aaaaaaacours rdm1-12-02-2010-1

8/12/2019 AAAAAAAcours rdm1-12-02-2010-1

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ENIM Rsistance des matriaux 1 ( Pr B. NAJJI )

1

Ecole Nationale de lIndustrie Minrale

NOTES DE COURSRESISTANCE DES MATERIAUX I

ENIM Professeur B. NAJJI


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CHAPITRE 1

GENERALITES ET INTRODUCTION A LARESISTANCE DES MATERIAUX

I - INTRODUCTION

La rsistance des matriaux (R.D.M.) va nous permettre d'aborder la mcanique

des solides dformables, suite naturelle de la mcanique du solide suppos

indformable lorsque nous tudions la statique, la cinmatique, et la dynamique.

Contrairement la mcanique rationnelle, la RDM tudie le comportement des

corps solides dformables. D'autre part les lois du mouvement passent au second plan.

La mcanique des corps solides dformables comprend aussi la thorie de

l'lasticit qui examine les mmes questions que la RDM.

La thorie de l'lasticit tudie le comportement des corps dformables d'un point

de vue plus rigoureux, faisant appel un outil mathmatique plus complexe. La RDM

se propose de crer des mthodes de calcul simples pour les lments de construction

les plus typiques.

II - OBJET DE LA RDM:

Tout corps se dforme lorsqu'il est sollicit par des efforts. L'amplitude de la

dformation crot avec l'intensit des efforts et peut conduire la rupture. la RDM

envisage ces dformations et tudie le comportement du matriau. les problmes

pouvant tre rsolus par la RDM sont :

a) Le dimensionnement : connaissant les caractristiques du matriau et letorseur des forces extrieures, le calcul dtermine les dimensions de la pice.

b) L'tude de la stabilit : le plus souvent, les critres technologiques,esthtiques et conomiques imposent les formes et les dimensions de l'lment. La

RDM permet d'tudier les dformations et de vrifier la stabilit de l'ensemble

raliser.


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du dplacement de S. Ces dimensions transversales sont petites par rapport la

dimension principale de la poutre. Gnralement, on admet un rayon de courbure

suprieur cinq fois la plus grande dimension transversale elle-mme infrieure au tiers

de la longueur de la poutre.

Figure 1.1 : Dfinition de la poutre

b)L'enveloppe:

Une des dimensions est bien plus petite que les deux autres. On dfinit une

surface moyenne qui est le lieu gomtrique des points quidistants des deux surfaces

de l'enveloppe.

Figure 1.2 : Dfinition de l'enveloppe

III.3 - Schmatisation du torseur des forces de cohsion:

Le calcul des lments de rduction du torseur des forces de cohsion (forces

internes) se fait en deux temps :

Lm

G

S

e

a

b

L1

L2

e

Sm

Sm


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a) Dtermination du torseur des forces extrieures:

Le calcul des actions aux appuis se fait en quilibrant l'ensemble du solide tudi.

les dformations sont trs faibles et les calculs se font sur le solide non dform

b)Dtermination du torseur des forces de cohsion:

Considrons un plan (P) qui coupe la poutre en deux parties suivant une section

droite (S). On dfinit au centre de gravit (G) de la section (S) un tridre orthonorm

direct ( G, x, y, z). l'axe (Gx) orient vers l'extrieur de la matire de la partie 1, est

tangent la ligne moyenne en G (Figure 1.3)

Figure 1.3 : Forces de cohsion

L'quilibre de la partie 1 s'crit :

[ ]TFe/1 G + [TFi/1]G= [0] avec [TFi/1]G+ [TFi/2]G = 0( Principe de l'action et de la raction)

qui peut encore s'crire

TFi /2

G= TFe/1

G

Les forces de cohsion de la partie 2 sur la partie 1 sont opposes aux forces de

cohsion de la partie 1 sur la partie 2 ( principe de l'action et de la raction).

Fe Fe

Fe

Sfi MG(fi)

G1

Y

Z

X

P

2

Fe

Fe


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b) La gomtrie:Les rsultats obtenus l'aide de la R.D.M. sont dautant plus exacts que :

- le rayon de courbure de la fibre moyenne est trs grand vis vis de la

hauteur de la poutre (Rc> 5 fois h)

- la longueur de la poutre est trs grande devant les autres dimensions(L> 3 fois la plus grande dimension transversale).

- les ventuelles variations de la section (S) sont faibles et progressives.

c) Hypothse de Barr -saint venant

L'hypothse de la rpartition uniforme des forces de cohsion n'est valable que si

l'on fait abstraction des particularits suivantes :

- zones d'application des charges

- zone de variations brusques des sections

L'hypothse de saint venant consiste supposer que la rpartition des forces

internes est bien uniforme, des distances de ces zones particulires suprieures aux

dimensions de la section.

d) Hypothse de Navier-Bernouilli

Les sections planes normales la fibre moyenne avant dformation restent planes

et normales cette fibre aprs dformation.

V - PRINCIPES FONDAMENTAUX

a)Principe de la coupe:

La rpartition des forces internes dans une section de poutre ne dpend que de la

rsultante des forces et des moments extrieurs appliqus gauche de cette section.

b) Principe de superposition:

Les dplacements et les forces internes en un point d'un corps soumis plusieurs

forces extrieures imposes sont respectivement la somme gomtrique des

dplacements et des forces internes produites au mme point par chaque force externe

prise sparment.


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VI - MILIEU CONTINU-NOTION DE CONTRAINTE:

Un matriau est constitu d'atomes rpartis suivant un rseau cristallin. les forces

interatomiques maintiennent les atomes aux noeuds du rseau. Ces phnomnes

provoquent la cohsion des particules de matire et permettent au solide de rsister auxeffets des efforts extrieurs. Chaque particule est soumise aux forces de cohsion fi. Si

le matriau est homogne et isotrope, ces forces internes sont indpendantes de la

position de la particule au sein du milieu continu. L'quilibre de l'lment ralis

l'aide des principes de la statique ne met pas en vidence ces forces internes. Seule une

coupe de l'lment fait apparatre ces forces ( Figure 1.5)

Figure 1.5

L'quilibre de l'une des parties de llment donne la valeur de ces forces de

cohsion, par exemple l'quilibre de la partie 1 :

Figure 1.6

P1

2M

S

Fe

Fe

FeFe

Fi/1

1

Fe

Fe


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Cette partie est sollicite par les forces extrieures feet par les forces internes fi

appliques toutes les particules de la surface. La condition ncessaire et suffisante

pour que la partie (1) soit en quilibre est que la somme du torseur [Tfe/1] des forces

extrieures et du torseur [Tfi/1] des forces de cohsion soit nulle en un point. Soit en un

point M, un lment de surface S appartenant la section S.

Le rapportF

Si

reprsente la force de cohsion en M par unit de surface. En

vertu de la continuit du milieu, ce rapport tend vers une limite C lorsque S tend verszro. Cette limite est appele contrainte au point M, note (M,C).

En projetant le pointeur (M,C) sur :

- la normale S, nous obtenons la contrainte (M,) appele contrainte normale

- le plan de S, nous obtenons la contrainte (M,), appele contraintetangentielle ou cission.

