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de
Cours • Méthode • Exercices • Corrigés
Grand jeu concours
300 BDà gagner !*
Quatrième
mon annéeMathématiques
4e
Maths
rédigé par des professeursde l’Éducation Nationale
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© Copyright Cours Legendre – Tous droits réservés
Ce cours a été rédigé par :
Laurie Obadia et Catherine Joannard
Professeurs de mathématiques
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Le cours de révision est composé de trois dossiers.
1. Un bilan-test de début de cours qui permet de repérer les éventuelles difficultés et de mieux orienter ses révisions. Il ne faut pas l’adresser à la correction car vous les trouverez ainsi que les conseils du professeur juste après.
2. Le cours. 4 séries de travail avec des leçons et des exercices d’application. Ceux-ci
sont autocorrectifs et servent d’entraînement aux devoirs. Il ne faut pas les adresser à la correction.
3. Corrigé des exercices. Ce sont les corrigés des exercices du cours.
Nous vous conseillons d’étudier une série de travail par semaine en faisant tous les exercices d’application. Durée théorique du cours : 4 ou 5 semaines.
Bon travail !
COMMENT ETUDIER SON COURS ?
COURS DE REVISION
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BILAN TEST
Questions : Réponses :
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1) La vitesse moyenne d'un motocycle ayant parcouru 16 km en 12 min à l’aller et 16 km en 18 min au retour, est de :
a. 80 km/h b. 64 km/h c. 133 km/h
a b c
2) Lorsqu'un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires, on est sûr que c'est :
a. un rectangle b. un losange c. un carré
a b c
3) L'expression (-3) × (-6) + 5 × (-5) - [14,3 - (5 - 9,2) + (-7 + 0,3)] est égale à :
a. - 18,8 b. - 10,4 c. - 18,2
a b c
4) Dans le triangle ABC : si M est le milieu de [AB] et O le milieu de [BC], alors :
a. (MO) // (BC) et BC = 2 MO b. (MO) // (AC) et AC = 2 MO c. (MO) // (AC) et MO = 2 AC
a b c
5) Ranger les fractions dans l'ordre croissant :
79 ,
56 et
23 :
a. 23 <
56 <
79 b.
23 <
97 <
56 c.
56 <
23 <
79
a b c
6) Pour la figure ci-contre la propriété des "trois rapports égaux" aussi appelé théorème de Thalès, permet d'écrire que :
a. XAXB =
BZXB =
ABYZ
b. XAAY =
XBBZ =
ABYZ (AB) // (YZ)
c. XYXA =
XZXB =
ABYZ
a b
c
7) L'expression 115 –
325 x
52 est égale à :
a. 730 b.
–215 c.
–730
a b c
8) Le centre du cercle circonscrit à un triangle quelconque est le point d'intersection :
a. des hauteurs b. des médiatrices c. des médianes
a b c
9) 5
32
est égale à :
a. 25 x 3-5 b. 25
3-5 c. 25
3
a b c
10) Si les côtés d'un triangle rectangle mesurent 3, 4 et 5, alors la médiane relative à l'hypoténuse mesure :
a. 5 b. 3,5 c. 2,5
a b c
Score
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BILAN TEST
Questions : Réponses :
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11) 37 x 10-3 est égale à :
a. – 37 000 b. 370 c. 0,037
a b c
12) La diagonale d'un rectangle de côtés 10 et 16 mesure à 0,001 près : a. 26,000 b. 17,099 c. 18,868
a b c
13) 3 (x – 4) – 2 (2x – 5) = a. -x – 2 b. 7x c. –x - 22
a b c
14) Dans le triangle AMN : AM = 4 cm, AN = 5 cm et MN = 6 cm. La distance d du point A à la droite (MN) vérifie :
a. d > 5 b. 4 < d < 5 c. d < 4
a b c
15) L'arrondi au centième de 2π est : a. 6,2 b. 6,29 c. 6,28
a b c
16) AC =
a. cos65°
2
b. 2
cos65°
c. 2 x cos 65°
a b c
17) La solution de l'équation 2x + 7 = 5 – 4x est :
a. – 6 b. –13 c. 2
a b c
18) Kévin a 18 ans et son père a 46 ans. Dans combien d’années le père de Kévin aura-t-il le double de son âge ? a. 10 b. 12 c. 7
a b c
19) Dans une série statistique, le dernier effectif cumulé est : a. l'effectif total b. la moyenne c. ça dépend
a b c
