1 eléments de mécanique des - uliege.be · 10 19 • 3 solutions de base : – champ de vitesse...
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1
Eléments de mécanique des fluides
.be
q
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
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2
• Etude de solutions analytiques d’écoulement potentiel• Utilisation du principe de superposition
– Écoulement irrotationnel complexeVortex libre
Objectifs de la séance
.be
– Vortex libre– Génération de « corps » imperméable– Couche tourbillonnaire - utilité
• Portance et traînée en écoulement irrotationnel– Effet Magnus-Robbin– Quantification de la portance – liaison à l’amplitude de la circulation– Paradoxe de d’Alembert
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ww.hach.ulg.ac. Paradoxe de d Alembert
• Modélisation de corps complexes– Problème direct et indirect– Transformation conforme– Application aux ailes d’avion
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3
Solutions analytiques
.be
d’écoulements irrotationnels
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• Coordonnées polaires
Rappel mathématique : Coordonnées polaires
( ) ( )x y z r zθ→
y⎧ ⎛ ⎞
.be
cossin
x ry r
θθ
=⎧⎨ =⎩
w v u w v u⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞
( )r zU v v vθ=
2 2
Atan yx
r x y
θ⎧ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨⎪ = +⎩
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, ,w v u w v uUy z z x x y
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∇× = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
( )1 1, ,z r z rrvvv v v vU
r z z r r rθθ
θ θ
⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇× = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
3
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• Les deux équations
pour un fluide incompressible en stationnaire ou non
Rappel : Deux équations similaires …
0ΔΨ =
.be
pour un fluide incompressible en stationnaire ou non
isopotentielle
ligne de courant
0φΔ =
constanteφ
t tΨ ;u v∂Ψ ∂Ψ
= = −
;u vx yφ φ∂ ∂
= =∂ ∂
en 2D
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ww.hach.ulg.ac. ligne de courantconstante ;u v
y x= =
∂ ∂en 2D
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• L’équation de Laplace est linéaire et donc le principe de superposition est d’application
Principe de superposition
2 0f f∇ = Δ =
.be • La combinaison de solutions simples peut permettre
( )
2
2 2
0
0
f fg g
m f gm f g
∇ = Δ == +
∇ = ∇ + =
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ww.hach.ulg.ac. La combinaison de solutions simples peut permettre
d’envisager des écoulements complexes
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7 • Types d’écoulements irrotationnels principaux en 2D:
Types d’écoulements irrotationnels principaux.be
– Champ de vitesse uniforme– Source ou puits– Vortex
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• Définition du problème :– Écoulement 1D selon x– vitesse caractéristique à l’infini
Solutions analytiques : Champ de vitesse uniforme
0U
U ∞⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠U∞
.be
• Solutions :– En terme de fonction de courant :
– En terme de potentiel de vitesse :
0
u Uy
vx
ψ
ψ
∞∂⎧ = =⎪ ∂⎪
⎨∂⎪ = = −⎪ ∂⎩
u Uxφ
∞∂⎧ = =⎪ ∂⎪
⎨
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ww.hach.ulg.ac. p
U yU x
ψφ
∞
∞
=⎧⎨ =⎩
lignes de courant horizontalesisopotentielles verticales
0vyφ⎨ ∂⎪ = =
⎪ ∂⎩
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9Solutions analytiques : Champ de vitesse uniforme
.be
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• Définition du problème :– Source : apport ponctuel – Puits : retrait ponctuel– Position : (0,0)
Solutions analytiques : Source/Puits
.be
os t o : (0,0)– Débit spécifique [m²/s] : Q– Problème symétrique solution symétrique– Il est préférable de travailler en coordonnées cylindriques
• Solutions :– Puisque la solution est symétrique, le débit est conservée sur
l’ensemble des cercles centrés en (0,0)
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– Définition de l’intensité de la source/puits :
2Qm
bπ= ±
Débit total
périmètre du tube d’injection/retrait
par symétrie2r r r
C C
Q v ds v ds rvπ= = =∫ ∫
6
11
• Source/Puits
Solutions analytiques : Source/Puits
2Qm
b= ±
0r
mvU r
±⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.be
m/r
2 bπ
12
10
rm Qvr rb r r
vr rθ
ψ φπ θψ φ
θ
± ∂ ∂⎧ = = = =⎪⎪ ∂ ∂⎨ ∂ ∂⎪ = = − =⎪ ∂ ∂⎩
0 0⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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ww.hach.ulg.ac. ⎩
lnmm r
ψ θφ
= ±⎧⎨ = ±⎩
Lignes de courant radialesIsopotentielles circulaires
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• Rappel : un fil tourbillonnaire engendre un champ de vitesse bidimensionnel dans le plan perpendiculaire au fil
Solutions analytiques : Fil tourbillonnaire rectiligne
v Γ=
.be
• La vitesse varie de manière inversement proportionnelle à la distance
2v
rθ π=
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• Si R 0, vθ ∞
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• A l’extérieur du noyau, comment est l’écoulement ?
