1. 2 outils et méthodologie détude des systèmes électriques polyphasés généralisation de la...

2

Outils et méthodologie d’étude des systèmes

électriques polyphasés

Généralisation de la méthode des vecteurs

d’espace

Directeur de thèse : Christian Rombaut

3

• Introduction

• Caractérisation vectorielle des modulateurs

• Association Modulateur - Sources

• Commande d’une machine pentaphasée

• Conclusion

Plan

4

Formalismes existants

Quels outils ?

Exemples d’utilisation

IntroductionPlan

5

Étude des systèmes électriques

• Formalisme matriciel

• Phaseurs complexes ou vecteurs d’espace

Introduction Formalismes existants

6

33231

23221

13121

LMM

MLM

MML

:matrice

3

2

1

33231

23221

13121

3

2

1

i

i

i

LMM

MLM

MML


3dimensiondeespaceun'd

i

i

i

etVecteurs

3

2

1

3

2

1

Formalisme matriciel

• Espaces vectoriels

7

Formalisme matriciel

• Espaces vectoriels

• Applications linéaires d’espaces vectoriels ou

morphismes

i

dEaEV

iV


8

3

2j

2321 eaaveca)t(va)t(v1)t(vcv

• Commande des onduleurs

• Équations des machines électriques

dt

diRv

s

sss

• Utilisation des connaissances de géométrie


Phaseurs complexes

• Pour les systèmes triphasés :

Multiplication par exp(j).

• Rotation plane d’angle 1

a

a2

1

23

4

5 6

0 et 7

v

1

a

a2

1

23

4

5 6

0 et 7

9

Est-il nécessaire d’introduire de nouveaux outils?

OUI, si

Introduction Quels outils ?

Synthèse de méthodes généralisables

10

• Noyau et image d’un morphisme

• Barycentre et produit mixte

• Produit scalaire et vectoriel


Au service d’un formalisme vectoriel

11


• les modulateurs d’énergie

• les systèmes électriques polyphasés

Un formalisme vectoriel pour étudier :

Une généralisation de la méthode des phaseurs complexes

12

Machine triphasée avec q barres rotoriques.

Plus généralement, morphismes à matrice rectangulaire

Noyau et image d’un morphisme

Alimentation d’une charge triphasée par onduleur

de tension deux niveaux

Plus généralement, détermination et exploitation des

degrés de liberté de commande d’un modulateur

Introduction Exemples d’utilisation

13

Barycentre et produit mixte

Calcul des durées de conduction des interrupteurs d’un

onduleur

Prise en compte des durées minimales

de conduction des interrupteurs d’un

onduleur de courant


zone in terd ite

14

Produit scalaire et vectoriel

Prise en compte des saturations de commande d’un

onduleur

Calcul des durées de conduction des interrupteurs

Expression du couple d’une machine électrique


15

Modèle du modulateur étudié

Familles et espaces vectoriels associés

Pour une commande « aux valeurs moyennes »

Caractérisation vectorielle des modulateurs Plan

16

Caractérisation vectorielle des modulateurs Modèle du modulateur étudié

p sources de courantic1 ic2 ic3

icp

vt1

vt2

vtk

vt1

vt2

vtk

Référence de potentiel

ksourcesdetension

vc1

vc3

vc4

vc2

p tensions

p sources de courant

it1

it2

it3

k courants

k sources de tension

17

Associer deux espaces au MODULATEUR

Caractérisation vectorielle des modulateurs Familles et espaces vectoriels associés

