0 gestion de portefeuille 3-203-99 albert lee chun la démonstration du modèle dévaluation des...

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Gestion de portefeuilleGestion de portefeuille3-203-993-203-99

Albert Lee ChunAlbert Lee Chun

La démonstration du La démonstration du modèle d’évaluation des modèle d’évaluation des

actifs financiersactifs financiers

SéancesSéances 6

2

Plan du cours Plan du cours

Séances 1 et 2 : L’environnement institutionnelSéances 1 et 2 : L’environnement institutionnel Séances 3, 4 et 5 Construction de portefeuillesSéances 3, 4 et 5 Construction de portefeuilles Séances Séances 66 et 7: et 7: Modèles d'évaluation des actifs Modèles d'évaluation des actifs financiers financiers Séance 8: Efficience de marchéSéance 8: Efficience de marché Séance 9: Gestion active d'un portefeuille d'actionsSéance 9: Gestion active d'un portefeuille d'actions Séance 10: Gestion de portefeuilles obligatairesSéance 10: Gestion de portefeuilles obligataires Séance 11: Mesures de performances des portefeuillesSéance 11: Mesures de performances des portefeuilles

Albert Lee Chun Portfolio Management 3

Plan du CoursPlan du Cours

Une preuve intéressante du MEDAFUne preuve intéressante du MEDAF MEDAF avec Zéro-Bêta (hors du plan de cours)MEDAF avec Zéro-Bêta (hors du plan de cours) Faire quelques exemplesFaire quelques exemples Faire une révision pour l’examen intraFaire une révision pour l’examen intra


Une preuve intéressante du MEDAF Une preuve intéressante du MEDAF


Le MEDAF dit :Le MEDAF dit :

Actif i

Ligne du marché

des capitaux

Pour tout actif i que nous choisissons, l’espérance de rendement est donnée par :

M

port

)E(R port

fR


Pourquoi le MEDAF fonctionne-t-il ?Pourquoi le MEDAF fonctionne-t-il ?

Actif i

P

La ligne verte trace l’ensemble des

portefeuilles P composé de l’actif i et du portefeuille

de marché (M)

MNous

retrouvons la ligne verte en faisant varier la pondération (w) de l’actif i

dans P

)E(R port

fR

port

Ligne du marché

des capitaux



Actif i

w = 1

PMw = 0 Avec w étant

la pondération de l’actif i

dans le portefeuille P

Remarquez que w=1 correspond à l’actif i et que w=0 correspond au

portefeuille de marché M

)E(R port

fR

port

Ligne du marché

des capitaux



Actif i

Pour chaque w, nous pouvons calculer l’espérance de

rendement et la variance du portefeuille P,

w = 1

PM

Se rappelant toujours que w est la pondération de l’actif i dans le portefeuille P

w = 0

)E(R port

fR

Ligne du marché

des capitaux



Actif i

Intuition: les lignes orange, bleue et verte se touchent toutes au

même point M. Pourquoi ?w = 1

P

Remarquez que la LMC (ligne orange) est

tangente aux courbes bleue et verte au point M

Mw = 0

)E(R port

fR

port

Ligne du marché

des capitaux



Actif i

Intuition: les lignes orange, bleue et verte se touchent toutes au

même point M. Pourquoi ?

Mw = 0

)E(R port

fR

port

La pente de la ligne verte à M est égale à la pente de la ligne

bleue à M qui est égale à la pente de la LMC (ligne

orange)!!

Ligne du marché

des capitaux



Actif i

La pente de la ligne verte à M est égale à la pente de la ligne

bleue à M qui est égale à la pente de la LMC (ligne

orange)!!

L’équation de la pente de la LMC est :

Mw = 0

)E(R port

fR

port

Ligne du marché

des capitaux



Actif i

Logiquement la pente de ces trois lignes au

point M est :

Mw = 0

(pente = pente = pente))E(R port

fR

Ligne du marché

des capitaux



Actif i

Mathématiquement la pente de la ligne verte au point M est :

Mw = 0Logiquement la pente de ces trois lignes au

point M est :

)E(R port

fR

port

Ligne du marché

des capitaux



Actif i

Nous pouvons aussi exprimer la pente de la ligne verte:

=

La pente de la ligne verte doit être égale

à la pente de la LMC au point M !

