mécanique des milieux continus · 2020. 5. 27. · la mécanique des milieux continus...
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MINISTERE DE L’ENSEIGENEMENT SUPERIEUR ET DE LA
RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE FERHAT ABBAS, SETIF 1
Support de Cours de
Mécanique des Milieux Continus
Par
Mouloud Mansouri
Avant propos
Ce document est un support de cours du module "Mécanique des Milieux Conti-
nus", enseigné en Master 1 génie civil, spécialité Géotechnique. Le contenu de ce
cours est conçu de façon de couvrir le programme en vigueur tout apportant quelques
petites modifications pour des fins d’amélioration.
Il s’agit en premier lieu, de la concaténation des deux premiers chapitres du
programme dans un seul, en effet il nous est donné de juger qu’ils sont trop courts
par rapport aux autres.
En deuxième lieu, un dernier chapitre en dehors du programme est additionné.
Même s’il peut être considéré comme facultatif, nous pensons que ce court chapitre
permet de mettre en valeur les chapitres qui le précède en faisant la liaison entre eux
pour arriver à formuler les problèmes. Il permet ainsi de bien conclure le programme.
Enfin, s’agissant d’un programme adopté nouvellement pour cette année 2016-
2017, ce support de cours n’est qu’un premier effort, il reste ainsi ouvert sur toute
remarque constructive. Je remercie par avance tous les experts qui aurons à en jeter
un regard pour leurs remarques. Je suis certain que leurs remarques et critiques ne
conduisent qu’à l’amélioration du cours.
Table des matières
1 Concepts généraux et préliminaires mathématiques 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Formulation et résolution des problèmes de mécanique des
structures élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2.1 Exemple de formulation d’un problème simple . . . 3
1.2 Rappels mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Quelques propriétés d’opérations dans le champs tensoriel . . 5
1.2.2.1 Opérations sur les tenseurs d’ordre 1 (vecteurs) . . . 5
1.2.2.2 Opérations sur les tenseurs d’ordre 2 (matrices) . . . 6
1.2.3 Notation indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3.1 Notation des vecteurs et matrices . . . . . . . . . . . 7
1.2.3.2 Convention de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3.3 Notation de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3.4 Symbole de Kronecker �ij
. . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3.5 Symbole alternant "ijk
. . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3.6 Connexion avec l’algèbre vectoriel : . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Rotation du repère de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4.2 Cas particulier : Rotation plane 2D . . . . . . . . . 11
1.2.4.3 Propriété d’orthogonalité de la matrice de transfor-
mation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Etat de contrainte en un point 14
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Table des matières iii
2.3 Tenseur de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Convention de signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Vecteur contrainte sur un plan quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Principe de réciprocité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte . . . . . . 19
2.6.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 Variation du tenseur de contraintes suite une rotation du repère de
référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8 Contraintes principales et directions principales . . . . . . . . . . . . 22
2.8.1 Détermination des contraintes principales . . . . . . . . . . . 22
2.8.2 Détermination des directions principales . . . . . . . . . . . . 23
2.8.3 Remarques relatives aux contraintes et directions principales . 23
2.8.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9 Représentation de Mohr (Cas 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.9.1 Contraintes normale et tangentielle sur une facette quelconque 25
2.9.2 Equation du cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9.3 Remarques sur la représentation du cercle de Mohr . . . . . . 26
2.9.4 Application : représentation et utilisation du cercle de Mohr . 27
2.9.5 Tricercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.10 Tenseurs de contrainte sphérique et déviateur . . . . . . . . . . . . . 30
2.10.1 Application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.11 Equations d’équilibre dans un milieu continu . . . . . . . . . . . . . 31
2.11.1 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.11.2 Cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Etat de déformation en un point 35
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 Cas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Table des matières iv
3.2.2.1 Déformations normales . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2.2 Distorsion ou déformation de cisaillement . . . . . . 38
3.2.3 Cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.4 Unité des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.5 Déformation volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Changement du repère de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Déformations principales et directions principales . . . . . . . . . . . 42
3.5 Cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Mesure des déformations : jauges de déformation électriques . . . . . 44
3.6.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7 Equations de compatibilité des déformations . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7.1 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7.2 Cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour
les solides élastiques linéaires 50
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Loi de Houke dans le cas d’une sollicitation unidirectionnelle . . . . . 50
4.3 Loi de Hooke généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Loi de Houke dans le cas d’un matériau élastique linéaire et isotrope 52
4.4.1 Relation entre les constantes élastiques . . . . . . . . . . . . . 54
4.4.2 Module de déformation volumique . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4.3 Intervalle de variation du coefficient de Poisson . . . . . . . . 57
4.5 Energie de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6 Influence de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6.1 Exercice d’application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 Equations générales de l’élasticité linéaire 65
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Bilan des équations et des inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Table des matières v
5.3 Conditions aux frontières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 Principe de Saint-Venant (1857) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5 Théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.6 Approches de formulation des problèmes d’élasticité . . . . . . . . . 67
5.6.1 Approche déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.6.2 Approche contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Chapitre 1
Concepts généraux et
préliminaires mathématiques
1.1 Introduction
1.1.1 généralités
La mécanique des milieux continus "MMC" est la branche de la mécanique qui
s’intéresse à la déformation des solides et aux écoulements des fluides. Ce dernier
point et couramment traité indépendamment dans la sous-branche appelée Méca-
nique des fluides, ainsi la MMC s’intéresse plus particulièrement à la déformation
des solides.
La MMC se base sur l’hypothèse de la continuité du milieu, c’est une hypothèse
qui ignore les discontinuités de la structure interne de la matière pour ne s’intéresser
qu’à son comportement global moyen. Cette hypothèse reste bien acceptable lorsque
le volume du milieu étudié est suffisamment grand relativement à ses composants
(différentes particules ou molécules et vides).
Nous nous intéressons essentiellement dans ce cours à la déformation élastique
des solides. Un solide est dit élastique si lorsqu’il est déformé sous l’effet d’un sys-
tème de chargement, il reprend sa forme initiale une fois le système de chargement
est éliminé. Il est dit élastique linéaire si la déformation est proportionnelle au char-
gement appliqué indépendamment du chemin de chargement suivi (chargement ou
déchargement) (voir Fig. 1.1).
Les matériaux à comportement élastique jusqu’à la rupture sont rares, néanmoins
pour des faibles déformations la majorité des matériaux se comportent de façon
Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 2
FF
F
Eprouvette soumise
à un chargement axial
Comportement
élastique
Comportement
élastique linéaire
F
Figure 1.1 – Comportement élastique et élastique linéaire
élastique et souvent linéaire. Cette remarque est valable même pour des matériaux
réputés par leur comportement inélastique tels que les sols.
La théorie de l’élasticité regroupe l’ensemble des méthodes mathématiques de
formulation et de résolution des problèmes de mécanique des solides déformables à
comportement élastique. Cette théorie se base sur l’hypothèse de continuité qui se
traduit mathématiquement par la description des grandeurs du problème telles que
les déplacements, les contraintes ...etc., par des fonctions continues.
Pour beaucoup de problèmes pratiques deux autres hypothèses sont couramment
utilisées, à savoir l’homogénéité et l’isotropie. En mécanique des milieux continus,
l’homogénéité se traduit par l’invariabilité des propriétés physiques et mécaniques
dans l’espace occupé par le matériau. L’isotropie se définie par rapport à une pro-
priété donnée, un matériau est dit isotrope par rapport à une propriété si cette
propriété est la même dans toutes les directions.
1.1.2 Formulation et résolution des problèmes de mécanique des
structures élastiques
La formulation des problèmes consiste en l’écriture des équations mathématiques
gouvernantes. En règle générale, trois (03) familles d’équations doivent être écrites,
notamment les équations d’équilibre, les équations de compatibilité et les équations
constitutives. Il en résulte ainsi un système d’équations différentielles dont résolution
aboutit la solution du problème.
L’étape de résolution est en général difficile à cause de la complexité des systèmes
d’équations résultants. Lorsque la résolution analytique s’avère difficile, la résolution
Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 3
PP
TT
T 321
(a) (b)
X
Y
Figure 1.2 – Ferme à barre articulées
numérique peut être l’alternative, plusieurs méthodes se proposent dans ce contexte,
telles que la méthode des différences finies, la méthode des éléments finis et d’autres.
1.1.2.1 Exemple de formulation d’un problème simple
Afin d’illustrer les étapes de formulation et de résolution des problèmes d’élas-
ticité, considérons le problème de la ferme simple à barre articulées montrée sur la
figure 1.2a. La résolution du problème dans ce cas consiste en la détermination des
tensions dans les trois (03) barres ainsi que leurs allongements (ou le déplacement
du point d’application de la charge).
Ecrivons d’abord les équations d’équilibre du point d’application de la charge
(Fig. 1.2b). L’équilibre dans la direction X conduit à l’équation T2 = T3. En tenant
compte de cette équation et en exprimant l’équilibre dans la direction Y on obtient
la seule équation d’équilibre :
T1 + T3
p2 = P (1.1)
C’est une équation à deux (02) inconnus, elle est insuffisante pour résoudre le
problème. Il est ainsi nécessaire de formuler une autre équation reliant ces deux
inconnus. Cette équation peut être obtenue en exprimant la compatibilité des allon-
gements des trois (03), elle assure la continuité de la structure après déformation.
En se référant à la figure (Fig. 1.3) et en admettant que les déformations résul-
tantes sont de faibles valeurs, il est possible d’écrire l’équation :
Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 4
P
3
1
Figure 1.3 – Compatibilité des allongements des barres de la ferme
�`1 = �`3p2 (1.2)
Pour des matériaux à comportement élastique linéaire, les allongements peuvent
être reliés aux tensions correspondantes à travers la loi de Hooke qui se traduit par
les équations :
�`i
=
Ti
`i
EA)
8><
>:
�`1 =T1`
EA
�`3 =T3`
p2
EA
(1.3)
Ces équations sont couramment appelées équations constitutives
Il est ainsi montré que la formulation du problème a consisté en l’écriture d’un
système composé de trois familles d’équations ; les équations d’équilibre (Eq. 1.1),
les équations de compatibilité (Eq. 1.2) et les équations constitutives (Eq. 1.3). La
résolution de ce système d’équation permet d’obtenir les tensions dans les barres
ainsi que leurs allongements.
1.2 Rappels mathématiques
1.2.1 Repères
Nous travaillons principalement dans ce cours dans des repères Cartésiens or-
thonormés et directs.
• Orthonormé : axes orthogonaux et vecteurs unités normalisés (d’égales lon-
gueurs pour les trois axes)
Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 5
X1(X)
X2(Y)
X3(Z)
Figure 1.4 – Repère Cartésien orthonormé direct
• Direct )
8>>>>><
>>>>>:
~e1 ⇥ ~e2 = ~e3
~e2 ⇥ ~e3 = ~e1
~e3 ⇥ ~e1 = ~e2
(⇥) : produit vectoriel.
1.2.2 Quelques propriétés d’opérations dans le champs tensoriel
On appelle dans l’espace Euclidien :
• Tenseur d’ordre 0 : un scalaire
• Tenseur d’ordre 1 : un vecteur (de 3 composantes)
• Tenseur d’ordre 2 : une matrice de 9 composantes (3⇥ 3)
1.2.2.1 Opérations sur les tenseurs d’ordre 1 (vecteurs)
Soit dans l’espace Euclidien le scalaire A et les vecteurs ~u, ~v et ~w.
Un vecteur ~u = u1~e1 + u2~e2 + u3~e3 est noté en notation matricielle par ses
composantes sous la forme hu1 u2 u3i ou bien
8>>><
>>>:
u1
u2
u3
9>>>=
>>>;.
Rappelons d’abord les opérations de base sur les vecteurs :
• Soit le produit scalaire A = ~u · ~v, la valeur de A s’obtient par l’expression
A = u1v1 + u2v2 + u3v3
• Soit ~w = ~u+ ~v, les composantes du vecteur ~w sont
8>>><
>>>:
w1
w2
w3
9>>>=
>>>;=
8>>><
>>>:
u1 + v1
u2 + v2
u3 + v3
9>>>=
>>>;
• Soit le produit vectoriel ~w = ~u ⇥ ~v, le vecteur ~w s’obtient par le calcul du
Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 6
déterminant : ~w =
���������
~e1 ~e2 ~e3
u1 u2 u3
v1 v2 v3
���������
Propriétés d’opérations
• ~u+ ~v = ~v + ~u, la somme des vecteurs est commutative
• ~u · ~v = ~v · ~u, le produit scalaire est commutatif
• ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w, le produit scalaire est distributif
• ~u · (~v · ~w) 6= (~u · ~v) · ~w, le produit scalaire est non associatif
• ~u⇥ ~v = �~v ⇥ ~u, le produit vectoriel est non commutatif
1.2.2.2 Opérations sur les tenseurs d’ordre 2 (matrices)
Soit dans l’espace Euclidien les matrices [A], [B] et [C], de composantes aij
, bij
et cij
respectivement et de dimensions (3⇥ 3).
• Soit [C] = [A] + [B], toute composante cij
de la matrice [C] s’obtient par :
cij
= aij
+ bij
• Soit [C] = [A] [B], toute composante cij
de la matrice [C] s’obtient par :
cij
= ai1 + b1j + a
i2 + b2j + ai3 + b3j
Propriétés d’opérations
• [A] + [B] = [B] + [A], la somme des matrices est commutative.
• [A] [B] =
⇣[B]
T
[A]
T
⌘T
, le produit matriciel est non commutatif.
