E ole Nationale Supérieure des Télé ommuni ationsUniversité de Marne-la-ValléeMÉMOIREprésenté pour obtenirl'Habilitation à Diriger des Re her hesparPhilippe CiblatSyn hronisation et attribution des ressour esen télé ommuni ations sans �lsoutenue le 2 juillet 2007devant la ommission d'examen suivante :Président Lu VandendorpeRapporteurs Pierre ComonPierre DuhamelMar o LuiseExaminateurs Jean-François HélardPhilippe Loubaton

A mon frère

ii

Table des matièresListe des sigles et a ronymes 1I Par ours professionnel 31 Curri ulum vitae 51.1 Etat ivil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Dipl�mes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 A tivités professionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Thèse de do torat 72.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Identi� ation du �ltre en présen e de signaux à bande limitée . . . . . . . . . . . . 82.3 Estimation de la période-symbole et du résidu de porteuse . . . . . . . . . . . . . . 83 A tivités d'enseignement 133.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Enseignement ante-ENST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Enseignement ENST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.1 Formation ingénieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.2 Masters re her he . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.3 Formation ontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.4 Do uments pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 A tivités de re her he 194.1 Thèmes de re her he . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Contrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3 E oles d'été . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5 Collaborations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 En adrement 255.1 Do torants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Postdo torant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Stagiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Publi ations 276.1 Arti les de revue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 Congrès internationaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.3 Congrès nationaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

iv Table des matièresII Travaux de re her he 337 Syn hronisation pour les systèmes avan és de ommuni ation 357.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.2 Estimation du résidu de fréquen e porteuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.2.1 De nouveaux estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.2.2 Evaluation de bornes minimales de performan es . . . . . . . . . . . . . . . 437.2.3 Etude du phénomène de dé ro hement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.2.4 Con eption de séquen e d'apprentissage optimale . . . . . . . . . . . . . . . 517.3 Estimation du résidu de fréquen e d'horloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.4 Estimation de la phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.5 Estimation du dé alage temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 Performan es limites de systèmes ultra-large bande 578.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.2 Etude relative à l'interféren e multi-utilisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.3 Etude relative à l'interféren e entre symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.4 Estimation du anal de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 Allo ation de ressour es entre plusieurs utilisateurs 639.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.2 Contexte du anal in onnu à l'émetteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.3 Contexte du anal onnu à l'émetteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6510 Perspe tives de re her he 67

Liste des sigles et a ronymesPar sou i de lisibilité, les sigles et a ronymes seront par imonieusement utilisés dans e ma-nus rit. Toutefois, pour les termes très fréquents, leur utilisation sera privilégiée. La signi� ationd'un sigle ou d'un a ronyme ne sera rappelée qu'à sa première apparition à haque partie de emanus rit. De plus, nous utiliserons souvent le sigle ou l'a ronyme le plus ouramment employé parla ommunauté s ienti�que, 'est-à-dire, orrespondant à des termes anglais. Dans la suite, nousdonnons la signi� ation des sigles et a ronymes ren ontrés.BB Borne de Barankin / Barankin BoundCDMA A ès multiple à répartition par odes / Code Division Multiple A essCFO Résidu de fréquen e porteuse / Carrier Frequen e O�setCRB Borne de Cramer-Rao / Cramer-Rao BoundCCRB CRB onditionelle/ Conditional CRBCPL Courant porteur en ligne / Communi ations on powerlineDD Dirigé par les dé isions / De ision Dire tedDMT Compromis diversité - multiplexage / Diversity-Multiplexing gain trade-o�DS-CDMA CDMA à séquen e dire te / Dire t Sequen e - CDMAEQM Erreur Quadratique MoyenneFDMA A ès multiple à répartition par fréquen e / Freq. Div. Multiple A essFH-OFDMA OFDMA à saut de fréquen e / Frequen y Hopping OFDMAGCRB CRB gaussienne / Gaussian CRBMAC Contr�le d'a ès au médium / Medium A es ControlMAQ Modulation amplitude quadratureMC-CDMA CDMA multi-porteuses / Multi-Carrier CDMAMC-DS-CDMA CDMA à séquen e dire te par porteuseMCRB CRB modi�ée / Modi�ed CRBMDA Modulation d'amplitudeMDP Modulation de phaseMIMO Plusieurs entrées - plusieurs sorties /Multi-Input Multi OutputML Maximum de vraisemblan e / Maximum LikelihoodOFDM Multiplexage fréquentiel orthogonal / Ortho. Freq. Div. MultiplexingOFDMA A ès multiple par OFDM / OFDM A essOQAM MAQ dé alée / O�set QAMRSB Rapport Signal-à-BruitSFO Résidu de fréquen e d'é hantillonnage / Sampling Frequen e O�setTCRB Vraie CRB / True CRBTEB Taux d'Erreur BinaireTNT Télévision numérique terrestreUE Unité d'enseignementULB Ultra large bandeZZB Borne de Ziv-Zakaï / Ziv-Zakaï Bound