Mw = 0

)E(R port

fR

port

Ligne du marché

des capitaux


Preuve du MEDAFPreuve du MEDAF

=

Nous voulons trouver la pente de la

ligne verte en

dérivant ces équations à

w=0,

et en utilisant cette relation pour égaliser la pente (à w=0) à la

pente de la LMC


Preuve du MEDAFPreuve du MEDAF

Actif i

=

La ligne verte DOIT être égale à la pente de la LMC

Mw = 0

)E(R port

fR

port


Prenons quelques dérivées :Prenons quelques dérivées :

La dérivée de l’espérance de rendement par rapport à w


Prenons quelques dérivées :Prenons quelques dérivées :

La dérivée de l’écart type par rapport à w

Évaluer la dérivée à w = 0, ce qui représente le portefeuille de marché !


En égalisant les pentesEn égalisant les pentes

=

=


En égalisant les pentesEn égalisant les pentes

Actif i

Capital Market

Line

Mw = 0

)E(R port

fR

port


Maintenant isolons E(RMaintenant isolons E(Rii))

Hourra! Nous venons de prouver le MEDAF!


Nous venons tout juste de démontrer que:Nous venons tout juste de démontrer que:

Actif i

Peu importe l’actif i que nous choisissons, l’espérance de

rendement de cet actif est donnée par :

M

Et voilà! Nous venons de gagner un prix

Nobel!

)E(R port

fR

port


Modèle d’évaluation des actifs avec Modèle d’évaluation des actifs avec zéro-bétazéro-béta

( Pas dans le plan de cours: Mais, bien comprendre ce concept ( Pas dans le plan de cours: Mais, bien comprendre ce concept pourrait vous être utile pour différents problèmes à l’examen )pourrait vous être utile pour différents problèmes à l’examen )


Dans un monde sans actif sans-risque:Dans un monde sans actif sans-risque:

Dans ce monde sans actif sans-risque, est-il possible d’établir l’espérance de rendement d’un actif quelconque ?

Efficientfrontier

)E(R port

port


MEDAF Zéro-BétaMEDAF Zéro-Béta

Fisher Black (1972)Fisher Black (1972)

Il existe un portefeuille efficient qui n’est pas corrélé avec Il existe un portefeuille efficient qui n’est pas corrélé avec le portefeuille de marché et donc a un béta de zero. le portefeuille de marché et donc a un béta de zero.


Monde avec MEDAF Zéro-BétaMonde avec MEDAF Zéro-Béta

Efficientfrontier

Portefeuille Zéro-Béta

)E(R port

)E(R ZB


MEDAF Zéro-BétaMEDAF Zéro-Béta

Ligne de marché des

titres

)E(R port

)E(R M

)E(R ZB

0 0.1 Béta

Albert Lee Chun Portfolio Management

Exemple sur le MEDAFExemple sur le MEDAF

Supposons que nous avons ces deux actifs efficients risqués dans Supposons que nous avons ces deux actifs efficients risqués dans l’économie Eggbert:l’économie Eggbert:

ActifActif E(r) BétaE(r) Béta

EggEgg 0.070.07 0.50.5

BertBert 0.100.10 0.80.8

Sans connaître E(Rm) ou Rf.Sans connaître E(Rm) ou Rf.

Et supposons que Karina pense à acheter cet actif:Et supposons que Karina pense à acheter cet actif:

ActifActif E(r) BetaE(r) Beta

KarinaKarina 0.120.12 1.31.3

Devrait-t-elle acheter cet actif ?Devrait-t-elle acheter cet actif ?

28


Sous ou Sur évalué ?Sous ou Sur évalué ?

Béta0.10

Sous-évalué

Acheter !

Surévalué

Ne pas acheter ! (vendre)

fr

)E(ri

)E(rm

EggBert

Marché

Ligne du marché

des capitaux


Exemple MEDAFExemple MEDAF

Nous savons que les deux actifs efficients ont : Nous savons que les deux actifs efficients ont :

E(RE(REggEgg) = r) = rff + B + BEggEgg(E(R(E(Rm)m)- R- Rff))

E(RE(RBertBert) = rf + B) = rf + BBertBert(E(R(E(Rm)m)- R- Rff))

Si Karina est un actif efficient, nous avons:Si Karina est un actif efficient, nous avons:

E(RE(RKarinaKarina) = rf + B) = rf + BKarinaKarina(E(R(E(Rm) m) - R- Rff))

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Premièrement, trouvez les espérance de rendement du marché Premièrement, trouvez les espérance de rendement du marché et de l’actif sans risque en résolvant deux équations a et de l’actif sans risque en résolvant deux équations a

deux inconnus :deux inconnus :