20) Les faces latérales de n'importe quelle pyramide régulière sont des triangles :
a. isocèles b. équilatéraux c. rectangles
a b c
65° C
B A 2
Score
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BILAN TEST - CORRIGÉ
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QUESTIONS
REPONSES
1 b Le motocycle parcourt 32 km en 30 min donc en 1 heure il parcourt : 60 × 32
30 = 2 x 32 = 64 km
1ère leçon / série 1 2 a Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs perpendiculaires
est un rectangle 2ème leçon / série 1
3 a (-3) × (-6) + 5 × (-5) - [14,3 - (5 - 9,2) + (-7 + 0,3)] = 18 - 25 - [14,3 - (5 - 9,2) + (-7 + 0,3)] = - 7 - [14,3 - (-4,2) + (-6,7)] = - 7 - (14,3 + 4,2 - 6,7) = - 7 - 11,8 = - 18,8
3ème leçon / série 1 4 b Dans le triangle ABC, la droite
joignant les milieux des côtés [AB] et [BC] est parallèle au troisième côté [AC] et AC = 2 x MO
4ème leçon / série 1 5 b
79 =
7x29x2 =
1418
56 =
5x36x3 =
1518
23 =
2x63x6 =
1218
1218 <
1418 <
1518 donc :
23 < 79 <
56
1ère leçon / série 2 6 c Dans le triangle XYZ, A ∈ [XY], B ∈ [XZ] et (AB) // (YZ)
d'après la propriété de Thalès (ou propriété des trois rapports égaux), on a :
XAXY = XB
XZ = ABYZ
2ème leçon / série 2 7 c
115 –
325 x
52 =
115 –
3x55x5x2 =
115 –
310 =
1x215x2 –
3x310x3
= 230 –
930 =
-730
3ème leçon / série 2 8 b Le point d'intersection des médiatrices des côtés d'un triangle
est le centre du cercle circonscrit au triangle. 4ème leçon / série 2
32 km 30 min 64 km 60 min
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BILAN TEST - CORRIGÉ
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A B
D C
16
10
QUESTIONS
REPONSES
9 a 2
35 = 2
5
35 = 25 x 3-5
1ère leçon / série 3 10 c L'hypoténuse d'un triangle rectangle est le plus long côté donc
5 est la mesure de l'hypoténuse. La médiane relative à l'hypoténuse mesure la moitié de la longueur de l'hypoténuse donc 2,5.
2ème leçon / série 3 11 c 37 x 10-3 = 0,037
3ème leçon / série 3 12 c Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle ABD
rectangle en A : BD² = AB² + AD² = 16² + 10² = 256 + 100 = 356 BD = 356 ≈ 18,868
4ème leçon / série 3 13 a 3 (x – 4) – 2 (2x – 5) = 3 x x – 3 x 4 – [2 x 2x – 2x 5]
= 3x – 12 – [4x – 10] = 3x – 12 – 4x + 10 = -x – 2
1ère leçon / série 4 14 c Construction au compas.
d < 4
2ème leçon / série 4 15 c 2 x π ≈ 6,28318… L'arrondi au centième de 2π est 6,28
3ème leçon / série 4 16 b Dans le triangle ABC rectangle en B :
cos 65° = ehypothénusadjacent côté
= CBCA
cos 65° = 2
CA cos 65° x CA = 2 CA = 2
cos65°
4ème leçon / série 4
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BILAN TEST - CORRIGÉ
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QUESTIONS
REPONSES
17 b 2x + 7 = 5 – 4x 2x + 4x = 5 – 7 6x = - 2
x = -26 d'où x =
-13
1ère leçon / série 5 18 a Soit x le nombre d’années cherché. On obtient l’équation
suivante : 46 + x = 2 (18 + x) 46 + x = 36 + 2x 46 – 36 = 2x – x 10 = x.
2ème leçon / série 5 19 a Dans une série statistique le dernier effectif cumulé est l'effectif
total. 3ème leçon / série 5
20 a Les faces latérales de n'importe quelle pyramide régulière sont des triangles isocèles.
4ème leçon / série 5
Si ton score final est supérieur à 17/20 c'est un bon début. Ne relâche pas tes efforts. Tu peux commencer sereinement l'étude de ton cours.
S'il est compris entre 12 et 17, tu as de bonnes connaissances mais
certaines notions doivent être révisées. Si ton score est inférieur à 12/20, je te conseille de bien revoir les
leçons et les exercices dans lesquels tu as fait des erreurs. Si tu as fait des erreurs dans les questions 1 à 5, tu dois revoir les leçons
de la série 1. Si tu as fait des erreurs dans les questions 16 à 20, tu dois revoir les
leçons de la série 5.
