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LP214

2009-2010

Année universitaire 2009/2010

UE LP 214 : Fondements de la physique

T.D. n°1 : Travail, chaleur et 1er

principe

Exercice 1 : Premier principe

On considère un cycle ABCD effectué, de manière quasi statique, par n moles de gaz

parfait . Partant de A où la pression est P0 = 1 atm, le volume V0 = 10 litres et la température

T0 =300 K, le gaz subit une dilatation à pression constante jusqu'au point B où le volume a

doublé. Entre B et C, la dilatation se poursuit mais à température constante ; il atteint C avec

un volume triple de son volume initial V0. Entre C et D, on le laisse refroidir à volume

constant jusqu'à une température TD. Il revient ensuite à son état initial (point A) par une

compression adiabatique .

1) Calculer, en fonction de P0, V0, T0 et γ , les pression, volume et température aux points

B, C et D. Application numérique.

2) Faire la représentation graphique de ce cycle dans le diagramme (V, P) .

3) Donner les expressions des capacités thermiques molaires à volume et à pression

constante en fonction de R et γ.

4) Calculer, en fonction de P0, V0 et γ, le travail échangé par le gaz avec le milieu

extérieur au cours du cycle ABCDA. Justifier les signes obtenus pour chaque partie du

cycle. Application numérique.

5) Calculer, en fonction de P0, V0 et γ, la quantité de chaleur échangée par le gaz avec le

milieu extérieur pour chaque partie du cycle ABCDA. Application numérique.

6) Vérifier que la variation de l'énergie interne du gaz au cours du cycle est nulle

A.N. : γ = 1,47 ; 31,47 ≈ 5 ; ln(3/2) ≈ 0,4.

Exercice 2 : Cycle monotherme Une certaine quantité d’hélium (gaz monoatomique supposé parfait) subit le cycle

suivant :

– AB : transformation adiabatique ;

– BC : transformation isochore ;

– CA : transformation isotherme.

Toutes les transformations sont quasi-statiques.

Données : VA = 10 L ; PA = 105 Pa ; TA = 300 K; VB = 20 L ;

Pour toutes les questions, on donnera les expressions littérales des quantités demandées, et ce

uniquement en fonction de VA, PA, TA, VB et γ (γ = CP/CV).

1. Donner les expressions de PB, TB, VC, PC et TC. Tracer les courbes correspondant aux trois

transformations dans le diagramme (P,V). Applications numériques.

2. Calculer les travaux WAB, WBC, WCA et les quantités de chaleur QAB, QBC, QCA reçus par

le système au cours des transformations AB, BC et CA. Applications numériques.

3. Calculer le travail Wtot et la quantité de chaleur Qtot reçus par le système pendant tout le

cycle. Applications numériques. Ces résultats sont-ils cohérents ?



T.D. n°2 : Second principe, Entropie

Rappel : Le nombre de microétats Ω accessibles à un gaz parfait contenu dans une enceinte

de volume V est donné par la relation

NN UVC α=Ω , (formule de Boltzmann)

U étant l’énergie interne, N le nombre de molécules, C une constante et α = Cv / R (3/2 pour

un gaz monoatomique, 5/2 pour un gaz diatomique).

Exercice 1

Une masse m = 56 g de diazote (masse molaire 28 g/mol) est enfermée dans un cylindre

vertical de section s = 100 cm2 par un piston de masse M = 200 kg. On maintient le vide au-

dessus du piston. L'azote est à la température ambiante T1 = 300 K (état 1).

On prendra R = 25/3 J.K-1.mol-1. On supposera que l’accélération de la pesanteur est g =

10 m.s-2 pour les applications numériques.

1) Calculer Pp, la pression due au poids du piston, et n, le nombre de moles de ce gaz.

2) Calculer la pression et le volume dans l'état initial : P1, V1.

3) En utilisant la formule de Boltzmann, calculer pour toute transformation d'un gaz parfait

l'expression de la variation d'entropie en fonction des volumes et températures initiaux et

finaux.

4) Le piston et les parois sont considérés comme parfaitement diathermes : ils laissent passer

la chaleur et sont en contact avec un thermostat à la température T1. On verse très

progressivement une masse M’ = 200 kg de sable sur le piston pour arriver à l'état 2.

a) Calculer P2, V2, T2.

b) Calculer la chaleur Qg12 échangée avec le thermostat. En déduire la variation d'entropie

∆Sg12 du gaz.

c) Vérifier ce résultat à partir du résultat de la question 3.

d) Quelle est la variation d'entropie de l'extérieur (thermostat) : ∆Sth12 ? De l'ensemble

intérieur + extérieur = gaz + thermostat + piston : ∆Stot12 ? Conclusion ?

e) Représenter de façon précise les états 1 et 2 et la transformation 1-2 dans le

diagramme (V, P).

5) Toujours avec le même piston, on part de l'état 1 mais on verse le sable d'un seul coup sur

le piston, tellement rapidement que l'augmentation de masse du piston est considérée comme

instantanée. Une fois l’équilibre thermodynamique atteint, on arrive ainsi à l'état 3.

a) Calculer la température et la pression finale T3 et P3.

b) Quelle est la variation d'entropie du gaz ∆Sg13 ?

c) Calculer le travail Wg13 et la chaleur Qg13 échangés.

d) Quelle est la variation d'entropie de l'extérieur (thermostat) ∆Sth13 ?

e) Quelle est la variation d'entropie de l'univers (intérieur + extérieur) ? La

transformation 1-3 est elle réversible ?

6) Le piston et les parois sont maintenant totalement adiabatiques. On répète l'opération de la

question 4 pour arriver à l'état 4 .

a) Calculer P4, V4, T4. Placer le point 4 dans le diagramme (V, P).

b) Quelle est la chaleur Qg14 échangée ?

c) Quelle est la variation d’entropie ∆Sg14 du gaz ?

d) Quelle est la variation d'entropie de l'extérieur ?

e) Quelle est la variation d'entropie de l'univers (intérieur + extérieur) ? La

transformation 1-4 est-elle réversible ?

f) Représenter la transformation 1-4 dans le diagramme (V, P).

7) Toujours avec le piston et les parois adiabatiques, on répète maintenant l'opération de la

question 5 pour arriver à l'état 5.

a) Quelle est la pression finale P5 ? Que vaut la chaleur échangée Qg15 ?

b) Exprimer le travail Wg15 échangé de deux manières différentes en fonction de T1 et T5.

