, trois cas peuvent apparaître :

1. Soit l’on considère la prévision sur la variable latente représentée par l’espérance con-ditionnelle ∀i = 1, .., N :

E (y∗i /xi) = xiβ (1.42)

2. Soit l’on considère la prévision sur la variable dépendante représentée par l’espéranceconditionnelle ∀i = 1, .., N :

E (yi/xi) = Φxiβ

σεxiβ + σεφ

xiβ

σε(1.43)

3. Soit l’on considère la prévision sur la variable dépendante censurée représentée parl’espérance conditionnelle ∀i = 1, .., N :

E (yi/xi, yi > 0) = E (y∗i /xi, , y

∗i > 0) = xiβ + σελ

xiβ

σε(1.44)

On peut ainsi déterminer différents effets marginaux suivant que l’on considère l’une oul’autre de ces prévisions. Tout d’abord si l’on considère la prévision sur la variable latente,on obtient tout simplement un effet marginal mesuré par la dérivé partielle de l’espéranceconditionnelle E (y∗i /xi) par rapport à une composante quelconque du vecteur des variablesexplicatives xi.

Definition 1.12. L’effet marginal d’une variation unitaire de la keme variable ex-plicative x(k)i , ∀k = 1, ..,K, sur la prévision de la variable latente y∗i est mesuré parla quantité :

∂E (y∗i /xi)

∂x(k)i

= β(k) ∀i = 1, .., N (1.45)

ou par l’élasticité εy∗i /x

[k]i:

εy∗i /x

[k]i=

∂E (y∗i /xi)

∂x(k)i

x(k)i

E (y∗i /xi)=x(k)i β(k)

xiβ∀i = 1, .., N (1.46)

Ainsi, une variation de 1% de la keme variable explicative x(k)i pour le ieme individu, modifiela prévision de la variable latente y∗i pour ce même individu de εy∗i /x[k]i

pour cent. On peutalors calculer une élasticité moyenne ε

y∗i /x[k]isur l’ensemble des N individus telle que :

εy∗i /x

[k]i=1

N

N

i=1

εy∗i /x

[k]i=1

N

N

i=1

x(k)i β(k)

xiβ

Considérons à présent la prévision sur la variable dépendante non censurée. De la mêmefaçon, l’effet marginal est mesuré par la dérivé partielle de l’espérance conditionnelle E (yi/xi)par rapport à une composante quelconque du vecteur des variables explicatives xi.


Definition 1.13. L’effet marginal d’une variation unitaire de la keme variable ex-plicative x(k)i , ∀k = 1, ..,K, sur la prévision de la variable dépendante yi est mesurépar la quantité :

∂E (yi/xi)

∂x(k)i

= Φxiβ

σεβ(k) ∀i = 1, ..,N (1.47)

ou par l’élasticité εyi/x

[k]i:

εyi/x

[k]i=

∂E (yi/xi)

∂x(k)i

x(k)i

E (yi/xi)=

x(k)i β(k)

xiβ + σελxiβσε

∀i = 1, .., N (1.48)

Preuve : A partir de l’espérance conditionnelle E (yi/xi) déterminons l’effet marginal as-socié à x(k)i .

∂E (yi/xi)

∂x(k)i

=∂

∂x(k)i

Φxiβ

σεxiβ + σεφ

xiβ

σε

=∂Φ xiβ

σε

∂x(k)i

β(k)

σεxiβ +Φ

xiβ

σεβ(k) + σε

∂φ xiβσε

∂x(k)i

β(k)

σε

= β(k)

∂Φ xiβσε

∂x(k)i

xiβ

σε+Φ

xiβ

σε+

∂φ xiβσε

∂x(k)i

Si l’on pose z = xiβ/σε, on obtient :

∂E (yi/xi)

∂x(k)i

= β(k)∂Φ (z)

∂x(k)i

z +∂φ (z)

∂x(k)i

+Φ (z)

Or, on sait que la quantité φ (z) + zΦ (z) correspond à la primitive de la fonction Φ (z) :

φ (z) + zΦ (z) =z

−∞Φ (t) dt ∀z ∈ R

Dès lors, par dérivation par rapport à une composante z(k) on obtient :

∂φ (z)

∂z(k)+

∂ [zΦ (z)]

∂z(k)= Φ (z)

⇐⇒ ∂φ (z)

∂z(k)+

∂z

∂z(k)Φ (z) + z

∂Φ (z)

∂z(k)=

∂z

∂z(k)Φ (z)

⇐⇒ ∂φ (z)

∂z(k)+ z

∂Φ (z)

∂z(k)= 0

Ainsi, on obtient finalement que :

∂E (yi/xi)

∂x(k)i

= β(k)Φ (z) = β(k)Φxiβ

σε

En ce qui concerne l’élasticité εyi/x

[k]ion montre que celle-ci est définie par la quantité

suivante :

εyi/x

[k]i

= Φxiβ

σεβ(k)

x(k)i

Φ xiβσε

xiβ + σεφxiβσε

=1


x(k)i β(k)


Ainsi, une variation de 1% de la keme variable explicative x(k)i pour le ieme individu, modifiela prévision de la variable dépendante yi pour ce même individu de εyi/x[k]i

pour cent. On peutalors calculer une élasticité moyenne ε

yi/x[k]isur l’ensemble des N individus telle que :

εyi/x

[k]i=1

N

N

i=1

εyi/x

[k]i=1

N

N

i=1

x(k)i β(k)


De façon générale, on montre que ε

y∗i /x[k]i> ε

yi/x[k]i.

McDonald et Moffit (1980) ont proposé une décomposition particulièrement intéressante del’effet marginal associé à la prévision sur la variable dépendante yi. Cette décomposition est lasuivante :

∂E (yi/xi)

∂x(k)i

= Φxiβ

σεβ(k) 1− λi

xiβ

σε

xiβ

σε+ λi

xiβ

σε

+β(k)φxiβ

σε

xiβ

σε+ λi

xiβ

σε

Dès lors, l’effet marginal d’une variation unitaire de la keme variable explicative x(k)i , ∀k =1, ..,K, sur la prévision de la variable dépendante yi peut se décomposer comme la somme dedeux éléments :

Remark 3. La variation de x(k)i a deux effets sur la prévision de la variable dépen-dante yi représentés par la décomposition de McDonald et Moffit (1980):

∂E (yi/xi)

∂x(k)i

= Prob (yi > 0)∂E (yi/xi, yi>0)

∂x(k)i

+E (yi/xi, yi>0)∂Prob (yi > 0)

∂x(k)i

1. D’une part, la variation de x(k)i modifie l’espérance conditionnelle de yi dansla partie positive de la distribution.

2. D’autre part, la variation de x(k)i affecte la probabilité que l’observation yiappartienne à cette partie de la distribution.

Au passage, cette décomposition nous donne la 3eme mesure de l’effet marginal : cellerelative à la prévision de la variable dépendante sur la partie positive de la distribution :

∂E (yi/xi, yi>0)

∂x(k)i

= β(k) 1− λixiβ

σε

xiβ

σε+ λi

xiβ

σε

où λ (x) = φ (x) /Φ (x) désigne le ratio de Mill.

*************Application : construire les différentes EM et commentez (exemple éco)Utiliser la simulation ou Utiliser exemple Eco :

1. calculer EM1 et élasticité sur y∗

2. calculer EM2 et élasticité sur y

3. Décomposer EM2 par McDonald et Moffit

*************


1.6. Propriétés de l’estimateur du MV sous des hypothèses non standard

Nous allons à présent nous intéresser aux propriétés de l’estimateur du MV sous principaleshypothèses en présentant chaque fois les tests appropriés :

1. Hypothèse d’hétéroscédasticité

2. Hypothèse de non normalité

Commençons par évoquer les problèmes d’hétéroscédasticité.