* Unit de contrainte :

L'unit SI de mesure des contraintes est le Pascal, not Pa

1 Pa = 1N/m2

Cette unit est petite, nous utiliserons son multiple le mgapascal not Mpa :

1 Mpa = 106Pa = 1 N/mm2

S

S


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CHAPITRE 2 :

RAPPELS SUR LA STATIQUE

I - INTRODUCTION:La R.d.M., comme nous lavons voqu au chapitre prcdent, permet dtudier

le comportement des solides dformables. Les dformations sont tellement petites

quelles nont pas dinfluence significative sur lquilibre du solide tudi. Donc, le

calcul des ractions aux liaisons se fera avec les quations de la statique classique, en

supposant que le solide est indformable.

II DEGRES DE LIBERTE DUN SOLIDE :

II-I Cas de la statique plane :Soit un solide (S), astreint rester dans le plan (O,X,Y) et soit un point M(X1,Y1)

appartenant au solide (S).

Nous pouvons crire :

OM = X1.i + Y1.j

X1=====X1+X12 dplacements (u,v).

Y1 =====Y1+ Y1Le solide (S) peut encore tourner autour de laxe MZ dun angle par exemple,tout en restant dans le plan (O,X,Y). Pour dcrire dans le plan, la position de ce

solide, il faut donc prciser les valeurs de trois paramtres (u,v,). Le solidepossde trois degrs de libert dans le plan.

II-2 Cas de la statique spatiale :Soit un solide (S) dcrit dans un repre fixe (O,X,Y,Z). En considrant un

point M (X1,Y1,Z1) appartenant au solide (S), nous pouvons crire :

M

OX

Y

X1

Y1


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Le torseur associ cette liaison mcanique scrit :

Le schma utilis pour cette liaison mcanique est donn ci-aprs :

Une liaison mcanique de type appui simple supprime un seul degr de

libert ( une translation).

b)Appui linaire :

Les corps (S1) et (S2) sont en contact par un segment de droite.

Le torseur des forces associ cette liaison mcanique scrit:

Ou bienX

Y

Ry

X

Y

X

T Fe 2/1 O

0

S 2/1= Ry0

0

M 2/1(O)= 0

0

S1

S2

O

Y

T Fe 2/1 O

0

S 2/1= Ry

0

0

M 2/1(O)= 0

N


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Le schma associ cette liaison mcanique est le suivant:

La liaison de type appui linaire supprime deux degrs de libert ( une

translation et une rotation).

c)Rotule cylindrique:Le corps (S1) peut tourner librement autour de laxe (S2) fixe

qui est perpendiculaire au plan XOY.

Le torseur des forces associ cette liaison mcanique scrit:

La schmatisation de cette liaison est reprsente ci-dessous:

X

Y RY

N

S1

S2

Rx

R

X

Y

T Fe 2/1 O

Rx

S 2/1= Ry

0

0

M 2/1(O)= 0

0

RX

RY

X

Y

O


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Le torseur de forces associ cette liaison mcanique scrit :

Lappui plan supprime trois degrs de libert (une translation et deux

rotations).

c) Rotule sphrique :

Les deux corps solides (S1) et (S2) ont en commun une sphrede centre O. Le solide (S1) ne peut avoir aucun mouvement de translation

par rapport au solide (S2).


La liaison mcanique de type liaison sphrique supprime trois degrs de

libert (trois translations).

T Fe 2/1 O

0

S 2/1= Ry

0

L

M 2/1(O)= 0

N

X

Y

Z

S2

SO

T Fe 2/1 O

Rx

S 2/1= Ry

Rz

0

M 2/1(O)= 0

0


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d) Encastrement :Aucun mouvement nest possible entre les deux solides (S1) et (S2).


Lencastrement dans lespace peut se schmatiser ainsi :

Lencastrement supprime six degrs de libert dans lespace (trois

translations et trois rotations).

X

Y

Z

S2 S1O

T Fe 2/1 O

Rx

S 2/1= Ry

Rz

L

M 2/1(O) = M

N

L

M

N

X

Y

Z

RxR

Rz


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IV PRINCIPES DE LA STATIQUE :

a) Principe de laction et de la raction :Laction dun corps solide (S1) sur un corps solide (S2) est oppose

laction de (S2) sur (S1).b) Equilibre dun corps solide:

Un solide est en quilibre si son tat de mouvement ou de repos ne

varie pas.

Le corps solide est en quilibre sous laction dun certain nombre

defforts qui peuvent tre classs en deux familles :

- Efforts appliqus connus.

- Efforts de raction aux liaisons du solide avec son milieu extrieur. Ces

derniers efforts sont gnralement inconnus. On exprime alors lquilibre

statique du solide pour pouvoir les dterminer.Lquilibre statique du corps solide sexprime par :

F = 0

Mt/o = 0

Exemple 1: Equilibre dans le plan OXY :

Proj/ox = 0 (1)Proj/oy = 0 (2)

Mt/oz = 0 (3)

3 quations expriment lquilibre dans le plan.

Exemple 2: Equilibre dans lespace OXYZProj/ox = 0 (1)

Proj/oy = 0 (2)

Proj/oz = 0 (3)

Mt/ox = 0 (4)

Mt/oy = 0 (5)

Mt/oz = 0 (6)

6 quations expriment lquilibre dans lespace.


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CHAPITRE 3 :

CARACTERISTIQUES MECANIQUES DES

MATERIAUX

I - ESSAIS DE TRACTION ET DE COMPRESSION:

I.1 - Ncessit des essais :

Pour l'tude pratique de la rsistance et de la dformation des pices, des essais

sont ncessaires en vue de dterminer certaines caractristiques. par exemple le modulede Young E. Les plus importants de ces essais sont ceux de traction et de compression,

car ils permettent de dterminer un grand nombre de caractristiques de la manire la

plus simple.

Mais il existe un grand nombre d'essai. par exemple : essai de duret, de rsilience, de

fatigue...etc.

I.2 - prouvettes :a) prouvette de Traction:

C'est une prouvette usine, gnralement cylindrique (Figure 2.1); Deux repres

A et B matrialisent la longueur utile de l'prouvette (LO). La section de l'prouvette

So obit la relation suivante :

L0= K So (Loen mm et Soen mm2)

La valeur de K est diffrente pour chaque matriau, par exemple : K = 5,65 pour

les aciers, K = 3 pour les fontes mallables.

Figure 3.1 : prouvette de traction

L0

Lc

S0A Bd

Tte damarrage


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Figure 3.3 : Machine d'essaiI.4 - Diagramme de traction d'une prouvette en acier doux:Considrons le diagramme obtenu lors de l'essai de traction d'une "prouvette en

acier doux (Figure 2.4). Cette courbe "allongement-effort" est compose d'une partie

linaire OA et d'une partie de ligne courbe AB.

Figure 3.4 : Diagramme de traction

a) Le domaine lastique:Il correspond la partie linaire OA. Cette droite montre que l'allongement l

est faible et que cette dformation est proportionnelle l'effort |F | exerc sur

l'prouvette.

AL = L-L0

H

AFe

Fr

F

S

B

O


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La limite lastique est dfinie comme tant le rapport de la charge | Fe| par l'aire

de la section Sode la partie utile :

e=

Si au cours de l'essai et avant d'atteindre la limite d'lasticit l'effort est supprim,

l'prouvette reprend sa longueur initiale. Le matriau est donc lastique.