Espace de dimension p

Ecp

Espace de dimension k

Etk

Du côté des

p sources de courant

Du côté des

k sources de tension

18


Base orthonormée : cp2c1cc x,...,x,xB


Ecp

Modulateur côté sources de courant

cpcp2c2c1c1cc xv...xvxvv

cpcp2c2c1c1cc xi...xixii

19



Ecp

cpcp2c2c1c1cc xv...xvxvv

Modulateur côté sources de courant

Différentes valeurs de vck

Famille de vecteurs tension

20

3 sources de courant

vc1

vc3

vc2

ic1

ic2ic3

E

-E

it1

it2

2

sources

de

tension

Référence de potentiel

NT

Exemple : onduleur triphasé deux niveaux


vc1 = ± E

vc2 = ± E

vc3 = ± E

21

. xE xE xEOM; xE xE- xEOM

;xE xE- xE-OM;xE xE xE-OM

;xE- xE xE-OM;xE- xE xEOM

;xE- xE- xEOM; xE- xE- xE-OM

3c2c1c73c2c1c6

3c2c1c53c2c1c4

3c2c1c33c2c1c2

3c2c1c13c2c1c0

3c3c2c2c1c1cc xvxvxvv

. xE xE xEv; xE xE- xEv

;xE xE- xE-v;xE xE xE-v

;xE- xE xE-v;xE- xE xEv

;xE- xE- xEv; xE- xE- xE-v

3c2c1c7c3c2c1c6c

3c2c1c5c3c2c1c4c

3c2c1c3c3c2c1c2c

3c2c1c1c3c2c1c0c

Représentation graphique : 8 points, sommets d’un cube


Exemple : onduleur triphasé deux niveaux

3c3c2c2c1c1c xvxvxvOM

vc1 = ± E vc2 = ± E vc3 = ± E

23 combinaisons

22

(E,E,-E)

(E,E,E)

(E,-E,-E)

(E,-E, E)

2cx

1cx

3cx

Un bras bloqué à +E

8 sommets du cube


M7

23

Caractérisation vectorielle des modulateurs d ’énergie

TT/2

MLI régulière symétrique

<vc1>

<vc2>

<vc3>

24


TT/2

t0/2 t1/2 t2/2 t1/2 t2/2 t0/2

Tension instantanée vc1



MLI régulière

symétrique

<vc1>

<vc2>

<vc3>

25


TT/2

t0 /2 t1 /2 t2 /2 t3 /2 t1 /2 t2 /2 t0 /2




MLI régulière

symétrique

Examen des points activés

<vc1>

<vc2>

<vc3>

26

3cx

1cx

(E,E,-E)

(E,E,E)

(-E,-E,-E)

(E,-E,-E)

2cx


M7

27

Ecp

dimension p

cv

ci


Famille de vecteurs tensioncrv

Résumons

Côté source de courant

28

Nr

1rcr

rkT

T)1k( cT1

c vT

tdt)t(v)kT(v

Nr

1rcrrr v de activationd' durée et ttT avec

Valeur moyenne à kT de la tension

Nr

1rrrr M de activationd' durée et ttT avec

Nr

1rr

r OMT

tOM

Caractérisation vectorielle des modulateurs Pour une commande “ aux valeurs moyennes ”

• M barycentre des N points Mr

• tr/T coordonnées barycentriques

29

M appartient au polyèdre défini par les points Mr.

Dans l’exemple étudié, cube :


M barycentre des N points Mr

30

qq

kk

jj

ii OM

T

tOM

T

tOM

T

tOM

T

tOM

qkji ttttT


1cxM2

M0

M1

M7ti, tj, tk, tq ??

Exemple de 4 points non coplanaires

Exemple : décomposition barycentrique de M sur 4 points non coplanaires

31

Appliquons l’opérateur

qjk OMOMOMXX


qq

kk

jj

ii OM

T

tOM

T

tOM

T

tOM

T

tOM

à chaque membre de l’équation


32



qjki

qjk

i

OMOMOMOM

OMOMOMOMTt

scoplanairenon ,M,M,MM si 0OMOMOMOM qkjiqjki

identiques ursdeux vecte si0dcba

Propriétés

33


avec

(x, y,z) coordonnées de M

et

() constantes

?qjki

qjk

i

OMOMOMOM

OMOMOMOMTt

ti = x + y + z +

3 additions, 3 multiplications : commande temps réel

34

Caractérisation vectorielle des modulateurs Résumé

Caractérisation vectorielle indépendante de la charge

Généralisation aisée Charge ?

