1) rappels et définitions

1) Rappels et définitions1) Rappels et définitions

2) Lieux de Bode2) Lieux de Bode

3) Action proportionnelle3) Action proportionnelle

2/16

5) Premier ordre5) Premier ordre

6) Deuxième ordre6) Deuxième ordre

4) Intégrateur4) Intégrateur

Rappels et Rappels et définitionsdéfinitions

Lieux de Bode

Action proportionnelle

IntégrateurDeuxième

ordrePremier ordre

Un système dynamique, continu, linéaire, invariant, monovariable

1) Rappels et définitions1) Rappels et définitions e(t) s(t)système

constants de la forme suivante :est décrit par une équation différentielle linéaire, à coefficients

=×+×+×++× )()()(

......)(

012

2

2 tsadt

tdsa

dt

tsda

dt

tsda

n

n

n

3/16

dtdt

)()()(

......)(

012

2

2 tebdt

tdeb

dt

tedb

dt

tedb

m

m

m ×+×+×++×

�

a0…..an et b0…..bm sont des constantes

n est l’ordre du système

m < npour les systèmes physiques on a toujours :


Lieux de Bode



ordrePremier ordre

=×+×+×++× )()()(

......)(

012

2

2 tsadt

tdsa

dt

tsda

dt

tsda

n

n

n

)()()(

......)(

012

2

2 tebdt

tdeb

dt

tedb

dt

tedb

m

m

m ×+×+×++×

La fonction de transfert du système dans le domaine de Laplace, en

nulles), est alors :se plaçant dans les conditions de Heaviside (conditions initiales

4/16

nulles), est alors :

01

01

......

......

)(

)()(

apapa

bpbpb

pE

pSpFT

nn

mm

++++++

==


Lieux de Bode



ordrePremier ordre

Caractérisation d’un signal sinusoïdalCaractérisation d’un signal sinusoïdal

L’analyse harmonique d’un système consiste à lui appliquer uneentrée e(t) sinusoïdale, notée :

�E0 est l’amplitude du signal (nombre positif) de même unité que e(t)

).sin()( 0 tEte ω×=

5/16

� ωωωω est la pulsation du signal en rad/s

Rappel :Rappel :T

fππω 2

2 ==

pulsation(rad/s)

fréquence(Hz ou s-1)

période(s)


Lieux de Bode



ordrePremier ordre

e(t)

s(t)∆∆∆∆t

t

E0

S0

Pour un système stable et une fois le régime permanent atteint la sortie s(t) est également sinusoïdale et de même pulsation.Elle est plus ou moins amplifiée et plus ou moins retardée.

6/16

).sin()( 0 tEte ω×= ).sin()( 0 ϕω +×= tSts

Régime

transitoire

Régime

établi ou permanent

avec

Amplitude du signal de sortiede même unité que s(t)

Retard exprimé en ° ou rad

ωϕ ×∆= trad rad/s


Lieux de Bode



ordrePremier ordre

Analyse harmonique du régime permanentAnalyse harmonique du régime permanent

L’analyse harmonique d’un système stable s’intéresse à l’évolution

l’entrée (en régime établi) en fonction de la pulsation ωωωω .du rapport des amplitudes et du déphasage (retard) entre la sortie et

Pour « plus de simplicité » (comme en physique) nous allons utiliserles fonctions complexes suivantes :

tjeEte ω×= 0)()()( ϕω +×= tjeSts�

tsinitcose ti ωωω +=

7/16

)(0)( ϕω +×= tjeSts�

avec( ))(Im)( tete =

( ))(Im)( tsts =


Lieux de Bode



ordrePremier ordre

sin(

ωω ωωt)

cos( ωωωωt)

ωωωωt

Notation mathématique

L’analyse harmonique s’intéresse aux deux quantités :

rapport des amplitudes :

( ))(Im)( tete =

( ))(Im)( tsts =

)(0 tsS =

tjeEte ω×= 0)()(

0)( ϕω +×= tjeSts

8/16

rapport des amplitudes :

déphasage (retard) de la sortie avec l’entrée :