L'allongement relatif est dfini par :

=L

L0 =

L L

L

0

0

Pour des dformations lastiques, les dimensions de la section droite ne varient

pratiquement pas. En tous les points de cette section apparaissent des contraintes

normales uniformment rparties qui vrifient la relation :

SF=

La forme de la courbe " contrainte ()- allongement relatif ()" est doncidentique, celle enregistre sur la machine de traction :

Figure 3.5 : Courbe = F()

La loi de proportionnalit entre la contrainte et l'allongement relatif est appel loi

de Hooke. Elle s'crit :

= E.

BS

H

A

| F |

So

e

r

e

O


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E : module d'lasticit longitudinale ou encore module de Young. unit : N/mm2

, MPa, N/m2

Ce module est une constante pour le matriau (voir tableau des caractristiques

mcaniques des matriaux).

b) Le domaine des dformations permanentes:

Au-del de la limite lastique, la suppression de l'effort F n'entrane plus une

disparition totale de la dformation. L'amplitude de la dformation rmanente est

dtermine sur le diagramme en menant du point de la courbe correspondant l'effort F

une parallle la droite AO.

Figure 3.6 : Domaine non lastique

II -CARACTERISTIQUES MECANIQUES DES MATERIAUX:

II.1 - Caractristiques dcoulant de l'essai de traction (NF A 03151)

a) Contrainte de rupture

C'est le rapport entre la force de rupture et la section initiale :

r=|Fr|

So

B

SF

F

Fe

Dformation rmanente

L

A

O


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b) Limite lastique:

C'est le rapport entre la charge de fin de zone lastique et la section initiale :

e= FS

e

0

Pour les matriaux dont la fin de zone lastique est difficilement apparente, on

dfinit une limite d'lasticit conventionnelle telle que l'allongement rsiduel soit gal

0.2 % de la longueur initiale.

c) Module de Young:

Il est donn par la pente du diagramme ( Fig 3.7) dans la zone lastique ( zone

OA)

Figure 3.7: Module de Young

d) Coefficient d'allongement

A % = 1000

LL

BS

H

A

r

e

O

E = tg


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II.2 - Caractristiques dcoulant d'autres essais:

a) Essais de duret:

Il existe plusieurs types d'essais bass sur la rsistance la pntration statiquedu corps tudier par un autre corps.

- Essai Brinell ( NF A 03152):

On ralise une empreinte sur le matriau tester l'aide d'un bille en acier ultra

dur.

Les essais se diffrencient par le

diamtre de la bille utilise :

F/D2= 3 00 N/mm2

La duret Brinell est dfinie par :

HB =FS avec S =

D2 ( D - D - d )

2 2

HB est exprim en point Brinell = 1 N/mm2

- Essai Rockwell ( NF A 03153):

Le pntrateur est un cne en diamant. Le cne est plac sur la surface du

matriau tester, avec une charge initiale de 9,8 daN. on mesure l'accroissement

rmanent de pntration B sous la charge initiale, aprs suppression de la surcharge :

HRC)(unit0.002

e-100=HEC

F

D

d Matriau essay

120

R 0.2


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- Essai Vickers ( NF A 03154):

Le pnetrateur est une pyramide en diamant base carr. L'angle entre les

deux faces opposes est de 136 . la duret Vickers est dfinie par :

Il n'existe aucune relation gnrale entre la duret et e.

b) Essai de rsilience (NFA 03156):

Un matriau est dit ductile lorsque il passe par un comportement plastique avantd'atteindre la rupture. pour une rupture par cohsion sans ( ou presque) dformation

plastique, le matriau est alors dit fragile. Le verre caractrise bien ce type de

comportement. le degr de fragilit d'un matriau est mesur par l'essai de rsilience

(Figure 3.8) . la force de percussion ncessaire au choc est cre par le mouton-pendule.

Figure 3.8 : Mouton de charpy

La rsilience (ou rsistance au choc) d'un matriau est caractrise par l'nergie

absorbe lors de la rupture ramene l'unit d'aire de la section entaille:

K =mg( h - h )

S 1 2

(en daJ/cm2) S : Section entaille

c) Essai de fatigue:Les organes soumis des efforts variables et rpts se rompent sans que la

contrainte en chaque point du matriau ait dpass la limite lastique.

d

d2

h1

h2

Mg

Eprouvette

2854.1

d

FHv =

2

21 ddd

+=

(en N/mm2)

Avec


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III - EXEMPLES DE CARACTERISTIQUES MECANIQUES

Matriau et

daN

/mm2

rt

daN

/mm2

ec

daN

/mm2

A %

E

105daN

/mm2

DdaN

/mm2

Acier doux A 32 24 32 24 35 2 20

Acier mi-dur C45 40 75 40 16 2,1 30

Acier dur C65 50 90 50 7 2,1 33

Acier C65 tremp 75 100 75 6 2,1 42

Acier alli tr.rev.

35CN11

145 170 150 9 2,1 42

Fonte grise 14 15 31 0,6 0,7 --

Cuivre recuit 5,5 22 5,5 46 1,1 --

Laiton 33 45 33 17 1,2 --

Bronze 11 14 11 7,5 1,2 --

Duralumin 34 54 34 13 0,75 13

IV - COEFFICIENT DE SECURITE:

Le critre de ruine d'une construction n'est pas, en gnral, la rupture mais

l'apparition de dformations permanentes. D'autre part on est amen prendre un

coefficient de scurit pour fixer la contrainte admissible cause des incertitudes sur :

- les mthodes de calcul

- les caractristiques des matriaux

- la valeur des charges appliques et leur modlisation

Si s est la coefficient de scurit choisi, la contrainte admissible s'crit :

ad= Se

Les valeurs de s varient de 1,5 ( aviation, gnie civil) 10 (mcanismes subissant des chocs lorsque la scurit est fondamentale).


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CHAPITRE 4 :

TRACTION / COMPRESSION SIMPLES

I - DEFINITION:

On entend par traction (ou compression) une charge telle que tous les lments de

rduction du torseur des forces de cohsion sont nuls sauf N 0 ( MF= Mt = T = 0)

- F + N = 0 ==> N = F

N > 0 ==> Traction

+ F + N = 0 ==> N = -F

N < 0 ==> Compression

Toute barre en quilibre sous l'action de 2 forces appliques ses extrmits est

sollicite en traction ou en compression.

X

Traction

X

Compression

FF2

S1

SFF 1 2

1

1

F

F

N

N


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II - CONTRAINTE DANS UNE SECTION DROITE D'UNE POUTRE

Figure 4.1 : poutre sollicite en traction

Considrons une section S situe une distance d suprieure la dimension

transversale a de la poutre afin que le mode d'application des charges n'ait plus

d'influence sur les effets mcaniques observs dans cette section ( hypothse de st

venant).

Au cours de l'essai de traction, pour une charge infrieure la limite lastique,

l'allongement de l'prouvette est la principale dformation observe. Les sections

restent planes et perpendiculaires la ligne moyenne qui est rectiligne. Toutes les

lignes parallles la ligne moyenne ont subi le mme allongement. Il est alors naturel

de supposer que, dans le cas d'un matriau homogne, les forces intrieures sont

uniformment rparties dans toute la section. Cette rpartition n'est valable que pour :

- des poutres dont les dimensions transversales varient faiblement et d'une faon

continue.