Coordonnées barycentriques

Produit mixte

Formulation générale des durées d’activationAlgorithme adapté au calcul temps réel

35

• Introduction

• Caractérisation vectorielle des modulateurs

Plan

• Association Modulateur - Sources

Espaces vectoriels associés aux sources

Alimenter c’est créer un morphisme

Exploitation des propriétés d’un morphisme

36

Association modulateur - sources

Espaces vectoriels associés aux sources

cncn2c2c1c1cc su...susuu

cncn2c2c1c1cc sj...sjsjj

• uck tension aux bornes de la phase n°k

• jck courant au sein de la phase n°k

n phases de la source de courant

j ck

u ck

37

?

Modulateur impose p tensions vck



Relations entre les p tensions vck et n tensions uck

Ac

ccc uv AMorphisme Ac

Ecp

cv

ci

crv

Enc

cu

cj

38

uc1 = vc1 – vc3 ; uc2 = vc2 – vc1 ; uc3 = vc3 – vc2 ;

Exemples :

Pour un couplage triangle

vc3

vc2

vc1 ic1

ic2

E

-E

it1

it2

uc1 uc2 uc3

jc1

jc2

jc3



p = 3 n = 3

vc1

vc3

39

Exemples :

Pour un couplage étoile

uc1 = vc1 – vcN ; uc2 = vc2 – vcN ; uc3 = vc3 – vcN ;



p = 3 n = 3 ic3

vc1

vc3

vc2

ic1

ic2

E

-E

it1

it2

uc1 uc2 uc3

jc1

jc2 jc3

A

B

NvcN

vc1

40

Exemples :

Pour un couplage étoile avec neutre sorti

uc1 = vc1 – 0 ; uc2 = vc2 – 0 ; uc3 = vc3 – 0 ;

ic3

B

vc1

vc3

vc2

ic1

ic2

E

-E

it1

it2

uc1 uc2 uc3

jc1

jc2 jc3

A

N



p = 3 n = 3

vcN = 0

41

Exemples :

Couplage avec neutre sorti

B

vc1

vc2

ic1

ic2

E

-E

it1

it2

uc1 uc2

jc1

jc2

ic3

uc3

jc3

NT

A

N



p = 2 n = 3

uc1 = vc1 – vCN ; uc2 = vc2 – vCN ; uc3 = – vCN ;

42

EncEcp

cv cu

ckvcku



Ac

43

Plan

Synthèse d’une commande

Analyse des degrés de liberté de la commande

Phaseur complexe : caractérisation incomplète

Application à la commande de l’onduleur triphasé


44


On cherche à imposer les tensions uck aux bornes des

n phases de la source de courant.

cncu E donc désireOn



Solution ? ? cpcv E

Ce vecteur doit appartenir à Im Ecpcu

ccc uv A alors oui Si

45




Ecp

Im Ecp

cu

Ac

Enccv

• Si Ac est bijectif :

cc uv -1

cA

46


• Si Ac non bijectif

Décomposition de Ecp en somme de deux espaces

orthogonaux : Ecp = Ker Ac cAKer

KerAc

(KerAc)

E cp



47




KerAc

(KerAc)

E cp

Im Ecpcréfu

Acr

E nc

Morphisme bijectif Acr : cpKer EA Imc

)v ( ) v ( ccccr AA


48

huv cc

-1

crAÉlément du noyau de Ac

KerAc

(KerAc)

E cp

Im Ecpcréfu

A

0

c

Acr

E nc

h




cc uv -1

crA


49



Analyse des degrés de liberté cu donc désireOn

cvsolution unesupposeOn

liberté de degré de pas:vsolution seule Une c

liberté de degré de présence:v solutionsPlusieurs c

dim Ker Ac : nombre de degrés de liberté

50

Exemple :