• [A]
⇣[B] + [C]
⌘= [A] [B] + [A] [C], le produit matriciel est distributif.
• [A]
⇣[B] [C]
⌘=
⇣[A] [B]
⌘[C], le produit matriciel est associatif.
1.2.3 Notation indicielle
C’est une notation qui permet l’écriture compacte et brève d’expressions et for-
mules mathématiques.
Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 7
1.2.3.1 Notation des vecteurs et matrices
• un tenseur d’ordre 1 (vecteur) ~u de composantes hu1 u2 u3i est noté sim-
plement ui
sachant que i peut prendre les valeurs 1, 2 et 3.
• un tenseur d’ordre 2 (matrice 3⇥ 3) [A] est noté aij
, i et j peuvent prendre
les valeurs 1, 2 et 3.
1.2.3.2 Convention de la somme
Lorsqu’un indice se répète deux (02) fois dans un monôme (variable ou produit
de variables), ce monôme représente la somme de trois (03) termes qui s’obtient en
donnant à l’indice répété successivement les valeurs 1,2 et 3.
Exemples
• ai
bi
= a1b1 + a2b2 + a3b3
• gkk
= g11 + g22 + g33
• aij
bj
= ai1b1 + a
i2b2 + ai3b3
L’indice répété deux (02) fois est appelé indice muet, il peut être substitué par tout
autre indice différent des indices présents dans le monôme. L’indice qui n’apparaît
qu’une seule fois dans un monôme est appelé indice franc.
Règles
• Un indice ne peut répété plus que deux (02) fois dans un même monôme.
Exemple : l’écriture aij
bik
ci
est une écriture sans sens en notation indicielle.
• Un indice franc un monôme doit être franc dans tous les monômes de la
même équation.
Exemples :
xj
= aij
bi
+ cj
: écriture correcte
xj
= aij
bj
+ cj
: écriture sans sens
1.2.3.3 Notation de la dérivée
• Soit une fonction scalaire u,
Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 8
@u
@xi
est notée u,i
, il convient de noter que du fait que u,i
comporte un seul
indice, il représente trois composantes, c-à-d u,i
=
8>>><
>>>:
u,1
u,2
u,3
9>>>=
>>>;=
8>>><
>>>:
@u
@x1
@u
@x2
@u
@x3
9>>>=
>>>;.
@2u
@xi
@xj
est notée u,ij
,
avec u,ij
=
2
6664
u,11 u
,12 u,13
u,21 u
,22 u,23
u,31 u
,32 u,33
3
7775=
2
6664
@
2u
@x1@x1
@
2u
@x1@x2
@
2u
@x1@x3
@
2u
@x2@x1
@
2u
@x2@x2
@
2u
@x2@x3
@
2u
@x3@x1
@
2u
@x3@x2
@
2u
@x3@x3
3
7775.
• Soit ui
un champs vectoriel (vecteur déplacement par exemple)
@u1@x1
est notée u1,1, ainsi@u
i
@xj
=
2
6664
@u1@x1
@u1@x2
@u1@x3
@u2@x1
@u2@x2
@u2@x3
@u3@x1
@u3@x2
@u3@x3
3
7775
Il est à remarquer que la convention de la somme reste valable pour tous les type
d’indices (indices relatifs à la fonction et à la variable).
Exemples :
ui,i
= u1,1 + u2,2 + u3,3,
u,ii
= u,11 + u
,22 + u,33.
1.2.3.4 Symbole de Kronecker �ij
Il est défini par : �ij
=
8><
>:
1 si i = j
0 si i 6= j
, c-à-d �ij
=
2
6664
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
7775
1.2.3.5 Symbole alternant "ijk
Il est défini par :
"ijk
= 1 si le triplet ijk s’obtient par un nombre de permutations paire à partir
du triplet 123
"ijk
= �1 si le triplet ijk s’obtient par un nombre de permutations impaire à
partir du triplet 123
Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 9
"ijk
= 0 si deux des indices sont égaux
1.2.3.6 Connexion avec l’algèbre vectoriel :
Opérations sur les vecteurs
Soit trois vecteurs ~u, ~v et ~w définis dans le repère X(O, ~e1, ~e2, ~e3).
• Vecteur : ~u = ui
~ei
• Produit scalaire : ~u · ~v = ui
vi
• Produit vectoriel : ~u⇥ ~v = "ijk
~ei
uj
vk
, en détaillant la triple somme (sur i, j
et k) on obtient :
~u⇥ ~v =
8>>><
>>>:
"1jkujvk
"2jkujvk
"3jkujvk
9>>>=
>>>;=
8>>><
>>>:
u2v3 � u3v2
u1v3 � u3v1
u1v2 � u2v1
9>>>=
>>>;
• Opérateur de dérivation Nabla : ~r =
@
@xi~ei
• Gradient d’une fonction scalaire u : ~ru =
@u
@xi~ei
= u,i
~ei
• Divergence d’une fonction vectorielle ~u : ~r · ~u =
@ui@xi
= ui,i
Opérations sur les matrices
Soit dans le champs tensoriel d’ordre 2 les matrices [A], [B], [C] et [D]. Une
matrice telle que [A] par exemple, si écrite seule, elle peut être notée aij
, ail
ou akl
... etc, c-à-d le choix des indices n’est pas important.
• Soit [C] = [A] [B], toute composante cij
s’obtient par : cij
= aik
bkj
• Soit [C] = [A]
T
[B], toute composante cij
s’obtient par : cij
= aki
bkj
• Soit [D] = [A] [B] [C], toute composante cij
s’obtient par : dij
= aik
bkl
clj
Règle :
Lorsqu’on a la transposée d’une matrice dans une expression, on écrit l’expression
sous la forme indicielle comme s’il n’y a pas la transposée puis on permute les indices
de la matrice concernée.
Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 10
O
Figure 1.5 – Rotation du repère de référence
1.2.4 Rotation du repère de référence
1.2.4.1 Cas général
Soit dans l’espace Euclidien les repères orthonormés X(O,~e1,~e2,~e3) et
X 0(O, ~e01, ~e02, ~e03) (Fig. 1.5).
Soit le vecteur ~v tel que :
~v = vi
~ei
= v0i
~e0i
(1.4)
Quelle est la relation entre vi
et v0i
?.
Soit la matrice des cosinus directeurs des vecteurs unités du repère X 0 par rap-
port au repère X :
[A] =
2
6664
cos(
~e01,~e1) cos(
~e01,~e2) cos(
~e01,~e3)
cos(
~e02,~e1) cos(
~e02,~e2) cos(
~e02,~e3)
cos(
~e03,~e1) cos(
~e03,~e2) cos(
~e03,~e3)
3
7775=
2
6664
~e01 · ~e1 ~e01 · ~e2 ~e01 · ~e3~e02 · ~e1 ~e02 · ~e2 ~e02 · ~e3~e03 · ~e1 ~e03 · ~e2 ~e03 · ~e3
3
7775(1.5)
En notation indicielle une composante aij
de la matrice s’écrit :
aij
= cos(
~e0i
,~ej
) =
~e0i
· ~ej
, le 1
er indice est relié à ~e0 et le 2
nd indice à ~e.
• Multiplions à droite l’équation (Eq. 1.4) par ~e0j
, on obtient :
vi
~ei
· ~e0j
= v0i
~e0i
· ~e0j
Tenons compte que ~ei
· ~e0j
= aji
, ~e0i
· ~e0j
= �ij
et v0i
�ij
= v0j
(voir démons-
Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 11
tration en pied de page 1), il en résulte :
v0j
= aji
vi
ou bien v0i
= aij
vj
(1.6)
Soit en notation matricielle :
�v0 = [A] {v} (1.7)
• De la même façon, multiplions à droite l’équation (Eq. 1.4) par ~ej
, on obtient :
vj
= aij
v0i
ou bien vi
= aji
v0j
(1.8)
Soit en notation matricielle :
{v} = [A]T�v0
(1.9)
1.2.4.2 Cas particulier : Rotation plane 2D
On considère le repère X 0 qui s’obtient par rotation du repère X autour de son
3
eme axe, c-à-d : ~e03 = ~e3 (Fig. 1.6).
O
Figure 1.6 – Rotation du repère de référence, cas 2D.
1. v0i�ij = v01�1j + v02�2j + v03�3j =
8<
:
v01 si j = 1
v02 si j = 2
v03 si j = 3
9=
; = v0j
Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 12
La matrice de transformation devient dans ce cas :
[A] =
2
6664
cos ✓ sin ✓ 0
� sin ✓ cos ✓ 0
0 0 1
3
7775(1.10)
1.2.4.3 Propriété d’orthogonalité de la matrice de transformation
La matrice de transformation [A] est dite orthogonale 2, puisque :
[A] [A]
T
= [A]T [A] = [I], [I] est la matrice identité.
Preuve : Combinons les équations : {v} = [A]T {v0} et {v0} = [A] {v}, on obtient :
{v} = [A]
T
[A] {v} par conséquence : [A]
T
[A] = [I]
1.2.4.4 Application
Soit dans l’espace Euclidien deux repères orthormés direct X(O,~e1,~e2,~e3) et
X 0(O, ~e01, ~e02, ~e03). Les cosinus directeurs des vecteurs ~e01, ~e02 et ~e03 dans le repère
X sont donnés par : ~e01⇣
1p3, 1p
3, 1p
3
⌘, ~e02
⇣� 1p
2, 1p
2, 0⌘
et ~e03⇣� 1p
6,� 1p
6,q
23
⌘.
Déterminer les composantes hv01, v02, v03i du vecteur ~v ayant les composantes h2, 3, 0i
dans le repère X.
Réponse :
Matrice de transformation : [A] =
2
6664
1p3
1p3
1p3
� 1p2
1p2
0
� 1p6� 1p
6
q23
3
7775
{v0} = [A] {v}, d’où :
8>>><
>>>:
v01
v02
v03
9>>>=
>>>;=
2
6664
1p3
1p3
1p3
� 1p2
1p2
0
� 1p6� 1p
6
q23
3
7775
8>>><
>>>:
2
3
0
9>>>=
>>>;=
8>>><
>>>:
5p3
1p2
� 5p6
9>>>=
>>>;
Exercices
Exercice 1 : Soit �ij
le symbole de Kronecker et "ijk
le symbole alternant, quel est
la valeur numérique du produit �ij
"ijk
?
2. En algèbre linéaire, une matrice orthogonale est une matrice carrée de composantes réelles
et dont les colonnes et les lignes sont des vecteurs unités orthogonaux.
Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 13
Exercice 2 : Le système d’équation d’équilibre en élastostatique s’écrit :
�ij,j
+ fi
= 0. Réécrire le en détail.
Exercice 3 : Soit �ij
le symbole de Kronecker, et aij
un tenseur d’ordre 2. Que
représente le produit �ij
aij
? la matrice aij
où bien la trace de la matrice aij
, étayer
votre réponse.
Exercice 4 : Soit xi
= aij
yj
avec yi
= bij
zj
. Eliminer la variable y pour écrire x en
terme de z seul.
Exercice 5 : Soit les tenseurs ui
et bij
d’ordre 1 et 2 respectivement, tels que :
{u} =
8>>><
>>>:
1
4
2
9>>>=
>>>;et [B] =
2
6664
1 0 3
0 2 2
3 2 4
3
7775écrits par référence au repère (O,~e1,~e2,~e3).
1. Dire pour chacune des quantités suivantes s’il s’agit d’un scalaire, d’un vec-
teur, ou d’une matrice, puis calculer explicitement le résultat : bij
bij
, ui
uj
,
bik
bjk
.
2. Ecrire le tenseur ui
par référence au repère orthonormé (O, ~e01, ~e02, ~e03) mon-
tré sur la figure ci-dessous.
y
x
z
O
60°
y'
x'
z'
Exercice 6 : Soit le vecteur ~v de composantes h�3 3 0i par ré-
férence à un repère orthonormé (O,~e1,~e2,~e3). Déterminer ses compo-
santes par référence au repère orthonormé (O, ~e01, ~e02, ~e03) tel que :8><
>:
cos
⇣~e01,~e1
⌘= cos
⇣~e01,~e2
⌘= cos
⇣~e01,~e3
⌘> 0
le vecteur ~e02 est contenu dans le plan⇣O, ~e01, ~e02
⌘et cos
⇣~e02,~e1
⌘< 0
Chapitre 2
Etat de contrainte en un point
2.1 Introduction
En mécanique des Milieux Continus, les forces extérieures qui s’appliquent au
milieu peuvent être classées en deux types notamment :
• Les forces de surface : ce sont les forces agissantes par contact direct sur la
surface extérieure.
• Les forces de volume : ce sont les forces agissantes sur des élément volumiques
à distance (sans contact). Par exemples la force de gravité, la force centrifuge,
la force magnetique, ...etc.
Ces forces extérieures provoquent des efforts internes (effort normal, effort tran-
chant, moment fléchissant, ...etc.), qui sont les résultantes des contraintes agissantes
à l’intérieur du milieu.
2.2 Définition
Considérons un corps solide en équilibre sous l’effet d’un système de forces (Fig.
2.1a). Si ce corps est coupé en deux parties par une surface S (Fig. 2.1b), chaque élé-
ment �S de cette surface sera soumis à un vecteur force �
~f (Fig. 2.1c). L’ensemble
des vecteurs �
~f maintiennent l’équilibre du corps.
Soit ~n le vecteur unité normal à �S et O le centre de �S. Les vecteurs �
~f et
~n ne sont pas forcement parallèles.