En déduire la température finale T5, puis le volume final V5.

c) Placer le point 5 sur le diagramme. Où est-il par rapport à la courbe adiabatique ?

d) Calculer la variation d'entropie du gaz ∆Sg15.

e) Quelle est la variation d'entropie de l'extérieur ?

f) Quelle est la variation d'entropie de l'univers (intérieur + extérieur) ? La

transformation 1-5 est-elle réversible ?

8) Partant de l'état 4, on laisse le gaz revenir à la température ambiante, sans enlever de sable.

Les parois ne sont plus adiabatiques mais la transformation est suffisamment lente pour être

considérée comme quasi-statique. On arrive ainsi à l'état 6.

a) Préciser la nature de la transformation. Quels seront l'état d'équilibre final et la

variation d'entropie ∆Sg46 correspondante ? Tracer la transformation 4-6 dans le

diagramme (V, P).

b) Calculer le travail échangé Wg46, puis la chaleur échangée Qg46.

c) Quelle est la variation d’entropie du thermostat, ∆Sth46 ?

d) La transformation est-elle réversible ?

Exercice 2 (facultatif)

Un cylindre est divisé en deux compartiments A et B par un piston qui peut se

déplacer sans frottement. Chacun des compartiments contient 20 litres d'un même gaz parfait

à 27°C et sous une pression de 1 atmosphère : VA = VB = 20 L, TA = TB = 27°C.

Dans le compartiment A, une résistance de capacité thermique négligeable est parcourue par

un courant électrique et l'on chauffe très lentement le gaz A jusqu'à ce que les caractéristiques

du gaz B soient les suivantes : température TB’ = 137,5°C, pression PB’ = 3 atmosphères. Les

parois du cylindre et le piston sont supposés rigoureusement imperméables à la chaleur.

1) Calculer :

a) Le nombre de moles contenues dans chaque compartiment, nA, nB.

b) Le volume final VB’ du gaz B.

c) Le rapport γ des capacités thermiques après avoir précisé la nature de la transformation

du gaz enfermé dans B. Donner la nature de ce gaz (monoatomique ou diatomique) ?

d) La température finale du gaz A, TA’.

e) La variation d'énergie interne du gaz B, ∆UB.

f) La variation d'énergie interne du gaz A, ∆UA.

g) L'énergie fournie par le courant électrique.

h) Le travail des forces appliquées au piston par le gaz A.

Donnée : R = 25/3 J/(K.mol).

2) On suppose que les transformations de A et B se font lentement. Pour simplifier, on

suppose également que le mode de chauffage par la résistance est réglé de telle manière

que la température de la résistance est fixe et égale à la température finale de A : la

résistance est donc équivalente à un thermostat de température T’A.

a) On considère le système formé du gaz B et du piston. Ce système est-il toujours à

l'équilibre pendant la transformation ? La transformation inverse vous semble-t-elle

possible ? En déduire la nature réversible ou irréversible de la transformation subie par B.

b) Mêmes questions pour le gaz A en considérant le système formé du gaz A, du piston et de

la résistance.

c) Calculer, pour une transformation adiabatique quasi-statique d’un gaz parfait, la relation

entre le volume et la température.

d) En utilisant la formule de Boltzmann, calculer littéralement ∆SA et ∆SB, variations

d'entropie des gaz A et B. Application numérique.

e) Considérer le système A + piston + résistance. Quelle est sa variation d'entropie ? On

calculera au préalable la variation d'entropie de la résistance. La transformation totale (de A

et B) est elle réversible ?

Solution de l’exercice II

1a) nA = nB = PAVA / (RTA) = 0,8 mole

1b) VB’ = nBRTB’ / PB’ ≈ 9,12.10-3 m3

1c) La transformation du gaz B est adiabatique quasistatique donc :

γ = ln (PB’ / PB) / ln(VB / VB’) = 1,4 = 7 / 5 donc le gaz est diatomique.

1d) VA’ = 40 – VB’ = 30,88 l

TA’ = PA’VA’ / (nAR) ≈ 1390 K

1e) ∆UB = nBCv(TB’ – TB) ≈ 1840 J

1f) ∆UA = nBCv(TA’ – TA) ≈ 18200 J

1g) ∆Utotal = Wtotal + Qtotal = ∆UA + ∆UB ≈ 20 000 J avec Wtotal = o car le volume total reste

constant.

1h) Du point de vue du gaz A on a :

∆UA = WA + QA d’où WA = ∆UA – QA = ∆UA - ∆Utot = - 1840 J

Du point de vue du gaz B on a :

∆UB = WB + QB avec QB = 0 ; d’où WB = ∆UB = 1840 J

Le travail des forces appliquées au piston est donc 1840 J

2a) Le gaz B et le piston sont toujours à l’équilibre si la compression est suffisamment lente.

La transformation est donc quasi-statique dans ce cas, et, de plus, elle semble réversible, car

on peut imaginer de détendre le gaz en tirant lentement sur le piston.

2b) Le gaz A et la résistance ne sont jamais à l’équilibre au cours du chauffage du gaz A, car

ils ont des températures différentes. La transformation n’est pas quasi-statique pour ce

système (elle n’est pas une suite d’états d’équilibres), donc elle est irréversible. Bien sûr, la

transformation est au total (gaz A, gaz B, résistance, piston) irréversible, comme on va le

montrer dans la suite de façon quantitative.

2c) T Vγ–1 = const.

2d) ∆SB = 0 (car B subit une transformation adiabatique quasi-statique).

∆SA = nR[ln(VA’/VA) + 5/2 ln(TA’/TA)] (A.N. : ∆SA= 28,5 J/K).

2e) ∆Spiston = 0 (c’est un isolant thermique parfait).

∆Srés = Qrés/Trés et Qrés = –QA (A.N. : ∆Srés = –14,4 J/K).

∆Stot > 0 (transformation irréversible).


Physique PSVP : Fondements de la physique

T.D. n°3 : Second principe ; Machines thermiques

Exercice 1 : Chauffage d’une serre

On considère que l’air est un gaz parfait et que toutes les transformations sont quasistatiques.

Quelle quantité de chaleur faut-il fournir à une serre de V0 = 50 m3 initialement sous une

pression P0 = 1 atm pour faire passer sa température de T0 = 0°C à Tf = 20°C.

a- à pression constante.

b- à volume constant.

On donne : Cv = 5 / 2 R et Cp =7 / 2 R ; R = 8,314 J.K–1. Mol –1

Exercice 2 :

Un gaz est enfermé dans un cylindre, fermé par un piston. A l'état initial, le gaz a une

température T0 = 300 K, un volume V0 = 1 l, une pression P0 = 105 Pa.

1) On le comprime de façon isotherme jusqu'à atteindre la pression P1 = 10P0 . Calculer le

volume final et les échanges de travail et de chaleur du gaz avec le milieu extérieur.

