tenseurs - mmaya. dans le calcul tensoriel, ... en particulier, si les deux matrices sont inverses...

Download TENSEURS - mmaya.  Dans le calcul tensoriel, ... En particulier, si les deux matrices sont inverses l'une de l'autre, le produit doit nous donner la matrice

If you can't read please download the document

Post on 06-Feb-2018

215 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • TENSEURS

    Dans le calcul tensoriel, on veut exprimer la faon dont se transforment dans un changement de base les

    composantes des lments d'un espace vectoriel et d'un produit d'espace vectoriel.

    En fait, on recherche systmatiquement les valeurs intrinsques. On exprimera des relations qui seront

    indpendantes du systme de coordonnes utilis pour les expliciter. En effet, seules ces relations pourront

    exprimer une ralit physique. La puissance galilenne d'une force ne peut en aucun cas tre dpendante du

    repre de calcul choisit.

    Convention d'criture

    Dj dans un seul espace vectoriel dimension peu leve, le formulaire de changement de base est

    lourd. On conoit donc des difficults d'criture pour des cas un peu complexes. Il est important de condenser les

    critures afin les rendre plus maniables.

    Convention d'Einstein

    Souvent nous devrons exprimer des sommes de monmes. L'habitude veut qu'alors on utilise des

    indices de valeurs variables. La variation de ces indices est essentiellement fonction de la dimension de l'espace

    vectoriel concern.

    La convention d'Einstein permet une simplification supplmentaire.

    Tout monme o certains indices littraux figurent chacun deux fois, en position suprieure

    dans un facteur et en position infrieure dans un autre, reprsente la somme de tous les monmes

    analogues, avec chacun de ces indices rpts prenant n valeurs.

    Un indice rpt est appel indice muet.

    nn

    n

    i

    i

    i

    i

    i vuvuvuvuvu

    22

    1

    1

    1

    a x y a x yiji j

    ij

    i j

    j

    n

    i

    n

    11

    Un indice non muet est dit libre.

    Toute galit o figurent certains indices libres, la mme hauteur aux deux membres,

    s'entendra comme valables pour toutes les valeurs de 1 n de ces indices.

    Une telle quation reprsentera en ralit un systme de pn galits si elle comporte p indices libres.

  • 3pour333

    3

    23

    2

    13

    1

    232

    3

    22

    2

    12

    1

    131

    3

    21

    2

    11

    1

    n

    yxaxaxa

    yxaxaxa

    yxaxaxa

    yxa hihi

    Remarques

    * L'emploi d'indices suprieurs peut crer un risque de confusion avec l'criture des puissances.

    Aussi en criture indicielle, on convient d'une notation particulire pour les puissances. On dsignera par pa la

    imep puissance de a.

    * Un monme reste inchang lorsqu'on change la lettre qui dsigne un indice muet:

    lmn

    lm

    jik

    ij

    ml

    lmn

    ji

    ijkm

    lm

    l

    i

    j

    j

    i

    h

    h

    i

    i vxvxyxyxxyayxavuvu

    * Pour dsigner un monme par une lettre unique, on devra la munir des mmes indices libres

    que le monme :

    pq

    m

    l

    i

    i

    o

    opq

    lmk

    ji

    ijk

    i

    j

    j

    i

    i

    i xwyxfyxapvu

    * Il est impratif de ne pas tripler les indices muets. En effet, l'criture j

    j

    j

    i yxa n'a aucun

    sens, les critures l

    j

    j

    i yxa et j

    j

    l

    i yxa ayant chacune un sens diffrent.

    * Si on veut dire jiba est gal 1 si i est gal j, il faut crire :

    a b i ji j 1 si

    En effet, la formule condense a bi i 1 reprsente tout autre chose.

    Rgles de calcul

    Dans la convention d'Einstein, on peut traiter les oprations suivant les rgles de calcul des oprateurs

    utiliss. On obtient ainsi :

    Les additions sont associatives et commutatives.

    Les multiplications sont associatives et distributives, droite comme gauche, par rapport aux

    additions.

    .

    n

    i

    kik

    in

    i

    n

    m

    n

    h

    h

    kih

    mi

    m

    h

    kih

    mi

    mik

    i

    n

    h

    h

    kjh

    n

    m

    mi

    m

    h

    kjh

    mi

    mjk

    i

    jl

    j

    i

    l

    j

    j

    i

    j

    jl

    j

    i

    l

    ji

    j

    ji

    j

    iiii

    h

    kjhjk

    jl

    j

    i

    l

    iji

    j

    iji

    j

    i

    utpycxaycxatp

    ycxaycxatp

    xbaxxbxarqps

    yctxrxbqxap

    11 1 1

    11

    .

    )(

    Remarques

    * Le calcul formel ne permet pas toutes les oprations classiques. En particulier, les oprations

    de simplifications par division doivent tre menes avec prcautions.

    i

    i

    i

    i

    i

    a

    bx

    a

    bxa

    0

  • * Les rgles de calcul ncessitent d'tre trs rigoureux sur l'emploi des indices. En effet, il ne

    faut pas confondre le produit ii xu par iw qui est reprsent par il

    l wxu avec le produit de iu par iiwx qui

    est reprsent par l

    l

    i wxu .

