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Investissement financé par endettement (VAR)
Cours de Finance (M1)
Airbus Total Liabilities / Total Assets = 88.73% (2015)
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Valeur actuelle de l’avantage fiscal de la dette
◼ Investissement d’un montant 𝑰 à la date 𝟎
◼ Flux d’activité générés par l’investissement 𝑭𝑨,𝒕, 𝒕 = 𝟏, 𝟐,…
◼ On suppose que 𝑭𝑨,𝒕 ≥ 𝟎, ∀𝒕 = 𝟏, 𝟐,…
◼ L’investissement est financé à 100% par fonds propres
◼ Base d’imposition sur les sociétés : flux d’activité 𝑭𝑨,𝒕
◼ 𝑻𝒄 : taux d’imposition sur les bénéfices
◼ Montant de l’impôt à la date 𝒕 = 𝟏, 𝟐,… : 𝑻𝒄 × 𝑭𝑨,𝒕
◼ Cash-flow to equity : 𝑭𝑬,𝒕 = 𝟏 − 𝑻𝒄 × 𝑭𝑨,𝒕, 𝒕 = 𝟏, 𝟐,…
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Investissement financé à 100% par fonds propres
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Investissement financé par endettement
◼ Cash-flows versés aux actionnaires 𝑭𝑬,𝒕 ?
◼ Fraction des flux d’activité 𝑭𝑨,𝒕 : 𝑭𝑬,𝒕 = 𝟏 − 𝑻𝒄 × 𝑭𝑨,𝒕
◼ Fraction constante si le taux de l’impôt sur les sociétés, 𝑻𝒄, reste constant.
◼ On en déduit que 𝑬𝒕 = 𝟏 − 𝑻𝒄 𝑨𝒕
◼ D’où : 𝑹𝑬,𝒕+𝟏 =𝑬𝒕+𝟏−𝑬𝒕+𝑭𝑬,𝒕+𝟏
𝑬𝒕=
𝑨𝒕+𝟏−𝑨𝒕+𝑭𝑨,𝒕+𝟏
𝑨𝒕= 𝑹𝑨,𝒕+𝟏
◼ Donc : 𝜷𝑬 = 𝜷𝑨
◼ Le taux d’actualisation des flux reçus par les actionnaires est
donc 𝒓 = 𝑹𝑭 + 𝜷𝑨 × 𝑬 𝑹𝑴 − 𝑹𝑭
◼ « Coût d’opportunité du capital »
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Investissement financé à 100% par fonds propres
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Investissement financé par endettement
◼ VAN du projet financé à 100% par fonds propres
◼ 𝐕𝐀𝐍 = −𝑰 + σ𝒕=𝟏,𝟐,…𝑬 𝑭𝑬,𝒕
𝟏+𝒓 𝒕
◼ Supposons le flux d’activité stationnaire : 𝑬 𝑭𝑨,𝒕 = ഥ𝑭𝑨◼ Même niveau moyen à toutes les dates futures
◼ഥ𝑭𝑬 = 𝑬 𝑭𝑬,𝒕 = 𝟏 − 𝑻𝒄 ഥ𝑭𝑨
◼ Date de fin du projet = 𝒏. 𝑭𝑨,𝒕 = 𝟎, ∀𝒕 ≥ 𝒏
◼ 𝐕𝐀𝐍 = −𝑰 + 𝟏 − 𝑻𝒄 ഥ𝑭𝑨 ×𝟏− 𝟏+𝒓 −𝒏
𝒓
◼ Projet perpétuel : 𝒏 = ∞
◼ 𝐕𝐀𝐍 = −𝑰 +𝟏−𝑻𝒄 ഥ𝑭𝑨
𝒓4
Investissement financé à 100% par fonds propres
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Investissement financé par endettement
◼ Cas où le projet est financé par fonds propres et par
endettement
◼ On fait l’hypothèse que les flux d’activité 𝑭𝑨,𝒕 restent
inchangés
◼ Cash-flows reçus par les bailleurs de fonds, somme
◼ des flux versés par l’entreprise non endettée 𝟏 − 𝑻𝒄 𝑭𝑨,𝒕
◼ et des flux liés à l’économie fiscale de la dette
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Valeur Actuelle Rajustée
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Investissement financé par endettement
◼ Flux liés à l’économie fiscale de l’endettement
◼ Par rapport à un financement uniquement par fonds propres
◼ Une fraction 𝑳 de l’investissement 𝑰 est financée par endettement
◼ Montant emprunté : 𝑫 = 𝑳 × 𝑰
◼ On suppose que le montant de la dette reste constant
◼ 𝑫𝒕 = 𝑫,∀𝒕 ≥ 𝟏
◼ Économie fiscale de la dette alors égale à 𝑻𝒄 × 𝑹𝑭 × 𝑫
◼ Soit 𝑻𝒄 × 𝑹𝑭 × 𝑳 × 𝑰
◼ Pour un projet d’investissement perpétuel, l’avantage
fiscal de la dette est égal à : 𝑻𝒄𝑹𝑭𝑫
𝑹𝑭= 𝑻𝒄𝑫 = 𝑻𝒄𝑳𝑰
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Valeur Actuelle Rajustée
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Investissement financé par endettement
◼ La valeur actuelle nette du projet précédent est égale à la
somme de la valeur actuelle nette du projet financé à 100%par fonds propres et de l’économie fiscale de la dette.