2 Liste des sigles et a ronymes

Première partiePar ours professionnel

Chapitre 1Curri ulum vitae1.1 Etat ivilPhilippe CiblatNé à Paris en 1973Nationalité françaiseMarié, un enfantMaître de onféren esGroupe Communi ations NumériquesDépartement Communi ations et Ele troniqueE ole Nationale Supérieure des Télé ommuni ations (ENST)46, rue Barrault 75013 ParisTéléphone : 01 45 81 77 28Télé opie : 01 45 89 00 20Courriel : philippe. iblat�enst.frSite Internet : http ://www. omele .enst.fr/∼ iblat/1.2 Dipl�mes1996-2000 :� Do torant au sein du Laboratoire de Système de Communi ation de l'Université deMarne-la-Vallée.Titre : Quelques problèmes d'estimation relatifs aux télé ommuni ations non- oopératives.sous la dire tion de Philippe Loubaton et ave un �nan ement de la DGA.Jury :Dr. Pierre Duhamel CNRS/LSS présidentProf. Eri Moulines ENST rapporteurProf. Georges Vezzosi Univ. Rennes 1 rapporteurProf. Olivier Besson ENSICA examinateurM. Mi hel Granger DGA examinateurProf. Phillip Regalia INT examinateurProf. Philippe Loubaton UMLV dire teur.Un résumé de mes travaux de thèse est exposé au hapitre 2.

6 Curri ulum vitae1995-1996 :� Troisième année à l'ENST (Option Traitement du Signal).� DEA d'Automatique et Traitement du Signal à l'Université d'Orsay, mention Bien.� Stage de DEA au sein du Département Traitement du Signal de l'ENSTTitre : Optimisation H∞ d'un ban de �ltres paraunitairesous la dire tion de Pierre Duhamel.1994-1995 :� Deuxième année à l'ENST (Spé ialisation en Ele tronique, Communi ations numériqueset Traitement du Signal).� Stage Ingénieur au sein du Laboratoire de Télé ommuni ations et Télédéte tion de l'Uni-versité atholique de Louvain (Louvain-la-Neuve, Belgique)Titre : Interpolation lo ale dans une dé omposition en ondelettes d'une imagesous la dire tion de Benoît Ma q.1993-1994 :� Première année à l'ENST.� Li en e de Mathématiques à l'Université Paris VII, mention Assez Bien.1991-93 :� Admis au on ours d'entrée à l'ENST.� Mathématiques Supérieures et Spé iales M' au Ly ée Condor et (Paris).� DEUG de S ien es à l'Université Paris VII, mention Très Bien.1990-91 :� Ba alauréat C, mention Bien.1.3 A tivités professionnelles2001-présent :� Maître de Conféren es à l'ENST.2000-2001 :� Postdo torant au Laboratoire de Télé ommuni ations de l'Université atholique de Lou-vain (Louvain-la-Neuve, Belgique)Titre : Estimation semi-aveugle du résidu de porteuse dans divers systèmes de transmissionsous la responsabilité de Lu Vandendorpe et le on ours �nan ier de l'INRIA.1997-1998 :� S ienti�que du Contingent au Laboratoire de Traitement d'Antennes de Thalès (ex -Thomson-CSF Communi ations)Titre : Implantation temps-réel d'un traitement d'antennes osite et d'un ré epteur multi- apteur (Filtrage d'Antenne Spatial- Réplique Filtrée)sous la responsabilité de Pas al Chevalier et François Pipon.

