Résumé du paramagnétisme !"#$%&'()*+,*"&+)(*"$-*'+$(.*/"0")"#$%&'()*+,*"&+)(

!"# ! $"#

%&'()*+,-%.%)(*/

J BJ B J

B

g JBm T g J

k T

# ! # ! ! !,.*0 ,.*0# # # #J

J Jx x x

J J J J

x x

12+33.4+(-54(,*+.(/

5.2-3&2')-T 6742+)-3&89/-

# !:J B

B

Bm T g J J

k T

)55 !J Bm g J J

!"#$%&'()*+,*"&+)(*"$-*'+$(.*102(&"3*,'%3-&(+.(;

%&'()*+,-+.(

< <xy yz xzd

# # # #<:x y z rd

,2=;*&3-5+)3> # #x yd

# # # #

)55

?

# !

xy z xy zx y x y

B

d L d d L d

m S S

@4)(,0+('-.5-*0)-.2A+*&3-%.%)(*65.2-:>-*2&(;+*+.(-%)*&3-+.(;9/

! =µ0 µBgJ( )2 J(J +1)

3kBT

!"#$"%#&

Assembly of non-interacting magnetic moments

Paramagnetic term

Limit x<<1, i.e. kBT>>H Curie law:

with the effective moment

peff = gJ

�J(J + 1)µB

χ =N

V

(µBgJ)2J(J + 1)3kBT

=C

T=

N

V

p2eff

3kBT

Works well for magnetic moments without interactions, negligible CEF : ex. Gd3+, Fe3+ or Mn2+ (L=0)

susceptibilité magnétique (x<<1): loi de Curie

x = µBgJBkBT

aimantation sous champ:

B!"

moments localisés sans interaction

M (T )MS

=12J

(2J +1)coth((2J +1) x2)! coth( x

2)

"

#$%

&'= BJ (x)

avec:

BJ=1/2 (x) = tanh(x2)cas particulier: (à vérifier !)

BJ (x) 0!"!J +13

x

Résumé du modèle diatomique (H2) Interaction d’échange J: interaction coulombienne + principe d’exclusion de Pauli

échange direct: modèle de Heitler-London de H2

•  Coulomb inter-site X,V. Coulomb intra-site U infini

•  échange intra-atomique (Hund): triplet, J=2X

•  échange inter-atomique: signe dépend recouvrement/orbitales

Délocalisation: orbitales moléculaires

t

X

•  U>>t: régime de Heitler-London. Isolant de Mott

•  U<<t: régime des orbitales moléculaires. Métal !SHL

!SOM

U/t

énergie

H = !JS!1.S!2Hamiltonien effectif d’Heisenberg

•  U=0, intégrale de saut t •  Orbitales moléculaires: singulet (délocalisation)

Echange cinétique dans le modèle de Hubbard (I)

H = !t ci,!+ ci+",!

i,",!=",#$ +U ni,"ni,#

i$Hamiltonien d’Hubbard

i: site, n: occupation, σ: spin t: intégrale de saut U: Coulomb intra-site X=V=0

Sur deux sites avec une orbitale par site: H = !t cA,!

+ cB,! + cB,!+ cA,!"# $%

!=±

& +U nA,'nA,(+ nB,'nB,("# $%= Ht +HU

Pour t=0 A B

!SHL =

12cA,!+ c+B,"! " cA,"!

+ c+B,!( ) 0Etat singulet Heitler-London (approx. orthogonale L=0)

!0 = 0 !0 =U

Ht !HLS = "

t2cA,!+ c+A,"! + cB,!

+ c+B,"! + cA,!+ cA,"!

+ + cB,!+ cB,"!

+( ) 0

Action de Ht, 8 termes ex:

= ! 2t A1 A2 + B1 B2"# $%

Etats Heitler-London dégénérés et déconnectés des états à double occupation

c+! ,c+! '{ }= 0

!cA,!+ cB,!cA,!!

+ c+B,! 0 = cA,!+ c+A,!!cB,!c

+B,! 0 = cA,!

+ c+A,!! 0

c+! ,c! '{ }= !"" ' 1! nB,!4 termes non-nuls

Echange cinétique dans le modèle de Hubbard (II)

!SHL =

12cA,!+ c+B,"! " cA,"!

+ c+B,!( ) 0 =12

A1 B2 + A2 B1#$ %&

Si t<<U (spin localisés), on peut traiter les états de Heitler-London en perturbation sur Ht

!SHL ! "S

HL Ht "SHL +

"SHL Ht n

2

!0HL #!nn

$Au second ordre en perturbation

≠0 ssi n: état doublement occupé t A1 B2 + A2 B1!" #$ A1 A2 + B1 B2!" #$= 0

A1 A2 , B1 B2

Etat singulet

!SHL =

!SHL Ht n

2

!0HL "!nn

# = "!S

HL Ht A1 A22

U"

!SHL Ht B1 B2

2

U

= !1U

2t A1 A2 + B1 B2"# $% A1 A2"#

$%2!1U

2t A1 A2 + B1 B2"# $% B1 B2"#

$%2

!SHL = !

