cours 27 fonction exponentielle et logarithmique

cours 27

FONCTION EXPONENTIELLE ET LOGARITHMIQUE

Au dernier cours, nous avons vu

Aujourd’hui, nous allons voir

✓Dérivée des fonctions exponentielles

et logarithmiques

Calculons la dérivée de ces fonctions

Si cette limite existe, c’est une constante.

Reste à savoir ce que vaut cette limite.

Malheureusement, nous n’avons pas les outils pour évaluer cette limite

Nous allons au moins tenter une approche numérique.

Exemple:

Exemple:

Naturellement cette démarche ne démontre absolument rien.Tout ce qu’elle fait est de laisser entendre que l’égalité

suivante est peut-être vrai.

Dans le cas particulier où la base est le nombre

Approche alternative

Historiquement les fonctions exponentielle et logarithmique ont été étudier indépendamment.

On peut commencer par définir l’exponentielle

et définir le logarithme comme sa fonction inverse.

Ou bien on commence par définir le logarithme

et on défini l’exponentielle comme sa fonction inverse.

Historiquement le logarithme est apparue pour

transformer les produits en sommes.

On peut définir le logarithme comme la fonction qui donne l’aire sous la courbe de 1 à x de la fonction

On défini tel que l’aire = 1

À l’aide de cette dérivée, on trouve

Si

Si

Donc la fonction qu’on a nommée ln possède bien la propriété voulue.

Essayons de comprendre la fonction réciproque.

Par définition

Car

pour

Donc on a bien que

Une constante

Similairement on peut trouver la dérivée de

Exemple:

Exemple:

Exemple:

Exemple:

Faites les exercices suivants

# 24 et 25

Exemple:

Exemple:

Exemple:

Faire l’analyse complète de

pt. cr. :

pt. cr. :

Exemple:

Faites les exercices suivants

# 26

Aujourd’hui, nous avons vu

Devoir: #24 à 30