7/26/2019 2006-fre

1/2

7/26/2019 2006-fre

2/2

13 juillet 2006

Probleme 4. Trouver tous les couples (x, y) dentiers verifiant

1 + 2x + 22x+1 =y2.

Probleme 5. Soit P(x) un polynome a coefficients entiers, de degre n >1 et k unentier strictement positif. On considere le polynome Q(x) =P(P(. . . P (P(x)) . . .)), dans

lequel Papparat k fois. Montrer quil existe au plus nentiers t tels que Q(t) =t.

Probleme 6. A tout cote bdun polygone convexe Pon associe le maximum de lairedun triangle contenu dans P et ayant b comme cote. Montrer que la somme des airesassociees a tous les cotes de Pest au moins le double de laire de P.

Temps accorde: 4 heures et demie

Chaque probleme vaut 7 points

language:French

day: 2