- des sections suffisamment loignes du point d'application des charges

la contrainte est donc la mme pour les points de la section :

III - CONDITIONS DE RESISTANCE :

La poutre sollicite en traction ou en compression doit pouvoir rsister en toute

scurit.

d

a

b

X

F

S

SN=


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En fonction des caractristiques du matriau ( limite lastique e ) et de la

scurit dsire ( coefficient de scurit s), on fixe une valeur que la contrainte normale

ne doit pas dpasser. Cette valeur minimale est appele contrainte admissible (ad). lacondition de rsistance s'crit donc :

= < ad =e

s < adt : en traction

< adc: en compression

V - ETUDE DE LA DEFORMATION :

V.1 - Allongement axial - loi de Hooke

Considrons la courbe = F() d'un essai de traction ( Fig. 3.2) d'un matriau o est

la dilatation linique relative dfinie par =l

lo

avec l = l - lo.

Figure 4.2 : Courbe = f()

En se plaant dans le domaine lastique, la droite OA a un coefficient directeur

constant gal /= E

E : module d'lasticit longitudinal ou module de Young ( en N/mm2ou MPa)

La relation : = E . est appele loi de Hooke.

e

O

Domaine lastique

SN

SN

SN


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IV.2 - Contraction des dimensions transversales :

On constate exprimentalement que l'allongement axial entrane une contraction

des dimensions transversales.

Dans le domaine lastique les contractions transversales sont proportionnelles ladilatation longitudinale relative (avec : allongement perpendiculaire l'effort) :

= - . avec: coefficient de Poisson (caractrise le matriau)

Calculons la variation de volume d'une poutre prismatique de section carre (ct = a )

et de longueur initial lo.

- longueur aprs dformation : l = lo( 1 + )

- air de la section aprs dformation : S : [a ( 1 - ) ]2

- volume de la poutre aprs dformation : V = l . S = loa2( 1 + ) ( 1 - )2

En ngligeant les termes 2, 22et 23, il vient :

V = loa2( 1 + - 2 ) , Vo= loa2

La dilatation volumique relative s'crit :

)2-1(=Vo

V=

Vo

Vo-V=

tant toujours positive, la valeur du coefficient de Poisson, quel que soit

le matriau, sera compris entre 0 et 0,5 pour les matriaux isotropes est gnralementvoisin de 0,30.

V - NOTION SUR LES PHENOMENES DE CONCENTRATIONDES CONTRAINTES:

L'hypothse de la rpartition uniforme des contraintes n'est valable que si l'on fait

abstraction de certaines zones particulires de la poutre :

- zone d'application des charges

- zones o la section de la poutre varie brusquement.


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Exemple :

Les essais et la thorie d'lasticit ont permis de dterminer dans la majorit descas, des coefficients de concentration des contraintes permettant de calculer la

contrainte maximale :

avec K : coefficient de concentration des contraintes

La condition de rsistance de la poutre s'crit dans ce cas :

F

Zone de concentration des contraintes.

F

S

FKK moyi == max

adtmoy

etmoyi K =max


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V.1 - Cas d'un paulement sur un arbre


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35

A.2 - Arbre avec gorge


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36

V.3 - Filetage triangulaire

Le coefficient de concentration de contraintes k = 2,5

V.4 - Plaque avec paulement


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37

V.5 - Plaque avec deux entailles


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CHAPITRE 5

SYSTEMES ARTICULESPLANS

I - GENERALITES:

I.1 - Dfinition :

Un systme rticul est un ensemble constitu par des barres rigides articules

entre elles leurs extrmits, les forces extrieures tant appliques aux noeuds.

I.2 - Hypothses

- Toutes les barres sont lies entre elles par des articulations parfaites (Frottementnglig).

Dans la pratique ce ne sont pas des articulations, on rencontre les barres

assembles rigidement ( soudures ou rivets). Mais l'exprience montre que l'erreur

commise en supposant que se sont des articulations parfaites reste gnralement

acceptable ( erreur < 10 % si les lignes des centres de gravit des barres sont

concourantes).

- Les forces extrieures sont dans le mme plan et s'exercent uniquement aux

noeuds.

- Le poids des barres est ngligeable devant les autres efforts.


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42/91


42

Nous traiterons uniquement les systmes isostatiques intrieurement et

extrieurement. Pour ceci, nous avons la relation suivante :

2 n = b + 3

avec :

n: nombre de noeudsb : nombre de barres

Cette condition sera vrifie avant tout calcul de systme articul.

II - ETUDE TYPIQUE D'UN SYSTEME ARTICULE:

L'tude d'un systme articul passe par les tapes suivantes :

a) Calcul des ractions, en isolant le systme articul tudi.

Les quations de la statique classique permettent de dterminer les

composantes des ractions.

b) Calcul des efforts dans les barres en utilisant soit la mthode analytique

(mthode de Ritter), soit la mthode graphique ( mthode de Crmona).

Afin d'illustrer l'utilisation de ces deux mthodes, nous allons considrer le

systme rticul suivant :

n = 4 noeuds

b = 5 barres

2n = b + 3 ==> 8 = 5 + 3


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43

- Calcul des ractions extrieures :

- Proj F/ox = 0 ==> RAX + RB = 0- Proj F/oy = 0 ==> RAY - 2F = 0

- Mt/ A = 0 ==> RB. a - Fa3

2 - Fa 3 = 0

d'o : RAX=3 3

2

F

RAY= 2F

RB=3 3

2

F

II.1 - Application de la mthode analytique de Ritter :

a) Principe :

Cette mthode est utilise lorsque le systme articul ne possde que peu

de barres ou lorsque l'on ne recherche les efforts que dans un petit nombre de

barres.

Le principe de la mthode de Ritter est le suivant :

- couper le systme par une surface traversant trois barres au

maximum non concourantes

- Ecrire l'quilibre de la partie isole.


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44

b) Application:

Coupe SI: quilibre de la partie gauche :

Mt/A = 0 ==>3 3

2 F.a + NBDcos 30 . a = 0 ==> NBD= -3F

Coupe SI : quilibre de la partie droite


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45

* Mt/c = 0 ==> F. cos 30 .a - NADcos 30 . a = 0 ==> NAD= F* Mt/D = 0 ==> - F cos 30 a + NACcos 60 .a = 0 ====> NAC= 3F

Coupe SII: quilibre de la partie suprieure :

Mt/ A = 0 ==> - Fa 3 - NDC cos 60 . a 3 = 0 ==> NDC= -2F

Coupe SII: quilibre de la partie infrieure :

Mt/D = 0 ==> 3 32

F. cos 60 . a - NAB cos 30.a = 0 => NAB=32F


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47

- Tracer le polygone des forces du nud voisin qui ne prsente que

deux inconnues et ainsi de suite jusqu' quilibrer tous les nuds.

- L'intensit de la force est obtenue par mesure sur le graphique en

tenant compte de l'chelle. la nature de sollicitation de chaque barre est

dtermine comme ci-dessous :

- barre tirant sur le noeud : traction

- barre poussant sur le noeud : compression

c) Application de la mthode de crmona:

* Noeud qui ne prsente que deux inconnues : c

Polygone au neoud C

chelle : 1 cm ---> F/3

1-6 : barre tirant sur le noeud c,

donc barre AC est soumise la traction.

6-2 : barre poussant sur le noeud c,

donc barre CD est soumise

la compression.


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Polygone au nud voisin D :

6-5 : Barre tirant sur le nud D,

donc AD est soumise la

traction.5-3 : barre poussant sur le nud D,

donc BD est soumise la

compression.

