exercices corriges de statistiques

7/17/2019 Exercices Corriges de Statistiques

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Exercices corrigés de statistiques

Exercice 1. Soit la liste suivante des prénoms d’un groupe d’étudiants suivis entreparenthèses d’une indication du nombre de livres lus dans l’année

(A = peu,

B = moyen,

C = beaucoup,

D = eceptionnel! "

#ierre (C!, #aul (C!, $ac%ues (A!, &alph (B!, Abdel (A!, Sidonie (B!, 'enri (C!, #aulette(B!, arida (B!, )aure (C!, *evin (D!, Carole (B!, +arieClaire (A!, $eanine (C!, $ulie (C!,-rnest (C!, Cindy (C!, .anessa (D!, $osé (C!, Aurélien (C!/

0/ Dé1inisse2 la distribution de ces étudiants suivant leur appétit de lecture (population,caractère, etc/!/

3/ Construise2 le tableau représentati1 de cette distribution/

4/ &eprésente2 cette distribution 5 l’aide d’un diagramme en tuyau d’orgue/

Corrigé

0/ )a population est constituée des 36 étudiants nommés, chacun constituant une unitéstatisti%ue/ )e caractère est l’appétit de lecture, cha%ue étudiant étant caractérisé par unappétit plus ou moins grand (ou égal! par rapport au autres/ Cet appétit serait uncaractère %uantitati1 s’il était mesuré par un nombre de livres lus/ 7ne indication dunombre de livres lus n’est pas une %uantité mais une %ualité, m8me s’il y a un ordre"moyen n’est pas un nombre/ )e caractère est donc %ualitati1 (et ordinal!/)es modalitéssont au nombre de %uatre " A, B, C ,D/ -lles sont chacune une rubri%ue de lanomenclature des degrés de lecture/

3/ )e tableau est alors constitué de %uatre lignes (une par modalité! et deu colonnes(une pour la nomenclature et une pour les e11ecti1s!, sans oublier le titre et la source desdonnées "



Répartition du groupe en degrés de lecture

Degré de lecture 9ombre d’étudiants

#eu

4

+oyen

:

Beaucoup

06

-ceptionnel

3

ou, si on veut gagner de la place, deu lignes et %uatre colonnes "

Répartition du groupe en degrés de lecture

Degré de lecture #eu +oyen Beaucoup -ceptionnel

9ombre d’étudiants 4 : 06 3

4/ )e diagramme représentati1 en tuyau d’orgue consiste en ; parallépipèdes rectanglesdroits (un pour cha%ue modalité!, tous de m8me largeur et d’aire (et donc de hauteur!proportionnelle 5 l’e11ecti1 correspondant 5 cha%ue modalité "



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B. Conte et M. Zerbato

Exercice 2.

0/ )e bureau des statisti%ues du Cengio a mesuré les %uantités produites par %uatresecteurs de sa 2one de compétence, ce %ui a donné les chi11res suivants (en unités devaleur! "

#roduit +arbre #eau Chimie <ourisme <otal

.aleur

06 666 0;; 666 06 666 >3 666 ;43 666

a Caractérise2 la distribution statisti%ue correspondant 5 ces données (population,caractère, etc/!/

b &eprésente2 cette distribution par un diagramme en secteurs circulaires/

3/ )a m8me mesure e11ectuée par le bureau de Faggiana a donné ces chi11res (en unitésde valeur! "

