Laboratoire de simulation des matériaux (LSMX)Département des MatériauxEPFL

Cours Milieux Continus3ème Semestre

J.-M Drezet, J. Valloton, K. Shahim & N. Chobaut

Série No 7 � 5.11.10

Tenseur des Déformations II

1. Cisaillement en rotation d'un corps

On considère un test de cisaillement d'un cylindre creux, le diamètre inté-

rieur étant �xé rigidement à un mandrin intérieur non-mobile et le diamètre

extérieur étant pris dans un anneau externe que l'on tourne d'un angle θ.Les coordonnées des points sont données par les équations :

x=x0 − θ[1− Ri

r0

]y0 y = y0 + θ

[1− Ri

r0

]x0 avec r0 =

√x2

0 + y20

1. Calculez le tenseur gradient de la déformation [L].

2. Calculez le tenseur des déformations de Cauchy-Green [B].

3. Calculez le tenseur des déformations de Green-Lagrange ε.

4. Calculez le tenseur linéarisé des déformations. Comparez-le à celui de

Green-Lagrange.

5. Avec le tenseur linéarisé des déformations, calculez les valeurs princi-

pales des déformations.

6. Calculez les directions principales associées.

7. Représentez l'ellipsoïde des déformations de Cauchy pour les points :

a)(x0; y0 = 0) b)(x0 = 0; y0) c)(x0; y0 = x0)

2. Déformations principales

Dans un repére orthonormé (e1, e2, e3), on considère le tenseur des déforma-

tions linéarisé suivant :

ε =

1 3 −23 1 −2−2 −2 6

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1. Déterminer les déformations principales ainsi que les directions princi-

pales de ε.

2. Réprésenter l'ellipsoid de Cauchy pour cette déformation.

3. Déformation plane

Dans un plan Oxy, on considére le champ de déformation linéarisé non-

uniforme :

ε =

(0.04xo 0.020.02 −0.02yo

)avec xo, yo en cm

Calculez le champ de déformation de déplacement, u(ro), sachant que le

point origine (0, 0) ne bouge pas et qu'il n'y a pas de rotation.

Comment se déforme le carré [0, 5]× [0, 5]cm2(dessin) ?

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Corrigé No 7 � 5.11.10Tenseur des Déformations II

1. Cisaillement en rotation d'un corps

1) A�n de déterminer le tenseur gradient de la déformation, il est d'abordnécessaire d'exprimer la déformation, u en fonction de xo et yo :

u =

(x− xoy − yo

)=

(−θ[1− Ri

ro]yo

θ[1− Riro

]xo

)=

(−θ[1−Ri(x2

o + y2o)−1/2]yo

θ[1−Ri(x2o + y2

o)−1/2]xo

)(1)

D'où le gradient de u :

∇u =

(∂ux∂xo

∂ux∂yo

∂uy∂xo

∂uy∂yo

)=

−Riθxoyor3o

−θ + Riθro− Riθy

2o

r3o

θ − Riθro

+ Riθx2o

r3o

Riθxoyor3o

(2)

Le tenseur gradient de la déformation est alors donné par :

L = I +∇u =

(∂ux∂xo

∂ux∂yo

∂uy∂xo

∂uy∂yo

)=

1− Riθxoyor3o

−θ + Riθro− Riθy

2o

r3o

θ − Riθro

+ Riθx2o

r3o1 + Riθxoyo

r3o

(3)

2) Le tenseur de Cauchy-Green, B est donné par :

B = LTL =(1− Riθxoyo

r3oθ − Riθ

ro+Riθx

2o

r3o

−θ + Riθro− Riθy

2o

r3o1 + Riθxoyo

r3o

)(1− Riθxoyo

r3o−θ + Riθ

ro− Riθy

2o

r3o

θ − Riθro

+Riθx

2o

r3o1 + Riθxoyo

r3o

)(4)

B =

(B11 B12

B21 B22

)(5)

Chaque terme vaut :

B11 = 1+θ2+R2i θ

2

r6o(x4o+x

2oy

2o)+

2R2i θ

2

r4o(x2o)+

2Riθr3o

(θx2o−xoyo)+

R2i θ

2

r2o−2Riθ2

ro(6)

B12 = −2R2i θ

2

r4o(xoyo) +

Riθ

r3o(x2o − y2

o) +R2i θ

2

r6o(x3oyo + xoy

3o) (7)

B21 = −2R2i θ

2

r4o(xoyo) +

Riθ

r3o(x2o − y2

o) +R2i θ

2

r6o(x3oyo + xoy

3o) (8)

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B22 = 1+θ2+R2i θ

2

r6o(y2o+x

2oy

2o)−

2R2i θ

2

r4o(y2o)+

2Riθr3o

(θy2o+xoyo)+

R2i θ

2

r2o−2Riθ2

ro(9)

3) Le tenseur de Green-Lagrange de la déformation, ε, est donc donné par :

ε =12(B − I) =

12

(B11 − 1 B12

B21 B22 − 1

)(10)

4) Le tenseur linéarisé des déformations εlin est données par :

εlin =12(∇u+ (∇u)T ) =

−Riθyoxor3o

Riθ(x2o−y2o)

2r3oRiθ(x

2o−y2o)

2r3o

Riθxoyor3o

(11)

Si,dans le tenseur de Green-Lagrange de la déformation, on neglige le term2me ordre, c'est-à-dire θ2, le tenseur des déformations de Green-Lagrangeest égal au tenseur linéarisé des déformations ( dans l'hypothèse de faiblesdéformations ).

