ch 1 cours cinématique du point matériel_modifié
DESCRIPTION
MECANIQUETRANSCRIPT
Pr. B.SAMOUDI
Physique II
Cours de Mécanique du point
1
2013-2014
Quelques règles à savoir….
Pr. B.SAMOUDI 2
1. Le module appelé Physique II est constitué de trois matières, mécanique du point(50 %), optique géométrique et ondulatoire (50 %).
2.Deux contrôles (de deux heures) seront programmés pendant le deuxième semestre.
3.Une seule session de rattrapage sera organisée après le dernier contrôle.
Quelques règles à savoir….
Pr. B.SAMOUDI 3
Comment appréhender le cours de la mécanique du point ?
Programme du cours
Pr. B.SAMOUDI 4
1. Travailler régulièrement.
2. Ne jamais apprendre une formule par cœur et l’appliquer directement aux problèmes physiques.
3. Le cours et les TDs ne suffisent pas pour comprendre la mécanique.
Programme du cours
Pr. B.SAMOUDI 5
Introduction générale
CH 1. Cinématique du point matériel CH 2. Composition du mouvement CH 3. Dynamique Newtonienne du point matériel CH 4. Travail, puissance énergie CH 5. Mouvement d’un point matériel dans un champ central CH 6. Oscillations mécaniques
Organisation du cours :
Pr. B.SAMOUDI 6
Quel est l’intérêt d’étudier la mécanique du point ?
Introduction générale
Pr. B.SAMOUDI 7
- La mécanique permet de décrire et comprendre le mouvement des points matériels.
- La mécanique du point permet de prédire le mouvement d’un point matériel à partir de sa position et vitesse initiale.
Introduction générale
Pr. B.SAMOUDI 8
Introduction générale
- L’étude du mouvement du point matériel est limitée à la mécanique classique. Dans ce cas, le temps est absolu et on peut parfaitement définir la position de l’objet dans l’espace.
Pr. B.SAMOUDI
- Le mouvement d’un mobile est un phénomène relatif. En effet, la trajectoire d’un mobile dépend de l’observateur, qui constitue le système référentiel.
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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
1. Calcul vectoriel 1. 1 Produit Scalaire
On appelle produit scalaire de deux vecteurs et une loi de composition externe dans qui associe à ces deux vecteurs un nombre réel (dit scalaire) noté :
u w
u w⋅
3 produit,scalaire
V W R V W R∀ ∈ → ⋅ ∈
3R
Pr. B.SAMOUDI 10
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
1. Calcul vectoriel 1. 2 Produit Vectoriel
On appelle produit vectoriel de deux vecteurs et une loi de composition interne dans qui associe à ces deux vecteurs un vecteur noté tel que :
u w3R
u w∧
' ' '' ' '' ' '
a a bc cbu w b b ca ac
c c ab ba
− ∧ = ∧ = − −
Propriété importante du double produit vectoriel :
( ) ( ) ( )u v w u w v u v w∧ ∧ = ⋅ − ⋅
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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel 1. Calcul vectoriel 1. 3 Produit mixte On appelle produit mixte de trois vecteurs , et pris dans cet ordre, le nombre réel défini par :
u wv
( )u v w⋅ ∧
Il est facile de montrer que :
( ) ( ) ( )u v w v w u w u v⋅ ∧ = ⋅ ∧ = ⋅ ∧
On dit que le produit mixte est invariant par permutation circulaire.
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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel 1. Calcul vectoriel 1. 4 Moment d’un vecteur par rapport à un point
Le moment d’un vecteur par rapport à un point est donné par :
F
( )OM F OP F= ∧
P
O
Fd ( )OM F F d= ×
Pr. B.SAMOUDI 13
1. Calcul vectoriel 1. 4 Moment d’un vecteur par rapport à un axe
Le moment d’un vecteur par rapport
à l’axe (Δ) est donné par : F
( )( , ) ( ) ( )u OM F M F u OP F u∆ = ⋅ = ∧ ⋅
u est le vecteur unitaire de l’axe (∆).
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI
u
P
O
F
( )∆
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2. Quelques définitions 2. 1 La cinématique
La cinématique permet de décrire de manière générale l’évolution d’un objet sans s’intéresser aux causes de mouvement.
Quels sont les paramètres qui rentrent en jeu dans la cinématique ?
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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2. Quelques définitions 2. 2 Notion du point matériel
Il s’agit d’un point géométrique associé à un système matériel dont la position est parfaitement déterminée par la donnée de trois coordonnées.
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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2. Quelques définitions 2. 3 Notion de référentiel
Un référentiel est un système d’axes définissant un espace donné, lié à un observateur muni d’un horloge.
En mécanique classique, le temps s’écoule de la même manière dans tous les référentiels.