On appelle vecteur contrainte agissant au point O sur la surface de normale ~n
le vecteur ~t donné par :
~t = lim
�S!0
�
~f
�S
!(2.1)
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 15
(c)(b)(a)
Figure 2.1 – Définition de la contrainte
Tant que le milieu est en équilibre, cette limite existe et elle est finie.
Au même point O le vecteur ~t dépend de l’orientation de �S (c-à-d de l’orien-
tation de ~n).
2.3 Tenseur de contraintes
2.3.1 Définition
Considérons un parallélépipède infinitésimal autour du point O, dont les facettes
sont parallèles aux plans XY , XZ et Y Z (Fig. 2.2(a)).
X
Y
Z
O
X
Y
Z
+-
facette facette
(a) (b)
Figure 2.2 – (a) Composantes du tenseur de contraintes, (b) Illustration de facettespositive et négative.
Sur chacune des six (06) facettes il agit un vecteur contrainte pouvant être
décomposé en trois composantes. Les composantes normales aux facettes sont notées
� et les composantes tangentes aux facettes sont notées ⌧ .
A chacune des composantes on attribue deux indices ; le 1
er indique la facette
sur laquelle elle agit 1 et le 2
nd indique sa direction.
1. La facette est désignée par sa normale x, y ou z.
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 16
Ces contraintes arrangées en une matrice (3 ⇥ 3) composent le tenseur de
contraintes au point O par référence au repère (O,X, Y, Z), il s’écrit :
[�] =
2
6664
�xx
⌧xy
⌧xz
⌧yx
�yy
⌧yz
⌧zx
⌧zy
�zz
3
7775(2.2)
Les contraintes normales peuvent être écrites sans ambiguïté avec un seul indice,
c-à-d : �xx
= �x
, �yy
= �y
et �zz
= �z
.
En notation indicielle le tenseur de contraintes s’écrit : �ij
=
2
6664
�11 �12 �13
�21 �22 �23
�31 �32 �33
3
7775.
2.3.2 Convention de signe
Il convient d’abord d’introduire la notion de facette positive et négative. On
appelle facette positive celle pour laquelle la normale sortante est orientée dans
la direction positive et facette négative celle pour laquelle la normale sortante est
orientée dans la direction négative (Fig. 2.2(b)).
Une composante de contrainte est positive si elle agit dans le sens positif sur la
facette positive, elle est aussi positive si elle agit dans le sens négatif sur la facette
négative, dans les autres cas la contrainte est négative.
Remarque : Comme conséquence à cette convention, pour les contraintes normales
la traction est positive et la compression est négative.
2.4 Vecteur contrainte sur un plan quelconque
Soit en un point O, le tenseur de contraintes est donné par référence à un re-
père (O,X, Y, Z). Quel est le vecteur contrainte ~t agissant au point O sur un plan
quelconque défini par sa normale ~n ?.
Considérons le tétraèdre infinitésimal autour du point O montré sur la figure
2.3a. �S(ABC) étant la facette sur laquelle on recherche le vecteur contrainte, son
orientation est définie par sa normale unitaire ~n dont les cosinus directeurs sont
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 17
O
X
Y
Z
A
B
C
X
Y
Z
(a) (b)
Figure 2.3 – (a) Tétraèdre autour du point O formé à partir de la surface �S, (b)Contraintes agissantes sur le tétraèdre
h` m ni. �S1, �S2 et �S3 sont les projections de �S sur les plans de normales
~e1, ~e2 et ~e3 respectivement (c-à-d les projections sur les plans Y Z, XZ et XY
respectivement), elles peuvent être exprimées :
�S1 = `.�S, �S2 = m.�S, �S3 = n.�S (2.3)
(Voir démonstration en bas de page) 2
Soit [�] le tenseur de contraintes au point O par référence à un repère
(O,X, Y, Z). Les contraintes agissantes sur les facettes du tétraèdre �S1, �S2 et
�S3 sont donc connues, elles sont montrées sur la figure 2.3b. Pour déterminer les
2. Démonstration : référons-nous à la figure suivante :
O
X
Y
Z
N
A
B
C
O Y
N
B
Soit N un point de �S tel que
~ON?�S. cos (~n,~e2) =ONOB
) ON = OB cos (~n,~e2) = m.OBDe façon similaire on peut démontrer que : ON = `.OA = m.OB = n.OC (a)Par ailleurs, le volume du tétraèdre peut être exprimé :
V =
13�S.ON =
13�S1.OA =
13�S2.OB =
13�S3.OC d’où :
8><
>:
�S.ON = �S1.OA
�S.ON = �S2.OB
�S.ON = �S3.OB
(b)
En combinant les équations (a) et (b) on obtient : �S1 = `�S, �S2 = m�S, �S3 = n�S.
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 18
composantes du vecteur contrainte ~thtx
ty
tz
i, écrivons alors l’équilibre des forces
agissantes sur le tétraèdre
• Equilibre dans la direction x : tx
.�S = �x
.�S1 + ⌧yx
.�S2 + ⌧zx
.�S3
En prenant en compte les relations 2.3 on obtient :
tx
= �x
.`+ ⌧yx
.m+ ⌧zx
.n (2.4)
De la même façon on obtient les équations correspondantes aux directions y
et z
• Equilibre dans la direction y :
ty
= ⌧xy
.`+ �y
.m+ ⌧zy
.n (2.5)
• Equilibre dans la direction z :
tz
= ⌧xz
.`+ ⌧yz
.m+ �z
.n (2.6)
Ces équations (Eqs. 2.4, 2.5 et 2.6) peuvent être regroupées dans une écriture ma-
tricielle sous la forme :
8>>><
>>>:
tx
ty
tz
9>>>=
>>>;=
2
6664
�x
⌧yx
⌧zx
⌧xy
�y
⌧zy
⌧xz
⌧yz
�z
3
7775
8>>><
>>>:
`
m
n
9>>>=
>>>;(2.7)
Soit sous forme simplifiée :
{t} = [�]T {n} (2.8)
2.5 Principe de réciprocité
Enoncé : "Sur deux facettes orthogonales, les composantes des contraintes tan-
gentielles perpendiculaires à l’arrête commune sont égales et simultanément dirigées
vers cette arrête ou bien dans la direction contraire." (voir la figure illustrative Fig.
2.4).
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 19
Figure 2.4 – Illustration du principe de réciprocité
Justification : Il est évident que sur deux facettes opposées les contraintes tangen-
tielles sont de valeurs égales mais de directions opposées ⌧ , pour assurer l’équilibre
vis-à-vis de la rotation il faut avoir sur les facettes perpendiculaires aux premières
des contraintes tangentielles égales à ⌧ aussi mais qui produisent un moment inverse,
d’où découle le principe de réciprocité.
Conséquences
• ⌧xy
= ⌧yx
, ⌧xz
= ⌧zx
et ⌧yz
= ⌧zy
• [�]T = [�]
• L’équation 2.8 s’écrit plus simplement :
{t} = [�] {n} (2.9)
Soit en notation indicielle :
ti
= �ij
nj
(2.10)
2.6 Composantes normale et tangentielle du vecteur
contrainte
Sur toute facette de normale ~n, le vecteur contrainte agissant ~t peut être décom-
posé en deux composantes ; normale et tangentielle :
• Contrainte normale : � =
~t · ~n (projection de ~t sur ~n)
• Contrainte tangentielle : ⌧ =
qk~tk2 � �2
Composantes normale et tangentielle sous forme de vecteurs :
• Contrainte normale : ~� = �~n =
�~t · ~n
�~n
• Contrainte tangentielle : ~⌧ =
~t� ~�
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 20
2.6.1 Application
Soit en un point O le tenseur de contraintes par référence à un repère
(O,X, Y, Z) : [�] =
2
6664
10 �5 0
�5 8 3
0 3 0
3
7775Mpa
Calculer le vecteur contrainte ainsi que ses composantes normale et tangentielle
sur la facette de normale parallèle au vecteur ~uh2 3 1i.
Réponse
Normale unitaire du plan :{n} =
1p22+32+12
8>>><
>>>:
2
3
1
9>>>=
>>>;=
1p14
8>>><
>>>:
2
3
1
9>>>=
>>>;
Vecteur contrainte : {t} = [�] {n} )
8>>><
>>>:
tx
ty
tz
9>>>=
>>>;=
2
6664
10 �5 0
�5 8 3
0 3 0
3
77751p14
8>>><
>>>:
2
3
1
9>>>=
>>>;
d’où
8>>><
>>>:
tx
ty
tz
9>>>=
>>>;=
1p14
8>>><
>>>:
5
17
9
9>>>=
>>>;
Contrainte normale : � =
~t ·~n =
1p14h5 17 9i 1p
14
8>>><
>>>:
2
3
1
9>>>=
>>>;=
114(10+51+9) = 5Mpa
Contrainte tangentielle : ⌧ =
qk~tk2 � �2
=
q114(25 + 289 + 81)� 25 ⇡ 1.79Mpa
2.7 Variation du tenseur de contraintes suite une rota-
tion du repère de référence
On considère deux repère orthonormés d’origine O ; (O,X, Y, Z) et
(O,X 0, Y 0, Z 0). L’état de contrainte au point O est défini par le tenseur [�] par
référence au repère (O,X, Y, Z).
Soit [�0] le tenseur de contraintes au même point par référence au repère
(O,X 0, Y 0, Z 0). En connaissant l’orientation de ce repère par rapport au premier,
quelle est la relation entre [�] et [�0] ?. Pour aboutir à cette relation utilisons les
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 21
relations de transformation des vecteurs d’un repère à l’autre (Eqs. 1.7 et 1.9) avec
la relation vecteur contrainte - tenseur de contrainte (Eq. 2.9).
Soit ~t le vecteur contrainte sur une facette de normale ~n. Les vecteurs ~t et
~n ont les composantes htx
ty
tz
i et h` m ni respectivement par rapport au
repère (O,X, Y, Z) et les composantes ht0x
t0y
t0z
i et h`0 m0 n0i respectivement
par rapport au repère (O,X 0, Y 0, Z 0).
Soit [A] la matrice de transformation composée des cosinus directeurs des axes
du repère (O,X 0, Y 0, Z 0) par rapport au repère (O,X, Y, Z).
Les relations de transformation des vecteurs d’un repère à l’autre (Eqs. 1.7 et
1.9) et la relation vecteur contrainte - tenseur de contrainte (Eq. 2.9) permettent
d’écrire le système d’équations :
8>>>>><
>>>>>:
{t0} = [A] {t} (a)
{t} = [�] {n} (b)
{n} = [A]
T {n0} (c)
La combinaison des équations (a) et (b) conduit à {t0} = [A] [�] {n}, et la com-
binaison de cette dernière avec l’équation (c) aboutit à l’équation
�t0 = [A] [�] [A]
T
�n0 (2.11)
La comparaison de cette équation à la relation vecteur contrainte - tenseur de
contrainte dans le repère (O,X 0, Y 0, Z 0) ({t0} = [�0
] {n0}) permet de déduire la
relation de transformation :
⇥�0⇤
= [A] [�] [A]
T (2.12)
Soit en notation indicielle :
�0ij
= aik
�kl
ajl
(2.13)
Remarque : La transformation inverse [�] en fonction de [�0] peut être obtenu en
tenant compte de la propriété [A] [A]
T
= [I], soit : [�] = [A]
T
[�0] [A].
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 22
2.8 Contraintes principales et directions principales
Soit en un point O, l’état de contrainte est défini par le tenseur [�] par référence
au repère (O,X, Y, Z). On se propose d’écrire l’équation :
{t} = [�] {n} = � {n} (2.14)
où {n} défini la normale unitaire d’un plan passant par O et � est un scalaire.
Si cette équation est vérifiée sur une direction {n} donnée, le vecteur contrainte
{t} est parallèle au vecteur {n}. Dans ce cas la direction {n} est dite direction
principale et � est dit contrainte principale associée à cette direction. Le plan normal
à cette direction est appelé plan principal. Un plan principal est un plan sur lequel
la composante tangentielle de la contrainte est nulle.
2.8.1 Détermination des contraintes principales
Théorème
� est une contrainte principale si est seulement si � est solution de l’équation :
� �3+ I1�
2 � I2�+ I3 = 0 (2.15)
où :8>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:
I1 = �x
+ �y
+ �z
= �pp
I2 =
�������
�x
⌧xy
⌧xy
�y
�������+
�������
�x
⌧xz
⌧xz
�z
�������+
�������
�y
⌧yz
⌧yz
�z
�������= �
x
�y
+ �x
�z
+ �y
�z
� ⌧2xy
� ⌧2xz
� ⌧2yz
I3 = det [�] = �x
�y
�z
� �x
⌧2yz
� �y
⌧2xz
� �z
⌧2xy
+ 2⌧xy
⌧xz
⌧yz
(2.16)
Les coefficients I1, I2 et I3 sont appelés invariants du tenseur de contraintes ;
I1 : 1er invariant ou invariant de 1
re espèce
I2 : 2e invariant ou invariant de 2
e espèce
I3 : 3e invariant ou invariant de 3
e espèce
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 23
Remarque : I1, I2 et I3 n’ont pas les mêmes unités 3, ils sont dit invariants parce
qu’ils sont indépendants de l’orientation du repère de référence.
Démonstration
Partons de l’équation 2.14 :
[�] {n} = � {n} ) ([�]� � [I]) {n} = {0}
[I] est la matrice identité.