Chapitre 2Thèse de do torat2.1 Introdu tionLa partie de ma thèse dédiée à l'estimation autodida te de paramètres de syn hronisationa fortement in�uen ée un ertain nombre de mes travaux de re her he post-do torat. De plusne souhaitant pas répéter des résultats de ma thèse dans la partie onsa rée à mes travaux dere her he post-do torat, nous allons dé rire maintenant mes travaux de thèse assez longuement etnotamment la partie relative à la problématique de syn hronisation ( f. se tion 2.3).Au ours de mes trois années de thèse, nous nous sommes attardés sur divers problèmes deré upération autodida te de l'information émise par un modèle d'une ommuni ation numérique lassique mono-porteuse, mono-utilisateur et mono- apteur.Le modèle mathématique d'une telle ommuni ation est le suivant : l'enveloppe omplexe dusignal analogique reçu ya(t) s'é rit sous la formeya(t) =

(∑

n∈Z

snha(t− nTs)

)e2iπ(δf0t+φ0) + ba(t) (2.1)ave {sn}n∈Z une suite de symboles indépendants et identiquement distribués de période-symbole

Ts. ha(t) représente un �ltre in onnu résultant de l'e�et onjugué d'un �ltre de mise en forme àbande limitée (dans e qui suit, nous onsidérerons toujours un �ltre en ra ine de osinus surélevéde fa teur d'ex ès de bande ρ) et d'un anal à trajets multiples. ba(t) est un bruit additif gaussienblan de densité N0 par dimension réelle. δf0 est un éventuel résidu de fréquen e porteuse in onnuprovenant d'un é art entre la porteuse de l'émetteur et de la fréquen e utilisée par le ré epteur pourformer le signal en bande de base ou provenant de l'e�et Doppler. Le terme φ0 in onnu représenteun éventuel déphasage global du signal.Le but de notre travail a onsisté à ré upérer les symboles émis {sn}n∈Z grâ e à la seule onnaissan e du signal reçu ya(t), dans le as où le ré epteur a une onnaissan e partielle del'émetteur ( 'est-à-dire, δf0 = 0 et Ts onnu) et dans le as moins favorable où Ts et δf0 sontégalement in onnus.Dans le adre de la première problématique où l'émetteur est partiellement onnu, nous avonsanalysé, théoriquement et numériquement, les performan es de te hniques d'identi� ation aveuglebasées sur les statistiques y liques du se ond ordre du signal reçu suré hantillonné d'un fa teur 2dans le ontexte des signaux à bande limitée.Dans la se onde partie, nous nous plaçons dans un ontexte lairement non- oopératif. C'estpourquoi nous nous sommes fo alisés d'abord sur l'estimation de la période-symbole Ts basée surles orrélations y liques du signal reçu ya(t). Nous avons étudié les performan es asymptotiquesd'un tel estimateur. Ce problème, en fait, est en lien dire t ave l'estimation de la fréquen e d'unsignal ve toriel sinusoïdal orrompu par un bruit additif non-gaussien. Ce type de problématiqueintervient dans de nombreuses autres situations, omme l'estimation du résidu de porteuse. C'estpourquoi nos derniers travaux y ont été onsa rés.Ces travaux de thèse ont onduit à la publi ation de trois revues internationales [R1,R2,R3℄,de six ongrès internationaux [CI2-CI7℄ et de deux ongrès nationaux [CN1,CN2℄.

