modélisation numérique non linéaire -...

Modélisation Numérique Non Linéaire

Déformations

Elastiques (instantanées - réversibles)

Visqueuses (fct du temps)

Plastiques (irréversibles - non linéaire)

Rappels Aspects physiques

Essais

EcrouissageA

imposé A

mesuré

Fluage - recouvrance

imposé

mesuré

Relaxation

mesuréA

imposé

Rappels

Un problème non-linéaire est un problème pour lequel la matrice de rigidité de la structure varie avec sa déformation.

Allongement

F = k(x) x

Ressort non-linéaire raideur variable

Allongement

F = k x

Ressort linéaire raideur constante

• Au cours d’une analyse non-linéaire, la matrice de rigidité de la structure non-linéaire doit être assemblée et inversée à chaque incrément de temps, ce qui rend ce type d’analyse souvent très longue.

• On ne peut pas appliquer de principe de superposition et chaque cas de charge doit faire l’objet d’une analyse.

Aspects physiques

Modèles « linéaires » ==> solides visco-élastiques

Ressort : E

Amortisseur :

Modèle de Maxwell : 11 E

Modèle de Kelvin-Voigt : E

Le ressort ou de l’amortisseur peuvent être non linéaire

Modèles non linéaires

Analogie mécanique

Modèles de comportement Essai d’écrouissage

Rigide Plastique Parfait

plastique

Élasto-Plastique Parfait EPP

Rigide Plastique avec Écrouissage

Élasto-Plastique avec Écrouissage

E1 E2+ Modèles de base de la plasticité

Types de non-linéarités des problèmes:

• Contact-frottement et Conditions aux Limites

• Géométriques (grands déplacements et grandes rotations)

• Matériaux (comportement non linéaire- endommagement))

Traitement des problèmes non-linéaires à l’aide d’algorithmes robustes et paramétrables (Newton-Raphson standard à pas adaptatif)

Non-linéarités matérielles

• Hyper-élasticité : Comportement non linéaire réversible (élastique linéaire) de certains matériaux de type caoutchouc.

• Plasticité : Ce type de non linéarité concerne aussi les matériaux viscoplastiques ainsi que les comportements avec rupture ou endommagement.

• Viscoplasticité •Endommagement

Aspects physiques

Description de la courbe d’écrouissage au-delà de la zone linéaire

- Pour la plupart des métaux l’écoulement plastique correspond à 0,05-0,1% de .- Acier (E = 210 GPa ; Re0,2 = 500 MPa e = 2,4.10-3)

Contrainte d’écoulementRe0,2

Écrouissage

Non-linéarités matérielles Aspects physiques

Notion de contrainte et déformation nominale et vraie

0AFnom

00 lllnom

- Contrainte nominale

- Déformation nominale (allongement par unité de longueur).

(force par unité de surface non déformée),

1lnlnln0 l

Mesure adaptée aux hypothèses de petites déformations.

Nouvelle mesure de la déformation par passage à la limite à partir de la définitionprécédente

Après intégration, nous trouvons :

Notion de contrainte et déformation nominale et vraie

- Déformation vraie : nom 1ln

nomnom 1

- Contrainte vraie :

nomvraie

De même, on définit la contrainte vraie ou force par unité de surface déformée à partirde l’hypothèse de déformation à volume constant, on montre :

Partition de la déformation totale

On mesure la déformation totale

On calcule la déformation élastique

Puis la déformation plastique

Différents types de modèles de comportement plastique

Loi de comportement élasto-plastique parfait (acier doux)

Loi de comportement élasto-plastique avec écrouissage linéaire)

Différents types de modèles de comportement plastique

Loi de comportement élasto-plastique avec écrouissage (isotrope) non linéaire

- Loi d’Hollomon

- Loi de Ramberg-Osgood

naaa KE

Sensibilité de l’écrouissage à la vitesse de déformation et à la température.

- Loi thermo-élasto-viscoplastique Johnson-Cook

V TTTT

Endommagement plastique ductile des métaux (J-C).

Intégration d’un critère d’endommagement à la loi de comportement.

04321 1ln1exp

TTTTDDDDD

siavec

Écrouissage isotrope / cinématique

- Écrouissage isotrope : l’écrouissage acquis en traction reste valable en compression (satisfaisant dans les calculs à chargement monotone ; mauvaise représentation des phénomènes cycliques).

- Écrouissage cinématique : l’écrouissage cinématique linéaire représente assez bien l’effet Bauschinger (adoucissement en compression suite à un écrouissage en traction), mais mal les effets de consolidation cyclique.

Écrouissage isotrope Écrouissage cinématique

Ce n ’est pas si simple !!