2) On le détend adiabatiquement, de façon réversible, de manière à le ramener à sa pression

initiale. Calculer à la fin de cette détente :

a- le volume final ;

b- l'abaissement de température ;

c- le travail fourni par le gaz et sa variation d'énergie interne.

On donne g = 7/5.

Exercice 3 :

On chauffe 380 g d’un gaz, dont l’énergie interne ne dépend que de la température, de façon à

élever sa température de 15° C à 125° C. Sachant que le gaz a reçu 424 calories, calculer le

travail fourni par le gaz dans la transformation ?. De quel type de transformation s’agit-il ?

Masse molaire du gaz : 29 g/mole.

Capacité calorifique à volume constant : 5 cal/mole/degré.

Exercice 4 :

1 m3 d’air (supposé gaz parfait ), à la pression P1 = 10 atm subit une détente isotherme ; la

pression finale étant P2 = 1 atm. Déterminer le travail et la quantité de chaleur échangés avec

le milieu extérieur ?

On rappelle que 1 atm = 105 N/m2.

Exercice 5 :

Pour maintenir la température intérieure d’un immeuble à 18°C, alors que la température est

de 5° C à l’extérieur, il faut lui fournir 50 thermies à l’heure (une thermie vaut 4,185 MJ).

Quelle est la puissance minimale consommée par une pompe de chaleur (qui effectuerait des

cycles de Carnot) pour assurer le chauffage ?

Exercice 6 :

Un réfrigérateur fonctionne suivant un cycle de Carnot entre –18° C et + 22° C. Calculer le

coefficient de performance de ce réfrigérateur.

Le réfrigérateur reçoit 1 kJ de la source froide, calculer le travail que l’on doit fournir ainsi

que la quantité de chaleur fournie à la source chaude.

Exercice 7

Une machine thermique met en jeu une masse constante d'un gaz parfait et lui fait décrire le

cycle suivant selon des transformations réversibles:

- Une compression isotherme qui fait passer le gaz de l'état A (pression 2 bar; volume 30 L ;

température 16°C) à l'état B (PB; VB = 6 L ; TB).

- Un échauffement isobare de l'état B à l'état C (PC ; VC = 18 L ; TC).

- Une détente adiabatique de l'état C à l'état D (PD ; VD ; TD).

- Un refroidissement isobare de l'état D à l'état A.

1. Calculer le nombre de moles gazeuses mises en jeu.

2. Calculer les variables d'état dans les états A, B, C et D.

-Reproduire et compléter, le tableau ci-dessous :

pression (Pa) volume (m3) température (K)

état A

état B

état C

état D

3. Représenter ce cycle dans le diagramme de Clapeyron (p, V).

4. Calculer le travail et la quantité de chaleur échangés au cours de la transformation de

l'état B à l'état C.

Données numériques : R = 8,31 J.K-1.mol-1.Cp = 29,1 J.K-1.mol-1.

γ = 1,4 pour le gaz considéré.

Exercices facultatifs :



T.D. n°4 : Potentiels thermodynamiques

On considère le système représenté sur la figure suivante :

x l0

Il s’agit d’un cylindre de section s. Il est séparé en deux compartiments par une paroi mobile. Le compartiment de gauche contient n moles d’un gaz parfait monoatomique ; le compartiment de droite, un ressort reliant la paroi de droite fixe et la paroi mobile. On note K la raideur du ressort et l sa longueur au repos. La longueur totale du cylindre est également l. Les abscisses de la paroi mobile sont repérées par la variable x ayant pour origine la paroi de gauche du cylindre. La masse de la paroi mobile est négligeable. Enfin, un mécanisme extérieur permet de bloquer la paroi mobile à n’importe quelle position arbitraire pour

lx <<0 . Les autres parois sont fixes, sauf pour quelques questions expressément précisées où la paroi de gauche peut être également mobile.

On prendra toujours pour système tout ce qu’il y a à l’intérieur du cylindre : gaz + ressort + paroi mobile. Le ressort sera considéré comme étant un sous-système purement mécanique, non thermodynamique ; il n’a donc pas d’entropie. Initialement, un opérateur extérieur maintient la paroi mobile à une position arbitraire x0 puis la lâche. Le système relaxe alors vers une position d’équilibre. Le but de ce problème est tout d’abord (partie I) de déterminer cet équilibre suivant les conditions extérieures imposées : volume et température fixés. On étudiera ensuite comment l’équilibre se déplace lorsque l’on fait varier ces conditions (partie II : variation de température).

Enfin, dans le cadre de deux exercices supplémentaires, on déterminera l’équilibre obtenu après relaxation en changeant les conditions extérieures :

A. Volume et énergie interne fixés. B. Pression et température fixées.

Données numériques : l = 2 m, s = 100 cm2, K = 1000 N m-1, R = 25/3 J K-1 mol-1, x0 = 1,5 m, n = 0,1 mol.

I. Relaxation vers un état d’équilibre à volume et température fixés

Le système est en contact avec un thermostat à la température T0. Toutes les parois sont parfaitement diathermes. À l’état initial, la paroi mobile est bloquée à 0xx = . On relâche

ensuite cette contrainte, laissant le système évoluer librement. Toutes les parois extérieures étant fixes, le volume V du système est fixe. La position x de la paroi mobile évolue vers une valeur d’équilibre x1.

1. En écrivant l’équilibre mécanique de la paroi mobile, déterminer la position d’équilibre x1. Application numérique pour T0 = 300 K.

2. Quel est le potentiel thermodynamique qui décrit le problème ?

3. Rappeler dans les variables température et volume l’expression de l’entropie du gaz parfait. En déduire l’expression de S(x).

4. Déterminer l’expression de l’énergie interne U(x) du système (gaz + ressort). 5. En déduire l’expression du potentiel thermodynamique. On l’exprimera en fonction de

x. En tracer l’allure et montrer qu’il existe bien une position d’équilibre x1. 6. Calculer cette position. Comparer avec le résultat de la question 1.

II. Modification de l’état d’équilibre

On modifie maintenant la température du thermostat, de T1 à T4. On déplace ainsi l’équilibre de (x1, T1=T0) à (x4, T4).

1. Calculer T4 pour que x4 = 2 x1. 2. Donner les expressions littérales des variations d’énergie interne du gaz,

14 ggg UUU −=∆ , ainsi que du ressort (énergie potentielle), 14 rrr UUU −=∆ . Les

exprimer en fonction de T4 et T1. Application numérique. 3. En fonction de T4 et T1, exprimer la quantité de chaleur Q fournie par la résistance.