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SOMMAIRE
Première leçon Grandeurs et mesures : La proportionnalité Deuxième leçon Espace et géométrie : Les quadrilatères Troisième leçon Nombres et calculs : Les nombres relatifs Quatrième leçon Espace et géométrie : Triangles et droites parallèles
Première leçon Nombres et calculs : Les fractions
Deuxième leçon Espace et géométrie : Théorème de Thalès
Troisième leçon Nombres et calculs : Les fractions (suite)
Quatrième leçon Espace et géométrie : Droites remarquables dans un triangle
Cinquième leçon Organisation et gestion des donnée : Statistiques et probabilités
Première leçon Nombres et calculs : Les puissances
Deuxième leçon Espace et géométrie : Propriétés du triangle rectangle
Troisième leçon Nombres et calculs : Les puissances de dix
Quatrième leçon Espace et géométrie : Le théorème de Pythagore
Cinquième leçon Fonctions : Equations et problèmes
Première leçon Nombres et calculs : Calcul littéral
Deuxième leçon Espace et géométrie : Distance – Tangente à un cercle
Troisième leçon Nombres et calculs : Comparaison de nombres
Quatrième leçon Espace et géométrie : Cosinus d'un angle aigu
Cinquième leçon Espace et géométrie : Pyramide et cône de révolution
Sixième leçon Algorithmique et programmation : Instructions de contrôle
1ère SÉRIE
2ème SÉRIE
3ème SÉRIE
4ème SÉRIE
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Vérifie tes connaissances !
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SOMMAIRE
Première leçon : Grandeurs et mesures : La proportionnalité
Deuxième leçon : Espace et géométrie : Les quadrilatères
Troisième leçon : Nombres et calculs : Les nombres relatifs
Quatrième leçon : Espace et géométrie : Triangles et droites parallèles
1ère SÉRIE
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1ère Série
1ère leçon
GRANDEURS ET MESURES LA PROPORTIONNALITÉ
I. PROPORTIONNALITÉ ET REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
1. Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre constant.
Exemple : Un kilogramme de pommes coûte 1,30 €. Le prix payé est proportionnel à la quantité de pommes achetées.
Poids (en kg) 0 1 2 3 6 Prix (en €) 0 1,30 2,60 3,90 7,80
Les deux grandeurs (prix et poids) sont proportionnelles. 1,30 est le coefficient de proportionnalité.
Contre-exemple : À 7 ans Marie mesure 1,26 m et à 14 ans, elle mesure 1,68 m.
7 x 0,18 = 1,26 or 14 x 0,18 = 2,52 et non pas 1,68. Les deux grandeurs (taille et âge) ne sont pas proportionnelles.
2. Représentation graphique Les points de la représentation graphique d'une relation de proportionnalité sont alignés sur une droite passant par l'origine du repère. Exemple : Reprenons l'exemple précédent.
Les points O (0 ; 0), A (1 ; 1,3), B (2 ; 2,6), C (3 ; 3,9) et D (6 ; 7,8) sont alignés et la droite passe par l'origine du repère.
Age (ans) 7 14 Taille (en m) 1,26 1,68
× 1,30
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1ère Série
1ère leçon
II. QUATRIEME PROPORTIONNELLE ET PRODUITS EN CROIX EGAUX Soit a, b, c et d quatre nombres relatifs non nuls. Propriété : Dans un tableau de proportionnalité, il y a égalité des produits en croix. En effet, si est un tableau de proportionnalité, alors a x d = b x c. Propriété réciproque : Si tous les produits en croix d’un tableau sont égaux, alors il s’agit d’un tableau de proportionnalité.
En effet, si a x d = b x c, alors ba =
dc et donc est un tableau de proportionnalité.
Exemple : Calcul de la quatrième proportionnelle x. Le nombre x du tableau de proportionnalité ci-dessus est tel que : 5 x x = 7,5 x 13,4.
Donc x = 7,5 x 13,45 = 20,1.
III. MOUVEMENT UNIFORME
1. Définition Lorsque la distance, d parcourue par un mobile, est proportionnelle à la durée du parcours t, on dit que ce mobile a un mouvement uniforme. Le coefficient de proportionnalité v est la vitesse constante de ce mobile, c'est la distance parcourue par unité de temps.
