YORGO XUDOUS

STRUCTURE DES LOIS DE CONSERVATION DANS LES CHAÎNES DE SPINS AVEC INTERACTIONS À LONGUE PORTÉE

Mémoire présenté

à la Faculté des études supérieures de 17Université Laval

pour l'obtention du grade de maître ès sciences (MSc.)

Département de physique FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE

UNIVERSITÉ LAVAL

OYorgo Xudous, 1998

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AVANT-PROPOS

Je tiens tout d'abord à remercier mon directeur de thèse, le professeur Pierre Mathieu, dont le talent et les qualit& humaines m'ont permis de réaliser cet ou- vrage dans un contexte idéal. Je remercie aussi Frédéric Lesage pour son temps et ses précieux conseils.

J7aimerais aussi profiter de cette occasion pour souligner ma gratitude envers mes amis du département de physique ainsi que ceux de De Vins, avec une men- tion spéciale pour Patrick Jacob et Annie Galameau, qui m'ont tous deux aidé directement avec les dépôts.

Finalement, je remercie mes parents et mon bère pour leur grande compréhension à l'égard de mon travail.

Table des matières

Introduction

1 Intégrabilité et Lois de Conservation 3

1.1 Systèmes Hamiltoniens Classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Systèmes Hamïitoniens Quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Modèles Dynamiques Intégrables 10

2.1 Modèle Classique de Calogero-Sutherland . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 L'Espace de Spin su(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 La Représentation de Ge-Wang . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Modèle de Sutherland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . 22

2.5 Modèle de Calogero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6 Modèle de Calogero Confiné . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Chaînes de Spins Intégrables 27

3.1 Calcul Direct des Lois de Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Modèle de Haldane-Shastry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Modèle de Frahm-Polychronakos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Conclusion 53

Appendice A 54

Appendice B 58

Références 61

Introduction

Depuis la découverte de la loi de gravitiation universelle, l'étude des systèmes à N corps n'a cessé d'occupper une place centrale en physique mathématique. L'actualité permanente de ce problème est due en partie à ses applications nom- breuses pour la description de phénomènes physiques fondamentaux, mais aussi à sa complexité effarante. En effet, depuis Poincaré et l'avènement da chaos, on sait que la majorité des systèmes dynamiques possèdent des solutions dont la dépendance envers les conditions initiales est telle que le comportement du système ne peut être décrit analytiquement. Les systèmes intégrables, qui peuvent en prin- cipe être solutionnés analytiquement? représentent donc une véritable exception à la règle, une perle de simplicité dans un monde chaotique. Cette découverte de Poincaré a découragé la quête de systèmes intégrables pendant la majeure partie du 2oème siècle.

Par contre, cet état de choses a basculé dans les années 1970 avec la découverte de la méthode de diffusion inverse [7]. Cette méthode, qui peut être considérée comme une généralisation de la transformée de Fourier, a en effet permis de so- lutionner de nombreux systèmes non-héaires, exposant alors une richesse phé- noménale inattendue. Par exemple, l'application de ce formalisme à l'équation de Korteweg-De Vries a directement mené à la découverte des solitons, qui ont véritablement révolutionné la physique mathématique. Dès lors, l'étude des sys- tèmes intégrables est devenu un puissant principe directeur en physique mathéma- tique.

C'est dans cette optique que nous nous proposons ici d'étudier l'intégrabilité d'un type particulier de système à N corps: les chaînes de spins. Ces systèmes quantiques sont constitués de N particules fixées sur un réseau unidimensionnel et n'interagissant que par le biais de leur degré de liberté de spin. Mis à part leur intérêt mathématique intrinsèque, certains de ces systèmes ont aussi trouvé des applications physiques directes en matière condensée. Par exemple, le modèle de Hubbûrd a déjà été utilisé avec succès pour élaborer de nouveaux mécanismes de supraconductivité à haute température. Pendant de nombreuse. années, ces systèmes intégrables hirent restreints à ne comporter que des interactions entre plus proches voisins. Toutefois, il ht récemment découvert certains modèles de chaînes de spins intégrables comportant des interactions à longue portée, dont le modèle de Haldane-Shastry et le modèle de Frahm-Polychronakos. C'est ce dernier modèle qui constituera le point de mire de notre étude.

M n d'étudier l'intégrabilité du modèle de Frahm-Polychronakcq nous pren- drons d'abord un point de vue plus général et discuterons de l'intégrabilité des systèmes hamiltoniens. Nous verrons alors que les lois de conservation sont au coeur de l'intégrabilité de ces sptèmes et exposerons des outils puissants permet-

tant de générer des ensembles de lois conservées- Ensuite, nous présenterons l'étude de modèles dynamiques intégrables, dans lesquek les particules sont libres de se mouvoir dans un espace unidimensionnel. Finalement, nous déhirons les chaînes de spins de Haldane-Shastry et F'rhm-Polchronakos à partir de ces modèles dy- namiques, une procédure qui nous permettra d'élucider la structure des lois de conservation de ces chaînes de spins.

I INTÉGRABEITÉET

1 Intégrabilité

LOIS DE CONSERVATION

et Lois de Conservation

1.1 Systèmes HamiIt oniens Classiques

Définitions

L'intégrabilité est un concept qui, jusqu7à maintenant, n'a pu être défini de façon définitive et générale: il en existe dans la littérature plusieurs définitions, dont la vaiidité dépend du type de système considéré. Par contre, la notion d'in- tégrabilité peut être bien définie si l'on se restreint à la description de systèmes hamiltoniens. En mécanique classique, un système hamihonien S à n degrés de liberté est dénoté S {!R2", { , } , H) . Ici, 8" représente l'espace de phase sous-tendu par l'ensemble {(q,p)) des n coordonnées généralisées et leurs moments cano- niques, {, } représente le crochet de Poisson , défini pour toutes fonctions f (q, p, t ) et dq, P7 t ) Par

et H représente l1Hamiltonien du système, en termes duquel l'évolution temporelle de toute fonction f (q, p, t) est régie par l'équation canonique

Pour de tels systèmes, l'intégrabilité est garantie par le théorème de Liouville

Théorème de Liouville (classique). Soit s{!R2", { , ), H ) un système hamilto- nzen classique. Si S possède un ensemble {ri(q, p, t ) ) de n quantités conservées dans le temps

qui sont en involution :

et qui sont fonctionnellement indépendantes sur l'ensemble R2" x RL sous-tendu par {(q, p, t ) ) , alors S est intégrable au sens de Liouville, i.e les équations d'éuohtion peuvent e n principe être solutionnées par m nombre fini d'opérations algébriques et/ou d 'intégrations.

INTÉGRABILITÉ ET LOIS DE CONSERVATION 4

Ainsi, l'int égrabilité est une condition nécessaire mais non-sutEsante pour l 'ob tention des solutions ; en pratique, l'intégration explicite des solutions peut se révéler très fastidieuse, voire même impossible. Toutefois, nous ne nous intéresse- rons pas ici aux solutions de ces systèmes mais simplement à la structure de leurs lois de conservation. Fort heureusement, il existe une méthode très utile permettant de générer les lois de conservation des systèmes classiques hamiltoniens. Il s'agit d'un procédé de déformation isospectrale connue sous le nom de méthode de L a .

La Méthode de Lax

En 1968, Peter Law proposa une méthode relativement simple permettant de générer les lois de conservation de I'équation de Korteweg-deVries[l]. Sa méthode kt par la suite adaptée par Flaschka[2], Manakov[3] et Moser[4] pour le traitement de systèmes comportant un nombre fini de degrés de Liberté. Suivant ces auteurs, supposons que les équations du mouvernement d'un système hamihonien,

puissent être écrites sous la forme

où L et M, dénommées "la paire de Lax", sont deux matrices hermitiques n x n dont les entrées sont des fonctions des coordonnées et moments canoniques. Alors par dérivation explicite, on peut montrer que (1.6) est équivalente à considérer que L évolue unitairement selon

où Ut = U-' et M = iW-'. Or: un théorème bien connu d'algèbre linéaire stipule que les valeurs propres de matrices reliées par une transformation de similarité sont identiques de sorte que les n valeurs propres l i(q, p) de L sont conservées dans le temps. Par convention, on définit les lois de conservation comme étant des fonctions symétriques de ces valeurs propres :

où la trace a été explicitement évaluée dans la base des vecteurs propres de L. En pratique, les lois de conservation obtenues par cette procédure n'exhibent habituellement aucune dépendance temporelle explicite. De plus, Les quantités conservées obtenues à partir d'une paire de Lax satisfont presque toujours les

critères d'indépendance fonctionnelle et d'involution mais pour démontrer ngou- reusement I'intégrabilité, ces propriétés doivent être prouvées séparément. A la sec- tion 2.1, nous verrons comment cette méthode permet de démontrer l'intégrabilité du modèle classique de Caiogero-Sutherland, système classique sous-tendant les chaînes de spins que nous nous proposons éventuellement d'étudier.

1.2 Systèmes Hamiltoniens Quantiques

Définitions

Nous avons vu à la section précédente comment étudier l'intégrabilité de systè- mes hamiltoniens classiques possédant un nombre fini de degrés de Liberté. Nous montrons maintenant comment adapter ce formalisme pour étudier les versions quantiques de tels systèmes. Un système hamiltonien quantique S {F, [,], H ) est un espace de Hilbert F muni d'un commutateur ainsi que d'un Hamiltonien H et pour lequel l'évolution de toute observable O agissant dans .F est donnée par l'équation canonique:

Dans le cas quantique. le nombre de degrés de liberté n du système correspond aux nombx de symétries requises pour lever complètement les dégénérescences et permettre ainsi une spécification complète d'un état du système. La notion d'intégrabilité est alors simplement donnée par la version quantique du théorème de Liouville, stipulant que l'intégrabilité peut être ramenée à l'existence d'un en- semble d'opérateurs { r i ) contenant n quantités consenrées qui sont fonctionnelle- ment indépendantes et en involution :

Comme pour le cas classique, les lois de conservation ne dépendent habituellement pas explicitement du temps. Ces ensembles involutifs peuvent aussi être générés au moyen d'une représentation de Lax mais nous exposerons plutôt ici une méthode plus puissante, fondée sur des structures mathématiques issues de la physique statistique.