Application numérique. 4. Expliciter, pour toute position d’équilibre intermédiaire 41 xxx ≤≤ , le volume

Vg(x), la température T(x) et la pression P(x) du gaz. Montrer que, pendant l’échauffement, on a toujours )()( xVCxP g= . Déterminer l’expression littérale de la constante C et vérifier l’homogénéité de la formule obtenue. Calculer numériquement Vg4 et P4.

5. Tracer en coordonnées de Clapeyron (Vg, P) la transformation 41→ . Déterminer le travail W14 reçu par le gaz. Application numérique.

III. Relaxation vers l’équilibre à volume et énergie fixés

Les parois diathermes sont maintenant remplacées par des parois parfaitement isolantes : le système ne peut donc pas échanger de chaleur avec l’extérieur. Le thermostat ne joue plus aucun rôle. On notera U l’énergie interne du système. La position initiale de la paroi interne est toujours x0 et la température initiale T0 = 300 K. On notera x2 la position d’équilibre finale.

1. En considérant simplement l’équilibre mécanique de la paroi mobile, quelle est la relation simple entre x2 et T2 ?

2. Quel est le potentiel thermodynamique qui décrit le problème ? 3. Rappeler l’expression de l’entropie du gaz parfait en fonction de son volume Vg et de

son énergie interne Ug. 4. Exprimer Vg et Ug en fonction de x et de U. 5. En déduire l’expression du potentiel thermodynamique en fonction de x. En tracer

l’allure et montrer qu’il existe bien une position d’équilibre x2. 6. Calculer cette position en fonction de U. 7. Utiliser ce dernier résultat pour exprimer simplement à l’équilibre Ug, puis T2 en

fonction de x2. Retrouve-t-on le résultat de la question A.1 ? 8. Application numérique : calculer x2 et T2. Retrouve-t-on le même résultat qu’en I ?

IV. Relaxation vers l’équilibre à pression et température fixées

La pression du gaz est maintenant maintenue constante en laissant la paroi de gauche coulisser librement dans le piston, l’extérieur étant à une pression P0 constante (par exemple la pression atmosphérique). On notera les positions des deux parois comme indiqué sur le schéma ci-dessous : l’origine ne change pas, la position de la paroi interne est toujours repérée par x et celle de la paroi externe de gauche par z. Les parois sont à nouveau complètement diathermes et l’ensemble est en contact avec un thermostat à la température T0 = 300 K. La

position initiale de la paroi interne est toujours x0. On notera x3 la position d’équilibre final de la paroi interne.

x l0z

P0

1. En considérant les équilibres mécaniques des deux parois mobiles, exprimer

simplement x3. Application numérique pour P0 = 1 atm. 2. Quel est le potentiel thermodynamique qui décrit le problème ? 3. Quelle est la variation du volume Vg du gaz ? Quelle est sa variation d’entropie ? 4. Exprimer alors simplement le potentiel thermodynamique en fonction de la seule

variable x ; on regroupera ensemble tous les termes constants. Tracer l’allure du potentiel et montrer qu’il existe bien une position d’équilibre x3.

5. Calculer cette position d’équilibre. Retrouve-t-on le résultat de la question B.1 ?

V. Exercices supplémentaires

A. On raisonne à volume et température fixes (comme en I). On considère la transformation de relaxation 10→ .

1. Sans calcul, comparer en valeur algébrique (c’est-à-dire en considérant les signes) la variation d’énergie libre du gaz gF∆ au travail Wg reçu par le gaz de la part du ressort.

2. Calculer gF∆ et Wg en fonction de x0 et x1. 3. Application numérique. Conclusion ?

Réponses : 1 : totSTWF ∆−=−∆ ; 3 : J275g =∆F , J1000g =W .

B. On considère ici que toutes les parois sont parfaitement isolantes (comme en III.A). Le

volume total reste fixe ; seule la paroi interne est mobile. Cette paroi est maintenant munie d’un robinet (de volume et capacité calorifique négligeables) permettant de faire passer du gaz dans le compartiment du ressort. La manipulation de ce robinet se fait sans apport de travail ni de chaleur.

x l0

Partant de l’état 2, on ouvre le robinet. On arrive ainsi à l’état 5. 1. Quel va être la position finale x5 de la paroi mobile intérieure ? 2. Calculer la température finale. 3. Quelle est la variation d’entropie totale associée à cette transformation ? Application

numérique. Cette transformation est-elle réversible ? Réponses : 2 : K120023

45 == TT ; 3 : J/K05,1tot =∆S .

C. On se place maintenant dans la configuration où la paroi de gauche est mobile (partie

III.B). Le système reste en contact avec le thermostat à la température T0. Partant de l’état 3, on repousse la paroi de gauche vers la droite. Calculer de deux manières le travail qu’il faut fournir pour aller à l’état 1 de manière quasi-statique.

Réponse :

+−⋅=

3

121

23

212

1 ln)(x

xxxxKW .



T.D. n°5 : Phénomènes de transport

Diffusion à travers une cellule — ordres de grandeur

On considère une macromolécule de coefficient de diffusion dans l’eau -127 s.cm 107 −×=D .

1. Calculer le temps moyen nécessaire à cette macromolécule pour traverser de part en part une cellule vivante assimilée à une sphère de diamètre 20 µm et constituée essentiellement d’eau.

2. Quel serait ce temps si la distance à traverser était de 1 cm ?

Diffusion en phase gazeuse

Un long tube vertical ouvert aux deux extrémités, de section s , est maintenu sur une cuve à eau (fermée) à température constante T. L’extrémité supérieure du tube est à la hauteur h au-dessus de la surface libre de l’eau. Lors de l’évaporation de l’eau, il s’établit le long du tube un régime stationnaire de diffusion de la vapeur d’eau dont on désigne par D le coefficient de diffusion dans l’air. Cette expérience permet de mesurer D . L’altitude z est comptée à partir de la surface libre de l’eau.

1. En quelles unités s’expriment un flux moléculaire et une densité jr

de flux moléculaire ?

2. Écrire la loi de Fick. 3. Pour quelle raison j

r est-elle uniforme dans tout le tube ?

4. Quelle est la forme mathématique générale de la concentration moléculaire )(zn ? 5. Un courant d’air approprié permet d’éliminer complètement l’eau évaporée au sommet

du tube tout en maintenant l’état stationnaire : 0)( =hn . Établir l’expression exacte de )(zn et représenter graphiquement son allure.

6. Déterminer l’expression de la densité de flux j . En déduire l’expression de D en fonction de j , h et )0(n . Vérifier l’homogénéité de la formule.