L'pure de crmona consiste juxtaposer ces deux polygones et

continuer de construire les autres polygones sur le mme graphique.

Tableau rcapitulatif

Barre ouRaction

Repre Mesure (mm) Intensit Nature

AB 4-5 Traction

AC 6-1 Traction

AD 5-6 Traction

BD 3-5 Compression

DC 2-6 Compression

RA 1-4 Compression

RB 4-3 Compression


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Remarques :

a) Pas de neouds 2 inconnues :

- 1erCas : 2 barres + 1 raction : Calcul analytique de la raction

- 2mecas : 3 barres : calcul l'aide de la mthode de Ritter, d'un seul

noeud pour pouvoir dmarrer le polygone

b)Cas de forces non appliques au noeud :

Pour les efforts appliqus en dehors des noeuds, rpartir ces efforts

sur les noeuds voisins. Les barres subissant ce genre defforts doivent tre

vrifies galement la flexion.


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50

CHAPITRE 6

LE CISAILLEMENT

I - DEFINITION:Une poutre est sollicite au cisaillement si le torseur reprsentant les forces de

cohsion se rduit au centre de gravit d'une seule section droite aux efforts tranchants

Tyet TZ.

La dformation se manifeste par un glissement de la section droite charge par

rapport ses voisines.

Figure 5.1 : Dfinition du cisaillement

II - CONTRAINTE DANS LA SECTION DROITE:

Considrons une poutre encastre sollicite l'aide d'un couteau ( Fig. 5.1)

Isolons la partie de la poutre situe gauche de la section AB :

Les forces appliques ce systme sont :

- Les actions distance : poids de la poutre qui est nglig.

Fi ure 5.2

(

0,1 ).


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51

- Les actions de contact : nous supposons que l'action de l'encastrement sur

la poutre est reprsente par une charge linairement rpartie suivant EE'. la somme de

ces actions lmentaires est gale Fe . Les forces de cohsion Fi agissant sur la

section AA' BB' engendrent sur une surface dS autour du point M une contrainte

(M,C).Le pointeur (M,c) se projette suivant la normale n la section droite : (M, ) et sur le

plan de la section droite : ( M,)Nous supposons que la rpartition de la contrainte sur la section S est uniforme.

L'quilibre de la partie gauche ( Fig. 5.2) s'crit donc :

Proj/Gx = 0 ==> .S = 0 ==> = 0

Proj/Gy = 0 ==> Fe+ .S = 0 ==> = F

S

e

Donc la contrainte tangentielle moyenne dans le section droite est donne par :

= FS

e

III - INEQUATION D'QUARRISSAGE:Pour dimensionner une pice sollicite au cisaillement, nous bornerons la

contrainte moyenne par la rsistance admissible au glissement a qui est dfinie par:

a=e

s avec e: limite lastique au cisaillement

s : coefficient de scurit.

Donc l'inquation d'quarrissage s'crit :

FS

e< a

La limite lastique au cisaillement e est dtermine par un essai de torsion :- pour les matriaux plastiques : e e/2- pour les autres matriaux : e > e/2

IV - DEFORMATION

Si l'on enregistre les dformations en fonction de la charge on obtient, pour

l'acier donc, la courbe suivante :


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52

La courbe obtenue est fortement semblable celle obtenue lors d'un essai de

traction.

L'angle de glissement : = /Gavec G : module d'lasticit transversale (ou module de coulomb). c'est unecaractristique du matriau.

Exemple : Acier : G = 80 000 N/mm2; E = 210 000 N/mm2

V - APPLICATIONSV.1 - Poinonnage d'une tle :

F

- Le diamtre du poinon Dp est trs voisin du diamtre du trou dans la matri:

Dt = Dp + 2 avec trs faible.

- La section cisaille : S = Dt. e- Poinonnage si : F . D . e .t r


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53

V.2 - Liaison par rivet :Considrons l'assemblage de deux plaques d'paisseur "e" par l'intermdiaire de

trois rivets:

L'inquation dquarrissage s'crit :

=FS

e e

s S : dans ce cas donn par : S = 3

d

4

2

s : Coefficient de scurit

V.3 - Calcul des clavettes

F=CR

: Effort sur la clavette

C: Couple transmisl: longueur de la clavetteSection cisaille S = b .l

F


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54

La clavette est vrifie au cisaillement : =F

b.l e/s

Elle est galement vrifie au matage :

Pression de contact : p =2F

hl

Rsistance au Matage :2Fhl

< Pression admissible

V.4 - Cisaillement des Filets d'un boulon:

La rsistance au cisaillement des filets s'exprime par :

- Vis :FD h Si a

e

====

- Ecrou :FD h Se a

e

====


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56

I.3 - Centre de gravit

Considrons l'expression prcdente A0'x' = Aox - y0'.S et choisissons

yO'=S

Aox . Le moment statique par rapport o'x' sera nul dans ce cas. Un tel

axe qui prsente un moment statique nul est appel axe central d'inertie.

D'une manire analogue, en choisissant x0'=S

Aoy , on dfinit un axe central

parallle o'y'.

Le point d'intersection des axes centraux dfinit le centre de gravit ( appel

encore centre d'inertie) de la section.

Par rotation des axes, on montre que le moment statique par rapport n'importe

quel axe passant par le centre de gravit est nul.

Rciproquement si G est le centre de gravit de la section, le moment statiquepar rapport Gx' est nul.

Donc :

Aox = yG. SAoy = xG. S

I.4 - Thorme de Guldin

Le volume d'un solide de rvolution est gal au produit de la surfacegnratrice par la circonfrence dcrite par le centre de gravit de cette section :

V = 2rG. S

Application : trouver la position du centre de gravit d'un demi-cercle.

V = 4R3/3, S =R2

2

d'o

rG=V

2 .S

=

4R3

X

Y

x

y

GyG

xGO

rG

S

rG

G


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57

II - MOMENTS QUADRATIQUES

II.1 - Dfinition

Soit une section (S) et un repre orthonorm oxy

a)Moment quadratique par rapport un axe:

On appelle moment quadratique de la section (S) par rapport l'axe ox :

I y dsoxs

==== 2

de mme que : (Ioxet Ioytoujours positifs)

I x dsoys

==== 2

b) Moment produit:

On appelle moment produit de la section (S) par rapport au systme d'axe

oxy :

I x ydsoxy s==== .

Notons que si l'un des deux axes ox ou oy est axe de symtrie de la

section, le moment produit par rapport oxy est nul.

x

y

y

x

O


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58

c) Moment polaire:

On appelle moment quadratique polaire de la section (S) par rapport 0 :

I dS x y dS I IoS S

OX OY==== ==== ++++ ==== ++++ 2 2 2( )

II.2 - Thorme de Huygens:

Connaissant les moments quadratiques et produit d'une section par

rapport un systme d'axes, on se propose de calculer ces mmes moments par

rapport un systme d'axes parallles.

I y dS y y dSO x1 12

11 02==== ==== ( )

do:

I y dS y ydS y SO x o1 1 1 12

022==== ++++ = Iox+ y So1

2 - 2yo1 Aox

de mme que:

I x dS x xdS x SO y o1 1 1 12

022==== ++++

Io y1 1 = Ioy+ x012S - 2x01Aoy

et :

IO1x1y1= Ioxy- x01Aox- y01Aoy+ x01y01S

Cas particulier:

Si o est le centre de gravit de la section : Aox= Aoy= 0 Donc , dans ce

cas on a :

IO1x1 = IGx+ y012S

IO1y1

= IGy

+ x01

2S

x

y

X1

Y1

O

O1

dS

S


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59

IO1X1Y1= IGxy+ x01y01S

Ces relations constituent le thorme de Huyghens qui s'nonce ainsi : le

moment quadratique d'une section par rapport un axe est gal au moment

quadratique de cette section par rapport l'axe passant par le centre de gravit,augment du produit de l'aire de la section par le carr de la distance des axes.