Matrice de Monodromie et Algèbre de Yang

En physique statistique, l'étude de réseaux de spins en 2 dimensions se réalise au moyen de l'opérateur de monodromie T(u) , une matrice n x n dont la dimension

dépend du système considéré et dont les composantes sont des opérateurs. Dans ce contexte, le paramètre spectral u est un nombre complexe représentant une paramétrisation des poids de Boltzmann associés aux différents sites du réseau. Cette matrice de monodromie doit satisfaire la relation RTT:

Cette équation se réalise dans un espace de dimension n2 x n2, sous-tendu par le produit tensoriel de deux espaces auxilliaires n x n . Les symboles O et O' indiquent dans quel espace amilliaire la matrice de monodromie agit non-triviallement :

et R(u-u) est une matrice n' x nZ devant elle-même satisfaire l'équation quantique de Yang-Baxter :

Cette dernière équation se réalise dans un espace n3 x n3 sous-tendu par le produit tensoriel de trois espaces awciuiaires n x n , les indices 1 , 2 et 3 indiquant une fois de plus dans quels sous-espaces la matrice R agit non-triviallement. La matrice R la plus simple satisfaisant l'équation de Yang-Baxter (1.13) est donnée par la solution rationnelle de Yang :

où X est un paramètre de déformation et Pij est l'opérateur qui permute les deux espaces i et j :

pij(Ai 8 Bj) = (Bi O Aj)Pü - (1.15)

En choisissant cette solution rationnelle pour R, on peut écrire la relation RTT sous la forme :

Or, en normalisant la matrice de monodromie selon la condition T(u -t oo) -t 1- on peut dors effectuer le développement asymptotique

En substituant ce développement dans (l.l6), on obtient deux conditions sur les coefficients

LNTÉGRABILITÉ ET LOIS DE CONSERVATION

qui contiennent les relations suivantes comme cas particuliers

T Z l - -TZi = [TF, TF] + X(TnTOm - TOT:) (pas de somme) . (1.19b)

Ces deux relations nous permettent de calculer par récurrence tous les Ttb si l'on 6xe Tp et TL, de sorte que l'algèbre des T: est essentiellement caractérisée par celle de ses deux premiers courants. Or, en définissantL

l'algèbre (1.18) peut finalement être codée comme

Ces relations de commutation définissent l'algèbre de Yang Y[su(n)] [8] et les 2n2 générateurs (Qo, QI) sont dénommés les Yangiens. Cette algèbre est donc une structure à partir de laquelle on peut en principe construire une matrice de monodromie satisfaisant la relation RTT. En effet, les relations de récurrence (1.19) impliquent que tous les éléments de la matrice de monodromie peuvent être considérés strictement comme des fonctions des Yangiens. Toutefois, la construc- tion explicite d'une matrice de monodromie à partir d'une représentation donnée de Y[su(n)] n'est pas évidente car la procédure de récurrence fait appel à un nombre i n h i d'étapes non-triviales. Même si cette procédure de récurrence n'est donc pas applicable directement, sa simple existence nous permettra de simplifier considérablement certains raisonnements-

La matrice de monodromie tire son importance du fait qu'elle peut être utilisée pour générer deux ensembles de quantitg en involution. En effet, définissons tout d'abord une matrice de transfert t(u) selon

Mors en multipliant (1.11) par R-'(u - v) par la gauche, en prenant la trace de chaque côté et en utilisant la propriété de cyclicité de la trace, ainsi que R[A Q BI = Tr[A] @ Tr[B] , on obtient

'Nous utilisons ici la notation ( T ~ T ~ ) ~ " EL, T F T ~ ~ .

~TÉGRABILITÉ ET LOIS DE CONSERVATION

En utilisant le développement (1.17) , cette relation prend la forme

Cette équation étant MLide sur un continuum de vaiem arbitraires pour les pa- ramètres spectraux, on a donc

D'autre part, on peut générer un autre ensemble involutif par le biais du déterminant quantique de la matrice de monodromie, défhi comme suit

Det, [ ~ ( u ) ] = sgn(o) T 'O( ' ) (u - (n - 1) A) T~=(*) (21 - (n - 2) A) . . . s"o(") (u) . Sn

(1.27)

Ici, o représente une permutation des n objets {10 2 . . . n} de parité sgn(a), o(i) est l'image de i sous la permutation o et la somme est évaluée sur toutes les permutations possibles de n objets. Par exemple, pour n = 2, il n'y a que 2 permutations possibles :

de sorte que L'on a

Det, [ ~ ( u ) ] = T ~ ' ( Z L - x)T=(u) - T'~(u - x)T*'(u) . (1.28)

On voit alors que dans la limite d'un paramètre de déformation nul, on retombe sur la définition usuelle du déterminant, d'où la dénomination déterminant quantique. Le déterminant quantique possède plusieurs propriétés importantes.

Propriété 1. Soit Ti(u) et Tz(u), deux matrices de monodromie (satisfaisant la relation RTT) et agissant respectivement dans les espaces El et E2. Alors le produit matriczel Tl* (u) = Tl (u)T2(u) constitue une matrice de monodromie agissant dans El 8 E2 dont le déterninant quantique est donné par

2~ci , les indices de la matrice de monodromie ne sont pas associés à un espace auxilliaire comme en (1.12) mais indiquent plutôt dans quel espace d'Hilbert les éléments de la matrÎce de monodromie agissent non-triviallement.

INTÉGRABEZTÉ ET LOIS DE CONSERVATION 9

Cette propriété importante sera mise à profit à la section 2.3. Toutefois, la prin- cipale propriété du déterminant quantique est de commuter avec tous les éléments de la matrice de monodromie

Le déterminant quantique étant simplement une fonction des éléments de la matrice de monodromie, ceci implique une relation similaire à (1.23)

Or, l'expression asymptotique de T(u) déterminant quantique selon

Det, [~(u)] = 1 + X

(1.17) nous permet de développer le

d'où l'on tire un autre ensemble infini de quantités en invoiution3

Grâce à ces propriétés, on peut donc démontrer I'intégrabilité d'un Hamiltonien donné en trouvant une matrice de monodromie T(u) satisfaisant

Cette dernière relation nous assure alors que les ensembles involut& {Ik} et { Jk) sont bel et bien conservés dans le temps. Or, pour les modèles quantiques étudiés dans ce mémoire, la matrice de monodromie proviendra toujours d'une algèbre Y [s~ jn) ] . Dans ce cas, Les relations de récurrence (1.19) impliquent que les en- sembles {&) et {Jk) ne sont que des fonctions des Yangiens :

et ces ensembles seront donc conservés si l'on exige que 17Hamiltonien possède la symétrie Y [su(n)]

Cette dernière propriété est la raison fondamentale qui motive ici l'introduction de l'algèbre de Yang. En effet, même si les générateurs yangiens sont deux fois plus nombreux que les éléments de la matrice de rnonodromie, leur forme est généralement plus simple, de sorte que (1.37) est habituellement plus faciie a -.

vérifier que (1.35).

3 ~ o u s avom ici exclu Det, [TI, de l'ensemble involutif car pour les cas qui nous intéresseront, ce terme n'est qu'une constante triviale.

2 Modèles Dynamiques Intégrables

A la section précédente, nous avons introduit un formalisme permettant l'étude des lois de conservation de systèmes h m iltoniens. Nous nous proposons maintenant d'appliquer ces outils à l'étude de systèmes à N corps pour lesquels les particules sont libres de se déplacer dans un espace unidimensionnel.

2.1 Modèle Classique de Calogero-Sutherland

Durant les années 1970 fit découvert un système générique à N corps possédant la propriété d'intégrabilité pour toute valeur de N . Ce modèle classique décrit les interactions à longue portée de N particules possédant des masses identiques et évoluant dans un espace à une dimension :

Ici, qij = qi - qj et p(E) est la fonction elliptique de Weierstrass, qui inclut les cas 1, II et III comme limites particulières[26]. Nous dénoterons ce système par le sigle CSC ( a ) , signifiant modèle de Calogero-S ut herland classique de type a. Les lois de conservation de CSC(1-IV) peuvent être obtenues par la méthode de Lax en utilisant I'ansatz suivant [5] :

En substituant ces valeurs dans l'équation de Lax et en exigeant l'équivalence avec les équations du mouvement découlant de ( 2 4 , on obtient les conditions

MODÈLES D ~ A M I Q U E S ~ T É G R A B L E S

suivantes :

Les solutions de l'équation fonctionnelle (2.7) ont déjà été calculées [6] comme :

<(c) ccoth(e),csinh-'(i) , a = I I z&) = -

2% (El ccot(e), a = III (2-8)

où cn(E) dn(c) et sn(E) représentent les fonctions elliptiques de Jacobi [27]. En substituant ces valeurs de x, (E) dans (2.6) on retombe sur les potentiels du modèle de Calogero-Sutherland, de sorte que l'on peut é c ~ e les paires de Lax des modèles CSC(1-IV) sous la forme

cc~th(g)~csinh-'(<) , a = I I (2. il)

c cot (g) , csin-' (i) , a = III

ccn( - ,~-+n-~(e) s n ( 4 s n ( 4 , a = I V .