On a : v = dt d = v x t t = dv
Remarque : Cette vitesse constante s'exprime généralement en kilomètre par heure (km/h
ou km.h-1) ou en mètre par seconde (m/s ou m.s-1 )
Exemple : une voiture roule à une vitesse constante de 90 km/h
Durée du parcours t (en h) 1 1,5 2 Distance parcourue d (en km) 90 135 180
a c
b d
a c
b d
5 13,4
7,5 x
× v = 90
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1ère Série
1ère leçon
Le mouvement uniforme de ce véhicule est représenté par le graphique ci-dessous :
v = 90 km/h Sur un parcourt de 15 km, la vitesse moyenne d’un marcheur est de 6 km/h à l’aller et de 5 km/h au retour. Calculer sa vitesse moyenne V sur le trajet aller-retour.
• On commence par calculer la distance totale : d = d1 + d2 = 15 + 15 = 30 km où d1 est la distance parcourue à l’aller et d2 celle parcourue au retour.
d1 = v1 × t1 donc t1 = d1
v1 = 15
6 = 2,5 h
d2 = v2 × t2 donc t2 = d2
v2 = 15
5 = 3 h
t = t1 + t2 = 2,5 + 3 = 5,5 h
d’où : V = dt = 30
5,5 ≈ 5,45 km/h.
On n’a pas « vitesse moyenne = moyenne des vitesses », c’est-à-dire V ≠ v1 + v2
2 .
En effet, le trajet retour étant ici plus que celui aller, il marche plus longtemps à 5 km/h qu’à 6 km/h. Sa vitesse moyenne est donc plus proche de 5 km/h que de 6 km/h.
IV. POURCENTAGE
1. Utiliser ou déterminer un pourcentage Exemple : 30 filles et 28 garçons de 2 classes de 4ème ont effectué un devoir commun. 60 % des filles et 50% des garçons ont obtenu la moyenne. Calculer le pourcentage d’élèves qui ont obtenu la moyenne dans l’ensemble de ces 2 classes.
1. On calcule le nombre de filles qui ont obtenu la moyenne : 60100 × 30 = 18 filles.
2. On calcule le nombre de garçons qui ont obtenu la moyenne : 50100 × 28 = 14 garçons.
3. On calcule le nombre total d’élèves dans les 2 classes : 30 + 28 = 58 élèves.
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On calcule le nombre d’élèves ayant eu la moyenne : 18 + 14 = 32 élèves. On obtient donc le tableau de proportionnalité suivant : Nombre d’élèves qui ont eu la moyenne 32 x ? Nombre total d’élèves 58 100 L’égalité des produits en croix donne : 58 × x = 32 × 100.
Donc x = 32 × 10058
x ≈ 55,17. Donc environ 55,17 % des élèves des 2 classes ont obtenu la moyenne.
2. Appliquer un pourcentage Un pourcentage est une situation de proportionnalité.
Appliquer x % à un nombre c'est le multiplier par x
100
Exemple 1 : 24 % de 38,11 € vaut 38,11 x 24100 = 9,14 €
Augmenter un nombre de x % c'est le multiplier par 1 + x
100
Exemple 2 : Un article coûte 25 €, son prix augmente de 5 %.
Le nouveau prix est :
25 x (1 + 5100) = 25 x 1,05 = 26,25 €
ou
25 + 25 x 5100 = 25 + 1,25 = 26,25 €
Diminuer un nombre de x % c'est le multiplier par 1 – x
100
Exemple 3 : Un article coûte 30,49 €, son prix diminue de 15%.
Le nouveau prix est :
30,49 x (1 – 15100) = 30,49 x 0,85 = 25,91
ou
30,49 – 30,49 x 15100 = 30,49 – 4,57 = 25,91 €
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1ère Série
1ère leçon
Exercice 1 ______________________________________________________________
1. Complétez le tableau de change (en arrondissant les valeurs au centième) : valeur en € 111,59 223,19 152,45 valeur en $ 120 540 1 000
2. Quelle est la valeur (en €) de un dollar ?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Exercice 2 ______________________________________________________________
Les sons se propagent à la vitesse de 340 m/s. A quelle distance de l'orage se trouve-t-on lorsqu'on entend le tonnerre 7 secondes après avoir vu l'éclair ? ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Exercice 3 ______________________________________________________________
Convertissez en km/h.
1. 7 200 km/jour 2. 12 m/s
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
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1ère leçon
Exercice 4 ______________________________________________________________
Dans une classe de 30 élèves, 3 élèves sont nés en 1994, 18 en 1995 et 9 en 1996. Quels sont les pourcentages de chaque catégorie d'âge ?