II.3 - Expressions des moments quadratiques usuels :a)Moments quadratiques d'un rectangle

dS = bdy

I y dS b y dy b yGx S hh

h

h==== ==== ====

++++

++++2 2 3

22

2

2

3//

/

/

IGx=bh3

12

de mme que : IGy=hb3

12

b)Moments quadratiques d'une section circulaire

IG=

2dS avec dS = 2d

IG= 2222 30

2Dd

/

d'o IG=D4

32

x

y

b

h

G

dy

)(121212

2233

hbhbhbbh

IG +=+=

D

d

x

y

G


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60

Le point G est le centre du cercle, par symtrie on a : IGx = IGy

IG= IGx+ IGy= 2 IGx= 2IGy

d'o

IGx= IGy=D4

64

III -MOMENTS QUADRATIQUES D'UNE SURFACE PARRAPPORT A UN AXE :

III.1 - Transformation angulaire des coordonnesConnaissant Iox1,Ioy1et Iox1y1,

on se propose de calculer :

Iox2, Ioy2et Iox2y2

Les coordonnes dans les deux repres sont lies par les relations

suivantes:

x2= x1cos+ y1siny2= y1cos- x1sin

Iox2= y dS y x x y dSSS

22

12 2

12 2

1 12 ==== ++++ ( cos sin sin cos )

do : Iox2= Iox1cos2+ Ioy1 sin

2-Iox1y1sin2

De mme que:

Ioy2= Iox1sin2+ Ioy1 cos

2+Iox1y1sin2

X1

X2

Y1

Y2

O


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Remarques : Iox1+Ioy1 = Iox2+Ioy2= IoIox2-Ioy2= (Iox1-Ioy1)cos2- 2Iox1y1sin2

Dautre part le moment produit par rapport 2 axes :

Iox2y2= x y dSS

2 2 = ( cos sin ) * ( cos sin )x y y x dSS

1 1 1 1 ++++

Do Iox2y2=I I

Iox oy1

ox y11

12 2 2

++++sin cos

III.2 - Axes principaux

III.2.1 - Dfinition:

Lorsque le systme d'axes ox2y2 tourne autour de O, la quantit (Iox2+

Ioy2) reste constante. Donc, si pour une certaine valeur de Iox2est minimal,

Ioy2 est maximal, et rciproquement. De tels axes, pour lesquels les moments

quadratiques sont respectivement maximum et minimum, sont appele axes

principaux. S'ils passent par le centre de gravit, ils sont appels axes centraux

principaux.

III.2.2 - Position des axes principaux :

Si Iox2est minimum ou maximum :dId

ox2

=0

Si Ioy2 est maximum ou minimum :dId

oy2

=0

Reprenons les relations vues prcdemment :

Iox1+Ioy1 = Iox2+Ioy2Iox2-Ioy2= (Iox1-Ioy1)cos2- 2Iox1y1sin2

Ces relations donnent :

Iox2=I Ix oy0 1 1

2++++

+I Ix oy0 1 1

2

cos2- Iox1y1sin2

Ioy2=

I Ix oy0 1 1

2

++++

-

I Ix oy0 1 1

2

cos2+ Iox1y1sin2


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62

Soit :

dId

ox2

= -(Iox1-Ioy1)sin2- 2Iox1y1cos2 = = = = 2Iox2y2

et

dId

oy2

= (Iox1-Ioy1)sin2+ 2Iox1y1cos2 = + = + = + = +2Iox2y2

donc :

dId

ox2

=dId

oy2

=0 ====> Iox2y2 =0 ======> (Iox1-Ioy1)sin2 = -2Iox1y1cos2

d'o :

tg2=2 1 1

1 1

II I

ox y

oy ox

IV - DETERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTSQUADRATIQUES- CERCLE DE MOHR

IV.1 - Problme direct :

On connat les axes principaux ox et oy, On recherche les moments

quadratiques par rapport 2 axes Ox1et Oy1faisant un angleconnu avec lesaxes principaux.

Donc, les donnes de ce problme sont : Iox, Ioy, Ioxy =0 et .Hypothse: Iox> Ioy 1) on trace OA = Iox

2) On trace OB = Ioy

3) On trace OC =I Ioyox++++

2

4) On trace le cercle de centreC et rayon CA.

5)On trace l'axe faisant 2 avecOA.

OH = OC + CH = OC + CM cos 2


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64

CHAPITRE 8

TORSION

I - GENERALITES :

I.1 - Dfinition:

Une poutre est sollicite la torsion si le systme des forces extrieures

cre des forces de cohsion reprsentables par un torseur dont le seul lment de

rduction au centre de gravit de chaque section droite S est appel moment detorsion.

Mt= Mx

Figure 7.1 : Torsion

I.2 - Limitations :

Les hypothses de la R.d.M., ajoutes la dfinition prcdente,

conduisent aux conclusions suivantes :

- seules les poutres droites peuvent tre soumises la torsion pour que le

moment de torsion soit port par la ligne moyenne. Les poutres courbes sontsoumises des sollicitations composes.

- Une section plane avant dformation devant rester plane au cours de la

dformation, la R.d.M. ne peut donc tudier que la torsion des poutres de

rvolution. pour les autres poutres, il sera ncessaire de faire appel la thorie

de l'lasticit.

x

y

z

MxG


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65

II - CONTRAINTES ET DEFORMATION D'UN ARBRECYLINDRIQUE:

II.1 - Essai de torsion:On ralise un essai de torsion sur un arbre cylindrique de section

constante en appliquant ses extrmits deux couples opposs Mt.

Figure 7.2 : Essai de torsion

Si l'on trace une gnratrice AB sur l'arbre avant l'essai. Aprs celui-ci,

l'arbre s'est dform et la gnratrice AB s'est transforme en hlice AB'.

On constate galement que les sections droites restent planes et qu'il n'y a

aucune dformation de ces sections. Chaque section droite tourne autour de

l'axe de l'arbre sans subir la moindre dformation.

II.2 - Etude de la dformation:

Une gnratrice AB, situe une distance r de l'axe, est dforme en AB',

hlice moule sur un cylindre de rayon r, cette dformation est reprsente sur

la figure (7.3a). L'hlice AB', dveloppe sur la figure (7.3b), est incline d'un

angle 'par rapport l'axe.

