5. Exercices et corriges

Rappels et questions-tests p.166

1) ABC est un triangle. Placez les points D et E tels que :−−→BD =

−→AC et

−→AE =

−→BA.

Quelle est la nature du quadrilatere ADCE?2) ABC est un triangle.a)Construisez les points D, E et F tels que :−−→AD =

−→AB +

−→AC ;

−→AE =

−→BA+

−→AC ;

−−→BF =

−→BA−

−→AC.

b) Demontrez que C est le milieu de [DE].3)

Sur la droite ci-dessus les divisions sont regulieres.

Completez les inegalites suivantes :−−→AM = ...

−→AB ;

−−→AN = ...

−→AC ;

−−→CP = ...

−−→CB.

4) Dans un repere (O ;I ;J) on donne les points A(−3; 3) et B(5;−1). M est un point de coordonnees (x; y).

a) Calculez en fonction de x et y les coordonnees de−−→MA et

−−→MB.

b) Calculez les coordonnees de 3−−→MB.

c) Deduisez-en les coordonnees de M tel que :−−→MA = 3

−−→MB.

5) Dans un repere (O ;I ;J) on donne les points A(−2; 2), B(1;−3), C(9;−1) et D(6; 4).Quelle est la nature du quadrilatere ABCD?

Corriges des rappels et questions-tests p.166

24

Exercice A

Repassez en vert les vecteurs colineaires au vecteur ~u et en rouge les vecteurs colineaires au vecteur ~v

Corrige de l’exercice A

Repassez en vert les vecteurs colineaires au vecteur ~u et en rouge les vecteurs colineaires au vecteur ~v

n°55 p.182 :

ABC est un triangle.1) Construisez le point D tel que :−−→AD = 3

5

−→AB + 2

5

−→AC.

2) En ecrivant que−−→BD =

−→BA+

−−→AD, demontrez que les vecteurs

−−→BD et

−−→BC sont colineaires.

Corrige du n°55 p.182 :

1°)2°)D’apres la relation de Chasles :

~BD = ~BA+ ~AD

= ~BA+3

5~AB +

2

5~AC

=

(

+1−3

5

)

~BA+2

5~AC

=2

5~BA+

2

5~AC

=2

5

(

~BA+ ~AC)

=2

5~BC

Donc ~BD et ~BC sont colineaires.

25

n°46 p.182 :

Dans chacun des cas suivants, dites si les vecteurs ~u et ~v sont colineaires.a) ~u = 2~i− 3~j et ~v = 2

3~i−~j.

b) ~u = 2~i+ 3~j et ~v = − 1

3~i− 1

2~j.

Corrige du n°46 p.182 :

On utilise la caracterisation xy′ − yx′ = 0.a) 2× (−1)− (−3)× 2

3= −2 + 2 = 0

Donc les vecteurs sont colineaires.b) 2×

(

− 1

2

)

− 3×(

− 1

3

)

= −1 + 1 = 0Donc les vecteurs sont colineaires.

n°2 p.171 :

On donne les points A(−3; 2) et B(−1; 7).Le point M(−6;− 11

2) est-il un point de (AB) ?

Corrige du n°2 p.171 :

(il est pertinent de s’aider de l’exercice corrige qui est au-dessus...)Si les vecteurs ~AB et ~AM sont colineaires, alors les points A, B et M sont alignes.Testons cette colinearite, et calculant tout d’abord les coordonnees des vecteurs :

~AB−1 + 37− 2

=25

~AM−6 + 3− 11

2− 2

=−3−7, 5

Testons a present la colinearite : 2× (−7, 5)− 5× (−3) = 0, donc les deux vecteurs sont colineaires.Par suite, les points A, B et M sont alignes, c’est-a-dire M ∈ (AB).

n°50 p.182 :

Les points M, N, P sont tels que :−−→MN = 5~i+ 2~j et

−−→MP = x~i− 3

5~j.

Pour quelle valeur de x les points M, N, P sont-ils alignes ?