1er passage

2ème passage

Il faut connaître l ’historique du chargement

Écrouissage isotrope / cinématiqueNon-linéarités matérielles Aspects physiques

Ecrouissage monotone

Ecrouissage ISOTROPE

Même augmentation en traction et compression

Wdef élastique

Ecrouissage CINEMATIQUEEffet Baushingerdurcissement dans un sensadoucissement dans l’autre

Critère

Y p( ) 0

Etat actuel (,E

Etat présumé

Etat réel

Loi d ’écoulement plastique

) )(( 1

)1( /E

Plasticité numérique

Fondements de la plasticité « numérique »

- Partition de la déformation totale

- Déformation plastique volume constant

- Décomposition du taux de déformation

pe ddd

0pmoyd

pe La loi de Hooke pilote le changement de volume

Suite au constatations expérimentales

eE La loi de Hooke pilote la déformation élastique

Le chargement est défini par un tenseur de comportement tangent

dEd Le déchargement est toujours élastique linéaire

Fondements de la plasticité « numérique »

Il existe un critère de plasticité F(,k), qui permet de définir le comportement élastoplastique.

élastiqueementdéchdFetFplastiqueécoulementdFetF

élastiquentcomportemeF

arg0000

Dans le cas de l’écoulement plastique, celui-ci s’effectue normal à la surface de charge (loi de normalité ; direction qui rend maximal le travail plastique)

p Fd d

Se traduit par le fait que l’incrément de déformation plastique est perpendiculaire à la surface d’écoulement : Condition de normalité

Formulation de la matrice de rigidité

F FdF( , k) d dk 0k

- différentielle de la fonction d’écoulement :

pe ddEdEd - application de la loi de comportement :

- calcul de l’incrément de contrainte :

Cond. de normalité- Évaluation de l’incrément du critère de plasticité :

F F F F FE d E d d 0k

F E dd F F F FE

Formulation de la matrice de rigidité

- Reportons le résultat précédent dans la loi de comportement matrice de comportement élasto-plastique telle que : dEd ep

EFFEEE

V tT dVBEBK

ept EE

Ainsi, la matrice de rigidité tangente prend la forme :avec suivant la nature du comportement :

- comportement élastique :- écoulement plastique :- décharge plastique :

Implémentation dans un code de calcul éléments finis

Le traitement numérique de la plasticité s’effectue généralement par des méthodesincrémentales. Nous cherchons à résoudre :

T BEBBEBdvBEBK

Partie élastique Partie élasto-plastique

ii 1 iK u u n F

i 1 2 3n n , n , n ...n avec n F F

Incrément de charge donné F

FKU 1Calcul élastique ==>

Pour chaque élément ee uB e

Élastique ou non ? ALGORITHME DE PROJECTION ==>

Assemblage et calcul du résidu {R} = {Fext}-{Fint}

Si R RKU 1Il faut itérer

Plasticité numériqueNon-linéarités matérielles

FSolution cherchée

F = K(u) U

•Maillage éléments finis

•Définition de l ’historique du chargement (incréments F)

•Définition des lois de comportement o ,E ,ET

•Calcul de [K]

Pour chaque incrément {F}

Initialisation du résidu {R} <== {F}

Tant que || {R} || >

Calcul de {U} = [K]-1 {R}

Pour chaque élément

déformation ==> projection {Fint}e

fin pour

Nouveau résidu {R} = {R} - {Fint}

fin tant que

Impression des résultats de l ’incrément

fin pour

Convergence lente

{R1} Convergence la plus rapide

Plasticité numériqueNon-linéarités matérielles

Méthode d’intégration explicite

Une fois la fonction de charge choisie on évalue le multiplicateur plastique

FkFFEF

pt t t t td ; d ,d ,d ; dr On évalue au temps t les quantités :

Actualisation à t+t grâce à un schéma explicite :

tttt d p

tt d tttt drrr

- Conditionnellement stable- Précision dépendant de la taille de l’incrément de temps- Le multiplicateur plastique d vérifie la condition d’écoulement au temps t,- L’intégration ne garantie plus cette condition au temps t+t !!!- La solution peut diverger

- Intégration simple

Méthode d’intégration implicite (retour radial)

- Évaluation pour un incrément de chargement impliquant une déformation plastique, d’une solution au-delà de la surface limite donnée par le critère d’écoulement (prédicteur élastique)- Calcul du correcteur plastique permettant de revenir sur la surface d’écoulement,

plastiquecorrecteur

élastiqueprédicteur

et GITrG 22

ITrG ee 2- Loi de Hooke

- Déformation élastique en fin d’incrément

- La méthode implicite permet de remédier au problème du schéma explicite, en ayant de plus l’avantage d’être inconditionnellement stable.