4t2

U

Echange cinétique dans le modèle de Hubbard (III)

!SHL = !

4t2

Ul’état singulet est stabilisé par le processus de sauts virtuels

t t

Etats triplets !THL =

12

A1 B2 " A2 B1#$ %&

!THL = 0 J = ! 4t

2

UEchange cinétique

H ! "JS!1.S!2 Hamiltonien de Hubbard à 1 orbitale

devient Heisenberg si t<<U et demi-remplissage

12cA,!+ c+B,!! + cA,!!

+ c+B,!( ) 0cA,!+ c+B,! 0cA,!!+ c+B,!! 0

Ht !THL = 0

Ht n’agit pas sur les états triplets

3 états:

Ordre orbital (I)

H = !t cA,!,"+ cB,!," + cB,!,"

+ cA,!,""=±!=1,2

" +U ni,!,#ni,# ,$i=A,B!,#=1,2

"Modèle de Hubbard à deux orbitales dégénérées par site

α: orbital t: intégrale de saut uniquement entre orbitales identiques U: Coulomb intra-site (orbitales identiques ou différentes) JH: échange de Hund intra-site

A B

1

2

1

2

t

t

4 types de configuration sans double occupations: dégénérées si t=0

triplet orbitales identiques

singulet orbitales identiques

U-JH U

8 états de Heitler-London (1 orbitale/site) 8 nouveaux états (6+2)

triplet orbitales différentes

singulet orbitales différentes

!0 = 0

!JH12+ 2S!i,1S!i,2

"

#$

%

&'

i=A,B(

Ordre orbital (II)

! = 0

second ordre en t sur les confugurations sans double occupation

! = !4t2

U! = !

4t2

U ! JH! = !

4t2

UÉtat de plus basse Énergie

Hund favorise triplet J =4t2

U!

4t2

U ! JH=

4JHt2

U(U ! JH )

! ! " Ht "S +" Ht n

2

!0 #!nn$Si t<<U

Ordre ferromagnétique + ordre orbital « antiferro »

=0

H = !t cA,!,"+ cB,!," + cB,!,"

+ cA,!,""=±!=1,2

" +U ni,!,#ni,# ,$i=A,B!,#=1,2

" !JH12+ 2S!i,1S!i,2

"

#$

%

&'

i=A,B(

Règles de Anderson/Goodenough/Kanamori

P.W. Anderson (1950) J. Kanamori (1959) J.B. Goodenough (1955)

!""#$%"&'()*+%+,"-.)/%#$-0"%1-&2$03

!"###$%&'()*+#,)-+.(&-,/)#/0#-1/#'(2030,22+4#/.5,-(26#,6#6-./)*#()4#()-,0+../7(*)+-,&#8!"#9

)(2 2

H

HFM JUU

JtJ

UtJ AFM22

:"#$%&'()*+#,)-+.(&-,/)#/0#'(2030,22+4#()4#+7;-<#8/.#4/=52<30,22+49#/.5,-(26#,6#1+(>##()4#0+../7(*)+-,&#8"#9

Recouvrement entre deux orbitales au demi-remplissage

J = ! 4t2

USingulet/antiferro

!""#$%"&'()*+%+,"-.)/%#$-0"%1-&2$03

!"###$%&'()*+#,)-+.(&-,/)#/0#-1/#'(2030,22+4#/.5,-(26#,6#6-./)*#()4#()-,0+../7(*)+-,&#8!"#9

)(2 2

H

HFM JUU

JtJ

UtJ AFM22

:"#$%&'()*+#,)-+.(&-,/)#/0#'(2030,22+4#()4#+7;-<#8/.#4/=52<30,22+49#/.5,-(26#,6#1+(>##()4#0+../7(*)+-,&#8"#9Recouvrement entre une orbitale au demi-remplissage et une orbitale vide

Triplet/ferro (faible) J = 4JHt2

U(U ! JH )

Plan du cours

  Magnétisme sans interaction   Magnétisme atomique   Moments magnétiques localisés   Environnement

  Magnétisme localisé en interaction   Interactions d’échange   Modèle de champ moyen du ferromagnétisme

  Au delà du champ moyen   Hamiltonien d’Heisenberg: du classique au quantique   Ondes de spin ferromagnétiques et antiferromagnétiques   Magnétisme frustré et liquides de spin

  Magnétisme itinérant   Paramagnétisme d’un gaz d’électrons libres   Instabilité magnétique de Stoner   Effets Hall quantiques

Transitions magnétiques

Existe t-il une transition de phase dans le modèle d’Heisenberg sur réseau?