◼ Soit valeur actuelle du projet = −𝑰 +𝟏−𝑻𝒄 ഥ𝑭𝑨
𝒓+ 𝑻𝒄𝑳𝑰
◼ On utilise la terminologie « valeur actuelle rajustée » (VAR)◼ Il s’agit de la « vraie » valeur actuelle du projet pour les
bailleurs de fonds
◼ Traduction de « Adjusted Present Value »
◼ Adjusted : rajusté
◼ Notion introduite par Stewart Myers◼ The Future of Corporate Governance
◼ MIT lecture, 2005◼ http://mitworld.mit.edu/video/330
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Valeur Actuelle Rajustée
http://mitworld.mit.edu/video/330
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Investissement financé par endettement
◼ Les bailleurs de fonds investissent 𝑰 pour acquérir des flux de même risque que les flux d’activité 𝟏 − 𝑻𝒄 𝑭𝑨,𝒕 et des
flux sans risque liés à l’économie fiscale de la dette 𝑻𝒄𝑳𝑰 ×𝑹𝑭◼ Décomposition des flux de manière additive en fonction du
risque qui s’y rattache.
◼ Les bailleurs de fonds détiennent un portefeuille constitué de
𝟏 − 𝑻𝒄 unités d’actif 𝐴 et de 𝑻𝒄𝑳𝑰 unités de rente perpétuelle
◼ Portefeuille composé d’actif risqué et d’actif sans risque
◼ Le projet est retenu si sa VAR est positive
◼ On regarde l’intérêt collectif des bailleurs de fonds,
◼ Pas de conflit d’intérêts entre actionnaires et créanciers
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Valeur Actuelle Rajustée
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Investissement financé par endettement
◼ La méthode précédente repose sur une analyse des flux de
trésorerie et de leur risque
◼ Décomposition des flux futurs reçus par les bailleurs de
fonds en flux s’additionnant mais de risques différents
◼ Chaque catégorie de flux fait appel à un taux d’actualisation
spécifique, donné par le MEDAF
◼ La valeur de marché de l’ensemble est la somme des valeurs
de marché des deux composantes.
◼ Cette méthode peut se généraliser à des situations de projets
ayant une durée de vie finie, des flux de trésorerie non
stationnaire, des changements de taux de l’IS
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Valeur Actuelle Rajustée
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Investissement financé par endettement
◼ De la valeur actuelle rajustée au taux d’actualisation ajusté
◼ Le projet d’investissement est retenu si la VAR est positive
◼ 𝐕𝐀𝐑 = −𝑰 +𝟏−𝑻𝒄 ഥ𝑭𝑨
𝒓+ 𝑻𝒄𝑳𝑰 ≥ 𝟎
◼ Notons ഥ𝑭𝑨,𝑼 = 𝟏 − 𝑻𝒄 ഥ𝑭𝑨 l’espérance des flux reçus par
les bailleurs de fonds d’une entreprise non endettée◼ 𝑼 : Unleveraged
◼ 𝐕𝐀𝐑 = −𝑰 +ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓+ 𝑻𝒄𝑳𝑰 = −𝑰 × 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 +
ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓≥ 𝟎
◼ −𝑰 × 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 +ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓≥ 𝟎 ⇔ −𝑰 +
ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓 𝟏−𝑻𝒄𝑳≥ 𝟎
◼ 𝒓∗ = 𝒓 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 : taux d’actualisation ajusté
◼ 𝐕𝐀𝐑 ≥ 𝟎 ⇔ −𝑰 +ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓∗≥ 𝟎
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Coût du Capital RajustéFormule de Modigliani-Miller
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Investissement financé par endettement
◼ Interprétation du résultat précédent
◼ −𝑰 +ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓∗est la VAN des flux reçus par les bailleurs de
