plan du cours - physique 102 ch. i cinématique ch. ii
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Plan du cours - physique 102
Ch. I Cinématique
Ch. II Principe fondamentale de la dynamique
Ch. III Systèmes oscillatoires ou amortis
Ch. IV Référentiels non-Galiléens
Ch. V Dynamique de deux corps
Ch. VI Mouvement céleste - gravitation
Ch. VII Mécanique du solide rigide
1Les lois de la dynamique
Théorème du centre d’inertie
Théorème du moment cinétique
Valides pour N corps :
2Définition du solide rigide
O x
zr
O’
r
'
x’
z’
Coordonnées « espace »
Coordonnées « liées »
dm, dV
3Équilibre du solide – un exemple simple
FA
A
B
C
θ
Échelle contre un mur
• Déduire la force FA nécessaire afin de garder l’échelle à un angle donnée par rapport au sol.
• Quelles sont toutes les force externes agissant sur l’échelle ?
• Le choix de O est arbitraire
O
x
y
4Mouvement dans l’espace
z
Translation – trois coordonnéesRotation – trois angles
z'
y'
x' O’
axe vertical
axe longitudinalaxe transversal
lacet
tangage
roulis
5Axes de rotation dans l’espace
6Rotation autour d’un point fixe
Le point fixe du solide (O’) est soit :
Objectif :
Utiliser les lois de la dynamique afin de calculer le mouvement du solide autour du point fixe.
Il s’agit de déterminer la vitesse angulaire (ou le moment cinétique).
• le centre de masse (CM) ou• un point imposé (contrainte).
7Rotation du solide autour d’un seul axe
O
x
y
z
r
uθu
rdL
α
rdV, dm
Objectif : calculer le moment cinétique total :
On place O en O’
Coordonnées « espace »
8Définition du moment d’inertie
Moment cinétique total
Moment d’inertie
(corps homogène)
9Où ce trouve le centre de masse ?
définition mathématique
On place O’ précisément au CM :
• Si le corps est symétrique, le CM se trouve sur un axe de symétrie
CM CM
10Où ce trouve le centre de masse ?
Une sphère Un cylindre droit
?
CM
?
Un côneUne équerre
Où ce trouve le centre de masse ? 11
O
r1
r2 RCM
r '2r '1
1
2
Théorème du centre de gravité
Exemple : le rotateur rigide dans un champ uniforme
12
CMm1
m2
Le poids total (force externe) agit au centre de masse
Théorème du centre de gravité 13
Calcul du moment par rapport à O :
Rappel de la force totale externe :
Théorème du centre de gravitéLe poids total (force externe) agit au centre de masse
A
CM
A
d
θ
RCM
(a) (b) (c)
14Théorème du centre de gravité
CMCM
• Le moment est défini par rapport à A.
A
15Notion de mouvement avec contrainte
La corde sur laquelle l’objet est suspendu représente une contrainte.
De façon générale, les contraintes impliquent:
• Une réduction des degrés de libertés• ω est peut-être fixe dans l’espace• L est peut-être fixe dans l’espace• L est ω sont peut-être alignés
Une contrainte est toujours associée à une force agissant sur le système.
Mouvements avec une contrainte
ω
VCM
ω2
ω1 VCM
16
2 coordonnées : x, θ
Rotation autour du bord
θ
A
ω
A
17
une coordonnée : θ
CM
• Le CM effectue un mouvement circulaire
Le théorème d’Huygens 18
On considère un axe de rotation fixe ω.
Il suffit de connaître le moment d’inertie autour du CM
Moment d’inertie du disque 19
CM
r
R
ω
Rotation autour de l’axe principalz
Moment d’inertie du disque 20
CM
r
R
ω
Rotation autour du bordz
21Comparaison point, disque, anneau
22Divers solides de base
D’après Alonso et Finn
A
θ
M g
ω u
23Problème de dynamique – le pendule solide
Le disque est articulé en A.
RCM
CM
24Problème de dynamique – le pendule solide
Mouvement simple du rotateur
O
r
m
ω
v
LO
uz
m
Le rotateur est articulé en O (point fixe du mobile).
Si le moment externe est nul, L est conservé.
25
Moment appliqué axial – exemple simple
OF m
ω
v
LO
uz
m
Un moment (couple) axial constant est appliqué : L croit linéairement (en absence de frottement).
Mext
26
Le couple de forces 27
Deux forces égales et opposées appliquées à un solide donnent un moment axial, appelé un couple.
dF
-F
O
rr
1
2
• La force totale sur l’objet est nulle.• Le couple est indépendant de l’origine.
Or
m
ω
v
LO
uz
m
α
α
Précession du moment cinétique
F
Mext
-F
• On applique un couple (constant) perpendiculaire à L.
28
= v uθ
Or
m
ω
v
LO
uz
m
α
α
• L tourne sur un cône d’angle alpha – le modulede L reste constant.
Précession du moment cinétique
F
Mext
-F
29
30La toupie « rapide »
O x
z
PCMRCM
z’
ω
uθ
Ω
• Le point fixe est supposé être en O.• La toupie est soumise à un moment constant en module.
α
• La toupie ne tombe pas mais précesse autour de l’axe Oz.
31Analyse simple de la toupie « rapide »
Avec :
Vitesse angulaire de la « pseudo » précession
32Précession et produit vectoriel
- change de signe,
- change de signe,
- garde son signe,
Que fait la toupie en l’air ? 33
PCM
z’
ω
• Le moment, par rapport au CM, est nul (théorème du CG)
• Le mouvement est stable – la vitesse angulaire est constante.
Rotation sur l’axe principal de symétrie :
CMm1
m2
O
r1
r2 RCM
r '2r '1
1
2
Théorème du centre de gravité (bis)
Exemple : le rotateur rigide
34
ω
Le moment du poids par rapport au CM
!
Théorème du centre de gravité
Le poids d’un solide ne crée pas demoment par rapport au CM.
Le solide jeté en l’air a donc un moment cinétique constante.
Le CM est un point fixe pour la rotation.
35
Que fait la toupie en l’air ? 36
P
CM
z’
ω
• Le mouvement est stable – la vitesse angulaire est constante.
Rotation autour du deuxième axe principal :
Que fait la toupie en l’air ? 37
PCM
z’ω
• Le mouvement est instable – la vitesse angulaire varie en fonction du temps
Rotation autour d’un axe quelconque :
•Le moment cinétique est toujours constant.
L
Le gyroscope 38
ω
Applications importantes :
• maintenir une direction – gyrocompas • mesurer une rotation par rapport à un
référentiel inertiel
O
Le gyroscope 39
Ο
ΕMidiMinuit
Ο
Ε
En principe – détecter directement la rotation terrestre !
ω
40Le gyroscope
O
Un moment externe est appliqué :
• Le gyroscope précesse de gauche à droite, • La précession s’arrête quand le poids est enlevé,• Le poids est mis de l’autre côté de O, la précession est dans le
sens inverse !
41La Terre dans le champ gravitationnel du soleil
L
La précession des équinoxes – 26 000 ans !
Fin et FIN !!!
L
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