1.6.1. Hétéroscédasticité

De nombreuses études ont été consacrées au problème de l’hétéroscédasticité dans le cadre desmodèles Tobit simple. Hurd (1979) a ainsi évalué les biais asymptotiques de l’estimateur duMV d’un modèle Tobit simple tronqué en présence de différentes formes d’hétéroscédas-ticité. Rappelons que dans le cas d’un modèle Tobit simple tronqué , on ne dispose qued’observations pour les individus pour lesquels y∗i > 0. La vraisemblance s’écrit alors sous laforme :

L y,β,σ2ε =N

i=1

Φxiβ

σε

−11

σεφ

xiβ

σε(1.49)

Hurd considère une certaine forme d’hétéroscédasticité en générant deux sous échantillons: un échantillon de taille rN, avec r ∈ [0, 1] , d’observations pour lesquelles σ2ε = σ21 et unsecond échantillon de taille (1− r)N d’observations pour lesquelles σ2ε = σ22 = σ21. Il étudiealors la déformation de la limite en probabilité de l’estimateur du MV, noté plimβ, en fonctiondes valeurs de σ21 en considérant σ

22 = 1 et r = 0.5. Hurd démontre ainsi l’existence de biais

asymptotiques sur l’estimateur du MV en présence d’hétéroscédasticité et il constate que cesbiais peuvent être très importants pour certaines valeurs de σ21. Reprenant la même approche,Arabmazar et Schmidt (1981) montre que les biais asymptotiques de l’estimateurdu MV sont beaucoup moins important dans le cadre d’un modèle Tobit simplecensuré, tel que celui que l’on a vu jusqu’à présent. Les résultats de ces deux études illustrentparfaitement le sens général des résultats de cette littérature.

Proposition 1.14. De façon générale, on montre que l’estimateur duMV en présenced’hétéroscédasticité est asymptotiquement biaisé. L’importance des biais asymp-totiques croît avec le degré de censure des données.

Il est toutefois difficile d’aboutir à une conclusion plus précise que cette proposition dansla mesure où les différentes études proposées sur ce thème diffèrent très sensiblement sur lareprésentation retenue de l’hétéroscédasticité. Les modèles utilisés sont en effet très spécifique.Il faut ainsi simplement retenir que l’hétéroscédasticité pose un sérieux problème d’estimationdes modèles Tobit simples.

La question qui se pose est alors de savoir comment tester l’hétéroscédasticité ? Considéronstout d’abord une forme particulière d’hétéroscédasticité.

Hypothèses Soit un modèle Tobit hétéroscédastique tel que ∀i = 1, .., N :

σ2ε,i = σ2ε,i (α) = σ2ε exp (wiα) (1.50)

où α = (α1.. αP ) et où wi = w(1)i ...w

(P )i ∈ RP est un vecteur de caractéristiques.


Cette spécification est suffisamment générale pour englober différentes configurations d’hétéroscé-dasticité. En particulier, lorsque α = 0, on retrouve le modèle Tobit simple homoscédastique.Sous cette hypothèse, la log-vraisemblance concentrée du modèle Tobit simple s’écrit alors :

logL y,β,σ2ε,α =i: yi=0

log 1− Φ xiβ

σε,i (α)

−N12log σ2ε,i (α) −

1

2σ2ε,i (α) i: yi>0(yi − xiβ)2

Les estimateurs duMV des paramètres du Tobit hétéroscédastique, notés β,σ2ε et α vérifientalors respectivement les conditions suivantes :

∂ logL y,β,σ2ε,α

∂γγ=γ

= 0 ∀γ = β,σ2ε,α

où les composantes du gradient de la fonction de log-vraisemblance en β et σ2ε correspondent àcelles définies pour le modèle Tobit simple (cf. proposition 1.8) lorsque α = 0, c’est à dire dansle cas homoscédastique.


∂βα=0

= − 1σε i: yi=0

φ xiβσε

xi

1− Φ xiβσε

+ 1

σ2ε i: yi>0(yi − xiβ)xi =

N

i=1

aixi


∂σ2εα=0

=1

2σ3ε i: yi=0

xiβ φ xiβσε

1− Φ xiβσε

− N12σ2ε

+1

2σ4ε i: yi>0(yi − xiβ)2 =

N

i=1

bi

Sous ces hypothèses, un test naturel de l’hypothèse d’hétéroscédasticité consiste donc àtester la nullité du vecteur α, puisque si α = 0, on a σ2ε,i = σ2ε ∀i = 1, .., N . Ainsi sous leshypothèses précédentes, le test de l’hypothèse nulle d’homoscédasticité revient au test bilatéralsuivant :

H0 : α = 0 (1.51)

Ha : α = 0 (1.52)

Plusieurs méthodes sont envisageable pour mener à bien ce test sur les paramètres. Greene(1997) propose d’utiliser un test du multiplicateur de Lagrange5 (cf. chapitre 1).

Definition 1.15. La statistique LM du test de l’hypothèse nulle d’homoscédasticitéH0 : α = 0 est définie par :

LM =

∂ logL y,β,σε,α

∂αα=0

Qα α

∂ logL y,β,σε,α

∂αα=0

(1.54)

5La statistique LM du multiplicateur de Lagrange associée au test unidirectionnel H0 : γ = a ∈ Rk contreH1 : γ = a admet la loi suivante sous H0 :

LM =∂ logL (y, γ)

∂γ γ=γcI−1

∂ logL (y, γ)

∂γ γ=γc

L−→N→∞

χ2 (k) (1.53)

où γet γcdésignent respectivement les estimateurs non contraint et contraint de γ.


où β et σε désignent les estimateurs du MV des paramètres β et σ2ε obtenus sousl’hypothèse nulle α = 0, et où la matrice Qα α désigne le bloc de dimension (P,P )correspondant au vecteur de paramètre α de la matrice inverse de la matrice d’in-formation de Fischer estimée sous H0 :

I β,σ2ε,α

(K+P+1,K+P+1)

−1

α=0

=

Qββ(K,K)

Qβσ2ε(K,1)

Qβ α(K,P )

Qβ σ2ε(1,K)

Qσ2ε(1,1)

Qα σ2ε(1,P )

Qα β(P,K)

Qασ2ε(P,1)

Qαα(P,P )

(1.55)

On montre alors que sous H0 cette statistique converge en loi :

LML−→

N→∞χ2 (P ) (1.56)

où P rappelons-le désigne la dimension du vecteur de varaibles explicatives wi expliquant lavariance indivudelle σ2ε,i (α) . Ainsi, si la réalisation de la statistique LM est supérieure au frac-tile de la loi du chi-2 à P degrés de liberté, alors on rejette l’hypothèse nulle d’homoscédasticité.Les résidus du modèle Tobit sont hétéroscédastiques : les estimateurs du MV des paramètresβ et σ2ε sont asymptotiquement biaisés selon les résultats d’Arabmazar et Schmidt (1981).

Quelle que soit la nature du modèle, il existe une autre façon de construire la statistique LM.Celle-ci peut en effet s’écrire en fonction de la matrice G β,σ2ε,α de dimension (N,K + P + 1)

contenant les dérivés de la log-vraisemblance évaluées pour chaque observation sous l’hypothèseH0.Soit G β,σ2ε,α le vecteur du gradient évalué sous H0 :

G β,σ2ε,α(N,K+1+P ) α=0

=

g1 β,σ2ε,α(1,K+P+1)

...gN β,σ2ε,α(1,K+P+1)

(1.57)

où les vecteurs gi correspondent au gradient de la fonction de la log-vraisemblance évalués sousl’hypothèse nulle α = 0 et pour chaque observation individuelle yi :

gi β,σ2ε,α(1,K+P+1)

=∂ logL(yi,β,σ2ε,α)

∂βα=0

∂ logL(yi,β,σ2ε,α)∂σ2ε

α=0

∂ logL(yi,β,σ2ε,α)∂α

α=0

Greene (1997) montre que les vecteurs gi (.) s écrivent sous la forme :

gi β,σ2ε,α(1,K+P+1)

= aixi(1,K)

bi(1,1)

σ2εbiwi(1,P )

(1.58)

où les scalaires ai et bi sont définies par les composantes du gradient associé à la log-vraisemblancedu modèle Tobit simple (cf. proposition 1.8) d’une observation donnée yi, ∀i = 1, ..N .

ai = − 1σε(1− zi) λ xiβ

σε+ziσε(yi − xiβ) (1.59)

bi =1

2σ3ε(1− zi)xiβ λ xiβ

σε− zi2σ2ε

+zi2σ4ε

(yi − xiβ)2 (1.60)


avec λ (z) = φ (z) / [1− Φ (z)] = λ (−z) et où la quantité zi correspond à la variable di-chotomique simple suivante :

zi =10

si yi > 0sinon

(1.61)

Naturellement un estimateur de ce vecteur du gradient de la log-vraisemblance sous H0 :α = 0 peut être obtenu en remplaçant dans les expressions de ai et de bi les paramètres β etσ2ε par leurs estimateurs du MV respectifs β et σ2ε obtenus sous l’hypothèse nulle α = 0.