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Exercice 5 ______________________________________________________________
Pour faire un gâteau, je dois faire fondre une tablette de 100 g de chocolat dont la teneur en cacao est de 70% avec une tablette de 200 g dont la teneur en cacao est de 85 %.
1. Calculez la masse de cacao contenue dans le mélange ainsi constitué. 2. Quel est le pourcentage de cacao dans ce mélange ?
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Exercice 6 ______________________________________________________________
Le prix d'une calculatrice qui coûtait 27 € en 2005 a augmenté de 3% en 2006, puis de 4% en 2007.
1. Calculez les prix de cette calculatrice en 2006 puis en 2007. ___________________________________________________________________________
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2. Vérifiez que le pourcentage de l'augmentation globale sur 2006 et 2007 est
supérieur à 7%. ___________________________________________________________________________
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2ème leçon
A B
CD
A B
CD
A B
CD
O
A B
CD
ESPACE ET GEOMETRIE LES QUADRILATÈRES (rappel de 5ème)
I. Le parallélogramme
1. Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Je sais que : ABCD est un parallélogramme. Je montre que : (AB)//(CD) (AD)//(BC)
2. Propriétés
a. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Réciproquement si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Je sais que : ABCD est un parallélogramme. Je montre que : Ses diagonales [AC] et [BD] ont même milieu O. Le point O est le centre de symétrie de ABCD.
b. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses cotés opposés ont même longueur. Réciproquement, si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Je sais que : ABCD est un parallélogramme. Je montre que : AB = DC AD = BC
c. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Je sais que : (AB)//(CD) et AB = CD. Je montre que : ABCD est un parallélogramme.
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2ème leçon
A B
CD
A B
D C
A B
D C
d. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont même mesure. Les angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires.
Je sais que : ABCD est un parallélogramme. Je montre que : A)
= C)
et B)
= D)
A)
+ B)
= 180 ° B)
+ C)
= 180 ° C)
+ D)
= 180 ° D)
+ A)
= 180 °
II. Le rectangle
1. Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Je sais que : ABCD est un rectangle. Je montre que : (AB) ⊥ (BC) (BC) ⊥ (CD) (CD) ⊥ (DA) (DA) ⊥ (AB)
2. Propriétés
a. Propriété des côtés
Si un parallélogramme est un rectangle, alors il a un angle droit. Réciproquement, si un parallélogramme a un angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle. Conséquence : le rectangle a les mêmes propriétés que le parallélogramme.
b. Propriétés des diagonales
Si un parallélogramme est un rectangle, alors il a ses diagonales de même longueur. Réciproquement, si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle.
Je sais que : ABCD est un rectangle, Je montre que : AC = BD
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A
B
D
C
c. Axes et centre de symétrie
Un rectangle a : - un centre de symétrie : le point d'intersection des diagonales ; - deux axes de symétrie perpendiculaires : les médiatrices des côtés.
Je sais que : ABCD est un rectangle. Je montre que : d1 et d2 sont des axes de symétrie de ABCD et O est le centre de symétrie de ABCD.
III. Le losange
1. Définition
Un losange est un quadrilatère qui a ses 4 côtés de même longueur.
Je sais que : ABCD est un losange. Je montre que : AB = BC = CD = DA
2. Propriétés
a. Propriétés des côtés
Si un parallélogramme est un losange, alors il a deux côtés consécutifs de même longueur. Réciproquement, si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors ce parallélogramme est un losange. Conséquence : Le losange a les mêmes propriétés que le parallélogramme.
A B
D C
O
d1
d2
d1
d2
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2ème leçon
A C
D
B
B
C
D
A
B
C
D
AO
b. Propriété des diagonales
Si un parallélogramme est un losange, alors il a ses diagonales perpendiculaires. Réciproquement, si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors ce parallélogramme est un losange.
Je sais que : ABCD est un losange. Je montre que : (AC) ⊥ (BD)
c. Axes et centre de symétrie
Le losange a : - un centre de symétrie : le point d'intersection de diagonales ; - deux axes de symétrie perpendiculaires : les diagonales.
IV. Le carré
1. Définition Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Je sais que : ABCD est un carré. Je montre que : (AB) ⊥ (BC) (BC) ⊥ (CD) (CD) ⊥ (DA) (DA) ⊥ (AB) et AB = BC = CD = DA.