7. j est mesuré en posant l’ensemble du dispositif sur une balance et en mesurant l’évolution de la masse avec le temps. Connaissant la masse molaire M de l’eau,

relier la perte de masse par unité de temps dtdm à j .

8. À la température T (fixe) de l’expérience, la pression de vapeur saturante de l’eau est SP . En supposant qu’en 0=z le gaz est saturé en vapeur d’eau, exprimer )0(n en

fonction de SP et T .

z

h

courant

d’air

0

9. Combiner les différents résultats pour exprimer D en fonction de h , s , dtdm , SP , T

et M .

10. AN : calculer D , j et )0(n pour : K 300=T , cmHg 8.3=SP , 1mg.h 0.4 −=dtdm ,

1g.mol 18 −=M , 2cm 10=s , m 72.0=h , 11.molJ.K325 −−=R , 123 mol 1002.6 −×=AN .

Diffusion à travers une membrane

A. On considère une membrane de cellulose séparant deux solutions aqueuses. Un soluté peut diffuser à travers cette membrane. On note D le coefficient de diffusion à travers la cellulose. De part et d’autre de la membrane, les concentrations sont uniformes mais différentes : 1C et 2C . La membrane a une épaisseur x∆ qui est beaucoup plus petite que les autres dimensions (largeur, hauteur…), ce qui permet de considérer que la diffusion se fait suivant une seule direction, perpendiculairement à la membrane. Les abscisses seront comptées à partir du bord gauche de la membrane.

x∆1C 2C

nJr

)(xC

x0

1. Écrire la loi de Fick entre la densité de particules n et la densité de courant de

particules jr

à travers la membrane. 2. La récrire entre la concentration massique C et le flux net massique (appellation

usuelle en biologie) : nJr

.

Si la membrane est suffisamment mince, la concentration à son intérieur évolue toujours beaucoup plus vite que les concentrations extérieures 1C et 2C . Dans ce cas, la diffusion peut toujours être considérée en régime stationnaire.

3. Expliquer pourquoi en régime stationnaire nJ doit être uniforme (indépendant de x ). 4. Quelle est alors la forme mathématique générale de )(xC ? Déterminer son expression

précise sachant qu’elle doit vérifier les conditions aux limites : 1)0( CC = et

2)( CxC =∆ . La quantité x

DP∆

= est uniquement caractéristique de la membrane et est

appelée perméabilité. Exprimer nJ en fonction de P , 1C et 2C . B. On étudie maintenant une expérience où l’on fait diffuser à travers la membrane une espèce chimique globalement neutre : le permanganate de potassium (K2MnO4). La membrane est perméable à la fois à l’eau et au permanganate de potassium. La géométrie est la suivante : la membrane a une forme très approximativement cylindrique (un « boudin »), fixé en haut dans un support étanche. La surface S d’échange par diffusion entre les deux compartiments séparés par la membrane peut être mesurée. Dans le premier compartiment on introduit un volume 1V de solution de permanganate avec une concentration C0=C1(0). Le second contient initialement seulement un volume 2V d’eau pure. Le permanganate est introduit à 0=t et on suit l’évolution en fonction du temps des concentrations )(1 tC et )(2 tC

dans les deux compartiments. Le volume 2V est en pratique très grand et sera pris infini. La concentration 2C peut donc être considérée comme nulle pour toute l’expérience. À l’aide de la courbe )(1 tC , on peut calculer la perméabilité P de la membrane, soit à partir du flux net

initial )0(nJ , soit en utilisant toute la courbe )(1 tC .

boudin de cellulose

de surface S

V2

permanganate introduit à l’instant initial

V1

5. Donner l’expression du flux net massique nJ en fonction de dt

dm1 (masse de soluté

passant par unité de temps à travers la membrane du compartiment 1 vers le compartiment 2), m1 étant la masse de soluté dans V1.

6. Exprimer dtdm en fonction de la concentration )(1 tC et du volume 1V .

7. Combiner les résultats des questions 4, 5 et 6 pour établir l’équation différentielle vérifiée par )(1 tC .

8. Résoudre cette équation différentielle en tenant compte de la condition initiale. Quelle est la constante de temps τ d’évolution de )(1 tC ? Représenter graphiquement l’allure

de )(1 tC . Comment mesurer une valeur approximative de τ à partir de cette courbe ? Quelle est la concentration au temps τ=t ?

9. Montrer que la perméabilité peut être évaluée à partir du flux net initial )0(nJ .

10. Comment représenter graphiquement les données )(1 tC pour mesurer précisément la perméabilité P ?

11. Application numérique : ouvert et mis à plat à la fin de l’expérience, le boudin est un rectangle de 7 cm sur 7 cm ; le volume 1V introduit vaut 20 ml et la concentration 0C vaut 0.5 g/l. Le permanganate de potassium a une masse molaire de -1g.mol 197 .

a. Les cinq premières minutes de l’expérience permettent de faire une estimation

de la pente à l’origine : 11-41 .sg.l 105.1 −−×−=dt

dC . Calculer le débit massique

initial ( )0=tdt

dm , le flux net massique initial )0(nJ et la perméabilité P .

b. Les données enregistrées soigneusement pendant une heure donnent une constante de temps de 50 minutes. Quelle est la valeur de P correspondante ? Est-elle proche de celle obtenue à l’aide de la pente à l’origine ? Quelle doit être la valeur de )(1 τ=tC ?

12. Dans toutes les questions qui précèdent, on a considéré que le volume 2V est infini. En pratique il ne l’est pas : ml 7502 =V . Calculer dans ce cas la concentration à l’équilibre. L’approximation des questions précédentes est-elle justifiée ?

Bilan respiratoire en carbone (facultatif)

On se propose d'évaluer grossièrement la quantité de carbone évacuée par la respiration, sous forme de dioxyde CO2. On suppose que l'air inspiré et l'air expiré sont à la même pression P0 = 105 Pa, et à la même température θ0 = 27°C. L'air expiré contient du CO2 gazeux à la pression partielle Pl = P0/20, l'air inspiré n'en contient pratiquement pas. Tous deux sont assimilables à des gaz parfaits. On prendra les valeurs numériques suivantes : NA = 6×1023, R = 25/3 (S.I.), masses atomiques (en u.m.a.) : C = 12 ; O = 16.

Sans mouvement respiratoire

On veut évaluer la quantité de CO2 qui serait évacuée sans mouvements respiratoires par diffusion le long des bronches. On modélise le système de la façon suivante : On suppose que la pression partielle en CO2 dans le poumon est maintenue constante (égale à Pl). Les molécules de CO2, de densité n, diffusent le long de la bronche. On note D le coefficient de diffusion de CO2 dans l’air.