Corrige du n°50 p.182 :

Les points M, N et P sont colineaires ssi ~MN et ~MP sont colineaires, c’est-a-dire ssi :

5×

(

−3

5

)

− 2x = 0

−3− 2x = 0

x = −3

2

Ainsi, les points sont alignes ssi x = − 3

2.

n°52 p.182 :

M est un point de la droite d parallele a l’axe desordonnees.Les droites (AB) et (CM) sont paralleles.Quelle est l’ordonnee de M?

26

Corrige du n°52 p.182 :

Le point M appartient a la droite d ssi xM = 5.Notons donc les coordonnees de M comme suit : M(5; y).

Par lecture graphique on a ~AB22

, et

~CM5− 2

y − (−3)=

3y + 3

~AB et ~CM sont colineaires ssi 2(y + 3)− 2× 3 = 0, ce quiequivaut a :2y + 6− 6 = 0 ⇔ 2y = 0 ⇔ y = 0.Donc le point M a pour coordonnees M(5; 0), i.e.l’ordonnee de M est 0.

n°88 p.186 - a, b, c :

P et Q sont deux propositions.Dites chaque fois si P ⇒ Q, si Q ⇒ P , et/ou si P ⇔ Q.

a) M et N sont deux points distincts.

P : “−−→IM =

−→NI”

Q : “I est le milieu de [MN ]”

b) A, B, M sont trois points distincts du plan.

P : “−−→MA et

−−→MB sont opposes”

Q : “MA = MB”

c) A, B, C sont deux a deux distincts.P : “Il existe un reel k tel que CA = |k|CB”Q : “Les points C, A, B sont alignes”

Corrige du n°88 p.186 - a, b, c :

a) P ⇔ Q (donc egalement P ⇒ Q et Q ⇒ P )b) P ⇒ Q, car ~MA = − ~MB ⇒ M milieu de [AB] ⇒ MA = MBEn revanche Q✚✚⇒P car la proposition MA = MB est vraie pour tout point M appartenant a la mediatrice du segment[AB] (M, A et B forment alors un triangle isocele en M), mais M n’est pas forcement le milieu de [AB] ; il faudrait pourcela ajouter la condition M ∈ [AB].c) Q ⇒ P car C, A, B sont alignes, donc ∃k ∈ R : ~CA = k. ~CB ⇒ ∃k ∈ R : CA = |k|.CB.En revanche, P✚✚⇒Q car pour trois points A, B, C du plan (B 6= C), en posant k = CA

CB, l’egalite P est vraie : il est donc

inutile d’imposer que C, A et B soient alignes.

n°57 p.183 :

Exprimez les vecteurs ~u, ~v, et ~w en fonction des vecteurs ~i et ~j.

Corrige du n°57 p.183 :

~u = 3

2~i+ 2~j

~v =~i− 3~j~w = − 3

2~i− 4~j

27

n°58 p.183

ABC est un triangle.

1) Placez le point D tel que−−→AD = 3

−→AB − 2

−→AC.

2.a) Exprimez−−→BD en fonction de

−→AB et

−→AC.

2.b) Deduisez-en que−−→BD et

−−→BC sont colineaires.

Que dire alors des points B, C et D ?

Corrige du n°58 p.183

1°)2.a) ~BD = ~BA+ ~AD = − ~AB + 3 ~AB − 2 ~AC = 2 ~AB − 2 ~AC2.b) On a ~BD = 2( ~AB − ~AC) = 2( ~AB + ~CA) = 2 ~CBDons ~BD et ~BC sont colineaires ( ~BD = 2 ~BC).Par suite, les points B, C et D sont alignes.

n°64 p.183 :

ABCD est un parallelogramme. Les points M et P sont

tels que−−→DM = 2

3

−−→DC et

−−→BP = 3

2

−−→BC.

On souhaite demontrer que les points A, M et P sontalignes en choisissant un repere parmi les propositionssuivantes :– (A;

−→AB;

−−→AD)

– (B;−→BA;

−−→BC)

– (C;−−→CM ;

−−→CP )

1) Quel est le choix qui vous paraıt le plus pertinent ?Pourquoi ?2) Demontrez, en utilisant le repere choisi, que A, M et Psont alignes.