5) La détermination des déformations principales peut être e�ectuée en fai-sant intervenir les valeurs propres λ de εlin. En prenant λ′ = λ/(Riθ

r3o), nous

avons alors :

det (εlin − λI) = 0→ detRiθ

r3o

(−xoyo − λ′ x2

o−y2o2

x2o−y2o2 xoyo − λ′

)= 0 (12)

D'où :

(λ′2 − x2oy

2o)−

(x2o − y2

o)2

4= 0 (13)

On en déduit les déformation principales εI , εII :

εI = λ1 =θRi2ro

et εII = λ2 = −θRi2ro

. (14)

6) Les direction principales sont données par :

εlinni = λini (15)

avec i = 1, 2 pour λ1, λ2 et n1, n2, respectivement.Pour la valeur propre λ1, nous avons : −Riθyoxo

r3o

Riθ(x2o−y2o)

2r3oRiθ(x

2o−y2o)

2r3o

Riθxoyor3o

( n1x

n1y

)=

(Riθ2ro

n1xRiθ2ro

n1y

)(16)

D'où le système d'équations, on a alors :

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eI =1√2ro

(xo − yoxo + yo

)(17)

Pour λ2, on a alors :

eII =1√2ro

(xo + yo−xo + yo

)(18)

7) Dans le repère (Oxyz) :

a)(xo; yo = 0)⇒ ro = xo

eI =xo√2ro

(1, 1) =1√2(1, 1) eII =

xo√2ro

(1,−1) =1√2(1,−1) (19)

b)(xo = 0; yo)⇒ ro = yo

eI =yo√2ro

(−1, 1) =1√2(−1, 1) eII =

yo√2ro

(1, 1) =1√2(1, 1) (20)

c)(xo;xo = yo)⇒ ro =√

2xo =√

2yo

eI =1√2ro

(0,√

2xo) = (0, 1) eII =1√2ro

(√

2xo, 0) = (1, 0) (21)

Ensuite, en montrant cela graphiquement, on trouve que :

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2. Déformations principales

Les déformations principales correspondent aux valeurs propres εp du tenseurε. On doit donc résoudre :

Det(ε− εpI) =

∣∣∣∣∣∣∣1− εp 3 −2

3 1− εp −2−2 −2 6− εp

∣∣∣∣∣∣∣ = −ε3p + 8ε2p + 4εp − 32 = 0 (22)

On trouve alors : εI = 8, εII = 2 et εIII = −2.Pour déterminer les directions principales, on doit trouver les vecteurs propresassociés aux valeurs propres. On applique l'équation (5.29) du cours, soit : 1− εp 3 −2

3 1− εp −2−2 −2 6− εp

npxnpynpz

=

000

(23)

On obtient �nalement :

~nI =1√6

−1−12

~nII =1√3

111

~nIII =1√2

−110

(24)

On rappelle que pour déterminer les vecteurs propres avec l'équation 2, on�xe une des composantes npx, npy ou npz et on résout le système de troiséquations à deux inconnues pour trouver les deux autres.

3. Déformation plane

Le fait qu'il n'y ait pas de rotation implique que le tenseur antisymétriqued est nul. On a donc :

Grad u = σ =

(∂x0ux ∂y0ux∂x0uy ∂y0uy

)= ε+ d = ε (25)

En intégrant le 1er terme de la diagonale par rapport à x0 et le 2ème parrapport à y0 on trouve :

ux = 0.02x20 +Ay0 +B

uy = −0.01y20 + Cx0 +D (26)

Le point (0,0) ne bougeant pas, u(0,0)=(0,0). Les constantes B et D sontdonc nulles.

On a également :∂y0ux = A = 0.02

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∂x0uy = C = 0.02 (27)

Finalement :

u =

(0.02x2

0 + 0.02y0

−0.01y20 + 0.02x0

)(28)

Pour visualiser la déformation d'un carré [0,5] × [0,5], il su�t de calculer etd'appliquer le champ de déplacement aux 4 coins, soit (Fig. 2) :

u(0, 0) = (0, 0)

u(0, 5) = (0.1,−0.25)

u(5, 0) = (0.5, 0.1)

u(5, 5) = (0.6,−0.15) (29)

Figure 1: Carré non déformé (traitillé) et déformé (trait plein).

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