1. Relier n1 (valeur de n dans le poumon) à Pl.

2. Écrire la loi de Fick dans la bronche, entre la densité de flux jr

et dxdn .

3. Un régime permanent s’établit dans la bronche. On suppose que 0=n à l’autre

extrémité de la bronche ; en déduire dxdn .

4. Exprimer, d’une part, j en fonction de n1, D et L et, d’autre, part K, le nombre de moles de CO2 qui s’échappent à l’extérieur par unité de temps, en fonction de j et S ; en déduire K en fonction de P1, des paramètres géométriques et des constantes physiques.

5. Calculer numériquement la masse de carbone évacuée par minute de cette façon, avec 125 .sm 104.1 −−×=D , L = 6 cm, S = 10 cm2.

Eléments de solution : hmgKMmLRT

SDPK

L

n

dx

dncc /20;;

.11 ===−=

Avec mouvements respiratoires

On va évaluer la quantité de carbone évacuée par les mouvements respiratoires. Les poumons (avant expiration) sont assimilés à un récipient de volume V = 5 litres.

6. Calculer xl, le nombre de moles de CO2 qui y sont contenues, ainsi que leur masse. Application numérique.

7. Il y a 10 respirations par minute ; à chacune, un volume Ve = 1 litre est expiré. Calculer la masse de carbone évacuée par minute par la respiration.

8. Comparer avec le résultat obtenu en 5.

Eléments de solutions : hgmmolx c /4,11;10.

21 ==

− x

Volume V

poumon

bronche

longueur L, section S

air extérieur

0 x

i



T.D. n°6 : Osmose – Transition de phase

Osmose :

I. Un tube en U de section s est muni dans sa partie coudée d’une membrane semi-perméable ne laissant passer que les molécules d’eau. Initialement, la branche de droite du tube contient un volume V0 d’eau, la branche de gauche un volume V0 d’une solution aqueuse diluée contenant m grammes de protéine non dissociable. À l’équilibre, la dénivellation entre les deux surfaces libres est h0. La température extérieure T0 et la pression extérieure P0 sont constantes.

membrane

État initial État final

h0

1. Déterminer à l’équilibre la concentration molaire C. Application numérique. 2. Déterminer la masse molaire M de la protéine. Application numérique. 3. On veut faire revenir les deux surfaces libres dans le même plan horizontal. Quelle

masse m’ de Na2SO4 supposé totalement dissocié faut-il verser dans le tube de droite ? Données numériques : ρeau = 1 g/cm3 ; h0 = 10 cm ; V0 = 1,15 L ; m = 35 g ; M’(Na2SO4) = 142 g/mol ; T0 = 300 K ; R = 25/3 J/mol/K ; s = 20 cm2 ; g = 10 m/s2.

II. Deux milieux A et B sont séparés par une paroi dont les propriété sont les suivantes : – parfaitement perméable à l’eau et à l’urée – parfaitement imperméable au NaCl.

Décrire les phénomènes observés dans les

expériences suivantes (à 300 K) et calculer dans chaque cas la dénivellation h. On se placera dans le cas où le volume du tube B est beaucoup plus petit que celui de la cuve A, de sorte que ce dernier ne varie pas. Les concentrations données sont celles à l’équilibre :

1. A : eau pure ; B : eau pure. 2. On rajoute de l’urée en A et on attend que le

système soit à l’équilibre.

A

B

membrane

3. A : eau + NaCl (0,09 g/L); B : eau 4. A : eau + NaCl (0,03 g/L) ; B : eau + NaCl (0,09 g/L).

Données : masse molaire NaCl : 58,5 g/mol densité eau : 1000 g/L;

Transition de phase :

I. À 0°C, les chaleurs latentes de fusion, de sublimation et de vaporisation de l'eau sont

respectivement

– Lf = 335 kJ/kg ,

– Ls = 2710 kJ/kg,

– Lv = 2400 kJ/kg.

La température et la pression au point triple sont θ = 0,01°C ≈ 0°C et P0= 610 Pa.

Données (à 0°C) : – masse volumique de l'eau liquide : 33 mkg10 −⋅=

lρ ;

– masse volumique de la vapeur d'eau : 33v mkg109,4 −− ⋅⋅=ρ ;

– masse volumique de la glace : 3s mkg915 −⋅=ρ .

1. Calculer, au point triple, les pentes des courbes de fusion, de vaporisation et de sublimation

de l'eau dans le diagramme (P, T) .

2. La courbe de vaporisation est de la forme

T

b

aP

−

= e avec b = 5200 K.

Déterminer a.

3. Représenter l'allure de ces courbes dans le diagramme (P, T).

II. – AUTOCUISEUR Un autocuiseur est rempli d’air à la pression atmosphérique P0= 105 Pa ; la température ambiante est θ0 = 20°C. On introduit de l’eau et, après avoir fermé hermétiquement le couvercle, on élève tout doucement la température à l’aide d’une résistance électrique. La pression est limitée par un dispositif (soupape de sécurité) qui permet aux gaz de s’échapper lorsqu’elle atteint la valeur Pm. On néglige les variations de volume du liquide à l’intérieur de l’autocuiseur. Données : W = 300 watts ; L = 2300 J/g ; Pvs(423 K) = 4,7.105Pa ; Pvs(293 K) = 2800 Pa.

1. Donner, en fonction de la température T, l’expression de la pression Pi qui règne dans

l’enceinte tant que la soupape ne se soulève pas.

2. En déduire que l’ébullition ne peut avoir lieu.

3. Donner l’équation déterminant l’équilibre entre Pi et Pm lorsque la soupape se soulève.

4. Une fois la soupape soulevée, les gaz commencent à sortir. Lorsque tout l’air est évacué

de la cocotte, la température se stabilise. Pourquoi ?

Quelle valeur doit avoir Pm pour que la température ne dépasse pas Tm = 423 K ?

5. La température étant stabilisée, la puissance électrique est réglée à E0 + E, où E0 est la

puissance électrique nécessaire pour compenser les pertes thermiques. Quelle est la masse de vapeur vm& qui s’échappe par seconde ?

6. La pièce dans laquelle on opère a un volume V = 30 m3. Lorsque la température est

stabilisée (on prend cet instant comme origine des temps t), le taux d’humidité dans la

pièce est de α(t = 0) = 25% (on rappelle que le taux d’humidité est le rapport entre la

pression de vapeur régnant dans la pièce et la pression de vapeur saturante à la même

température).

Quel sera le taux d’humidité α(t) dans la pièce au bout d’une demi-heure de

fonctionnement ?

Quelle quantité d’eau mc(t) s’est condensée dans la pièce au bout d’une heure de

fonctionnement ? Après deux heures de fonctionnement ?