Figure 7.3 : Etude de la dformation

x

y

Mt

AB

G

Mt

BS

A

BB

l

BB

rA

Fig. 7.3a

Fig.7.3b


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68

=Mt

G Iodx

0

l

==> =Mt . l

G Io

Rappel : Pour un arbre de section circulaire : Io=

D32

4==>

IoR =

D16

3

Pour un arbre de section tubulaire : Io=(D - d )

32 4 4

=>IoR =

(D - d)16D 4 4

III - CONCENTRATION DE CONTRAINTES EN TORSIONComme pour les pices en traction, lorsque le diamtre de l'arbre varie

brusquement il y a apparition de concentration de contraintes. La valeur

maximale de la contrainte est dtruite partir de la contrainte nominale l'aided'un coefficient :

Maxi= ktonom= kto( rI

M

O

t )

Exemples : Arbre paul

nom=16M d

t3


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71

CHAPITRE 9 :

FLEXION PLANE - CONTRAINTES

I - DFINITION ET HYPOTHESESSoit la poutre suivante :

On dit qu'elle est sollicite en flexion plane si :

a) Le moment de flexion Mz ( ou My) est non nul

b) La section de la poutre possde un axe de symtrie Gy ( ou Gz)

c) Toutes les charges sont appliques dans un mme plan qui est le plan

de symtrie de la poutre Gxy (ou Gxz).

En rsum, nous avons les cas suivants :

si Mx= Mt =0 N = 0 , Ty= 0 ----> Flexion pure (Sollicitation

rare)

et Mz= Mf 0 N = 0 , Ty0 ----> Flexion simpleN 0 , Ty0 ---> Flexion compose.

Dans le cas o les forces extrieures n'appartiennent pas au plan de

symtrie de la poutre, il y a flexion dvie ( ou flexion gauche ).

Exemple:

G

x

y

z

G

z

yF


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73

- Donc pour 0 < x < a :

Ty(x)= RA=800 N

MZ(x)=-x.RA=-800.x

- Pour a < x < b :

Ty(x)= RA-F1=200 N

MZ(x)=-x.RA+F1 (x-a)=-200.x-600

- Pour b < x < l :

Ty(x)= RA-F1-F2=-1000 N

MZ(x)=-x.RA+F1 (x-a)+F2(x-b) =1000.x-3000

Le diagrammes

Remarques

- L'effort tranchant Ty(x) est constant entre deux points d'application.

- La fonction Mz(x) est une fonction affine, l'expression de cette fonction

est la mme pour toutes les sections comprises entre deux points d'application

des efforts.

T x en N+800

+200

-1000

AB

C D

x

x

Mz x en m.N

A C D B

-800

-1000


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74

II.2 - Cas des charges rparties:Exemple trait :

Les quations de la statique classique permettent de dterminer les

ractions RAet RB.

* Expressions du moment flchissant et de leffort tranchant dans les diffrentes

zones :

Zone AC : O x aTY(x)= RA

MZ(x)= -RA.x

Zone CD : a x b

TY(x)= RA- q( da

x )

MZ(x)= -RA.x + ( ) )x q( da

x

La connaissance de l'expression de q () permet de raliser lesintgrations . Zone BD : b x l :

TY(x)= RA- q(x dxa

b)

MZ(x)= -RA.x + ( ) )x q( da

b

L'allure des diagramme de TY(x) et MZ(x) dpend de l'expression de q()

x

z

a

x

AC D

B

bl

Ax

y

q()

dx


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75

III - RELATION ENTRE LE MOMENT FLECHISSANT ETL'EFFORT TRANCHANT

Considrons un lment de poutre x sollicit en flexion simple :

Isolons l'lment x

Avec :

[Tfi1/2]G= [TFe/1]Gqui se rduit en flexion plane deux composantes :

Ty(x)Mz(x)

[Tfi3/2]G1= - [Tfi2/3]G1= - [Tfi1/2]G1 =- T (x + x)

- M (x + x)y

z

( car [Tfi2/3]G1= [Tfe/2]G1 = [Tfe/1]G1= [Tfi1/2]G)

Donc, l'quilibre de l'lment x se rsume ainsi :

* Mt/G1z = 0 ==> MZ(x) - MZ( x + x) - TY(x). x = 0

x

F2F1

1 2

3

y

x

2

x

zO

G G1

Tfi1/2 GTfi3/2

G1

xG1

G

y

z

-Mz(x+x)

Mz x

Ty(x)

-Ty(x+x)

O


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76

d'o :

Ty(x) =x

xMxxM ZZ

++++

)()(

==>

Donc, l'effort tranchant dans une section est gale la drive du moment

de flexion par rapport l'abscisse de la section, change de signe .

IV - CONTRAINTES DANS LES POUTRES SOLLICITEES EN

FLEXION PLANE :

IV.1 - Contraintes normales

Considrons une poutre sollicite en flexion pure et cherchons la

rpartition des contraintes. les formules qui seront tablies restent valables pour

la flexion simple galement .

Soit un lment de poutre dx :

F=

MM'dx

avec MM' = - y tg d

Petites dformations ==> d petit ==> tg d= d

d'o

F= - yddx

La loi de Hooke s'crit :

f fE Eyddx==== ====

x

y

zdx

M0 M My

d

G0 GLigne neutre

x

xdMzxTy

)()( ====


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77

Distribution de la contrainte normale f :

Equilibre de l'lment dx :

Or yds= Aoz = 0 ==> La ligne neutre passe par le centre de gravit de lapoutre

Mt GZ M yds M ydsZ fs

Z f/ ==== ===>===>===>===> ==== ===>===>===>===> ==== ====0 0 0

d'o

GZZ IdxdEdsy

dxdEM == 2

==> Eddx

MI

Z

GZ

==== ++++

La contrainte normale due la flexion s'exprime donc par:

fZ

GZ

MI

y

==== ( )

Les contraintes maximales apparaissent sur les fibres les plus loignes

de la ligne neutre :

fZ

GZ

MIy

max

max( )

====

I

y

GZ

max

: Module de flexion, caractrise la section de la poutre;

Mz

x

y

z

G

dx

G0O

fTraction

Com ression

Pr /oj ox ds E ddx ydsf==== ===>===>===>===> ==== ===>===>===>===> ====0 0 0


78/91

ENIM Rsistance des matriaux 1 ( Pr B. NAJJI )78

Exemples :

Section rectangulaire :

I bh

yh

GZ====

====

312

2max

===>Iy

bhGZmax

====2

6

Section circulaire :

I

d

yd

GZ====

====

4

64

2max

===>Iy

dGZmax

==== 3

32

IV.2 - Contrainte tangentielleRevenons l'lment x soumis la flexion simple :

Nous avons dmontr que T = -d Mz

dx (paragraphe III)

Etudions l'quilibre de la partie hachure situe yode la ligne neutre :

Z

y

b

hG

d

z

y

G

G0G

Mz(x)Mz(x+x)

x

Y0

Ty(x+x)

Ty(x)

x

x(y0)

SS0

fGfG0


79/91


proj ox ds ds y dsfG fGS S S

/ ( )' ' '

==== =====>=====>=====>=====> ++++ ====0 000

00

Afin de simplifier le problme, on admet les hypothses suivantes :

(yo) = Constante sur l'lment x bo : largeur de la poutre y = yo S' = S'o

Donc on a :

( ) ( ). .'

fG fGS

ds y x b ====0 0 0 0

( ) ( ). .'

M MI yds y x bZG ZGGZS

====0 0 0

Ce qui peut s'crire encore :

( ).

( ). .'

M Mx

x yI ds y x b

ZG ZG

S GZ

====0 0 0

( ) . . . ( ' )'y

TI b yds

TI b A S

y

GZ S

y

GZGZ0

0 0==== ====

(y ) = +T

I .bo . A (S')oy

GZGZ

Exemple : Section rectangulaire

h

b

y

zY0 G


80/91


do:

( ) ( )y TS yh00 232 1 2====

V - CONDITION DE RESISTANCE

L'exprience montre que les contraintes tangentielles dues aux chargesextrieures restent faibles par rapport aux contraintes normales en flexion plane.

