hexagone régulier soit abcdef un hexagone régulier de centre o dont les côtés mesurent 3cm, g et...

Hexagone régulierHexagone régulier

Soit ABCDEF un hexagone régulier de centre O dont Soit ABCDEF un hexagone régulier de centre O dont les côtés mesurent 3cm, G et H les projetés les côtés mesurent 3cm, G et H les projetés orthogonaux de C et B sur le droite (DA). Le repèreorthogonaux de C et B sur le droite (DA). Le repère

; ,O i j

est orthonormalest orthonormal..

Pour dessiner un hexagone régulier dont les côtés mesurent 3 cm, il suffit de dessiner un cercle de 3 cm de rayon et de reporter six fois le rayon sur le cercle.

1º Calculez le produit1º Calculez le produit

2º a) Quelle est la nature du triangle DCO? Déterminez les 2º a) Quelle est la nature du triangle DCO? Déterminez les longueurs de ses côtés et les mesures de ses angles.longueurs de ses côtés et les mesures de ses angles.

DO DG

mesure du vecteur et mesure du vecteur DO DO DG DG����������������������������

cosDO DC ODC b) Calculezb) Calculez

3 93

2 2DO DG

C’est un triangle équilatéral, ses côtés mesurent 3 cm. et ses angles 60o

1 9cos 3 3 cos60 3 3

2 2DO DC ODC

b) Quelles sont les coordonnées du point D? b) Quelles sont les coordonnées du point D?

3º a) Calculez les longueurs OG et GC; déduisez-en 3º a) Calculez les longueurs OG et GC; déduisez-en les coordonnées du point C. les coordonnées du point C.

3

2OG

22 3 9 27

3 92 4 4

GC

3 27,

2 4C

3,0D

c) Determinez les coordonnées (xc) Determinez les coordonnées (xDD, y, yDD) du vecteur) du vecteur

puis les coordonnées (xpuis les coordonnées (xCC , y , yCC) du vecteur ) du vecteur

DO��������������

DC��������������

d) Calculez le nombre d) Calculez le nombre

xxDD · x · xCC + y + yDD · y · yCC..

3,0DO ��������������

3 27 3 27 3 27, 3,0 3, 0 ,

2 4 2 4 2 4DC

��������������

3 27 93 0

2 4 2D C D Cx x y y

4º4º a) Calculez le produit a) Calculez le produit DA DH

96 27

2DA DH

b) Démontrez que le triangle DBA est rectangle.b) Démontrez que le triangle DBA est rectangle.

Les six triangles ont les côtes égaux, on déduit que Les six triangles ont les côtes égaux, on déduit que leurs angles mesurent 60leurs angles mesurent 60oo

Ce qui donne:Ce qui donne:

Puisque le triangle DBC a deux côtes égaux, alors il Puisque le triangle DBC a deux côtes égaux, alors il a deux angles égaux qui mesurent 30a deux angles égaux qui mesurent 30oo

Ce qui donne: l’angle ABD mesure 90o .

Alors le triangle ABD est un triangle rectangle Alors le triangle ABD est un triangle rectangle

Calculez la Calculez la longueurlongueur DB DB

Calculez le nombreCalculez le nombre cosDB DA ADB

Calculez Calculez cos ADB

3cos cos30

2ADB

2 26 3 36 9 27DB

cos 27 6 cos30

3 81 6 927 6 6 27

2 2 2

DB DA ADB

c) Déterminez les coordonnées des points B et Ac) Déterminez les coordonnées des points B et A

Calculez les coordonnées (xCalculez les coordonnées (xBB , y , yBB) du vecteur ) du vecteur DB��������������

et les coordonnées (xet les coordonnées (xAA , y , yAA ) du vecteur ) du vecteur DA��������������

3 27,

2 4B

3,0A

3 27 3 27 9 27, 3,0 3, 0 ,

2 4 2 4 2 4DB

��������������

3,0 3,0 6,0DA ��������������

Calculez le nombre xCalculez le nombre xBB · x · xAA + y + yBB · y · yAA

Obtenez des conclusions.Obtenez des conclusions.

9 276 0 27

2 4B A B Ax x y y

Conclusions:1

On en déduit que:

3 93

2 2DO DG

1 9cos 3 3 cos60 3 3

2 2DO DC ODC

3 27 93 0

2 4 2D C D Cx x y y

cos D C D CDO DC ODC DO DG x x y y

Conclusions: 2

On en déduit que:

96 27

2DA DH

3 81 6 9cos 27 6 6 27

2 2 2DB DA ADB

9 276 0 27

2 4B A B Ax x y y

cos B A B ADA DH DB DA ADB x x y y

Le produit scalaireLe produit scalaire

DéfinitionDéfinition du produit scalairedu produit scalaire Théorème et définition:Théorème et définition:

Soit deux vecteursSoit deux vecteurs

de coordonnées respectives (x , y) et (x' , y' ) dans de coordonnées respectives (x , y) et (x' , y' ) dans un repère ORTHONORME.un repère ORTHONORME.

. . Le nombre Le nombre x·x' + y·y'x·x' + y·y' ne dépend pas de la base ne dépend pas de la base orthonormée choisie.orthonormée choisie.

vect u   et  vect   u w w ������������� �

On l'appelle produit scalaire des vecteursOn l'appelle produit scalaire des vecteurs

et u w������������� �

et on le note u w������������� �

' 'u w x x y y ������������� �

Dans l'applet ci-dessous , (A,D) et ( A, C) sont des Dans l'applet ci-dessous , (A,D) et ( A, C) sont des représentants respectifs dereprésentants respectifs de vect(u) et vect(w) .u w

������������� �

B est le projeté orthogonal de D sur la droite B est le projeté orthogonal de D sur la droite (AC), et(AC), et v AB

������������� �

Compare le produit scalaireCompare le produit scalaire

au produit scalaire au produit scalaire

u w AD AC ��������������������������������������� ���

v w AB AC��������������������������������������� ���

N'hésite pas à te placer dans diverses situationsN'hésite pas à te placer dans diverses situationsen déplaçant les points D et C.en déplaçant les points D et C.

Tu viens de découvrir une propriété du Tu viens de découvrir une propriété du produit scalaire que nousproduit scalaire que nousne manquerons pas de démontrer.ne manquerons pas de démontrer.