G β,σ2ε, 0

(N,K+1+P ) α=0

=

g1 β,σ2ε, 0

(1,K+P+1)

...

gN β,σ2ε, 0

(1,K+P+1)

=

a1x1 b1 σ2εb1w1...

aNxN bN σ2εbNwN

Reste alors à construire la matrice d’information de Fischer. Greene (1997) montre que sousH0 l’inverse de la matrice d’information de Fischer peut s’écrire sous la forme :

I β,σ2ε,α−1

(K+P+1,K+P+1) α=0

= G β,σ2ε, 0(K+P+1,N)

G β,σ2ε, 0(N,K+P+1)

=N

i=1

a2ixixi aibixi σ2εaibixiwiaibixi b2i σ2εb

2iwi

σ2εaibiwixi σ2εb2iwi σ2εb

2iwiwi

(1.62)

Un estimateur de la matrice d’information de Fischer est alors donné par :

I β,σ2ε,α−1

α=0

=N

i=1

a2ixixi aibixi σ2εaibixiwiaibixi b2i σ2εb

2iwi

σ2εaibiwixi σ2εb2iwi σ2εb

2iwiwi

A partir de ces différents éléments on peut alors construire la statistique LM de la façon

suivante :

Definition 1.16. Une autre expression de la statistique LM du test de l’hypothèsenulle d’homoscédasticité H0 : α = 0 est :

LM(1,1)

= eN(1,N)

G β,σ2ε, 0

(N,K+P+1)

G β,σ2ε, 0

(K+P+1,N)

G β,σ2ε, 0

(N,K+P+1)

−1 G β,σ2ε, 0

(K+P+1,N)

eN(N,1)

(1.63)

où eN désigne un vecteur unitaire de dimension (N, 1) et où β et σε désignent lesestimateurs du MV des paramètres β et σ2ε obtenus sous l’hypothèse nulle α = 0.

On peut montrer que cette expression de la statistique LM est identique à celle proposéedans la définition (1.15). La loi asymptotique et la règle de décision sont évidemment les mêmesque celles évoquées précédemment.

Il existe enfin une troisième façon d’obtenir la statistique LM :


Definition 1.17. Une autre expression de la statistique LM du test de l’hypothèsenulle d’homoscédasticité H0 : α = 0 est :

LM = N R2 (1.64)

où N désigne le nombre d’oibservations et où R2 est le coefficient de déterminationde la régression du vecteur unitaire eN = (1, ...1) de dimension (N, 1) sur les K+P+1colonnes de la matrice G β,σ2ε, 0 .

En effet, une fois que l’on a construit la matrice G β,σ2ε, 0 , on peut montrer que le

coefficient de détermination de la régression de eN sur les colonnes G1, G2, .., GK+P+1 de cettematrice fournit au coefficient N près la valeur de la statistique LM. Si l’on pose y = eN etX = G (.) , on sait que le coefficient de la régression linéaire de y sur les colonnes de X estdonné par la formule :

R2 =1

Ny X (X X)

−1X y

où N désigne le nombre d’observation. On reconnaît ici la forme de la statistique LM auscalaire N près.

***** ****************************************************1) Simulation : simuler biais à distance finie avec Hétéro à la Hurd.2) Application : Construire un test sous LIMDEP et application***** ****************************************************

1.6.2. Non normalité

La seconde principale hypothèse qui peut affecter de façon sensible les propriétés de l’estimateurdu MV est l’hypothèse de non normalité des perturbations. Alors quelles sont le propriétésde l’estimateur du MV sous cette hypothèse de non normalité ? Nous admettrons le résultatsuivant :

Proposition 1.18. De façon générale, on montre que l’estimateur du MV n’est pasconvergent lorsque la vraie distribution des perturbations εi n’est pas normale.

Goldberger (1980) a en effet démontré dans le cas d’un modèle Tobit simple tronqué, l’ex-istence de biais asymptotique de l’estimateur du MV lorsque la vraie distribution des εi estune loi de Student, de Laplace ou une loi logistique. Pour démontrer ce résultat, Goldbergersupposait que la variance des perturbations était toutefois connue. Arabmazar et Schmidt(1982) ont quant à eux montré que les biais étaient particulièrement accrus lorsque l’on levaitcette hypothèse et que l’on supposait la variance des perturbations étaient inconnues. Intu-itivement on conçoit qu’une erreur sur la distribution des perturbations et donc sur la formede vraisemblance, peut conduire à l’apparition d’un biais dans les estimateurs du MV.********************************************************************Effectuer Simulation Tobit Simple avec loi Student, de Laplace ou loi logistiqueEstimation MV fonction de la censure et de N********************************************************************


Partant du résultat que l’application de la procédure du MV à des perturbations de loi nonnormale conduit à un biais asymptotique, il convient donc de proposer un test permettant derepérer les cas où les perturbations du modèle sont distribuées selon une loi non normale. Deuxprincipales stratégie de test sont proposés pour détecter la non normalité des perturbationsdans un modèle censuré ou tronqué :

1. Une stratégie de test à la Hausman (1978) : Nelson (1981), Melenberg et Van Soest(1996)

2. Un test de spécification à la Hansen (1982) : Pagan et Vella (1989)

Nous n’évoquerons ici que le premier type de test. Pour les tests de spécification reposantsur les conditions sur les moments voir Pagan et Vella (1989). Considérons la démarcheretenue par Melenberg et Van Soest (1996) fondée sur un test d’Hausman (1978)avec esstiamteur LAD de Powell (1984).

Commençons par définir de façon général le principe d’un test de Hausman (1978). Cetest admet pour hypothèse nulle la normalité des résidus εi. Soit β l’estimateur du MV duvecteur des paramètres β. On sait que cet estimateur est (i) convergent, (ii) asymptotiquementefficace et (iii) asymptotiquement biaisé sous l’hypothèse alternative H1 de non normalité desperturbations.. Considérons un second estimateur, noté β, du vecteur des paramètres β. Onchoisit cet estimateur de sorte à ce qu’il soit (i) moins efficace que l’estimateur du MV sousH0 mais (ii) qu’il soit convergent sous H0 et sous l’hypothèse alternative H1. Il ne reste plusalors qu’à étudier la ”distance” entre les deux estimateurs β et β. En effet :

• Si les deux estimateurs sont ”proches” : cela signifie que les deux estimateurs sont nonbiaisés : l’hypothèse H0 est acceptée

• Si les deux estimateurs sont suffisamment ”éloignés” : cela signifie que l’estimateur γ estbiaisé : l’hypothèse H0 est rejetée.

Reste alors à construire une mesure de la ”distance” entre les deux estimateurs. Hausmandans son article de 1978 montre que de façon générale, sous ces hypothèses, la quantité définieconverge une loi du Chi deux admettant pour degré de liberté le nombre de paramètre estiméssous l’hypothèse H0 .

HN = β − β V −1 β − βL−→

N→∞χ2 (K) (1.65)

où V = V β − V β désigne la différence entre les matrices de variance covariances asymp-totiques des deux estimateurs obtenues sous H0. Ce qui est remarquable c’est que sous H0, iln’est pas nécessaire de connaître les termes de covariances des deux estimateurs pour construirela statistique de test.

Proposition 1.19. Soit β l’estimateur du MV du vecteur des paramètres β. Soit βun estimateur convergent sous l’hypothèse de non des perturbations εi. Un test del’hypothèse nulle de normalité peut être réalisé à partir de la statistique du testde Hausman (1978) :

HN = β − β V β − V β−1

β − β (1.66)


où V β et V β désignent les matrices de variance covariances asymptotiques desestimateurs sous H0. Sous l’hypothèse nulle de normalité :

HNL−→

N→∞χ2 (K) (1.67)

Ainsi, si la réalisation de la statistique HN est supérieur au fractile à α% de la loi du Chi-deux, la distance entre les deux estimateurs est grande : on rejette l’hypothèse nulle H0 denormalité. L’estimateur du MV est alors asymptotiquement biaisé.

Pour construire ce test, reste à définir un estimateur convergent du vecteur de paramètresβ sous l’hypothèse de non normalité. Il y a là aussi deux optiques :

1. Soit on spécifie la distribution non normale des perturbations et l’on construit un es-timateur du maximum de vraisemblance : Amemiya et Boskin (1974) utilisent ainsi unestimateur du MV avec une distribution log-normale

2. Soit on construit un estimateur convergent pour des formes très générales de distributionsdes perturbations à la fois normale et non normale : Powell (1984), Melenberg et VanSoest (1996).