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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2. Quelques définitions 2. 3 Notion de référentiel
Un référentiel est un système d’axes définissant un espace donné, lié à un observateur muni d’un horloge.
En mécanique classique, le temps s’écoule de la même manière dans tous les référentiels.
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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2. Quelques définitions 2. 3 Notion de référentiel
On distingue plus particulièrement les référentiels de Copernic, géocentrique et terrestre : Le référentiel de Copernic :
Origine : Centre de système solaire
Axe dirigés vers les étoiles de directions fixes par rapport au soleil.
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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2. Quelques définitions 2. 3 Notion de référentiel
Le référentiel géocentrique :
Origine : Centre de la terre
Axes parallèles à ceux du référentiel de Copernic
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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2. Quelques définitions 2. 3 Notion de référentiel
Le référentiel terrestre :
Origine : point de la surface de la terre
Axes fixes par rapport à la terre
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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2. Quelques définitions 2. 4 Repère et coordonnées
Pour tout observateur, 3 coordonnées suffisent à positionner un point dans l’espace.
En général, on distingue trois systèmes de coordonnées : système cartésien, système cylindrique et système sphérique.
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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2. Quelques définitions 2. 4 Repère et coordonnées
Système cartésien :
x
y
z
x
y
z
M(x,y,z)
x y zOM xe ye ze= + +
, et x y ze e e
xe yezeSont immobiles par rapport au référentiel d’observation
0yx zdede dedt dt dt
= = =
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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2. Quelques définitions 2. 3 Repère et coordonnées Système Cylindrique :
x
y
z z
M r zOM re ze= +
reeθ
θ r
eθ
re
ze
ze
Le vecteur position s’écrit :
Les coordonnées cylindriques du point M sont : ( , , )r zθ
Les composantes du vecteur position dans la base cylindrique sont :
OM
( , , )r ze e eθ
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI
( , , )r zθ
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2. Quelques définitions 2. 3 Repère et coordonnées Système Cylindrique :
x
y
z z
M
reeθ
θ r
eθ
re
ze
ze
cos sin
sin cosr x y
x y
e e ee e eθ
θ θ
θ θ
= +
= − +
0zd edt
=
, r rd de e e edt dtθ θθ θ= = −
Relations importantes :
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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2. Quelques définitions 2. 3 Repère et coordonnées Système Sphérique :
x
y
z z M(x,y,z) re
eϕ
ϕ r
eθθ
eϕ
rOM re=
Le vecteur position s’écrit :
Les coordonnées sphérique du point M sont : ( , , )r θ ϕLes composantes du vecteur position dans la base sphérique sont :
OM
( , , )r ze e eθ ( , , )r θ ϕ
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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2. Quelques définitions 2. 3 Repère et coordonnées
Système de Frenet :
M
M
M
TeNe
Te
NeTe
Ne
: Vecteur normalNe
: Vecteur tangentTe
Est dirigé dans le sens du mouvement Te
Est dirigé selon la concavité de la trajectoire
Ne
La base de Frenet est donnée par :
( ), ,T N Be e e
Avec : B T Ne e e= ∧
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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2. Quelques définitions 2. 3 Repère et coordonnées
M
M
M
TeNe
Te
Ne Te
Ne
O
Abscisse curviligne s
La distance algébrique mesuré sur la trajectoire entre le point O et le point M.
