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Chapitre 2: Cinématique du point

I Introduction

II Vitesse et accélération

1) Vitesse instantanée - vitesse moyenne

2) Vecteur vitesse

3) Vecteur accélération

4) Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération

1

Chapitre 2: Cinématique

I Introduction

La cinématique est l'étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent. La trajectoire d’un point matériel, M, est l’ensemble des positions occupées successivement par celui-ci. Elle est définie par la donnée des coordonnées en fonction du temps. A une dimension, on a besoin d’une coordonnée : -) sur une droite, il s’agit de la donnée de l’abscisse, x(t) -) sur une courbe quelconque, c’est l’équation horaire du mouvement, s(t) A deux dimensions, on a besoin de deux coordonnées : -) en coordonnées cartésiennes, il faut donner x(t) et y(t) -) en coordonnées polaires, il faut donner r(t) et (t) A trois dimensions, on a besoin de trois coordonnées : -) en coordonnées cartésiennes, il faut donner x(t), y(t) et z(t) -) en coordonnées cylindriques, il faut donner r(t), (t ) et z(t) -) en coordonnées sphériques, il faut donner r(t), (t ) et (t)

Toutes les fonctions précédentes (sauf s(t)) correspondent à la représentation paramétrique de la trajectoire

2

Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION


Vitesse moyenne le long d’une droite (mouvement rectiligne) t

xmoy

v

x

t

smoy

vVitesse moyenne le long d’une courbe quelconque

s

3



Vitesse moyenne le long d’une droite (mouvement rectiligne) t

xmoy

v

x

t

smoy

vVitesse moyenne le long d’une courbe quelconque dans le plan ou l’espace

s

! Vmoy mesure la valeur algébrique du vecteur vitesse. Pour caractériser précisément la vitesse, il faut utiliser un vecteur.

tmoy ut

s

v

Vecteur unitaire tangent à la trajectoire 4



Vitesse instantanée le long d’une droite (mouvement rectiligne) dt

dx

t

x

t

limv

0

x

Vitesse instantanée le long d’une courbe quelconque dans le plan ou l’espace

tudt

ds v

dt

ds

t

s

t

limv

0

v

v

5



http://us.123rf.com/400wm/400/400/Gudella/Gudella0810/Gudella081000033/3762210-compteur-de-vitesse-indiquant-130-lumiere-verte.jpg

Que mesure le compteur de vitesse de la voiture ? La vitesse instantanée ou la vitesse moyenne ?

Une pierre chute du toit d’un immeuble de 5 étages (h=10 mètres de haut) et met T=2 secondes pour atteindre le sol. La quantité V=h/T=10/2=5 m/s est une vitesse.

V est la vitesse instantanée ou la vitesse moyenne de la chute ?

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http://us.123rf.com/400wm/400/400/Gudella/Gudella0810/Gudella081000033/3762210-compteur-de-vitesse-indiquant-130-lumiere-verte.jpg

Que mesure le compteur de vitesse de la voiture ? La vitesse instantanée ou la vitesse moyenne ?

Une pierre chute du toit d’un immeuble de 5 étages (h=10 mètres de haut) et met T=2 secondes pour atteindre le sol. La quantité V=h/T=10/2=5 m/s est une vitesse.

V est la vitesse instantanée ou la vitesse moyenne de la chute ?

LA VITESSE INSTANTANEE

LA VITESSE MOYENNE

La vitesse au départ est nulle et maximale au sol (chute libre) 7


2) Vecteur vitesse

http://ww2.cnam.fr/physique//DOCUMENTS/POLYS/ELEMPHY/resumelphy1.html

dx

df

x

xfxxfx

x

)()(lim)('f

0

Pente de la droite verte : x

f

x

xfxxf

)()(

Pente de la droite bleue (coefficient a) :

Ceci se généralise à des vecteurs et on peut écrire la dérivée d’un vecteur…

« vitesse moyenne »

« vitesse instantanée »

8


2) Vecteur vitesse

http://ww2.cnam.fr/physique//DOCUMENTS/POLYS/ELEMPHY/resumelphy1.html

OM

'OM

M

O

M’

dt

OMd

t

OMOM

t

'limv

0

trajectoire

Vecteur vitesse instantanée :

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire

Dans la suite, on oubliera le mot ‘instantanée’, on parlera de « vecteur vitesse »

9


3) Vecteur accélération

dt

d

t

MM

t

v)(v)'(vlima

0

Vecteur accélération (instantanée) :

dt

d

dt

d vva

!