8 Thèse de do torat2.2 Identi� ation du �ltre en présen e de signaux à bandelimitéeCe travail a été motivé par le onstat suivant. Divers auteurs ont remarqué que la plupart desalgorithmes d'identi� ation aveugle au se ond ordre déjà publiés ont des performan es d'autant plusmauvaises que le signal reçu est à bande limitée. Cependant, au une expli ation de e phénomènen'a été rapportée dans la littérature. Nous avons mis en éviden e les raisons pré ises de et état defait, dans le but de déterminer si des solutions peuvent étre trouvées. Nous nous sommes fo aliséssur l'analyse de la méthode sous-espa e proposée dans [43℄.Nous avons montré, dans un premier temps, que la méthode sous-espa e ne permet pas d'estimer orre tement le anal, lorsque elui- i est à bande limitée. La méthode sous-espa e est basée sur lesstatistiques y liques du signal reçu suré hantillonné. Ce sont les statistiques supplémentaires dûe àla y lostationnarité qui rendent le problème d'identi� ation résoluble. Malheureusement, pour dessignaux à bande limitée, es statistiques supplémentaires sont extrêmement faibles numériquement.C'est la raison intuitive pour laquelle on peut s'attendre à de piètres performan es des méthodes ause ond ordre dans le as bande limitée. De manière plus pré ise, en analysant le noyau de la formequadratique Q issue de e type de méthodes, il apparaît que des ve teurs, appelés � sphéroïdaux �,appartiennent au noyau de ette forme quadratique, en raison de la limitation en bande des anaux.Ce i naturellement perturbe notablement l'identi� ation du �ltre.De plus nous avons analysé les onséquen es de la limitation en bande des �ltres pour dess hémas à � y lostationnarité induite à l'émetteur � [11℄. Ces s hémas ont l'avantage de modi�erl'information y lique à l'émission e qui a pour e�et de la rendre non négligeable numériquementmalgré la présen e de signaux à bande limitée. De nouveau une méthode de type sous-espa e peutêtre adaptée et mise en pla e. L'analyse des élements propres de la matri e quadratique issue dela méthode sous-espa e adaptée nous a permis de déterminer et de dimensionner les stru tures de y lostationnarité induite à l'émetteur permettant d'être robuste au ara tère bande limitée dessignaux reçus.2.3 Estimation de la période-symbole et du résidu de por-teuseDans le adre des ommuni ations non oopératives, re onsidérons le modèle fourni par l'équa-tion (2.1). Cette fois- i nous supposons aussi ne pas onnaître la valeur de la période Ts des sym-boles émis. Nous nous sommes don atta hés à l'étude de son estimation à partir des statistiquesdu se ond ordre du signal reçu.Le prin ipe de l'estimation de la période des symboles est d'é hantillonner le signal analogiqueya(t) à la période Te < Ts/2. Cette ontrainte sur Te n'est pas restri tive. En e�et il est possibled'avoir une idée grossière de la largeur de bande. De e fait, Ts est également onnue grossièrement, e qui permet de �xer une période d'é hantillonnage Te qui véri�e la ondition Te < Ts/2.Dans la suite, la propriété de y lostationnarité des pro essus va être primordiale. C'est pourquoinous en rappelons su in tement les éléments fondamentaux. Par pro essus y lostationnaire, nousentendons un pro essus aléatoire p(n) à temps dis ret 1 entré dont la suite {E[p(m+n)p(n)]}m∈Z

2des oe� ients d'auto orrélation (ou {E[p(m+n)p(n)]}m∈Z des oe� ients d'auto orrélation onju-guée) est � presque-périodique �, e qui signi�e queE[p(m+ n)p(n)] =

∞∑

k=0

r(αk)(m)e2iπαknoù {αk}k≥0 sont appelées les fréquen es y liques de p(n) et où la suite {r(αk)(m)}m∈Z est appeléela fon tion de y lo orrélation de p(n) à la fréquen e y lique αk. La série de Fourier de la suite{r(αk)(m)}m∈Z est appelée le y lospe tre de p(n) à la fréquen e y lique αk.1une dé�nition analogue existe pour les pro essus aléatoires à temps ontinu2

z désigne le omplexe onjugué du nombre omplexe z.

2.3 Estimation de la période-symbole et du résidu de porteuse 9On peut fa ilement véri�er que le signal analogique ya(t) est y lostationnaire. En raison de labande du �ltre ha(t), es fréquen es y liques sont seulement {−1/Ts, 0, 1/Ts}. Le signal dis retobtenu y(n) = ya(nTe) est lui aussi y lostationnaire. Comme Te < Ts/2, l'ensemble de es fré-quen es y liques est égal à {−α0, 0, α0}, ave α0 = Te/Ts. Ainsi l'estimation de Ts est fournie parl'estimation de α0, à laquelle nous nous onsa rons dorénavant.Considérons r(n, τ) = E[y(n+ τ)y(n)], la fon tion d'auto orrélation de y(n). Soit r(kα0)(τ), la y lo orrélation de fréquen e y lique kα0 de dé alage τ , il advient quer(n, τ) =

1∑

k=−1

r(kα0)(τ)e2iπkα0 (2.2)Le prin ipe de l'estimation de α0 est basé sur le fait que la fon tion α 7→ r(α)(τ) est nulle sauf siα est égal à −α0, 0 ou α0. De e fait nous avons

α0 = argmaxα∈I

JW(α), ave JW(α) = r(α)HWr(α) (2.3)ave I un ompa t de ]0, 1/2[, r(α) = [r(α)(−Υ), . . . , r(α)(Υ)]T et Υ un entier positif ou nul. De plusW est une matri e de pondération hermitienne dé�nie positive. Les exposants ()T et ()H désignentrespe tivement les opérations de transposition et de transposition- onjugaison d'une matri e.Bien évidemment, nous n'avons pas la onnaissons exa te de r(α). Nous l'estimons don via sonestimateur empirique donné par la formule suivante [12℄ :

