le théorème de thalès et sa réciproque
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Troisième
sguhel
Collège Grand Parc
Le théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque Troisième
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1 Le théorème de Thalès : calculer une distance .............................................................................................. 2
1.1 Conjecture ................................................................................................................................................. 2
1.2 Démonstration ........................................................................................................................................... 3
1.3 Théorème ................................................................................................................................................... 4
1.4 Application ................................................................................................................................................ 5
2 Le théorème de Thalès : montrer que deux droites ne sont pas parallèles .................................................. 6
3 La réciproque du théorème de Thalès : montrer que deux droites sont parallèles ...................................... 7
3.1 Théorème ................................................................................................................................................... 7
3.2 ATTENTION !! ............................................................................................................................................... 8
4 Agrandir ou réduire une figure ......................................................................................................................... 9
5 Compétences ................................................................................................................................................. 11
6 Fiche programme ........................................................................................................................................... 12
6.1 Révisions ................................................................................................................................................... 12
6.2 Thalès « papillon » .................................................................................................................................... 12
Le théorème de Thalès et sa réciproque Troisième
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1 Le théorème de Thalès : calculer une distance
1.1 Conjecture
Exemple : activité 1 p 185
Le théorème de Thalès et sa réciproque Troisième
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1.2 Démonstration
B C B C A
BC B'C' BC B'C'
BC B'C' DE BC
B'C' DE
ADE C AD B AE
B'C' ED
Le théorème de Thalès et sa réciproque Troisième
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AC AC' AB AB' BC B'C'
1.3 Théorème
Théorème : Soient (d) et (d') deux droites sécantes en un point A.
B et M deux points de (d) distincts de A,
C et N deux points de (d') distincts de A,
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors :
Le théorème de Thalès et sa réciproque Troisième
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1.4 Application
Sur la figure ci-dessous les droites (GV) et (FE) sont parallèles, TE = 1,8 cm TV = 6 cm TG = 4,8 cm
GV = 8 cm. Calculer TF et FE.
● FV EG
● FE GV
Le théorème de Thalès et sa réciproque Troisième
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2 Le théorème de Thalès : montrer que deux droites ne sont pas parallèles
Exemple:
Les droites (FG) et (NM) sont-elles parallèles ?
EF = 2,5 cm, EM = 1,7 cm,
EG = 1,6 cm, EN = 1,1 cm.
FM GN E
FG MN
FG NM
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3 La réciproque du théorème de Thalès : montrer que deux droites sont
parallèles
3.1 Théorème
Théorème(admis) : Soient (d) et (d') deux droites sécantes en un point A.
B et M deux points de (d) distincts de A,
C et N deux points de (d') distincts de A,
Si les points A, B et M d'une part et A, C et N d'autre part, sont alignés dans le même ordre et si
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles
Exemple:
Démontrer que le quadrilatère LOUP est un
trapèze (que (LO) et (UP) sont parallèles)
OI = 6 cm ; IP = 10,5 ; IU = 7 cm ; IL = 4 cm.
● O, I, P
L, I et U,
●
UP LO
LOUP
Le théorème de Thalès et sa réciproque Troisième
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U
L
PN
G
3.2 ATTENTION !!
À vos ordres !
Sur la figure ci-contre, G, P et L d'une part et G, N et U d'autre part sont alignés.
On donne GP = 2,5 cm ; GU = 9 cm ; GN = 3 cm et GL = 7,5 cm.
a. Calcule
et Que constates-tu ?
b. Pourquoi ne peux-tu pas utiliser ici la réciproque du théorème de Thalès ?
Le théorème de Thalès et sa réciproque Troisième
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A B
C
S
D
IJ
L M K
O
4 Agrandir ou réduire une figure
Définition : Lorsque deux figures ont la même forme et des longueurs proportionnelles, on
dit que l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre.
Propriété : Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles, la
perpendicularité et le parallélisme sont conservés.
Remarques :
Si est un agrandissement de ' alors ' est une réduction de .