En utilisant ces expressions, on peut calculer les premières lois de conservation :

Ainsi, les deux premières quantités conservées sont respectivement la quantité de mouvement et lYHarniltonien. Cette stmcture de l'ensemble de lois de conserva- tion est très béquente dans les systèmes intégrables comportant des invariances sous translations spatialle et temporelle, auquel cas on substitue communément l'appellation {Hk) à {&).

Quant au modèle CSC(V), sa paire de Lax n'est pas donnée directement par I'ançatz (2.3) mais elle peut être obtenue par une légère modification de celle du modèle CSC(1). En effet, considérons les opérateurs

En termes de ces quantités, on peut écrire les équations du mouvement de CSC(V) sous la forme :

En définissant maintenant

(2.15) prend la forme standard de Lax :

On obtient donc deux opérateurs de Lax L*F à partir desquels on peut définir des ensembles de quantités conservées. Par contre, en utilisant la propriété de cyclicité de la trace, on voit que ces deux ensembles sont en fait équivalents. En choisissant

on obtient finalement la paire de Lax suivante :

Ainsi, on voit que est d'un ordre plus élevé que de sorte que les quantités conservées du modèle CSC(V) n'ont pas la forme { H k } (k = 1 , 2 . . . n) avec Hi = P et Hz = H mais sont plutôt de la forme {H2k) (k = 1, 2.. . n) avec H2 = H. L'absence de lois de conservation impaires pour le modèle CSC(V) découle du fait que son groupe de symétrie est plus petit que celui des modèles CSC(1-IV). Par exemple, les systèmes CSC(1-IV) sont manifestement invariants sous translation globale, ce qui assure la conservation de la quantité de mouvement; par contre, l'ajout d'un centre de force harmonique détruit cette symétrie, de sorte que la quantité de mouvement de CSC(V) ne peut être généralement conservée.

A h de prouver l'intégrabilité de ces modèles, iI reste à montrer que les lois de conservation obtenues par la méthode de Lax sont fonctionnellement indépendantes et en involution- Pour ce faire, [23] et remarquons d'abord que

nous suivons la procédure décrite par Perelemov les quantités

possèdent ces deux propnétéeç. Or, les rk ayant nécessairement la forme

I'k = $(g7 p) = pF + termes d'ordre inférieur en p , (2.22)

leur indépendance fonctionnelle découle de celle des Sk- De plus, pour le modèle CSC(I), l'involution est assurée par un raisonnement simple. En effet, pour toutes conditions initiales7 on peut montrer [4] que

Ceci implique rk(t -+ CO) + Sk , de sorte que

Mais puisque le crochet de deux quantités conservées est aussi une quantité conser- vée, on obtient ainsi l'involution pour tout temps. Ce raisonnement est aussi valide pour CSC(1I-III) et en utilisant (2.18), il est facile de montrer que l'involution pour CSC (1) implique l'involution pour CSC (V) . Finalement, l'involution pour CSC(N) peut être démontrée par calcul direct du crochet de Poisson [23].

Mentionnons que pour tous les systèmes intégrables connus à ce jour, l'intégra- biiïté provient de Ia présence d'une symétrie cachée. Dans la plupart des cas, la découverte de cette symétrie est une étape importante à kanchir pour l'obtention des solutions. Par exemple, on peut montrer que les équations du mouvement des modèles CSC(a) ne sont que la projection, dans un sous-espace approprié, des trajectoires d'un système libre évoluant dans un espace symétrique de dimension supérieure. Dans ce cas, les solutions peuvent être obtenues en so lu t io~an t le mouvement trivid du système supérieur puis en prenant la projection appropriée de ces soliitions [23].

2.2 L'Espace de Spin su(n)

À la section précédente, nous avons établi l'intégrabilité du modèle classique de Calogero-Sutherland. Dans le cas quantique, l'espace de phase est remplacé par l'espace de Hilbert

où est l'espace le -téme CSC(a)

11 se trouve que ce

de Hilbert associé aux fonctions d'onde de la ième particule et devient CS& (a) :

modèle est aussi intégrable et ses lois de conservation sont les généralisations naturelles des lois classiques. Nous ne présenterons pas ici l'analyse de ce système (cf. [25]) mais nous intéresserons plutôt à y introduire une interaction supplémentaire pour former un modèle de spin. Dans ce cas, l'espace de Hilbert prend plutôt la forme

où Si est l'espace de Hilbert associé aux variables de spin de la ième particule. Habi- tuellement, le degré de liberté de spin est introduit en mécanique quantique comme étant une représentation finie de su(2), dont la dimension dépend du nombre quan- tique de spin de la particule considérée. Par exemple, pour un spin s = $ , la dimension de ta représentation est 2 x 2 et on peut choisir les matrices de Pauli comme base standard d'opérateurs de spin. Toutefois, nous considérerons ici le spin plus généralement comme étant une représentation finie de su(n). Il existe, pour su(n) , un analogue de la base de Pauli (celle de Gell-Mann) mais nous choisirons plutôt de travailler dans la base des générateurs fondamentaux E? (a, b = 1.. . n), matrices carrées dont la dimension dépend du de la particule i et dont les composantes sont données par

Supposons maintenant que les variables de spin de différentes particules commutent entre elles ; alors en utilisant (2.29)' on obtient les propriétés suivantes pour les opérateurs de spin :

Ayant défini clairement la notion de spin, nous pourrions maintenant tenter de d é h k de nouveaux systèmes intégrables en introduisant directement dans (2.26) une interaction de spin qui présème l'intégrsbilité. Toutefois, puisqu'un te1 cou- plage n'est pas évident à priori, nous laisserons pour le moment cette idée en suspens et nous concentrerons plutôt sur la construction de représentations par- ticulières de l'algèbre Y[su(n)]. La structure des ensembles involutifs issus de ces représentations nous permettra ensuite d'identifier aisément une perturba- t ion spinorielle qui soit intégrable. Toutefois, avant même de pouvoir présenter la procédure générale permettant de construire ces représentations, nous devons introduire certains concepts fondamentaux reliant les espaces de spin et de position.

Considérons donc pour le moment un opérateur d'échange Pijj, agissant non- triviallement dans le sous-espace de spin Si @ S j et qui permute les spins des particules i et j :

Alors en utilisant (2.30), il est facile de vérifier que cet opérateur peut être développé sur la base fondamentale comme suit :

et plus généralement, on définit

Ces opérateurs étant simplement une représentation du groupe de permutation SN, ils possèdent la propriété d'invariance cyclique

De manière analogue, on peut aussi introduire un opérateur d'échange Kij, agis- sant non-trivialleinent dans le sous-espace î?+ @ Rj et permutant les positions des particules i et j :

Comme pour le cas de spin, nous définissons les permutations cycliques suivantes

Les opérateurs Pij et KG agissant dans Mérents espaces, ik sont indépendants et cornmutent trividement. Toutefois, il est utile de relier ces opérateurs au moyen d'une projection. En effet, soit Cl , C2 et Cg les groupes de permutations engeni.cés respectivement par Kij , Pij et (KijPij)- Mors on définit la projection II de la manière suivante [12] :

On peut utiliser cette projection pour éliminer Kij au profit de Pi,. Par exempleo

Ainsi, on voit que la recette pour appliquer cette projection consiste à cornmuter tous les Kij d'une expression vers la droite puis à les remplacer par des opérateurs P, agissant en sens inverse.

Au point de vue physique, la projection (2.40) est équivalente à restreindre l'espace de Hilbert aux états 1 $2) ) totalement symétriques sous C3 :

K,P, 1 @:)) = + 1 $J:)) . En effet, on a alors KijPjj - 1, de sorte que

De plus, signalons ici quelques propriétés fondamentales de cette projection :

Propriété 1. Soit A e t B , deux opérateurs tel que A soit symétrique sous I I { B ) : [ I I {B) ,A] = O. Alors AB) = II{B}II{A).

Ce raisonnement peut s'appliquer VB, après avoir préalablement commuté ses opérateurs Kij vers la droite. 0

Propriété 2. Soit A et B, deux opérateurs tel que B soit symétrique sous &: [ ~ ~ j f i j B] = O V i? j . Alors I I { A B ) = I I { A ) I I { B ) .

Encore une fois, il est facile de voir que ce raisonnement peut être appliqué VA , après avoir préalablement commuté ses opérateurs Kij vers la droite. Cl

Ces deux propriétés seront utilisées régulièrement et implicitement pour le res- tant de ce mémoire.

2.3 La Représentation de Ge-Wang

En utilisant la projection (2.40), Ge et Wang ont trouvé une recette simple permettant de construire une matrice de rnonodromie [Il]. Suivant ces auteurs, considérons un opérateur Di, n'agissant que dans l'espace de position4 et possédant un indice référant à la particule i. Supposons que cet opérateur satisfasse les rela- tions de commutation

Ces quantités sont connues dans la littérature sous le nom d'opérateurs de Dunkl [28] et en procédant par induction, on peut prouver que ces opérateurs satisfont les reIations suivantes

m-l

[Qn , Dy] = [Qn+--k-~ 0;- - oioj (2.46) - k -m+n-k-1

k=O

"orénavant, nous utiliserons l'accent bar pour indiquer explicitement qu'un opérateur n'agit non-trividernent que dans l'espace de position.