#roduit +arbre #eau Chimie <ourisme <otal

.aleur

? ;66 00: 366 ? ;66 :> ?66 4;: ?66

a +8me travail %ue sur les données du Cengio/

b &eprésente2 les deu séries sur un m8me graphi%ue, par deu demicercles opposéssur une droite hori2ontale, l’aire de cha%ue demicercle étant dans la m8me proportionde la valeur totale correspondante/ (calcule2 les angles des secteurs pour unereprésentation par un graphi%ue en secteurs semicirculaires et le rapport entre lesrayons de cha%ue demicercle!/

http://conte.u-bordeaux4.fr/Enseig/SE1-stat/Exos-stat/I-exos/I-A-exos/I-A-Exo-1.htm#debutpag10

http://conte.u-bordeaux4.fr/Enseig/SE1-stat/Exos-stat/exercice.htm


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Corrigé

1. a @n pourrait certes dé1inir une distribution des secteurs suivants leur niveau deproduction (en 1aisant des classes " moins de 6 666 etc/!, mais au vu des données (etaussi de la %uestion b suivante ! il est naturel et habituel de considérer la distributiondu produit suivant les secteurs d’origine/

)a population est constituée des ;43666 7. de produit des %uatre secteurs considérés,cha%ue 7. constituant une unité statisti%ue " l’7. de produit/

)e caractère est le secteur producti1 d’origine, chacun correspondant 5 type de produit,ce %ui est une %ualité/ )e caractère est donc %ualitati1/

)es modalités sont au nombre de %uatre " +arbre, #eau, Chimie, <ourisme/ -lles sontchacune une rubri%ue de la nomenclature des secteurs de production (en comptabiliténationale on a les 9A, nomenclatures d’activités et de produits, dont 9A ?6, 333 et >66 on pourrait parler ici d’une 9A ;!/

b )e diagramme en secteurs circulaire représente les e11ecti1s correspondant aumodalités par des portions de cercle, des secteurs, dont les aires sont proportionnellesau e11ecti1s/ @n trace donc un cercle de rayon %uelcon%ue et la proportionnalité desaires est obtenue par celle des angles/

@n construit le tableau suivant "

Secteur productif Valeur produitefi : part du secteur

dans la valeurtotale

qi : angle dusecteur (qi =

fi.3!"#

+arbre 06 666 6,3: 6

#eau 0;; 666 6,44 036

Chimie 06 666 6,3: 6

<ourisme >3 666 6,0? ?6

<otal ;43 666 0 4?6

l vient alors le diagramme cidessous (en utilisant un rapporteur, par eemple! "



2. a @n a évidemment la m8me distribution, la population étant cette 1ois constituée des4;: 666 7. de produit des %uatre secteurs considérés/ @n construit alors le tableausuivant "

Secteur productif Valeurproduite

fi : part du secteurdans la valeur

totale

qi : angle dusecteur (qi =

fi.3!"#

+arbre

? ;66 6,3: 6

#eau

00: 366 6,44 036

Chimie

? ;66 6,3: 6

<ourisme

:> ?66 6,0? ?6

$otal 3%& !! 1 3!

@n obtient les m8mes angles, c’est5dire %u’il y a Euste une di11érence d’échelle entre lesmesures des deu bureau des statisti%ues/ )e diagramme est alors identi%ue auprécédent (%ui représente les données calculées par le bureau du Cengio!/



b #our tracer un diagramme en secteurs semicirculaire, on rapporte les e11ecti1s 5 06F,on obtient donc les angles en divisant par deu ceu correspondants du diagrammecirculaire/

Guant au rayons des deu demicamemberts, ils doivent 8tre dans un rapport tel %ue lesaires desdits demicamemberts soient dans le rapport de 4;: ?66 5 ;43 666/

Soien t A et r l’aire et le rayon du demicamembert représentati1 des données du bureaudu Cengio,

A’ et r’ ceu du demicamembert représentati1 des données du bureau de Faggiana/

Alors, on a "

-t il 1aut "

@n en déduit "

dHoI

@n trace alors le diagramme demandé "



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Exercice 3. Dans la &épubli%ue du Cheutland , une en%u8te en vue de la réduction dumontant des allocations 1amiliales, a été réalisée auprès d’une population de 1emmes de;6 ans/ Cette en%u8te a donné les résultats suivants "

9ombre d’en1ants (i! 9ombre de 1emmes (ni!