Corrige du n°64 p.183 :

1°) On choisit le repere (C; ~CM ; ~CP ), afin d’eviter lescoordonnees fractionnaires.2°) Dans ce repere, on a :A(3;−2) ; M(1; 0) ; P (0; 1)

D’ou : ~AM1− 30 + 2

=−2+2

et ~MP0− 11− 0

=−1+1

.

Donc ~AM = 2 ~MP , les vecteurs sont colineaires et parsuite les points A, M, P sont alignes.

28

Rappels et questions-tests p.166

6) Placez dans un repere (O ;I ;J) les points A(-2 ;1), B(4 ;2), C(-2 ;-1) et D(-1 ;2).Trouvez une equation pour chacune des droites (AB), (AC) et (BD).7) Dans un repere (O ;I ;J) :a) Construisez la droite d passant par le point A(3 ;-2) et de coefficient directeur m = 3

4.

b) Trouvez une equation de cette droite.

Corriges des rappels et questions-tests p.166

n°68-a p.184 :

Trouvez une equation de la droite d definie par le point A(−2; 4) et le vecteur ~u = 3~i+~j.

Corrige du n°68-a p.184 :

a) On a A(−2; 4) et ~u3 = −b1 = a

, donc une equation de la droite est de la forme x− 3y + c = 0 (*)

A ∈ d, donc en remplacant dans (*) par les coordonnees de A, on peut trouver la valeur de c :−2− 3× 4 + c = 0 ⇒ c = 14.Donc une equation de cette droite est d|x− 3y + 14 = 0.

n°69-a,c p.184 :

La droite d passe par les points A et B.Dans chacun des cas suivants, trouvez une equation de d.a) A(1; 5) et B(−3; 2).c) A(4; 2) et B(4;−3).

Corrige du n°69-a,c p.184 :

a) A(1; 5) et B(−3; 2).On pourrait partir d’une equation ”generique” ax+ by + c = 0, dire que les coordonnees de A et B la verifient, etaboutir ainsi a un systeme de deux equations a trois inconnues, mais il y a plus court :

~AB−4−3

est un vecteur directeur de d.

29

Donc une equation de d est de la forme : −3x+ 4y + c = 0 (*).Or les coordonnees de A verifient (*) : −3 + 20 + c = 0,d’ou c = −17, et une equation de d est : d| − 3x+ 4y − 17 = 0.

c) A(4; 2) et B(4;−3), donc ~AB0−5

est un vecteur directeur de d...

...Mais on peut aussi voir que ce sont deux points d’abscisse 4 et que l’on a donc affaire a la droite d|x = 4.

n°73-a,c p.184 :

Les droites d1 et d3 sont definies par une equation.Determinez pour chacune d’elles un point et un vecteur directeur :a) d1 : 3x− 2y + 5 = 0c) d3 : x

3+ y

2− 1 = 0

Corrige du n°73-a,c p.184 :

a)La droite d1 a pour equation d1 : 3x− 2y + 5 = 0, qui est de la forme ax+ by + c = 0, avec a = 3, b = −2 et c = 5.

Un vecteur directeur est donc ~v1−b = 2a = 3

Le point d’intersection avec (par exemple) l’axe des abscisses est le point d’abscisse x tel que :

3x− 2× 0 + 5 = 0

3x+ 5 = 0

x = −5

3

Donc d1 est la droite de vecteur directeur ~v123

, passant par M1(−5

3; 0).

b)La droite d3 a pour equation d3 : x3+ y

2− 1 = 0, qui est de la forme ax+ by + c = 0, avec a = 1

3, b = 1

2et c = −1.

Un vecteur directeur est donc ~v3−b = − 1

2

a = 1

3

, ou encore ~v′33−2

(v′3 = −6v3)

Le point d’intersection avec (par exemple) l’axe des ordonnees est le point d’ordonnee y tel que :

0/3 + y/2− 1 = 0

y/2 = 1

y = 2

Donc d3 est la droite de vecteur directeur ~v′33−2

, passant par M3(0; 2).

n°82 p.185 :

ABC est un triangle. A’ et C’ sont deux points tels que :A’ est le symetrique de A par rapport a C, et C’ est le symetrique de C par rapport a A.Le point K est le milieu du segment [BC]. La droite (A’K) coupe (AB) en I, et la droite (C’K) coupe (AB) en J.