Définissons maintenant les courants

En utilisant les propriétés de la projection Il ainsi que la relation (2.46), on peut montrer que ces courants satisfont l'algèbre

Or, il est facile de voir que cette algèbre satisfait à son tour les conditions (1.18), de sorte que l'on peut définir immédiatement une matrice de monodromie et son algèbre Y [su(n)] par

L'ensemble involutif {Ik) est dors tout simplement donné par

Afin d'analyser maintenant la structure de l'ensemble {&), nous calculerons le déterminant quantique selon la procédure établie dans [12], et qui consiste à dé- velopper la représentation de Ge-Wang sur la représentation fondamentale de la matrice de monodromie. Cette représentation fondamentale, aussi connue sous le nom d'évaluation, est tout simplement donnée par

Introduisons maintenant les opérateurs de Dunkl modifiés Di :

qui commutent et satisfont une algèbre affine et dégénérée de Hecke :

En termes de ces opérateurs, on peut construire une représentation fondamentale de T(u) agissant dans l'espace K- et possédant un paramètre spectral ZL - 8: :

Afin de définir une représentation agissant dans la totalité de I'espace de position, considérons maintenant

Puisque cette quantité est formée de produits matriciels de matrices de monodro- mie, elle constitue elle aussi une matrice de monodromie. De plus, on peut vérifier que l'algèbre de Hecke assure l'invariance de II{F(u)) sous CS. Ceci nous permet de remplacer un produit de projections par la projection du produit, de sorte que II{T(u)} représente aussi une matrice de monodromie. En fait, on démontre, à l'appendice B, que II{T(u)} est identique à la représentation de Ge-Wang T(u) donnée en (2.49) ! h i , le déterminant quantique de la représentation de Ge- Wang est tout simplement donné par la projection du produit des déterminants fondamentaux (2.55) :

En développant les produits de cette expression, on trouve une formule explicite, quoique compliquée, pour l'ensemble {Jk) :

'Le symbde prime, afEixé à une somme, indique que cette somme est restreinte à des valeurs différentes pour les variables de sommation.

A l'aide de cette formule, on peut calculer relativement aisément les premiers membres de { Jk) 6:

De plus, la procédure menant à la formule (2.58) peut aussi être utilisée pour générer un autre ensemble involutif, voisin de {Jk). E n effet, on peut montrer que l'algèbre de Hecke (2.54) et les propriétés d'invariance des quantités a(u) et T(u) assurent la validité des relations suivantes

On peut donc choisir A(u) comme génératrice d'un ensemble involutif possédant une symétrie Y [su(n)]. Le déterminant quantique ne représente alors qu'une fonc- tion particulière de cette génératrice et afin de simplifier les calculs, on peut aussi bien considérer les fonctions suivantes

En termes de ces fonctions, on peut donc définir un nouvel ensemble involutif {Hk} :

Les ensembles {Jk) et { H k ) peuvent tous deux êtres exprimés en termes d'un ensemble involut if plus fondament al. En effet, en développant les produits de A (u) ,

6 ~ e s deux premières quantités de l'ensemble {Jk) ont déjà été calculées dans plusieurs publi- cations [Il], [12] mais la formule générale (2.58) est un résdtat original.

on peut exprimer cette quantité comme

En substituant ce développement dans (2.60) et en remarquant que les valeurs des paramètres spectraux sont arbitraires, on obtient alors un nouvel ensemble invoIutif :

Puisque les ensembles { Jk) et {Hk} sont définis à partir de fonctions de A@), ils ne sont que des fonctions de l'ensemble Fondamental {Gk) :

En fait, en utilisant nos résultats expLicites pour ces ensembles, on constate qu'ils possèdent la structure suivante

En continuant ce procédé et en éliminant les commutations trivides résultant de combinaisons d'ordre inférieur, on réalise alors que les ensembles {Jk), {Hk) et {Ck} sont essentidement équivalents ; par souci de simplicité, nous choisirons dorénavant de travailler avec l'ensemble {Hk). Les représentations de Ge-Wang (2.49) et (2.50) et leurs ensembles involutïfk (2.51) et (2.64) constituent la pierre an- gulaire de ce mémoire. En effet: ces représentations nous permettront de démontrer I'int égrabilit é d'une large gamme de modèles quantiques avec interactions à longue portée.

2.4 Modèle de Sutherland

Le modèle de Sutherland H(S) est une variante spinorielle du modèle quan- I tique de Calogero-Sutherland, obtenu à partir de CSQ(1II) en posant c = en

introduisant une bteraction de spin selon la prescription

et en passant en représentation ( 1 C ) ), où

Le modèle de Sutheriand est donc donné par

La prescription (2.72) est justifiée par le fait qu'elle engendre un modèle intégrable possédant une symétrie Y[su(n)]. Pour prouver cette affirmation, introduisons maintenant les opérateurs de Dunkl

Puisque ces opérateurs satisfont les relations de commutation (2 -44)

on peut les utiliser pour réaliser une représentation de Y[su(n)] possédant un paramètre de déformation X = -g :

Ces représentations nous permettent de dériver des ensembles involutifk {Ik) et {Hk)> dont les premiers membres sont donnés par

Puisque le deuxième terme de l'ensemble {Hk) est tout simplement 1'Hamiltonien de Sutherland, cet ensemble involutif est nécessairement conservé dans le temps. De plus, puisque { H k ) possède la symétrie Y [su (n) 1, le modèle de Sutherland est donc aussi nécessairement symétrique sous la représentation (2.78) de l'algèbre de Yang :

[H(") ; T(u)] = [H(') , QO] = [ H ( ~ ) , Q ~ ] = 0 . (2.83)

Cette symétrie assure à son tour le caractère conservé de l'ensemble {Ik) .

2.5 Modèle de Calogero

Le modèle de Calogero H(') est défini à partir du modèle CSQ(1) en utilisant la prescription (2.72) puis en passant en représentation (1 5 )}, où <i = g 4 i . Cette procédure donne

Pour démontrer l'intégrabilité de ce modèle, considérons les quantités

Ces opérateurs satisfont [Di , ] = O, ce qui nous pemet de dénnir une représentation de Y[su(n)] possédant un paramètre de déformation nul :

On voit alors que pour X = O? la matrice de monodromie est triviale, de sorte qu'on ne peut utiliser la matrice de transfert ou le déterminant quantique pour générer des ensembles involutifk non-triviaux. Par contre, les courants Tc déf i s en (2.47) demeurent non-triviaux et il est facile de voir que les traces des T$ sont aussi en involution pour X = O' de sorte que l'ensemble {Ik), défini directement par (2.51) (et non à partir la trace de T(u)) , demeure un ensemble involutif non-trivial. De même, on peut montrer que I'ensemble { H k } demeure non-trivial à X = O mais cet ensemble se confond dors avec (4). Les premiers membres de cet ensemble sont doMes par

Le fait que lYHamiltonien se retrouve dans l'ensemble involutif {Hk) assure immédiatement son intégrabilité et sa symétrie sous la représentation (2.87) de Y [su (n) ] :

[@ , Qo] = [H@) , Q ~ ] = 0 . (2.90)

2.6 Modèle de Calogero Confiné

Le modèle de Calogero avec confinement harmonique est obtenu de CSQ(V) en y introduisant l'interaction (2.72) pllis en passant une fois de plus en représentation (1 E ) ) , où ci = a :

Comme pour le cas classique, l'intégrabilité du modèle confiné peut être démontrée en modifiant légèrement les expressions du modèle sans confinement. En effet, considérons les operateus

qui satisfont les relations de commutation

[D' , Di'] = O

En termes de ces quantités, on peut définir les opérateurs suivants

qui satisfont les relations de commutation (2.44, avec un paramètre de déformation X = ~ î w g :

On peut donc utiliser la procédure de Ge-Wang pour définir les représentations suivantes de l'algèbre de Yang:

MODÈLES DMVAMIQ UES ~ É G R A B L S

Les premiers membres des ensembles involutifs sont alors donnés par:

Puisque 1'Hamiltonien du modèle confiné se retrouve dans les ensembles { H $ F ) ,

ces derniers seront nécessairement conservés dans le temps. De plus, puisque ces ensembles satisfont nécessairement la symétrie Y [su(n)] (2.98), il en est nécessairement de même pour 1'Hamiltonien de Calogers :

Cette dernière symétrie assure le caractère conservé de l'ensemble {cT). Rap- pelons que dans le cas classique, nous avions obtenu deux représentations de l'opérateur de Lax (voir (2.15)) mais les ensembles involutifs issus de ces deux représentations étaient équivalents ; cette observation tient aussi dans Le cas quan- tique. En effet, on remarque que les Yangiens associés à DT- et Dlf (2.98) ne dïfEerent que par une constante triviale, de sorte que ces deux représentations sont en fait une manifestation de la même structure algébrique et leurs ensembles invo- lutifs seront donc équivalents à des combinaisons linéaires trivialles près.

3 CHAI*NE:S DE SPINS INTÉGRABLES

3 Chaînes de Spins Intégrables

Nous venons de voir comment défmir trois modèles quantiques intégrables décrivant les interactions de position et de spin pour des particules libres de se dépIacer dans un espace à une dimension. Maintenant, nous chercherons à éliminer les degrés de liberté dynamiques de ces systèmes pour isoler le comportement de spin. Les modèles obtenus seront dors constitués de particules fixées sur les sites d'un réseau unidimensionel, formant ainsi une chaîne de spins.