Solutions analytiques : Fil tourbillonnaire rectiligne
2v
rθ πΓ
=
.be
• L’écoulement est irrotationnel• La vitesse dérive donc d’un potentiel• φ est univoque le long de C
( )1
1
1 1 1 2
0 car direction radiale
0CC a b c d b d
U dr v R v R U drθ θ θ= + + + +
=
Γ = = − Δ + =∫ ∫i i
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ww.hach.ulg.ac. • φ est univoque le long de C2
• Ce type de courbe est réductible
2
2 2 2 2
0CC C C C
U dr dr dx dy dx yφ φφ φ
⎛ ⎞∂ ∂Γ = = ∇ = + = =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫i i
14
• Rappel de la loi de Helmholtz (slide 24 séance 4)
« La circulation Γ du champ de vitesse autour d’un tube tourbillonnaire est constante
Solutions analytiques : Fil tourbillonnaire rectiligne
2v
rθ πΓ
=
.be
et représente une mesure de l’intensitédu tube tourbillonnaire »
• Ce type de courbe est dite irréductible
3
3
fil tourbillonnaireCC
U drΓ = = Γ∫ i
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ww.hach.ulg.ac. • Ce type de courbe est dite irréductible
• Le point de percée du fil tourbillonnaire constitue un point singulier
8
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• Vortex libre
Solutions analytiques : fil tourbillonnaire rectiligne
vθΓ
=00
U⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= = Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
.be
10
12
rvr r
vr r rθ
ψ φθ
ψ φπ θ
∂ ∂⎧ = = =⎪⎪ ∂ ∂⎨ Γ ∂ ∂⎪ = = − =⎪ ∂ ∂⎩
2 rθ π2
Uv
rθ πΓ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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ln2
2
rψπ
φ θπ
Γ⎧ = −⎪⎪⎨ Γ⎪ =⎪⎩
Lignes de courant circulaires
Isopotentielles radiales
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Solutions analytiques : fil tourbillonnaire rectiligne
.be
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• Vortex « forcé » vs. vortex « libre »– Vortex « libre » : écoulement irrotationnel
La vitesse tangentielle décroît avec l’écartement au centre
Vortex « libre ».be
La vitesse tangentielle décroît avec l écartement au centre
1 tev v r Crθ θ→ =∼
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• Vortex « forcé » vs. vortex « libre »– Vortex « forcé » : écoulement rotationnel
La vitesse tangentielle est constante
Vortex « forcé »
.be
a v tesse ta ge t e e est co sta te
v rθ ∼
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• 3 solutions de base :– Champ de vitesse uniforme– Source/Puits ponctuel(le)– Ligne tourbillonnaire rectiligne : vortex « libre »
Résumé des solutions analytiques.be
Ligne tourbillonnaire rectiligne : vortex « libre »
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rQv
rvθ
π⎧ =⎪⎨⎪ =⎩
0
2
rv
vrθ π
=⎧⎪⎨ Γ
=⎪⎩
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Source/Puits Vortex « libre »
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• Par superposition de solutions analytiques simples, il est possible de représenter l’écoulement autour de corps :
– La forme du corps est le résultat secondaire de la superposition :
Principe de superposition
.be
a o e du co ps est e ésu tat seco da e de a supe pos t o :
problème direct
– La forme du corps est une donnée et l’écoulement est recherché quelles sont les intensités de chaque solution de base ?