6 06

0 36

3 36

4 46

; 36

0/ Caractériser la distribution/

3/ <racer le diagramme di11érentiel/

4/ Dé1inir et représenter la 1onction de répartition/

;/ Donner la proportion des 1emmes ayant moins de ; en1ants/

:/ -tablir la distribution des en1ants selon le nombre de leurs 1rères et sJurs/

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Corrigé

1. population : 1!! fe''es de %! ans unité statistique : une fe''e caract)re : le no'*re d+enfants

(caract)re quantitatif discret# 'odalités : au no'*re de & (!,1,2,3,%#.

2. -a distri*ution statistique étant discr)te, le diagra''e différentiel est un diagra''e en *tons. /ansce diagra''e, on porte en a*scisse les différentes 'odalités du caract)re c+est 0 dire les différentesvaleurs prises par la varia*le (!,1,2,3,%# en ordonnée seront indiqués soit les effectifs soit les fréquencesrelatives afférentes 0 caque 'odalité.

xi nombre d’en1ants ni (e11ecti1! f i (1ré%uence relative!

6 06 6,0

0 36 6,3

3 36 6,3

4 46 6,4

; 36 6,3

<otal 066 0



3. -a fonction de répartition d+une varia*le notée est une application del+ense'*le R dans l+ense'*le R, qui 0 toute valeur donnée x de R, associe leno'*re d+individus appartenant 0 la population pour lesquels la valeur de lavaria*le est stricte'ent inférieure 0 x.

En ter'es de proportion, la fonction de répartition est une application del+ense'*le R dans l+intervalle 4!,15, qui 0 toute valeur donnée x de R, associe laproportion des individus appartenant 0 l+ense'*le statistique pour lesquels lavaleur de la varia*le est stricte'ent inférieure 0 x.

xi nombre d’en1ants 6i (e11ecti1 cumulé! i (1ré%uence cumulée!

6 06 6,0

0 46 6,4

3 :6 6,:

4 6 6,

; 066 0



4. -a proportion des fe''es a7ant 'oins de % enfants se lit directe'ent dans le

ta*leau : !,8 ou 8!9.

&. partir de la distri*ution précédente, il faut construire une nouvelledistri*ution des enfants selon le no'*re de leurs fr)res et s;urs. -a varia*le x+i (no'*re de fr)res et de s;urs# prend les valeurs i=1, 2, 3. -+effectifcorrespondant est alors déter'iné par les produits ni.xi.

9ombre de 1rères et sJurs (x+i! 9ombre d’en1ants (ni.xi!

0 ;6

3 6

4 80



Copyright K 3666 Bernard Conte/ <ous droits réservés/

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Exercice %. )a C#&-S (organisme d’en%u8te et de sondage! a réalisé une en%u8te, pourle compte du syndicat CLBC, sur le nombre de salariés de ;6 entreprises industrielles dela région d’A%uitaine é%uatoriale/ )e dépouillement des %uestionnaires a donné lesrésultats suivants "

43 : : :3 :4 ;4 4> 4 ? ;6

:0 46 :3 :6 :0 4? > ?4 ?; ;

3 :4 3; : 36 ;; ;: ;: ;0 >:

6 ?0 :: 33 :? ;> >? ?3 ??

0/ Dé1inir la population (ensemble statisti%ue!, l’unité statisti%ue (individu!, lecaractère et ses di11érentes modalités/

3/ A partir des données de l’en%u8te, établir la distribution des entreprises selon lenombre de salariés/ #our ce 1aire, on dé1init : classes de valeur de la variabled’amplitudes respectives " 36, 06, 06, 36, 36/ )a borne in1érieure de ladistribution est 1iée 5 36 et la borne supérieure 5 066/

4/ <racer le diagramme di11érentiel/

;/ Dé1inir la 1onction de répartition et tracer le diagramme intégral/







Corrigé

0/ )’ensemble statisti%ue est constitué par les ;6 entreprises en%u8tées/ )’unitéstatisti%ue obEet de l’observation est l’entreprise/ )e caractère, le nombre de salariés, estun caractère %uantitati1/ )es modalités sont les valeurs prises par le caractère, elless’échelonnent de 36 5 /