Pour {n} 6= {0} il faut avoir : det ([�]� � [I]) = 0
)
���������
�x
� � ⌧xy
⌧xz
⌧xy
�y
� � ⌧yz
⌧xz
⌧yz
�z
� �
���������
= 0 d’où l’équation ��3+ I1�
2 � I2�+ I3 = 0
2.8.2 Détermination des directions principales
A chacune des contraintes principales �i
correspond une direction principale
définie par un vecteur unité ~ni
qui s’obtient en résolvant l’équation :
([�]� �i
[I]) {n}i
= {0} (2.17)
2.8.3 Remarques relatives aux contraintes et directions principales
1. Il existe au plus trois (3) valeurs principales distinctes � = �1, � = �2 et � =
�3. Par convention ces contraintes sont numérotées tel que : �1 � �2 � �3.
2. Les trois directions principales sont orthogonales l’une par rapport à l’autre,
par conséquence, elles peuvent être prises comme base d’un repère de réfé-
rence. Dans ce repère le tenseur de contrainte et ses invariants s’écrivent :
[�] =
2
6664
�1 0 0
0 �1 0
0 0 �1
3
7775
I1 = �1 + �2 + �3
I2 = �1�2 + �1�2 + �2�3
I3 = �1�2�3
3. c’est pour cette raison qu’ils sont considérés de différentes espèces
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 24
2.8.4 Application
Soit en un point O le tenseur de contraintes par référence à un repère
(O,X, Y, Z) : [�] =
2
6664
1 1 0
1 1 0
0 0 3
3
7775Mpa
Déterminer les contraintes et les directions principales au point O.
Réponse
1. Contraintes principales :
Equation caractéristique : ��3+ I1�
2 � I2�+ I3 = 0
I1 = �x
+ �y
+ �z
= 5 Mpa
I2 = �x
�y
+ �x
�z
+ �y
�z
� ⌧2xy
� ⌧2xz
� ⌧2yz
= 6 Mpa2
I3 = �x
�y
�z
� �x
⌧2yz
� �y
⌧2xz
� �z
⌧2xy
+ ⌧xy
⌧xz
⌧yz
= 0 Mpa3
D’où l’équation : ��3+ 5�2 � 6� = 0
Solutions de l’équation : � = 0, � = 3 et � = 2
Contraintes principales par ordre : �1 = 3Mpa, �2 = 2Mpa, �3 = 0
2. Directions principales :
Equation caractéristique : ([�]� �i
[I]) {n}i
= {0}
)
2
6664
�x
� �i
⌧xy
⌧xz
⌧xy
�y
� �i
⌧yz
⌧xz
⌧yz
�z
� �i
3
7775
8>>><
>>>:
li
mi
ni
9>>>=
>>>;=
8>>><
>>>:
0
0
0
9>>>=
>>>;
avec li
, mi
et ni
sont les composantes du vecteur unité ~ni
Il convient de remarquer que ce système d’équations ne donne que deux
équations indépendantes, pour obtenir les trois composantes du vecteur il est
donc nécessaire de le compléter par l’équation l2i
+m2i
+ n2i
= 1.
La résolution du système d’équations pour les trois contraintes principales �1,
�2 et �3 donne les trois vecteurs unités définissant les directions principales
respectivement :
{n}T1 = h0 0 1i, {n}T2 = h 1p2
1p2
0i et {n}T3 = h 1p2
� 1p2
0i.
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 25
X
Y
OX
Y
OX
Y
O
X'
Y'
(c)(b)(a)
Figure 2.5 – (a) Composantes du tenseur de contraintes dans un repère 2D. (b)Composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte sur une facette de nor-male faisant un angle ✓ avec l’axe x. (c) Analogie entre les contraintes recherchées(� et ⌧) et les composantes du tenseur de contraintes dans un autre repère.
2.9 Représentation de Mohr (Cas 2D)
Cette représentation permet de montrer comment varient les contraintes normale
et tangentielle sur une facette lorsque celle-ci change d’orientation. Pour des raisons
de simplicité on s’intéresse au cas 2D, c’est le cas où l’orientation de la troisième
dimension coïncide avec une direction principale.
Soit en un point O le tenseur de contraintes par référence à un repère
(O,X, Y, Z) : [�] =
2
6664
�x
⌧xy
0
⌧xy
�y
0
0 0 �z
3
7775
Ce tenseur qui indique que la direction Z est une direction principale, peut
être écrit sous la forme [�] =
2
4�x ⌧xy
⌧xy
�y
3
5, tout en gardant en tête que �z
est une
contrainte principale pouvant être non nulle. Ses composantes peuvent être repré-
sentées dans un repère (O,X, Y ) comme montré sur la figure 2.5a.
2.9.1 Contraintes normale et tangentielle sur une facette quel-
conque
Les composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte agissant sur une
facette de normale ~n faisant un angle quelconque ✓ avec l’axe x (� et ⌧ sur la figure
2.5b), peuvent être vues comme les composantes �x
0 et ⌧x
0y
0 du tenseur de contraintes
écrit dans un nouveau repère (O,X 0, Y 0) faisant une rotation ✓ par rapport au repère
initial (O,X, Y ) (Fig. 2.5c).
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 26
En employant la relation de transformation 2.12⇣[�0
] = [A] [�] [A]T⌘, on obtient
les expressions des contraintes :
� = �x
0= �
x
cos
2 ✓ + 2⌧xy
cos ✓ sin ✓ + �y
sin
2 ✓
⌧ = ⌧x
0y
0= � (�
x
� �y
) cos ✓ sin ✓ + ⌧xy
�cos
2 ✓ � sin
2 ✓�
En tenant compte des relations : cos2 ✓ =
12 (1 + cos 2✓) et sin
2 ✓ =
12 (1� cos 2✓),
les expressions des contraintes normale et tangentielle sur une facette de normale
faisant un angle ✓ avec l’axe x peuvent s’ecrire :
8><
>:
� =
�x+�y
2 +
�x��y
2 cos 2✓ + ⌧xy
sin 2✓ (a)
⌧ = ��x��y
2 sin 2✓ + ⌧xy
cos 2✓ (b)
(2.18)
2.9.2 Equation du cercle de Mohr
Réécrivons les équations 2.18 sous la forme :8><
>:
� � �x+�y
2 =
�x��y
2 cos 2✓ + ⌧xy
sin 2✓
⌧ = ��x��y
2 sin 2✓ + ⌧xy
cos 2✓
En élevant ces dernières équations au carré puis les superposant on obtient l’équa-
tion : ✓� � �
x
+ �y
2
◆2
+ ⌧2 =
✓�x
� �y
2
◆2
+ ⌧2xy
(2.19)
C’est l’équation d’un cercle dans le plan (�, ⌧) de centre⇣�x+�y
2 , 0⌘
et de rayon
r =
r⇣�x��y
2
⌘2+ ⌧2
xy
, c’est le cercle de Mohr (Fig. 2.6a).
2.9.3 Remarques sur la représentation du cercle de Mohr
• Chaque point sur le cercle de Mohr représente les contraintes normale et tan-
gentielle (�, ⌧) sur une facette passant par le point O dont l’état de contrainte
est défini par le tenseur [�] =
2
4�x ⌧xy
⌧xy
�y
3
5.
• Les équations 2.18 indiquent qu’une rotation d’un angle ✓ dans le plan phy-
sique (xy), s’accompagne d’une rotation de 2✓ sur le cercle de Mohr. Ainsi
les facettes orthogonales (faisant un angle ⇡/2 entre elles) sont représentées
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 27
r
(a) (b)
A
B
(c)
a a =
Figure 2.6 – (a) Cercle de Mohr. (b) Points représentants les facettes de normales~ex
et ~ey
sur le cercle de Mohr
par des points symétriques (par rapport au centre) sur le cercle de Mohr. Sur
la figure 2.6b sont montrés - à titre d’illustration - les points représentants
les facettes orthogonales de normales ~ex
et ~ey
; points A et B respectivement.
• Dans la représentation de Mohr la contrainte normale obéit à la même conven-
tion de signe adopté précédemment (� : traction, : compression). Cepen-
dant, la contrainte tangentielle est considérée positive si elle agit dans le sens
des aiguilles d’une montre et négative dans le sens contraire (voir Fig. 2.6c).
Avec cette convention le sens de rotation sur le cercle de Mohr est le même
que celui de la rotation dans le plan physique.
• Le cercle de Mohr caractéristique de l’état de contrainte en un point peut être
tracé si le tenseur de contraintes est donné. En effet deux points du cercle
sont directement donnés par les coordonnées A(�x
,�⌧xy
) et B(�y
, ⌧xy
), le
centre du cercle s’obtient par l’intersection du segment [AB] avec l’axe �.
2.9.4 Application : représentation et utilisation du cercle de Mohr
Soit en un point O l’état de contrainte est défini par le tenseur [�] =
2
41 1
1 1
3
5Mpa
par référence au repère (O,X, Y )
1. Représenter le cercle de Mohr caractéristique de cet état de contrainte.
2. Déterminer en utilisant ce cercle, les deux contraintes principales agissantes
dans le plan Oxy ainsi que les directions principales correspondantes.
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 28
3. Déterminer les contraintes normale et tangentielles sur un plan de normale
faisant 60
� avec l’axe x
Réponse
1. Représentation du cercle de Mohr :
[�] =
2
41 1
1 1
3
5Mpa
Points représentants les plans de normales ~ex
et ~ey
; A et B respectivement :
A(1,�1), B(1, 1)
Centre du cercle : a =
�x+�y
2 = 1Mpa
Rayon du cercle : r =
r⇣�x��y
2
⌘2+ ⌧2
xy
= 1Mpa
Représentation (Voir figure 2.7a)
(a) (b)
A
B
A
B
(c)
A
B
Figure 2.7 – (a) Cercle de Mohr caractéristique de l’état de contraintes. (b) Déter-mination des directions princimales. (c) Détermination des contraintes normales ettangentielles sur un plan de normale faisant 60
� avec l’axe x.
2. Contraintes et directions principales :
• Contraintes principales : �1 = a+ r = 2Mpa, �2 = a� r = 0
• Directions principales : Une direction principale peut être définie par
l’angle fait par la normale du plan principal avec l’axe x (angles ✓1 ou
✓2 sur la figure 2.7b). Cet angle est la moitié de l’angle parcouru sur le
cercle de Mohr en allant du point représentant le plan de normale ~ex
vers
le point de contrainte principale voulue (angles ↵1 ou ↵2 sur la figure). La
direction de rotation du plan physique est la même que celle de la rotation
sur le cercle de Mohr, le sens trigonométrique est considéré positif.
A partir de la figure 2.7b on obtient :
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 29
8><
>:
↵1 =⇡
2
↵2 = �⇡
2
)
8><
>:
✓1 =⇡
4
✓2 = �⇡
4
d’où les directions principales :
~n1
8<
:cos
⇡
4
sin
⇡
4
9=
;! ~n1
8<
:
1p2
1p2
9=
; et ~n2
8<
:cos
��⇡
4
�
sin
��⇡
4
�
9=
;! ~n2
8<
:
1p2
� 1p2
9=
;
3. Contraintes normale et tangentielle sur un plan de normale faisant 60
� avec
l’axe x : Ces contraintes sont les coordonnées du point qui s’obtient par
rotation sur le cercle de Mohr d’un angle de (2 ⇥ 60
�) à partir du point
représentant le plan de normale ~ex
.
En se basant sur la figure 2.7c on obtient donc :
� = a+ r cos(30�) =⇣1 +
p32
⌘Mpa et ⌧ = r sin(30�) = 0, 5Mpa
La contrainte ⌧ = 0, 5 > 0, donc elle agit dans le sens des aiguilles d’une
montre.
2.9.5 Tricercle de Mohr
Dans un cas de contraintes 3D si les trois contraintes principales sont connues il
est possible de représenter le tricercle de Mohr caractéristique de l’état de contrainte
(Fig. 2.8). Cette représentation montre que la contrainte tangentielle maximale est
Figure 2.8 – Tricercle de Mohr.
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 30
égale au rayon du plus grand cercle soit :
⌧max
=
�1 � �32
(2.20)
La normale du plan sur lequel agit cette contrainte (⌧max
) fait des angles de ⇡
4 avec
les deux directions principales ~n1 et ~n3 et un angle de ⇡
2 avec la deuxième direction
principale ~n2.
2.10 Tenseurs de contrainte sphérique et déviateur
Tout tenseur de contraintes peut être écrit sous la forme d’une superposition de
deux tenseurs :
[�] = [�]s + [�] (2.21)
avec :
• [�]s = �0 [I] : est le tenseur de contraintes sphérique associé au tenseur [�],
�0 étant la contrainte normale moyenne définie par :
�0 =1
3
�ii
=
1
3
(�x
+ �y
+ �z
) =
I13
(2.22)
Le tenseur sphérique est appelé aussi hydrostatique ou isotrope, il produit
seulement un changement de volume.
• [�] = [�] � [�]s : est le tenseur de contraintes déviateur associé au tenseur
[�], il provoque un changement de forme sans changement de volume.
2.10.1 Application :
Donner les tenseurs sphérique et déviateur associés au tenseur de contraintes
suivant : [�] =
2
6664
2 2 0
2 2 0
0 0 2
3
7775Mpa
Réponse
Contrainte normale moyenne : �0 = �x+�y+�z
3 = 2Mpa
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 31
Tenseur de contraintes sphérique : [�]s = �0 [I] =
2
6664
2 0 0
0 2 0
0 0 2
3
7775Mpa
Tenseur de contraintes déviateur : [�] = [�]� [�]s =
2
6664
0 2 0
2 0 0
0 0 0
3
7775Mpa
Remarque : Pour un tenseur de contraintes sphérique toutes les directions sont
principales. Les directions principales du tenseur de contraintes [�] et de son
déviateur associé [�] sont les mêmes.
