la notation scientifique

La notation scientifiqueÉcriture et opérations

Écriture

La notation scientifique est une forme d’écriture servant à représenter des nombres très grands ou très petits.

a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z

Pour bien comprendre cette forme d’écriture, il faut connaître la principale caractéristique de la notation décimale.

La notation décimale est l’écriture utilisée par la majorité des gens.

Exemples : 2 500 $

2,5 kg

75 ans

8 frères et soeurs

2 automobiles

45,7 cm

Elle est très pratique pour écrire des nombres parce qu’elle est facile à utiliser.

La caractéristique principale de la notation décimale est que  chaque position des chiffres représente un multiple de 10.

1L’unité :

Unité de milliard : 1 000 000 000Unité de million : 1 000 000Centaine de mille : 100 000Dizaine de mille : 10 000Unité de mille : 1 000Centaine : 100Dizaine : 10

Dixième : 0,1Centième : 0,01Millième : 0, 001Millionième : 0, 000 001

Vers : l’infiniment grandG : giga :M : méga :

k : kilo :

: micro :n : nano : Milliardième : 0, 000 000 001

da : déca :h : hecto :

d : déci :c : centi :

m : milli :

Vers : l’infiniment petit

Comme tous ces nombres sont des multiples de 10, on peut donc les écrire en utilisant la base 10.

= 10-4

= 109

= 106

= 105

= 104

= 103

= 102

= 101

= 100

= 10-1

= 10-2

= 10-3

Remarque : Un exposant négatif signifie donc une petite quantité.

G : giga M : méga

: micro= 10-6

n : nano

0,010, 0010, 000 1

1

1 000 000 0001 000 000

100 00010 000

1 000100

10

0,1

0, 000 0010, 000 000 001 = 10-9

k : kilo

da : décah : hecto

d : décic : centi

m : milli

a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z

Dans la définition mathématique de la notation scientifique :

signifie un nombre écrit en utilisant la base 10;

le 10

étant pris dans la famille des entiers, soit Z.

l’exposant

a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z

Ce nombre doit être écrit égal ou plus grand que 1 et inférieur à 10.

L’écriture de ce nombre en notation scientifique doit représenter la même quantité que son écriture en notation décimale.

Exemple 1 : Écrire 23 643 en notation scientifique.

Dans 23 643 la virgule est à la fin : 23 643,0

Étape 1 :Déplacer la virgule entre le 2 et le 3; 2 3 6 4 3 0,

Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions,1 ≤ 2,364 3 < 10

mais il n’est pas égal à 23 643

Pour le rendre égal à 23 643, il faut le multiplier par 10 000.

23 643 = 2,364 3 X 10 000

Soit le nombre de positions traversées par la virgule.

Étape 2 :

c’est-à-dire 104.23 643 = 2,364 3 X 104

Exemple 2 : Écrire 0,000 034 en notation scientifique.

Étape 1 :

Déplacer la virgule entre le 3 et le 4; 0 000 03 4,

Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions,1 ≤ 3,4 < 10

mais il n’est pas égal à 0,000 034.

0,000 034 = 3,4 X 0,000 01

Soit le nombre de positions traversées par la virgule.

Étape 2 :

Pour le rendre égal à 0,000 034, il faut le multiplier par 0,000 01.

c’est-à-dire 10-5

0,000 034 = 3,4 X 10-5

Remarque

Déplacer la virgule vers la gauche fait augmenter l’exposant de la base 10.

2 3 6 4 3 0,

Déplacer la virgule vers la droite fait diminuer l’exposant de la base 10.

23 643,0 X 100 2,364 3 X 104

0 000 03 4,

0,000 03 4 X 100 3,4 X 10-5

ExercicesTransforme les nombres suivants en notation scientifique.

1,676 5 X 101316 765 000 000 000 :

Remarque

Les calculatrices peuvent afficher différentes écritures pour la notation scientifique :

1,676 5 E13. Le E remplace la base 10.

1,676 5 13. L’espace remplace la base 10.

1,676 5 1013;

Tu dois donc bien connaître le fonctionnement de ta calculatrice.

ExercicesTransforme les nombres suivants en notation scientifique.

156 000 :

234 000 000 000 000 :

946 080 000 000 000 000 :

0,0456 :

0,000 000 12 :

0,000 000 000 000 000 000 160 218 :

0, 000 000 000 456 :

1,56 X 105

2,34 X 1014

9,460 8 X 1017

4,56 X 10-2

1,2 X 10-7

1,602 18 X 10-19

4,56 X 10-10

À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement :

2,3 X 105 = 2,3 X 100 000 = 230 000

Remarque

230 000,0Notation décimale

2 3 0 0 0 0 0Notation scientifique

2,3 X 105

230 000,0Notation décimaleNotation scientifique

2,3 X 105 2 3 0 0 0 0 0,

,

1,5 X 10-3 = 1,5 X 0,001 = 0,001 5

0,001 5

Notation décimale

0 001 5,

Notation scientifique

1,5 X 10-3

0,001 5

Notation décimale

0 001 5,

Notation scientifique

1,5 X 10-3

À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement :

Remarque :

ExercicesTransforme les nombres suivants en notation décimale.

