calcul numérique (avec maple)

Calcul numérique(avec Maple)

Maplesoft

http://www.maplesoft.com/

Maple version 9.5

Le logiciel de calcul formel Maple

• Sources utilisées pour ce cours :– Raphaël Giromini

http://www.giromini.org/maple/index.html

– M. Chare (cours-tds années précédant 2006).– José-Marconi Rodrigues (tps précédant 2006).

Brainstorming …qu’a t on vu la dernière fois ?

Brainstorming …qu’a t on vu la dernière fois ?

• Digits, printf

• plot, plot2d

• Re, Im, abs, argument, conjugate, polar

• mod, igcd, ilcm

• isprime, ithprime, nextprime

• expand, simplify, factor, ifactor

• collect, nomal, sort, degree, coeff, lcoeff, solve

Chapitre 3 : Fonctions, dérivées, intégrales

Fonctions

• Une fonction sous Maple se définit de la façon suivante :nom := variable -> définition

• Exemple : définition d’une fonction polynôme :> f := x -> 2*x^2 -3*x +4; # Définition de f

f(2); # Valeur de f en 2

plot(f(x), x=-5..5); # Tracé de f sur

# l’intervalle [-5, 5]

Fonctions

> f := x -> 2*x^2 -3*x +4; # Définition de f

f(2); # Valeur de f en 2

plot(f(x), x=-5..5); # Tracé de f sur

# l’intervalle [-5, 5]

f := x 2x2 -3x +4

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Fonctions à plusieurs variables

• On peut définir des fonctions à plusieurs variables ; exemple :

> f := (x,y) -> sin(x)*cos(y); # Définition de f

'f(15,2)' = f(15,2); # Valeur de f en (15,2)

'f(15,2)' = evalf(f(15,2)); # Valeur numérique plot3d(f(x,y), x=-5..5, y=-5..5); # Tracé de f

Fonctions à plusieurs variables

Exercice

• Donner les instructions Maple pour répondre aux questions suivantes. – Définir la fonction f1 par f1(x) = sin(x)cos(x)

– Tracer la fonction entre 0 et .

– f1 est elle injective ou surjective ?

Exercice

> f1:= x -> sin(x)*cos(x); plot(f1(x), x=0..Pi);

– f1 est elle injective ou surjective ?

Rappel : Injection

• Let f be a function defined on a set A and taking values in a set B.

• Then f is said to be an injection (or injective map, or embedding) if, whenever f(x)=f(y), it must be the case that x=y. Equivalently, xy implies f(x) f(y).

• An injection is sometimes also called one-to-one.

mathworld.wolfram.com/

Rappel : Surjection

• Let f be a function defined on a set A and taking values in a set B.

• Then f is said to be a surjection (or surjective map) if, for any b in B, there exists an a in A for which b=f(a).

• A surjection is sometimes referred to as being "onto."

mathworld.wolfram.com/

Exercice

> f1:= x -> sin(x)*cos(x); plot(f1(x), x=0..Pi);

– f1 est elle injective ou surjective ?

Exercice

• La fonction est périodique et n’est donc pas injective dans puisque certaines valeurs de l’ensemble d’arrivée ont plusieurs antécédents.

• La fonction n’est pas surjective dans puisque certaines valeurs de l’ensemble d’arrivée n’ont pas d’antécédents

R

R

Fonctions composés

• Maple sait composer les fonctions entres elles. On se sert de l’opérateur @. On peut également composer une fonction par elle même. On utilise alors l’opérateur @@.

> (sin @ cos)(x); g := x -> x^3 + 2; h := y -> ln(y); ‘g(h(x))’ = (g@h)(x);

‘h(g(x))’ = (h@g)(x);

‘g(g(x))’ = (g@@2)(x);

‘g(g(g(x)))’ = (g@@3)(x);

Fonctions composées

Suites définies par des fonctions

• Les suites sont des fonctions « comme les autres », si ce n’est qu’elle sont définies dans au lieu de .