fonds quand le projet est financé sans endettement
◼ flux futurs espérés ഥ𝑭𝑨,𝑼
◼ Et quand le taux d’actualisation est 𝒓∗
◼ 𝒓∗ Taux d’actualisation ajusté ou coût du capital ajusté
◼ Avantage fiscal de la dette caché dans le taux d’actualisation
◼ 𝒓∗ = 𝒓 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 ≤ 𝒓 ⇒ −𝑰 +ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓∗≥ −𝑰 +
ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓
◼ 𝒓∗ = 𝒓 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 : Formule de Modigliani Miller
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Coût du Capital RajustéFormule de Modigliani-Miller
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Investissement financé par endettement
◼ Formule de Modigliani Miller : 𝒓∗ = 𝒓 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳◼ 𝒓 : coût d’opportunité du capital◼ 𝒓∗ : coût du capital rajusté ◼ 𝑳 = Τ𝑫 𝑰 : fraction de l’investissement financée par dette◼ 𝑻𝒄 : taux d’imposition sur les bénéfices des sociétés
◼ Application : 𝐕𝐀𝐑 ≥ 𝟎 ⇔ −𝑰 +ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓∗≥ 𝟎
◼ On investit dans le projet si ഥ𝑭𝑨,𝑼 ≥ 𝒓∗ × 𝑰
◼ 𝒓∗ × 𝑰 : Cash-flow limite
◼ Méthode rapide mais dépend de nombreuses hypothèses :
◼ Niveau de dette constant, 𝑫𝒕 = 𝑫, ∀𝒕 ≥ 𝟏
◼ Cash-flows stationnaires 𝑬 𝑭𝑨,𝒕 = ഥ𝑭𝑨◼ Projet perpétuel, 𝒏 = ∞, etc.
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Coût du Capital RajustéFormule de Modigliani-Miller
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Investissement financé par endettement
◼ VAR, 𝐕𝐀𝐍𝑪𝑪𝑹 et taux d’actualisation ajusté 𝒓∗
◼ On a établi que : 𝐕𝐀𝐑 = −𝑰 × 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 +ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓
◼ Comme 𝒓∗ = 𝒓 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 , on peut écrire :
◼ 𝐕𝐀𝐑 = 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 −𝑰 +ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓∗
◼ 𝐕𝐀𝐍𝑪𝑪𝑹 = −𝑰 +ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓∗
◼ CCR : Coût du Capital Rajusté
◼ 𝐕𝐀𝐑 ≠ 𝐕𝐀𝐍𝑪𝑪𝑹
◼ sauf si −𝑰 +ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓∗= 𝟎
◼ C’est la 𝐕𝐀𝐑 qui mesure la création de richesse
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Coût du Capital RajustéFormule de Modigliani-Miller
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Investissement financé par endettement
◼ Taux d’actualisation ajusté 𝒓∗ pour un projet à durée de vie limitée 𝒏 < ∞
◼ Formule de Modigliani-Miller : 𝒓∗ = 𝒓 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 pour un projet perpétuel, 𝒏 = ∞
◼ Pour un projet de durée de vie 𝒏 < ∞, il reste possible de déterminer un taux d’actualisation ajusté 𝒓∗
◼ Mais on perd la simplicité de la formule de Modigliani-Miller
◼ L’économie fiscale de la dette à la date 𝒕 + 𝟏 ≤ 𝒏 est égale à 𝑹𝑭𝑻𝒄𝑫 = 𝑹𝑭𝑻𝒄𝑳𝑰
◼ L’avantage fiscal de la dette est la valeur d’une rente
temporaire sans risque de montant 𝑹𝑭𝑻𝒄𝑳𝑰 et de durée 𝒏
◼ Soit :𝑹𝑭𝑻𝒄𝑳𝑰 ×𝟏− 𝟏+𝑹𝑭
−𝒏
𝑹𝑭= 𝑻𝒄𝑳𝑰 × 𝟏 − 𝟏 + 𝑹𝑭
−𝒏
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Coût du Capital RajustéFormule de Modigliani-Miller
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Investissement financé par endettement
◼ Taux d’actualisation ajusté 𝒓∗ pour un projet à durée de vie limitée 𝒏 < ∞ (suite)◼ La VAN « de base » du projet correspond à un financement