- La précision reste tout de même dépendante de taille de l’incrément de temps.

En élasticité linéaire, on considère une structure de volume soumise à des charges de volume F, des charges de tractions répartie sur une surface , des déplacements imposés sur une surface

Modèle réel

Modèle approché

t tu u

Schémas numériques d’intégration

Equilibre – méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis englobe trois domaines principaux.

1. Les méthodes de discrétisation qui permettent de transformer un problème continu en une approximation discrète

2. Les méthodes variationnelles qui permettent de transformer une équation aux dérivées partielles (EDP) en une forme approchée variationnelle,

3. Les méthodes numériques qui permettent de résoudre les systèmes d'équations linéaires, non linéaires ..., recherche de valeurs propres

Résolutions numériques des équations d’équilibre

Comment les chargements externes (températures, forces et moments) et internes(poids) et leurs variations dans le temps et dans l'espace affectent-ils :

1. les déplacements de chaque point de la structure (3 inconnues)2. les déformations internes en tout point de la structure (6 inconnues)3. les contraintes en tout point de la structure (6 inconnues)4. le gradient de température en chaque point de la structure (1 inconnue)

1. Les 6 équations liant les déplacements de la structure auxdéformations

uBuGrad.uGraduGraduGrad TT

2. Les 6 équations traduisant le comportement du matériau de lastructure

3. trois équations traduisant l’équilibre dynamique de la structure et uneéquation traduisant l’équation de la chaleur

TCrTgrad.kdiv

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

L'ÉDP qui régit ce problème est obtenue en combinant ces quatre ensembles derelations :

Objectif :Il faut trouver une solution pour {u(x,y,z,t)} et pour T qui satisfasse cette ÉDP et auxconditions aux limites spécifiques de chaque problème.

vfuB:Ddivu

Déplacements Déformations Contraintes

Géométrie Matériau

Chargements

rTBkdivTC v

sv udSfudvfT

sv udSfudvfdvTWU21

L’équation de l’énergie potentielle U = W-T

Énergie de déformation Travail des efforts extérieurs

k u),,(Nu 1

Approximation du déplacement

Approximation de la déformation

uBuuuu TT 21

Approximation de la contrainte

Approximation de l’énergie potentielle

Ssv dSfNudvfNuDBudvBuudSfudvfdvU

Approximation de l’énergie potentielle

0dudUEquilibreMinU

TT dSfNdvfNuDBdvB

Équilibre statique

DBdvBK T S

vT dSfNdvfNF

Matrice de rigidité Vecteur des forces

0dudUEquilibreMinU

T T T Tv s

N Ndv u B DBdv u N f dv N f dS 0

Équilibre dynamique

M u K u F

Matrice masse

TM N Ndv

T T T T T T T Tv s

1U u B DBudv u N Nudv u N f dv u N f dS2

Énergie potentielle totale :

travailDéfo/Energie dSufdvufdvTUV21

Théorème du Principe des Travaux virtuels à l’équilibre : Parmi tous lesdéplacements cinématiquement admissibles, la solution (déplacement quisatisfont les conditions d’équilibre) est caractérisée par la stationnarité(extremum) de l’énergie potentielle totale

0TUV travailDéfo/Energie

Energie / Défo travail v sv v S

1V U T dv f u dv f u dS2

M u C u K u F

Équilibre dynamique

t)t,x(fdtdx

Soit un système dynamique compose d'une équation d'évolution (ODE 1er ordre)

tdt)t),t(x(fx)t(x

Problème aux limites, contraintes, variabilité, …

m)t,v,x(F

dt)t(dv

)t(vdt

xÉquation de degré 1 :– 2 dimensions– Remplacer équation de degré 2 à une dimension

)t,v,x(Ff

Exemple : soit un système dynamique 2eme ordre, on se ramène à une ODE d’ordre 1 :

État courant x donné :

• Calculer f(x,t) à l’état courant • Avancer d’un pas• Prendre nouvelle valeur x

Pour résoudre le problème qui est décrit par un modèle continu dans le temps, ondécompose la durée d’observation en intervalles de temps de durée égale ou non et onprogresse numériquement dans le temps de façon discrète.

Comment passer d'une valeur approchée xk connue à la valeur suivante xk+1? Comment remplacer le système dynamique en temps continu par un système dynamique discret (xk)?

1. Un schéma mono pas s’il ne couple que deux stations de temps successives.

2. Un schéma multi pas s’il couple (K+1) stations temporelles successives.

Un schéma mono pas est dit explicite lorsque seul l’état du système au temps tn-1est utilisé pour calculer l’état de ce système au temps tn.