Lieux de Bode



ordrePremier ordre

)(0

0

teE=

=

)(

)(

te

tsArgϕ

Fonction de transfert harmoniqueFonction de transfert harmonique

Il est nécessaire de définir, d’après les résultats précédents, l’expression de :

tj

tj

eE

eS

te

tsω

ϕω

××=

+

0

)(0

)(

)(

Pour cela, injectons et dans l’équation différentielle)(ts)(tetemporelle initiale :

=×+×+×++× )()()(

......)(

012

2

2 tsadt

tsda

dt

tsda

dt

tsda

n

n

n

)()()(

......)( 2

tebted

bted

bted

bm

×+×+×++×

9/16

)(...... 0122 tebdt

bdt

bdt

bmm ×+×+×++×

( ) ( ) ( ) =×++++ )()()(......)( 012

2 tsatsjatsjatsja nn ωωω

( ) ( ) ( ) )()()(......)( 012

2 tebtejbtejbtejb mm ×++++ ωωω

01

01

)(......)(

)(......)(

)(

)()(

ajaja

bjbjb

te

tsjFT

nn

mm

++++++

==ωωωω

ω


Lieux de Bode



ordrePremier ordre

On appelle fonction de transfert harmonique la valeur prise par la

symbolique de Laplace p est un imaginaire pur :fonction de transfert FT(p) dans le cas particulier où la variable

ωjp =

01

01

)(......)(

)(......)()(

ajaja

bjbjbjFT

nn

mm

++++++

=ωωωω

ω

01

01

......

......

)(

)()(

apapa

bpbpb

pE

pSpFT

nn

mm

++++++

==

10/16

01 )(......)( ajajan +++ ωω

Le rapport des amplitudes est le module

Le déphasage (retard) de la sortie par

de la fonction de transfert harmonique :

fonction de transfert harmonique :rapport à l’entrée est l’argument de la

)(0

0 ωjFTE

S =

( ))( ωϕ jFTArg=


Lieux de Bode



ordrePremier ordre

2) Lieux (ou diagrammes) de Bode2) Lieux (ou diagrammes) de Bode

Les diagrammes de Bode sont une représentation graphique de lafonction de transfert harmonique FT(jωωωω)

Ils sont présentés sur deux courbes distinctes en correspondance

la courbe de gain (en décibel: dB) en fonction de la pulsation ωωωω

verticale :

ω×=

11/16

la courbe de phase (en ° ou rad) en fonction de la pulsationωωωω

)(log20 ωjFTGdB ×=

( ))( ωϕ jFTArg=

Rappels et définitions

Lieux de Lieux de BodeBode



ordrePremier ordre

Ga

in e

nd

B

ωωωω en rad/s

Le diagramme des phases est dessiné dessous celui desgains en correspondance verticale.

Échelle linéaire

Ga

in e

nd

B

ωωωω en rad/s

décade

Échelle semi-logarithmique

12/16

Ph

ase

en

de

g

ωωωω en rad/s

Échelle linéaire

Fortes variations pour les pulsations faibles

Echelle abscisses mal adaptée P

ha

se e

n d

eg

ωωωω en rad/s

Échelle semi-logarithmique

!!!0≠≠≠≠ωωωω�

�

�

�





ordrePremier ordre

Propriétés des lieux (diagrammes) de BodePropriétés des lieux (diagrammes) de Bode

Une décadedécadecorrespond à la multiplication par 1010de la pulsationωωωωUne octaveoctavecorrespond à la multiplication par 22de la pulsationωωωω

Produit de fonctions de transfertProduit de fonctions de transfert

Supposons que l’on ait : )()()( ωωω jGjFjH ×=

)j(G)j(Flog20)j(Hlog20 ωωω ×=

13/16

Les courbes de gain s’additionnent

( ) ( ))j(G)j(FArg)j(HArg ωωω ×=

Les courbes de phase s’additionnent

)j(Glog20)j(Flog20 ωω +=

( ) ( ))j(GArg)j(FArg ωω +=





ordrePremier ordre

100010 100 10000

10 dB

0 dB

20 dB

-10 dB

-20 dB

-30 dB

ωωωω(rad/s)

G dBCourbe des gainsCourbe des gains

Tracé Tracé !!!0≠≠≠≠ωωωω��

Exemple de tracé

14/16

100010 100 100000°

-90°

-180°

ωωωω(rad/s)

