chapitre 2: optique géométrique -...

59

Chapitre2:Optiquegéométrique4eme Exemple:2Dioptresobliques(non//èPrisme)

ExpériencedeNewton(Dispersiondelalumière,6Février1672):lalumièreblancheestconstituéed’unmélangedecouleurs.

Ensuivantles loisderéfraction,lesrayonsincidentsémergentensubissantunedéviationDdépendantedelalongueurd’ondedechaquecomposantedecesrayons.

Uneétudedétaillé(Documentfourni)serésumedanslesrelationssuivantes:

sini=nsinr,sini'=nsinr',A=r+r',D=(i- r)+(i'- r')=i+i'- A

LesanglesAetDm (minimumdedéviation)semesurentexpérimentalementavecunebonneprécisionàl'aided'ungoniomètre.EnD=Dm,lerayonlumineuxaunparcourssymétriqueparrapportauplanbissecteurdel'angleduprisme(r=r'eti=i').

Leprismen’estrigoureusementstigmatiquequepourunpointdel’arrêteouunpointàl’infini.Ilyauradoncunstigmatismeapprochélorsquel’objetn’envoiequ’unpinceauderayons,auvoisinagedel’arrête,etauminimumdedéviation.C'estpourquoileprismeestengénéralutilisédanscesconditions.

VoirTD

5eme Exemple:Miroirsphérique

Enutilisantunesourceponctuelle,

lesrayonsréfléchissurunmiroir

sphériquen’admettentpasunseul

pointd’intersection.Iln’yapasde

stigmatismerigoureuxnimêmede

stigmatismeapprochépuisqueles

pointsimagessonttrèséloignés.

Pourréaliserlestigmatisme,il

faudraserestreindreauxrayons

paraxiaux enutilisantun

diaphragme(éliminerlesrayons

delabordureoutropinclinés).

60

Chapitre2:Optiquegéométrique

ApproximationdeGausspourtoutsystèmeoptique:

• Pourqu’ilyaitdoncstigmatismeetaplanétismeapprochés,les

troisconditionssuivantesdoiventêtrevérifiées :

• 1.Lesrayonslumineuxdoiventêtreparaxiaux.

• 2.Lesrayonsrencontrentlasurfaced’entréedusystèmeoptiqueauvoisinagedesonsommet(situésurl’axeoptiquepourun

systèmecentré).

• 3.L’angled’incidencedesrayonsestpetit.

• Dansl'approximationdeGauss,laloidelaréfractiondevientlinéaire puisquelesanglesd'inclinaisonsontpetits :

• Pourcetteraison,onditparfoisquel'approximationdeGaussest

l'approximationlinéaire del'optiquegéométrique.

61

Chapitre2:Optiquegéométrique

n1i = n2r

Représentationsymboliquedesmiroirssphériques

Danslasuite,onadopteralaconventionsuivante:

• L'axeoptiqueestorientépositifdanslesensdelalumièreincidente.

• LemiroirestalorsconcavesiR<0etconvexesiR>0.

• Ledécrochementauxextrémitésdessymbolesrappelantlesensdelacourbure(concavité).

62

Chapitre2:Optiquegéométrique

R = SC

Symboles

Relationsdeconjugaisons :

SoitA’l’imaged’unobjetA(AetA’

sontconjuguésparrapportaumiroir).

Pourétablirlesrelationsentreleurs

positionsdanslecadrede

l’approximationdeGauss,troisrayons

particulierssontutiliséspourcette

construction :

• UnrayonpassantparCn’estpasdévié puisqu’ilpasseparlanormaleaumiroir.

• Unrayonincidentparallèleàl’axeseréfléchitenpassantparlefoyerimageF.

• UnrayonincidentpassantparlefoyerobjetFseréfléchitparallèlementàl’axe.

C F S

B

A

A’

B’

H

H’

63

Chapitre2:Optiquegéométrique

Originesauxsommet S:

Soitlesens+ ApproximationdeGaussangleω petit

Larelationdeconjugaisondumiroir

sphérique(originesausommet)estdonc:

Pointsparticuliers:Foyerprincipal(objetetimage) Fà∞ et∞ à F.

Ladistancefocalef d’unmiroirsphérique:64

Chapitre2:Optiquegéométrique

A A’CSα ω α’

i i’ω =α +ietα’=i’+ωsoitα +α’=2ω

α ≈ tgα = SISA

α ' ≈ tgα ' = SISA '

ω ≈ tgω =SISC

SCSASA2

'11

=+

1f=1f '=1SF

=2SC

=2R

Originesaufoyer F:

• Sionconsidèrelestriangles

BAF etFSH’, legrandissement est

• Sionconsidèrelestriangles

B’A’F etFSH, legrandissement est

• OnobtientalorslarelationdeNewton:

Onremarquequel’objetAetl’imageA’sonttoujoursdumêmecotédu

foyerd’unmiroirsphérique.

