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Laboratoire de simulation des matériaux (LSMX)Département des MatériauxEPFL
Cours Milieux Continus3ème Semestre
J.-M Drezet, J. Valloton, K. Shahim & N. Chobaut
Série No 7 � 5.11.10
Tenseur des Déformations II
1. Cisaillement en rotation d'un corps
On considère un test de cisaillement d'un cylindre creux, le diamètre inté-
rieur étant �xé rigidement à un mandrin intérieur non-mobile et le diamètre
extérieur étant pris dans un anneau externe que l'on tourne d'un angle θ.Les coordonnées des points sont données par les équations :
x=x0 − θ[1− Ri
r0
]y0 y = y0 + θ
[1− Ri
r0
]x0 avec r0 =
√x2
0 + y20
1. Calculez le tenseur gradient de la déformation [L].
2. Calculez le tenseur des déformations de Cauchy-Green [B].
3. Calculez le tenseur des déformations de Green-Lagrange ε.
4. Calculez le tenseur linéarisé des déformations. Comparez-le à celui de
Green-Lagrange.
5. Avec le tenseur linéarisé des déformations, calculez les valeurs princi-
pales des déformations.
6. Calculez les directions principales associées.
7. Représentez l'ellipsoïde des déformations de Cauchy pour les points :
a)(x0; y0 = 0) b)(x0 = 0; y0) c)(x0; y0 = x0)
2. Déformations principales
Dans un repére orthonormé (e1, e2, e3), on considère le tenseur des déforma-
tions linéarisé suivant :
ε =
1 3 −23 1 −2−2 −2 6
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1. Déterminer les déformations principales ainsi que les directions princi-
pales de ε.
2. Réprésenter l'ellipsoid de Cauchy pour cette déformation.
3. Déformation plane
Dans un plan Oxy, on considére le champ de déformation linéarisé non-
uniforme :
ε =
(0.04xo 0.020.02 −0.02yo
)avec xo, yo en cm
Calculez le champ de déformation de déplacement, u(ro), sachant que le
point origine (0, 0) ne bouge pas et qu'il n'y a pas de rotation.
Comment se déforme le carré [0, 5]× [0, 5]cm2(dessin) ?
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Corrigé No 7 � 5.11.10Tenseur des Déformations II
1. Cisaillement en rotation d'un corps
1) A�n de déterminer le tenseur gradient de la déformation, il est d'abordnécessaire d'exprimer la déformation, u en fonction de xo et yo :
u =
(x− xoy − yo
)=
(−θ[1− Ri
ro]yo
θ[1− Riro
]xo
)=
(−θ[1−Ri(x2
o + y2o)−1/2]yo
θ[1−Ri(x2o + y2
o)−1/2]xo
)(1)
D'où le gradient de u :
∇u =
(∂ux∂xo
∂ux∂yo
∂uy∂xo
∂uy∂yo
)=
−Riθxoyor3o
−θ + Riθro− Riθy
2o
r3o
θ − Riθro
+ Riθx2o
r3o
Riθxoyor3o
(2)
Le tenseur gradient de la déformation est alors donné par :
L = I +∇u =
(∂ux∂xo
∂ux∂yo
∂uy∂xo
∂uy∂yo
)=
1− Riθxoyor3o
−θ + Riθro− Riθy
2o
r3o
θ − Riθro
+ Riθx2o
r3o1 + Riθxoyo
r3o
(3)
2) Le tenseur de Cauchy-Green, B est donné par :
B = LTL =(1− Riθxoyo
r3oθ − Riθ
ro+Riθx
2o
r3o
−θ + Riθro− Riθy
2o
r3o1 + Riθxoyo
r3o
)(1− Riθxoyo
r3o−θ + Riθ
ro− Riθy
2o
r3o
θ − Riθro
+Riθx
2o
r3o1 + Riθxoyo
r3o
)(4)
B =
(B11 B12
B21 B22
)(5)
Chaque terme vaut :
B11 = 1+θ2+R2i θ
2
r6o(x4o+x
2oy
2o)+
2R2i θ
2
r4o(x2o)+
2Riθr3o
(θx2o−xoyo)+
R2i θ
2
r2o−2Riθ2
ro(6)
B12 = −2R2i θ
2
r4o(xoyo) +
Riθ
r3o(x2o − y2
o) +R2i θ
2
r6o(x3oyo + xoy
3o) (7)
B21 = −2R2i θ
2
r4o(xoyo) +
Riθ
r3o(x2o − y2
o) +R2i θ
2
r6o(x3oyo + xoy
3o) (8)
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B22 = 1+θ2+R2i θ
2
r6o(y2o+x
2oy
2o)−
2R2i θ
2
r4o(y2o)+
2Riθr3o
(θy2o+xoyo)+
R2i θ
2
r2o−2Riθ2
ro(9)
3) Le tenseur de Green-Lagrange de la déformation, ε, est donc donné par :
ε =12(B − I) =
12
(B11 − 1 B12
B21 B22 − 1
)(10)
4) Le tenseur linéarisé des déformations εlin est données par :
εlin =12(∇u+ (∇u)T ) =
−Riθyoxor3o
Riθ(x2o−y2o)
2r3oRiθ(x
2o−y2o)
2r3o
Riθxoyor3o
(11)
Si,dans le tenseur de Green-Lagrange de la déformation, on neglige le term2me ordre, c'est-à-dire θ2, le tenseur des déformations de Green-Lagrangeest égal au tenseur linéarisé des déformations ( dans l'hypothèse de faiblesdéformations ).