1,27 X 106 : 1 270 000

4,5869 X 103 : 4 586,9

1,2 X 1010 : 12 000 000 000

2,5 X 10-3 : 0, 002 5

3,475 X 1020 : 347 500 000 000 000 000 000

1,897 X 10-10 : 0, 000 000 000 189 7

2, 49573 X 10-12 : 0, 000 000 000 002 495 73

unité de milliard : 1 000 000 000G : giga : = 1 X 109

unité de million : 1 000 000M : méga : = 1 X 106

millionième : 0, 000 001 : micro : = 1 X 10-6

unité de mille : 1 000k : kilo : = 1 X 103

n : nano : milliardième : 0, 000 000 001 = 1 X 10-9

Quelques symboles

La centrale hydroélectrique de Manic 5 a une puissance de 1 528 MW.

1 528 MW = 1 528 X 1 000 000 = 1 528 000 000 watts

La centrale hydroélectrique de la Baie-James a une puissance de 16 GW.

16 GW = 16 X 1 000 000 000 = 16 000 000 000 watts

La construction de la première phase du projet du barrage de la Baie-James a coûté 13,7 G$.

13,7G$ = 13,7 X 1 000 000 000 = 13 700 000 000,00 $

Quelques symboles

La mémoire des ordinateurs a évolué.

Il y a environ 20 ans, elle se calculait en Mo.1 Mo = 1 mégaoctets

1 X 1 000 000 = 1 000 000 octets. 1 X 106 octets.

Il y a environ 10 ans, elle se calculait en Go.1 Go = 1 gigaoctets

1 X 1 000 000 000 = 1 000 000 000 octets.

1 X 1012 octets.

Aujourd’hui, elle se calcule To.1 To = 1 téraoctets

1 X 1 000 000 000 000 = 1 000 000 000 000 octets.

1 X 109 octets.

1 m

1 km

1 Mm

1 Gm

1 mètre

1 mm

1 m

1 nm

La technologie évolue très rapidement.

Observe des réalisations faites au m (micromètre).

1 m = 0,000 001 m = 0,001 mm

La technologie évolue très rapidement.

Observe des réalisations faites au nm (nanomètre).

1 nm = 0,000 000 001 m = 0,000 001 mm

Les opérations

Les opérations effectuées avec la notation scientifique se regroupent en deux catégories :

1) la multiplication et la division;

2) l’addition et la soustraction.

Chaque catégorie possède ses propres règles de fonctionnement.

La multiplication

Exemple :

200 X 3 000

6 X 105

2 X 102 X 3 X 103

On pourrait transformer ces quantités en notation décimale :

Calculer :

Reconvertir en notation scientifique :

Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

600 000

Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants.2 X 102 X 3 X 103

Étape 1 : Multiplier les nombres accompagnant les bases 10.2 X 3 = 6

Étape 2 : Multiplier les bases 10 selon la loi de la multiplication des bases semblables : - on récupère la base; - on additionne les exposants;

102 X 103 = 102+3 = 105

Étape 3 : On regroupe le tout : 6 X 105

Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide.

Exemple : 2 X 108 X 4 X 106 = 8 X 1014

Exercices

Calcule les quantités suivantes.

1,5 X 105 X 3 X 106 = 4,5 X 1011

4 X 1034 X 2 X 106 = 8 X 1040

2,5 X 105 X 5 X 103 = 1,25 X 109

Attention : 2,5 X 5 = 12,5 et 105 X 103 = 108,

mais 12,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10.

Une des conditions de la notation scientifique : 1 ≤ a < 10

On doit donc terminer l’écriture :

12,5 X 108 = 1,25 X 109

Calcule les quantités suivantes :

2,3 X 107 X 5,6 X 102 = 1,288 X 1010

1,7 X 104 X -2,3 X 105 = -3,91 X 109

4,81 X 105 X 3,4 X 106 = 1,6354 X 1012

Attention : La loi concernant la multiplication et la division de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique.

-3,4 X 106 X 1,2 X 104 = - 4,08 X 1010

-2,1 X 105 X - 4,3 X 102 = 9,03 X 107

Calcule les quantités suivantes.