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problème indirect
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• Recherchons les solutions pour :– Doublet
« combinaison d’une source et d’un puits de même intensité symétriquement disposé autour du centre »Dipôle
Solutions combinées.be
– Dipôle« combinaison d’une source et d’un puits de même intensité au même point d’application »
– Corps fictif immobile (ellipse)« combinaison d’un doublet et d’un champ uniforme »
– Corps fictif immobile (cercle)« combinaison d’un dipôle et d’un champ uniforme »
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– Corps fictif en rotation (cercle)« combinaison d’un dipôle, d’un champ uniforme et d’un vortex libre centré sur le dipôle »
– Couche tourbillonnaire« combinaison d’une série infiniement mince de vortex libres »
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• Doublet source & puits (à même débit)
Solutions analytiques : Doublet
.be Passage en coordonnées cartésiennes…
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ww.hach.ulg.ac. g
2 2
Atan yx
r x y
θ⎧ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨⎪ = +⎩
12
23
• Doublet source & puits (à même débit)
– Source:
Solutions analytiques : Doublet .be
( )
1
2 21
Atan
ln ln
ym mx a
m r m x a y
ψ θ
φ
⎧ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎪⎪ +⎝ ⎠⎨⎪ ⎡ ⎤= = + +⎪ ⎣ ⎦⎩
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• Doublet source & puits (à même débit)
– Puits:
Solutions analytiques : Doublet
.be
( )
2
2 22
Atan
ln ln
ym mx a
m r m x a y
ψ θ
φ
⎧ ⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎪⎪ −⎝ ⎠⎨⎪ ⎡ ⎤= − = − − +⎪ ⎣ ⎦⎩
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• Doublet source & puits (à même débit)
Solutions analytiques : Doublet
( ) ( )2 22 2ln lnit m x a y m x a yφ φ φ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + + − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.be
On sait que
( ) ( )ln lnsource puit m x a y m x a yφ φ φ+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 2⎡ ⎤
ln lnxa x a=
ln ln ln aa bb
− =
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( )( )
2 2
2 2
1 ln2
x a ym
x a yφ
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥→ =⎢ ⎥− +⎣ ⎦
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• Doublet source & puits (à même débit)
Solutions analytiques : Doublet
Atan Atansource puitsy ym m
x a x aψ ψ ψ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.be
On sait que tan( ) tan( )tan( )1 tan( ) tan( )
a ba ba b−
− =+
Atan tan Atan tan Atan Atany ym m x a x aψ ψ ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎩ ⎭
Atan( ) Atan( )b b− = −
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ww.hach.ulg.ac. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎩ ⎭
tan Atan tan Atan=Atan
1 tan Atan tan Atan
y yx a x a
y yx a x a
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎬
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
14
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• Doublet source & puits (à même débit)
Solutions analytiques : Doublet
tan Atan tan Atan=Atan
y yx a x aψ
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎬
.be
Atan1 tan Atan tan Atanm y y
x a x a
⎨ ⎬⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
2 2 2-2=Atan Atan
1
y yayx a x a
y ym x y aψ
⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎛ ⎞+ − = ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎪ ⎪++⎩ ⎭
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ww.hach.ulg.ac. x a x a+ −⎩ ⎭
2 2 22= - Atan aym
x y aψ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
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Solutions analytiques : Doublet
.be
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29
• Doublet source & puits (à même débit)
Solutions analytiques : Doublet.be ( )
2 2 2
2 2
2Atan
1 ln
aymx y a
x a y
ψ
φ
⎧ ⎛ ⎞= −⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎪ ⎝ ⎠⎪
⎨ ⎡ ⎤+ +⎪ ⎢ ⎥⎪
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( )2 2ln
2m
x a yφ ⎢ ⎥=⎪ ⎢ ⎥− +⎪ ⎣ ⎦⎩
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• Dipôle
– Doublet source/puits au même point→ a tend vers 0!!
Solutions analytiques : Dipôle
.be
a te d ve s 0!!
– Cependant, il faut un débit!!→ m tend vers ∞!!
Enfin, on fixe le produit am…
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• Dipôle
Solutions analytiques : Dipôle
2 2 22Atan
doublet
aym
ψ ψ=
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟
.be
2 2 2 0
2
2 2 2 0
2
Atan
2
am
am
Taylor
am
am
mx y a
amyx y a
λ
λ
λ
→→∞
=
→→∞
=
⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
−=
+ −Intensité du dipôle
( )Atana a a→ ∼
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2 2y
x yλ−
=+
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• Dipôle
