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NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)
Cours 4-a
Méthode des éléments finis 2D
• Généralités • Technique d’affaiblissement en 2D et 3D• Approximation d’un élément triangulaire simple : T3• Intégration des termes de contour• Application à la thermique : ailette de refroidissement
NF04 - Automne - UTC 2Version 09/2006 (E.L.)
Passage 3D 2D 1D
0S
W h T f dxdy L
0V
W T f dxdydz L
0
0L
W A T f dx L1 dimension caractéristique= 2 négligeables
2 dimensions caractéristiques= 1 négligeable
3 dimensions caractéristiques= aucune négligeable
2D-Plan ou 2D-axi
Basique et/mais simple
Réaliste mais complexe
Le choix dépend du degré de réalisme recherché mais aussi du phénomène que l’on souhaite étudier, car tout est 3D dans la nature !
NF04 - Automne - UTC 3Version 09/2006 (E.L.)
Équation de la chaleur en 2D
0,
.
.
Dir
Neu
ext Cau
T x y T S
q n S
q n h T T S
sur
(connu) sur
surA (Aire)
Équation d’équilibre thermique :
Conditions aux limites :
Domaine :
0
. 0, , .0
x
y
Tk
xq f x y A q T T
Tk
y
avec où
NF04 - Automne - UTC 4Version 09/2006 (E.L.)
Formes intégrales en 2 dimensions (2D)
Démarche identique au cas 1D
Pondération et intégration :
Intégration par parties :
, . , . , 0V A
W x y q f dxdydz h x y k T x y f dxdy
, , , , . , 0T
A S A
W x y k T x y dxdy x y k T x y n ds x y f dxdy
Important : à l’issue de ces 2 étapes, vérifier que chacun des termes de W est toujours un scalaire !
Normale extérieure au domaine
Propriété k isotrope (simplification volontaire)
Car 2D On l’élimine par la suite
NF04 - Automne - UTC 5Version 09/2006 (E.L.)
Termes de contour : C. aux L. naturelles
Écriture formelle de W :
Où :
int 0CLW W W
.
. ..N CaD uir ue
CL
S
SS S
exth T T
k T
W k T nds
ds dsk T n dsn k T n
fl uxinconnu
Triangle à 3 nœuds : T3
Barre Cauchy
Barre Neumann
Terme qui sera éliminé par la
prise en compte des conditions de
Dirichlet !
NF04 - Automne - UTC 6Version 09/2006 (E.L.)
Maillage 2D : exempleconec=[ 1 2 6
2 4 6
15 12 9
12 13 9
13 14 9
11 15 9
14 10 9
10 7 9
7 3 6
7 6 9
3 1 6
5 8 6
4 5 6
8 11 9
8 9 6
1 2 0
2 4 0
15 12 0
12 13 0
13 14 0]
vcor=[ 1.0000 -0.2500
1.0000 0.1250
0.5000 -0.3125
1.0000 0.5000
0.5000 0.6250
0.4512 0.1593
-0.0000 -0.3750
-0.0000 0.7500
-0.5054 0.2191
-0.5000 -0.4375
-0.5000 0.8750
-1.0000 0.5000
-1.0000 0
-1.0000 -0.5000
-1.0000 1.0000 ]
Convention : sens de lecture des nœuds = sens trigonométrique
Eléments barre
NF04 - Automne - UTC 7Version 09/2006 (E.L.)
Formes intégrales élémentaires
3
0
0
, , ,Te
T
Ae Ae
LeeNeu
LeeCau ext
W x y k T x y dxdy x y f dxdy
W ds
W h T T ds
3 0e e eT Neu Cau Dir
e e e
W W W W W
Avec :
NF04 - Automne - UTC 8Version 09/2006 (E.L.)
Élément triangulaire à 3 nœuds : T3
Ae
Sens de lecture des nœuds !
NF04 - Automne - UTC 9Version 09/2006 (E.L.)
Choix des fonctions d’approximation Approximation par éléments finis :
Fonctions d’approximation linéaires : (équation d’un plan)
Astuce : utiliser le triangle de Pascal pour choisir la forme de l’approximation
1
1 1 2 2 3 3 1 2 3 2
3
, , , , , , ,
T
T x y N x y T N x y T N x y T N x y N x y N x y T
T
, , 1,2,3i i i iN x y a b x c y i
NF04 - Automne - UTC 10Version 09/2006 (E.L.)
Calcul des fonctions d’approximation
On applique la relation générale :
Soient les 3 systèmes à 3 équations suivants à résoudre :
1
,
0i j j
i j
N x y
i j
si
si
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 3 1 1 3 3 1 3 1
1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2
1 3 3 1 1 3 1 3 2 3 3 2 2 3 2 3 3 3
, , ,
, , , ,
1 0 0
0 1 0,
, 0 0,
N x y a b x c y N x y a b x c y N x y a b x c y
N x y a b x c y N x y a b x c y N x y a b x c y
N x y a b x c y N x y a b x c y N x
3 3 3 3 3 3, 1y a b x c y
NF04 - Automne - UTC 11Version 09/2006 (E.L.)
Calcul des fonctions d’approximation
Après résolution des 3 systèmes :
Avec :
1 3 2 2 3 2 2
2 1 3 3 1 3 3
3 2 1 1 2 1 1
1,
21
,21
,2
e
e
e
N x y y y x x x x y yA
N x y y y x x x x y yA
N x y y y x x x x y yA
2 1 3 1 3 1 2 1
2e x x y y x x y yA
(Aire de l’élément)
NF04 - Automne - UTC 12Version 09/2006 (E.L.)
