Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables 27

2.4 Différentiabilité en plusieurs variables

La différentiabilité d’une fonction f au point x0 correspond à l’exis-tence d’une approximation linéaire de la fonction f au voisinage du pointx0. Pour une fonction d’une variable, cette approximation linéaire est ladroite tangente. Pour fonctions de deux variables, elle sera le plan tan-gent au graphe de la fonction au point (x0, y0).

Dès que une fonction d’une variable est dérivable si et seulement siil existe la droite tangente au point, sur R il y a équivalence entre ladérivabilité et la différentiabilité. Pour fonction de plusieurs variables, engeneral, la dérivabilité est une notion trop faible pour garantir l’existenced’une approximation linéaire. Pour garantir l’existence de la linéarisationil faut parler de différentielle.

Définition 2.4.1 [ Différentiabilité d’une fdpv à valeurs réelles] SoientD un ouvert de Rn, f : D 7! R et x0 2 D. On dit que f est différentiableen x0 si il existe une application linéaire L : Rn 7! R telle que auvoisinage de x0 l’on ait :

f(x0 + h)� f(x0) = Lh+ o(|h|)

Si une telle application existe, on l’appelle différentielle de f au point x0et on la note Df(x0).

Toutes fonctions élémentaires telles que polynômes, exponentielle, loga-rithmiques et trigonométriques sont différentiables dans leur domaine dedéfinition.

Sauriez-vous donner la définition de différentielle pour f : D 7! Rp,p > 1 ?

De manière équivalente on peut dire que f est différentiable au point

28 2.4. Différentiabilité en plusieurs variables

x0 2 Rn si et seulement si l’expression :

f(x01 + h1, · · · , x0n + hn

)� f(x01, · · · , x0n)� h1@x1f(x0)� · · ·� hn

@x

n

f(x0)ph21 + · · ·+ h2

n

tend vers 0 lorsque (h1, · · · , hn

) ! (0, · · · , 0).La différentiabilité est une condition plus forte que la continuité et la

dérivabilité.

Théorème 2.4.2 Soient D un ouvert de Rn, f : D 7! R et x0 2 D. Sif est différentiable en x0 alors :

— f est continue en x0 ;

— f admet toute dérivée directionnelle en x0 et sa différentielle estdonnée par :

Df(x0) : Rn 7! R(h1, · · · , nn

) 7! @x1f(x0)h1 + @

x

n

f(xn

)hn

= rf(x0) · h

ATTENTION : la réciproque du théorème 2.4.2 est fausse.

Exemple 12 La fonction définie au remarque 7 est dérivable en (0, 0)

mais pas différentiable en ce point car pas continue.

Définition 2.4.3 [ Fonction de classe C1] Soient D un ouvert de Rn etf : D 7! R. Si toute dérivée partielle de f existe et est continue sur Don dit que f est de classe C1 sur D et on écrit f 2 C1

(D).

Théorème 2.4.4 [ Condition suffisante pour la différentiabilité ] SoientD un ouvert de Rn, f : D 7! R et x0 2 D. Si f est de classe C1 auvoisinage de x0 alors elle est différentiable au point x0.

Proposition 2.4.1 [ Plan tangent] Soient D une partie ouverte deR2, f : D 7! R et (x0, y0) 2 D. Si f est différentiable en (x0, y0) alorselle admet une linéarisation au voisinage de (x0, y0). L’équation du plan

Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables 29

Figure 4: Fonction différentiable f(x, y) admettant un plan tangent à son graphe

pour tout point (x0, y0, f(x0, y0)).

tangent au graphe de la fonction {x, y, f(x, y)} en (x0, y0) est donnéepar :

t(x, y) = f(x0, y0) + (x� x0)@xf(x0, y0) + (y � y0)@yf(x0, y0)

Quelle est l’équation du "plan" tangent pour une fonction différentiableen R3 ? Et en Rn ?