Solutions analytiques : Dipôle
( )( )
2 2
2 2 0
1 ln2
doublet
am
x a ym
x a y
φ φ
→→∞
=
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥=⎢ ⎥− +⎣ ⎦
.be
( )( )
( ) ( )
2
2 2
2 2 0
2
2 22 2
1 12
1
am
Taylor
am
am
x a ym
x a y
x a y x a ym
λ
λ
=
→→∞
=
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= −⎜ ⎟− +⎝ ⎠
+ + − − −=
Intensité du dipôle
( )ln 1a a a→ + ∼
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( )
( )
2 2 0
2
2 2 22 0
2
2
1 4 22
am
am
am
am
mx a y
ax amxmx yx a y
λ
λ
→→∞
=
→→∞
=
=− +
− −= =
+− +
17
33
• Dipôle
Solutions analytiques : Dipôle
2 2y
x yλψ −⎧ =⎪ +⎪
⎨
.be
2 2x
x yλφ
⎨ −⎪ =⎪ +⎩
2sin sin
cos cos
rrr
r
λ θ λ θψ
λ θ λ θφ
− −⎧ = =⎪⎪⎨ − −⎪ = =⎪
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ww.hach.ulg.ac. 2 rr
φ⎪⎩
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Solutions analytiques : Dipôle
.be
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Doublet Dipôle
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• Ecoulement autour d’un corps fictif immobile
Solutions analytiques : Corps fictif immobile (ellipse).be
⎛ ⎞
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12 2 2
2tansource puit uniaxialayU y m
x y aψ ψ ψ ψ −
∞⎛ ⎞
= + + = − ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠( )( )
2 2
2 2
1 ln2source puit uniaxial
x a yU x m
x a yφ φ φ φ ∞
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥= + + = +⎢ ⎥− +⎣ ⎦
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Solutions analytiques : Corps fictif immobile (ellipse)
.be
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19
37
• Ecoulement autour d’un corps fictif immobile
Solutions analytiques : Corps fictif immobile (ellipse).be
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• Ecoulement autour d’un corps fictif immobile– En utilisant un dipôle, on va définir un cercle– Il est plus facile de travailler en coordonnées polaires
Solutions analytiques : Corps fictif immobile (cercle)
.be
sinsinU rr
λ θψ θ∞= −
sincosU rr
λ θφ θ∞= −
1 ψ φ∂ ∂⎧ 1 iλ θ∂ ⎛ ⎞
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ww.hach.ulg.ac. 1
1
rvr r
vr rθ
ψ φθψ φ
θ
∂ ∂⎧ = =⎪⎪ ∂ ∂⎨ ∂ ∂⎪ = − =⎪ ∂ ∂⎩ 2
1 sinsin
coscos
rv U rr r
Ur
λ θθθ
λ θθ
∞
∞
∂ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
= −
20
39
• Ecoulement autour d’un corps fictif immobile
Solutions analytiques : Corps fictif immobile (cercle)
2coscosrv Ur
λ θθ∞= −
.be
– Déterminons le rayon du cercle rc tel que la vitesse radiale vc,r soit nulle pour tout θ
, 2coscos 0c r
cv U
r
r
λ θθ
λ
∞= − =
⇔ =
r
Intensité du dipôle
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– Par définition de rc, le cercle est une ligne de courant
cr U∞⇔ =
Vitesse uniforme
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• Écoulement autour d’un corps fictif en rotation
– Ecoulement uniforme 1D– Dipôle
Solutions analytiques : Corps fictif en rotation
.be
pô e– Vortex « libre »
sinsin ln2
source dipole vortex
U r r
ψ ψ ψ ψ
λ θθ∞
= + +
Γ= − −
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ww.hach.ulg.ac. 2r π
21
41
• Écoulement autour d’un corps fictif en rotation– Position du corps fictif
Solutions analytiques : Corps fictif en rotation
1 sinsinrv U r λ θθ∞∂ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
.be
– Analyse des vitesses tangentielles sur le corps fictif
2coscos
r r r
Ur
θλ θθ
∞
∞
⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
= −Cercle inchangé!!
( ) 2sinsin
2cv r r Uθψ λ θθ∞
∂ Γ− = = = + −
∂
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ww.hach.ulg.ac. ( ) 2 2
2 sin2
ccc
c
r rr
Ur
θ π
θπ
∞
∞
∂
Γ= −
42
• Écoulement autour d’un corps fictif en rotation
– Cette vitesse tangentielle possède des 0 : points d’arrêt
Solutions analytiques : Corps fictif en rotation
.be
( ) 0 2 sin2
sin4
cc
c
v r r Ur
r U
θ θπ
θπ
∞
∞
Γ= = = − +
Γ⇒ =
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Fonction de la vitesse uniforme d’écoulement et de l’amplitude de rotation …
22
43
• Écoulement autour d’un corps fictif en rotation– Analyse de la position des points d’arrêt
Solutions analytiques : Corps fictif en rotation
sin4 U
θ Γ=
.be
•
4 cr Uπ ∞
sin 0θ =
0θ
°⎧⎨
0Γ =
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
180θ = ⎨ °⎩
44
• Écoulement autour d’un corps fictif en rotation– Analyse de la vitesse à la circonférence (r = rc)…
Solutions analytiques : Corps fictif en rotation
sin4 U
θ Γ=
.be
•
sin 0.5θ = −
30θ
− °⎧⎨
2cr Uπ ∞
Γ= −
4 cr Uπ ∞
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ww.hach.ulg.ac.
150θ
⎧= ⎨− °⎩
23
45
• Écoulement autour d’un corps fictif en rotation– Analyse de la vitesse à la circonférence (r = rc)…
Solutions analytiques : Corps fictif en rotation
sin4 r U
θπ
Γ=
.be
•
4 cr Uπ ∞
Γ
4cr Uπ ∞
Γ= − sin 1θ = − 90θ = − °
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ww.hach.ulg.ac.
