calcul tensoriel - contract e des tenseurs a ... exemple : matrice des contraintes :

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  • Calcul Tensoriel

    Universite de Bretagne Sud

    Herve LAURENT/Gerard RIO

    version 2001/2002

  • 2

  • Table des matieres

    1 Rappels sur les espaces vectoriels en geometrie differentielle 71.1 Espace vectoriel sur IR [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Sous Espace Vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Base dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.3.1 Combinaison lineaire de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Espace vectoriel engendre et famille generatrice . . . . . . . . . . 81.3.3 Partie libre, partie liee dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 81.3.4 Base dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.4 Dimension dun espace vectoriel fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Espace vectoriel euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Espace affine euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2 Introduction a la notion de tenseurs 112.1 Extension de la notion de vecteurs et scalaires . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Somme de deux sous espace vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3 Base duale 153.1 Produit scalaire dans une base ~ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Utilisation du symbole de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Definition generale du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Composantes contravariantes et covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    4 Changement de base 194.1 Changement de base pour les composantes dun vecteur . . . . . . . . . 19

    4.1.1 Etude du comportement des composantes contravariantes dansun changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    4.1.2 Etude du comportement des composantes covariantes dans unchangement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    4.2 Changement de base pour les composantes dun tenseur . . . . . . . . . 21

    5 Operations sur les tenseurs 235.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Addition et multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.4 Contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.5 Produit Contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.6 Tenseur symetrique et anti-symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    3

  • 4

    6 Tenseur metrique ou tenseur fondamental 276.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    7 Coordonnees curvilignes 297.1 Reperes rectilignes et curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3 Notion de tenseur absolu et relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    8 Determinant et produit vectoriel 338.1 Tenseur permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    8.1.1 Expression generale du determinant . . . . . . . . . . . . . . . . 348.1.2 Passage entre 2 bases naturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.1.3 Passage entre le repere absolu et le parametrage i . . . . . . . . 35

    8.2 Tenseur permutation absolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.3 Produit vectoriel (cross product en anglais) . . . . . . . . . . . . . . . . 368.4 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.5 Element de surface et de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    9 Derivees et integrales 399.1 Symboles de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    9.1.1 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.2 Derivee covariante dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.3 Gradient-Derivee covariante dun scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.4 Derivee covariante dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.5 Cas du tenseur metrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.6 Derivees seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.7 Operateur de derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    9.7.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.7.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.7.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.7.4 Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    9.8 Theoreme de la divergence et du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . 469.8.1 Theoreme de la divergence : cas dune surface . . . . . . . . . . . 469.8.2 Theoreme de Gauss : cas dune volume . . . . . . . . . . . . . . . 479.8.3 Theoreme du rotationnel ou theoreme de Stockes . . . . . . . . . 47

  • Notations

    Notation matricielle :[ ] matrice( ) vecteur colonne< > vecteur ligneNotation indicielle :a . . . h concerne les coordonnees dans le repere cartesien (variant de 1 a 3)i . . . q concerne les coordonnees curvilignes (variant de 1 a 3) . . . concerne les coordonnees curvilignes (variant de 1 a 2)

    Algebre

    a, . . . , z; A, . . . , Z scalaire ( IR)a , . . . ,z vecteurs ( IRn)A, . . . , Z

    tenseurs ( IRn)

    ij = ij = ij symbole de Kronecker

    Id

    tenseur identite

    eijk composantes du tenseur permutationijk composantes du tenseur permutation absolu a norme euclidienne du vecteur a|a| = det

    [a

    ]determinant du tenseur a

    a .b produit scalaire des vecteurs a et

    b

    a b produit vectoriel des vecteurs a et

    b

    a

    : b

    produit contracte des tenseurs a

    et b

    a b

    produit tensoriel des tenseurs a

    et b

    i parametrage curviligneijk symbole de Christoffel de premiere especeijk symbole de Christoffel de seconde espece

    5

  • 6

  • Chapitre 1

    Rappels sur les espaces vectorielsen geometrie differentielle

    1.1 Espace vectoriel sur IR [5]

    Definition : Un ensemble de vecteurs e est un espace vectoriel sur IR si leselements de e composes des vecteurs x , y , z , . . . ont les proprietes suivantes :

    1. Operations daddition (loi de composition interne)

    (a) Commutativite : x +y = y +x(b) Associativite : x + (y +z ) = (x +y ) +z(c) Element neutre : un vecteur nul

    O | x +

    O = x

    (d) Element symetrique : pour chaque vecteur, un vecteur oppose notex tel que : x + (x ) =

    O

    2. Operations de multiplication par un scalaire (loi de composition ex-terne)

    (a) Pour tout x e on a : 1.x = x(b) Associativite : pour tout x e et pour tous reels et , on a :

    . (.x ) = (.) .x(c) Distributivite des scalaires par rapport a laddition : pour tout x e

    et pour tous reels et , on a : ( + ) .x = .x + .x(d) Distributivite des vecteurs par rapport a laddition : pour tout x e

    et pour tous reels et , on a :

    . (x +y ) = .x + .y

    Un espace vectoriel possede les proprietes suivantes :

    1. Pour tout x , y , z de e : x +y = x +z y = z2. Pour tout x , y de e, il existe un unique vecteur z tel que x = y +z3. Pour tout x e et pour tout reel on a :

    .x = 0 = 0 ou x = 0

    7

  • 8

    1.2 Sous Espace Vectoriel

    Definition : On nomme sous espace vectoriel dun espace vectoriel e, toutepartie e non vide de e stable pour les operations daddition et de multiplicationdefinies sur e. x , y e et pour tout reel et :

    (x + y ) appartient a e

    On montre alors que e est un espace vectoriel muni des operations daddition etde multiplication.

    1.3 Base dun espace vectoriel

    1.3.1 Combinaison lineaire de vecteurs

    Soit e un espace vectoriel sur IR et soit (e1 , e2 , . . . , en) un sous ensemble finide vecteurs de e. On appelle combinaison lineaire des vecteurs e1 , e2 , . . . , entout vecteur v tel que :

    v = 1e1 + 2e2 + + nen =ni=1

    iei

    Rq : v est toujours un element de e.

    1.3.2 Espace vectoriel engendre et famille generatrice

    Lensemble des combinaisons lineaires des vecteurs de toute partie finie(e1 , e2 , . . . , en) dun espace vectoriel e est un sous espace vectoriel de e, ap-pele sous espace vectoriel engendre par : e1 , e2 , . . . , enUne partie G ou famille de vecteur dun espace vectoriel e est dite genera-trice de e si tout vecteur de e est une combinaison lineaire de G.

    1.3.3 Partie libre, partie liee dun espace vectoriel

    Une partie dun espace vectoriel e sur IR, est dite libre si pour tout nombrefini delements (e1 , e2 , . . . , en) de cette partie on a :

    ni=1

    iei =

    0 = 1 = 2 = = n = 0

    La partie liee dans le cas contraire.Propriete : si une partie L est une partie liee dun espace vectoriel, alors lunau moins des vecteurs de L est une combinaison lineaire dautres vecteurs de L.

  • 9

    1.3.4 Base dun espace vectoriel

    On nomme base dun espace vectoriel toute partie generatrice et libre decet espace vectoriel.

    Propriete caracteristique dune base : pour quune partie B dun espacevectoriel e soit une base de e, il faut et il suffit que tout vecteur de e sexprimede facon unique, par une combinaison lineaire dun nombre fini de vecteursde e.

    Coordonnees dun vecteur dans une base donnee soit B =(e1 , e2 , . . . , en) une base finie dun espace vectoriel e sur

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