Couplage avec neutre sorti



Analyse des degrés de liberté

uc1 = vc1

uc2 = vc2 uc3 = vc3

ic3

B

vc1

vc3

vc2

ic1

ic2

E

-E

it1

it2

uc1 uc2 uc3

jc1

jc2 jc3

A

N

• dim Ker Ac = 0

• pas de degré de liberté

cc uv -1

cA

51

vc1

vc3

vc2

ic1

ic2

E

-E

it1

it2

uc1 uc2 uc3

jc1

jc2 jc3

Exemple :

Couplage triangle

• dim Ker Ac = 1

• Ker Ac droite

de vecteur

3c2c1c xxx



Analyse des degrés de liberté

Un degré de liberté :

« homopolaire »

52

3cx

1cx

2cx

Direction du noyau



53

KerAc

(KerAc)

E cp

Phaseurs complexes : caractérisation incomplète



cAKerProjection sur

• Décomposition d’un vecteur en deux composantes

• Abandon de la composante qui appartient au noyau Ker Ac

Ecp = Ker Ac cAKer

M

Mp

54




Cas triphasé des couplages étoile et triangle

Noyau : droite de vecteur directeur 3c2c1c xxx

planKer cA

p3c3cp2c2cp1c1cp xvxvxvOM

3c3c2c2c1c1c xvxvxvOM

Projection

55





Projection du cube

sur

cAKer

56




3

4j

3c3

2j

2c1ccp evev1v3

2v

p3c3cp2c2cp1c1cp xvxvxvOM

p3c

p3c3c

p2c

p2c2c

p1c

p1c1ccpp

x

xv

x

xv

x

xv

3

2vOM


57

M0pet M7p

xc2p

xc1p

xc3p

OM1p

M3p M2p

M6pM5p

M4p

32

E2

22

E2



Phaseurs complexes : caractérisation géométrique incomplète


Incomplète ?

58

Image par Ac du cube engendré par les points Mr ?

M1i

M3i M2i

M6iM5i

M4i

32E2

22

E2

M0i et M7i

Source triphasée de courant en étoile

M1i

M3i

M2i

M6i

M5i

M4i

32

3E2

2

23E2

M0i et M7i

Source triphasée de courant en triangle

Aux valeurs moyennes : étoile ou triangle


Commande de l’onduleur triphasé

doit appartenir à l’image du cubecu

59

Aux valeurs moyennes : étoile ou triangle

huv cc

-1

crA

noyaudu vecteur havec

• avec injection d’harmonique 3 ou d’homopolaire :



cc uv -1

crA• classique : 0h donc

60

doit donc appartenir

• au cube

• au plan d’équation

cv

0xxx.vh 3c2c1cc



Classique aux valeurs moyennes

vc1+ vc2 + vc3 = 0

Cette intersection définit un hexagone [P1, P2, P3, P4, P5, P6]

0 imposes'on donc -1

cr

huv cc A

61


Commande de l’onduleur triphaséClassique aux valeurs moyennes

62

Direction du noyau (homopolaire)



63

x c 2 p

x c 1 p

x c 3 p

OM 1 p

M 3 p M 2 p

M 6 pM 5 p

M 4 p

P 1

P 2

P 3

P 4

P 5

P 6

E2

3

2

2E2



64

Aux valeurs moyennes avec homopolaire

huv cc

-1

crA



Exemple : un vecteur de consigne d’amplitude constante.

Il décrit un cercle.