4cr Uπ ∞
Γ>
46
• Calcul du temps de parcours
Solutions analytiques : obstacle circulaire en rotation
2 sin2 2 sinc
ds dsv U dtdt r U
θ θπ θ
∞Γ
= = − + ⇒ =Γ
− +
.be
• Le temps de parcours vaut
2 sin2
22
sin sin4 4
c
c
c
c c
Ur
r d UdU dt dtr
U r U r
θπ
θ θ
θ θπ π
∞
∞∞
∞ ∞
+
− −⇒ = ⇒ =
Γ Γ− −
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ww.hach.ulg.ac. • Le temps de parcours vaut
parcours2
1
parcours0
2avec et sin 4 c c
Ud d a ta U r r
τθ
θ
θ τ τ τθ π
∞
∞
− Γ= = = =
−∫ ∫
24
47
• Calcul du différentiel de temps de parcours• Les points d’arrêt sont situés de façon symétriques à l’axe
OY, d’un angle
Solutions analytiques : obstacle circulaire en rotation
⎛ ⎞Γ
.be
• Temps de parcours extrados :
• Temps de parcours intrados :
parcours, extrados sin
a
a
da
π θ ε
θ ε
θτθ
+ −
− +
−= −
−∫
asin4arrêt a
cr Uθ θ
π ∞
⎛ ⎞Γ≡ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 a dπ θ ε
θτ− −
−= ∫
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ww.hach.ulg.ac. Temps de parcours intrados :
• Différentiel :
parcours, intrados sina
aπ θ ε
τθ
+ +
=−∫
parcours, intrados parcours, extradosτ τ τΔ = −
48
Solutions analytiques : obstacle circulaire en rotation
log sin log cossin 2 2dθ θ θ
θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫a = 0 primitive périodique
sin tan 1 cos1dθα αθ
⎡ ⎤+ −⎢ ⎥∫
≠ 0
.be
1 2lnsin sin cos sin tan 1 cos
2
dθθθ α α α α
⎢ ⎥= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥+ +
⎣ ⎦
∫2
sin4
cos 1 sin
ca
U rα
π
α α
∞
Γ= =
= −2
2 2
tan 1 11 2lnsin sin 1
a adθ
θθθ α
⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥∫
a ≠ 0
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ww.hach.ulg.ac. 2 2sin sin 1 tan 1 1
2a a aθθ α− − ⎢ ⎥+ + −
⎣ ⎦
∫( ) ( )
tan tan2 2
π θ π θ+ − += primitive périodique
Pour un cylindre, en rotation ou non, le temps de parcours via l’intrados ou l’extrados est égal
25
49Solutions analytiques : Corps fictif en rotation
.be
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50
Solutions analytiques : Corps fictif en rotation
.be
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26
51
• Un doublet représente une ellipse• Un dipôle représente un cercle
Solutions analytiques : Corps symétrique.be
• Généralisation :
Une série continue de sources et de puits d’intensités variables représente un corps fictif imperméable symétrique
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52
• Que représente une série continue de fils tourbillonnaires ?
Solutions analytiques : Couche tourbillonnaire
.be
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27
53
• Une distribution de fils tourbillonnaires rectilignes, orientés selon z, est placée parallèlement dans l’épaisseur
Solutions analytiques : Couche tourbillonnaire
0 y h≤ ≤
.be
( ) ( )0,0, z f yΩ = Ω =
L’intensité de rotation est seulement fonction de y
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• Par symétrie,
• La vitesse d’écoulement sera 1
0
en en 0
u y hu y
=⎧⎨ =⎩
( )0, point ,v x y= ∀
54
Solutions analytiques : Couche tourbillonnaire
r3r1
r2
.be
31
2vθ
3vθ
1vθ
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• Par symétrie, ( )0,v x
u f y= ∀
=
28
55 • Rappel (par Stokes) :
C idé i d l h
Solutions analytiques : Couche tourbillonnaire
( )S S C
n U dS n dS U dr∇× = Ω = = Γ∫ ∫ ∫i i i
( )
1 0Si 0 pour Constante zh u u→ − = ⇒ Ω → ∞
.be
• Considérons une portion L de la couche :
( )1 00 00 0 0
lim limL h h
z zh hdydx L dy u u L
→ →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− Ω = − Ω = − = Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫
( )zn yΩ = Ωi
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56
• La couche constitue une « couche de discontinuité » : la vitesse tangentielle change de façon discontinue au travers de celle-ci
• L’intensité de la couche est définie par unité de longueur :
Solutions analytiques : Couche tourbillonnaire
.be
• L’intensité de la couche est définie par unité de longueur :
Idéalisation d’une couche de cisaillement dans les fluides de faible viscosité (ex. : couche limite à la paroi, sillage, …)
1 0u uL
γ Γ− = =
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ww.hach.ulg.ac. ( p , g , )
Dans un fluide parfait, la couche sera transportée et déformée de façon stableDans un fluide visqueux, la couche tourbillonnaire sera « diffusée » voire instable
29
57
• Dans un fluide faiblement visqueux, la couche tourbillonnaire est instable (instabilités de Kelvin-Helmholtz)
– Fluide homogène mais gradient de vitesse important (ex. : vent au dessus d’un relief marqué, …)
Couche tourbillonnaire : illustrations de l’instabilité .be
– Couches de fluides de densité et/ou de viscosité différentes
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58
• La combinaison de solutions analytiques simples permet la représentation de corps fictif
• Dans le cas d’un fluide parfait il est possible de remplacer ce
Principes de traînée et portance
.be
• Dans le cas d’un fluide parfait, il est possible de remplacer ce corps fictif par un corps réel :– Pas d’interaction visqueuse avec le fluide vitesse tangentielle – Respect de la condition d’imperméabilité vitesse normale
• Y a-t-il développement de portance et de traînée sur ce corps?