sans endettement
◼ Rappelons qu’elle est égale à −𝑰 + 𝟏 − 𝑻𝒄 ഥ𝑭𝑨 ×𝟏− 𝟏+𝒓 −𝒏
𝒓
◼ Et que 𝒓 = 𝑹𝑭 + 𝜷𝑨 × 𝑬 𝑹𝑴 − 𝑹𝑭 , ഥ𝑭𝑨 = 𝑬 𝑭𝑨,𝒕◼ La VAR est la somme de la VAN de base et de l’avantage fiscal
de l’endettement
◼ 𝐕𝐀𝐑 = −𝑰 + 𝟏 − 𝑻𝒄 ഥ𝑭𝑨𝟏− 𝟏+𝒓 −𝒏
𝒓+ 𝑻𝒄𝑳𝑰 𝟏 − 𝟏 + 𝑹𝑭
−𝒏
◼ 𝐕𝐀𝐑 = −𝑰 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 𝟏 − 𝟏 + 𝑹𝑭−𝒏 + ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝟏− 𝟏+𝒓 −𝒏
𝒓
◼ On rappelle que ഥ𝑭𝑨,𝑼 = 𝟏 − 𝑻𝒄 ഥ𝑭𝑨
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Coût du Capital RajustéFormule de Modigliani-Miller
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Investissement financé par endettement
◼ Critère d’investissement 𝐕𝐀𝐑 ≥ 𝟎 ⇔ −𝑰൫
൯
𝟏 − 𝑻𝒄𝑳ሺ
ሻ
𝟏 −
𝟏 + 𝑹𝑭−𝒏 + ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝟏− 𝟏+𝒓 −𝒏
𝒓≥ 𝟎
◼ Cherchons 𝒓∗ tel que :
◼
𝟏− 𝟏+𝒓∗ −𝒏
𝒓∗=
𝟏− 𝟏+𝒓 −𝒏
𝒓× 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 𝟏 − 𝟏 + 𝑹𝑭
−𝒏 −𝟏
◼ 𝒓∗ est bien défini : existence et unicité de 𝒓∗
◼ −𝑰 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 𝟏 − 𝟏 + 𝑹𝑭−𝒏 + ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝟏− 𝟏+𝒓 −𝒏
𝒓≥
𝟎 ⇔ −𝑰 + ഥ𝑭𝑨,𝑼𝟏− 𝟏+𝒓∗ −𝒏
𝒓∗≥ 𝟎
◼ A comparer à 𝐕𝐀𝐑 ≥ 𝟎 ⇔ −𝑰 +ഥ𝑭𝑨,𝑼
𝒓∗≥ 0 quand 𝒏 = ∞
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Coût du Capital RajustéFormule de Modigliani-Miller
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Investissement financé par endettement
◼ Taux d’actualisation ajusté 𝒓∗ pour un projet à durée de vie limitée 𝒏 < ∞ (suite)
◼ −𝑰 + ഥ𝑭𝑨,𝑼𝟏− 𝟏+𝒓∗ −𝒏
𝒓∗≥ 𝟎
◼ 𝐕𝐀𝐍𝑪𝑪𝑹 = −𝑰 + ഥ𝑭𝑨,𝑼𝟏− 𝟏+𝒓∗ −𝒏
𝒓∗est la valeur actuelle nette
des flux reçus par les bailleurs de fonds d’un projet financé
en totalité par fonds propres
◼ quand le taux d’actualisation est 𝒓∗
◼ Comme précédemment 𝐕𝐀𝐑 ≠ 𝐕𝐀𝐍𝑪𝑪𝑹
◼ On peut s’interroger sur la pertinence de l’utilisation de taux
d’actualisation ajustés : hypothèses fortes, calculs lourds,
risques de confusion entre 𝐕𝐀𝐑 et 𝐕𝐀𝐍𝑪𝑪𝑹17
Coût du Capital RajustéFormule de Modigliani-Miller
-
Exercice : investissement financé par
endettement
◼ Contexte : environnement de taux très bas, notamment
dans la zone euro (novembre 2014)
◼ Taux sans risque pour une durée de 3 ans, 0%
◼ Pour une durée de 10 ans, moins de 1%
◼ Conditions d’emprunt de l’Allemagne
◼ Montants liés à l’avantage fiscal de l’endettement, plus
faibles qu’avec des données anciennes souvent utilisées
◼ Objectif : mieux comprendre les effets liés à l’interaction
entre maturité de l’investissement et niveau du taux sans
risque dans le calcul de la VAAF
◼ VAAF : valeur actuelle de l’avantage fiscal
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Exercice : investissement financé par
endettement
◼ Données et hypothèses :
◼ 𝐼 = 1 million €, 𝐿 = 50%, 𝑇𝑐 = 40%, 𝑟 = 7%
◼ la VAN du projet financé à 100% par fonds propres est nulle
◼ 𝐕𝐀𝐍 = −𝑰 + 𝟏 − 𝑻𝒄 ഥ𝑭𝑨 ×𝟏− 𝟏+𝒓 −𝒏
𝒓= 𝟎
◼ Ce qui donne 𝟏 − 𝑻𝒄 ഥ𝑭𝑨 = Τ𝒓 × 𝑰 𝟏 − 𝟏 + 𝒓−𝒏
◼ Le tableau ci-dessous donne le flux d’activité après IS (EBITDA),
𝟏 − 𝑻𝒄 ഥ𝑭𝑨 en fonction de la durée du projet 𝒏
◼ Plus la durée du projet est grande, moins le flux d’activité
permettant de rentabiliser le projet est élevé
◼ On remarque que pour un investissement de dix ans, il faut un flux
d’activité deux fois plus élevé que pour un investissement
perpétuel.