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cartésien 3.1.1 Vecteur déplacement élémentaire
O
( )M t
'( ')M t
Vecteur déplacement :
'( ') ( )OM t OM t∆ = −
Vecteur déplacement élémentaire :
∆
O
( )M t'( ')M t
d
' 0lim '( ') ( )
t td OM t OM t dOM
− →= − =
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cartésien 3.1.1 Vecteur déplacement élémentaire
' 0lim '( ') ( )
t td OM t OM t dOM
− →= − =
A partir de l’expression précédence :
Nous avons : x y zOM xe ye ze= + +
Donc : x x y y z zdOM dxe xde dye yde dze zde= + + + + +
Ainsi : x y zd dxe dye dze= + +
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cartésien 3.1.2 Vecteur vitesse
Nous avons : ( ) dv Mdt
=
Donc : ( ) x y zdx dy dzv M e e edt dt dt
= + +
( ) x y zv M xe ye ze= + +
Ou :
Ou : ( )x
v M yz
=
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cartésien 3.1.3 Vecteur accélération
Nous avons : ( ) ( )da M v Mdt
=
Donc : 2 2 2
2 2 2( ) x y zd x d y d za M e e edt dt dt
= + +
( ) x y za M xe ye ze= + +
( )x
a M yz
=
Ou :
Ou :
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.1 Vecteur déplacement élémentaire
Vecteur déplacement :
Nous avons : r zOM re ze= +
r r z zdOM dre rde dze zde= + + +
Donc :
Ainsi : r r zd dre rde dze= + +
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cylindrique 3.1.1 Vecteur déplacement élémentaire
r r zd dre rde dze= + +
?rdeNous avons : rde e
d θθ=
Ceci implique rde d eθθ=
Par conséquent : r zd dre rd e dzeθθ= + +
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.2 Vecteur vitesse
Nous avons : ( ) dv M
dt=
Donc : ( ) r zdr rd dzv M e e edt dt dtθ
θ= + +
( ) r zv M re r e zeθθ= + + Ou :
Ou : ( )r
v M rzθ
=
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.3 Vecteur Accélération
Nous avons : ( ) ( )da M v Mdt
=
Donc : ( ) ( ) ( )( ) r zd d da M re r e zedt dt dtθθ= + +
(1) (2) (3)
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.3 Vecteur accélération
Terme (1) :
( )r r r rd dr dre e r e re r edt dt dt θθ= + = +
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.1.3 Vecteur accélération
Terme (2) : ( )d d dr e r e r edt dt dtθ θ θθ θ θ = +
( )d dr e r e r e edt dtθ θ θ θθ θ θ θ = + +
( ) ( )2r
d r e r e r e edt θ θ θθ θ θ θ= + −
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.3 Vecteur accélération
Terme (2) :
( ) ( )2r
d r e r e r r edt θ θθ θ θ θ= − + +
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.3 Vecteur accélération
Terme (3) :( )z z
d ze zedt
=
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 40
3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cylindrique 3.1.2 Vecteur accélération
Conclusion :
( ) ( )2( ) 2r za M r r e r r e zeθθ θ θ= − + + +
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.1 Vecteur déplacement élémentaire
Vecteur déplacement :
Nous avons : rOM re=
r rdOM dre rde= +
Donc :
Ainsi : r rd dre rde= +
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.1 Vecteur déplacement élémentaire
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI
En effet : cos sinr z pe e eθ θ= +
cos sin (cos sin )r z x ye e e eθ θ ϕ ϕ= + +
sin cos sin sin cosr x y ze e e eθ ϕ θ ϕ θ= + +
D’autre part :
sin cosx ye e eϕ ϕ ϕ= − +
z M(x,y,z) re
eϕ
ϕ
eθθ
eϕ
reze
pe
H
θ
x
y
43
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.1 Vecteur déplacement élémentaire
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI
Finalement :
sin sin cos cos coscos sin sin cos sin0 cos sin
re e eθ ϕ
ϕ θ ϕ ϕ θϕ θ ϕ θ ϕ
θ θ
−= ∧ = ∧ =
−
z M(x,y,z) re
eϕ
ϕ
eθ
eϕ
ze
pe
Hx
y re
θ
44
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.2 Vecteur vitesse
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI
On obtient finalement :
sinrd dre rd e r d eθ ϕθ θ ϕ= + +
sinrde d e d eθ ϕθ θ ϕ= +
Soit :
45
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3.3.2 Vecteur vitesse ( ) dv M
dt=
sin( ) r zdr rd r dv M e e edt dt dtθ
θ θ ϕ= + +
Donc :
Ou : ( ) sinr zv M re r e r eθθ θϕ= + +
Ou : ( )sin
rv M r
rθ
θϕ
=
46
3. Cinématique 3.3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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Nous avons : ( ) ( )da M v Mdt
=
Donc : ( ) ( ) ( )( ) sinr z
d d da M re r e r edt dt dtθθ θϕ= + +
(1) (2) (3)
47
3. Cinématique 3.3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération
Terme (2) : ( )d dr e r e r e edt dtθ θ θ θθ θ θ θ = + +
( ) ( )d dr e r r e r edt dtθ θ θθ θ θ θ= + +
Déterminer ?d edt θ
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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Terme (1) : ( )r r rd dr dre e r edt dt dt
= +
48
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération
Terme (2) :
( )d dr e r e r e edt dtθ θ θ θθ θ θ θ = + +
( ) ( )d dr e r r e r edt dtθ θ θθ θ θ θ= + +
Déterminer ?d edt θ
Pr. B.SAMOUDI
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3.3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération
Terme (2) :
Nous avons :
cos cos cossin sinx y ze e e eθ θ ϕ ϕ θ= + −
Donc : cosrd e e edt θ ϕθ ϕ θ= − +
(à vérifier )