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30
59
« Un objet en rotation dans un fluide subira une force de portance directement proportionnelle à la vitesse de rotation »
Effet Magnus‐Robins : portance
Vs
.be
Vi
s iV V>
Ecoulement irrotationnel H est une constante sur le domaine
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s ip p<Bernoulli…
La différence de pression provoque un effort vers le haut…
60
Effet Magnus‐Robins : Cours élémentaire de football
.be
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31
61Effet Magnus‐Robins : Cours élémentaire de football
.be
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62
• Effet Magnus-Robins« Un objet en rotation dans un fluide subira une force de
portance directement proportionnelle à la vitesse de rotation »
Effet Magnus‐Robins : applications
.be
– Lift au ping-pong, tennis…– Effets au football…– Alcyone (navire du commandant Cousteau)– …
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32
63
• Rappel : les efforts totaux appliqués sur le corps engendrent :– Parallèlement à l’écoulement traînée – « Drag »– Perpendiculairement à l’écoulement portance – « Lift »
Corps immergé dans un fluide parfait.be
port 0ance c sios nF p τθ θ= −( ) dA∫
traînée 0 cossinF p τ θθ= + dA⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟∫
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traînée de form traînée de frott ee em nt⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
Fluide parfait = pas de viscosité
64
Corps cylindrique immergé dans un fluide parfait
portanceF
.be
portanc ,e
2
0
sinc rel cp r dFπ
θ θ= − ∫U∞
θ
,c relp
traînéeF
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traînée
2
,0
cosc rel cp r dFπ
θ θ= − ∫
Attention : θ des coordonnées polaires
33
65
• Par Bernoulli, on a
Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : champ de pression
22 1 2 sin2 2 2
c
c
pp UU
g g g g rθ
ρ ρ π∞ ∞
∞⎛ ⎞Γ
+ = + −⎜ ⎟⎝ ⎠
.be
22 1 2 sin2 2 2c
c
Up p U
rρ ρ θ
π∞
∞ ∞⎛ ⎞Γ
= + − −⎜ ⎟⎝ ⎠
22
,1 2 sin
2 2 2c relU
p Ur
ρ ρ θπ
∞∞
⎛ ⎞Γ= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
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ww.hach.ulg.ac. 2 2 2 crπ⎝ ⎠
66
• Force de portance…
Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : portance
22
,1 2 sin
2 2 2c relc
Up U
rρ ρ θ
π∞
∞⎛ ⎞Γ
= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
2
sinlp r dFπ
θ θ= − ∫
.be
portan0
ce
22 2 1 2 sin sin2 2 2 c
cF
UU r d
r
π
ρ ρ θ θ θπ
∞∞
⎡ ⎤⎛ ⎞Γ⎢ ⎥= − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
portanc ,e0
sinc rel cp r dF θ θ= ∫
2222 i
UdF
π
θ θ∞ Γ∫
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ww.hach.ulg.ac. 2
0portance sin
2 cc
r dU r
F ρ θ θπ
∞
∞
= − ∫
portanceF Uρ ∞= − Γ
34
67Théorème de Kutta‐Joukowski
« Selon la théorie des fluides parfaits, la portance par unité d d d fl d d
.be
d’épaisseur de tout corps immergé dans un fluide possédant un champ de vitesse uniforme vaut
représentant la circulation totale contenue dans le corps. »
portanceF Uρ ∞= − Γ
Γ
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68
• Rappel : la région hors du cylindre est doublement connexe
une solution univoque n’est possible que si la circulation t défi i
Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : portance
.be
est définie (théorème de Dirichlet)
• Dans un fluide faiblement visqueux, une rotation du cylindre peut engendrer une circulation.