• décrit un cercle inscrit dans l’hexagone [M1p … M6p]

• appartient au cylindre inscrit dans le cube

cu

cu

-1crA

huc

-1

crA

65

S

S

H

B

x c 2 p

x c 1 p

x c 3 p

OM 1 p

M 3 p M 2 p

M 6 pM 5 p

M 4 p

P 1

P 2

P 3

P 4

P 5

P 6

M2

M1

M1p

M3

M3p

M4M6

M7

M0

M0p et M7p




Trace dans le plan de

cu

-1crA

P1 P2

66

x c 2 p

x c 1 p

x c 3 p

OM 1 p

M 3 p M 2 p

M 6 pM 5 p

M 4 p

P 1

P 2

P 3

P 4

P 5

P 6

2

2E2

2

3E

3

2E2

M0p et M7p



Homopolaire non nul


67

R /2 E = 0 ,6 5

C H

C B

M1

M1p

M2



Homopolaire non nul


68

x c 2 p

x c 1 p

x c 3 p

OM 1 p

M 3 p M 2 p

M 6 pM 5 p

M 4 p

P 1

P 2

P 3

P 4

P 5

P 6

2

2E2

2

3E

3

2E2




69

M1

M1p




P1 P2M2p

70


Résumé

Méthode de synthèse d’une commande

Comment déterminer et exploiter les degrés de liberté d’une commande

Lien avec le phaseur complexe

Commandes de l’onduleur triphasé


71

Plan

Commande d’une machine pentaphasée

expression du flux

commande « optimale »

machine diphasée « équivalente »?

72

• 5 phases au stator et au rotor décalées de

• Régulièrement construite

• Linéaire du point de vue magnétique

• Approximation au premier harmonique d’espace

5

2

Hypothèses sur la machine

Commande d’une machine pentaphaséeExpression du flux

73

j s

j s

j s

j s

j s

j r1

j r2

j r3

j r4 j r5


74

5r

4r

3r

2r

1r

5e4e3e2e1e

5d4d3d2d1d

5c4c3c1c1c

5b4b3b2b1b

5a4a3a2a1a

5s

4s

3s

2s

1s

1s5s4s3s2s

2s1s5s4s3s

3s2s1s5s4s

4s3s2s1s5s

5s4s3s2s1s

5s

4s

3s

2s

1s

j

j

j

j

j

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

j

j

j

j

j

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

5r

4r

3r

2r

1r

1r5r4r3r2r

2r1r5r4r3r

3r2r1r5r4r

4r3r2r1r5r

5r4r3r2r1r

5s

4s

3s

2s

1s

5e5d5c5b5a

4e4d4c4b4a

3e3d3c3b3a

2e2d2c2b2a

1e1d1c1b1a

5r

4r

3r

2r

1r

j

j

j

j

j

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

j

j

j

j

j

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

)j(f)j(f rsrssss

)j(f)j(f rrrsrsr


75

• , base orthonormée de vecteurs

propres

m 2

cm 1

c

b 1

b 2

m 2

cm 1

c b 4

b 3


c

4c3

c2

c1

c0 m,m,m,m,m

plan plandroite

76

c44r

c33r

c22r

c11r

c00rr mJmJmJmJmJj

c44s

c33s

c22s

c11s

c00ss mJmJmJmJmJj

2sssss3s3s2s2s1s1ssss JM2

5jJJJ)j(f

22r11rsrrsr bJbJM2

5)j(f

42s31ssrsrs bJbJM2

5)j(f

2rrrrr3r3r2r2r1r1rrrr JM2

5jJJJ)j(f


77

22r11rsr2ssssss bJbJM2

5JM

2

5j

42s31ssr2rrrrrr bJbJM2

5JM

2

5j

Vecteurs d’un même

plan Inductances de fuite

Faible participation au flux Forte participation au flux car r est grand

Mutuelles cycliques


78


Un espace scindé en 3 sous espaces vectoriels orthogonaux

c

2c1 m,mPlan engendré par

Composantes significatives des

flux

« Consacrer toute son énergie » à ce plan

Annuler les autres composantes du courant statorique :

Js0, Js3 et Js4

Sans couplage entre ces espaces

79

À même niveau de pertes Joule, + de flux

• annulation de Js0, Js3 et Js4

Or,

• Js0 = js1 + js2 + js3 + js4 + js5

Commande d’une machine pentaphaséeCommande « optimale »

Simple connexion « mécanique » des 5

bobines statoriques

En étoile sans neutre sorti

80

Par contre :

5s4s3s2s1sc3s3s j8

5

2cosj6

5

2cosj4

5

2cosj2

5

2cosj

5

2m.jJ

5s4s3s2sc4s4s j8

5

2sinj6

5

2sinj4

5

2sinj2

5

2sin0

5

2m.jJ

Commande adéquate du modulateur

« Notion de couplage électrique » ?