Le schéma mono pas est implicite lorsque l’état du système au temps tn-1 et uneprévision de l’état à l’instant tn sont utilisés pour calculer l’état de ce système au tempstn.

L'idée de base pour construire un schéma numérique est d'intégrer la relationdynamique par rapport au temps (remplacer la relation différentielle par une relationintégrale):

tii dt))t(x(f

• La plus simple• La plus intuitive• Pas de temps donné h• Étant donné X0=X(t0), avancer d’un pas t1 = t0 + h : X1 = X0 + h x f(X0,t0)• La taille des pas : Contrôle la précision par des petits pas pour suivre la courbe de plus près

Schéma d’intégration d’Euler

•Comment choisir le pas h ?– Trop large : erreurs, instabilité, divergence…– Trop petit : on n’avance pas, long temps de calcul

•On veut un pas idéal :– Aussi grand que possible sans trop d’erreur– Lié aux raideurs des équations– Le pas idéal peut varier au cours du temps

•Le pas idéal peut varier :– grand pas dans les endroits « faciles »– petit pas dans les endroits « difficiles »

•Adapter la taille du pas aux difficultés– Automatiquement– En cours de résolution, en fonction des calculs

Pas variable automatique :•On part avec un pas h– On fait une itération,– On estime l’erreur commise– Erreur grande :• On diminue h,• On recommence– Erreur petite :• On accepte le résultat,• Éventuellement on augmente h

Comment décider ?

Comment estimer l’erreur?•On calcule l’itération par deux méthodes :– Euler avec un pas h– Euler avec deux pas h/2– Erreur estimée = différence des deux valeurs • Ce n’est qu’une estimation :– Facile à calculer– Peut être prise en défaut– Raisonnablement efficace

Méthodes numériques pas à pas

Méthodes pas à pas en dynamique FqKqCqM

Ce système ne peut être découplé que dans quelques cas :

- [M] et [K] indépendants du déplacement et [C] nul (syst. linéaires non amortis),- [M] et [K] indépendants du déplacement et [C] combinaison linéaire de [M] et [K] nul(syst. linéaires à amortissement linéaire),Il est alors possible les résoudre par la méthode de superposition modale…

Système d’équations couplés en dynamique

Dans le cas général, on accède à la solution à un instant donné, en déterminantl’histoire de cette solution.On génère la solution à l’instant suivant à partir de la solution aux instantsprécédents, d’où le nom de « méthodes de résolution pas à pas ».

Méthode de résolution pour les pb non-linéaires ou à amortissement quelconque.

Schéma d’intégration numérique

Schéma d’intégration numérique façon d’approcher les vecteurs inconnus

En général, une relation de différences finies

Utilisation d’un développement en série de Taylor

Approximation de l’accélérationet de la vitesse en fonction des déplacements

Formulation explicite

Écrivons le système à l’instant t+t à l’aide du schéma d’intégration numérique :

FqKqCqM

Le terme de droite n’utilise que des quantités connues à t+t explicite

La solution est obtenue par le produit .Si ne dépend pas du déplacement, une seule inversion => itérations très rapides.

Problème : méthode non conditionnellement stable

Ainsi plus le maillage est fin plus le pas de temps est petit.Un schéma d’intégration explicite permet de rendre compte des phénomènes locaux et d’assurer untransfert numérique des efforts au sein de la structure.

),,(1 nnnn uuugu

Pour ce cas la matrice [K’] obtenue ne dépend pas de la matrice de raideur [K], mais uniquement de la matrice de masse [M], soit : )(K' Mf

ttttttt

tttttttt

Schéma d’intégration explicitedes différences centrales :

Le schéma explicite n’est pas inconditionnellement stable. Une condition de stabilité liele pas de temps au pas d’espace et s’exprime :

structureladansondesdescéléritégrandeplusélémentpetitplusdulongueurtt stable

Modélisation des phénomènes de dynamique rapide - (choc ou explosion)

Formulation expliciteMéthodes numériques pas à pas

Formulation implicite

Si on utilise une relation de différences finies décentrée à droite, on obtient l’algorithmequi est implicite.

Le système doit être résolu à chaque itérationLe schéma est inconditionnellement stableItérations moins nombreuses, mais plus longues à effectuer

),,,,( 111 nnnnnn uuuuufu

Le vecteur déplacement du pas suivant est fonction des caractéristiques du pas précédent et du pas suivant (algorithme de type déplacement).

Algorithmes généralement inconditionnellement stable

Si calcul élastique linéaire

aucune condition sur le pas de temps.

un seul calcul de la matrice de raideur d’où un seul assemblage et une seule inversion de [K’]

Une force locale appliquée a un effet immédiat sur le reste de la structure. Pas de traitement dynamique local, mais rendu à l’échelle de la structure d’une force transitoire appliquée.