• En fluide parfait, la viscosité est nulle le cylindre ne peut pas engendrer de vitesse tangentielle et donc une circulation
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ww.hach.ulg.ac.
Il n’existe pas de critère pour déterminer la circulation autour d’un corps réel dans un fluide parfait
35
69
• Force de traînée…
Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : traînée
22
,1 2 sin
2 2 2c relc
Up U
rρ ρ θ
π∞
∞⎛ ⎞Γ
= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
.be
traînée
2
,0
cosc rel cp r dFπ
θ θ= − ∫22 2
traînée0
1 2 sin cos2 2 2
0
cc
UU br dF
r
π
ρ ρ θ θ θπ
∞∞
⎡ ⎤⎛ ⎞Γ⎢ ⎥= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
=
∫
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cylindre avec circtr ulaînée ati, on 0F =
70
• Un corps immergé dans un fluide parfait à vitesse constante ne subit pas de force de traînée :
Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : traînée
0F
.be
traînée 0F =
F
portanceF
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ww.hach.ulg.ac.
U∞
traînéeF
36
71
« La force exercée sur un corps arbitraire qui se meut dans un fluide parfait incompressible à vitesse constante selon une
trajectoire rectiligne est nulle, pourvu que Γ=0 »
Paradoxe de d’Alembert.be
• Explication physique :– Si ≠0, la puissance mécanique xU∞ devrait être transformée
au sein du fluide en chaleur ou en énergie cinétique• Soit un transport en aval de l’énergie interne croissante
– pour un fluide parfait pas de dissipation d’énergie
• Soit un transport de l’énergie cinétique croissante sous forme de mouvement
traînéeF traînéeF
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ww.hach.ulg.ac. Soit un transport de l énergie cinétique croissante sous forme de mouvement
ondulatoire– pas de phénomène ondulatoire en incompressible d’étendue infinie
– Si Γ ≠0, une force de portance existe qui est perpendiculaire à U∞ et qui ne produit donc pas d’énergie dans l’écoulement.
72
• Le paradoxe de d’Alembert ne s’applique pas
– en présence d’un mécanisme de transport d’énergie ou de quantité de mouvement (ex. : ondes de surface à la surface libre d’un fluide idéal)
Paradoxe de d’Alembert
.be
– En présence d’un mouvement instationnaire– Pour un fluide visqueux
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ww.hach.ulg.ac.
37
73
• Une aile d’avion développe généralement de la portance• Historiquement, l’écoulement autour d’un tel corps a été
approché par le principe de superposition :D’un écoulement homogène et parallèle
Application du principe de superposition : aile d’avion bidimensionnelle.be
– D un écoulement homogène et parallèle– D’une combinaison de dipôle (corps symétrique)– D’une couche tourbillonnaire selon sa ligne de squelette
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ww.hach.ulg.ac.
α : angle d’attaque
74
• Complexité de la théorie :
– Soit problème direct le profil est un résultat (peu utile en pratique)
– Soit problème indirect il faut caractériser les intensités des
Application : aile d’avion bidimensionnelle
.be
So t p ob è e d ect aut ca acté se es te s tés desdipôles et de la circulation totale ainsi que leurs distributions spatiales
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38
75
• Une seconde approche consiste en l’utilisation des mathématiques des nombres complexes et de la transformation conforme
Application : aile d’avion bidimensionnelle.be
• Principe : « Utiliser des solutions d’écoulements connues dans des conditions
simples (ex. : cercle) et les transposer dans un autre plan pour obtenir une géométrie complexe »
• Transformation de Joukowski :
2
où est un nombre réelaz az
ς = +
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ww.hach.ulg.ac. • Transformation de Joukowski : z=x+iy
= +iς ξ η
76
• La transformation de Joukowski « convertit » un cercle de rayon a en un plan
Application : aile d’avion bidimensionnelle
.be
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ww.hach.ulg.ac.
2
où est un nombre réel
z=x+iy= +i
az az
ς
ς ξ η
= +
39
77
• Si cette transformation est appliquée à une combinaison :– d’un écoulement uniforme formant un angle α avec l’horizontale– d’un dipôle cercle– aucune circulation
Application : plan portant.be
aucune circulation
α
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Points de vitesse infinie
78
• Si cette transformation est appliquée à une combinaison :– d’un écoulement uniforme formant un angle α avec l’horizontale– d’un dipôle cercle– Circulation
Application : plan portant
4 sinaUπ α∞Γ = Incidence du flux d’air
.be
C cu at o ∞
Uintrados = Uextrados
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ww.hach.ulg.ac.