3/ )es données brutes issues de l’en%u8te sont discrètes/ -n e11et 5 cha%ue unitéstatisti%ue correspond un e11ecti1 entier spéci1i%ue de salariés/ )a trans1ormation endistribution continue répond 5 plusieurs préoccupations " simpli1ication, clarté desreprésentations graphi%ues/// l est 5 noter %ue cette trans1ormation engendre une perted’in1ormation par rapport au données brutes/

9ombre de salariés xi Dénombrement 9ombre d’entreprises ni

M36, ;6M

M;6, :6M

M:6, ?6M

03

M?6, 6M

M6, 066M

;

4/ )a distribution étant continue, le diagramme di11érentiel est un histogramme/

xi ni ai a+i = ai<u d+i = ni<a+i

M36, ;6M 36 3 ;



M;6, :6M 06 0

M:6, ?6M 03 06 0 03

M?6, 6M 36 3 ;

M6, 066M ; 36 3 3

)es classes de valeur de la variable possèdent des amplitudes di11érentes, ilconvient donc de recti1ier les e11ecti1s ou les 1ré%uences en vue de lareprésentation graphi%ue/ )e #LCD des amplitudes a pour valeur 06/ Cette valeurconstitue l’unité (u = 1!! dans la%uelle sont eprimées les amplitudes des :classes/ )’amplitude de la classe i a pour nouvelle valeur " a+i = a i <u/ @n calculeensuite la densité d’e11ecti1 ou de 1ré%uence d+i = ni< a+i ou d+i = f i< a+i/ Cesvaleurs sont portées sur l’ae des ordonnées/



;/ )e diagramme intégral est la courbe des 1ré%uences cumulées croissantes,représentative de la 1onction de répartition/ Cette courbe est en 1ait une ligne brisée/

i ni 9i i

M36, ;6M 6,3

M;6, :6M 0? 6,;

M:6, ?6M 03 3 6,>

M?6, 6M 4? 6,

M6, 066M ; ;6 0

B. Conte et J. M. Figuet



Exercice 1. Au cours des quatre dernières années, le chiffre d’affaires d’une entreprise a connu des taux de

croissance respectifs de r 1 , r 2, r 3, r 4.

1. Exprimer le taux de croissance gloal du chiffre d’affaires ! R ", sur l’ensemle de la période en fonctionde r 1 , r 2, r 3, r 4.

2. Exprimer le taux de croissance annuel mo#en du chiffre d’affaires ! r ", en fonction de ! R " et de r 1 , r 2, r 3,

r 4.

3. $uelle de%rait &tre la %aleur du taux de croissance annuel mo#en du chiffre d’affaires relatif ' la

période comprenant la troisième et la quatrième année, que l’on notera , r’ 3.4 , pour que le chiffre

d’affaires de la quatrième année soit égal ' celui de la première.

4. (e prix de %ente des produits %endus par l’entreprise a connu des taux de croissance annuels respectifs

de p1 , p2 , p3 , p4 , au cours des quatre années considérées. Exprimer q , le taux de croissance annuel

mo#en des quantités %endues en fonction de r 1 , r 2, r 3, r 4 et de p1 , p2 , p3 , p4.

Corrigé

1. (e multiplicateur !facteur de croissance" sur l’ensemle de la période est égal au produit des multiplicateur

annuels )

2. (e multiplicateur annuel mo#en est la mo#enne géométrique des multiplicateurs annuels.

(e taux de croissance annuel mo#en peut également s’exprimer en fonction du taux de croissance gloal

.

3. *l est tout d’aord possile de calculer le taux de croissance r 3.4 afférent aux deux dernières années, qui annule

+ le taux de croissance quadriennal.

(’h#pothèse est + -, d’o



/n en déduit r’ 3.4

4. (e chiffre d’affaires prix 0 quantité, ce qui donne )

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