> u := n ->3*n + 4: # Suite u_n u(3); # Évaluation pour n=3

13 > u := n -> u(n-1) + 2*u(n-2): # Suite u_n

u(0) := 1; # Valeur initiale u(1) := 2; # Valeur initiale

u(3); # Évaluation pour n=3u(0) := 1u(1) := 2

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Exercice

• Donner les instructions Maple pour répondre aux questions suivantes. – Soit la suite u0 = 3, un = ln(un-1) + 5

– Calculez les termes 1, 50 et 100.

Exercice

Limites

• La syntaxe pour calculer la limite de la fonction f au point a est la suivante :– limit(f(x), x=a)

• Si l’on veut écrire la limite de manière symbolique, c’est à dire sans que Mapple l’évalue, on utilise Limit avec un ‘ L ’ majuscule :– Limit(f(x), x=a)

Limites

Limite à gauche et à droite

• Exemple : > limit(floor(x), x=1); limit(floor(x), x=1, right); limit(floor(x), x=1, left);

undefined01

Exercice

• Donner les instructions Maple pour répondre aux questions suivantes. – Soit la fonction f par f (x) = sin(x)cos(x)/x

– Donnez les limite en + et -

• Donner les instructions Maple pour répondre aux questions suivantes. – Soit la fonction f par f (x) = sin(x)cos(x)/x

– Donnez les limites en + et - > restart;

f := x -> sin(x)*cos(x)/x: limit(f(x), x=-infinity); limit(f(x), x=+infinity); plot(f(x), x=-20..20);

00

Exercice

Dérivées

• Pour évaluer la dérivée en fonction d’une variable, on utilise de la commande diff

Dérivée multiple

• Les dérivées multiples peuvent être évaluées en répétant la variable plusieurs fois ou bien de manière équivalente en écrivant x\$n, où n est le nombre de fois où l’on dérive

Dérivée partielles

Notation dérivée partielle

Première dérivation

Deuxième dérivation

Dérivéeavec la commande D

• Un autre moyen pour dériver les fonctions est d’utiliser le symbole D, qui peut être appliqué à une fonction sans avoir à spécifier ses arguments. Exemple :

> D(sin);cos

Dérivée avec la commande D

Dérivée avec la commande D

Dérivée avec la commande D

• Dérivée d’ordre n :– D@@n

• Dérivée selon la ième variable– D[i]

• Dérivée selon plusieurs variables– D[i,j]

• Dérivée d’ordre n selon la ième variable– D[i\$n]

Dérivée avec la commande D

Exercice

• Donner les instructions Maple pour répondre aux questions suivantes. – Quelle est la dérivée de u(x)/v(x)– Calculez la dérivée seconde du dénominateur

Exercice

Intégrales

• Maple sait calculer les intégrales, grâce à la commande int.

• Pour les intégrales indéfinies (les « primitives ») la syntaxe est : int ( expr, x), avec expr l’expression à intégrer ; et x la variable par rapport à laquelle intégrer.

• Pour les intégrales définies, la syntaxe est : int ( expr, x=a..b), avec a..b l’intervalle d’intégration.

Intégrales

Petite remarque :Étude rapide d’une fonction

grâce à Maple

• Exemple avec la fonction erf ...

Erf• Consulter le manuel en ligne : > ?erf

• Vérification sous Maple : > 2/sqrt(Pi) * int(exp(-t^2), t=0..x);

erf(x)

• Affichage symbolique sous Maple : > 2/sqrt(Pi) * Int(exp(-t^2), t=0..x);

The error function is defined for all complex x by

erf(x) = 2/sqrt(Pi) * int(exp(-t^2), t=0..x)

Erf

• Graphique de la fonction erf sous Maple : > plot(erf(x), x=-10..10);

• Limite en l’infini sous Maple : > limit(erf(x), x=infinity); > limit(erf(x), x=-infinity);

1-1

Intégrales

Intégrales définies

Intégrales multiples

Exercice

• Donner les instructions Maple pour répondre aux questions. – Soit f = exp(-x2). Calculez l’intégrale de f entre 0

et +, puis sur tout . – Donnez l’aire comprise entre les deux courbes

définies par y = et y = x/2 lorsque x varie entre 0 et 16.

x4

R

Exercice

Exercice

• Donner les instructions Maple pour répondre aux questions. – Donnez l’aire comprise entre les deux courbes

définies par y = et y = x/2 lorsque x varie entre 0 et 16.

x4

x4

x/2

Exercice