3.1 Calcul Direct des Lois de Conservation

Le premier modèle intégrable de chaîne de spins à avoir été introduit en phy- sique mathématique est le modèle XXX de Heisenberg, qui hit so1utionné par Bethe en 1931. Ce modèle décrit le couplage spinoriel de particules fixées sur des sites équidistants et n'interamant qu'entre plus proches voisins. Dans le cas où la chaîne est refermée sur elle-même, ce modèle périodique est décrit par 17Hamiltonien suivant

Les lois de conservation de ce système sont caractérisées par un ensemble involutif de forme {%k}7 dont la structure est reliée à des patrons de Catalan [20]. De plus, il est aussi possible de définir le modèle XXX sur une chaîne ouverte non- périodique. Les particules situées aux extrémités de la chaîne ne peuvent alors interagir ensemble , de sorte que 1'Hamiltonien du modèle ouvert prend plutôt la forme suivante :

Ainsi, le modèle ouvert est relié au modèle f e d par l'ajout d'un terme localisé aiLu extrémités de la chaîne. Cette perturbation affecte les lois de conservation de deux manières. En effet, on peut montrer que l'ensemble {'&) du modèle ouvert ne contient que des lois de conservation impaires ('Hl, 'H3 . . . ), qui sont les expressions du modèle fermé, perturbées par des termes de bord appropriés [19]. Ainsi, pour des chaînes de spins avec interactions à courte portée, les lois de conservation de modèles ouverts sont essentiellement reliées à celles de modèles fermés par l'ajout de termes de bord. pp - - -- - -

7 ~ o r é n a ~ t , nous utiliserons le style calligraphique pour indiquer explicitement qu'une quan- tité est rattachée à une chaîne de spins, et non à un modèle dynamique.

C H A ~ E S DE SPINS I N T É G R ~ L E S 28

Nous nous proposons ici d'étiidier les lois de conservation de systèmes à longue portée représentant des généralisations du modèle XXX :

où g~ est une constante de couplage dépendant des sites (i, j) et pondérant l'inter- action de ces sites en fonction de leur distance. On peut tout de suite remarquer que pour de tels systèmes, la forme fonctionnelle de 17Hamiltonien ne dépend pas du camctère ouvert ou fermé de la chaîne, de sorte que la distinction entre modèles ouverts et fermés ne se manifestera pas ici par la présence de termes de bord. Cette observation nous indique donc que la structure des lois de conservation de modèles à longue portée est indépendante de la topologie de la chaîne. Nous supposerons maintenant que ces quantités conservées soient de la forme suivante

('1- est où Pi,.--ik représente une interaction de spin entre les sites (il.. . ik) et ail+..zk une constante de couplage dépendant de ces sites. Nous allons maintenant cal- culer explicitement les conditions devant être satisfaites pour que cette quantité représente effectivement une loi de conservation.

Définissons d'abord un opérateur de permutation cyclique vers la gauche PL(iL7 - - . , ik) , dont l'action sur toute fonction f (il, . . . , ik) est donnée par

En appliquant cette substitution k fois sur r,, on obtient

Cs où I'opérateur &i2-.-ikl représente une somme cyclique sur l'ensemble {il, i2.. . ik) :

Ainsi, si les a!:-:: ne sont pas ~ m é t n q ~ ~ sous permutations cycliques, on peut utiliser cette procédure pour les symétriser explicitement. Nous supposerons donc

dorénavant, sans perte de généralité, que les a/:-:: sont symétriques sous permu- tations cycliques. Calculons maintenant le commutateur

Les seules contributions non nulles proviennent des différentes possibilités pour les chevauchements d'indices. Représentons ces chevauchements par les patrons suivants:

En termes de ces patrons, on peut récrire le commutateur comme

Ici, le facteur 2 tient compte des cas où les rôles de r et s sont inversés. ( (3.8) est invariante sous r * s ).

Calcul du ler terme :

ème En appliquant pL(il, . - . , ik) p - 1 fois sur ie ier terme et p fois sur le 2 , on obtient:

Calcul des 2ème et 3ème termes :

En appliquant PL(il, . . . , ik) p fois sur le ler terme et p + 1 fois sur le on obtient:

Ce raisonnement étant valide pour tout p et aussi pour le 3ème terme, on obtient dors

Les ij étant tous difFérents, les opérateurs d'échange de la dernière expression cornmutent et en appliquant P L ( i l , . . . , ik) p - 1 fois sur le let terme et p fois sur le 2ème, on obtient:

On remarque donc que tous les patrons possédant un même A ont la même valeur. De plus, les patrons possédant un A' tel que A' = k - A possèdent aussi cette même valeur. En effet,

En appliquant PL (il, . . . , ik) k - A fois sur toute cette expression, on retrouve

qui est identique à (3.16). Donc tous Les patrons reliés par translation possèdent la même valeur, même pour des translations qui débordent les frontières définies par il et ik. Soit N(& k) le nombre de patrons distincts obtenus par translations

du patron il 'A+L ik . Pax exemple, pour A = 3 et k = 5 , on a 5 possibilités : a - . .a - . .O

cIDÛNEs DE SPINS INTÉGRABLES

En termes de cette quantité, (3.11) prend la forme

pour k pair. (3.20)

2 pour k impair.

En substituant (3.13) , (3.15) et (3.20) dans (XII) , on obtient halement

Pour avoir ['H, I',] = O , on doit fixer à zéro les coefficients d'opérateurs indépendants. Or, on remarque que la contribution en Pil---ik-l va se coupler avec la contribution en pour k' = k - 2. Ainsi, le couplage entre les coefficients s'effectue modulo 2 par rapport à k de sorte que I'on peut dès lors se restreindre à des ri contenant une parité fixe pour le nombre de particules impliquées dans les interactions.

pour n pair: rn = ~ ' a ! ~ ~ r ~ ) I I ---z2k pil - - - S m -

Pour une telle quantité, les conditions assurant ['H , FA] = O sont donc obtenues à partir de (3.21) en renommant et fusionnant les coefficients qui se couplent puis en symétrisant explicitement les coefficients d'opérateurs indépendants avant de

c I ~ ~ X ~ E S DE SPINS INTÉGRMLES

les fixer à zéro. On obtient la hiérarchie de conditions suivantes :

Pour le plus haut k : {k = n

n pair: k = 4 , 6 , . . n ,

nimpair: k=5,7,..n7

n pair:

n impair:

n pair: k = 2 Pour le plus bas k:

n impair: k = 3

Nous référerons à (X%la), (3.24b), (3.24~) et (3.24d) comme étant respectivement la condition dominante de le' ordre! les conditions dominantes de 2ème ordre , les conditions couplées et la condition sous-dominante. On remarque que les conditions dominantes de 2ème ordre et les conditions couplées ne sont définies que pour k 2 4 et n'apparaissent donc que pour r:,,. -

Pour trouver la solution de cette hiérarchie de conditions, il nous faut fixer le coefficient d'ordre le plus élevé a!:;:' par les conditions dominantes et ensuite ajuster le coefficient d'ordre inférieur ai::.': de manière à satisfaire les conditions

eme couplées et les conditions dominantes de 2 ordre (pour k = n - 2). O n procède

C ~ S DE SPINS INTÉGRABLES

ainsi par étapes jusqu'au plus bas coefficient, soit a!:;:) pour n pair ou bien a:& pour n impair. On remarque alors que pour n pair, la condition sous-dominante est trivialement satisfaite et il n'y a donc u'une seule condition couplée s'appliquant sur ai(:;:) tandis que pour n impair, azlI q3*9- ,,z, doit satisfaire à la fois une condition couplée et la condition sous-dominante. On s'attend donc à rencontrer plus de difncultés à construire les lois impaires que les lois paires. Dans les prochaines sections, nous utiliserons ces conditions pour calculer explicitement les premières Iois de conservation des modèles de Hddane-Shastry et Frahm-Polychronakos.

3.2 Modèle de Haldane-Shastry

Le modèle de HaldaneShastry est une chaîne de spins représentant une Limite particulière du modèle dynamique de Sutherland. Ce modèle est défîni en h a n t d'abord l'espace du modèle CSQ(II1) à coïncider avec le cercle trigonométrique. Dans ce cas, la variable canonique qi mesure l'arc de cercle sous-tendu par la particule i. L7Hamiltonien de Haldane-Shastry WnS) est ensuite défini en prenant le terme d'ordre h dans H ( ~ ) et en k a n t les N particules sur des sites équidistants :

Nous référerons à la procédure (3.25) explicitement cette limite, on obtient

comme étant Ia limite h et en effectuant

où les nombres satisfont les règles de sommation suivantes :

Mentionnons que dans la littérature ([Xi], (91)' le modèle HS n'est pas défini par la procédure (3.25) mais plutôt par la limite classique suivante

'Le terme Limite classique n'est qu'une autre façon de dire Iimn-o ; cette expression ne doit pas être prise au sens physique, puisque cette limite est ici utilisée pour définir des modèles quantiques de spin.

L'Hamiltonien (3.29) ne diaere de notre modèle de Sutherland H ( ~ ) que par l'absence d'un facteur A multipliant L'opérateur d'échange. L'absence de ce fac- teur s'explique par le fait que le modèle de Sutherland fut d'abord défini pour fL = 1 et ce, sans relation avec aucune sous-structure yangienne. L9introduction subséquente de ti dans ce modèle se fit alors selon la procédure habituelle, qui consiste à asssocier un tel facteur à la quantité de mouvement, ce qui donne le modèle H ( S ) . Or, nous avons vu qu'en définissant le modèle de Sutherland à par- tir de sa symétrie de Yang, l'introduction consistante de fi mène au système et non à H(s ) , ce qui signifie que la limite permettant de définir correctement le modèle HS n'est pas la limite classique (3.2) mais plutôt la limite ti (3.25). En fait, si l'on considère ces procédures simplement comme deux méthodes permettant de définir un Hamiltanien intégrable, aucune méthode ne peut être déclarée supérieure à l'autre ; toutefois: nous verrons que la procédure (3.25), contrairement à la li- mite classique, permet non seulement de définir WH') à partir de H ( ~ ) mais aussi de définir la totalité de l'ensemble involutif {Wk} à partir de l'ensemble {Hk) du modèle dynamique.