2.5 Dérivées d’ordres supérieurs

Si une fonction f est dérivable on peut se demander si les dérivéespartielles sont elles mêmes dérivables. Par exemple, dans le cas d’unefonction f : R2 7! R, on peut chercher les deux dérivées partielles (par

30 2.5. Dérivées d’ordres supérieurs

Figure 5: Fonction non différentiable en (0, 0). La non existence d’un plan tangent

au graphe de la fonction en (0, 0) est flagrante.

Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables 31

rapport à x et y) des fonctions @x

f(x, y) et @x

f(x, y). Si les dérivéesexistent, elles s’appellent dérivées partielles d’ordre 2.

Pour une fonction f : D 7! R, D ouvert de Rn, si toutes les dérivéespartielles premiéres son dérivables, on a n2 dérivées partielles d’ordre 2 :

@2f

@x2i

=

@

@xi

� @f@x

i

�8i = 1, · · · , n

@2f

@xi

xj

=

@

@xi

� @f@x

j

�j 6= i

De la même manière on peut définir les dérivées partielles d’ordressupérieurs.

Exemple 13 Soit f : R2 7! R :

f(x, y) = xy2.

On a 4 dérivées d’ordre 2 :

@2f

@x2= 0,

@2f

@y2= 2x,

@2f

@y@x= 2y,

@2f

@x@y= 2y.

Définition 2.5.1 [ Matrice hessiene ] Soient f : D 7! R, D ouvert deRn et x0 2 D. Si f admet toutes les dérivées partielles d’ordre 2 en x0on peut définir la matrice hessienne de f au point x0 :

Hf

(x0) =

0

B@

@

2f

@x

21

· · · @

2f

@x1xn... . . . ...@

2f

@x

n

x1· · · @

2f

@x

2n

1

CA

32 2.5. Dérivées d’ordres supérieurs

Définition 2.5.2 [ Fonction de classe C2 ] Soient f : D 7! R, D ouvertde Rn et x0 2 D. Si f admet toutes les dérivées partielles d’ordre 2 etelles sont continues sur D on dit que f est de classe C2 sur D et onécrit f 2 C2

(D).

De la même manière on peut définir les fonction de classe Ck, k � 3.

Définition 2.5.3 [ Différentielle d’ordre supérieur ] Soient f : D 7! R,D ouvert de Rn et x0 2 D. Si x 7! Df(x) est différentiable en x0 on ditque f admet une différentielle d’ordre 2 en x0. Elle est notée D2f(x0).

Théorème 2.5.4 [ Lemme de Schwarz] Soient f : D 7! R, D ouvertde Rn et x0 2 D. Si f admet une différentielle d’ordre 2 en x0 alorstoutes dérivées partielles croisées sont égales, c’est à dire :

@2f

@xi

xj

(x0) =@2f

@xj

xi

(x0).

Lorsque elle existe, la différentielle d’ordre 2 d’une fonction f : D 7! Rau point x0 2 D est donnée par :

D2f(x0) : Rn ⇥ Rn 7! R(h, k) 7!

nPi,j=1

@

2f

@x

i

x

j

(x0)hi

kj

où h = (h1, · · · , hn

) et k = (k1, · · · , kn) sont vecteurs de Rn. Pourrait-onécrire cette formule sous forme matricielle ? Si oui, comment ?

Théorème 2.5.5 [ Formule de Taylor d’ordre 2] Soient f : D 7! Rp,D ouvert de Rn et x0 2 D. Si f 2 C2

(D) alors :

f(x+ h) = f(x) +Df(x)h+

1

2

D2(f)(x)(h, h) + o(|h|2),

pour tout h 2 Rn tel que x+ h soit contenu dans D.

Si p = 1 la formule de Taylor s’écrit à l’aide du gradient et de lamatrice hessiene :

f(x+ h) = f(x) +rf · h+

1

2

hTHf

(x)h+ o(|h|2).