Points de vitesse infinie
40
79
• Complexité de la théorie :– Rappel : en fluide parfait, pas de critère pour déterminer la circulation
autour d’un corps observations à partir de fluides peu visqueux
Application : plan portant.be
– Si Γ = 0, la théorie potentielle indique que les vitesses aux bords d’attaque et de fuite tendent vers l’infini
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– En pratique, de telles vitesses sont impossibles et il est observé un décollement de l’écoulement
80
• Complexité de la théorie :– Un décollement peut être évité si le bord d’attaque est arrondi
création d’une circulation autour du corpsdéplacement du point P2 vers le bord de fuite
Application : aile d’avion bidimensionnelle
.be
dép ace e t du po t 2 ve s e bo d de u te
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ww.hach.ulg.ac.
Le développement d’une circulation telle que le point P2 est au droit du bord de fuite est appelée « condition de Kutta » (1902)
41
81
• Complexité de la théorie :– Le développement d’une circulation telle que le point P2 est au droit du
bord de fuite est appelée « condition de Kutta » (1902)
Application : aile d’avion bidimensionnelle.be – Si le bord de fuite est « tranchant » condition de point d’arrêt (a)
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ww.hach.ulg.ac.
– Si le bord de fuite est un point de « rebroussement » ve=vi (b)
82
• En stationnaire et en aval d’un profil bidimensionnel, il n’y a pas de discontinuité dans le champ de vitesse
pas de couche tourbillonnaire dans l’écoulement aval:
Application : aile d’avion bidimensionnelle
.be
pas de couche tourbillonnaire dans l’écoulement aval:
Pas de sillage
• L’amplitude de la portance d’une aile est fonction de la vitesse d’écoulement la circulation augmente avec la vitesse
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• Mais, le théorème de Kelvin dit que :
0DDt
Γ=
42
83
• Lors de l’accélération de l’aile, la circulation doit s’adapter constamment de manière à vérifier la condition de Kutta
une couche tourbillonnaire doit être crée derrière l’aile pour
Application : aile d’avion bidimensionnelle.be
une couche tourbillonnaire doit être crée derrière l’aile pour que la circulation totale soit conservée
0DΓ=
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• Cette couche est instable et tend à s’enrouler en un tourbillon dit « de démarrage »
0Dt
=
84
• Une fois que la vitesse de l’aile est constante, ce tourbillon s’éloigne de manière à ne plus influencer l’écoulement autour de l’aile.
Application : aile d’avion bidimensionnelle
.be
le mouvement redevient stationnaire
0DDt
Γ=
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• A chaque accélération, un nouveau tourbillon est créé
43
85
• Pour une aile bidimensionnelle, la portance est représentée par une couche tourbillonnaire de longueur infinie selon l’axe z :
Application : aile d’avion bidimensionnelle.be • Mais pour un profil tridimensionnel l’envergure est finie
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ww.hach.ulg.ac. Mais pour un profil tridimensionnel, l envergure est finie
Quelle est la couche tourbillonnaire représentative?
86
• Selon les théorèmes d’Helmholtz :– Un fil tourbillonnaire ne peut prendre naissance ou s’éteindre dans le fluide– Sa longueur doit être infinie ou être une courbe fermée
• La couche tourbillonnaire doit donc se présenter sous la forme
Application : aile d’avion tridimensionnelle
.be
d’un U s’étendant vers l’infini et transitant par le profil
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44
87
• Pour une aile tridimensionnelle, il existe, comme en 2D, une dépression sur l’extrados et une surpression sur l’intrados.
• En bout d’aile la pression doit cependant s’égaler et la circulation
Application : aile d’avion tridimensionnelle.be
• En bout d aile, la pression doit cependant s égaler et la circulation tendre vers 0
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88
• Une aile 3D est donc idéalisée par deux couches tourbillonnaires : – Une « fixée » à l’aile : produisant un différentiel de pression portance– Une « libre », résultat direct de la variation de la circulation de long de
l’envergure, qui génère une discontinuité dans les vitesses tangentielles
Application : aile d’avion tridimensionnelle
.be
selon z
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• Aux extrémités, cette discontinuité génère ainsi un écoulement de contournement
45
89
• Tout comme dans le cas de la couche tourbillonnaire de Kelvin-Helmholtz, cette couche est instable et tend à s’enrouler pour former un tourbillon de bout d’aile.
Application : aile d’avion tridimensionnelle.be
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• Les fils tourbillonnaires libres se rejoignent par le « fil de démarrage »
90
Illustrations : aile d’avion tridimensionnelle
.be
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46
91
• La formation en V des oiseaux migrateurs est principalement due au principe que chaque oiseau, à l’exception du premier, vole dans un vortex de bout d’aile porteur
il diminue ainsi sa traînée et améliore sa portance
Tourbillons de bout d’ailes : oiseaux migrateurs.be
il diminue ainsi sa traînée et améliore sa portancemoins de fatigue et plus d’endurance
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