M n de sonder I'intégrabilité du modèle de Haldane-Shastry? considérons d'abord la limite classique des opérateurs de Dunkl du modèle de Sutherland ':

Ces opérateurs satisfont les relations de commutation

ce qui nous permet de définir les représentations de Ge-Wang

gSoulignoos qu'en prenant la limite classique, la substitution qi -, - modifie la définition N même de l'opérateur Kij, qui devient un opérateur d'échange de sites agissant non-triviallement

sur les nombres zi et non sur des variables dynamiques de position.

L'ensemble involutif {Zk) issu de ces algèbres sera alors conservé dans le temps si l'on exige que 'FI(HS) soit symétrique sous la représentation (3.33) de Y [su(n) 1. Or, un calcul direct donne

Ainsi, le modèle HS sera intégrable si les nombres z; satisfont

Cette relation est tout simplement la condition satisfaite par les positions d'équilibre du modèle classique de Sutherland CSC(II1) et en utilisant les règles de sommation (3.27), on peut démontrer que cette condition est bel et bien satisfaite par les nombres zi = exp[-?]. Ainsi, l'exigence que 1'Hamiltonien possède la symétrie Y[su(n)] (3.33) nous amène à fixer les vaxiables dynamiques a u posi- tions d'équilibre classique dans un espace à topologie circulaire. 'O Ces résultats impliquent que les symétries du modèle de Haldane-Shastry peuvent être obtenues de celles du modèle de Sutherland en prenant tout simplement la limite classique. La validité de cette procédure provient du fait que l'algèbre des opérateurs dyna- miques de Dunkl (2.75) est respectée pour Ti = 0, ainsi que de la condition (3.35) ; elle ne provient pas de la définition (3.28), dont nous avons exposé l'inconsistance.

L'ensemble involutif {Zk) issu de ces algèbres de Yang est donc donné par

10Mentiono~ns que la condition (3.36) peut aussi être satisfaite si l'on pose N + cm et ci + exp[2yi] ,7 E W. Cette possibilité correspond au modèle d'Inozemtsev, qui décrit les interactions hyperboliques d'un nombre infini dz particules évoluant sur la Ligne [26)

Ces quantités sont équivalentes à celles d'abord introduites dans [16] et les premières lois de conservation sont données par:

On remarque dors que 1'Hamiltonien est inclus non-triviallement dans 13, en ac- cord avec les observations de Fowler et Minahan [16] et contrairement aux &r- mations avancées dans [12].

Si la Limite classique engendre un ensemble involutif (Zk) non-trivial, cette procédure ne peut par contre être utilisée pour définir un ensemble {'Fik). En effet, il est démontré dans [12] qu'à chaque partition In1 est associée une valeur propre dnl de A (u, TL) valeur propre donnée par :

On voit alors que dans la limite f i -, O, les valeurs propres de A(u, 5 ) deviennent identiques, de sorte que A(u, h = 0) n'est qu'un multiple de l'opérateur identité. La limite classique de l'ensemble dynamique {Hk} est donc trivialle dans l'espace de spin. Par contre, tous les modèles de spin étudiés jusqu'à présent étaient carac- térisés par un ensemble de la forme {Hk} et il est donc raisonnable de supposer qu'un tel ensemble existe aussi pour le modèle de Kaldane-Shastry. L'existence d'un ensemble (Xk) fut rendue plausible par la découverte de lois de conservation possédant une telle stmcture et ne pouvant être exprimées à part entière en termes des Yangiens (3.33). Ces lois de conservation sont données par:

La première de ces lois de conservation ht découverte par Inozemtsev [26] tan- dis que la seconde fut découverte par Haldane, Ha, Talstra, Bernard et Pasquier

[13]. Vérifions maintenant explicitement le caractère conservé de la quantité en utilisant les conditions (3.24) de la section précédente. Pour ce faire, posons

En y substituant ces quantités et en posant n = 3, Les conditions (3 -24) se réduisent dors à:

Avec un peu d'algèbre, on peut démontrer que la condition dominante est effecti- vement respectée :

Z.iZjZkZ[ En effet, en remarquant que le coefficient -. . -. - ~ ; 7 ~ ~ k k k l Z L i est symétrique sous permuta-

tions cycliques et en appliquant la substitution PL(& j, k, 1) une fois sur le premier terme et deux fois sur le second, on obtient

On peut voir que la dernière expression s'annule en appliquant PL(z, j, k, l ) 2 fois sur le premier teme. La condition sous-dominante, quant à elle, peut être calculée cornme

cHAÎNEs DE SPINS RVTÉGRABLES 40

En introduisant maintenant la nouvelle variable k -, k? = i + j - k et en utilisant la propriété de cyclicité = &+N, on obtient

Remarquons que la condition dominante ne s'annuie qu'en vertu des formes fonc- (3 3) tionnelles de gij et a *ik , tandis que la condition sous-dominante s'annule aussi en

vertu des propriétés de symétrie des sites de Ia chalne.

De manière analogue, on peut aussi montrer que 7ii est effectivement conservée dans le temps. Or, puisque ces lois de conservation ne peuvent être obtenues di- rectement à partir de l'algèbre de Yang du modèle HS, la méthode permettant de générer la totalité de cet ensemble n'est pas évidente à priori. Toutefois, une telle procédure f i t découverte récemment par Talstra et Haldane [9]. Leur idée de base consiste à revenir au modèle dynamique de Sutherland et à tenter de définir les F& à partir d'une limite appropriée des ensembks involutifs dynamiques. Or, puisque 17Hamiltonien de HaldaneShastry peut être simplement défini par la limite f i et que cet Hamiltonien coïncide, par définition, avec 7f2, il est naturel de suppo- ser que tous les 7tk peuvent être obtenus de l'ensemble dynamique de Sutherland {Hk) en prenant le terme d'ordre li puis en gelant les positions des particules. Afin d'examiner cette hypothèse, revenons à la génératrice (2.57) du modèle dynamique

de Sutherland

Tout comme les quantités Di, les variables commutent et satisfont l'algèbre de Hecke :

Effectuons maintenant le développement suivant

A(u, f i , Ç) = C a(n)(u? Clfin 7

où l'on peut calculer explicitement

d e-i d N

m-Pf 1

Notre but est de démontrer que & L l ( ~ , C) peut être utilisée pour générer des en- sembles involutifs. Or, nous avons vu que h ( u , f i , 5) possède cette propriété ( voir (2.60)) :

En substituant le développement (3.52) dans ce résultat et en se concentrant à l'ordre fi2, on obtient la condition suivante :

C . E S DE SPINS INTÉGRABLES 42

Or, si l'on fixe les particules à leurs positions d'équilibre classique, on peut prouver la relation suivante (91

En examinant relation (3.56)

En combinant finalement IL

maintenant les développements (3.53), il est facile de voir que la implique à son tour

[&O) (a, 8) y A(,) (v? z)] = O n=Ot1,2 ... N . (3.57)

ce résultat avec la version gelée de la condition (3.55), on obtient

Maintenant, on peut montrer une fois de plus que l'algèbre de Hecke assure l'invariance de &(u, z) sous C3. Ceci nous permet de prendre la projection de (3.58) et distribuer cette projection pour obtenir

Cette relation implique que l'on peut utiliser des développements spectraux de fonctions de A(l) (u, z) pour générer des ensembles involutifs ; on peut aussi montrer que ces ensembles posséderont nécessairement la symétrie Y[su(n)] du modèle HS. Pour ce faire, considérons la symétrie dynamique du modèle de Sutherland

En définissant maintenant le développement suivant

puis en le substituant dans (3.60) et en se concentrant à l'ordre fi, on obtient la condition suivante

''L'idée d'obtenir la propriété (3.58) à partir du développement (3.52) est une contribution originale représentant une simpüfication considérable par rapport à la démarche utilisée dans [9].

C- DE SPINS INTÉGRABLES

En gelant maintenant la dynamique de cette équation, on trouve

Afin de calculer le terme de droite, remarquons d'abord que la quantité &(u, f i , z) peut être développée selon

La validité de cette expression peut être simplement vérifiée en multipliant par &(u, li, a ) des deux côtés et en utilisant les propriétés de commutation (3.57). Or, on peut exprimer

En utilisant maintenant le développement (3.64), on obtient des valeurs explicites pour les deux premiers membres du développement en f i (3.61)

En utilisant les résultats précédents,

il est alors facile de voir que [&)(i~, Z) , T&, z)] = O- De plus, T(ol(u, z) est, par définition, la matrice de monodromie du modèle de Haldane-Shastry F(u). En substituant ces résultats dans la condition (3.63), on obtient finalement

Cette relation nous indique donc que tous les ensembles involutifs dérivés de A (u, 2) possèdent la symétrie Y [su(n) ] du modèle HS. Nous obtiendrons mainte nant une formule explicite pour l'ensemble {Wt) en isolant la contnbut ion d'ordre

f i de la génératrice dynamique des Hk. Développons d'abord cette quantité selon

On peut alors utiliser le résultat (3.64) pour calculer explicitement les premiers termes de ce développement

Ainsi, on a

de sorte que

Or, le développement spectral dynamique

~ ( z L , f i , C) = ~ - ( ~ + l ) k H k ( ~ )

nous permet de développer Ql) (u, z) selon

où 7fk(z) est le terme gelé d'ordre h des Hk(C) dynamiques :

En substituant maintenant le dévelopament spectral (3.75) dans (3.73)' on obtient la structure suivante

Ces quantités involut ives représenteront des lois de conservation si 1 ' H d t onien de Haldane-Shastry est inclus à part entière comme membre de ces ensembles. Or, en utilisant les règles de sommation (3.27)' on peut calculer

On voit alors qu'en plus de contenir explicitement 1'Hamiltonien ainsi que les lois de conservation 'Hi et 7-l: données en (3.42), cet ensemble contient une première loi correspondant à la quantité de mouvement totale du système. On peut mguer que cette loi comporte une certaine part de trivialité puisque l'espace de Hilbert du modèle HS ne contient que des états possédant des excitations d'impulsion nuIIes. Ainsi, au point de vue physique, l'action de tout opérateur constitué d'une partie de spin et d'une partie cinétique peut se résumer à l'action de sa partie spinorielle. Toutefois, au point de vue mathématique, la symétrie de WH') sous 'Hl n'est pas du tout triviale; elle est la conséquence de l'invariance du modèle HS sous une translation globale des sites 9 -+ - 2*rs) et représente donc une véritable symétrie du système, au même titre que les lois spinorielles.