La première approche est à la fois risquée et relativement compliquée à mettre en oeuvre.Elle peut apparaître compliquée dans la mesure où pour certaines formes de distributions, ilpeut être délicat de construire la fonction de vraisemblance. De plus, rien ne garantit alors laconcavité globale de cette fonction, ce qui peut poser des problèmes d’optimisation numérique.Mais elle de plus risquée dans la mesure où l’on rejette a priori la distribution normale pourspécifier une forme alternative de distribution : log-normale, Student, Laplace etc.. Or, rienne garantit que les perturbations soient effectivement engendrées par cette distribution. Uneerreur sur la forme de la distribution peut alors conduire à une évaluation biaisée des paramètres.C’est pourquoi, dans la littérature on privilégie généralement la seconde approche : l’approchenon paramétrique ou semi-paramétrique. Melenberg et Van Soest (1996) proposent d’utiliserl’estiamteur LAD.

L’estimateur de Powell (1984) ou estimateur des Moindres Valeurs Absolues (LAD LeastAbsolute Deviations) est un exemple d’estimateur non paramétrique convergent sous l’hypothèsede non normalité.

Definition 1.20. L’estimateur des Moindres Valeurs Absolues (LAD Least AbsoluteDeviations) de Powell (1984) des paramètres β du modèle Tobit simple est définipar :

βP =argminβ

N

i=1

yi −max (0, xiβ) (1.68)

Powell montre que cet estimateur est asymptotiquement normal :√N βP − β

L−→N→∞

N 0, V βP (1.69)

où la matrice de variance covariance asymptotique est donnée par :

V βP(K,K)

= 4f (0)2limN→∞

1

Ni:xiβ>0

xixi (1.70)


où f (.) désigne la fonction de densité des perturbations.

Paarsch (1984) a proposé différentes simulations de Monte Carlo de cet estimateur, del’estimateur en deux étapes d’Heckman et de l’estimateur du MV obtenu sous l’hypothèse denormalité pour des modèles Tobit avec des distributions normal, exponentielle et de Cauchy.Sur de larges échantillons, l’estimateur de Powell est toujours meilleur (au sens du biais moyen)que l’estimateur d’Heckman et est meilleur que l’estimateur du MV dans le cas de distributionde Cauchy. Powell (1984) note en outre que l’estimateur βP est convergent y compris sousl’hypothèse d’hétéroscédasticité.

Ainsi, en utilisant la définition précédente du test d’Hausman et la définition de l’estimateurLAD on peut construire aisément un test particulier de l’hypothèse de non normalité fondé surl’estimateur de Powell. Si l’on note β l’estimateur duMV obtenu sous l’hypothèse de normalitéet βP l’estimateur de Powell, la statistique du test d’Hausman devient :

HN = β − βP V β − V βP−1

β − βP (1.71)

où V β et V βP désignent les matrices de variance covariances asymptotiques des estima-teurs sous H0 :

V βP = 4f (0)2 limN→∞

1

Ni:xiβ>0

xixi (1.72)

V β = I (β)−1 (1.73)

avec

I (β) = −E ∂2 log L (β,β)

∂β∂β(1.74)

Naturellement si le test conduit à rejeter l’hypothèse nulle de normalité, il convient deprivilégier un estimateur convergent sous l’hypothèse de non normalité : l’estimateur LAD dePowell en est un, mais il existe de nombreux autres estimateur non paramétriques applicablesdans ce cas.

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1.7. Extensions du modèle Tobit Simple : modèles à censure multiples

Différentes extensions du modèle Tobit simple ont été proposées sans pour autant remettre encause sa structure générale : une variable dépendante correspondant à une variable latenteobservée sur un certain intervalle. Ces extensions portent finalement sur la définition de l’in-tervalle sur lequel est observé la variable latente y∗i . En effet dans certaines applications, lavariable dépendante peut être censurée à la fois à droite et à gauche. C’est par exemple le cassur un marché de cotation où il existerait une limite inférieure et supérieure aux cours, auxquelscas la valeur du cours est fixée soit à un cours plancher soit à un cours plafond. On parle alorsde modèle Tobit à censures multiples. Lorsque les seuils de censure sont identiques à tousles individus, on parle alors de modèle Tobit à double censures. Naturellement le modèleà double censure est un cas particulier du modèle à censures multiples, c’est pourquoi nousdébuterons notre analyse par ce dernier.

1.7.1. Modèle Tobit simple à censures multiples

Le modèle Tobit simple à censures multiples s’écrit sous la forme suivante :

Definition 1.21. Un modèle Tobit simple à censures multiples est défini par :

yi =

ci,1y∗ici,2

si y∗i ≤ ci,1si ci,1 < y∗i ≤ ci,2si y∗i ≥ ci,2

(1.75)

où (ci,1, ci,2) ∈ R2 désigne les bornes de censure et où :y∗i = xiβ + εi ∀i = 1, ..N (1.76)


β = (β1...βK) ∈ RK est un vecteur de paramètres inconnus et où les perturbationsεi sont distribués selon une loi N 0,σ2ε .

Considérons un échantillon de N observations yi, noté y = (y1, .., yN ) . La la fonction devraisemblance d’un modèle à censures multiples s’écrit sous la forme :

L y,β,σ2ε, c1,1, c1,2, ..., cN,1, cN,2

=i: yi=ci,1

Φci,1 − xiβ

σε i: yi=ci,2

1− Φ ci,2 − xiβσε

i: yi=y∗i

1

σεφ

yi − xiβσε

(1.77)

Le premier terme désigne le produit des probabilités que les observations yi prennent lesvaleurs de censures inférieures ci,1 :

Prob (yi = ci,1) = Prob (y∗i ≤ ci,1) = Φ

ci,1 − xiβσε

Le second terme désigne le produit des probabilités que les observations yi prennent lesvaleurs de censures supérieures ci,2 :

Prob (yi = ci,2) = Prob (y∗i ≥ ci,2) = Φ

ci,2 − xiβσε


Enfin, le troisième terme représente tout simplement le produit des lois marginales desvariables yi lorsque ces dernières appartiennent à l’intervalle compris entre les deux bornesde censure. On sait que si ci,1 < y∗i ≤ ci,2, on a part définition yi = y∗i = xiβ + εi où lesperturbations εi sont distribués selon une loi N 0,σ2ε . On en déduit que les variables yi sontalors distribuées selon une loi normale N xiβ,σ

2ε . Ainsi, la loi marginale d’une observation yi

sur cet intervalle est définie par la quantité :

1

σε√2πexp −1

2

yi−xiβσε

2

=1

σεφ

yi − xiβσε

où φ (.) désigne la fonction de densité associée à loi normale centrée réduite. On peut en déduirela log-vraisemblance dans un modèle à censures multiples :

Definition 1.22. La log-vraisemblance concentrée associée à un échantillon y =

(y1, .., yN ) dans un modèle Tobit simple à censures multiples s’écrit :

logL y,β,σ2ε, c1,1, c1,2, ..., cN,1, cN,2

=i: yi=ci,1

log Φci,1 − xiβ

σε+i: yi=ci,2

log 1− Φ ci,2 − xiβσε

−N12log σ2ε −

1

2σ2ε i: yi=y∗i

(yi − xiβ)2 (1.78)

où N1 désigne le nombre d’observations pour lesquelles yi = y∗i .

Il est souvent utile dans ces modèles de déterminer les espérances conditionnelles de lavariable dépendante limitée et de la variable non censurée, notamment pour calculer les effetsmarginaux. On pose ∀i = 1, ..N :

Φ1,i = Φci,1 − xiβ

σεΦ2,i = Φ

c2,1 − xiβσε

Dès lors, on montre (Alban 2000) que l’espérance de la variable dépendante limitée est :

E (yi/xi, ci,1 < y∗i ≤ ci,2) = xiβ + σε

φ1,i − φ2,iΦ2,i − Φ1,i (1.79)

En effet dans le cas du modèle Tobit simple on a uniquement une censure à gauche, ce quise traduit par des seuils de censure égaux à c1,i = 0 et c2,i = +∞. On obtient alors :

φ1,i = φ−xiβσε

φ2,i = limc2,i→∞

φc2,1 − xiβ

σε= 0

Φ1,i = Φ−xiβσε

Φ2,i = limc2,i→∞

Φc2,1 − xiβ

σε= 1

Ainsi, on montre que l’espérance conditionnelle se ramène à l’expression suivante dans lecas du modèle Tobit simple :

E (yi/xi, ci,1 < y∗i ≤ ci,2) = xiβ + σε

φ1,i1− Φ1,i

= xiβ + σεφ (xiβ/σε)

Φ (xiβ/σε)

= xiβ + σελ−xiβσε


On retouve ainsi l’expression standard d’une espérance conditionnelle d’une loi normalecensurée.

