lieu des pÔles. lieu des pÔles partie réelle positive instable
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LIEU
DES
PÔLES
LIEU
DES
PÔLESPartie réelle positive Instable
Partie réelle positiv
e Instable
LIEU
DES
PÔLESPartie réelle positive Instable
Partie réelle positiv
e Instable
Partie réelle positive InstablePartie réelle négative Stable
CRITERE DE ROUTH
n n 3 n 1 n 21
n 1
a a a aL
a
Pn an an-2 an-4 . . .
Pn-1 an-1 an-3 . . . . . .
Pn-2 L1 L2 L3 . . .
Pn-3 K1 K2 K3 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
P2 C1 C2 C3 . . .
P1 B1 B2 B3 . . .
P0 A1 A2 A3 . . .
Colonne des pivots Colonne à droite de L1
Si tous les coefficients sont présents et sont de même signe,on dresse le tableau ci dessous :
n n 3 n 1 n 21
n 1
a a a aL
a
n n 5 n 1 n 42
n 1
a a a aL
a
Pn an an-2 an-4 . . .
Pn-1 an-1 an-3 . . . . . .
Pn-2 L1 L2 L3 . . .
Pn-3 K1 K2 K3 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
P2 C1 C2 C3 . . .
P1 B1 B2 B3 . . .
P0 A1 A2 A3 . . .
Colonne des pivots Colonne à droite de L2
CRITERE DE ROUTHSi tous les coefficients sont présents et sont de même signe,on dresse le tableau ci dessous :
n n 3 n 1 n 21
n 1
a a a aL
a
n n 5 n 1 n 42
n 1
a a a aL
a
n n 7 n 1 n 63
n 1
a a a aL
a
Pn an an-2 an-4 . . .
Pn-1 an-1 an-3 . . . . . .
Pn-2 L1 L2 L3 . . .
Pn-3 K1 K2 K3 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
P2 C1 C2 C3 . . .
P1 B1 B2 B3 . . .
P0 A1 A2 A3 . . .
Colonne des pivots Colonne à droite de L3
CRITERE DE ROUTHSi tous les coefficients sont présents et sont de même signe,on dresse le tableau ci dessous :
n n 3 n 1 n 21
n 1
a a a aL
a
n n 5 n 1 n 42
n 1
a a a aL
a
n n 7 n 1 n 63
n 1
a a a aL
a
Pn an an-2 an-4 . . .
Pn-1 an-1 an-3 . . . . . .
Pn-2 L1 L2 L3 . . .
Pn-3 K1 K2 K3 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
P2 C1 C2 C3 . . .
P1 B1 B2 B3 . . .
P0 A1 A2 A3 . . .
CRITERE DE ROUTHSi tous les coefficients sont présents et sont de même signe,on dresse le tableau ci dessous :
parties réelles des racines sont toutes négatives Système stable.Si tous les termes de la colonne des pivots sont de même signe, alors les
13
1)(
2341
pppppT
1 3 1
1 1 0
4p3p2p1p0p
FTBF:
11.1 1.3 2
C 21 1
1C2 2C 21.0 1.1 1
C 11 1
1
1B
1 1.1 2.1 1
B 0,2 2
5
0,5
1A
12.0 0,5.1 0,5
A 10,5 ,
0
5
1
Tous les termes de la colonne des pivotssont de même signe Système stable
Tous les coefficients sont présents et sont de même signe On peutdonc appliquer la méthode de Routh.
-0.40 -0.35 -0.30 -0.25 -0.20 -0.15 -0.10
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
REEL(poles)
IMAG(poles)
.6
.6
.7
.7
.8
.8
jp 63.015.0
jp 63.015.0
jp 5.135.0
jp 5.135.0
)42.03.0)(36.27.0(
1)(
221
pppppTLes parties réelles des racines sont négatives Système stable
Un même 2 2 2 2
0,15 0,35z 0, 23
0,15 0.63 0,35 1.5
Droites isogain z = 0,23
0 5 10 15 20 25 30
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
TEMPS
1
0 a
z 0.23 D % 48%
0.65rad / s T 10s
Second ordre en ne conservant que les pôles dominants
Réponse indicielleRéponse amortie à la fonction de transfert du 4ème ordre
Système stable
445
1)(
2342
pppppT
1 5 4
1 4 0
4p3p2p1p0p
FTBF:
1 4
0
Un zéro dans colonne des pivots système oscillant
système instable
445
1)(
2342
pppppT
1 5 4
1 4 0
4p3p2p1p0p
FTBF:
1 4
0
Pour prolonger l’étude, on remplace la ligne nulle.
On construit le polynôme en repartant de p3.
F(p) = 1.p2 + 4.p0 = p2 + 4
dF(p) = 2.p + 0
dp
On dérive cette expression :
On reporte les valeurs trouvées
2 0
Un zéro dans colonne des pivots système oscillant
système instable
445
1)(
2342
pppppT
1 5 4
1 4 0
4p3p2p1p0p
FTBF:
1 4
Pour prolonger l’étude, on remplace la ligne nulle.
On construit le polynôme en repartant de p3.
F(p) = 1.p2 + 4.p0 = p2 + 4
dF(p) = 2.p + 0
dp
On dérive cette expression :
On reporte les valeurs trouvées
2 0
4
Un zéro dans colonne des pivots système oscillant
système instableTous les termes de la colonne des pivots sont de même signe
pas d’autres causes d’instabilité.
-0.5 0
-2
-1
0
1
2
.6
.6
.7
.7
.8
.8
jp 2
jp 2
jp 866.05.0
jp 866.05.0
)4)(1(
1)(
221
ppppT
Présence d’imaginaires purs Système oscillant Instable
0 5 10 15 20 25
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
TEMPS
Réponse indicielleRéponse oscillante
Système instable
)110)(1(
10)(3
ppppHFTBO:
Attention, il faut étudier les pôles de la FTBF.
3 2 3 2 310 1
10 11 10 1 0 1 11T ( p )
p p p , p , p p
FTBF:
)110)(1(
10)(3
ppppHFTBO:
3 2 3 2 310 1
10 11 10 1 0 1 11T ( p )
p p p , p , p p
FTBF:
1 3 1
Attention, il faut étudier les pôles de la FTBF.
)110)(1(
10)(3
ppppHFTBO:
3 2 3 2 310 1
10 11 10 1 0 1 11T ( p )
p p p , p , p p
FTBF:
1 3 1
1 0,1
1,1 1
4p3p2p1p0p
1B-8,1
1A1
1 1.1 0,1.1,1 0,89
B 8,091,1
0,1
11,1.0 0,81 1
A 10,
81
Deux changements de signe dans la colonne des pivots Deux pôles à partie réelle positives Système instable
-1.5 0-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
.6
.6
.7
.7
.8
.8
5.1pjp 8.019.0
jp 8.019.0
Les parties réelles de deux racines sont positives Système instable
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
TEMPS
Réponse impulsionnelleRéponse divergente
Système instable
Fin
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