OriginesaucentreC:

EnintroduisantlepointCdansla

dernièrerelation,ontrouveune

nouvellerelationdeconjugaison:

γ =A 'B 'AB

=SH 'AB

=FSFA

=− fFA

γ =A 'B 'AB

=A 'B 'SH

=FA 'FS

=FA '− f

65

Chapitre2:Optiquegéométrique

C F S

B

A

A’

B’

H

H’

CSCACA2

'11

=+

'.'. 22fffFSFAFA ===

Legrandissementtransversald’unmiroirsphérique

Sionconsidèrelestriangles

CAB etCA’B’ legrandissementest

• Parcontreenconsidérantles

trianglesABS etA’B’S onaura :

• alorslegrandissementestsousforme :

CACA

ABBA '''==γ

66

Chapitre2:Optiquegéométrique

C F S

B

A

A’

B’

H

H’

SAAB

SABA

−='''

SASA

ABBA '''

−==γ

FormuledeLagrange-Helmholtz :

Ils’agitderelierlestaillesdesobjets

etcellesdesimagesaveclesangles

queformentleur rayonsavecl’axe

optique.

et

Sachantquetgα~α ettgα’~α’ (conditiondeGauss).

Onaurarappelonsque

OnobtientlarelationditedeLagrange-Helmholtz :

Legrossissement (grandissementangulaire)estdéfinitcomme :

liéaveclegrandissement (linéaire)par :

tgα = SHAS

tgα ' = SHA 'S

SAAS'

'=

αα

ASSA

ABBA '''

−==γ

αα '

=G

1. −=γG

''' BAAB αα −=

67

Chapitre2:Optiquegéométrique

Constructiond’imagesàtraversunmiroirsphériqueconcave:

ObjetréelavantC ObjetréelentreCetF

68

Chapitre2:Optiquegéométrique

AB

C F S

A’B’

A’B’

C F S

AB

L'imageestréelle,renverséeetpluspetitequel'objet

L'imageestréelle,renverséeetagrandie

Constructiond’imagesàtraversunmiroirsphériqueconvexe:

ObjetréelavantS ObjetvirtuelentreSetF

69

Chapitre2:Optiquegéométrique

AB

CFS

A’B’ A’B’

CFS

AB

L'imageestvirtuelle,droiteetpluspetitequel'objet

(rétroviseur)

L'imageestréelle,droiteetagrandie

L’ensembledesconstructionspourunmiroirsphériquemontre:

• Unmiroirconvexe nepeutpasdonneruneimageréelle

d'unobjetréel,

• Unmiroirconcave nepeutpasdonneruneimage

virtuelle d'unobjetvirtuel.

• L'imageestinversée sielleestdemêmenature que

l'objet etdroite sielleestdenaturecontraire.

• L'imageestpluspetite quel'objet sielleestsituéeentre

CetS,sinon elleestagrandie.

• L'image sedéplacetoujoursensensinverse del'objet

surl'axeoptique.70

Chapitre2:Optiquegéométrique

6eme Exemple:Dioptresphérique

Triangle CIA : β=i+α TriangleCIA’: β=i’+α ’

nsini=n’sini’à ni~n’i’ (conditionsdeGauss)

Donc n(β−α)=n’(β−α’)ToujoursdanslesconditionsdeGauss:

71

Chapitre2:Optiquegéométrique

SCSI

SASI

SASI

≈≈≈ βαα ;'

';

nn’nn’

Donc ou

oubien

• C’estlaformuledeconjugaisond’undioptresphérique

où estappelévergence.

• Si Aestréel, A’estvirtuelle

etsi Aestvirtuel, A’estréelle.

n 1SC

−1SA

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= n '

1SC

−1SA '

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

n 'SA '

−nSA

=n '− nSC

n 'p '−np=n '− nR

=C

RnnC −

='

0〈p 0'〈p

0〉p 0'〉p 72

Chapitre2:Optiquegéométrique

• Casparticulier :foyersdudioptresphérique• FoyerobjetA=FetA’=∞ :ladistancefocaleobjet est:

• LefoyerimageA’=F’etA=∞ :ladistancefocaleimage est:

• Parsuitelesdeuxdistancesfocalessontdesignecontraire

avec

et

RnnnSC

nnnSFf

'' −=

−==

RnnnSC

nnnSFf

−=

−==

''

''''

'' nn

ff

−= Rff =+ '73

Chapitre2:Optiquegéométrique

• R>0,f>0,C<0 R<0,f<0,C>0

• R>0,f<0,C>0 R<0,f>0,C<0

74

Chapitre2:Optiquegéométrique

n> n’ n> n’

n< n’n< n’

• Autresformulesdeconjugaison :

• 1)Relationentrep,p’,f,f’ :

à à

• 2)Origineauxfoyers :Soit et , et

Donc

• formuledeNewtonf.f’<0à x.x’<0 (siAestàdroitedeFalorsA’estàgauchedeF’etviceversa)

Rnn

pn

pn '

'' −=− 1

'''' =−−−

pnn

Rn

pnn

Rn1

''=+

pf

pf

xFA= ''' xAF = xfFASFSAp +=+==

''''''' xfAFSFSAp +=+==1

'''=

++

+ xff

xff

'.'. ffxx =75

Chapitre2:Optiquegéométrique

FormuledeLagrange-Helmoholtz:

Ona Sachantque

• ontrouve

• Rappelantque• Soit d’autrepart

• Alors enposantG=α’/α legrossissementoulegrandissementangulaire.

• onaura

Rnn

pn

pn '

'' −=−

''';SASItg

SASItg ≈≈≈≈ αααα

''.. SASA αα ≈ nn

ABBA

pp

SASA '.''''

==

'''.'... BAnABn αα =

'.

nnG =γ

76

Chapitre2:Optiquegéométrique

pp

nn

RpRp '.

''

=−

−=γ

RpRp

SCSASCSA

CACA

ABBA

−

−=

−

−===

'''''γ