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération
Terme (3) :
( )sin sin sind d dr e r e r edt dt dtϕ ϕ ϕθϕ θ ϕ θ ϕ = +
sin sin cosd r r rdt
θ θ θ θ= +
d de e edt dtϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ= +
?d e
dt ϕ
Pr. B.SAMOUDI
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
51
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération
re e eϕ θ= ∧
Nous avons :
Donc :
0 0 1 1 0 0
sin 0 0 co s
sin cos
rr
r
de dede e edt dt dt
e e
ϕ θθ
θ
θθϕ θ ϕ θ
ϕ θ ϕ θ
= ∧ + ∧
−= ∧ + ∧
= − −
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération
Terme (3) :
( ) ( )( )( )
sin sin cos
sin sin cosr
d r e r r edt
r e e e
ϕ ϕ
ϕ θ
θϕ θ θ θ ϕ
θ ϕ ϕ ϕ θ ϕ θ
= +
+ + − −
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 53
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération
Conclusion :
( )( )( )
2 2 2
2
sin
2 sin cos
2 cos 2 sin sin
ra r r r e
r r r e
r r r e
θ
ϕ
θ ϕ θ
θ θ ϕ θ θ
ϕθ θ ϕ θ ϕ θ
= − −
+ + −
+ + +
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.1 Vecteur déplacement élémentaire
O( )M t
d
Te
NeTd dse=
?ds
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
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3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.1 Vecteur déplacement élémentaire
O( )M t
d
Te
Ne
Td dse=
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
22 2
2 22
(repère cartésien)
= (repère cylindrique)
= sin repère sphérique
ds dx dy dz
dr rd dz
dr rd r d
θ
θ θ ϕ
= + +
+ +
+ +
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 56
3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.2 Vecteur vitesse
( ) Tdsv M edt
=
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 57
3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.3 Rayon de courbure
La courbure (scalaire ) au point M est définie de la manière suivante :
dCdsψ
=
Le rayon de courbure est donné par :
1 dsRC dψ
= =
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 58
3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.3 Rayon de courbure
O
( )M t
'( ')M tTe
'Te
'Te
dψ TdeTe
T N Ndsde d e eR
ψ= =
NT ededs R
=
'lim ( ( ') ( ))T T T
M Md e e M e M
→= −
Nedψ
( )sin( )d dψ ψ=
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 59
3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.4 Vecteur accélération Nous avons : ( ) ( )da M v M
dt=
( ) Tdsv M edt
=
et
Donc : 2
2( ) TT
ded s dsa M edt dt dt
= +
NT ededs R
=
?Tdedt
Donc : 1T
Nde ds edt dt R
=
Ainsi : 22
2
1( ) T Nd s dsa M e edt dt R
= +
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 60
3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.4 Vecteur accélération
( ) dsv Mdt
=
Puisque :
Alors : 2( ) ( )( ) T N
d v M v Ma M e e
dt R= +
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 61
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.1 Mouvement rectiligne
Mouvement rectiligne uniforme
xeye
x
y
O
MOM ( )v M
( )v M cte=
( ) 0a M =
La courbure
Soit : 0C =
R = ∞
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 62
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Mouvement Circulaire Mouvement circulaire uniforme
xeye
x
y
O
OM( )v M cte≠
( )a M cte≠
La courbure 1CR
=
( )v M
( )v M cte=
( )a M cte=
, 0, , 0 Cte r R rθ θ= = = =
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 63
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Mouvement Circulaire
Mouvement circulaire uniforme
xeye
x
y
O
OM
( )v M
reeθ
rOM re=
( )v M r eθθ=
2( ) ra M r eθ= −
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 64
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Autres types de mouvement
Mouvement hélicoïdal : Mouvement de rotation uniforme dans le plan et un mouvement de translation uniforme suivant l’axe (Oz).
( , )re eθ
À étudier de préférence dans le repère cylindrique.
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 65
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Autres types de mouvement Mouvement hélicoïdal :
M
Hre
eθ
z
θ
r zOM re ze= +
Mouvement translation uniforme suivant (Oz) : zz v t=
Donc : 2
( )
( )z z
r
v M r e v e
a M r eθθ
θ
= +
= −
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 66
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Autres types de mouvement Mouvement de spiral : Mouvement de rotation dans le plan avec une variation de la coordonnée r.
( , )re eθ
À étudier de préférence dans le repère cylindrique.
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 67
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Autres types de mouvement
Mouvement de spiral :
rOM re=
( ) ( )2
( )
( ) 2r
r
v M re r e
a M r r e r r eθ
θ
θ
θ θ θ
= +
= − + +
reeθ
θ
d
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 68
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Autres types de mouvement
Mouvement cycloïdal :
Mouvement de rotation uniforme dans un plan accompagné d’un mouvement rectiligne uniforme.
À étudier de préférence dans le repère cartésien.
(Trajectoire de la valve d’une vélo en circulation)
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
Pr. B.SAMOUDI 69