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Complément en mécanique

des fluides

Formation de formateurs 23 janvier 2020

Barde Michel et Nathalie, Mazerat Christophe, Tarride Isabelle

B.O. (spécialité première) :

• D’où vient la relation fondamentale de l’hydrostatique et quelles sont les conditions d’application ?

• Considérons une particule élémentaire de fluide , de volume V = dxdydz. Elle est soumise aux forces de pression de la part des autres particules de fluide :

Suivant l’axe (Oz),la

projection des forces est :

p(z)dxdy – p(z+dz)dxdy

= -𝜕𝑝

𝜕𝑧dzdxdy

…et de même sur les autres axes.

Finalement, la résultante des forces de pression sur la particule de fluide est :

𝐹 : - dxdydz

La force volumique correspondante est :

𝐹𝑝 = -

La force volumique correspondant au poids est :

𝑃𝑣 =

Si le fluide est au repos :

𝑃𝑣 = et 𝐹𝑝 = - se compensent

Ainsi :

D’où :

• P ne dépend que de l’altitude z

• dP = - dz

s’intègre facilement si est constant ce qui est le cas des fluides incompressibles (sinon dépend de P )

dP = - dz

PB – PA = - ( zB – zA )

PB – PA = (zA - zB)

Attention donc si l’axe est orienté vers le bas !(axe de profondeur)

si l’axe est orienté vers le bas

dP = - dz

PB – PA = - ( zB – zA )

PB – PA = (zB - zA)

B.O. (spécialité terminale) :

Définition du débit massique (hors programme) :

C’est la masse qui traverse une surface par unité de temps. Unité : kg/s

Dans le cas d’une section droite d’un tube de

courant : Dm = v S

Ԧ𝑣

Définition du débit volumique (au programme):

C’est le volume qui traverse une surface par unité de temps. Unité : m3/s

Dans le cas d’une section droite d’un tube de

courant : DV = v S

Ԧ𝑣

En régime stationnaire, le débit massique se conserve à travers toute section d’un tube de courant : Dm1 = Dm2

donc 1 v1 S1 = 2 v2 S2

Dans le cas d’un fluide incompressible, = cste

1 = 2 et 1 v1 S1 = 2 v2 S2

devient :

v1 S1 = v2 S2

Dans le cas d’un fluide incompressible, = cste

v1 S1 = v2 S2

Il y a conservation du débit volumique pour un fluide incompressible en régime permanent.

Dv1 = Dv2

Et pour les écoulements gazeux ?

Les gaz sont compressibles !

Mais pour v 0,3 vson ( 370 km/h à 0°C)

On peut considérer que l’écoulement est incompressible.

Le débit volumique peut donc être considéré comme constant même si le fluide n’est pas incompressible.

B.O. (spécialité terminale) :

La relation de Bernoulli :

Pour un écoulement incompressible :• d’un fluide parfait (pas de viscosité, donc pas de

forces de frottements),• en régime stationnaire,• et sans échange de chaleur avec l’extérieur

(le fluide reste à température constante) :

P + 𝑣2

2+ gz = Cste

Le long d’une ligne de courant*

La relation traduit un bilan d’énergie mécanique :

En appliquant le principe de conservation de l’énergie mécanique à une particule fluide de masse dm = Dmdt :

dEm = d(Ec + Epp) = W(forces de pression)

Dmdt ( 1

2(𝑣2

2-𝑣12) + g(z2 – z1)) = P1v1dtS1 – P2v2dtS2

Avec Dm = v1S1 = v2S2 (écoulement incompressible)

z2z1

v1dt

v2dt

On aboutit à :

P1 + 𝑣1

2

2+ gz1 = P2 +

𝑣22

2+ gz2

Énergievolumique de

pression

Énergie cinétique

volumique

Énergie potentiellevolumique

Daniel Bernoulli (1700-1782)

Application : Effet Venturi

P1 + 𝑣1

2

2+ gz1 = P2 +

𝑣22

2+ gz2

v alors P ( pour z constant)

Vaporisateur

Trompe à vide

• Application de la relation de Bernoulli : mesure de la vitesse d’un écoulement à l’aide d’un tube de Pitot.

Bernoulli entre A et A (point d’arrêt) :

PA + 𝑣2

2= 0 + PA

Bernoulli entre B et B (ligne de courant):

PB + 𝑣2

2= PB +

𝑣2

2donne PB = PB

Loin du tube, PA = PB

D’où𝑣2

2= PA – PB

Un manomètre différentiel mesure PA – PB

On peut en déduire v, la vitesse de l’écoulement par rapport au tube de Pitot.

• Tube de Pitot utilisé dans l’aéronautique

Mirage 2000