Revenons au cas général, c’est à dire au cas du modèle Tobit à censurs multiples. L’espérancede la variable dépendante non censurée est alors :

E (yi/xi) = Prob (yi = ci,1)× ci,1 + Prob (yi = ci,2)× ci,2+Prob (ci,1 < y

∗i ≤ ci,2)×E (yi/xi, ci,1 < y∗i ≤ ci,2)

On obtient alors la formule suivante :

E (yi/xi) = Φ1,i ci,1 + (1− Φ2,i) ci,2 + xiβ (Φ2,i − Φ1,i)+σε φ1,i − φ2,i (1.80)

1.7.2. Modèle Tobit simple à double censure : Rosett et Nelson (1975)

Comme nous l’avons dit précédemment le modèle Tobit simple à double censure est un casparticulier du modèle Tobit simple à censures multiples. C’est un modèle dans lequel on supposeque les seuils de censure à droite et gauche sont identiques pour tous les individus.

ci,1 = c1 ci,2 = c2 ∀i = 1, ..N (1.81)

Definition 1.23. Un modèle Tobit simple à double censure (modèle de friction ou deRosett) est un modèle où les seuils de censures à gauche et à droite sont identiquespour tous les individus.

yi =

c1y∗ic2

si y∗i ≤ c1si c1 < y∗i ≤ c2si y∗i ≥ c2

(1.82)

où (c1, c2) ∈ R2.Ce modèle est aussi parfois appelé modèle de Rosett ou modèle de friction du fait de

l’application proposée par cet auteur. C’est en effet Rosett et Nelson (1975) qui ont proposé lapremière modélisation Tobit simple à double censure. La log-vraisemblance concentrée associéeà un échantillon y = (y1, .., yN ) dans un modèle Tobit simple à double censure s’écrit :

logL y,β,σ2ε, c1, c2

=i: yi=c1

log Φc1 − xiβ

σε+i: yi=c2

log 1− Φ c2 − xiβσε

−N12log σ2ε −

1

2σ2ε i: yi=y∗i

(yi − xiβ)2 (1.83)

où N1 désigne le nombre d’observations pour lesquelles yi = y∗i .

Ce modèle est utilisé dans des applications où la variable dépendante ne répond qu’à defortes variations (ou de fortes valeurs) des variables explicatives. Nous allons à présent évoquerdeux exemples de modèle Tobit simples à double censure :

1. Modèle de distributions de dividendes : Maddala (1977)

2. Modèle d’investissement financier avec coût de transaction : Rosett (1959)

Commençons par le modèle de Maddala (1977).


Politique de Dividendes : Maddala (1977) Maddala (1977) remarque que le modèleTobit simple à double censure ou modèle de friction est particulièrement adapté pour modéliserla politique de dividendes des entreprises, les variations des salaires offerts par les firmes ou toutautre décisions pour lesquelles les firmes répondent par saut après un certain effort cumulatif.

Considérons une société par action qui distribue des dividendes à ses actionnaires. Soit y∗tle montant désiré de dividende qui dépend d’un ensemble de caractéristiques de l’entreprise :montant des bénéfices, décisions d’autofinancement, montant des investissements etc..On poseque ces caractéristiques peuvent être représentées par un vecteur xt et qu’elles sont liées audividende potentiel par une relation du type y∗t = xtβ + εt où εt est distribué selon une loiN 0,σ2ε . Si l’on suppose que le mécanisme de distribution des dividendes est coûteux, onsuppose que l’entreprise limite leur distribution dans le temps (au plus une fois par an) maisaussi suivant leur montant :

• L’entreprise ne verse des dividendes que si le montant potentiel de ces dividendes estsupérieur à un certain seuil c1

• L’entreprise limite le montant de ces dividendes à un niveau c2 afin de maintenir unemarge de manoeuvre financière.

Dès lors, si l’on note yt le montant des dividendes effectivement versés on a :

yt =

0y∗tc2

si y∗t ≤ c1si c1 < y∗t ≤ c2si y∗t ≥ c2

Investissements financiers et coûts de transaction : Rosett (1959) Rosett (1959)avait déjà proposé une application dans laquelle apparaissait une version particulière du modèleTobit simple à double censure. Ce n’est qu’en 1975 que Rosett et Nelson donneront la formegénérale du modèle, mais c’est pourquoi le nom de modèle de Rosett ou modèle de friction estgénéralement attribué à ce modèle.

Dans son application Rosett(1959) considère un modèle d’investissement dans des actifsfinanciers où les coûts de transaction peuvent limiter le volume des transactions par rapportau niveau désiré. Le modèle suppose que les modifications dans la position de l’investisseur,c’est à dire la décision d’achat ou de vente, dépend des variations du rendement. Soit y∗t lavariation désirée de la position du titre (montant acheté ou vendu), yt la variation de la positioneffective et xt la variation du rendement du titre. L’investisseur n’effectuera une transactionque si les variations du rendement sont suffisamment importantes. La position réelle du titrene change donc pas pour de petites variations à la hausse ou à la baisse du rendement et doncde la position désirée. Supposons que la position désirée soit liée à la variation du rendementpar la relation y∗t = xtβ + εt où εt est distribué selon une loi N 0,σ2ε . Le modèle est alorsdéfini par :

yt =

y∗t − c10y∗t − c2

si y∗t ≤ c1si c1 < y∗t ≤ c2si y∗t ≥ c2

où c1 est le niveau de baisse de la position désiré déclenchant la vente et c2 > 0 le niveaudéclenchant l’achat.


1.7.3. Application modèle à double censure

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2. Les Modèles Tobit Généralisés

Nous allons à présent envisager des modèles Tobit incluant au moins deux variables y1 et y2.Cette classe de modèle s’appelle la classe des modèles Tobit généralisés. Comme nousl’avons dit en introduction, Amemiya (1983) propose de classer les différents modèle Tobitgénéralisés en 5 principales classes. Le modèle Tobit simple étant par convention défini commele modèle Tobit de type I. L’auteur propose la classification suivante en fonction de la forme dela vraisemeblance et des propriétés des variables introduites dans le modèle :

Tableau 2.1: Fonctions de Vraisemblance des Modèles Tobit Généralisés

Modèle Forme de la Vraisemblance y1 y2 y3Tobit Type I P (y1 < 0)× P (y1) C – –Tobit Type II P (y1 < 0)× P (y1 > 0, y2) D C –Tobit Type III P (y1 < 0)× P (y1, y2) C CTobit Type IV P (y1 < 0, y3)× P (y1, y2) C C CTobit Type V P (y1 < 0, y3)× P (y1 > 0, y2) D C C

S o u r c e : A m em iya ( 1 9 8 3 ) , Ta b le s 1 e t 2 , p a g e 3 0 , D : va r ia b le d i ch o t om iq u e , C : c e n s u r é e

Ainsi dans le cas du modèle standard, la notation P (y1 < 0)×P (y1) d’Amemiya désigne unefonction de vraisemblance de la forme yi=0

P y∗1,i ≤ 0 . yi>0f (y1,i) où f (y1,i) désigne la

densité marginale de la variable y1,i distribuée selon une loi N xiβ,σ2ε . Les notations pour les

autres modèles sont similaires, sachant que P (y1, y2) désigne la densité jointe des variables y1 ety2. L’autre façon de distinguer les différents modèles Tobit consiste à distinguer les propriétésdes variables du système en différentiant les variables dichotomiques D et les variables censuréesC. En effet dans ces modèles on a deux types de modélisation de la variable y1 :

1. Soit le signe de la variable y1 (par exemple dans le Tobit II) conditionne la modélisation (lacensure ou la troncation) d’une autre variable : on a alors une modélisation dichotomiqueD sur cette variable.

2. Soit la variable y1 joue un double rôle : son signe détermine le modèle (la censure ou latroncation) d’une autre variable mais elle est en outre elle même une variable censurée.

Nous allons dans un premier temps nous intéresser au modèle Tobit généralisé de typeII qui est très souvent utilisé et dont la structure est très similaire à celle des modèles deselection (ou modèles à troncature auxiliaire) popularisés par Heckman et Gronau. Enfin,nous étudierons plus succintement les autres modèles Tobit généralisés recencés par Amemiya(1983).