Égalité seulement pour un mouvement rectiligne

10



a) Coordonnées cartésiennes :

kzjyixOM

(t) (t) (t) (t)

kzjyixkdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

OMd

v (t) (t) (t) (t)

(t) (t) (t) (t)

kzjyixkdt

zdj

dt

ydi

dt

xd

dt

d

2

2

2

2

2

2va

(t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t)

11



b) Coordonnées polaires :

rurOM

(t) (t) (t) jiur

sincos (t) (t) (t)

Le vecteur dépend de l’angle qui dépend lui-même du temps. ru

Il faut faire la dérivée d’une fonction composée :

d

dft

dt

d

d

df

dt

td

d

fd

dt

tfd)(

d

dtt

dt

dt

d

dt

dt

d rrr u)()(

uu

u jcosisin-j

sindi

dθ

cosθdu r

dd

d

rd

du

u

De même, et donc,

u)(u r

ttdt

d. Donc,

rttdt

du)(

u

)()( tt = vitesse angulaire 12




rurOM

(t) (t) (t)

jiur

sincos u)(

u r

ttdt

d

rttdt

du)(

u

jiu

cossin

urur r

v

urrurr r

2a 2

dt

d

dt

d

Composante radiale Composante orthoradiale

(tangent à la trajectoire)

rr urr 2a urr

2a 13




rurOM

urur r

v

urrurr r

2a 2

Application au cas du cercle

Cercle r=R=Cste ruOM

R

uuRu //θRv

θr2

θr2 u

dt

dRuRωuθRuθRa

O

(t)

v

a

Le vecteur accélération est toujours orienté vers l’intérieur du cercle. Si la vitesse angulaire est constante, l’accélération est ‘centripète’.

OM

14



b) Coordonnées polaires : Application au cas du cercle

O

(t)

v a

ra

a

ru

u

15



c) Coordonnées cylindriques :

k

zurOM r

kv

zurur r

k2a 2

zurrurr r

Les formules sont très sensibles à celles des coordonnées polaires

16



d) Coordonnées intrinsèques :

????OM

tudt

ds v

v

v

(cf plus haut)

s(t)

dt

ud

dt

dsu

dt

sd tt

2

2

a

Le calcul de l’accélération est plus complexe…

Il faut le calculer….

17



d) Coordonnées intrinsèques : v

vs(t) dt

ud

dt

dsu

dt

sd tt

2

2

a

Intuitivement, …. Pour un mouvement rectiligne, et et

i

tu i // a

0

dt

ud t

18




tt u

dt

sd

dt

ud

dt

ds

2

2

a

rnt uuuu

,

Pour un mouvement circulaire, , et θ(t)Rs(t) (t)θR(t)dt

sd2

2

(t)θR(t)dt

ds

θr2 uθRuθRa

O

s(t)

v a

ru

tuu

nu

(t)

En polaires,

nnnt u

dt

ds

Ru

R

Ru

dt

ud

1

Donc,

tn udt

sdu

2

22

R

va

19




De manière générale, n

2

tn

2

t2

2

uv

usuv

udt

sda

est le rayon de courbure, c’est-à-dire le rayon du cercle tangent à la trajectoire au point considéré ( peut être positif ou négatif)

d

ds où représente l’angle entre la tangente à la trajectoire et un axe qcq : Ox

0

s

0

s

Sens trigonométrique

Sens horaire

20

Ox

Ox




ntn

2

t aauv

usa

21

tt usa

est l’accélération tangentielle

est l’accélération normale et est toujours orienté vers l’intérieur de la courbure

n

2

n uv

a

Celle qu’on ressent d’avant en arrière quand on freine ou accélère dans une voiture (ou le RER)

Celle qui nous pousse vers l’extérieur du virage dans une voiture (ou le RER)

Vidéo :

http://www.youtube.com/watch?v=nf5QNqsW_5M


III RESUME

22

La cinématique est l'étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent. La trajectoire d’un point matériel est l’ensemble des positions occupées successivement par celui-ci. Elle est définie par la donnée des coordonnées en fonction du temps. Le vecteur vitesse est un vecteur constamment tangent à la trajectoire. En cartésiennes : En polaires/cylindriques : En intrinsèques : M défini par s(t) Le vecteur accélération est toujours orienté vers le centre de la courbure de la trajectoire

kzjyixOM

kzjyixdt

OMd

v kzjyix

dt

d

va

k

zurOM r kv

zurur r k2a 2

zurrurr r

tudt

ds v

n

2

tn

2

t2

2

uv

usuv

udt

sda


III RESUME

23

v

a

Exemple d’orientation des vecteurs vitesse et accélérations le long d’une trajectoire

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