Formulation implicite

),,,,( 111 nnnnnn uuuuufu

Formulation mixte : algorithme de Newmark

On exprime les vecteurs vitesses et déplacement en fonction des vecteursaccélérations et des anciens vecteurs vitesse et accélération :

Il existe des variantes selon les valeurs de a et b utilisées, (a = 0 ; b = 0) schéma purement explicite(a = ½ ; b = ½) schéma mixte

Le schéma est conditionnellement stable !

Dynamique rapide

Domaine :Forces d’inertie (liées à la masse et à la vitesse) supérieures aux efforts internes(liés à la rigidité)

Difficultés auxquelles il faut faire face :- distorsion du maillage en raison des très grands déplacements,- lois de comportement extrêmes, pl forte élévation locale de température,- traitement explicite des équations très faible pas de temps (nombre d’itérationsélevé, 104-106) (ici 6.10-6s tcrit 10-9 à 10-10s),- gestion délicate des zones de contact.

Dynamique rapide - (ou explicit dynamic)

C’est une méthode efficace pour résoudre une large variété de problèmes nonlinéaires en mécanique du solide et des structures.

- Étude des événements survenant à grande vitesse sur des temps très courts(explosion…)

- Problèmes complexes de contact (en raison d’une formulation plus simple) gestiondu contact entre différentes pièces indépendantes… étude du transitoire dans lesproblèmes d’impact et des variations rapides de surfaces de contact

- Problèmes d’évolution post-flambement (traitement d’instabilités)

- Problèmes quasi-statiques fortement non-linéaires (pb. de contact & de mise enforme ; forgeage, filage, étirage…)

- Problèmes avec prise en compte d’endommagement et de ruine des matériaux(fissuration fragile dans les bétons et les céramiques, endommagement ductile desmétaux avec gestion de la disparition des éléments totalement endommagés…)

Méthode éléments finis dynamique explicite

- Un schéma d’intégration explicite est construità l’aide des différences finis centrés pourl’intégration temporelle de la cinématique

),,(1 nnnn uuugu

Pour ce cas la matrice [K’] obtenue ne dépend pas de la matrice de raideur [K], mais uniquement de la matrice de masse [M], soit :

)(K' Mf

Au début d’un incrément, on doit résoudre l’équilibre dynamique tel que la matrice de masse nodale [M] par l’accélération nodale , soit égale aux forces nodales (différence entre les forces extérieures P et les forces internes I.

IPuM u

L’accélération au début de l’incrément courant (temps t) sera : tt IPMu 1

La matrice de masse utilisée étant diagonale (lumped mass matrix), ce calcul est trivial et très rapide.

L’intégration temporelle de l’accélération par différences finis centrés donne :

ttttttt

uttuu 222

L’intégration temporelle de la vitesse, ajoutée au déplacement au temps t, permet lecalcul du déplacement en fin d’incrément

2ttttttt

On constate bien que le déplacement en fin d’incrément s’exprime uniquement enfonction des quantités (déplacement, vitesse, accélération) calculées au début del’incrément.

1 – résolution aux nœuds ttt IPMu 1

2 – Calcul sur les éléments

b – intégration temporelle explicite

ttttttt

a – équilibre dynamique

a – évaluer l’incrément de déformation à partir du taux desdéformationsb – calcul des contraintes à partir de loi constitutive

c – assemblage des forces internes aux nœuds

3 – Actualiser t à t+t puis aller à l’étape 1.

Dynamique Rapide

Le schéma explicite n’est pas inconditionnellement stable. Le critère de stabilité faitintervenir la plus grande fréquence propre du système et vaut en l’absenced’amortissement :

D’une façon pratique la condition de stabilité lie le pas de temps au pas d’espace par larelation :

stablet

estable C

Ltt Le : longueur du plus petit élémentCd : plus grande célérité des ondes dans lastructure

Acier : (210 GPa ; 7800 kg.m-3) Cd ≈5200 m/sSi Le = 5mm alors Dt ≈ 1.10-6 s

Dynamique Rapide

• Pour le plus petit élément, la relation suivante doit être vérifiée:

• Facteur d'échelle:Pour assurer la stabilitéPour introduire la non-linéarité de l'état du Courant

Cas particuliers:Un élément de maille [ Sf = 0.1Mousses (non-linéarité élevée) [ Sf = 0.67

clSt c

fe Sf est le facteur d'échelle

[ et[ [

Dynamique Rapide

lcl cl

el A Dle = 0.707 l le = 0.866 l

Ainsi plus le maillage est fin plus le pas de temps est petit.Un schéma d’intégration explicite permet de rendre compte des phénomènes locaux et d’assurer untransfert numérique des efforts au sein de la structure.