r(α)N =

1

N

N−1∑

n=0

z(n)e−2iπαnave N le nombre d'observations disponibles etz(n) = [y(n− Υ)y(n), . . . , y(n+ Υ)y(n)]T.En posant e(n) = z(n) − E[z(n)], nous avons

z(n) =1∑

k=−1

r(kα0)e2iπkα0 + e(n) (2.4)ave e(n) un pro essus de moyenne nulle et y lostationnaire. Par onséquent e(n) peut être appa-renté à un bruit. Ainsi z(n) est égale à une somme de sinusoïdes orrompues par un bruit additif.Ce bruit ne satisfait pas malheureusement aux exigen es traditionnelles : il n'est ni stationnaire,ni gaussien et ni blan .En�n la fon tion de ontraste dé�nie par l'équation (2.3) est à rempla er par son estiméeempirique en substituant r(α)N à r(α). En utilisant de plus l'équation (2.4), nous obtenons quel'estimateur de la fréquen e y lique onsidéré est le suivant [35℄ :

αN = argmaxα∈I

JN,W(α) =

∥∥∥∥∥1

N

N−1∑

n=0

z(n)e−2iπαn

∥∥∥∥∥

2

W

(2.5)où ‖x‖2W = xHWx ave x un ve teur olonne.Par onséquent, notre étude de performan es d'un estimateur de période-symbole se ramèneà analyser les performan es de l'estimateur d'une fréquen e pure noyée dans un bruit additif parmaximisation du périodogramme.Re onsidérons l'équation (2.1) du signal analogique reçu. Nous supposons, ette fois- i, Ts onnu. De plus la suite des symboles {sn}n∈Z est supposée non ir ulaire au se ond ordre, 'est-à-dire, que le terme E[s2n] est non-nul (les symboles peuvent appartenir, par exemple, à une onstel-lation MDA à deux états). Nous nous fo alisons sur l'estimation du résidu de porteuse à partir du

10 Thèse de do toratsignal é hantillonné y(n) = ya(nTs). Il advient quey(n) =

(L∑

k=0

hksn−k

)

︸ ︷︷ ︸a(n)

e2iπ(φ1n+φ0) + b(n) (2.6)ave b(n) = ba(nTs) et φ1 = δf0Ts, le résidu de fréquen e porteuse à estimer. Le anal à tempsdis ret hk = ha(kTs) est supposé ausal et de degré �ni L. Dans la suite, nous posons h(z) =∑Lk=0 hkz

−k.Remarquons que le problème d'estimation ren ontré orrespond exa tement à un problèmed'estimation d'une fréquen e perturbée par des bruits multipli atif (a(n)) et additif (b(n)).Etant donné la onstellation employée (une MDA-2), le bruit multipli atif est stationnaire maisnon- ir ulaire au se ond ordre et de e fait la orrélation onjuguée rc(n, τ) = E[y(n+ τ)y(n)] dusignal reçu est non-nulle. En raison de la présen e du résidu de fréquen e porteuse, ette orrélation onjuguée est y lostationnaire tandis que la orrélation reste stationnaire. Elle admet pour uniquefréquen e y lique α0 = 2φ1. De e fait, on va onstruire un estimateur de φ1 sur ette propriétéen suivant une démar he analogue à elle employée pour estimer la période-symbole. On obtientainsiαN = arg max

α∈]−1/2,1/2]JN,W(α) =

∥∥∥∥∥1

N

N−1∑

n=0

z(n)e−2iπαn

∥∥∥∥∥

2

W

(2.7)oùz(n) = [y(n− Υ)y(n), . . . , y(n+ Υ)y(n)]T = r(α0)

c e2iπα0n + e(n)ave r(α)c = [r

(α)c (−Υ), . . . , r

(α)c (Υ)]T et r(α)

