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Discussion des mérites et des faiblesses de la méthode
des L-moments pour l’ajustement des lois statistiques
Salaheddine El AdlouniTaha B.M.J. Ouarda
B. Bobée
Les "Seizièmes Entretiens" du Centre Jacques Cartier
Estimation locale et régionale des événements hydrologiques extrêmes
Lyon, 1 Décembre 2003Chaire en Hydrologie Statistique
INRS-ETE
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2
Plan de la présentation
Introduction
Présentation du test basé sur les L-moments
Comparaison avec le test de Kolmogorov-Smirnov
Conclusions & Perspectives de recherche
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But
Ø Déterminer la distribution qui s’ajuste le mieux à un échantillon
Ajustement de la série des débits maximum annuels de la rivière Rimouski par la loi GEV et la loi PIII
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Diagramme des L-moments
Les quatre premiers L-moments sont donnés par (Sillito 1969):
[ ]1
E X xdFλ = = ∫
( )2 2:2 1:2
1E X X x 2F 1 dF
2 λ = − = −∫
( )23 3:3 2:3 1:3
1E X 2X X x 6F 6F 1 dF
3 λ = − + = − +∫
( )3 24 4:4 3:4 2:4 1:4
1E X 3X 3X X x 20F 30F 12F 1 dF
4 λ = − + − = − + −∫
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Estimateurs des L-moments
• Méthode basée sur les PWM Estimateurs Sans-Biais
• Méthode « Plotting-position » Estimateurs Biaisés
• Méthode directe (équivalente à la première)
On définit les rapports des L-moments (Hosking 1990) :
r r 2/τ =λ λ r 3,4,...=
Notation : l1 , l2 , l3 …
Les estimateurs
L-coefficient d’asymétrie (L-Cs) :
L-coefficient d’aplatissement (L-Ck) :3 3 2
t l / l=
4 4 2t l / l=
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Courbes théoriques de quelques distributions les plus utilisées en analyse fréquentielle sur le diagramme des L-moments (Hosking 1990).
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Forces des L-moments
• Produisent une approche unifiée pour une inférence statistique complète Hosking (1990).
• Souffrent moins des effets de variabilité de l’échantillon (Vogel & Fennessey, 1993)
• Plus robustes à la présence des horsains.
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• Bernier (1993) : La robustesse face aux grandes valeurs peut éliminer l’information donnée par les valeurs extrêmes
• Onoz & Bayazit (1995) : on montre une concentration faible des valeurs des L-moments pour les régions considérées proches de la distribution
• Ben-Zvi et al. (1997) :Le diagramme des L-moments ne permet pas de déterminer la distribution la plus adéquate parmi les distributions acceptables.
• Klemeš (2000) : Ce diagramme semble conduire dans de nombreux cas au choix de la loi GEV
Faiblesses des L-moments
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Test basé sur L-Cv (approximation normale) (Chowdhury et al., 1991)
Test basé sur L-Cs (approximation normale) (Chowdhury et al., 1991)
Test basé sur (L-Cv,L-Cs) (Test de Chi-deux) (Chowdhury et al., 1991)
Test basé sur L-Ck (Pandey et al., 2001)
Tests basés sur les L-moments
Ne considère pas la distribution de L-Ck
Simulation à partir d’une distribution Kappa et ajustement aux lois (GEV, LN3 …)
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10
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0
0.005
0.01
0.015
0.02
L-Cs
Var(L-Cs) GEV
LN 3
PIII
Variance de L-Cs des lois GEV, LN3 et PIII pour un échantillon de taille n=50 (simulation faite
pour M=10000)
Variance de L-Ck de la loi LN3 en fonction de la taille de l’échantillon
pour différentes valeurs de L-Cs(simulation faite pour M=10000)
Propriétés de L-Cs et L-Ck