2.11 Equations d’équilibre dans un milieu continu
Ce sont les équations qui permettent de décrire la variation des contraintes dans
un milieu continu. Elles s’obtiennent en exprimant l’équilibre d’un élément volu-
mique infinitésimal du milieu.
2.11.1 Cas 2D
Soit un élément 2D de dimensions dx⇥ dy⇥ 1, soumis aux contraintes montrées
sur la figure 2.9 et aux forces de volume fx
et fy
. Ecrivons l’équilibre de l’élément
dans les deux directions x et y.
X
Y
Figure 2.9 – Forces intervenant dans l’équilibre d’un élément infinitésimal.
• Equilibre dans la direction x :
��x
dy � ⌧xy
dx+
⇣⌧xy
+
@⌧xy
@y
dy⌘dx+
��x
+
@�x@x
dx�dy + f
x
dxdy = 0
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 32
) @�x@x
dxdy +@⌧xy
@y
dxdy + fx
dxdy = 0
d’où l’équation : @�x@x
+
@⌧xy
@y
+ fx
= 0
• Equilibre dans la direction y :
��y
dx� ⌧xy
dy +⇣⌧xy
+
@⌧xy
@y
dx⌘dy +
⇣�y
+
@�y
@y
dy⌘dx+ f
y
dxdy = 0
) @�y
@y
dxdy +@⌧xy
@x
dxdy + fy
dxdy = 0
d’où l’équation : @�y
@y
+
@⌧xy
@x
+ fy
= 0
2.11.2 Cas 3D
De façon similaire on obtient les trois équations suivantes en exprimant l’équilibre
dans les trois directions x, y et z :
8>>>>><
>>>>>:
@�x@x
+
@⌧xy
@y
+
@⌧xz@z
+ fx
= 0
@⌧xy
@x
+
@�y
@y
+
@⌧yz
@z
+ fy
= 0
@⌧xz@x
+
@⌧yz
@y
+
@�z@z
+ fz
= 0
(2.23)
En notation indicielle, ces équations s’écrivent : �ij,j
+ fi
= 0
Remarques
1. En dynamique, les équations d’équilibre deviennent des équations de mouve-
ment et s’écrivent : �ij,j
+ fi
= ⇢ui
, avec ⇢ est la masse volumique et ui
est
l’accélération dans la direction i.
2. Les équations d’équilibre sont indépendantes des propriétés des matériaux.
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 33
Exercices
Détérmination analytique des contraintes et directions principales
Exercice 1 : Un élément structural est soumis à un système de forces, chacune
produit au même point p un état de contrainte comme représenté ci-dessous.
(a)(b) (c)
x
y
20MPa40MPa 10MPa
1. Déterminer le tenseur de contraintes résultant au même point dans le repère
indiqué en (a).
2. Déterminer les contraintes et les directions principales par rapport au même
repère.
Exercice 2 : Rechercher les contraintes principales et les directions principales en
un point dont l’état de contraintes est défini par le tenseur suivant :
(a) [�] =
2
6664
0, 7↵ 3, 6↵ 0
3, 6↵ 2, 8↵ 0
0 0 7, 6
3
7775MPa (b) [�] =
2
6664
7 0 �3p3
0 25 0
�3p3 0 13
3
7775MPa
↵ est un paramètre de charge positif.
Exercice 3 : Rechercher les contraintes principales et les directions principales en
un point dont l’état de contraintes est défini par le tenseur suivant : [�] =
2
6664
0 ⌧ ⌧
⌧ 0 ⌧
⌧ ⌧ 0
3
7775
Exercice 4 : Rechercher les contraintes principales et les directions principales en
un point dont l’état de contraintes est défini par le tenseur suivant :
[�] =
2
6664
12 6 9
6 10 3
9 3 14
3
7775MPa
Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 34
Cercle de Mohr
Exercice 5 : On considère une plaque mince élastique linéaire et isotrope, soumise
aux contraintes montrées sur la figure 2.10(a). En se servant du cercle de Mohr, dé-
terminer les contraintes principales et les vecteurs unitaires définissant les directions
principales.
Exercice 6 : Soit un point O d’un matériau soumis à l’état plan de contrainte
représenté par la figure 2.10(b).
1. Ecrire le tenseur de contrainte correspondant.
2. Tracer le cercle de Mohr caractéristique.
3. Donner les 3 contraintes principales ainsi que les directions correspondantes.
4. Donner la contrainte tangentielle maximale ainsi que la normale du plan sur
lequel elle agit.
5. Trouver les contraintes normales et tangentielles agissantes sur un plan pas-
sant par O de normale faisant 60
� par rapport à l’horizontale.
6. Déterminer le tenseur de contraintes dans le repère orthonormé direct
X0(O, x0, y0, z0), qui s’obtient par rotation du repère X(O, x, y, z) de +30
�
autour de l’axe z.
Exercice 7 : Soit deux plans inclinés A et B passant par le point O. �a
, �b
, ⌧a
et
⌧b
sont les contraintes normales et tangentielles agissantes en O sur les plan A et
B (voir figure 2.10(c)). Si �a
= 17kpa, �b
= �11kpa, ⌧a
= 12kpa et ⌧b
= �16kpa.
Déterminer le centre et le rayon (a et r) du cercle de Mohr de contrainte au point
O. Déduire les contraintes principales.
O
Plan APlan B
O x
y
5MPa
5MPa 5MPa
x
y
z
5MPa
5MPa
(a) (b) (c)
Figure 2.10 – (a) Exercice 5, (b) Exercice 6, (c) Exercice 7.
Chapitre 3
Etat de déformation en un point
3.1 Introduction
considérons un corps solide soumis à des forces extérieures de façon que ces
particules constituantes se trouvent déplacées vers de nouvelles positions. On dit
que le corps a subit une déformation si les positions relatives de ses particules sont
altérées. Dans le cas contraire, le corps a subit un déplacement de corps rigide (Fig.
3.1).
3.2 Définition
3.2.1 Cas 1D
On considère une barre soumise à une force axiale P . Soit u(x) le déplacement
axial d’un point de position x (Fig. 3.2).
Le segment [AB] de longueur �x devient [A0B0] de longueur (�x +�u) après
l’application de la charge.
La déformation longitudinale moyenne du segment [AB] est définie comme la
variation unitaire de la longueur, elle s’exprime :
"0 =(�x+�u)��x
�x=
�u
�x(3.1)
La déformation longitudinale ponctuelle en un point de position x est définie comme :
"(x) = lim
�x!0
�u
�x=
du
dx(3.2)
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 36
A et B ayant les images A' et B' après déplacements
A
A'
B'
B
tel que :
A
B
A'
B'
A et B ayant les images A' et B' après déplacements
tel que :
Déplacement de corps rigide
Déformation
A
B
A' B'
Figure 3.1 – Déformation et déplacement de corps rigide
x
A
B
A'
B'
P
Figure 3.2 – Définition de la déformation - Cas 1D -
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 37
A B
A'B'
C'
D'
CD
x
y
A B
A'B'
C'D'
CD
x
y
A B
A'
B'
C'
D' CD
x
y
Déplacement de corps rigide
déformations normales+
Distorsion
(a)
(b) (c)
Figure 3.3 – Définition de la déformation - Cas 2D -
3.2.2 Cas 2D
On considère un élément bidimensionnel rectangulaire de dimensions initiales
dx⇥dy. Soit u et v les déplacements dans les deux directions x et y respectivement.
Sous l’effet d’un chargement extérieur l’élément subit une déformation qui peut être
vue comme une superposition de trois composantes qui sont (voir figure 3.3) :
1. un déplacement de corps rigide,
2. des variations des longueurs des faces sans rotation (déformations normales),
3. des rotations des faces sans variation des longueurs (distorsion).
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 38
3.2.2.1 Déformations normales
D’une façon similaire au cas 1D, on définit les déformations normales dans les
deux directions à partir de la figure 3.3b par :
"x
=
@u
@xet "
y
=
@v
@y(3.3)
Par convention " > 0 : allongement, " < 0 : raccourcissement
3.2.2.2 Distorsion ou déformation de cisaillement
La distorsion ou déformation de cisaillement se définit comme la variation de
l’angle droit \DAB. Elle peut être exprimée à partir de la figure 3.3c par :
�xy
= ↵x
+ ↵y
.
Pour des petites déformations il est possible d’écrire :
↵x
⇡ tan↵x
=
@v
@x
et ↵y
⇡ tan↵y
=
@u
@y
. Par conséquence la distorsion dans le plan
xy peut être définie par :
�xy
=
@v
@x+
@u
@y(3.4)
Remarques
1. Une autre définition de la déformation de cisaillement est souvent utilisée :
"xy
=
1
2
✓@v
@x+
@u
@y
◆(3.5)
2. �xy
(ou "xy
) mesure la variation de l’angle entre deux axes orthogonaux, il
est considéré donc que �xy
= �yx
(et "xy
= "yx
).
3. Pour être cohérente avec les contraintes, la convention de signe de la déforma-
tion de cisaillement est comme suit : �xy
("xy
) > 0 si l’angle droit du premier
quadrant (\DAB) diminue, sinon �xy
("xy
) < 0
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 39
3.2.3 Cas 3D
Par analogie avec le cas 2D, les déformations peuvent être définies dans le cas
général 3D par les expressions :
"x
=
@u
@x
"y
=
@v
@y
"z
=
@w
@z
�xy
=
@v
@x
+
@u
@y
�xz
=
@w
@x
+
@u
@z
�yz
=
@w
@y
+
@v
@z
(3.6)
avec : "xy
=
12
⇣@v
@x
+
@u
@y
⌘, "
xz
=
12
�@w
@x
+
@u
@z
�, "
yz
=
12
⇣@w
@y
+
@v
@z
⌘
Un tenseur de déformations peut ainsi être définit par :
["] =
2
6664
"xx
"xy
"xz
"yx
"yy
"yz
"zx
"zy
"zz
3
7775(3.7)
En écriture indicielle, les composantes de ce tenseur s’expriment par :
"ij
=
1
2
(ui,j
+ uj,i
) (3.8)
3.2.4 Unité des déformations
D’après leurs expressions (Eqs. 3.6), l’unité des déformations est (m/m) oubien
sans unité tout simplement. Le sens physique de cette unité est l’allongement par
unité de longueur pour les déformations normales et la variation d’angle en radian
pour les distorsions.
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 40
3.2.5 Déformation volumique
Elle est définie par la variation unitaire du volume :
e =�V
V(3.9)
avec : V le volume initial et �V la variation du volume.
Cette déformation peut être reliée aux déformations normales de la façon sui-
vante ; soit un élément volumique de dimensions initiales dx⇥ dy⇥ dz, après défor-
mation ces dimensions deviennent (dx+"x
dx)⇥ (dy+"y
dy)⇥ (dz+"z
dz) (Fig. 3.4).
Déformation
Figure 3.4 – Elément volumique soumis à des déformations normales
Volume initial : V = dx⇥ dy ⇥ dz
Volume final : V + dV = (dx+ "x
dx)⇥ (dy + "y
dy)⇥ (dz + "z
dz)
= dx⇥ dy ⇥ dz(1 + "x
)(1 + "y
)(1 + "z
)
Déformation volumique : e = �V
V
=
(V+�V )�V
V
=
dx⇥dy⇥dz[(1+"x)(1+"y)(1+"z)�1]dx⇥dy⇥dz
d’où : e = (1 + "x
)(1 + "y
)(1 + "z
)� 1
En détaillant cette dernière expression on obtient :
e = "x
+ "y
+ "z
+ "x
"y
+ "x
"z
+ "y
"z
+ "x
"y
"z
Dans le cadre des petites déformations, les termes de degrés élevés peuvent être
négligés, c’est à dire : "x
"y
⇡ 0, "x
"z
⇡ 0, "y
"z
⇡ 0, "x
"y
"z
⇡ 0, la déformation
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 41
volumique s’exprime alors dans ce cas :
e = "x
+ "y
+ "z
(3.10)
3.2.6 Application
Sous l’effet d’un chargement extérieur les particules d’un corps solide subissent
le champs de déplacement défini dans un repère Oxyz par les composantes :
u = (x2 + 10)10
�2, v = (2yz)10�2 et w = (z2 � xy)10�2.
Déterminer le tenseur de déformation ainsi que la déformation volumique en un
point de coordonnées (0, 2, 1).
Réponse
• Tenseur de déformations en fonction de x, y et z :
"x
=
@u
@x
= 2x⇥ 10
�2, "y
=
@v
@y
= 2z ⇥ 10
�2, "z
=
@w
@z
= 2z ⇥ 10
�2
"xy
=
12
⇣@u
@y
+
@v
@x
⌘= 0, "
xz
=
12
�@u
@z
+
@w
@x
�= �1
2y ⇥ 10
�2
"yz
=
12
⇣@v
@z
+
@w
@y
⌘=
12(2y � x)⇥ 10
�2
D’où : ["] =
2
6664
2x 0 �12y
0 2z 12(2y � x)
�12y
12(2y � x) 2z
3
7775⇥ 10
�2
• Tenseur de déformations au point (0, 2, 1) : ["] =
2
6664
0 0 �1
0 2 2
�1 2 2
3
777510
�2
• Déformation volumique au point (0, 2, 1) : e = "x
+ "y
+ "z
= 4⇥ 10
�2
3.3 Changement du repère de référence
On peut démontrer par des considérations géométriques que les procédures de
transformation du tenseur de déformation sont les mêmes que celles du tenseur de
contraintes.