T.D. n°7 : Optique géométrique

I. Mesure d’une distance focale : méthodes de Bressel et Silbermann

L’objet AB et l’écran étant fixes et distants de D sur le banc optique, on cherche à obtenir une

image nette A’B’ sur l’écran à l’aide d’une lentille convergente L, de centre optique O et de

distance focale f’ inconnue.

1) Méthode de Bressel :

- Montrer que si D > 4f’ , il existe daux positions O1 et O2 de L pour lesquelles

on observe une image nette de l’objet sur l’écran

- Exprimer alors f’ en fonction de D et d = O1O2

2) Méthode de Silbermann :

- En agissant simultanément sur la position de l’écran (D n’est pas invariable) et

de la lentille L, on peut réaliser une image A’B’ égale en grandeur mais

inversée par rapport à AB.

- Déterminez, dans ce cas, f’ en fonction de D.

II. Etude d’une fibre optique cylindrique

1)

a) On considère une milieu transparent et isotrope formé de

couches homogènes séparées par des dioptres plans

parallèles.

Un rayon lumineux R se propageant dans ce milieu, on fait

avec Oy la normale commune aux dioptres, un angle ip dans

la pième couche dont l’indice est np. (voir figure)

Montrer que la trajectoire du rayon R est plane

Ecrire la relation liant np, np+1, ip et ip+1.

En déduire un invariant de la propagation.

b) Un rayon lumineux R se propage dans un milieu

transparent et isotrope dont l’indice n varie continûment ;

les surfaces équi-indices sont des plans d’équation y = cte.

On désigne par i l’angle que fait la tangente en M au rayon

avec Oy (voir figure). Montrer que la quantité n.sin(i) est

invariante le long du trajet du rayon lumineux.

d D

B

A A’

O R

R

2)

Une fibre optique cylindrique d’axe Ox est constituée d’un

cœur transparent, homogène et isotrope, d’indice de

réfraction n1, entouré d’une gaine, elle aussi transparente,

homogène et isotrope, dont l’indice de réfraction n2 est

inférieur à n1. (voir figure). On désigne par r le rayon du

cœur.

Soit un rayon lumineux R situé dans un plan contenant l’axe

Ox.

a) Montrer que R ne peut se propager à l’intérieur de la fibre

que si l’angle d’incidence i est supérieur à un angle i0 que

l’on déterminera en fonction de n1 et n2.

Préciser les caractéristiques géométriques du rayon R.

b) La face d’entrée (ε) de la fibre est plane et normale à

l’axe Ox. On désigne par θ l’angle que fait dans l’air

(d’indice N) le rayon R avec la normale à (ε).

Déterminer en fonction de n1, n2 et N l’angle θ0

correspondant à i0.

On donne : N = 1,00 ; n1 = 1,50 et 990

1

2 ,=n

n

Calculer i0 et θ0.

3)

On suppose à présent que l’indice du cœur varie

continûment lorsque l’on s’éloigne de l’axe de la fibre ; à la

distance y de cet axe l’indice a pour valeur : 2

01yann .−=

a) Sachant que n1 prend la valeur n2 pour y = r, déterminer,

dans cette expression de n1, la valeur de « a » en fonction de

n0, n2 et r.

b) Un rayon lumineux R passant par O se propage dans le plan xOy.

En M, la tangente à R fait avec le vecteur unitaire x

ur

un angle α (22

π<α<

π− ), voir

figure.

Montrer, en utilisant le résultat de la question 1b, que l’on peut écrire : An =α)cos(.1

où A

est une constante que l’on exprimera en fonction de n0 et α0.

c) Montrer que le trajet du rayon R dans le cœur de la fibre est défini par l’équation

différentielle :

1

2

1

2

−

=

A

n

dx

dy

d) Sachant que 990

0

2 ,=n

n, montrer que l’on peut négliger le terme

2

0

2

n

aydans l’équation

précédente. En déduire une expression simplifiée de 2

dx

dyen fonction de α0, n0, a et y.

R

r

R

e) Intégrer l’équation différentielle simplifiée et donner l’équation y = f(x) du trajet du

rayon lumineux R. On exprimera y en fonction de x, a, α0 et n0 dans le cas où α0 > 0.

f) Montrer que R coupe l’axe Ox en des points régulièrement espacés ; déterminer la

distance d séparant deux point consécutifs.

g) On impose au rayon lumineux R de se propager dans le cœur de la fibre dont le rayon

est r. Quelle est alors la condition portant sur l’angle α0 ?

AN. : r = 25 µm ; n0 = 1,50 ; 990

0

2 ,=n

n

Calculer la valeur maximale de l’angle α0 définie par la condition précédente ainsi que la

valeur de d correspondante.

h) La grande directivité d’un laser permet de donner à l’angle α0 des valeurs inférieures à

10-3 rad. Quelle conclusion peut-on en tirer ?



T.D. n°8 : Interférences

Exercice 1 : Fentes d’Young

Une fente source rectangulaire très fine F, dont la grande dimension est perpendiculaire au

plan de la figure, est placée au foyer objet d’une lentille mince convergente L1. Cette lentille

est perpendiculaire à l’axe zz’, qui passe en son centre en O1. La fente source émet une

radiation monochromatique de longueur d’onde λ. A la sortie de L1 est placé un écran opaque

E perpendiculaire à zz’ et percé de deux fentes rectangulaires très fines F1 et F2 distantes de l.

Ces fentes sont parallèles à la source F (grande dimension perpendiculaire au plan de la

figure) et symétrique par rapport à zz’. La lumière diffractée par les fentes F1 et F2 est reçue

par une seconde lentille mince convergente L2 qui, comme L1, est perpendiculaire à zz’ qui

passe en son centre en O1. Les phénomènes obtenus sont observés sur un plan P

perpendiculaire à zz’ en M0 et situé dans le plan focal image de la lentille L2.

La distance l entre les fentes F1 et F2 est très petite devant la distance focale f2 de la lentille

L2 : l << f2.

z'F

O1

f 1

F1

F2

E

l

L1

O2

L2

f 2

x

M

x

M0

P

z

Le dispositif expérimental, représenté ci-dessus, est placé dans le vide.

1) Expliquez pourquoi est-ce que l’on obtient des franges d’interférence au voisinage de

M0. Tracez les deux rayons qui interfèrent en M.

2) Déterminez quelle est l’expression de l’interfrange i en fonction de l, f2 et λ.

Application numérique : on donne l = 5,0 cm ; f2 = 1,0 m et λ = 0,5461 µm.