2.1. Modèle Tobit Généralisé Type 2

Reprenons l’exemple des dépenses de consommation en biens durables. Dans le modèle Tobitsimple (ou modèle Tobit de type I), nous avons supposé que le consommateur décide simul-tanément (i) du fait qu’il va ou non consommer et (ii) du montant de revenu qu’il va affecter àcette consommation. Un modèle alternatif consisteriat à supposer un comportement séquentiel.Dans une première étape l’individu décide ou non de consommer : cette décision peut êtrereprésentée par un modèle qualititatif dichotomique basée sur un certain critère y∗1,i.

si y∗1,i > 0 l’individu i décide de consommersi y∗1,i ≤ 0 l’individu i décide de ne pas consommer

Dans une seocnde étape, s’il a décidé de consommer, l’individu décide du montant qu’il vaconsacrer à l’achat du bien. On a alors un modèle de données censurées puisque, si l’on notey2,i la consommation effective de l’agent i, celle-ci est définie par ∀i = 1, ..N :

y2,i =y∗2,i0

si y∗1,i > 0si y∗1,i ≤ 0 (2.1)

Cette formulation généralise le modèle Tobit simple dans la mesure om l’on retouvele modèle Tobit simple en posant y∗1,i, = y∗2,i. L’avantage de cette modélisation est qu’ellepermet notamment de faire apparaître la plus ou moins forte corrélation pouvant exister entreles deux décisions (i) décision de consommation (ii) décision du montant consommé. On a bienun modèle Tobit généralisé de type II puisque seul le signe de la variable y∗1,i représentépar la variable dichotomique y1,i = I y∗1,i > 0 importe (y1,i est une variable D) tandis que lavariable y2 est censurée (y2,i est une variable C).

2.1.1. Définition du Tobit généralisé de type II

Ainsi, un modèle Tobit généralisé de type II est définie de la façon suivante :

Definition 2.1. Un modèle Tobit généralisé de type II est défini par ∀i = 1, ..N :

y2,i =y∗2,i0

si y∗1,i > 0si y∗1,i ≤ 0 (2.2)

y∗1,i = x1,iβ1 + ε1,i (2.3)

y∗2,i = x2,iβ2 + ε2,i (2.4)

où xj,i = x1j,i..xKj

j,i avec j = 1, 2 désignent deux vecteurs de caractéristiques ob-

servables, où les vecteurs βj = βj,1...βj,Kj∈ RKj , j = 1, 2 sont des vecteurs

de paramètres inconnus et où les perturbations εj,i sont distribués selon une loiN 0,σ2j , j = 1, 2 avec E (ε1,iε2,i) = σ12, ∀i = 1, ..N .

Ainsi, seul le signe de la variable y∗1,i est observable et la variable y∗2,i est observable unique-

ment lorsque y∗1,i > 0. On suppose que les variables x1,i sont observables pour tous les individusde l’échantillon, tandis qu’il n’est pas nécessaire que les variables x2,i soient observables pour


les individus pour lesquels y∗1,i ≤ 0. Par la suite, on supposera tout de même que ces caractéris-tiques sont observables pour tous les individus, ce qui confère un statut de variable censurée àla variable y2,i. Enfin, pour simplifier les notations, on introduit la variable dichotomique z1,itelle que :

z1,i =10

si y∗1,i > 0si y∗1,i ≤ 0 (2.5)

En d’autres termes, les couples de variables (z1,i, y2,i) constituent les variables dépendantesobservées du système. Il convient en outre de noter la propriété suivante :

Remark 4. Contrairement au cas du modèle Tobit simple, dans un modèle Tobit généraliséde type II, la variable dépendante y2,i peut prendre des valeurs négatives.

Une telle propriété peut dans certains problèmes économiques être génante, c’est pourquoiCragg (1971) a proposé des modèles qui assure la non-négativité de y2,i.

2.1.2. Estimation par Maximum de Vraisemblance

Naturellement, tout comme dans le cas du modèle Tobit simple, les paramètres du modèle Tobitgénéralisé peuvent être estimés par maximum de Vraisemblance (MV ). Commençons par définirla vraisemblance dans un tel modèle. D’après la forme générique donnée par Amemiya (1983),pour le modèle de type II, on a une vraisemblance de la forme P (y1 < 0) × P (y1 > 0, y2) .On pose θ = β1,β2,σ

21,σ

22,σ12 l’ensemble des paramètres du modèle. Formellement, si l’on

considère un échantillon y2 = (y2,1, .., y2,N ) et un ensemble d’observations z1 = (z1,1, .., z1,N ) ,la vraisemblance s’écrit sous la forme :

L (y2, z, θ) =i: y2,i=0

Prob y∗1,i ≤ 0i: y2,i=y∗2,i

f y2,i y∗1,i > 0 Prob y∗1,i > 0 (2.6)

où f y2,i y∗1,i > 0 désigne la densité conditionnelle de y2,i sachant y∗1,i > 0. Réécrivons laseconde partie de cette fonction. On note fy1 (.) la fonction de densité marginale associée à y

∗1,i,

il vient :

Prob y∗1,i > 0 =∞

0

fy1 (z) dz

Dès lors, on peut érécrire le second membre de la fonction de vraisemblance sous la formed’une intégrale simple définie sur la fonction de densité jointe des variables y∗1,i et y

∗2,i, notée

fy1,y2 (., .). En effet, en omettant les indices i pour simplifier les notations, il vient :

f (y2/ y∗1 > 0)Prob (y

∗1 > 0) =

∞

0

f (y2/ z) fy1 (z) dz

=∞

0

fy1 ,y2 (y2, z) dz (2.7)

=∞

0

fy1 ,y2 (y2, y∗1) dy

∗1 (2.8)

Car en effet, on a par définition f (y2/ z) fy1 (z) = fy1 ,y2 (y2, z) . Toute l’astuce consistealors à réécrire la densité jointe fy1 ,y2 (y2, y

∗1) en fonction de la densité conditionnelle de y

∗1

par rapport à y2. En effet, on peut écrire cette quantité sous la forme suivante :

fy1 ,y2 (y2, y∗1) = f (y

∗1/ y2) fy2 (y2)


où fy2(.) la densité marginale de la variable y∗2 . On obtient ainsi l’expression suivante :

f (y2/ y∗1 > 0)Prob (y

∗1 > 0) =

∞

0

f (y∗1/ y2) fy2 (y2) dy∗1

= fy2 (y2)∞

0

f (y∗1/ y2) dy∗1 (2.9)

Quel est l’avantage de cette expression ? Cette expression fait apparaître la densité condi-tionnelle de y∗1 sachant que y

∗2 = y2, notée f (y

∗1/ y2) , qu’il est relativement facile de calculer.

On utilise pour cela le résultat suivant :

Proposition 2.2. Soit (y1, y2) un couple de v.a.r. distribuées selon des lois normalesrespectives N µ1,σ

21 et N µ2,σ

22 , telles que E (y1y2) = σ12, la loi conditionnelle de

y1 sachant que y2 = y2, est une loi normale d’espérance E (y1/ y2 = y2) avec

E (y1/ y2 = y2) = µ1 +σ12σ22

(y2 − µ2) (2.10)

et de variance V (y1/ y2 = y2) avec :

V (y1/ y2 = y2) = σ21 −σ212σ22

(2.11)

Ainsi, dans le cadre du modèle Tobit, la loi conditionnelle de y∗1 sachant que y∗2 = y2, est

une loi normale d’espérance E (y∗1/ y2 = y2) et de variance V (y∗1/ y2 = y2) avec

E (y∗1/ y∗2 = y2) = x1β1 +

σ12σ22

(y2 − x2β2) (2.12)

V (y∗1/ y∗2 = y2) = σ21 −

σ212σ22

(2.13)


∞

0

f (y∗1/ y2) dy∗1 = 1−

0

−∞f (y∗1/ y2) dy

∗1

= 1− Φ 0−E (y∗1/ y∗2 = y2)V (y∗1/ y∗2 = y2)

= ΦE (y∗1/ y

∗2 = y2)

V (y∗1/ y∗2 = y2)

On en déduit finallement que :

∞

0

f (y∗1/ y2) dy∗1 = Φ

x1β1 + σ12/σ22 (y2 − x2β2)

σ21 − (σ212/σ22)(2.14)

où Φ (.) désigne la fonction de répartition de la loi N (0, 1) . Sachant que y∗2 suit une loiN x2β2,σ

22 , on montre alors que :

fy2 (y2)∞

0

f (y∗1/ y2) dy∗1 =

1

σ2φ

y2 − x2β2σ2

Φx1β1 + σ12/σ

22 (y2 − x2β2)

σ21 − (σ212/σ22)


Sachant que f (y2/ y∗1 > 0)Prob (y

∗1 > 0) =

∞0f (y∗1/ y

∗2) fy2 (y

∗2) dy

∗2 , on montre donc fi-

nallement que :

f (y2/ y∗1 > 0)Prob (y

∗1 > 0) =

1

σ2φ

y2 − x2β2σ2

Φx1β1 + σ12/σ

22 (y2 − x2β2)

σ21 − (σ212/σ22)

Il est alors immédiat d’écrire la vraisemblance du modèle Tobit généralisé à partir de l’équa-tion (2.6).