L’expression du tenseur de déformation dans un repère (O,X 0, Y 0, Z 0) par rap-
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 42
port au repère de référence initial (O,X, Y, Z) est :
⇥"0⇤= [A] ["] [A]
T (3.11)
avec [A] est la matrice de transformation composée des cosinus directeurs des
axes du repère (O,X 0, Y 0, Z 0) par rapport au repère (O,X, Y, Z) (Eq. 1.5).
Cas particulier : Cas de rotation plane (2D)
Dans le cas particulier d’une transformation dans un repère (O,X 0, Y 0, Z 0) qui
s’obtient par rotation du repère (O,X, Y, Z) autour de son axe Z d’un angle ✓ (Fig.
3.5), l’équation 3.11 aboutit aux expression suivantes pour les déformations "x
0 et
"x
0y
0 :
O
Z' Z
X
Y
X'
Y'
Figure 3.5 – Rotation plane du repère de référence initial
8><
>:
"x
0= "
x
cos
2 ✓ + 2"xy
cos ✓ sin ✓ + "y
sin
2 ✓ (a)
"x
0y
0= � ("
x
� "y
) cos ✓ sin ✓ + "xy
�cos
2 ✓ � sin
2 ✓�
(b)
(3.12)
Ces expression sont particulièrement utiles pour la détermination du tenseur de dé-
formation dans la pratique de mesure des déformations par les jauges de déformation
(voir en section 3.6).
3.4 Déformations principales et directions principales
De façon similaire aux contraintes, on démontre qu’en un point d’un milieu
déformé, il y a trois directions principales suivant lesquelles se produisent trois dé-
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 43
formations principales. Ces déformations sont les solutions de l’équation :
� �3+ I
"1�2 � I
"2�+ I"3 = 0 (3.13)
avec I"i
sont les invariants du tenseur de déformations, ils ont pour expressions :
8>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:
I"1 = "
x
+ "y
+ "z
= "pp
I"2 =
�������
"x
"xy
"xy
"y
�������+
�������
"x
"xz
"xz
"z
�������+
�������
"y
"yz
"yz
"z
�������= "
x
"y
+ "x
"z
+ "y
"z
� "2xy
� "2xz
� "2yz
I"3 = det ["] = "
x
"y
"z
� "x
"2yz
� "y
"2xz
� "z
"2xy
+ 2"xy
"xz
"yz
(3.14)
Les déformations principales sont notées "1, "2 et "3, par convention elles sont
numérotées tel que : "1 � "2 � "3.
3.5 Cercle de Mohr
Comme pour les contraintes pour un cas de déformations 2D, les déformations
normale et distorsionnelle varient en fonction de la direction suivant un cercle dans
le plan de Mohr�", �2�, c’est le cercle de Mohr (Fig. 3.6).
r
a
Figure 3.6 – Cercle de Mohr pour les déformations
Si le tenseur de déformation est ["] =
2
4 "x
"xy
"xy
"y
3
5, les propriétés du cercle de
Mohr caractéristique notamment l’abscisse du centre et le rayon du cercle sont res-
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 44
pectivement :
a =
"x
+ "y
2
=
"1 + "22
et r =
s✓"x
� "y
2
◆2
+
⇣�xy
2
⌘2=
"1 � "22
Les remarques faites sur le cercle de Mohr de contraintes relatives à la convention
de signe et l’utilisation reste valable pour le cercle de Mohr de déformations.
3.6 Mesure des déformations : jauges de déformation
électriques
Les jauges de déformation électriques sont des filaments électriques fins résistifs
de petites dimensions (Fig. 3.7a). Pour mesurer la déformation normale en un point
d’une surface suivant une direction donnée, le filament est bien collé sur la surface
suivant la même direction pour recevoir la même déformation.
(a) (b)
dir.1
dir.2dir.3
Direction de la jauge
Figure 3.7 – (a) Jauge de déformation, (b) Rosette à 60
�
La déformation normale " est obtenue par la mesure de la variation de la résis-
tance électrique du filament, moyennant la relation :
" =
✓1
1 + 2⌫
◆�R
R(3.15)
où R est la résistance initiale de la jauge, �R est la variation de résistance et ⌫
est le coefficient de Poisson du matériau du filament. Une démonstration de cette
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 45
relation est donnée en note de bas de page 1.
Etant donné que l’état de déformation en un point d’une surface libre se carac-
térise par trois déformations indépendantes ("x
, "y
et "xy
par exemple). La déter-
mination du tenseur de déformations en un point superficiel requiert la mesure des
déformations normales suivant au moins trois directions différentes. Des rosettes de
jauges de différentes configurations sont alors utilisées. La figure 3.7b montre un
exemple d’une rosette à 60
�, où l’angle entre chaque deux jauges est de 60
�.
3.6.1 Application
Pour trouver l’état de déformation en un point O d’une surface d’un corps solide,
on utilise une rosette à 60
�. Les jauges sont disposées suivant les directions 0
�,
60
� et 120
� par rapport à l’axe x d’un repère Oxy. Les mesures effectuées sont :
"0 = 190⇥ 10
�6, "60 = 200⇥ 10
�6 et "120 = �300⇥ 10
�6.
Déterminer le tenseur de déformation par rapport au repère Oxy.
Réponse :
Utilisons la relation donnant la déformation normale suivant une direction ✓ (Eq.
3.12a) : 8>>>>><
>>>>>:
"0 = "(✓ = 0
�) = "
x
"60 = "(✓ = 60
�) =
14"x +
p32 "
xy
+
34"y
"120 = "(✓ = 120
�) =
14"x �
p32 "
xy
+
34"y
La résolution de ce système d’équation permet de déduire les déformations : "x
=
190⇥ 10
�6, "y
= �130⇥ 10
�6 et "xy
=
1000p3⇥ 10
�6.
1. Démonstration :
Résistance électrique du filament : R = ⇢LA
, avec ⇢ : résistivité, L : longueur, A : section.
Prenant la différentielle totale de la résistence : dR =
LAd⇢+
⇢AdL� ⇢L
A2 dA
Tenant compte de l’expression de la résistance, il en résulte :
dRR
=
d⇢⇢
+
dLL
� dAA
(a)
D’autres parts, pour un filament de section circulaire : A = 2⇡r2 avec r le rayon,
dAA
=
2drr
Si on pose
dLL
= ", on peut écrire :
drr
= �⌫" avec ⌫ le coefficient de Poisson du matériau du
filament. Par conséquence :
dAA
= �2⌫"En plaçant ces expressions dans l’équation (a) et en négligeant la variation de la résistivité on
obtient :
dRR
= (1 + 2⌫)"
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 46
3.7 Equations de compatibilité des déformations
Il existe six (06) composantes de déformation qui s’obtiennent par dérivation de
trois (03) fonctions de déplacements. Par conséquence, même si les déplacements sont
quelconques, les déformations ne peuvent pas être indépendantes. Il devrait exister
donc trois relations entre les déformations, ce sont les équations de compatibilité,
elles sont dues à Saint-Venant (1864).
Ces équations s’obtiennent comme suit :
3.7.1 Cas 2D
Considérons les expressions des déformations :
"x
=
@u
@x
(a)
"y
=
@v
@y
(b)
�xy
=
@u
@y
+
@v
@x
(c)
Dérivons l’équation (a) deux fois par rapport y, l’équation (b) deux fois par
rapport x et l’équation (c) une fois par rapport x et une fois par rapport y, on
obtient :
@
2"x
@y
2 =
@
3u
@x@y
2 (a0)
@
2"y
@x
2 =
@
3v
@x
2@y
(b0)
@
2�xy
@x@y
=
@
3u
@x@y
2 +
@
3v
@x
2@y
(c0)
Des équations (a0), (b0) et (c0) découle l’équation :
@
2"x
@y
2 +
@
2"y
@x
2 =
@
2�xy
@x@y
(3.16)
c’est l’équation de compatibilité des déformations dans le cas 2D (il existe une seule
équation dans ce cas.)
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 47
3.7.2 Cas 3D
Par des transformations similaires on obtient les équations :
@
2"x
@y
2 +
@
2"y
@x
2 =
@
2�xy
@x@y
@
2"x
@z
2 +
@
2"z
@x
2 =
@
2�xz
@x@z
@
2"y
@z
2 +
@
2"z
@y
2 =
@
2�yz
@y@z
2
@
2"x
@y@z
=
@
@x
⇣�@�yz
@x
+
@�xz
@y
+
@�xy
@z
⌘
2
@
2"y
@x@z
=
@
@y
⇣@�yz
@x
� @�xz
@y
+
@�xy
@z
⌘
2
@
2"z
@x@y
=
@
@z
⇣@�yz
@x
+
@�xz
@y
� @�xy
@z
⌘
(3.17)
Remarques :
1. Bien qu’elles sont au nombre de six (06), ces équations ont un degré d’indé-
pendance de trois (03).
2. Du point de vue physique, ces équations imposent la continuité des déplace-
ments, par conséquence la continuité du milieu après déformation.
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 48
Exercices
Exercice 1 : Soit la plaque de caoutchouc ABCD montrée sur la figure 3.8(a). Sous
l’effet d’un chargement dans son plan, cette plaque prend une nouvelle configuration
AB0C 0D0 comme montré sur la même figure. Déterminer le tenseur de déformation
par rapport au repère xy, discuter le résultat obtenu.
Exercice 2 : Soit une plaque carrée de caoutchouc ABCD de coté a. Sous l’effet
d’un chargement dans son plan, la plaque est déformée uniformément en AB0C 0D
comme montré sur la figure 3.8(b).
1. Déterminer la déformation longitudinale subie par chacune des diagonale AC
et BD ainsi que leurs longueurs finales (AC 0 et BD0).
2. Déterminer le changement d’angle entre les diagonales après déformation.
AB
D D'
C'
C
y
x
2a
a
0,04a0,04a
0,08a
0,08a
A B
D D' C'C
y
xa
a
0,06a0,06a
(a) (b)
Figure 3.8 – (a) Exercice 1, (b) Exercice 2.
Exercice 3 : Le système de jauges disposées selon le schéma montré sur la figure
3.9(a) est appelé rosette delta. Si la rosette est collée autour d’un point O les défor-
mations mesurées sont : "a
= 900⇥ 10
�6, "b
= �450⇥ 10
�6 et "c
= 600⇥ 10
�6.
1. Déterminer le tenseur de déformations par référence au repère Oxy.
2. Vérifier que la déformation longitudinale maximale n’excède pas la limite
admissible qui est de 1100⇥ 10
�6.
Remarque : la rosette delta est de très faibles dimensions de sorte qu’il peut être supposé que les
trois jauges sont collées sur le même point.
Chapitre 3. Etat de déformation en un point 49
Exercice 4 : Une plaque mince en matériau élastique linéaire et isotrope, est sou-
mise à un chargement dans son plan. Les déformations mesurées au point (O) dans
les directions a et b (voir figure 3.9(b)) sont : "a
= 36 ⇥ 10
�4, "b
= 62 ⇥ 10
�4 et
�ab
= 0. Déterminer le tenseur de déformation au point (O) par référence au repère
Oxyz.
Exercice 5 : On considère une plaque mince chargée dans son plan, attachée d’un
coté et soumise de l’autre coté à une charge répartie p(y). L’attachement est fait de
sorte que tous les points de l’extrémité attachée (x = 0) peuvent coulisser librement
dans la direction verticale sauf le point (x = y = 0) qui est bloqué (voir figure 3.9(c)).
De cette façon les contraintes verticale et de cisaillement sont partout nulles. Les
déformations résultantes dans le plan xy ont pour expressions :
"x
= 4xy ⇥ 10
�4m�2, "y
= �xy ⇥ 10
�4m�2, �xy
= 0.
1. Est-ce-que ces déformations sont compatibles ?
2. Ecrire les conditions aux frontières du problème.
3. Déterminer l’expression du déplacement horizontal u(y) à l’extrémité x =
50cm. Donner le déplacement maximal ainsi que le point ou il se produit.
x
y
O60° 60°
60°
a
bc
(a) (b)
x
y
z
b
a
O
(c)
p(y)
50cm
30cm
x
y
z
Figure 3.9 – (a) Exercice 3, (b) Exercice 4, (c) Exercice 5.
Chapitre 4
Equations constitutives ; relations
contraintes - déformations pour
les solides élastiques linéaires
4.1 Introduction
On s’intéresse dans ce chapitre aux équations caractérisant le comportement
mécanique du matériau, c’est à dire sa réaction à un chargement appliqué. De telles
équations sont appelées équations constitutives.
Un matériaux élastique est un matériau qui reprend sa forme initiale après éli-
mination des charges qui lui sont appliquées.
Dans le domaine élastique et pour la majorité des matériaux il y a une phase
pour laquelle la déformation est proportionnelle à la contrainte appliquée. Dans cette
phase le comportement du matériau est dit élastique linéaire. C’est à ce comporte-
ment que l’on s’intéresse dans ce cours.
4.2 Loi de Houke dans le cas d’une sollicitation unidi-
rectionnelle
Considérons une barre soumise à une force axiale dans la phase élastique linéaire.
La relation entre la contrainte appliquée (�) et et la déformation normale dans la
même direction (") s’écrit :
� = E" (4.1)
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 51
x x
yy
Figure 4.1 – Illustration de l’effet de Poisson
E : est appelé module de déformation longitudinale oubien module de Young et la
relation 4.1 est appelée loi de Houke.