Sur le trajet des rayons diffractés par F1 et F2, on place maintenant deux dispositife identiques,

T1 et T2, constitués de deux tubes de longueur d fermés par des lames transparentes et à faces

parallèles. Ces deux tubes sont parallèles à zz’ et leurs axes sont distants de l et symétrique

par rapport à zz’ (voir figure ci-dessous).

3) Le tube T1 est rempli d’un gaz transparent d’indice n0 et le tube T2 d’un gaz d’indice n.

Quelle est la différence de marche entre les deux rayons qui interfèrent en M0 ?

4) Lorsque n = n0, on obtient une frange brillante en M0 (france centrale). Pour quelles

valeurs de la différence (n - n0) cette frange brillante est-elle remplacée, en M0, par

l’une de deux franges sombres directement voisines de la frange centrale ? Dans quel

sens se déplace la frange centrale selon les valeurs (n - n0) obtenues ?

5) Calculez les valeurs de (n - n0) lorsque d = 10 cm et λ = 0,5461 µm.

z'

F

O1

f 1

F1

F2

E

l

L1

O2

L2

f 2

x

M0

P

z

T1

T2

d

n0

n

Exercice 2 : Demi-lentilles de Billet

Une lentille convergente de distance focale f’ = 25 cm a été scindée suivant le plan de l’axe

optique en deux demi-lentilles C1L1 et C2L2 :

S

L1

L2

C1

C2

écran 50 cm 100 cm

Les deux demi-lentilles sont distantes l’une de l’autres de C1C2 = 1,2 mm et donnent

respectivement les images réelles S’1 et S’2 d’une fente source S perpendiculaire au plan de la

figure, située à 50 cm des demi-lentilles et éclairée par une source monochromatique de

longueur d’onde λ = 0,55 µm (l’ensemble du système admet un plan de la figure comme plan

de symétrie, et est placé dans le vide).

1) Précisez les positions de l’écartement des images S’1 et S’2 de la fente S.

2) Calculez le nombre de franges brillantes observées sur l’écran placé

perpendiculairement à l’axe optique à 100 cm des demi-lentilles.

Exercice 3 : Spectre cannelé

Soit le montage ci-dessous. Les sources S1 et S2 sont ponctuelles et cohérentes. Elles émettent.

Elles émettent la même lumière blanche composée d’une infinité de radiation ayant toutes les

longueurs d’onde entre 0,4 et 0,75 µm.

x

M

l O

écran

D

spectroscope

à prisme

spectre

cannelé

On donne l = 1 m, D = 1 m et x = 5 mm. Déterminez le nombre et la longueur d’onde des

cannelures observées dans le spectre mesuré sur le spectromètre à prisme.



T.D. n°9 : Réseaux

Exercice 1 : Dispersion de la lumière blanche par un spectrographe à réseau

Un réseau de pas h = 4 µm (250 traits/mm) reçoit un faisceau de lumière blanche de longeurs

d’onde : 400 nm < λ < 750 nm. Etudions le spectre diffracté d’ordre 1.

Une lentille convergente L de distance focale f’ = 0,8 m est placée perpendiculairement à la

normale au réseau (voir figure). Le faisceau émergent est recueilli sur une plaque

photographique dans le plan focal de L.

O

L

f'

F'

plaque photo Réseau

i

+

1) Quel est l’angle d’incidence i pour lequel le faisceau émergent d’ordre 1 de longeur

d’onde λ0 = 600 nm converge en F’ ?

2) Déterminez les distances entre F’ et les raies associées aux radiations extrêmes du

spectre.

Exercice 2 : Réseau par réflexion - Effet Doppler

Un réseau par réflexion comporte N’ traits tracés sur une surface métallique réfléchissante et

séparés par a = 2µm. L’étude du réseau par réflexion peut s’effectuer de façon identique à

celle du réseau par transmission, les fentes fines du réseau devenant des miroirs fins

diffractant la lumière vers le même demi-espace que l’onde incidente.

1) Ce réseau est éclairé par un faisceau parallèle de lumière monochromatique (λE =

526,9 nm).

On appelle i l’angle d’incidence (entre la normale au réseau et le faisceau incident) et i’

l’angle de diffraction (entre la normale au réseau et le faisceau diffracté). Ces angles sont

définis algébriquement relativement à la normale au réseau.

a) Considérant deux rayons diffractée, notés 1 et 2, déterminer la phase ϕ du

rayon 2 par rapport au rayon 1. La convention sur le signe de ϕ sera telle que ϕ

sera négatif pour i et i’ positifs.

Donner la relation entre i’k, i et l’ordre k d’un maximum principal pour une

longueur d’onde λ.

b) On veut que la direction d’incidence corresponde à la direction d’un maximum

principal d’ordre k pour la longueur d’onde λE : i = i’k.

On désire également que cette valeur k soit maximale, sa valeur est alors notée

kM.

Calculer kM et la valeur de i correspondante.

2) Le réseau est placé dans la position correspondant à la valeur de i calculée ci-dessus.

On réalise alors le montage donné sur la figure ci-dessous. La lame semi-transparente

permet d’utiliser une seule lentille convergente L de distance focale f’= 100 cm pour

observer le spectre dans le plan focal de celle-ci.

y'

y

F'

F L

i

réseau +

On projette sur la fente du spectroscope une image du Soleil de sorte que son diamètre

équatorial se trouve exactement sur la fente. On suppose que le spectroscope ne

possède pas de vitesse radiale par rapport au centre du Soleil. Le rayon de ce dernier

est r = 700 000 km et sa période de rotation est T qui vaut environ 27 jours.

Remarquons que l’extrémité B correspond à l’image du bord équatorial se rapprochant

et l’extrémité D à celle du bord équatorial s’éloignant de l’observateur (voir figure ci-

dessous).

B DS

ωωωω

B DS

Fente = plan équatorial

a) Calculer la vitesse radiale des deux bords équatoriaux du Soleil.

b) Application : mise en évidence de l’effet Doppler-Fizeau.

La longueur d’onde d’un objet émettant une radiation de longueur d’onde

λE lorsqu’il est au repos devient )//()/(' ccE

ν+ν−=λ 11 quand il se

déplace radialement par rapport à l’observateur à la vitesse ν comptée

positivement quand il se rapproche de celui-ci ; c désigne la célérité de la

lumière et on prendra c = 3.108 ms-1.

Calculer le décalage de longueur d’onde ±∆λ correspondant à l’effet

Doppler-Fizeau aux points B et D pour la longueur d’onde λE.

Donner l’allulre de la raie B’D’ observée pour la longueur d’onde λE à

l’ordre kM.

c) Calculer la distance angulaire ∆i’M et linéaire ∆yM entre B’ et D’.

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