Distorsion / mass scaling ?

Dynamique Rapide

Vitesse

Non linéarité

Statique Dynamique

Rupture

Damage

Flambage

Plasticité

Elasticité

Explicite

Implicite

Explicite ↔ Implicite

Dynamique Rapide

Complexité

Temps (CPU)

Statique / Elastique Non Linéaire Dynamique

Implicite

Explicite

Dynamique Rapide

Explicit Implicit

(-) Conditional stability (+) Always stable

(-) Small (+) Large

(+) Precision (+) Precision

(+) [M]-1 (diagonal matrix) (-) ([M]+a[K])-1 (non diagonal)

(+) Low memory (10 MW) (-) High memory (6000 MW)

(+) Dynamic and Shock problems (+) Dynamic and Static problems

(+) « Element-by-Element » methodLocal treatment

(-) Global resolutionNeed of convergence at each step

(+) High RobustnessHigh and Coupled nonlinearities

(-) Low RobustnessNull pivots, Divergence, …

(+) Relatively low cost« Low » CPU, « Low » Memory

(-) Too expensiveHigh CPU, High Memory

t t)( s )(ms

Dynamique Rapide

Dans de nombreux systèmes mécaniques, les liaisons mécaniques, les

transmissions des efforts, les procédés de transformation des matériaux

(emboutissage, découpage, usinage, forgeage), sont assurés par des

conditions de contact.

Le contact peut avoir lieu entre des solides déformables ou entre solides

déformables et contacteurs rigides.

Contact et frottement

1 - Forgeage 3D d’un cardonHigher punch

Wokpiece

Lower punch

2 - Découpage des tôles

3 - Emboutissage des tôles

Tôle déformableMatrice rigide

Poinçon rigide

Serre-flanc rigide

4 - Matriçage d ’une bielleLopin déformable

Outil rigide

( , , )Rigide

Déformable

Cinématique du mouvement

Repère local au point de contact

Déplacement du solide 1

Déplacement de l’outil 2

Déplacement des obstacles

Gestion de contact

h1 h2h3

Points tangents

Points intérieurs Points tangents

Projection orthogonale sur la surface

Obstacle

CiblePoint tangent

n un.uu

cn n.uu

c21 n.uuh

cnt n.uuu

Vecteur déplacement Déplacement normal Déplacement tangentiel

n Rn.RR

cn n.RR

nt n.RRR

Vecteur réaction Réaction normale Réaction tangentielle

Distance entre pièce 1 et pièce 2

Contrainte normale de la pièce déformable

Contact unilatéral et bilatéral

Contact peut avoir lieu :1. Entre solide déformable et contacteur rigide2. Entre deux solides déformables3. Entre deux parties du même solide

Contact peut être :1. Purement glissant (sans frottement)2. Avec frottement

Contact est :1. Bilatéral (zone de contact reste fixe au cours de la déformation)2. Unilatéral (zone de contact varie au cours de la déformation)

1 (sec) 0 (glissant ou lub rifiant)

1. Contact bilatéral :

Le contact est bilatéral si la condition de contact suivante est maintenue

0n.uuh c12

2. Contact unilatéral (ou de SIGNIORI) :Les deux solides sont libres de se décoller si les réactions extérieuresvont dans ce sens (perte de contact) :

0hR0R0n.uuh nnc

Contact et frottement Contact unilatéral et bilatéral

1. Impénétrabilité : condition de contact cinématique

2. Non adhésion : condition de contact statique, le point M ne doit pascoller au solide (réaction toujours positive)

3. Non contact : condition de décollement cinématique, le point M setrouve à l’extérieur du solide décollement

0R0h n

Contact et frottement Contact unilatéral et bilatéral

Lois de frottement

1. Loi de Coulomb

: coefficient de frottement de Coulomb entre la cible et le contacteur

Remarque : Il existe un seuil de déclenchement d’un phénomène irréversible

si glissement

si adhérence

1,0 22t2

1tt RRR

nRglissement

adhérence

nR glissement

Contact et frottement Lois de frottement

Dans le cas ou p= 0, on retrouve la loi de Coulomb. Lorsque 0 < p < 1, la loi donne une relation biunivoque entre les efforts tangentiels et la vitesse de glissement. Lorsque est faible, elle reste proche de la loi de Coulomb.

y : Contrainte d’écoulement et coefficient de Tresca

2. Loi de Tresca

3. Loi de Coulomb-Orowan

m,uuRMinR

: Contrainte équivalent de von - Mises

4. Loi de Critescu

ntt R)u(fR

Remarque :1. Fonction de régularisation f(u) (discontinuité du déplacement au voisinage de 0)