Ainsi, nous avons pu démontrer que l'algèbre de Yang du modèle HS peut être obtenue de l'algèbre dynamique de Sutherland en prenant tout simplement la limite classique. Cette même procédure, appliquée à l'ensemble dynamique {Ik) permet de définir un ensemble involutif de lois de conservation {Tk) possédant la symétrie de Yang du modèle HS. Toutefois, cette limite classique ne permet pas de définir un ensemble {Xk) ; celui-ci peut par contre être défini correctement en prenant la limite f i des Hk dynamiques. Cet ensemble {WL) possède alors lui aussi la symétrie de Yang du modèle HS.

cHAÎNEs DE SPINS INTÉGRABLES

3.3 Modèle de Frahrn-Polychronakos

À la section précédente, nous avons introduit le modèle de HaldaneShastry: une chaîne de spins intégrable pouvant être définie à partir du modèle dynamique de Sutherland en gelant les particules à l e m positions d'équilibre classique puis en iso- lant la contribution d'ordre fi. Nous démontrerons maintenant que cette procédure peut aussi être appliquée avec succès au modèle dynamique de Calogero conhé. Tout d'abord, en h a n t l'espace de position à coincider avec la ligne, on peut mon- trer que les positions d'équilibre classique du modèle dynamique de Calogero sont projetées à l'infini, de sorte que la limite f i ne peut être appliquée à ce modèle avec succès. Par contre, si l'on considère le modèle de Calogero c o f i é e t que l'on pose w = g = 1, on obtient alors des positions d'équilibre classique xi non-trivialles, caractérisées par la condit ion suivante

À l'appendice A, nous démontrons que ces positions d'équilibre ne sont que les zéros du polynôme de Hermite H N ( x ) et présentons toute une faniiile de règles de sommation satisfaites par ces zéros. Nous utiliserons ces règles de sommation régulièrement dans les prochains calculs. En termes de ces positions d'équilibre, on définit le modèle de Frahm-Polychronakos ( modèle FP) par la limite suivante L2:

Cette procédure donne

En s'inspirant des résuitats du modèle HS, considérons maintenant la limite clas- sique des opérateurs de Dunkl du modèle dynamique confiné :

(3.83)

'*On peut ici faire les mêmes remarques que pour le modèle HS (cf. p.36), en ce qui a trait à la Limite classique comme procédure possible de définition.

En h a n t w = g = 1 et en utilisant la règle de sommation (Ag) , on peut donc définir Les opérateurs de DunkI suivants

En termes de ces opérateurs, on peut définir une représentation de l'algèbre de Yang possédant un paramètre de déformation X = -2 :

Les ensembles involut& issus de cette représentation seront conservés dans le temps si l'on exige que le modèle FP soit symétrique sous l'algèbre de Yang (3.87). Or, en utilisant les règles de sommation (A.9) et (3.80), un calcul direct donne

Cette dernière expression s'annule en vertu de la condition d'équilibre classique (3.80). Ainsi, en fixant les particules sur des sites situés aux zéros du polynôme de Hermite, on obtient une chaîne de spins possédant une symétrie sous la représentation (3.87) de Y[su(n)]. Les premières lois de conservation I k issues de cette représentation sont alors données par

cHAÎNEs DE SPINS INTÉGRABLES 48

De plus, il est facile de voir que la limite classique des premiers Hk dynamiques est trivialle dans l'espace de spin, comme ce fut 1e cas pour le modèle HS. La question qui se pose maintenant est donc de savoir si le modèle FP est aussi caractérisé par un ensemble de forme {7-tk). L'existence d'un tel ensemble est tout d'abord corroborée par le fait que 'H(FP) est manifestement symétrique sous une translation globale des sites: xi + xi + 6. Ceci assure la conservation de la quantité de mouvement et donc l'existence d'une loi de conservation de la forme

En effet, il est facile de vérifier directement que cette expression c o m t e avec 7-PFP). NOUS d o n s maintenant utiliser les résultats de la section 3.1 pour calculer Les autres lois de conservation de l'ensemble {'Hk).

Calcul de ?i3

Pour n = 3, l'ansatz (3.4) donne

Les conditions (3.24) se réduisent alors à

Par essais et erreurs, on trouve que le seul a':;:) cyclique et non-trivial qui annule la condition dominante est donné par

(313) - 1 a i jk - X i j X j k X k

Mais avec ce choix, la condition sous-dominante ne s ' a ~ d e pas. En effet, en uti- lisant la règle de sommation (A.l8), on obtient

Ce résultat indique donc qu'il n'existe pas de loi 'H, possédant la forme donnée par I'ansatz (3.4). Il est toutefois possible d'obtenir une telle loi en modifiant légèrement cet ansatz. En effet, nous avons vu que malgré le caractère purement spinoriel de l7Hamiltonien, certaines lois de conservation (e-g. 'Hl ) possèdent en fait une structure cinétique infiuançant non-trividement les propriétés de commutations. En s'inspirant de cette observation, nous supposerons maintenant que les r: soient p l~~ tô t de la forme suivante :

où O, est un opérateur n'agissant que dans l'espace de position (i-e n'agissant que sur les sites) et ne cornmutant donc généralement pas avec les L'ajout de ce terme a pour effet de modifier le commutateur (3.21), qui devient :

Pour une loi paire, cette contribution ne se couple à aucune condition de (3.24) et on doit donc exiger

ce qui revient à dire que 02k doit être une loi de conservation purement spatiale. Ainsi, les lois de conservation paires peuvent être considérées comme étant pu- rement spinorielles et peuvent donc, en principe, être décrites correctement par l'ansatz (3.4). Par contre, pour une loi de conservation impaire, la contribution (3.100) se couple avec la condition sous-dominante, qui devient

cHABVES DE SPINS INTÉGRI~BLES 50

En posant n = 3 et en utilisant le résultat (3.98), cette condition prend la forme

On peut montrer que cette relation est satisfaite si l'on choisit 4 = -$ CE, z&, de sorte que l'on obtient la loi de conservation suivante :

Calcul de 3C4

Pour calculer W4, on peut utiliser l'ansatz (3.4) en toute confiance et poser:

Les conditions (3.24) se réduisent dors à

Choisissons maintenant le terme dominant sous la forme suivante :

En substituant cette forme dans (3.106), (3.107) et en développant explicitement les sommes cycliques, on trouve que ces deux conditions dominantes s'annulent.

Quant à la condition coupIée, eue devient

En utilisant une fois de plus la règle de sommation (A.18) et en effectuant les sommes cycliques, un calcul laborieux démontre que cette condition couplée s7itflllule si l'on pose

On obtient donc la quantité conservée suivante :

Discussion

Ainsi, nous avons pu calculer directement les premiers membres d'un ensemble conservé possédant la forme {7&} l3 :

Cet ensemble de quantités conservées n'est pas tout à fait analogue à celui qui a été obtenu pour le modèle HS. En effet, il est facile de vérifier que Hl ne commute

13~es lois de conservation (3.113) constituent la contribution principale de ce mémoire.

ni avec 7f3, ni avec F14. Ainsi, il semble que les lois de conservation impaires, même si elles possèdent une structure compatible avec un ensemble de forme { 7 f k ) ? ne peuvent faire partie d'un ensemble involutif. Cette observation pourrait s'expliquer naturellement si ces lois de conservation pouvaient être générées en prenant la limite f i du modèle dynamique confiné, puisque ce système ne possède que des lois paires. Or, en prenant la limite Ti des Hz- dynamiques du modèle confiné (donnés par (2.64)), on obtient l'expression suivante :

N CE-1 k-p- 1

xk = * { [li" (XI] '?jl) (X) (XI] i=l p=O

11 est facile de voir que cette formule engendre bien 3C(FP) comme première quantité conservée, ce qui semble corroborer sa validité. Par contre, les structures impliquées dans cette relation sont plus compliquées que pour le modèle HS (cf (3.78)) et la preuve d'involution sera donc substantiellement plus corsée. Nous ne possédons pas cette preuve et proposons donc au lecteur d'accepter, pour le moment, la formule (3.114) comme étant une conjecture plausible.

Conclusion

Dans ce mémoire, nous avons d'abord étudié l'intégrabilité des modèles dyna- miques de Sutherland et de Calogero (confiné), qui représentent des généralisations spinorielles du modèle quantique de Cdogercdutherland. Il fut démontré que l'intégrabiiité de ces modèles à longue portée émane en fait de leur symétrie sous une représentation particulière de l'algèbre de Yang. Les lois de conservation is- sues de cette symétrie sont alors caractérisées par deux ensemble involutifs: un ensemble CIk} et un ensemble {&). Nous nous sommes ensuite tournés vers l'étude de deux chaines de spins intégrables : les modèles de HaldaneShastry et de Frahm- Polychronakos.