2. Propriétés Un carré est à la fois un rectangle et un losange donc le carré possède toutes les propriétés du rectangle et du losange.
Je sais que : ABCD est un carré. Je montre que : (AB) // (DC) et (AD) // (BC) AB = BC = CD = DA (AB) ⊥ (BC) (BC) ⊥ (CD) (CD) ⊥ (DA) (DA) ⊥ (AB) [AC] et [BD] ont même milieu AC = BD
Le point d'intersection des diagonales est centre de symétrie. Le carré a 4 axes de symétrie : les diagonales et les médiatrices.
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2ème leçon
Conseil pour les exercices de géométrie Vous devez à chaque exercice :
- Faire une figure codée à main levée. - Relever toutes les données de l’énoncé et procéder pas à pas en vous
demandant quelle est la propriété que vous devez utiliser pour répondre à la question.
Exercice 7 ______________________________________________________________
Soit ACB un triangle, I le milieu de [BC] et A' le symétrique de A par rapport à I. Quelle est la nature du quadrilatère ACA'B ? Démontrez-le.
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Exercice 8 ______________________________________________________________
KLMN est un losange. Démontrez que la droite (KM) est la médiatrice du segment [LN].
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2ème leçon
Exercice 9 ______________________________________________________________
Construisez un cercle de centre O et tracez deux diamètres [EF] et [HG]. 1. Montrez que EGFH est un rectangle. 2. Pour que EGFH soit un carré, comment faut-il tracer les diamètres [EF] et [HG] ?
Justifiez.
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3ème leçon
NOMBRES ET CALCULS : LES NOMBRES RELATIFS
I. Rappels
1. Définition
Un nombre relatif est déterminé par : - son signe (+ ou -), - sa partie numérique ou sa « distance à zéro ».
2.Addition
Lorsque l’on doit additionner deux nombres relatifs, on regarde s’ils sont de même signe ou non. 1er cas : Les deux nombres sont de même signe. Règle : On additionne leur distance à zéro et on met au résultat le signe commun aux deux
nombres. Exemple : -7 + (-3) = -10 La distance à zéro de -7 est 7.
La distance à zéro de -3 est 3. On additionne 7 et 3. Le résultat est 10. Puis on met le signe « - ».
2ème cas : Les deux nombres sont de signes contraires. Règle : On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande distance à zéro et on met au
résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro. Exemple : -7 + (+ 6) = -1 La distance à zéro de -7 est 7. La distance à zéro de +6 est 6. 7 est la plus grande distance à zéro. On soustrait 6 à 7. Le résultat est 1. On met ensuite au résultat le signe « - » du « -7 ».
3. Soustraction
Règle : Pour soustraire un nombre, on additionne son opposé. On transforme donc les soustractions en additions et on se ramène aux règles du 2. Exemple : -7 – (- 6) = -7 + (+6) = -1.
ATTENTION ! IL FAUT UNIQUEMENT CHANGER LE SIGNE DU NOMBRE QUI EST À DROITE DU SIGNE « - », PAS CELUI DU NOMBRE QUI EST A GAUCHE.
Dans l’exemple ci-dessus, « -7 » ne change pas de signe.
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3ème leçon
4. Parenthèses
On effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures. Exemple : 7 – [-3 – (8,5 – 17)] = 7 – [-3 – (-8,5)]
= 7 – [-3 + 8,5] = 7 – 5,5 = 1,5
II. Multiplication de nombres relatifs
1. Vocabulaire et notation
Si a et b sont deux nombres relatifs, a x b est le produit des deux facteurs a et b. Autres écritures :
a x b = ab 2 x a = 2a 5 x (a-2) = 5 (a-2)
Le signe « x » est sous-entendu.
2. Produit de deux nombres relatifs
a. Règle des signes
Règle : Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif. Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif.
b. Méthodes
1. Pour calculer le produit de deux nombres relatifs de même signe : Calculer le produit A = (-4) x (-3). A = + 4 x 3 (1) Les deux nombres sont de même signe donc leur produit est positif. A = 12 (2) On effectue ensuite le produit habituel.
2. Pour calculer le produit de deux nombres relatifs de signes contraires : Calculer le produit B = 5 x (-9). A = - 5 x 9 (1) Les deux nombres sont de signes contraires donc leur produit est négatif. A = - 45 (2) On effectue ensuite le produit habituel. Exemple : 8 x 7 = 56 -8 x 9 = - 72 6 x (-4) = - 24 -3 x (-5) = 15.