1uf tulimt

5. Loi de Norton-Hoff ptt uR

1p0 et a est le coefficient de frottement de Norton-Hoff (en Pa)

uarctan2)u(f

Exemple de fonction de régularisation :

2. Loi de Norton-Hoff est très pratique pour les calculs en viscoplasticité

3. Loi de Coulomb-Orowan est difficile d’emploi, elle dépend de Rn et dela déformation plastique cumulée (inconnues du problème)

4. Loi de Tresca se prête bien aux calculs simples de plasticité

5. Loi de Critescu se prête bien aux matériaux écrouissables

6. Loi de Coulomb se prête bien aux calculs simples d’élasticité isotrope

012 n.uuh

Condition cinématique sans distance initial (gap initial)

Condition cinématique avec distance initial

0012 hn.uuh

contacth 0 contactnonh 0

Équilibre des solidesContact et frottement

Équilibre des solides

Corps rigide (contacteur)

Corps déformable

Surface de contactc

surRn.surfn.sur0hsuruusur0fdiv

a. Équations d’équilibre (contact solide déformable – outil rigide):

b. Action de contact sans frottement :

vsolide dSu.fdVu.fdV:21W

Action des efforts de outil 2 sur le solide 1

dSnRdSn.n.Rf cn

cccont

Equilibre du solide 1 sans contact :

Travail des actions de contact sur le solide 1

dSu.fW ncontcont

cc12n n.n.uuu

c. Action de contact avec frottement

Action des efforts du contacteur 2 sur le solide 1

dSRnRf tc

Travail des actions de contact sur le solide 1

dSu.Ru.nRW ttnc

cn12t n.uuuu

vsolide WdSu.fdVu.fdV:21W

Equilibre du solide 1 avec contact + frottement

Discrétisation par éléments finis de l’équilibre

:C Loi de comportement

u N u k

interpolation des déformations

interpolation des déplacements

21W TT

solide

sous forme matricielle

K B C BdVT

dSfNdVfNF sT

T Matrice de rigidité

Vecteur efforts extérieures

vsolide WdSu.fdVu.fdV:21W

contact0uGn.n.uuhéquilibre0Wdiv

solide

L’équilibre du système avec contact revient à minimiser l’équation de l ’énergie sous la contrainte suivante:

1. Méthode de pénalisation

2. Méthode de multiplicateur de Lagrange

3. Méthode du lagrangien augmenté

4. Méthode du lagrangien perturbé

Méthodes de résolution du contact :

Discrétisation par éléments finis de l’équilibreContact et frottement

Gestion numérique du contact

1. Un tri des nœuds esclaves (appartenant au solide déformable)susceptibles d’être en contact

2. Chaque nœud esclave sélectionné est projeté orthogonalement surles facettes de la surface maîtresse (obstacle)

3. Les fonctions de forme et les normales extérieuresdes obstacles sont utilisées pour déterminer la position du point P

4. La position relative h du nœud esclave et sa projection orthogonalesont données par :

kCP nhX,NhnXX

,N k cn

5. Le point est jugé concerné par la facette de l ’obstacle si la distance hpar rapport aux autres facettes est minimale :

11 1 D : +1-1

)hmin(h i6. La position du point concerné sur la facette est calculé par ses coordonnées dans le repère de référence :

11et11

2 D :Quadrangle

7. Le point est concerné par la facette si :

Gestion numérique du contactContact et frottement

8. La position par rapport à cette facette est déterminée par le signe de h

1. h = 0 point tangent2. h > 0 pénétration 3. h <0 pas contact

9. Pour chaque point on connaît :a. distance au contacteur : h

b. position de son projeté sur la surface du contacteur

c. normale de son projeté

d. déplacement à imposer :

110et10et10

Triangle

kk n,N

ckk n,Nhu

Gestion numérique du contactContact et frottement

1. Méthode de pénalisation :Il faut traduire la condition de non-pénétration h = 0 pour calculer les déplacementsde contact. La méthode est de remplacer le problème avec contrainte par larésolution d’une suite de problème sans fonction contrainte en introduisant la notionde multiplicateurs de pénalité. Cette méthode consiste à ajouter un terme très granda à l’expression de l’énergie du système

uFuGGu2

uKu21uW TTT

solide

FuGGKu

W0W Tsolide

FuGGK T

Méthodes de résolution du contact

contact0uGn.n.uuhéquilibre0Wdiv

solide

2. méthode des multiplicateurs de Lagrange :

L’inconvénient de la méthode de pénalisation est que la solution dépend du choix ducoefficient de pénalisation a. La méthode des multiplicateurs de Lagrange peut palierà ce problème en introduisant une inconnue l (avec un sens physique). Contrairementà la méthode des pénalisation, la taille du problème est augmentée dans cetteméthode.