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Illustration du test basé sur les L-moments, tenant compte des lois de L-Cs et L-Ck
Idée
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12
Test basé sur L-Cs et L-Ck :
3 3, 1 2ˆVar ( ) ( / ) /nV n nτ η η≈ = +
4 4, 1 2ˆVar ( ) ( / ) /nV n nτ ω ω≈ = +
[ ] 23 4 1ˆ ˆ,ρ
τ τ ≈ ρ = ρ +Corrn
2 1tχ δ δ−= ΣLa statistique du test
avec( )( )
13, 3 3
14, 4 4
ˆ
ˆ
n
n
V
V
τ τδ
τ τ
−
−
−=
− et
ˆ1
ˆ 1
ρρ
Σ =
-
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Résultat de la comparaison entre le test des L-moments et Kolmogorov-Smirnov : Cas de la loi GEV
01020304050607080
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
t3
P GEV
LN3
PIII
Pourcentage d'acceptation du test des L-moments pour N=1000
échantillons issus d'une loi GEV
01020304050607080
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
t3
P GEV
LN3
PIII
Pourcentage d'acceptation du test K-S pour N=1000 échantillons
issus d'une loi GEV
-
14
0
1020
3040
50
60
70
80
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
t3
P GEV
LN3
PIII
Pourcentage d'acceptation du test des L-moments pour N=1000
échantillons issus d'une loi LN3
0102030405060
708090
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
t3
P GEV
LN3
PIII
Pourcentage d'acceptation du test de K-S pour N=1000
échantillons issus d'une loi LN3
Résultats (Cas de la loi LN3)
-
15
Résultats (Cas de la loi PIII)
0
20
40
60
80
100
120
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
t3
P GEV
LN3
PIII
Pourcentage d'acceptation du test des L-moments pour N=1000
échantillons issus d'une loi PIII
010203040
50607080
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
t3
P GEV
LN3
PIII
Pourcentage d'acceptation du test de K-S, pour N=1000 échantillons
issus d'une loi PIII
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Conclusions & Perspectives de recherche
ü L’emploi de tests basés sur les L-moments seuls, ne permet pas une bonne discrimination entre les lois
ü Nécessité d’explorer d’autres outils statistiques capables de donner plus de poids aux valeurs extrêmes :
Ø LH-moments fonction de statistiques d’ordre élevé
Ø ET-test (Exponential Tail)
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Références
Ben-Zvi, A. and Azmon, B. (1997). Joint Use of L-Moment Diagram and Goodness-of-fit Test: A Case Study of Diverse Series. Journal of Hydrology; 198:245-259.
Bernier, J. (1993) Sur les utilisations des L-Moments en hydrologie statistique. Notes en vue d'une publication.
Chowdhury, J.U. and Stedinger, J.R. (1991). Goodness-of-Fit Tests for Regional Generalized Extreme Value Flood Distributions. Water Resources Research 27 (7), 1765-1776.
Hosking, J.R.M. (1990). L-Moments: Analysis and Estimation of Distributions Using Linear Combinations of Order Statistics. Journal of Royal Statistical Society, 52:105-124.
Klemeš, V. (2000). Tall Tales About Tails of Hydrological Distributions. II. J. Hydrolog. Eng. 5(3) : 232-239.
Onoz, B. and Bayazit, M. (1995). Best-Fit Distribution of Largest Available Flood Samples. Journal of Hydrology. 167:195-208.Pandey, M. D.; van Gelder, P. H. A. J. M., and Vrijling, J. K.(2001). Assessment of an L-Kurtosis-based criterion for quantile estimation. Journal of Hydrologic Engineering. 6(4):284-292
Sillito, G.P. (1969). Derivation of approximants to the inverse distribution function of continuous univariatepopulation from the order statistics of a sample. Biometrika. 56, 641-650.
Vogel, R.M. and Fennessey, N.M. (1993). L-Moment Diagrams Should Replace Moment Diagrams. Water Resources Research, 29:1745-1752.
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