On choisit le repere (A;−→AB;

−→AC).

1) Trouvez une equation de (A′K) puis de (C′K).2a) Deduisez-en les coordonnees de I et de J.

2b) Quel lien existe-t-il entre les vecteurs−→AJ ,

−→JI,

−→IB ?

Corrige du n°82 p.185 :

On travaille dans le repere (A; ~AB; ~AC).1°) On a, dans ce repere : A′(0; 2) ; C′(0;−1) ; B(1; 0).Rappel : les coordonnees du milieu K d’un segment [BC] sont : xk = xB+xC

2et yk = yB+yC

2(on peut retenir qu’il s’agit

de la moyenne des coordonnees des extremites du segment).

30

Ainsi, le point K a pour coordonnees K( 12; 1

2).

D’ou les coordonnees des vecteurs : ~A′K1

2

− 3

2

et ~C′K1

23

2

.

Donc l’equation de (A′K) est de la forme :− 3

2x− 1

2y + c

2= 0, c’est-a-dire −3x− y + c = 0.

Or A′ ∈ (A′K), donc c = 2 et par suite (A′K)|3x+ y − 2 = 0.De la meme maniere, (C′K)|3x− y − 1 = 0.2.a) I appartient a l’axe des abscisses et a (A′K), donc yI = 0. De plus, xI verifie : 3xI − 2 = 0, donc I( 2

3; 0).

De meme, yJ = 0 et xJ verifie : 3xJ − 1 = 0, donc J( 13; 0).

2.b) ~AJ1

3

0; ~JI

1

3

0; ~IB

1

3

0

Donc ~AJ = ~JI = ~IB.

n°83 p.185 :

(O;~i;~j) est un repere. Trouvez une equation de la droite ∆ passant par le point A(−1; 4) et parallele a la droite dd’equation :

3x− 2y + 1 = 0

Corrige du n°83 p.185 :

d|3x− 2y + 1 = 0∆|ax+ by + c = 0, or d et ∆ sont paralleles ssi elles ont un vecteur directeur en commun, donc le vecteur decoordonnees (2; 3) est directeur de ∆D’ou le droite ∆ possede une equation cartesienne de la forme : ∆|3x− 2y + c′ = 0Or A(−1; 4) ∈ ∆, donc −3− 8 + c′ = 0, i.e. c′ = 11.Une equation de ∆ est donc ∆|3x− 2y + 11 = 0.

n°87-a p.185 :

Dites si les droites d et d′ sont confondues, paralleles distinctes ou secantes.Si ces droites sont secantes, calculez les coordonnees de leur point d’intersection.

{

2x− y + 5 = 03x− 5y + 6 = 0

Corrige du n°87-a p.185 :

a)Utilisons la carcterisation analytique du parallelisme (i.e. calculons ”ab′ − a′b”) : 2× (−5)− 3× (−1) = −7 6= 0.Ces droites sont donc secantes.Pour trouver leur point d’intersection, on resout le systeme :

{

2x− y + 5 = 0(E1)3x− 5y + 6 = 0(E2)

⇔

{

2x− y + 5 = 0(E1)−7x− 19 = 0(E2)− 5(E1)

⇔

{

y = 2x+ 5x = − 19

7

⇔

{

y = 73

7

x = − 3

7

Donc le point d’intersection a pour coordonnees(

− 19

7;− 3

7

)

n°88-d p.186 :

P et Q sont deux propositions.Dites si P ⇒ Q, si Q ⇒ P , et/ou si P ⇔ Q.

d) d et d′ sont deux droites d’equations respectives :d|mx+ y − 1 = 0 et d′|x+ ny + 1 = 0.

P : “d//d′”Q : “mn = 1”

Corrige du n°88-d p.186 :

(d)//(d′) ssi m× n− 1× 1 = 0,i.e. (d)//(d′) ⇔ mn = 1On a donc P ⇔ Q, donc a fortiori P ⇒ Q et Q ⇒ P .

31