Commande d’une machine pentaphaséeCommande « optimale »

Annuler, aux valeurs moyennes, Js3 et Js4

81

Définition d’une machine diphasée équivalente

Commande d’une machine pentaphasée Machine diphasée « équivalente »?

Si Js0 = 0, <Js3> = 0 et < Js4 > = 0

5544332211 p)t(xp)t(xp)t(xp)t(xp)t(xx

p1

p2p

3

p4

p5

c

2c1 m,mplanledans

ckk sdeprojectionp

82

p1

p2p

3

p4

p5

Commande d’une machine pentaphasée Machine diphasée « équivalente »?

45

34

2321 a)t(xa)t(xa)t(xa)t(x1)t(x

5

2x

5

2j

eaavec

83

Commande d’une machine pentaphaséeRésumé

Multitude des transformations matricielles ?

Multitude de choix de bases possibles

Unicité de la décomposition de l’espace

en 3 sous espaces vectoriels orthogonaux

Critères d’une commande « optimale » :

Ne pas exciter deux des trois sous espaces

Machine diphasée « équivalente » aux valeurs moyennes

84

Origine du formalisme ?

Conclusion

Onduleur de courant en M.L.I.

et

Condensateurs - Machine Asynchrone

M A ~

85

Conclusion

• de l’ensemble Machine Asynchrone - Condensateurs

• de l’onduleur de courant

Caractérisation vectorielle :

Saturation de l’amplificateur « linéaire »?

Saturation des boucles d’asservissement de tension ?

Deux phénomènes de résonance ?

R s l s l 2

R 2 /gLC

86

Caractérisation de l’onduleur de courant : 6 vecteurs

Conclusion

87

Moyens de calculs limités par un microcontroleur HC16

et

Prise en compte des non linéarités de l’onduleur

Conclusion

Optimisation de la détermination des durées de conduction

• Recherche du secteur et calcul des durées :

3 multiplications et 2 additions

Vectoriellement

88

Conclusion

Un formalisme vectoriel qui bénéficie

• des propriétés graphiques et géométriques de la théorie des

« vecteurs d’espace » qu’il généralise

• de la puissance du traitement matriciel.

Onduleur « monophasé »

Onduleurs triphasés de tension et de courant

Supports géométriques conceptuels

pour la synthèse de méthodes générales

89

Conclusion

Commande de systèmes polyphasés tant

• pour les modulateurs

que

• pour les sources

90

Conclusion

Étude vectorielle des modulateurs et des sources

• Méthode de synthèse d’une commande (morphisme)

• Analyse et exploitation des degrés de liberté (noyau d’un morphisme)

• Calcul temps réel des durées de conduction (barycentre et produit mixte)

•Prise en compte des saturations d’un modulateur (produit vectoriel et produit mixte)

• Commande en instantané (DTC) par distance euclidienne

91

Domaines d’application ?

• Machines polyphasées de forte puissance

Usage d’onduleurs « standards » grâce au fractionnement de la puissance avec moins

de problèmes thermiques et de CEM

• Machines polyphasées de petite puissance

Bobinages simples et onduleurs intégrés (SmartPower)

Conclusion

• Actionneur tridimensionnel : rotule piézoélectrique ?

92

Conclusion

• Commande de modulateurs d’énergie

Modulateur à n bras deux niveaux

Modulateur multiniveaux

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FIN

1. 2 outils et méthodologie détude des systèmes électriques polyphasés généralisation de la...

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