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c. Propriété
Le produit d’un nombre relatif par – 1 est égal à l’opposé de ce nombre. Exemples : (- 1) x 6,2 = -6,5 (-8) x (-1) = 8
Conséquence : Si a est un nombre relatif positif, alors -a est négatif. Si a est un nombre relatif négatif, alors -a est positif.
3. Produit de plusieurs nombres relatifs
Rappel : Un nombre entier est :
- pair s’il est divisible par 2 (c’est à dire si le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8). - impair s’il n’est pas divisible par 2 (c’est à dire si le chiffre des unités est 1, 3, 5, 7 ou
9).
a. Règle des signes Règle : Le produit de plusieurs nombres relatifs est positif si le nombre de facteurs négatif est pair. Le produit de plusieurs nombres relatifs est négatif si le nombre de facteurs négatif est impair.
b. Méthode Calculer le produit C = (-4) x (-3) x (+5) x (-2). (1) On compte le nombre de facteurs négatifs. Il y a 3 facteurs négatifs. (2) Comme le nombre de facteurs négatifs est impair, alors C est négatif. C = - 4 x 3 x 5 x 2 C = - 120 (3) On effectue ensuite le produit habituel. Exemples : A = -2 x (-4) x 3 = 2 x 4 x 3 = 24 B = (-5) x (-3) x (-3) x (+2) = - 5 x 3 x 3 x 2 = -90
c. Propriété Un produit de plusieurs nombres relatifs ne change pas si on modifie l’ordre des facteurs ou si on regroupe des facteurs. Exemples : -4 x 3 x 2 = -12 x 2 = -24
3 x [(-4) x 2] = 3 x (-8) = -24
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d. Multiplication par 0 a x 0 = 0 x a = 0 Si l'un des facteurs est nul, alors ce produit est nul.
III. Division de deux nombres relatifs
1. Vocabulaire et notation a et b sont deux nombres relatifs avec b ≠ 0
Le quotient a ÷ b se note aussi sous la forme d'une écriture fractionnaire ab .
a est appelé le numérateur et b le dénominateur.
2. Règle des signes
La règle des signes est la même que pour la multiplication.
- Si a et b sont de même signe, ab est positif.
- Si a et b sont de signes contraires, ab est négatif.
Exemple : 3-2 = -32 = - 32 = -1,5 -3
-2 = 32 = 1,5
Attention : La division par zéro est impossible !
a est le dividende b est le diviseur a ÷ b
quotient
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3ème leçon
IV. Suppression de parenthèses dans une somme algébrique
1. Règles
Lorsqu'un signe - précède des parenthèses, on peut supprimer ces parenthèses et le signe - à condition de changer tous les signes des termes de la somme placés dans ces parenthèses.
Lorsqu'un signe + précède des parenthèses, on peut supprimer ces parenthèses et le signe + sans rien changer.
Exemples : 3 + (-5 + 12,3) = 3 - 5 + 12,3 11 - (4 + 6,2 - 7,9) = 11 - 4 - 6,2 + 7,9 25 - (-7 + 14,6) – [-12 + (-3,5 + 2)] = 25 + 7 - 14,6 - [-12 - 3,5 + 2] = 25 + 7 - 14,6 + 12 + 3,5 - 2 Exercice 10 ______________________________________________________________
Calculez les expressions suivantes : A = (-12,8) + 5,4 B = 14 – (-5,2) + (-20) C = -12 + 7 – 31,2 + 2,2 D = 7,6 – [-27 + 3 – (-6 + 4,1)]
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Exercice 11 ______________________________________________________________
Pour chaque expression, donnez le signe du résultat :
E = (-13) x 18 x 1,1 x (-2) F = -1 x 3 x (-5)2 x (-7)
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3ème leçon
Exercice 12 ______________________________________________________________
Calculez : G = (-3,1) x 2 H = (-8) x (-5) x 10 x (-2)
I = -4,8-0,6 J = 5 – 2 x 3 + 10 ÷ 5 x 4 – 7
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Exercice 13 ______________________________________________________________
Supprimez les parenthèses et simplifiez les expressions : K = (3 + a) - (-5 + 4a) L = -(2a + 1 - b) + (-b + 4) M = (7 – a) + [-5 + 3a – (-1 + a) - 10]
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4ème leçon
B
A
C
I J
E
D
F
M N
TRIANGLES ET DROITES PARALLÈLES I. Propriété de la droite des milieux
Enoncé
Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Exemple :
Hypothèses : ABC est un triangle I est le milieu de [AB] J est le milieu de [AC] Conclusion : (IJ)//(BC)
Dans le triangle ABC, la droite passant par les milieux I et J des côtés [AB] et [AC] est parallèle au troisième côté (BC), donc (IJ)//(BC).