2 X 106 X 3 X 10-4 = 6 X 102

Attention : 2 X 106 X 3 X 10-4

106 X 10-4 = 106+ -4 = 106 - 4 = 102

3,1 X 107 X 5,2 X 10-3 = 1,612 X 105

2,4 X 1010 X 3 X 10 -4 = 7,2 X 106

La division

Exemple :

400 000 ÷ 200

2 X 103

( 4 X 105 ) ÷ ( 2 X 102 )

On pourrait transformer ces quantités en notation décimale :

Calculer :

Reconvertir en notation scientifique :

Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

2 000

Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants.4 X 105 ÷ 2 X 102

Étape 1 : Diviser les nombres accompagnant les bases 10.4 ÷ 2 = 2

Étape 2 : Diviser les bases 10 selon la loi de la division des bases semblables : - on récupère la base; - on soustrait les exposants.

105 ÷ 102 = 105-2 = 103

Étape 3 : On regroupe le tout : 2 X 103

Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide.

Exemple : ( 9 X 1014 ) ÷ ( 3 X 106 ) = 3 X 108

Exercices

Calcule les quantités suivantes.

( 3 X 106 ) ÷ ( 1,5 X 104 ) = 2 X 102

( 4 X 1034 ) ÷ ( 2 X 106 ) = 2 X 1028

( 2,5 X 108 ) ÷ ( 5 X 103 ) = 5 X 104

Attention 2,5 ÷ 5 = 0,5 et 108 ÷ 103 = 105,

mais 0,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10.

Une des conditions de la notation scientifique : 1 ≤ a < 10

On doit donc terminer l’écriture :

0,5 X 105 = 5 X 104

Calcule les quantités suivantes :

( 2,8 X 107 ) ÷ ( 5 X 102 ) = 5,6 X 104

( 1,5 X 106 ) ÷ ( 2 X 102 ) = 7,5 X 103

( 1,02 X 108 ) ÷ ( 3,4 X 103 ) = 3 X 104

( 8 X 106 ) ÷ ( 2 X 10-4 ) = 4 X 1010

Attention : 8 X 106 ÷ 2 X 10-4

106 ÷ 10-4 = 106- -4 = 106 + 4 =1010

( 2,4 X 1010 ) ÷ ( 3 X 10-2 ) = 8 X 1011

( 1,2 X 10-6 ) ÷ ( 4 X 10-3 ) = 3 X 10-4

L’addition et la soustraction

Exemple :

400 000 + 2000

4,02 X 105

4 X 105 + 2 X 103

On pourrait transformer ces quantités en notation décimale :

Calculer :

Reconvertir en notation scientifique :

2 000400 000

+

402 000

Pour additionner et soustraire des nombres écrits en notation scientifique, la règle est quelque peu différente.

Il faut écrire les nombres avec la même puissance de 10.

Pendant le calcul, la condition 1 ≤ a < 10 ne s’applique pas.

Exemple : 4 X 105 + 2 X 103

4 X 105 + 0,02 X 105 Transformer le plus petit des nombres :

On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10.

4 + 0,02 = 4,02

On récupère la puissance de 10 sans la modifier : 105

4 X 105 + 0,02 X 105

On regroupe le tout : 4,02 X 105

Exercices

3 X 106 + 1,5 X 104 = 3,015 X 106

2,5 X 106 + 5 X 103 = 2,505 X 106

8,4 X 105 - 2,3 X 104 = 8,17 X 105

1,6 X 104 - 5,2 X 106 = - 5,184 X 106

Attention : La loi concernant l’addition et la soustraction de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique.

ExercicesConvertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée.

1,25 X 105 km en m : 1,25 X 108 m

car selon le tableau des unités de longueur :

km hm dam m dm cm mm par 10 pour chaque unité franchie.

Donc, X 1 000

1,25 X 105 X 103 = 1,25 X 105 + 3 =

ou 103

1,25 X 108 m

Convertir des unités de mesures en utilisant la notation scientifique est simple et rapide,

Exercices

Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée.

3,2 X 109 m3 en cm3 : 3,2 X 1015 cm3,

car selon le tableau des unités de volume :

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 par 1 000 pour chaque unité franchie.

Donc, X 1 000 000

3,2 X 109 X 106 = 3,2 X 1015 cm3

ou 106

3,2 X 109 + 6 =

ExercicesConvertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée.

4,71 X 1012 m3 en km3 : 4,71 X 103 km3,

car selon le tableau des unités de volume :

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 par 1 000 pour chaque unité franchie.

Donc, ÷ 1 000 000 000

4,71 X 1012 ÷ 109 = 4,71 X 103 km3

ou 109

4,71 X 1012 - 9 =

ExercicesConvertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée.

2,7 X 109 m2 en hm2 : 2,7 X 105 hm2,

car selon le tableau des unités de surface :

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 par 100 pour chaque unité franchie.

Donc, ÷ 10 000

2,7 X 109 ÷ 104 = 2,7 X 105 hm2

ou 104

2,7 X 109 - 4 =