Il est remarqué expérimentalement qu’une déformation normale dans la direction
longitudinale s’accompagne d’une déformation normale dans la direction transver-
sale, proportionnelle mais de signe inverse, c’est l’effet de Poisson (Fig. 4.1).
Référons nous à la figure 4.1, la contrainte � est appliquée dans direction x, donc
�x
= �, la déformation normale dans la direction x selon la loi de Houke est "x
=
�
E
.
La déformation normale dans la direction transversale y causée par la contrainte �x
s’obtient par la relation :
"y
= �⌫ �xE
(4.2)
où ⌫ est appelé coefficient de Poisson.
4.3 Loi de Hooke généralisée
Dans le cas d’un état de contraintes 3D, la loi de Houke s’écrit sous la forme la
plus générale suivante :
8>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>:
"x
"y
"z
�xy
�xz
�yz
9>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>;
=
2
6666666666664
c11 c12 c13 c14 c15 c16
c21 c22 c23 c24 c25 c26
c31 c32 c33 c34 c35 c36
c41 c42 c43 c44 c45 c46
c51 c52 c53 c54 c55 c56
c61 c62 c63 c64 c65 c66
3
7777777777775
8>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>:
�x
�y
�z
⌧xy
⌧xz
⌧yz
9>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>;
(4.3)
cij
sont 36 constantes dépendantes du matériau.
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 52
(a) (b)
1 2 3
Figure 4.2 – Décomposition de l’application de l’état de contrainte par étapes.
4.4 Loi de Houke dans le cas d’un matériau élastique
linéaire et isotrope
En admettant que les déformations normales ne sont produites que par des
contraintes normales et que les déformations de cisaillement ne sont produites que
par des contraintes de cisaillement agissantes dans leurs directions, et pour les
matériaux isotropes (mêmes constantes dans toutes les directions), le nombre de
constantes indépendantes cij
se trouve réduit à 2 seulement (nous le démontrerons
plus bas).
Pour déterminer ces constantes supposons que les déformations sont suffisam-
ment petites, de façon que l’on reste dans le domaine élastique linéaire en appliquant
la superposition des effets. Considérons un élément 2D rectangulaire d’épaisseur
unité, soumis à un état plan de contrainte (Fig.4.2a). Cet état de contrainte peut
être vu comme appliqué en trois étapes ; �x
puis �y
et ensuite ⌧xy
(Fig. 4.2b).
Ces contraintes appliquées par étapes produisent les déformations :
1. Application de �x
! déformations :
8><
>:
"x
=
�xE
"y
= �⌫ �xE
2. Application de �y
! déformations :
8><
>:
"y
=
�y
E
"x
= �⌫ �y
E
Les déformations résultantes de l’application de �x
et �y
simultanément s’ob-
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 53
tiennent par superposition de leurs effets, soit :
8><
>:
"x
=
�xE
� ⌫�y
E
"y
=
�y
E
� ⌫ �xE
3. Pour la contrainte de cisaillement seule, il est montré expérimentalement que
la déformation est proportionnelle à la contrainte, elle s’exprime donc :
�xy
=
⌧xy
G
avec G est le module de déformation transversal (ou de cisaillement).
D’une façon similaire on aboutit dans le cas général 3D aux relations :
8>>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>>:
"x
=
1E
[�x
� ⌫ (�y
+ �z
)]
"y
=
1E
[�y
� ⌫ (�x
+ �z
)]
"z
=
1E
[�z
� ⌫ (�x
+ �y
)]
�xy
=
⌧xy
G
�xz
=
⌧xzG
�yz
=
⌧yz
G
(4.4)
oubien sous la forme matricielle :
8>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>:
"x
"y
"z
�xy
�xz
�yz
9>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>;
=
2
6666666666664
1E
� ⌫
E
� ⌫
E
0 0 0
� ⌫
E
1E
� ⌫
E
0 0 0
� ⌫
E
� ⌫
E
1E
0 0 0
0 0 0
1G
0 0
0 0 0 0
1G
0
0 0 0 0 0
1G
3
7777777777775
8>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>:
�x
�y
�z
⌧xy
⌧xz
⌧yz
9>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>;
(4.5)
Cette équation s’écrit couramment sous la forme simple :
{"} = [C] {�} (4.6)
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 54
Ces relations (Eqs. 4.4 ou 4.5) représentent la loi de Houke généralisée pour un
matériau élastique linéaire isotrope.
4.4.1 Relation entre les constantes élastiques
Les relations 4.4 ou 4.5 montrent que les constantes caractérisant le matériau
sont au nombre de 3 à savoir E, ⌫ et G. Néanmoins on peut montrer qu’il existe
une relation entre ces constantes, par concéquence le nombre de constantes indépen-
dantes se réduit à 2.
Considérons un cas de contrainte 2D de cisaillement pur (Fig.4.3a). Cet état de
contrainte possède deux directions principales faisant des angles ⇡
4 et 3⇡4 par rapport
à l’axe x du repère de référence (Fig.4.3b). Les contraintes principales sont �1 = ⌧xy
et �2 = �⌧xy. En appliquant la loi de Houke on obtient les déformations principales :
OO
(a) (b)
x
y
x
y
(c)
Figure 4.3 – (a) Etat de cisaillement pur, (b) Directions et contraintes principalescorrespondantes, (c) Cercle de Mohr des déformations correspondantes.
8><
>:
"1 =�1E
� ⌫ �2E
=
1+⌫
E
⌧xy
"2 =�2E
� ⌫ �1E
= �1+⌫
E
⌧xy
(a)
En traçant le cercle de Mohr des déformations (Fig. 4.3c) on peut obtenir la défor-
mation de cisaillement dans le repère Oxy :
�xy
2
= "1 ) �xy
= 2"1
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 55
En tenant compte des équations (a)�"1 =
1+⌫
E
⌧xy
�on obtient :
�xy
= 2
1 + ⌫
E⌧xy
En comparant cette équation à celle donné par la loi de Houke : �xy
=
⌧xy
G
, on
obtient :
G =
E
2(1 + ⌫)(4.7)
Cette relation réduit le nombre de constantes indépendantes intervenant dans la loi
de Houke à 2 pour un matériau élastique linéaire et isotrope.
En tenant compte de cette relation, la loi de Houke (Eq. 4.5) s’écrit en termes
de deux constantes sous la forme :
8>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>:
"x
"y
"z
�xy
�xz
�yz
9>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>;
=
1
E
2
6666666666664
1 �⌫ �⌫ 0 0 0
�⌫ 1 �⌫ 0 0 0
�⌫ �⌫ 1 0 0 0
0 0 0 2(1 + ⌫) 0 0
0 0 0 0 2(1 + ⌫) 0
0 0 0 0 0 2(1 + ⌫)
3
7777777777775
8>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>:
�x
�y
�z
⌧xy
⌧xz
⌧yz
9>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>;
(4.8)
oubien sous la forme inverse :
8>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>:
�x
�y
�z
⌧xy
⌧xz
⌧yz
9>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>;
=
2
6666666666664
�+ 2G � � 0 0 0
� �+ 2G � 0 0 0
� � �+ 2G 0 0 0
0 0 0 G 0 0
0 0 0 0 G 0
0 0 0 0 0 G
3
7777777777775
8>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>:
"x
"y
"z
�xy
�xz
�yz
9>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>;
(4.9)
avec � =
⌫E
(1+⌫)(1�2⌫ ) est la constante de Lamé.
Sous forme indicielle les relations 4.8 et 4.9 s’écrivent respectievement :
"ij
=
1
E[(1 + ⌫)�
ij
� ⌫�pp
�ij
] (4.10)
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 56
�ij
= 2G"ij
+ �"pp
�ij
(4.11)
avec (pour rappel) : "ij
=
12�ij pour les distorsions (i.e. i 6= j).
4.4.2 Module de déformation volumique
C’est une constante élastique du matériau qui relie la déformation volumique à
la contrainte normale moyenne. Il est déterminé de la façon suivante.
Soit :
• les déformations normales :
"x
=
1E
[�x
� ⌫ (�y
+ �z
)]
"y
=
1E
[�y
� ⌫ (�x
+ �z
)] (a)
"z
=
1E
[�z
� ⌫ (�x
+ �y
)]
• et la contrainte normale moyenne
�0 =13(�x + �
y
+ �z
) (c)
En utilisant les équations (a) et (c), la déformation volumique peut être exprimer
en terme de la contrainte normale moyenne comme suit :
e = "x
+ "y
+ "z
=
1� 2⌫
E(�
x
+ �y
+ �z
) =
3(1� 2⌫)
E�0
d’où la relation :
e =�0K
(4.12)
K est le module de déformation volumique donné par :
K =
E
3(1� 2⌫)(4.13)
Il est appelé en anglais the bulk modulus.
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 57
4.4.3 Intervalle de variation du coefficient de Poisson
Le coefficient de Poisson est limité par des bornes inférieure et supérieure, ces
bornes sont définies en tenant compte des considérations suivantes :
• Le coefficient de Poisson se définit dans le cas d’une sollicitation unidirec-
tionnelle �x
à partir de l’équation 4.2 par :
⌫ = �"y
"x
(4.14)
"y
étant une déformation causée par la contrainte �x
, elle est naturellement
de signe inverse à "x
=
�xE
, par conséquence l’équation 4.14 donne toujours
des valeurs positives ⌫ � 0 .
• Etant donné que la déformation volumique doit avoir naturellement le même
signe que la contrainte normale moyenne provocante (Eq. 4.12), il est néces-
saire que le module de déformation volumique (Eq. 4.13) soit positif. Ainsi :E
3(1�2⌫) � 0 ) ⌫ 0, 5
Le coefficient de Poisson est donc borné par :
0 ⌫ 0, 5 (4.15)
4.5 Energie de déformation
Lorsqu’un corps solide est soumis à des forces externes, il subit des déformations
(Fig.4.4)
état initial
état final
Figure 4.4 – Corps déformé sous l’effet d’un système de forces.
Si ces déformations sont élastiques, le travail fait par le système de forces est
emmagasiné dans le corps sous forme d’énergie dite énergie de déformation.
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 58
Soit un élément de volumique (dx.dy.dz) soumis à une contrainte axiale �x
(Fig.
4.5a). La contrainte est appliquée d’une façon statique (appliquée lentement de
manière que les effets inertiels soient négligeables).
dx
dz
dy
y
x
z
(a) (b)
dz
dx
dy
y
x
z
Figure 4.5 – Element de dimensions dx.dy.dz déformé ; (a) sous l’effet d’unecontrainte normale �
x
, (b) sous l’effet d’une contrainte de cisaillement ⌧xy
.
Le travail réalisé par la force (�x
.dy.dz) est :
dW =
Z"x
0�x
dydz(d"x
dx)
Ce travail est emmagasiné dans l’élément volumique (dx.dy.dz) sous forme d’énergie
de déformation dU , qui s’exprime ainsi :
dU = dxdydz
Z"x
0�x
d"x
(4.16)
La densité d’énergie de déformation ou l’énergie par unité de volume peut être définie
en conséquence par :
U0 =
Z"x
0�x
d"x
(4.17)
En introduisant la loi de Houke, U0 peut être exprimée sous différentes formes soit :
U0 =
Z"x
0E"
x
d"x
=
1
2
E"2x
=
1
2
�x
"x
(4.18)
L’énergie de déformation élastique associée à la déformation de cisaillement peut
être définie d’une façon similaire. Pour une contrainte appliquée ⌧xy
(Fig. 4.5b), la
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 59
densité d’énergie de déformation peut être exprimée sous les différentes formes :
U0 =
Z�xy
0⌧xy
d�xy
=
Z�xy
0G�
xy
d�xy
=
1
2
G�2xy
=
1
2
⌧xy
�xy
(4.19)
Ainsi, dans le cas général où toutes les composantes de contraintes existent, la densité
d’énergie de déformation s’écrit :
U0 =1
2
(�x
"x
+ �y
"y
+ �z
"z
+ ⌧xy
�xy
+ ⌧xz
�xz
+ ⌧yz
�yz
) (4.20)
La densité d’énergie de déformation peut être exprimée en termes de contraintes ou
de déformations seules en introduisant la loi de Houke généralisée (Eqs. 4.8 ou 4.9)
soit :
U0 =1
2E
��2x
+ �2y
+ �2z
�� ⌫
E(�
x
�y
+ �x
�z
+ �y
�z
) +
1
2G
�⌧2xy
+ ⌧2xz
+ ⌧2yz
�(4.21)
ou bien
U0 =1
2
⇥�e2 + 2G
�"2x
+ "2y
+ "2z
�+G
��2xy
+ �2xz
+ �2yz
�⇤(4.22)
L’énergie totale de déformation emmagasinée dans un corps solide déformé s’obtient
par l’intégration de la densité d’énergie sur tous le volume :
U =
Z
V
U0dV (4.23)
où V est le volume du corps.
4.5.1 Application
Calculer l’énergie de déformation emmagasinée dans une barre de section trans-
versale A, de longueur L et de module de Young E, soumise à son extrémité à une
force axiale N .
Réponse
Si on suppose que la barre est rattaché à un repère Oxyz avec l’axe de la barre
est x, les contraintes dans la barre sont : �x
=
N
A
et �y
= �z
= ⌧xy
= ⌧xz
= ⌧yz
= 0.