E(RE(REggEgg) = (1- B) = (1- BEggEgg)) RRff + B + BEgg E(Egg E(RRm)m)

E(RE(RBertBert) = (1- B) = (1- BBertBert)) RRff + B + BBert E(Bert E(RRm)m)

Un peu d’algèbre :Un peu d’algèbre :

(E(R(E(REggEgg) - (1- B) - (1- BEggEgg) ) RfRf )/ B )/ BEggEgg = = (E(R(E(RBertBert) - (1- B) - (1- BBertBert) ) RfRf )/ B )/ BBertBert

RRff = = [[BBBertBert E(RE(REggEgg) - B) - BEgg Egg E(RE(RBertBert)]/ [B)]/ [BEggEgg(1-B(1-BBert Bert ) + B) + BBert Bert (1- B(1- BEggEgg) ]) ]

E(RE(Rm)m)= = (E(R(E(REggEgg) - (1- B) - (1- BEggEgg) ) RfRf )/ B )/ BEggEgg

31



32

Actif E(r) BetaEgg 0.07 0.50Bert 0.10 0.80Karina 0.16 1.30

Rf = Rf = [B[BBertBert E(RE(REggEgg) - B) - BEggEgg E(R E(RBertBert)]/[-B)]/[-BEggEgg(1-B(1-BBertBert ) + B ) + BBertBert (1- B (1- BEggEgg) ]) ]

= .02= .02

E(Rm)= E(Rm)= (E(R(E(REggEgg) - (1- B) - (1- BEggEgg) ) RfRf )/ B )/ Begg egg = .12= .12

E(RE(RKarinaKarina)) = rf + B = rf + BKarinaKarina(E(Rm) - Rf)(E(Rm) - Rf)

=.02 + 1.3*(.12 - .02) = =.02 + 1.3*(.12 - .02) = .15.15 < < .16.16


Sous ou Sur évalué ?Sous ou Sur évalué ?

Béta0.10

Sous-évalué

Acheter !

fr

)E(ri

)E(rm

EggBert

Marché

Karina

15%

16%Ligne du marché

des capitaux


Un autre exemple

État de l’économie

Probabilité Rendement Eggbert

Rendement Dingo

Taux sans risque

Mauvais 0.20 0.04 0.07 0.03

Bon 0.45 0.10 0.10 0.03

Excellent 0.35 0.22 0.19 0.03

Esperance de rendement

? ?

Variance ? ?

Coefficient de corrélation

avec le marché

0.712 0.842

Covariance avec le marché

0.0015 ?


Exemple

Si l’espérance de rendement du portefeuille de marché est de 9%

A) Déterminez la covariance entre l’espérance de rendement de Dingo et l’espérance de rendement de le portefeuille de marché.

B) Déterminez l’espérance de rendement de Dingo en utilisant le MEDAF. Recommanderiez-vous à un investisseur d’acheter des actions Dingo? Justifiez votre réponse.


Solution : Solution :

E(re) = 13,00% E(re) = 13,00% E(rd) = 12,55% E(rd) = 12,55% Var(re) = 0,004860 Var(re) = 0,004860 Var(rd) = 0,002365 Var(rd) = 0,002365 Écart type(re) = 0,069714 Écart type(re) = 0,069714 Écart type(rd) = 0,048629 Écart type(rd) = 0,048629 Écart type du marché = 0,030220 Écart type du marché = 0,030220 Variance du marché = 0,000913 Variance du marché = 0,000913 Covariance de Dingo avec le marché = 0,001237 Covariance de Dingo avec le marché = 0,001237 Beta de Dingo = 1,35 Beta de Dingo = 1,35 Espérance de rendement du marché= 9% Espérance de rendement du marché= 9% Espérance de rendement de Dingo avec le MEDAF:Espérance de rendement de Dingo avec le MEDAF: E(rd) = Rf + BetaDingo (Rm - Rf) = 11,13% E(rd) = Rf + BetaDingo (Rm - Rf) = 11,13% 12,55% > 11,13% - Achater!12,55% > 11,13% - Achater!

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Intra

Concentrez-vous sur les exemples que je vous ai donnés à faire à la maison et ceux faits en cours.

Comprenez non seulement les formules et leurs fonctionnements, mais aussi l’intuition derrière les formules.

Les acétates sont plus importants que les lectures du livre.

Concentrez-vous sur les acétates des séances 3 – 6

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