Calcul de la surface élémentaire
La surface élémentaire d’un triangle quelconque se calcule à l’aide d’un simple produit vectoriel
3 12 1
3 12 1
2 1 3 1 3 1 2
3 1
1
2 1
2 e
x xx x
y
X X
yy y
x x y y y
X X
x x y
A
NF04 - Automne - UTC 13Version 09/2006 (E.L.)
Illustration des fonctions d’approximation
NF04 - Automne - UTC 14Version 09/2006 (E.L.)
Reconstruction globale à partir d’approximations élémentaires
L’approximation par éléments finis T3 assure la continuité inter-élémentssur la variable inconnue mais pas sur ses dérivées !
NF04 - Automne - UTC 15Version 09/2006 (E.L.)
Calcul des formes intégrales discrètes
Pour rappel, la forme élémentaire à discrétiser est :
Le terme de gradient est déduit de l’approximation sur T :
avec [B] : matrice gradient
De même pour le gradient de la fonction-test.
1 1
23 31 12
32 13
1, 2, 3,
2 2
1, 212, 3,
3 3
1
2,
x x x
y y y
e
B
T TT
N N Nx
T x y T TT
N N Ny
y y y
x
T T
Ax x
3 , , ,Te
T
Ae Ae
W x y k T x y dxdy x y f dxdy
NF04 - Automne - UTC 16Version 09/2006 (E.L.)
Suite …
La forme élémentaire s’écrit alors :
Si f =f(x,y), on considèrera :
Pour l’élément T3, la matrice [B] est composée de constantes, d’où :
Avec :
1 1
3 1 2 3 2 1 2 3 2
3 3
TeT
Ae Ae
T N
W B k B T dxdy N f dxdy
T N
supposéconstant
1
3 1 2 3 2 1 2 3
3
[ ]e e eT
T
W K T F
T
1
1 2 3 2
3
,
f
f x y N N N f
f
1
, 16
1
eTe e e A
K kA B B F f
, , 1,2,36
e
i
Ae
AN x y dxdy i
Intégration rendue possible (!!) soit :•Par changement de variables (prochain cours)•Intégration numérique (prochain cours)
NF04 - Automne - UTC 17Version 09/2006 (E.L.)
Traitement des termes de contour : Neumann
La ou les conditions de Neumann sont « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds.
Les fonctions sont (cf cours « Eléments finis 1D ») :
Soit :
1 21 , 0 ee e
s sN s N s s L
L L
S : abscisse curviligne
0
LeeNeuW ds
1 2 1 2
0
1
21
eeNeu
LeeNeuW
Lds F
NF04 - Automne - UTC 18Version 09/2006 (E.L.)
La ou les conditions de Cauchy sont aussi « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds.
Soit :
S : abscisse curviligne
1
1 2 1 2
02
1
1 2
2
1
21
2 1
61 2
e
eC
eext
eCauau
LeeCau ext
hT
W h T s T dshL
K
T
T
T
L
F
T
Traitement des termes de contour : Cauchy
0
LeeCau extW h T T ds
NF04 - Automne - UTC 19Version 09/2006 (E.L.)
Assemblage
NF04 - Automne - UTC 20Version 09/2006 (E.L.)
Traitement des termes de contour : Dirichlet
Ces conditions sont introduites dans le système en TOUTE DERNIERE ETAPE :
Par la méthode du terme unité sur la diagonale ou
Par la méthode du terme diagonal dominant ou
Par élimination de la ligne et colonne correspondante (hors NF04).
Ces méthodes sont analogues au cas 1D (cf cours « Eléments finis
1D »)
NF04 - Automne - UTC 21Version 09/2006 (E.L.)
Application : ailette de refroidissement
Modèle physique + maillage
. 10 20q n T
f=0
. 800q n
. 10 20q n T
Flux nul3
1 2
4 0
4 1 0
3
1 3 4conec
0 0
1 0
1 1
0 1
vcor
Table des coordonnées :
Table des connectivités :
NF04 - Automne - UTC 22Version 09/2006 (E.L.)
Calcul des matrices et vecteurs élémentaires
Elément T3 n°1 :
Elément T3 n°2 :
(1) (1) (1) (1) (1)
105 105 01 1 0
, 105 210 1050 1 1
0 105 105
TB K A B B
soit
(2) (2) (2) (2) (2)
105 0 1050 1 1
, 0 105 1051 0 1
105 105 210
TB K A B B
soit
NF04 - Automne - UTC 23Version 09/2006 (E.L.)
Calcul des matrices et vecteurs élémentaires
Elément Neumann n°3 :
Elément Cauchy n°4 :
(3)
(3) 1 400800
1 4002
LF
(4) (4)
(4) (4)2 1 3.33.. 1.66.. 1 10010 , 10 20
1 2 1.66.. 3.33.. 1 1006 2
L LK F
NF04 - Automne - UTC 24Version 09/2006 (E.L.)
Phase d’assemblage
Connectivités :
Matrice globale :
Vecteur global :
3.33
105 105 0
105 210 105 0
0 105
105 105
105 105
105 105 2
1.66
1.66 3.310
1
3
05
0
K
100
100
400
400
0F
3
1 2
4 0
4 1 0
3
1 3 4conec
NF04 - Automne - UTC 25Version 09/2006 (E.L.)
Application : ailette de refroidissement
Résolution et post-traitement
102.85
100.95
99.05
100.94
vsol
Affichage des champs de couleurs
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