Donc les dimensions de la section droite de la poutre seront dtermines partir

des inquations suivantes :

tZ

GZadt

MI

Y

==== max

max

et cZ

GZadc

MI

Y

==== max

max

VI - CONCENTRATION DES CONTRAINTES:Les formules de flexion que nous avons tablies sont valables pour une

poutre de faible hauteur ( h < 6l), de section variant faiblement et de petite

courbure.

Si la section varie brusquement, il y a concentration des contraintes comme

dans le cas de la traction :

maxmax

max

. .==== ====K KM

Iy

t calc f z

GZ

Les valeurs du coefficient de concentration des contraintes Kf sont

obtenues par la thorie dlasticit ou par lexprience.

(y0)

+h/2

-h/2

y


81/91


Les valeurs de Kf sont donnes pour les principaux cas de concentration

des contraintes par les tableaux ci-dessous :

A -Pices prismatiques

R/d 2.00 1.00 0.66 0.50 0.33 0.25

0.05 1.60 1.90 2.00

0.10 1.50 1.70 1.73 1.74 1.76 1.77

0.20 1.38 1.47 1.50 1.52 1.53 1.54

0.27 1.33 1.38 1.39 1.395 1.398 1.40

0.50 1.21 1.22 1.225 1.23 1.235 1.24

1.00 1.07 1.08 1.085 1.09 1.095 1.10

B -Pices cylindriques avec rainure

R/d 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

Kf 2.90 2.20 1.70 1.48 1.38 1.30

C - Pices cylindriques avec cong

R/d 0.10 0.20 0.30 0.50

Kf 1.80 1.50 1.35 1.20

Vrification d'une pice en flexion:

tZ

GZadt

MIY

==== max

max

et cZ

GZadc

MIY

==== max

max

K f t et et K f c ec

H

h

d

R

d

R

Rd

D

R/h


82/91


CHAPITRE 10:

FLEXION PLANE - DEFORMATIONS

I - EQUATION DIFFERENTIELLE DE LA DEFORMEED'UNE POUTRE

Pour tablir cette quation nous allons considrer deux sections droites

voisines So et S, distantes de dx :

G0G=dx : ne change pas de longueur aprsdformation

(Appartient la fibre neutre)

Nous avons obtenu au chapitre prcdent :

Eddx

M

IZ

GZ

==== ++++

Considrons le triangle OG0G:

OGo= : rayon de courbure

GoG = dx= - d ==>1

====

ddx

L'inverse du rayon de courbure1

exprime la courbure de la poutre au

point O. On dmontre en gomtrie analytique que :

xO

A

BG

S0

S

A0

B0

G0

O


83/91


84/91


85/91


II.2 - Mthode des paramtres initiaux :

Lorsque le systme de charge divise la poutre en plusieurs tronons ( plus

de deux), il est conseill d'utiliser la mthode des paramtres initiaux pour

dterminer l'quation de la ligne lastique. le principe de cette mthode estexpos ci-aprs.

Soit dterminer l'quation de la ligne lastique de la poutre suivante :

Le systme de charge divise la poutre en 5 zones.

Expression du Moment Flchissant :

- Zone (1) : 0 < x < a ---> Mz1(x) = 0- Zone (2): a Mz5(x) = M+F(x - b) + 22q c)(x ) -

22q d)(x

Le moment de flexion s'crira sous la forme :

M x M F x bq x c q x d

z( ) ( )( ) ( )

==== ++++ ++++ ++++

0

2 21 2 3 4 5

2 2

x

y

A B

a

bc

d

l

MF

q

1 2 3

4

5


86/91


87/91


Dans notre cas, la poutre est encastre en x = l; donc les conditions aux limites

sont: y(l)=0 et y(l)=0. Ce qui donne deux quations deux inconnues y0et y0:

EI y M l a

F l b q l c q l d

GZ ' ( )

( ) ( ) ( )

0

2 3 3

2 6 6 0

++++

====

EI y EI y lM l a F l b q l c q l d

GZ GZ0 0

2 3 4 4

2 6 24 24 0++++

++++

====' .( ) ( ) ( ) ( )

III - PRINCIPE DE RECIPROCITE OU THEOREME DEMAXWELL-BETTILes mthodes servant dmontrer le principe de rciprocit de Maxwell-

Betti sortent du cadre de ce cours. dans notre cas, nous allons l'utiliser dans

quelques cas simples.

III.1 - Enonc du principe de rciprocit: Soit une force FA avec |FA| = 1, applique en un point A quelconque de

la poutre, suivant une direction A. Cette force produit en un point B de cette

poutre un dplacement lastique ABd suivant une direction arbitraire B.

Rciproquement, une force FB avec |FB| = 1, applique en un point B

suivant la direction B, produit en A un dplacement lastique suivant la

direction Anot ABd , tes que : ABd = BAd

ABd

x

yFA

A

AO B

B

x

yFB

B

B

A

A

BAd


88/91


89/91


EI y x EI y EI y xF x

L

GZ GZ GZ( ) ' .( )

==== ++++ ++++

0 0 12

2 3

6

y(L) =0=======> yFLEIGZ

'02

48====

=======> y yAC

CA====

y(L) = 0=======>y FLEI yGZA0

3

548==== ====

Remarque:

Le thorme de Maxwell-Betti est galement applicable aux moments :

MAen A suivant A----> en B une rotationA,B suivant A

MBen A suivant B----> en A une rotation B,A suivant A

si |MA| = |MB| = 1 ======> on a A,B = B,A

x

yMA

AB

ABy'

MB

x

y

BA

BAy'

Si MA=MB alors on a :BA

AB yy '' ====


90/91


Utilit du thorme de Maxwell-Betti:L'utilisation de ce thorme peut rduire la taille des calculs pour

dterminer la flche des poutres dans certains cas.

IV - Principe de superposition:Dans le domaine lastique, les effets mcaniques ( contraintes en un

point, ractions aux appuis, les dformations) dus aux forces F1 , F2 ........Fn

agissant simultanment sur la poutre sont gaux la somme des effets produits

par chacune des forces prises sparment.

Application dans le cas des dformations :

Soit calculer la flche en un point A de la poutre suivante :

- Mthode des paramtres initiaux :

M F x F xL

z==== . ( )1 22

y

F1

F2

A C B x

y

F2

A C B

x

x

F1

y

A C B

y

F F

L/2 L/2 x

1 2


91/91

E I y x E I y Fx

Fx

L

G Z G Z' ( ) ' .( )

==== ++++ ++++

0

2 2

22

21 2

E I y x E I y E I y x Fx

Fx L

G Z G Z G Z( ) ' . .( )

==== ++++ ++++ ++++

0 03 3

62

61 2

yFL

EIGZ'0

258==== y(L) =0 =======>

y(L) = 0=======>

- Principe de superposition:

Cas I Cas II

yFL

EIAI

GZ====

1648

3 y

FlEIA

IIGZ

====5

48

3

do : y y yFL

EIA AI

AII

GZ==== ++++ ====

2148

3

Utilit du principe de superposition : Economie des calculs.

yFL

EI yGZ A0321

48==== ====

y

F

xA CB

y

A C B x

F

aaaaaaacours rdm1-12-02-2010-1

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