ϕϕϕϕ

Courbe des phasesCourbe des phases

Tracé Tracé

asymptotiqueasymptotique!!!0≠≠≠≠ωωωω��





ordrePremier ordre

à savoir faire

log 5 = 0,7

graduer l’axe horizontalgraduer l’axe horizontal

15/16

10 100

placer 50 rad/splacer 50 rad/s

50





ordrePremier ordre

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

FT(p) = K

20 logK3) Action proportionnelle3) Action proportionnelle

(gain)(gain)

1/17

K > 1

K < 1

20 logK

ωωωω

1 10 1000,1

ϕϕϕϕ

0°

!!!0≠≠≠≠ωωωω


Lieux de Bode

Action Action proportionnelleproportionnelle


ordrePremier ordre

KE(p) S(p)

pK

)p(FT ====

4) Intégrateur4) Intégrateur

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

K (rad/s)

-20 db/décade

20 logK

2/17

ωωωω

1 10 1000,1

ϕϕϕϕ0°

-90°

E(p) S(p)

p

K


Lieux de Bode


Deuxième ordre

Premier ordre

IntégrateurIntégrateur

pK

)p(FT ====

Pour ωωωω = 1 rad/s on a :

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

K (rad/s)

-20 db/décade

3/17

20 logK

1log20

×=

j

KGdB

22 10log20

+

K= KGdB log20=


Lieux de Bode


Deuxième ordre

Premier ordre


K

K (rad/s)

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

-20 db/décade

20 logK

Gain nul en dB pour :

pK

)p(FT ====

4/17

dBj

K0log20 =

ω

1=ωj

K1

0 22=

+ω

K1=

ωK

K=ω


Lieux de Bode


Deuxième ordre

Premier ordre


11 10ωωωω == − GG

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

K (rad/s)

20 logK

Pente : calculons la valeur

pK

)p(FT ====

pour une décade

-20 db/décade

5/17

11 10log20log20

ωω ×−

j

K

j

K

1

log2010

1log20

ωj

K−−


Lieux de Bode


Deuxième ordre

Premier ordre


dBGG 2011 10 =− == ωωωω

11 2ωωωω == − GG

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

K (rad/s)

-20 dB/décade

20 logK

Pente : calculons la valeurpour une octave

pK

)p(FT ====

6/17

11 2log20log20

ωω ×−

j

K

j

K

1

log202

1log20

ωj

K−−

-6 dB/octave


Lieux de Bode


Deuxième ordre

Premier ordre


dBGG 611 2 ≈− == ωωωω

ωωωω

1 10 1000,1

ϕϕϕϕ0°p

K)p(FT ====

-90°Phases:

7/17

=

ωj

KArg =− )()( ωjArgKArg °− 900

°−= 90ϕ


Lieux de Bode


Deuxième ordre

Premier ordre


ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

ϕϕϕϕ

GdB

0 dB

p.1K

)p(FTττττ++++

====

3 dB

-20 dB/décade20 logK5) Premier ordre5) Premier ordre

ωωωωcassure= 1/ττττ rad/s

8/17

ωωωω

1 10 1000,1

ϕϕϕϕ0°

-90°

-45°


Tracé asymptotiqueTracé asymptotique

E(p) S(p)

p

K

.1 τ+

Courbe réelleCourbe réelle


Lieux de Bode


Deuxième ordre

IntégrateurPremier Premier ordreordre

p.1K

)p(FTττττ++++

====20 logK

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

3 dB

-20 dB/décade

ωωωω = 1/ττττ rad/sEtude aux pulsations faibles :

9/17


ωτ j

K

+1

Aux basses pulsations on a :

0→ω KPour les pulsations faibles un

une action proportionnellepremier ordre se comporte comme


Lieux de Bode


Deuxième ordre


-20 dB/décade

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

3 dB

20 logK

ωωωω = 1/ττττ rad/s

p.1K

)p(FTττττ++++

====

K

Etude aux pulsations élevées :

10/17


ωτ j

K

+1

Aux grandes pulsations

""∞→ω ωτ j

K Pour les pulsations élevées un

un intégrateurpremier ordre se comporte comme

ωτ

j

K

on a :


Lieux de Bode


Deuxième ordre



ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

3 dB

-20 dB/décade20 logK

p.1K

)p(FTττττ++++

====

La cassure se produit àCassure des asymptotes :