uFuGuKu21,uW TTT

solide

0),u(W Tsolide

Méthodes de résolution du contactContact et frottement

3. méthode du lagrangien perturbé :Pour éviter les problèmes de zéro sur la diagonale de la matrice deraideur, on a remplacé la contrainte de la méthode des multiplicateursde Lagrange par

uF21uGuKu

21,uW TTTT

solide

021uG T

0,uW Tsolide

Fu1GGK

solide uGFGuGGK

0),u(W

4. méthode du lagrangien augmenté :1 - La solution (ou précision) dépend directement du coefficient a dans la méthode duLagrangien perturbé et de pénalisation.

2 - La méthode des multiplicateurs de Lagrange fournit une solution exacte mais lataille du système du problème augmente.

3 - La présence de zéros sur la diagonale des matrices nécessite des précautionsnumériques.

4 - La méthode lagrangien augmenté peut être comme une technique restant simpleet permettant de minimiser les inconvénients précédents.

uFuGGu2

uGuKu21,uW TTTTT

solide

Exemple d’application

Obstacle

Déformable

Après

Déformable

(0,20)

(10,10) (20,10)

(30,20)

(5,0) (15,0) (25,0)A B C

(35,0)(-5,0)

Obstacle

Condition Avant

Contact et frottement Exemple d’application

(5,0) (15,0) (25,0)

(10,-10) (20,-10)

(30, 0)h1h2

(-5,0) (35,0)

(0, 0)

Déplacement de l ’obstacle: u=0 et v=-20

Condition Après

y121y1

21yNyNy

x121x1

21xNxNx

Élément obstacle 1D linéaire

0,020,020,0v,uy,xy,x c10

Pt 1 :

10,1020,010,10v,uy,xy,x c20

Pt 2 :

10,2020,010,20v,uy,xy,x c30

Pt 3 :

0,3020,020,30v,uy,xy,x c40

Pt 4 :

151012101

Élément obstacle 1

(5,0)1

A’ 1

(15,0) (25,0)

(10,-10)

Coordonnées des point du solide déformable :

Coordonnées de l’obstacle 1 :

pA B C

1y2y11c

x2x11c

Système à résoudre :

Calcul de la normale de élément 1 de l’obstacle : Exemple d’application

0h2215

15h2215

0h2215

25h2215

0h2215

5h2215

Impossible

Point C

Point B

Point A

225minh1

uDéplacement pt A:

1010121101

3520121101

1112111

0012101

2 3B’2

(10,-10)

(15,0) (25,0)

(20,-10)

A B C 1,0n1

Calcul de la normale de élément 2 de l’obstacle :

0h105035 2

0h101535 2

Point C

Point B

Point A

Impossible

0h102535 2

Impossible

Déplacement pt B:

150121101

5530121201

y4y33c

x4x33c

(20,-10)

(15,0) (25,0) (30,0)

Calcul de la normale de élément 3 de l’obstacle :

0h2215

25h2255

Point C

Point B

Point A

Impossible

0h2215

5h2255

0h2215

15h2255

225minh 3

Déplacement pt C:

Soit deux barres de longueur L et soumises à un effort de traction F. L’extrémité 0 estencastrée et on impose la condition de contact

FL,E,S L,E,S

U2=u1 = constant0 1 2

1u 2u21 uu

Solution analytique :

ESFLuu 21

K K ESL1 2

1 11 1

Matrice de rigidité (élément de barre)

Vecteur des efforts extérieurs

F FF1 2

Assemblage :

1 1 01 2 1

0 1 1 F

comme on ne considère que les ddl : et u10u 0 u2 , le système s’écrit :

Condition de contact h = 0 :

11uuh T

110121

Ce système est équivalent à :

a. méthode de pénalisation :

FuGGK T

ES LES L

Solution exacte si :

Solution du système :

b. méthode des multiplicateurs de Lagrange :

L/ES11

1Solution du système

F représente la force de réaction

Multiplicateur de Lagrange est la réaction normale

c. méthode du lagrangien perturbé :

LESLES2

Solution exacte si

Fu1GGK

Solution du système

F LE S

E S LE S L

kk k k

uu u u

21 21 1 ( )

d. méthode du lagrangien augmenté :

FGuGGK kkT

Remarque : La première itération de la méthode du lagrangien augmenté correspond à la solution de la pénalisation

Étape 1 :

le calcul de solution du ce système : u u11

LESFL)uu( 0

Étape 2 :

LESESLES2LES

Solution du système :

ES1LES

FL)uu( 21

Étape 3 :

Étape n :

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