Definition 2.3. La vraisemblance associée à un échantillon y2 = (y2,1, .., y2,N) et unensemble d’observations z1 = (z1,1, .., z1,N ) dans un modèle Tobit généralisé de typeII de paramètres θ = β1,β2,σ

21,σ

22,σ12 s’écrit :

L (y2, z, θ) =i:y2,i=0

1− Φ x1,iβ1σ1

(2.15)

×i:y2,i=y∗2,i

1

σ2φ

y2 − x2β2σ2

Φx1β1 + σ12/σ

22 (y2 − x2β2)

σ21 − (σ212/σ22)

On constate que cette fonction de vraisemblance ne dépend de σ1 que par l’intermédiairedu ratio β1/σ1 : il y a donc un problème d’identifiabilité. Seules sont identifiables lesfonctions de σ12, σ2, β2 et β1/σ1. On peut donc sans perte de généralité poser σ1 = 1 ce quipermet d’identifier le reste des paramètres. Dans le cas où β1 et β2 comportent des élémentsen commun, le paramètre σ1 est de nouveau identifiable.

De la même façon que pour le modèle tobit simple, la fonction de vraisemblance associéeà un modèle tobit généralisée n’est pas globalement concave. C’est pourquoi, il est souventintéressant d’utiliser la re-parmétrisation d’Olsen :

h2 =1

σ2θ1 =

β1σ1

θ2 =β2σ2

(2.16)

Si l’on note ρ la corrélation entre les deux perturbations telle que :

σ12 = ρ σ1 σ2 (2.17)

alors on montre le résultat suivant.

Proposition 2.4. Pour un niveau de corrélation ρ des chocs donnés, la log-vraisemblanced’un modèle tobit généralisé re-paramétré en h2 = σ−12 , θ1 = β1/σ1 et θ2 = β2/σ2 estglobalement concave :

logL (y2, z, h2, θ1, θ2, ρ) =i:y2,i=0

log [1− Φ (x1,iθ1)] +N1 log (h2)

+i:y2,i=y∗2,i

log (h2y2 − x2θ2)

+i:y2,i=y∗2,i

logΦx1θ1 + ρ (h2y2 − x2θ2)

1− ρ2


Ainsi il peut être intéressant de modifier la méthode du maximum de vraisemblance pourtenir compte de la concavité partielle de la log-vraisemblance en h2, θ1 et θ2 à ρ fixé. On peut parexemple faire un balayage sur ρ et maximiser pour chauqe valeur de ρ retenue la vraisemblancepar rapport à h2, θ1 et θ2. Il n’y a alors aucun problème de choix dans les conditions initialesen raison de la propriété de concavité. Puis dans un second temps, on retient la valeur de ρqui maximise la valeur de la vraisemblance et l’on en déduit les estimateurs correspondant desautres paramètres.

2.1.3. Estimation en deux étapes : Heckman (1976)

Généralement les paramètres des modèles Tobit généralisés sont estimés par MV . Toutefois, ilpeut être utile de recourir à d’autres méthodes d’estimation simples, qui même si elles ne sontpas efficaces, permettent d’avoir une première idée de l’échelle de grandeur des paramètres etqui peuvent en outre servir dans les phases de détermination des conditions initiales dans lesalgorithmes d’optimisation numérique de la vraisemblance. Parmi ces méthodes d’estimationsimples, on retrouve bien évidemment la méthode d’estimation en deux étapes proprosée parHeckman (1976) et présentée précédemment dans le cas du modèle Tobit simple.

On considère le modèle suivant :

y2,i =y∗2,i0

si y∗1,i > 0si y∗1,i ≤ 0 (2.18)

y∗1,i = x1,iβ1 + ε1,i (2.19)

y∗2,i = x2,iβ2 + ε2,i (2.20)

où les perturbations εj,i sont distribués selon une loi N 0,σ2j , j = 1, 2 avec E (ε1,iε2,i) =σ12, ∀i = 1, ..N . Pour construire l’estimateur en deux étapes d’Heckman, on cherche toutd’abord à construire l’espérance conditionnelle E y∗2,i y

∗1,i > 0 . Pour cela, considérons l’-

expression de y∗2,i et exprimons là en fonction de la projectioon linéire des résidus ε2,i surles résidus ε1,i. Compte tenu des hypothèses faites sur les pertubations, on a par hypothèseε2,i = σ12σ

−21 ε1,i+µ2,i où µ2,i est indépendant de ε1,i et normallement distribué de moyenne

nulle de de variance égale à σ22 − σ212σ−11 . Ainsi, on obtient :

y∗2,i = x2,iβ2 + ε2,i = x2,iβ2 + σ12σ−21 y∗1,i − x1,iβ1 + µ2,i

On en déduit alors l’expression E y∗2,i y∗1,i > 0 en fonction de celle de E y∗1,i y∗1,i > 0que l’on avait déjà construit dans le chapitre précédent. En effet, sachant :

E y∗1,i y∗1,i > 0 = x1,iβ1 + σ1λ (x1,iθ1)

on montre que :

E y∗2,i y∗1,i > 0 = x2,iβ2 + σ12σ−21 E y∗2,i y

∗1,i > 0 − x1,iβ1 + µ2,i

= x2,iβ2 + σ12σ−11 λ (x1,iθ1) + µ2,i

avec µ2,i = ε2,i − σ12σ−21 ε1,i.

Ainsi, pour les observations y2,i positives, on montre que l’on a un modèle décrit par larelation non linéaire suivante.

y2,i = E y∗2,i y∗1,i > 0 + vi


avec vi = y2,i −E y∗2,i y∗1,i > 0 ou encore :

y2,i = x2,iβ2 + σ12σ−11 λ (x1,iθ1) + µ2,i (2.21)

où les perturbations µ2,i vérifient

µ2,i = µ2,i + vi = ε2,i − σ12σ−21 ε1,i + y2,i −E y∗2,i y∗1,i > 0 (2.22)

On obtient ainsi la proposition suivante.

Proposition 2.5. Le modèle Tobit généralisé de type II, pour les observations y2,i >0, peut être représenté par la relation non linéaire hétéroscédastique suivante :

y2,i = x2,iβ2 + σ12σ−11 λ (x1,iθ1) + µ2,i (2.23)

avec θ1 = β1/σ1 et où les perturbations µ2,i vérifient E µ2,i = 0 et :

V ar µ2,i = σ22 − σ12σ−21 x1,iθ1λ (x1,iθ1) + λ (x1,iθ1)

2 (2.24)

Dans le cas du modèle Tobit généralisé de type II, la méthode d’estimation d’Heckman, diteaussi méthode d’estimation en deux étapes, en comporte en fait trois.

• Etape 1 : On commence par estimer le ratio θ1 = β1/σ1 en utilisant la partie di-chotomique du modèle, c’est à dire en modélisant la probabilité d’obtenir une valeur y∗1,ipositive.

z1,i =10

si y∗1,i > 0si y∗1,i ≤ 0 y∗1,i N x1β1,σ

21 (2.25)

Pour cela, on considère le modèle probit dichotmique suivant :

Prob (zi,1 = 1) = Prob y∗1,i > 0 = Φ (x1θ1) (2.26)

Soit θ1 un estimateur convergent de θ1 obtenu à partir de ce modèle probit.