12/17

ωωωωcassure= 1/ττττ rad/sLa cassure se produit à

ωτ j

KK log20log20 =

ωτ jK log20log20 −

22 )(0log200 ωτ+=

1=ωτ

asymptotes soit :l’intersection des deux

τω 1=cassure


Lieux de Bode


Deuxième ordre


3 dB

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

-20 dB/décade20 logK


p.1K

)p(FTττττ++++

====

Calculons la valeur de lacourbe à la cassure :

Perte en dB à la cassure :

13/17

ωωωωcassure= 1/ττττ rad/scourbe à la cassure :

=+ ωτ j

K

1log20

τω 1=

jK +− 1log20log20

= 22 11log20log20 +−K

= 2log20log20 −KdB3≈


Lieux de Bode


Deuxième ordre


ωωωω

1 10 1000,1

ϕϕϕϕωωωωcassure= 1/ττττ rad/s

-90°

-45°

p.1K

)p(FTττττ++++

====0°

Etude des phases :

14/17

-90°

Pour les pulsations faibles un

une action proportionnellepremier ordre se comporte comme Asymptote horizontale

à 0°


Lieux de Bode


Deuxième ordre


-90°

ωωωω

1 10 1000,1

ϕϕϕϕ

0°


-45°

p.1K

)p(FTττττ++++

====

Etude des phases :

15/17

-90°

Pour les pulsations élevées un

un intégrateurpremier ordre se comporte comme Asymptote horizontale

à -90°


Lieux de Bode


Deuxième ordre


-45°

ωωωω

1 10 1000,1

ϕϕϕϕ

0°


-90°

p.1K

)p(FTττττ++++

====

Calculons la valeur de lacourbe à la cassure :

Etude des phases :Point particulier

16/17

-90°courbe à la cassure :

=

+=

ωτϕ

j

KArg

1

τω 1=

( ) =+− jArgKArg 1

−1

1tanArc

°−= 45ϕ


Lieux de Bode


Deuxième ordre


6) Deuxième ordre6) Deuxième ordre

22

00

.1

.2

1)(

ppz

KpFT

ωω++

=

-40 db/déc20 logK

ϕϕϕϕ

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

Kωωωωcassure= ωωωω0

1/15

-180°

ωωωω

1 10 1000,1

0°

-90°Tracé asymptotiqueTracé asymptotique

E(p) S(p)

20

2

0

21

ωωp

pz

K

++


Lieux de Bode


IntégrateurPremier ordre

Deuxième Deuxième ordreordre

20 logK

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

-40 db/déc

ωωωωcassure= ωωωω0

22

00

.1

.2

1)(

ppz

KpFT

ωω++

=


Etude aux pulsations faibles :

2/15

Aux basses pulsations on a :

0→ω K

Pour les pulsations

comme une

faibles un deuxième

22

00

)(.1

.2

1 ωω

ωω

jjz

K

++ordre se comporte

action proportionnelle


Lieux de Bode




-40 db/déc

ωK 12

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB


20 logK

22

00

.1

.2

1)(

ppz

KpFT

ωω++

=


Etude aux pulsations élevées :

3/15

Aux grandes pulsations

""∞→ω 22

0

)(1 ω

ωj

K

Pour les pulsations

comme un

élevées un deuxièmeordre se comporte

double intégrateur

22

00

)(.1

.2

1 ωω

ωω

jjz

K

++

ωωω

jj

K 120 ×

on a :


Lieux de Bode





ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

20 logK-40 db/déc

La cassure se produit àl’intersection des deux

Double intégrateur

22

00

.1

.2

1)(

ppz

KpFT

ωω++

=


Cassure des asymptotes :

4/15

=

×=

20log20log20ω

ωj

KK

1)(0 22

0 =+ ω

ω

asymptotes soit :l’intersection des deux intégrateur

ωωj

logKlog 020220 ×+

10 =ω

ω0ωω =cassure


Lieux de Bode




ωωωω

1 10 1000,1

ϕϕϕϕ

-180°


-90°

0°2

200

.1

.2

1)(

ppz

KpFT

ωω++

=


Etude des phases :

5/15

-180°

Pour les pulsations faibles un

une action proportionnelledeuxième ordre se comporte comme Asymptote horizontale

à 0°


Lieux de Bode




-180°

ωωωω

1 10 1000,1

ϕϕϕϕ0°


-90°

22

00

.1

.2

1)(

ppz

KpFT

ωω++

=


Etude des phases :

6/15

-180°

Pour les pulsations élevées un

un double intégrateurdeuxième ordre se comporte comme Asymptote horizontale

à -180°


Lieux de Bode




22

00

.1

.2

1)(

ppz

KpFT

ωω++

=

Tracé réelTracé réel

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB


20 logK-40 db/déc

7/15

La courbe réelle va s’appuyer sur les asymptotes

dessus ou dessous ?