19
1 2 3 4 5 10 15 30 100001 070 000 € 553 092 € 381 052 € 295 228 € 243 891 € 142 378 € 109 795 € 80 586 € 70 000 €
-
Exercice : investissement financé par
endettement
◼ VAAF pour un investissement d’un million d’euros
◼ En fonction de la maturité de l’investissement
◼ Et du taux de la dette
◼ Pour un investissement à 10 ans, la VAAF est x 5 quand le taux
passe de 1% à 7%
◼ Pour un taux de 3% et un horizon de 10 ans, la VAAF n’est que de
50 k€ au lieu de 200 k€ si on utilise la formule 𝑽𝑨𝑨𝑭 = 𝑻𝒄𝑳𝑰
20
taux / durée investissement 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7%
1 1 980 € 3 922 € 5 825 € 7 692 € 9 524 € 11 321 € 13 084 €
2 3 941 € 7 766 € 11 481 € 15 089 € 18 594 € 22 001 € 25 312 €3 5 882 € 11 536 € 16 972 € 22 201 € 27 232 € 32 076 € 36 740 €4 7 804 € 15 231 € 22 303 € 29 039 € 35 460 € 41 581 € 47 421 €5 9 707 € 18 854 € 27 478 € 35 615 € 43 295 € 50 548 € 57 403 €
10 18 943 € 35 930 € 51 181 € 64 887 € 77 217 € 88 321 € 98 330 €
15 27 730 € 51 397 € 71 628 € 88 947 € 103 797 € 116 547 € 127 511 €30 51 615 € 89 586 € 117 603 € 138 336 € 153 725 € 165 178 € 173 727 €
10000 200 000 € 200 000 € 200 000 € 200 000 € 200 000 € 200 000 € 200 000 €
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Exercice : investissement financé par
endettement
◼ Le tableau présenté illustre les difficultés de calcul de la VAAF
en environnement de taux bas
◼ Surestimation de l’avantage fiscal de la dette avec la méthode
simple (investissement perpétuel)
◼ La déductibilité des intérêts profite surtout aux entreprises payant
des intérêts élevés
◼ On suppose ici que le taux d’actualisation pertinent pour le calcul de
l’avantage fiscal de l’endettement est « le » taux de la dette
financière de l’entreprise
◼ Ceci est pertinent à condition que l’entreprise reste redevable de l’IS
◼ Or un niveau excessif d’endettement et des taux élevés vont limiter
la capacité bénéficiaire de l’entreprise
◼ Il conviendrait alors d’appliquer un taux d’actualisation plus élevé
pour compenser la baisse de la VAAF liée à l’effet précédent …
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Investissement financé par endettement
◼ Domaine de validité de la formule 𝒓∗ = 𝒓 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳
◼ On reste dans le cadre MM
◼ Endettement constant
◼ Et on centre l’analyse sur les effets taux et maturité
◼ Les données sont les mêmes que précédemment
◼ On a retenu un taux de la dette de 3%
◼ On remarque que la formule de MM 𝒓∗ = 𝒓 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 surestime le coût du capital rajusté 𝒓∗
◼ Comme précédemment, l’approche simplifiée implique un
surinvestissement22
1 2 3 4 5 10 15 30 1000
𝒓∗ 6,38% 6,17% 6,07% 6,01% 5,97% 5,88% 5,85% 5,80% 5,60%𝒓 𝟏 − 𝑻𝒄𝑳 5,60% 5,60% 5,60% 5,60% 5,60% 5,60% 5,60% 5,60% 5,60%
Coût du capital 𝒓 7% 7% 7% 7% 7% 7% 7% 7% 7%
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