chapitre 7 torsion pure

Chapitre 7

Torsion pure

Campus centre

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Définition

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Campus centre

Une poutre est sollicitée à la torsion pure si le seul élément de

réduction au centre de gravité de chaque section des forces de

cohésion est un moment autour de la ligne moyenne appelé moment

de torsion.

N=Ty=Tz=0 , Mfy=Mfz=0 , Mt 0

GA B

L

MM

Etude des déformations

• Soit une poutre circulaire pleine, parfaitement encastrée en , soumise à l’extrémité à un moment de torsion

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Campus centre

Mt

M0

M1

S1

SS0

l

l1

. G

M

M’

M’1

M

M’

α1

α

α

:angle de torsion unitaire (rad/mm)

: angle total de torsion de (S)/(S0) (rad)

l: distance entre (S) et (S0) (mm)

L’expérience montre que, pour

une section et un moment de

torsion donnés, on a :

Si Mt<MA, on est dans le domaine

élastique, l’angle est proportionnel

au moment appliqué

Si Mt>MA, on est dans le domaine

plastique, l’angle n’est plus

proportionnel au moment appliqué

On appelle , l’angle MM0M’. Cet angle

représente l’angle de glissement de

(S)/(S0) (ou distorsion).

On a :

Etude des déformationsCampus centre

M0

M1

S1

SS0

l

M’1

M

M’

α1

α

Etude des déformations

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Campus centre

En torsion, les sections du solide sont soumises à une contrainte

tangentielle (ou de cisaillement). Nous avons vu (cf. chapitre VI) la

relation liant les contraintes et les déformations:

On obtient donc:

Avec:

: la contrainte de cisaillement,

G : le module de Coulomb,

: angle unitaire de torsion,

: distance du point considéré à l’axe Gx.

Etude des contraintes

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Campus centre

On coupe le cylindre en une section (S) et on exprime que la partieisolée est en équilibre sous l’action du moment de torsion Mt et desforces de cohésion dans la section (S).

S.. dSM

t

Gr dS

dS : élément de surface situé à une distance del’axe Gx, soumis à une contrainte de cisaillement

L’effort élémentaire de cisaillement dF vaut donc:

dSdF .

L’équilibre de l’élément isolé s’écrit donc:

Or : ..G

D’où :S

..G². dSMt

Comme G. est identique pour chaque dS, on obtient finalement :

S²...G dSM

t 0tIM ..G Moment d’inertie

polaire

de (S)/ à G

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Etude des contraintesCampus centre

On sait aussi que :

max

max

max

max

..G

0

t

I

M.

On peut donc exprimer la contrainte de cisaillement en fonction deMt, on obtient:

0tIM ..GOn a donc :

La contrainte de cisaillement est donc proportionnelle à la distance /au c.d.g. de la section et est maximale pour = r :

0

tmax

I

Mr.

)(mm torsion de module : r

I 30

Dimensionnement

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Campus centre

Condition de résistance

Le dimensionnement des solides soumis à la torsion pure se fera enlimitant la valeur de la contrainte tangentielle à une valeur notée Rpg

(résistance pratique au glissement = contrainte tangentielleadmissible adm) définie par :

On obtient ainsi l’inéquation (d’équarrissage) suivante:

Dimensionnement

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Campus centre

Condition de déformation

On utilise souvent l’angle limite de torsion pour dimensionner unepièce soumise à la torsion (surtout dans le cas d’arbres de grandelongueur).On obtient ainsi l’inéquation suivante:

lim

0

t

lim

0

t

G.I

M

ou

G.I

M

.

.MPt

Avec : P : puissance en Watts

Mt : moment de torsion en N.m

: vitesse angulaire en rad/s

Si la vitesse de rotation est donnée en tours/min, il faut convertir :

60

..2 n