Densité d’énergie de déformation (Eq. 4.21) : U0 =12E�2
x
=
12E
�N
A
�2
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 60
Energie emmagasinée dans la barre (Eq. 4.23) : U =
RV
12E
�N
A
�2dV =
12E
�N
A
�2AL
D’où : 12E
L
A
N2
4.6 Influence de la température
Sous l’effet de la variation de température, un milieu continu subit des défor-
mations volumiques. Considérons un élément infinitésimal de dimensions dxdydz
libre de se déformer et soumis à une variation de température �T , les déformations
résultantes alors sont :
"Tx
= "Ty
= "Tz
= ↵�T (4.24)
et
�Txy
= �Txz
= �Tyz
= 0 (4.25)
↵ est appelé coefficient de dilatation thermique du milieu.
Ces déformations s’écrivent en notation indicielle :
"Tij
= ↵�T �ij
(4.26)
Si le milieu est soumis à la fois à une variation de température et à des forces
extérieures, les expressions des déformations deviennent :
"x
=
1E
[�x
� ⌫ (�y
+ �z
)] + ↵�T
"y
=
1E
[�y
� ⌫ (�x
+ �z
)] + ↵�T
"z
=
1E
[�z
� ⌫ (�x
+ �y
)] + ↵�T
�xy
=
⌧xy
G
�xz
=
⌧xzG
�yz
=
⌧yz
G
(4.27)
ou bien en notation indicielle :
"ij
=
1
E[(1 + ⌫)�
ij
� ⌫�pp
�ij
] + ↵�T �ij
(4.28)
Les relations inverses, c’est à dire les contraintes en fonction des déformations
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 61
peuvent être obtenues à partir de ces équations (Eqs. 4.27 et 4.28), soit en notation
indicielle :
�ij
= 2G"ij
+ �"pp
�ij
� (3�+ 2G)↵�T �ij
(4.29)
Remarques :
1. Pour un corps libre de se déformer et soumis seulement à une variation de
température uniforme, les déformations prennent les valeurs : "x
= "y
= "z
=
↵�T et les contraintes résultantes sont nulles c’est à dire �x
= �y
= �z
= 0.
2. La variation de température provoque des contraintes supplémentaire dans
le corps si la déformation est empêché ou bien lorsque la distribution de �T
n’est pas uniforme.
4.6.1 Exercice d’application :
Pour une barre de d = 20mm de diamètre faisant partie d’une machine, il est
nécessaire de maintenir la section transversale constante. Si la barre est soumise à
une variation de température de 200
�C, quel est l’effort de traction nécessaire pour
maintenir la section transversale constante ?. On donne : Le coefficient de dilatation
thermique ↵ = 11.7 ⇥ 10
�6/�C , le coefficient de Poisson ⌫ = 0.25 et le module de
Young E = 200GPa.
Réponse :
Supposons que la barre est rattachée à une repère Oxyz avec l’axe de la barre
est x.
Maintenir le diamètre de la barre constant, c’est imposer la condition :
"y
= 0 ou bien "z
= 0 (a)
A partir des équations 4.27 :
"y
=
1
E[�
y
� ⌫ (�x
+ �z
)] + ↵�T (b)
La barre étant soumise à un effort de traction seul, alors :
�x
=
N
A, �
y
= �z
= 0 (c)
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 62
Avec A = ⇡d2/4 est la section de la barre.
Substituons ces contraintes dans l’expression (c) et tenons compte de la condition
(a) on obtient :
� ⌫
E
N
A+ ↵�T = 0
d’où
N =
A.E.↵�T
⌫=
⇡d2.E.↵�T
4⌫
Application numérique :
N =
⇡ ⇥ (20)
2 ⇥ 200⇥ 10
3 ⇥ 11, 7⇥ 10
�6 ⇥ 200
4⇥ 0, 25= 588106, 14N = 588, 1kN
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 63
Exercices
Exercice 1 : Soit un point d’un corps en acier de modules de déformation E =
200GPa et G = 80GPa.
1. Déterminer l’état de déformation en ce point, si l’état de contrainte est donné
par le tenseur [�] =
2
6664
20 �4 5
�4 0 10
5 10 15
3
7775MPa
2. Déterminer l’état de contrainte auquel est soumis le point si l’état de défor-
mation est donné par le tenseur ["] =
2
6664
2 1 0
1 3 4
0 4 0
3
7775⇥ 10
�4
Exercice 2 : Une barre de diamètre initial 60mm est soumise à une compression
axiale par une force de 200kN . Déterminer le diamètre de la barre après déformation.
On donne E = 85GPa et ⌫ = 0, 3.
Exercice 3 : En un point d’un corps solide élastique linéaire et isotrope, les défor-
mations principales "3, "2, "1 sont dans les rapports 3 : 4 : 5, la contrainte principale
majeure est �1 = 140MPa. Déterminer les rapports �3 : �2 : �1 et les valeurs de �2
et �3 . Prendre ⌫ = 0, 3.
Exercice 4 : Un cas de déformations planes se définit comme un cas où le dépla-
cement suivant une direction est empêché, les déformations ne peuvent se produire
ainsi que dans le plan orthogonal. Si z est la direction suivant laquelle le déplace-
ment est bloqué on peut écrire : "z
= �xz
= �yz
= 0. Dans ce cas les relations �-"
s’écrivent sous la forme matricielle :
8>>><
>>>:
"x
"y
�xy
9>>>=
>>>;=
hCi
8>>><
>>>:
�x
�y
⌧xy
9>>>=
>>>;.
1. Déterminer la matricehCi.
2. Que serait la matricehCi
s’il s’agit d’un cas de contraintes planes c’est à
dire �z
= ⌧xz
= ⌧yz
= 0.
Exercice 5 : Une barre élastique linéaire de constantes élastiques E et ⌫, est soumise
Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides
élastiques linéaires 64
à un effort axial sans pouvoir se dilater latéralement. Si la direction axiale est x,
déterminer son module d’élasticité apparent (Ex
= �x
/"x
) en fonction de E et ⌫.
Exercice 6 : Soit le tenseur de contraintes [�] =
2
6664
200 20 10
20 60 0
10 0 40
3
7775MPa, représentant
l’état de contraintes en un point d’un milieu élastique linéaire et isotrope (E =
200GPa, ⌫ = 0, 25).
1. Déterminer les tenseurs sphériques et déviateur associés à [�].
2. Pour les deux tenseurs de contraintes, déterminer les tenseurs de déformations
résultants, ainsi que les déformations volumiques associées.
Exercice 7 : Afin de mesurer les propriétés élastiques du matériau d’une plaque
carrée, celle-ci est équipée de deux (2) jauges de déformation orthogonales collées
comme montré sur la figure ci-dessous, la plaque est ensuite soumise à des contraintes
dans son plan. Si pour des contraintes �x
= 8MPa, �y
= 4MPa et ⌧xy
= 4MPa ,
les déformations mesurées sont : "a
= 9, 5⇥ 10
�5 et "b
= �0, 5⇥ 10
�5 , quelles sont
les valeurs du module de Young (E) et du coefficient de Poisson (⌫) du matériau ?
x
y
45°
ab
Chapitre 5
Equations générales de l’élasticité
linéaire
5.1 Introduction
L’objet de ce chapitre est de présenter les méthodes de formulation et éventuel-
lement les méthodes de résolution de quelques problèmes de l’élasticité linéaire. La
formulation d’un problème veut dire la mise en équations de ses inconnus. Pour
un problème d’un solide déformé les inconnus principaux sont : les déplacements
ui
(x1, x2, x3), les contraintes �ij
(x1, x2, x3) et les déformations "ij
(x1, x2, x3).
5.2 Bilan des équations et des inconnus
• Inconnus : Il y a 15 inconnus à déterminer à savoir 3 déplacements, 6
contraintes et 6 déformations.
• Equations :
— 3 équations d’équilibre �ij
+ fi
= 0
— 6 relations déformations - déplacements "ij
=
12 (ui,j + u
j,i
)
— 6 relations contraintes - déformations �ij
= 2G"ij
+ �"pp
�ij ou inverse-
ment "ij
=
1E
[(1 + ⌫)�ij
� ⌫�pp
�ij]
Bilan : 15 équations pour 15 inconnus ) résolution possible du problème.
Remarque : Lorsque les déplacements sont exclus de la formulation, on se retrouve
avec 12 inconnus (6 contraintes et 6 déformations) et seulement 9 équations (3
équations d’équilibre et 6 relations contraintes - déformations). Dans ce cas, il est
nécessaire de faire appel aux 3 équations de compatibilité des déformations.
Chapitre 5. Equations générales de l’élasticité linéaire 66
5.3 Conditions aux frontières
L’intégration des équations différentielles formulées devrait aboutir à des solu-
tions (fonctions) contenant des constantes d’intégration. Ces constantes s’obtiennent
à partir des conditions aux frontières qui sont de deux (02) types :
• Conditions de type contrainte : sur une frontière ou une portion de frontière
At
, les vecteurs contraintes ti
sont imposés, il est ainsi possible d’écrire des
équations de la forme �ij
nj
= ti
, où ni
défini les composantes de la normale
de la frontière au point considéré.
• Conditions de type déplacement : sur une frontière ou une portion de frontière
Au
, le déplacement est imposé, c’est à dire en un point de cette frontière on
écrit : ui
= ui
, avec ui
étant le déplacement donné.
Exemple : Considérons la barre représentée sur la figure suivante, encastrée d’un
bout et soumise de l’autre bout à une contrainte de traction �0, la surface latérale
de barre est libre.
x
y
z
Les conditions aux frontières du problème s’écrivent :
• Sur At1 : t
x
= �0 et ty
= tz
= 0
• Sur At2 : t
x
= ty
= tz
= 0
• Sur Au
: ux
= uy
= uz
= 0
5.4 Principe de Saint-Venant (1857)
"Si une distribution de forces agissante sur une portion de la surface d’un corps
est substituée par une autre distribution de forces agissante sur la même portion de
surface, alors les effets des deux distributions sur les parties du corps suffisamment
éloignées de la région d’application des forces, sont les mêmes à condition que
Chapitre 5. Equations générales de l’élasticité linéaire 67
les deux distributions de forces soient statiquement équivalentes (ont les mêmes
résultantes agissantes au même point)".
Exemple : Soit la plaque représentée sur la figure ci-dessous, soumise à des forces
réparties de compression q1 et q2 de différentes distributions.
q1
R1
M
q2
R2
M
Soit ~R1 et ~R2 les résultantes des forces q1 et q2 respectivement. Si ~R1 =
~R2 et,~R1 et ~R2 ont le même point d’application, alors les contraintes appliquées en un
point M de la plaque suffisamment éloigné de la surface d’application des forces
sont égales (par exemple pour les contraintes verticales �1 = �2.)
5.5 Théorème d’unicité
On admet sans démonstration le postulat due à Kirchhoff (1859) suivant : "la
solution d’un problème statique d’élasticité est unique".
5.6 Approches de formulation des problèmes d’élasticité
En fonction des inconnus en termes desquels les équations du problème sont
écrites, il existe deux approches différentes, notamment l’approche déplacements et
l’approche contraintes.
5.6.1 Approche déplacements
Elle consiste à écrire les équations du problème en termes des déplacements seuls
en partant des équations :Equations d’équilibre �
ij
+ fi
= 0 (a)
Relations contraintes - déformations �ij
= 2G"ij
+ �"pp
�ij (b)
Relations déformations - déplacements "ij
=
12 (ui,j + u
j,i
) (c)
Chapitre 5. Equations générales de l’élasticité linéaire 68
En substituant l’expression (b) dans l’équation (a), puis l’expression (c) dans
l’équation résultante on obtient l’équation :
(�+G)up,pi
+Gui,pp
+ fi
= 0 (5.1)
C’est l’équation de Navier, elle représente un système de trois (03) équations qui
s’écrivent en détail :8>>>>><
>>>>>:
(�+G)
@e
@x
+Gr2u+ fx
= 0
(�+G)
@e
@y
+Gr2v + fy
= 0
(�+G)
@e
@y
+Gr2w + fz
= 0
avec : r2=
@
2
@x
2 +
@
2
@y
2 +
@
2
@z
2 est l’opérateur Laplacien et e est la déformation
volumique ; e = @u
@x
+
@v
@y
+
@w
@z
.
5.6.2 Approche contraintes
Dans cette approche, en plus des équations d’équilibre qui sont en fonction des
contraintes, on écrit les équations de compatibilité des déformations en termes des
contraintes aussi. Ces équations s’écrivent en notation indicielle :
�ij,pp
+
1
1 + ⌫�pp,ij
= � ⌫
1� ⌫�ij
fp,p
� (fi,j
+ fj,i
) (5.2)
C’est l’équation de Beltrami-Mitchell, elle représente un système de six (06) équa-
tions ayant un de degré d’indépendance de trois (03) seulement. Ces équations sont
à utiliser avec les trois équations d’équilibre pour déterminer les six fonctions de
contraintes inconnues.
Remarque : En pratique il est difficile de résoudre analytiquement ces équations
qu’il soit par l’approche déplacements ou par l’approche contraintes. En effet peu
de solutions sont proposées et particulièrement pour les problèmes 3D.
Références bibliographiques
1. Continuum Mechanics, George E. Mase, 1970 by McGraw-Hill, Inc.
2. Advanced Strength and Applied Elasticity, A. C. Ugural and S. K. Fenster,
2003, 1995 by Pearson Education Inc.
3. Elasticity,Theory, Applications and Numerics, Martin H. Sadd, 2005, Elsevier
Inc.
Chapitre 5. Equations générales de l’élasticité linéaire 70
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