8/20/2019 Algèbre Bilinéaire - Diagonalisation de Forme Bilinéaire Symétrique

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 14 juin 2011 Enoncés 1

Diagonalisation de forme bilinéaire symétrique

Exercice 1   [ 00024 ]  [correction]Soit A  ∈ Mn(R) inversible.a) Justifier que  tAA  est la matrice dans la base canonique d’un produit scalairesur  Rn.

b) En orthonormalisant la base canonique pour ce produit scalaire, établir qu’ilexiste une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictementpositifs P   vérifiant

tP tAAP  =  I n

c) Etablir qu’il existe  Q  orthogonale et  R  triangulaire supérieure à coefficientsdiagonaux strictement positifs vérifiant  A  = QR.d) Etudier l’unicité de cette écriture.

Exercice 2   [ 00019 ]  [correction][Décomposition de Cholesky]Soit S  ∈ S ++n   (R). Montrer qu’il existe une unique matrice triangulaire supérieure

T  à coefficients diagonaux positifs vérifiant  S  =  tTT .

Exercice 3  Mines-Ponts MP   [ 02760 ]  [correction]Montrer que le déterminant d’une matrice symétrique réelle définie positive estmajoré par le produit de ses éléments diagonaux.

Exercice 4   [ 03087 ]  [correction][Inégalité de Hadamard]Soit S  = (si,j) ∈ S ++n   (R).a) Montrer qu’il existe T   ∈ T +n (R)  vérifiant S  =

 tTT .

b) En déduire que

detS  n

i=1

si,i

c) Etablir que pour tout  A  = (ai,j) ∈ Mn(R)

|detA|

nj=1

ni=1

a2i,j

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