Lieux de Bode




22

00

.1

.2

1)(

ppz

KpFT

ωω++

=

Calculons le module de la fonctionde transfert harmonique :

K K

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB


20 logK-40 db/déc

Tracé réelTracé réel8/15

=++

=2

200

)(.1

).(2

1)(

ωω

ωω

ωjj

zK

jFT

0

2

0

21

ωω

ωω z

j

K

×+

−

= =

×+

−

2

0

2

22

0

41ωω

ωω

z

K2

0

2

2

0

4

0

421

×+

×−

+

ωω

ωω

ωω

z

K


Lieux de Bode




2

')(')()()('

)(

)( xgxfxgxf

xg

xf ×−×=

‘

2

0

2

2

0

4

0

421

)(

×+

×−

+

=

ωω

ωω

ωω

ω

z

KjFT

Cette fonction présente un extrémum si sa dérivée s’annule.

On sait que :

K K0

9/15

2)()( xgxg=

On sait que :

donc2)(

)(')(

xg

xgKjFT

×−=ω

‘

( )2

0

2

4

0

241

×−+

+

ωω

ωω

z

cette dérivée s’annule lorsque g’(x) s’annule.


Lieux de Bode




g’(x) = 0 ( ) 0241

2

0

2

4

0

=

×−+

+

ωω

ωω

z

‘

( ) 21

)()('2

1)(

−××= xhxhxh

‘

On sait que

h(x)

qui s’annule quand h’(x) = 0

‘

( ) 0241

2

2

4

=

×−+

+ωω

ωω

z

10/15

0224

41

02

0

23

40

=×−+×+ ωω

ωω

z

( ) 024100

=

×−+

+ωω

z

( ) 04124 2

2

02

0

=

×−+

×× z

ωω

ωω

Expression qui ne peut s’annuler (en dehors de ωωωω = 0) que si :

012 2 <−z2

1<z2

2<z


Lieux de Bode




22

00

.1

.2

1)(

ppz

KpFT

ωω++

=

Tracé réelTracé réelcourbe des gainscourbe des gains

résonancerésonance

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

-40 db/déc20 logK

ωωωωcassure= ωωωω02z ⟩⟩⟩⟩

pas d’extrémum

11/15

22

z ⟩⟩⟩⟩

22

z ⟨⟨⟨⟨

courbe dessous

extrémum

courbe dessusrésonance

les asymptotes

les asymptotes


Lieux de Bode




22

00

.1

.2

1)(

ppz

KpFT

ωω++

=

Tracé réelTracé réelcourbe des phasescourbe des phases

-90°

ωωωω

1 10 1000,1

ϕϕϕϕ0°

-180°

ωωωωcassure= ωωωω012/15

La courbe « s’appuie » sur les asymptotes avec une symétrie


Lieux de Bode




( ) =)( 0ωjFTArg

Pour :

( ) ( )121 −+− jzArgKArg = ( )jzArg 2−

ωωωω = ωωωω 0

°−= 90ϕ

( )202

0

00

j.1

j.z2

1

KArg

ωω

ωω

++

=

2z ⟩⟩⟩⟩

ϕϕϕϕ

ωωωω en rad/s

1 10 1000,1

GdB

0 dB

-40 db/déc20 logK

résonancerésonance


SynthèseSynthèse

22

00

.1

.2

1)(

ppz

KpFT

ωω++

=

13/15

22

z ⟩⟩⟩⟩

22

z ⟨⟨⟨⟨

ωωωω

1 10 1000,1

0°

-180°

-90°


Lieux de Bode




Influence de z sur la résonanceInfluence de z sur la résonance14/15

z diminue


Lieux de Bode




z diminue

1) rappels et définitions

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