La procédure habituelle de définition du modèle de Haldane-Shastry consiste à appliquer la limite classique au modèle de Sutherland. Nous avons démontré que cette procédure de définition est inconsistante, puisqu'elle est fondée sur une mauvaise introduction du facteur f i dans le modèle dynamique. Par contre, cette Limite classique peut tout de même être utilisée pour relier l'algèbre de symétrie du modèle de Haldane-Shastry à celle du modèle de Sutherland. Les quantités conservées issues de cette symétrie de Yang sont alors caractérisées par un seul ensemble involutif, de forme {&). Nous avons dors proposé la limite h comme nouvelle procédure de dénition du modèle de Haldane-Shastry et avons vu que cette procédure peut en fait être appliquée sur la totalité de l'ensemble dynamique {Hk) pour définir l'ensemble {Et) de la chaîne de spins.

En s'inspirant de ces résultats, nous avons ensuite défini la chaîne de spins de Frahm-Polychronakos comme étant la limite f i du modèle de Calogero confiné. La limite classique peut alors une fois de plus être utilisée pour relier les symétries de Yang de ces deux modèles. Tout comme pour le modèle de Haldane-Shastry, l'algèbre de Yang du modèle de Frahm-Polychronakos ne génère qu'un seul en- semble involutif, de forme {&). La contribution principale de ce mémoire consiste dors à avoir corroboré l'existence d'un ensemble (311) par le calcul direct de nouvelles lois de conservation possédant une telle structure. Nous avons alors constaté l'existence de lois de conservation impaires ne possédant pas la propnété d' involution. Cet te observation, jumelée à notre nouvelle procédure de définition, nous a alors permis d'énoncer une conjecture fort plausible quant à la structure de la totalité de l'ensemble {7&). Nous espérons que cette conjecture puisse être prouvée dans un futur prochain.

Appendice A

Dans cet appendice, nous démontrons la relation entre les positions d'équilibre du système CSC(V) et les zéros des polynômes de Herrnite. Nous présentons aussi une série de règles de sommation indispensables pour effectuer bon nombre de calculs relatifs au modèle FP. Considérons d'abord le polynôme de Hermite

qui satisfait l'équation différentielle siiivante

Soit {xi(N)} I'ensemble des zéros de HN(x) (où i = 1 . . . N) . Alors en évaluant (A.2) à un zéro quelconque xl , on trouve:

Or, en factorisant HN (x) en termes de ses zéros, on peut exprimer

où kN est une certaine constante. Substituant maintenant ces réSultats dans (A.3), il vient

A partir de cette règle de sommation. on peut dériver d'autres relations de formes plus complexes. Par exemple, pour incrémenter une puissance au numérateur, on peut procéder commme suit

APPENDICE A

tandis que pour incrémenter une puissance au dénominateur, on procède comme suit:

En utilisant de telles procédures, on peut en fait dériver toute une famille de règles de sommation l4 :

(A. 10)

(A. 11)

(A. 12)

(A. 13)

'"Certaines de ces règles de sommation ont déjà été publiées dans [17] et [la], mais les relations plus compliquées sont des résultats originaux

APPENDICE A 56

(A. 14)

(A. 15)

(A. 16)

(A.17)

(A. 18)

(A. 19)

(A.20)

(A. 2 1)

(A.22)

(A. 23)

APPENDICE A

On remarque alors que (A.lO) est tout simplement la condition d'équilibre du modèle classique CSC(V) ; ceci prouve que les positions des sites du modèle FP coïncident en fait avec les zéros du polynôme de Hermite H N ( x ) .

Appendice B

Cet appendice a pour but de démontrer que la matrice de monodromie de Ge-Wang donnée par (2.49)

peut être décomposée sur la représentation fondamentale selon l5

avec (B-3)

Puisque cette décomposition est trivialiement valide pour N = 1, nous procéderons par induction et supposerons donc que To (u, N) = n{T0(u, N)} pour une certaine valeur de N. On a dors

La preuve par induction sera donc complète si lion peut démontrer que

15Cette décomposition fut énoncée sans preuve dans [12].

APPENDICE B 59

Or, en développant les produits de P ( u , N), on peut obtenir une expression plus explicite pour nPN+L

En utilisant ce développement. la condition (B.5) se réduit à

Une condition équivalente à (B.7) est donnée par

- DN+JG,,,) = .

Or, on peut calculer

(B. 10)

APPENDICE 8

En introduisant la nouvelle variabïe q = k - 1, r2 résultat devient

La somme sur ies variables in peut être récrite en h a n t la variable de valeur la plus élevée i,+l = p, puis en sommant sur les sowamas il.. . iq et en considérant toute. les valeurs possibles de p. On obtient alors

En factorisant maintenant Ia somme sur p, on obtient le résultat

(B. 11)

Or, n{d,) = 0 étant simplement la condition assurant P ( u , N) = II{p(u, N ) ) , on voit que (B. 11) s'annule si l'on suppose que cette décomposition est valide pour p = 1,2.. . N. Ainsi, la validité de la décomposition pour p = 1- 2 . . . N assure sa validité pour p = iV + 1, ce qui complète la preuve.

Références

[II P. Lax, Integrah of nonlinear euolutïon equations and solitary waves, Com- mun. Pure Appl. Math. 21, 467-490, (1968)

121 H. Flaschka, The Toda lattice. 1. Ezistence of zntegrals, Phys-Reu. B9, 1 9 2 4 1925: (1974)

[;3] S. Manakov, Complete integmbilzty and stochastizatzon of dismete dynamical systems, Zh. Sou. Phys. JETP 40, 269-274, (1975)

[4] Moser, T h e e integrable hamiltonian s ystems connected vith isospect~al defor- mations, Adv. Math. 16, 197-220, (1975)

[5] F. Calogero, Exactly solvable one-dimensional rnany-body problems, Lett. Nuovo. Cim 16, 35-38, (1976)

[6] F. Cdogero, On a j%nctzonal equatzon connected unth integrable many-body pro blems, Lett. Nuovo. Cim 16, 77-80, (1976)

[7] C.S. Gardner, J.M Greene, M D . Kruskal et R.M. Miura, Method for solving the Korteweg-de Vries equatzon, Phys. Rev. Lett. 19, 1095-7, (1967)

[8] K. Hikami, Yangian symmetry and Virasoro character in a lattice spin systern with Long Range Interactions, Nucl. Phys. B441, [FS], 530-548 (19%)-

[9] J-C. Talstra, F.D.M Haldane, Integral. of motion of the Haldane-Shastry mo- del, cond-mat19411065

[IO] F.D.M Haldane, Physzcs of the ideal semion gas : spznons and quantum sym- metries of the integrable Haldane-Shastry model, cond-mat1940 100 1 (1994)

[ I l ] M.L. Ge et Y . Wang, Long range interaction models and Yangian symme- try,Phys. Rev. E, cond-mat/9509080 (1995)

[12] D.Bernard, M. Gaudin, F.D.M Haldane et V. Pasquier, Yang-Baxter eqîlation in spin chaïns with long range inte~actions, J. Phys. A: illath. Gen. 26, 5219 (1993)

[13] F .D .M Haldane, Z .N.C Ha: J . C . Talstra, D.Bernard et V. Pasquier, Phys. Rev. Lett. 69, 2021 (1992)

[14] A.P. Polychronakos, Exchange operator fonnalism for integrable systems of particles, Phys. Rev. Lett. 69, 703 (1992)

[15] A. P. Polychronakos, Lattice integrable syslems of Haldane-Shastry type, Phys. Rev. Lett. 70, 15 (1993).

[16] M. Fowler, J . A. blinahan, Invariants of the SU(N) Haldane-Shastry chazn, Phys-Reu. Lett. 70. 2325, (199.3).

[17] F. Calogero, O n the zeroes of Hennite polynomials , Lett. Nuouo CÊm. 20,14, (1977).

[18] S. Ahmed, M. Bruschi et F. Calogero, Propertzes of the zeroes of the classical polynomzals and of the Bessel functions, Lett. Nuouo Cim. 49 B,2, (1979).

[19] M.P. Grabowski et P. Mathieu, The Structure of conserued charges in open spin chains, J. Phys. A: Math. Gen. 29: 7635-7650 (1996).

[20] M.P. Grabowski et P. Mathieu, Stmctum of the conservation Iaws in quantum integrable spzn chazns with short range interactions, Ann-Phys. 243, 2, 299 (1995).

[21] A.P. Polychronakos, Exact spectmm of SU(n) spzn chain with inverse-square exchange, Nucl. Phys. B419, 553 (1994)

[2S] H. Frahm Spectrum of a spin chain with inverse square ezchange, J. Phys. A26, L473 (1993)

[23] M.A. Olshanetsky et A.M. Perelemov? Classical integrable finite-dimemional systems related to Lie algebras, Physics Reports 71, 5, 313-400 (1981).

[24] A.M. Perelemov, lntegra ble s ystems of classical mechanics and Lie algebras, vol. 1, Birkhauser Verlag (1990).

[25] M A . OlshanetsS. et A.M. Perelemov, Quantum integrable systems related to Lie algebras, Physics Reports 94, 6 , 313-404 (1983)

[26] V.I. Inozemtsev, J. Stat. Phys. 59, 1143 (1990).

[27] H. Bateman, A. Erdelyi, Higher transcendental functzons, vol. 3, (NY, 1955).

[28] C.F. Dunkl, Trans. Amer. Math. Soc. 311, 167 (1989)