5) La détermination des déformations principales peut être e�ectuée en fai-sant intervenir les valeurs propres λ de εlin. En prenant λ′ = λ/(Riθ
r3o), nous
avons alors :
det (εlin − λI) = 0→ detRiθ
r3o
(−xoyo − λ′ x2
o−y2o2
x2o−y2o2 xoyo − λ′
)= 0 (12)
D'où :
(λ′2 − x2oy
2o)−
(x2o − y2
o)2
4= 0 (13)
On en déduit les déformation principales εI , εII :
εI = λ1 =θRi2ro
et εII = λ2 = −θRi2ro
. (14)
6) Les direction principales sont données par :
εlinni = λini (15)
avec i = 1, 2 pour λ1, λ2 et n1, n2, respectivement.Pour la valeur propre λ1, nous avons : −Riθyoxo
r3o
Riθ(x2o−y2o)
2r3oRiθ(x
2o−y2o)
2r3o
Riθxoyor3o
( n1x
n1y
)=
(Riθ2ro
n1xRiθ2ro
n1y
)(16)
D'où le système d'équations, on a alors :
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eI =1√2ro
(xo − yoxo + yo
)(17)
Pour λ2, on a alors :
eII =1√2ro
(xo + yo−xo + yo
)(18)
7) Dans le repère (Oxyz) :
a)(xo; yo = 0)⇒ ro = xo
eI =xo√2ro
(1, 1) =1√2(1, 1) eII =
xo√2ro
(1,−1) =1√2(1,−1) (19)
b)(xo = 0; yo)⇒ ro = yo
eI =yo√2ro
(−1, 1) =1√2(−1, 1) eII =
yo√2ro
(1, 1) =1√2(1, 1) (20)
c)(xo;xo = yo)⇒ ro =√
2xo =√
2yo
eI =1√2ro
(0,√
2xo) = (0, 1) eII =1√2ro
(√
2xo, 0) = (1, 0) (21)
Ensuite, en montrant cela graphiquement, on trouve que :
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2. Déformations principales
Les déformations principales correspondent aux valeurs propres εp du tenseurε. On doit donc résoudre :
Det(ε− εpI) =
∣∣∣∣∣∣∣1− εp 3 −2
3 1− εp −2−2 −2 6− εp
∣∣∣∣∣∣∣ = −ε3p + 8ε2p + 4εp − 32 = 0 (22)
On trouve alors : εI = 8, εII = 2 et εIII = −2.Pour déterminer les directions principales, on doit trouver les vecteurs propresassociés aux valeurs propres. On applique l'équation (5.29) du cours, soit : 1− εp 3 −2
3 1− εp −2−2 −2 6− εp
npxnpynpz
=
000
(23)
On obtient �nalement :
~nI =1√6
−1−12
~nII =1√3
111
~nIII =1√2
−110
(24)
On rappelle que pour déterminer les vecteurs propres avec l'équation 2, on�xe une des composantes npx, npy ou npz et on résout le système de troiséquations à deux inconnues pour trouver les deux autres.
3. Déformation plane
Le fait qu'il n'y ait pas de rotation implique que le tenseur antisymétriqued est nul. On a donc :
Grad u = σ =
(∂x0ux ∂y0ux∂x0uy ∂y0uy
)= ε+ d = ε (25)
En intégrant le 1er terme de la diagonale par rapport à x0 et le 2ème parrapport à y0 on trouve :
ux = 0.02x20 +Ay0 +B
uy = −0.01y20 + Cx0 +D (26)
Le point (0,0) ne bougeant pas, u(0,0)=(0,0). Les constantes B et D sontdonc nulles.
On a également :∂y0ux = A = 0.02
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∂x0uy = C = 0.02 (27)
Finalement :
u =
(0.02x2
0 + 0.02y0
−0.01y20 + 0.02x0
)(28)
Pour visualiser la déformation d'un carré [0,5] × [0,5], il su�t de calculer etd'appliquer le champ de déplacement aux 4 coins, soit (Fig. 2) :
u(0, 0) = (0, 0)
u(0, 5) = (0.1,−0.25)
u(5, 0) = (0.5, 0.1)
u(5, 5) = (0.6,−0.15) (29)
Figure 1: Carré non déformé (traitillé) et déformé (trait plein).
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