chapitre 7 torsion pure
TRANSCRIPT
Chapitre 7
Torsion pure
Campus centre
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Définition
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Campus centre
Une poutre est sollicitée à la torsion pure si le seul élément de
réduction au centre de gravité de chaque section des forces de
cohésion est un moment autour de la ligne moyenne appelé moment
de torsion.
N=Ty=Tz=0 , Mfy=Mfz=0 , Mt 0
GA B
L
MM
Etude des déformations
• Soit une poutre circulaire pleine, parfaitement encastrée en , soumise à l’extrémité à un moment de torsion
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Campus centre
Mt
M0
M1
S1
SS0
l
l1
. G
M
M’
M’1
M
M’
α1
α
α
:angle de torsion unitaire (rad/mm)
: angle total de torsion de (S)/(S0) (rad)
l: distance entre (S) et (S0) (mm)
L’expérience montre que, pour
une section et un moment de
torsion donnés, on a :
Si Mt<MA, on est dans le domaine
élastique, l’angle est proportionnel
au moment appliqué
Si Mt>MA, on est dans le domaine
plastique, l’angle n’est plus
proportionnel au moment appliqué
On appelle , l’angle MM0M’. Cet angle
représente l’angle de glissement de
(S)/(S0) (ou distorsion).
On a :
Etude des déformationsCampus centre
M0
M1
S1
SS0
l
M’1
M
M’
α1
α
Etude des déformations
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Campus centre
En torsion, les sections du solide sont soumises à une contrainte
tangentielle (ou de cisaillement). Nous avons vu (cf. chapitre VI) la
relation liant les contraintes et les déformations:
On obtient donc:
Avec:
: la contrainte de cisaillement,
G : le module de Coulomb,
: angle unitaire de torsion,
: distance du point considéré à l’axe Gx.
Etude des contraintes
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Campus centre
On coupe le cylindre en une section (S) et on exprime que la partieisolée est en équilibre sous l’action du moment de torsion Mt et desforces de cohésion dans la section (S).
S.. dSM
t
Gr dS
dS : élément de surface situé à une distance del’axe Gx, soumis à une contrainte de cisaillement
L’effort élémentaire de cisaillement dF vaut donc:
dSdF .
L’équilibre de l’élément isolé s’écrit donc:
Or : ..G
D’où :S
..G². dSMt
Comme G. est identique pour chaque dS, on obtient finalement :
S²...G dSM
t 0tIM ..G Moment d’inertie
polaire
de (S)/ à G
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Etude des contraintesCampus centre
On sait aussi que :
max
max
max
max
..G
0
t
I
M.
On peut donc exprimer la contrainte de cisaillement en fonction deMt, on obtient:
0tIM ..GOn a donc :
La contrainte de cisaillement est donc proportionnelle à la distance /au c.d.g. de la section et est maximale pour = r :
0
tmax
I
Mr.
)(mm torsion de module : r
I 30
Dimensionnement
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Campus centre
Condition de résistance
Le dimensionnement des solides soumis à la torsion pure se fera enlimitant la valeur de la contrainte tangentielle à une valeur notée Rpg
(résistance pratique au glissement = contrainte tangentielleadmissible adm) définie par :
On obtient ainsi l’inéquation (d’équarrissage) suivante:
Dimensionnement
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Campus centre
Condition de déformation
On utilise souvent l’angle limite de torsion pour dimensionner unepièce soumise à la torsion (surtout dans le cas d’arbres de grandelongueur).On obtient ainsi l’inéquation suivante:
lim
0
t
lim
0
t
G.I
M
ou
G.I
M
.
.MPt
Avec : P : puissance en Watts
Mt : moment de torsion en N.m
: vitesse angulaire en rad/s
Si la vitesse de rotation est donnée en tours/min, il faut convertir :
60
..2 n