II. Propriété réciproque
Enoncé
Dans un triangle, la droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un second côté, coupe le troisième côté en son milieu.
Exemple :
Hypothèses : DEF est un triangle M est le milieu de [DE] (MN)//(EF) Conclusion : N est le milieu de [DF]
Dans le triangle DEF, la droite (MN) qui passe par le point M milieu du côté [DE] et qui est parallèle au côté [EF] coupe le troisième côté en son milieu, donc N est le milieu de [DF].
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4ème leçon
B
A
C
I J
III. Segment joignant les milieux de deux côtés
1. Enoncé
Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.
2. Exemple
Hypothèses : ABC est un triangle. I est le milieu de [AB] J est le milieu de [AC] Conclusion :
IJ = BC2
Dans le triangle ABC, la longueur du segment [IJ] joignant les milieux respectifs des côtés
[AB] et [AC] est égale à la moitié du troisième côté [BC] donc IJ = BC2 .
Autres égalités : On a IJ = BC2 , en appliquant l'égalité des produits en croix on a :
BC = 2 x IJ ou BCIJ = 2 ou IJ
BC = 12
Exercice 14 ______________________________________________________________
M, N et O sont trois points non alignés. I et J sont symétriques de O respectivement par rapport à M et N. Démontrez que les droites (MN) et (IJ) sont parallèles.
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4ème leçon
Exercice 15 ______________________________________________________________
ABCD est un parallélogramme. E est le symétrique de D par rapport au point A. Les droites (EC) et (AB) se coupent en F. Démontrez que F est le milieu de [EC].
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Exercice 16 ______________________________________________________________
On considère la figure ci-contre ; Les droites (AB) et (LI) se coupent en M.
1. Faites la liste des hypothèses.
2. Démontrez que (IK)//(AB) et IK = AB2 .
3. Démontrez que M est le milieu de [LI] et AM = IK2 .
4. Déduisez-en : AM = AB4 .
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A
B
C L K
M I
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4ème leçon
TRIANGLES EGAUX
Définitions : Deux triangles sont égaux lorsqu’ils sont superposables. Les angles B et B’, C et C’ sont des angles superposables. Ils sont dits homologues. Propriété : Si deux triangles ont un coté de même longueur et des angles adjacent à ce côté de même mesure deux à deux, alors ces deux triangles sont égaux.
TRIANGLES SEMBLABLES Définition : Deux triangles sont semblables lorsque les angles de l’un sont égaux aux angles de l’autre
Pour que deux triangles soient semblables, il suffit que deux angles de l’un des triangles soient
égaux à deux angles de l’autre.
Les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables puisque les angles 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� et 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� sont respectivement
égaux aux angles 𝐴𝐴′𝐴𝐴′𝐴𝐴′� et 𝐴𝐴′𝐴𝐴′𝐴𝐴′� .
Propriété : Si deux triangles sont semblables, alors les côtés opposés aux angles égaux sont
proportionnels. BCEF =
ABDE =
ACDF = k
k est appelé : rapport de proportionnalité
B
A
C B’
A’
C’
B
A
C B’
A’
C’
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1ère Série
4ème leçon
Dessiner un triangle isocèle rectangle avec Scratch.
Exercice résolu : ABC est un triangle rectangle en B. ACDE et ABFG sont des carrés.
Les triangles AGC et BAE sont-ils égaux ?
Solution : AG = AB dans le carré ABFG, AB = AC dans le carré ACDE, sont des côtés
superposables qui sont dit homologues. De plus l’angle BAE= GAB+BAC, et pour
GAC=CAE+BAC. Or GAB=CAE=90° et l’angle BAC commun aux deux triangles. D’où
BAE=GAC. Les triangles AGC et BAE sont donc égaux.
A
B C
D
E
G
F Reprod
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Première leçon : Nombres et calculs : Les fractions
Deuxième leçon : Espace et géométrie : Théorème de Thalès
Troisième leçon : Nombres et calculs : Les fractions (suite)
Quatrième leçon : Espace et géométrie : Droites remarquables dans un triangle
Cinquième leçon : Organisation et gestion des données fonctions : Statistiques
2ème SÉRIE
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