Compétition entre J et T

G. M. Zhao, K. Conder, H. Keller, and K. A. Muller, Nature 381, 676 (1996)

Some generalities on phase transitions and critical phenomena

-Liquid-solid transition: spontaneous

symmetry breaking at Tc

-Order parameter (spatial)

-A liquid has more symmetries as a solid:

complete translational and rotational invariance

-Para-ferromagnetic transition is similar

aimantation macroscopique

TC

Hamiltonien d’Heisenberg sur réseau

H = !JS!1S!2 H = !

12

Jij S!i S!j

i" j# modèle d’Heisenberg

J décroit très rapidement i et j 1er (voire 2ième) voisins

J

J molécule diatomique réseau: somme de liaisons

Sous champ magnétique

H = !J2

S!i S!j

i" j# + gµBB Si

z

i#

2si L=0 (ions 3d)

H = !J2(gJ !1) J

!"i J!"j

i" j# + gJµBB Ji

z

i#

2si L≠0 (ions 4f)

facteur de de Gennes

H = !J12

S!i S!i+!1

i,!1

" !J22

S!i S!i+!2

i,!2

" .....J1

J2

jmj (Jz + Sz ) jmj = gJmj

jmj Sz jmj = ! jmj Jz jmj + gJmj = (gJ !1)mj

J = ES !ET

H = !J2

S!i S!j

i" j#

Ferromagnétisme: champ moyen H = !

J2

S!i S!j

i" j#but: transformer problème à N sites en problème à 1 site

Approximation champ moyen: faibles fluctuations spatiales

découplage champ moyen: S!i.S!j = S!i ! S!i( )+ S

!i

"#$

%&'. S!j ! S!j( )+ S

!j

"#$

%&'

= S!i ! S!i( ). S!j ! S!j( )+ S

!i ! S!i( ). S!j + S!j ! S!j( ). S!i + S!i S!j

second ordre: néglige

fluctuations autour de la moyenne

S!i.S!j = S!i. S!j + S!j. S!i ! S!i S!j

H = !J2

S!i S!j

i" j# $ !

J2

S!i. S!j + S!j. S!i ! S!i S!j

i" j#

S!i moyenne de Si sur N sites

J J

S!j

interaction spin-champ moyen

J>0

ferromagnétisme

HCM = !J S!i. S!j !

12S!i S!j

i" j#

HCM = !J S!i. S!j +

12J S

!i S!j

i" j#

i" j#

•  δ: premiers voisins dépend du réseau et dimensionnalité •  un seul type de site i: un seul champ moyen

HCM = !J S!i. S!i+! +

12J S

!i S!i+!

i,!"

i,!"

S!i+!δ δ

δ

δ

B!"m = !J S

"i+!

!

" #1gµB

champ moyen ou effectif

HCM = gµB S!i.B"!m +12J S

!i S!i+!

i,!!

i!

constante: 0 si para M2 si ferro

Ferromagnétisme: champ moyen

HCM = gµB S!i.B"!m +EM

i! •  assemblée de spin soumis à champ Bm

•  Bm dépend de Si: problème auto-cohérent

Transition ferromagnétique (B=0)

B!"m = !J S

"i+!

!

" #1gµB

=zJgµB

M!"!

M (T )Ms

= BS (x)

MS = S

M!"!= ! Si!"

Aimantation réduite

aimantation réduite à saturation

z: nombre de premiers voisins

cubique simple: z=6 carré: z=4 chaîne: z=2 a champ externe nul:

!"#$%&'()*+,*"&+)(*"$-*'+$(.*/"0")"#$%&'()*+,*"&+)(

!"# ! $"#

%&'()*+,-%.%)(*/

J BJ B J

B

g JBm T g J

k T

# ! # ! ! !,.*0 ,.*0# # # #J

J Jx x x

J J J J

x x

12+33.4+(-54(,*+.(/

5.2-3&2')-T 6742+)-3&89/-

# !:J B

B

Bm T g J J

k T

)55 !J Bm g J J

!"#$%&'()*+,*"&+)(*"$-*'+$(.*102(&"3*,'%3-&(+.(;

%&'()*+,-+.(

< <xy yz xzd

# # # #<:x y z rd

,2=;*&3-5+)3> # #x yd

# # # #

)55

?

# !

xy z xy zx y x y

B

d L d d L d

m S S

@4)(,0+('-.5-*0)-.2A+*&3-%.%)(*65.2-:>-*2&(;+*+.(-%)*&3-+.(;9/

x = !µBgBm = !zJM

M (T )Ms

= BS (!zJM )

problème auto-cohérent