    Applications aux matrices

    Pour une matrice carre A n lignes et n colonnes, nous dsignerons souvent par i

    ja au lieu de ija le

    terme reprsentant l'lment de la ligne i et de la colonne j. On utilisera ainsi la convention de notation o-li-ba-co

    (haut=ligne, bas=colonne). Nous crirons donc :

    ijaA Pour l'expression du dterminant, on aura :

    i

    jaA )(Det

    Avec ces notations, le produit de deux matrices s'exprime trs facilement :

    i

    k

    j

    k

    i

    j cbaCBA

    En particulier, si les deux matrices sont inverses l'une de l'autre, le produit doit nous donner la matrice

    identit :

    i

    k

    j

    k

    i

    jbaIBA

    On voit ainsi apparatre le symbole de KRONECKER :

    ki

    kiik

    ik

    i

    ksi0

    si1

    On peut pressentir la rsolution d'un systme :

    ij

    i

    jiji

    j ybxyxa

    Le calcul du dterminant permet de faire apparatre le pseudo-tenseur de LEVI-CIVITA appel parfois

    le deuxime symbole de KRONECKER :

    n

    iii

    iiii

    n

    ii

    iii n

    nn

    naaaaaaA

    21

    21 21

    2121

    21)(Det

    avec :

    niii

    niii

    n

    n

    iii

    iiin

    n

    ,,2,1 de impairen permutatio uneest ,,, si1

    ,,2,1 de pairen permutatio uneest ,,, si1

    gauxsont indices desdeux si0

    21

    2121

    21

    En fait on peut obtenir aussi des critures intressantes en faisant intervenir les cofacteurs des lments

    de la matrice A. En notant i

    j ( ijjii

    j )1( ) le cofacteur de ija , on a :

    )(Det Aa ikj

    k

    i

    j

    Si le dterminant de la matrice A est non nul, on peut retrouver les lments de la matrice B inverse de A

    :

    ijjii

    j

    i

    ji

    jA

    b

    )1()(Det

    La valeur du dterminant devient :

    n

    i

    n

    j

    i

    j

    j

    i

    i

    j

    j

    i aaA1 1

    )(Det

  • Application aux formes quadratiques

    Considrons la forme quadratique, coefficients symtriques ( jiij aa ), dfinie par :

    jiij xxaxg

    Les termes ija sont des constantes scalaires, et les ix sont des variables scalaires produits

    commutatifs. Cette commutativit permet d'crire tout terme du type 21

    122 xxa comme la somme 21

    21

    21

    12 xxaxxa .

    Le calcul de la diffrentielle de la forme quadratique nous donne :

    ijjiij dxxdxxagd En jouant sur la permutation des indices muets et la symtrie de la forme quadratique, on peut crire :

    ij

    ij

    ij

    ji

    ji

    ij dxxadxxadxxa

    Ce qui nous donne :

    ij

    ij dxxagd 2

    On peut ainsi obtenir la drive partielle de la forme quadratique par rapport la variable ix :

    j

    ijixa

    x

    g2

    La notation de cette drive partielle peut tre aussi abrge :

    j

    ijiixag

    x

    g2,

    Le calcul prcdent permet de retrouver l'identit d'Euler pour les fonctions homognes de degr 2 :

    ggx ii 2,

    Espaces vectoriels affines. Espaces vectoriels mtriques

    Les proprits des tenseurs seront trs diffrentes suivant la nature des espaces dans lesquels ils seront

    dfinis. L'usage impose de distinguer deux cas : l'espace vectoriel affine et l'espace mtrique qui contient les

    espaces vectoriels euclidien. La distinction est importante car si certaines formules tensorielles prennent des

    formes simples dans un espace euclidien, il est parfois ncessaire d'employer des espaces vectoriels affines.

    Espaces vectoriels affines

    Dans ce type d'espace, on admet les postulats qui permettent de dfinir des vecteurs. L'espace n

    dimensions comportera n axes de coordonnes ayant priori chacun une unit particulire. Un vecteur arbitraire

    v

    sera reprsent par ses composantes nvvv ,,, 21 suivant les diffrents axes sur lesquels nous aurons au

    pralable dfini des units neee

    ,,, 21 .

    ii evv

    La longueur absolue du vecteur v

    ne peut pas tre dfinie puisqu'il n'y a aucune commune mesure

    entre les diffrentes composantes nvvv ,,, 21 . La distance de deux points ne peut pas tre mesure.

  • De prime abord, ces notions surprennent et on comprend mal l'utilit de ce type d'espace. Toutefois en

    physique on fait souvent usage de figures ou de diagrammes tracs en gomtrie affine.

    En thermodynamique par exemple, on trace des diagrammes d'tats faisant intervenir les variables

    pression, volume et temprature. Pour le mcanicien, la loi de comportement d'un matriau peut parfois tre

    reprsent dans un espac

Recommended

View more >