• Etape 2 : A partir de l’estimateur θ1 on constuit le ratio de Mill λ x1,iθ1 pour chaque

observation x1,i. Soit λ x1,iθ1 l’estimateur ainsi obtenu. On effectue alors la régressionlinéaire suivante par la méthode des MCO :

y2,i = x2,iβ2 + σ λ x1,iθ1 + µ2,i (2.27)

et l’on obtient alors un estimateur asymptotiquement convergent des paramètresβ2, noté β2 et un estimateur asymptotiquement convergent σ du ratio deparamètres σ12σ

−11 . Si l’on impose une contrainte sur σ1 (par exemple σ1 = 1) cela

permet alors d’identifier la covariance σ12. Toutefois, ces deux estimateurs ne sont effi-caces en rtaison de de l’hétéroscédascticité :

V ar µ2,i = σ22 − σ σ−11 x1,iθ1 λ x1,iθ1 + λ x1,iθ12


• Etape 3 : Reste alors à estimer le paramètre σ2. Pour cela, considérons le résidu µ2,i dela régression (2.27). Pour une valeur donnée de σ1, on obtient alors par construction unestimateur convergent de σ22 :

σ22 =1

N1 i: y2,i>0µ2,i +

σ

σ1

1

N1 i: y2,i>0x1,iθ1 λ x1,iθ1 + λ x1,iθ1

2

(2.28)

où N1 désigne le nombre d’observations pour lesquelles y2,i > 0.

On montre que les estimateurs β2, σ22 et σ12 ainsi obtenus sont asymptotiquement convergent

et normalement distribuées (Olsen 1980).

Proposition 2.6. La convergence des estimateurs β2, σ22 et σ12 de Heckman ne néces-

site pas de supposer la normalité jointe des variables y∗1,i et y∗2,i. Il suffit de supposer

que la variable y∗1,i est distribuée selon une loi normale et que la composante desrésidus µ2,i telle que

y∗2,i = x2,iβ2 + ε2,i = x2,iβ2 + σ12σ−21 y∗1,i − x1,iβ1 + µ2,i

est indépendamment distribuée par rapport à y∗1,i.

Ainsi, contrairement à l’estimateur du MV, la convergence de l’estimateur de Heckman nerecquiert pas la normalité jointe des deux variables latentes.

2.1.4. Exemples

Un des exemples les plus célébres de modèle Tobit généralisés de type II est l’application deGronau (1974) sur le travail des femmes. Son modèle d’offre de travail est fondé sur la théoriedu salaire de réservation et sera repris par la suite de très nombreuses fois, notamment parHeckman avec des modèles de biais de sélection.

Le travail de Gronau (1974) consiste à déterminer sous quelles conditions les femmes décidentde travailler ou de ne pas travailler. Gronau suppose que le taux de salaire réel effectivementoffert aux femmes, noté W s, est indépendant du nombre d’heures travaillées H. La femmemaximise son utilité U (C,X) où C désigne le temps passé à s’occuper des enfants et X levecteur des autres biens de consommation. Etant donné le salaire W s offert, la femme cherchedonc le panier (C,X) qui maximise son utilité sous la contrainte de temps C + H = T où Tdésigne temps disponible total et sous la contrainte de revenu X = W sH + V où V désigne lemontant de ses revenus autres que les revenus salariaux. Le programme est donc :

maxC,X

U (C,X) (2.29)

sc : C +H = T

sc : X =W sH + V

Dès lors la femme n’acceptera de travailler que si le TMS du bien C au bien X évalué aupoint H = 0 (c’est à dire sans travailler) est inférieur le taux de salaire W s.

∂U (C,X) /∂C

∂U (C,X) /∂X H=0

< W s


Intuitivement, sans travailler, la réduction d’une unité du temps consacré aux enfants im-plique pour maintenir le niveau d’utilité une augmentation de la consommation égale au termede gauche. Si en travaillant une unité la femme, gagne W s et que ce salaire réel est supérieurà cette augmentation nécessaire de la consommation, la femme décidera de travailler. Si elledécide travailler, le nombre d’heures travaillées H sera défini par l’égalité :

∂U (C,X) /∂C

∂U (C,X) /∂X(H) =W s

Gronau qualifie le terme de gauche de ”housewife’s value of time”, mais plusgénéralemnt il s’agit ici d’un salaire de réservation, noté W r. Si W r > W s, l’agentaccepte de travailler, sinon il refuse.

En supposant que W r et W s peuvent s’écrire comme la somme de combinaisons linéairesdes variables explicatives indépendantes et d’un terme d’erreur, le modèle devient :

W si = x1,iβ1 + ε1,i (2.30)

W ri = x2,iβ2 + ε2,i (2.31)

Wi =W si

0si W s

i > Wri

sinon(2.32)

où Wi désigne le salaire effectif. Pour les femmes ayant un salaire de réservation supérieur ausalaire offert, le salaire effectif est nul puisque ces dernières refusent de travailler. En posant quey∗1,i =W

si −W r

i et y∗1,i =W

si , en supposant que les perturbations ε1,i et ε2,i sont normallement

dsitribuées on retrouve un modèle tobit généralisé de type II. C’est un tel modèle qui donnalieu plus tard à l’extension des modèles à troncature auxiliaire ou modèles Heckit.

2.1.5. Modèle de Troncature Auxiliaire ou Modèle Heckit

Parfois, on appele modèle de Troncature Auxiliaire ou modèle Heckit, en hommage àHeckman, oumodèles de biais de sélection, les modèles Tobit généralisés de type II. Les ex-emples sont multiples : caractéristiques des demandeurs d’emploi connues que s’ils sont inscritsà l’ANPE, notes des étudiants connues que s’ils ont décidé de passer l’examen, réponses aux en-quêtes connues que si les individus ont décidé de les fournir, etc... Tous ces exmples cachentun processus de selction des individus observés dans lequel ceux-ci interviennentde façon déterminante : on a donc un problème d’auto-sélection.

Considérons un modèle Tobit généralisé :

y2,i =y∗2,i0

si y∗1,i > 0si y∗1,i ≤ 0 (2.33)

y∗1,i = x1,iβ1 + ε1,i (2.34)

y∗2,i = x2,iβ2 + ε2,i (2.35)

Il est tentant alors d’appliquer les MCO à l’ensemble des observations pour déterminer lesparamètres β2.


Proposition 2.7. On montre que l’estimateur β2 des MCO ne sera pas biaisé qu’àpartir du moment où le processus de sélection sera totalement indépendant de lavariable auxiliaire y∗1,i :

E β2 = β2 ⇐⇒ ρσ1λ (x1,iβ1) = 0⇐⇒ ρ = 0 (2.36)

Dès que le processus de sélevction dépend, même partiellement de y∗1,i, le biais s’introduit :il s’agit d’un biais de sélection. Le biais apparaît parce que certaines variables explicatives,celles contenues dans x1,i, ont été oubliées : il s’agit encore une fois d’un biais de variable omise.On parle parfois de modèle Heckit, en hommage à Heckman, la spécification de ce dernier étantdonnée par :

z∗i = wiγ + µi (2.37)

yi = xiβ + εi (2.38)

où yi n’est observée que si z∗i > 0 ou encore si zi = 1 avec :

zi =10

si z∗i > 0si z∗i ≤ 0


2.2. Autres Modèles Tobit Généralisés

2.2.1. Modèle Tobit Généralisé Type 3



3. Les Modèles à régimes

3.1. Modèle à régimes observables

3.2. Modèle à régimes inobservables


A. Annexes

A.1. Concavité de la log-vraisemblance

Soit les matrices ∆ et Γ respectivement définies par :

∆ =Ψ (α, h) 00 −N1

h2(A.1)

Γ =− i: yi>0

xixi i: yi>0xiyi

i: yi>0yixi i: yi>0

y2i(A.2)

avec

Ψ (α, h) =i: yi=0

φ (xiα)

1− Φ (xiα) xiα− φ (xiα)

1− Φ (xiα) xixi

et xiα− φ (xiα) [1− Φ (xiα)]−1 < 0. Sachant que la matrice xixi est définie positive.*** A finir ***a bb c

, eigenvalues:

12a+

12c+

12 (a2 − 2ac+ c2 + 4b2), 12a+ 1

2c− 12 (a2 − 2ac+ c2 + 4b2)

A.2. Programme de simulation d’un probit simple

Le programme permettant de simuler la série observable yi est le suivant :

’ Tirage des Epsilon dans une loi N(0,1)scalar sigeps=1genr eps=nrnd*sigeps’ Construction de la Variable Exogène Xscalar sigx=1genr x=nrnd*sigx’ Construction de la Variable Latente y*scalar beta=0.8scalar alpha=1genr ystar=alpha+beta*x+eps’ Construction de la Variable Observale ygenr y=0genr y= (ystar>0)*ystar


Bibliographie


Goldberger (1964)Gourieroux C. (1989), ”Econométrie des Variables Qualitatives”, Economica.


McDonald, J. and R. Moffitt (1980) The Uses of Tobit Analysis, Review of Economic andStatistics, 62, 318321



econometrie des variables ives

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