Le coefficient de proportionnalité k est le rapport d'agrandissement (k > 1) ou de réduction
(0 < k < 1).
Exemple :
La pyramide SIJKL est une réduction de la pyramide SABCD.
On donne AB = 6 cm ; SA = 15 cm et SI = 5 cm. Calcule IJ.
SIJKL
SABCD.
[SI] [SA], =
=
=
[IJ]
[AB].
IJ =
AB =
6 = 2
Le théorème de Thalès et sa réciproque Troisième
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Propriété : Lors d’un agrandissement ou d’une réduction d’un objet à l’échelle k :
- Les longueurs sont multipliées par k,
- Les aires sont multipliées par k²,
- Les volumes sont multipliés par k3.
Exemples :
1) Sur la figure ci-contre, la pyramide FGHIJS est une
réduction de la pyramide ABCDES de rapport k.
On donne : SA = 7 cm, SF = 5 cm, ABCDES = 686 cm3.
Calculer FGHIJS.
2) Sur la figure ci-contre, le triangle AB’C’ est un
agrandissement du triangle ABC :
On donne : AC = 4 cm, AC’ = 5 cm, ABC = 7
cm2. Calculer AB’C’.
Le théorème de Thalès et sa réciproque Troisième
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5 Compétences
Ce que je dois connaître :
- Les constructions de base en géométrie ;
- La structure d'une démonstration en géométrie ;
- Les propriétés vues en géométrie les années précédentes (Pythagore et sa
réciproque, triangle rectangle, les angles, la symétrie axiale et la symétrie
centrale, ...) ;
- Tout particulièrement les théorèmes liés aux milieux de deux côtés d'un
triangle ainsi que le théorème de Pythagore et sa réciproque ;
- Le théorème de Thalès ;
- La réciproque du théorème de Thalès ;
Ce que je dois savoir faire :
- Utiliser les propriétés vues les années précédentes pour résoudre des
problèmes de géométrie ;
- Utiliser le théorème de Thalès pour calculer une distance ;
- Utiliser le théorème de Thalès pour montrer que deux droites ne sont pas
parallèles ;
- Utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour montrer que deux droites
sont parallèles ;
- Construire des points définis par des rapports de longueurs ;
- Calculer le rapport d'une réduction/d'un agrandissement de figure/solide;
- Calculer l'aire de l'agrandissement/la réduction d'une figure de rapport k
donné;
- Calculer le volume de l'agrandissement/la réduction d'une figure de rapport k
donné;
- Utiliser ses connaissances pour résoudre des problèmes plus complexes
Le théorème de Thalès et sa réciproque Troisième
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6 Fiche programme
6.1 Révisions
Exercices d'application
L : 2-3-4 p 184 : «Révision de la démonstration/ des propriétés vues en 5ème et 4ème»
6.2 Thalès « papillon »
Point cours 1. Le théorème de Thalès : calculer une distance
Exercices d'application
L : 10-11-15-16-18-21-24-49 p 192 à 195 : «Application du théorème de Thalès»
TD : 1-2-3-4-5-6-9 p G1S1 : «Application du théorème de Thalès, calculs de distances»
Point cours 2. Le théorème de Thalès : montrer que deux droites ne sont pas parallèles
Exercices d'application
L : 28-29-30 p 195 : «Application»
TD : 7-8 p G1S1 : «Montrer que deux droites ne sont pas parallèles»
Point cours 3. La réciproque du théorème de Thalès : montrer que deux droites sont parallèles
Exercices d'application
L : 35-37-38 p 196 : «Application»
TD : 1 p G1S2 : «Quotients égaux»
TD : 2-3-4-5-6-7-8-9-10 p G1S2 : «Montrer que deux droites sont parallèles»
Exercices de synthèse et exercices annale 2009
L : 72 p 201 : «Théorème de Thalès et constructions »
Annale : «Petits problèmes de géométrie»
Annale : «Problèmes fonctions/géométrie»
TD : 1-2-3-4-5-6-7 p G1S4 : «Problèmes»