c (τ) la y lo orrélation onjuguée à la fréquen e y liqueα et de dé alage τ . La nouveauté de notre travail est de deux ordres : d'une part, la réation denouveaux estimateurs liée à la prise en ompte des orrélations aux di�érents retards et d'autrepart des démonstrations rigoureuses des résultats de onsistan e, de normalité asymptotique et uneévaluation analytique générale de la ovarian e asymptotique de l'estimateur du résidu de fréquen eporteuse.Ainsi estimer une fréquen e perturbée par des bruits multipli atif (non- ir ulaire) et additifrevient à estimer une fréquen e perturbée par un seul bruit additif. Ce bruit additif équivalentn'est ni stationnaire, ni gaussien et ni blan .Par onséquent, notre étude de performan es d'un estimateur du résidu de porteuse se ramèneégalement à analyser les performan es de l'estimateur d'une fréquen e pure noyée dans un bruitadditif par maximisation du périodogramme.L'unique di�éren e entre les deux problèmes d'estimation réside dans le fait que le premier faitintervenir la orrélation tandis que le se ond fait intervenir la orrélation onjuguée. Il est fa ilede montrer que ette di�éren e ne modi�e pas fondamentalement les preuves sur la onsistan ede l'estimateur, sur sa normalité asymptotique et même ne hange pas le al ul de la ovarian easymptotique. Il su�ra juste de rempla er les y lo orrélations par les y lo orrélations onjuguéeset vi e-versa.Le problème d'estimation d'une fréquen e pure perturbée par un bruit additif a été abondam-ment traité dans la littérature, en parti ulier dans [67, 27℄ et [72, 6, 21℄. Cependant notre ontexteimpose trois spé i� ités qui rendent les travaux pré édents inappli ables :1. le bruit additif équivalent e(n) est y lostationnaire, non-gaussien et a priori oloré2. le signal d'observation z(n) est ve toriel.3. le périodogramme empirique JN,W(α) est pondéré.Nos travaux ont onsisté à démontrer, de façon soigneuse, la onsistan e et la normalité asymp-totique de et estimateur αN ainsi qu'à déterminer sa vitesse de onvergen e et sa ovarian easymptotique.

2.3 Estimation de la période-symbole et du résidu de porteuse 11Sous l'hypothèse (peu restri tive) que le bruit additif e(n) véri�e une ondition de mélange, ilest possible de démontrer le résultat suivant qui joue un r�le entral dans di�érents travaux quenous avons menés.∀K, lim

N→∞sup

α∈[0,1]

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣1

NK+1

N−1∑

n=0

nKe(n)e2iπαn

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣p.s.= 0 (2.8)ave p.s. désignant une onvergen e presque sûre.Grâ e à e résultat, nous avons pû en déduire la onsistan e,

(αN − α0)p.s.−→ 0,et la normalité asymptotique de l'estimateur,

N(αN − α0)p.s.−→ 0 et N3/2(αN − α0)

L−→ N (0, γα0) quand N → ∞où N (0, γ) est la loi normale de moyenne nulle et de ovarian e γ, ave γ = limN→∞N3

E[|αN −α0|2]. De plus l'abréviation � L � signi�e une onvergen e en loi. Don l'erreur d'estimation dela période-symbole et du résidu de porteuse est asymptotiquement gaussienne ave une vitesse de onvergen e en N3/2.L'obtention d'une expression analytique de la ovarian e asymptotique est possible, en déve-loppant en série de Taylor-Lagrange le ritère. Il advient, dans le ontexte de l'estimation de lapériode-symbole, que

γα0=

3

π2

RHWGWR

(RHWR)2 (2.9)ave

R =

r(α0)

r(α0)

, W =

[W 0

0 W

] et G =

[Γ −Γc

−Γc Γ

]etΓ = lim

N→∞NE

[(r

(α0)N − r(α0))(r

(α0)N − r(α0))H

]

Γc = limN→∞

NE

[(r

(α0)N − r(α0))(r

(α0)N − r(α0))T

]Dans le ontexte de l'estimation du résidu de fréquen e porteuse, il su�t de rempla er les orréla-tions par les orrélations onjuguées.Ces expressions nous ont permis d'émettre quelques remarques� Nous nous aper evons immédiatement que du fait des stru tures respe tives de W et G, le ritère n'est pas optimalement pondérable.� Nous avons également obtenus une expression analytique simple des matri es Γ et Γc enfon tion des paramètres du système (h(z),L,σ2) pour les deux as de �gure (estimation de lapériode-symbole et estimation du résidu de fréquen e porteuse). Grâ e à es expressions, nousavons montré que si la matri e de pondération est égale à l'identité et si Υ est supérieur ou égalau degré du �ltre é hantillonné h(z), alors, en l'absen e de bruit, la ovarian e asymptotiqueest nulle. Ainsi, à Rapport Signal-à-Bruit raisonnable, hoisir un ritère non pondéré semblepertinent si, en plus, un nombre su�sant de y lo orrélations à di�érents dé alages est prisen ompte.� En�n, dans le ontexte de l'estimation du résidu de fréquen e porteuse, nous avons égalementremarqué qu'un ritère non pondéré ave su�samment de y lorrélations onsidérées permetde rendre l'estimateur quasiment insensible à la présen e d'un anal séle tif en fréquen e.

12 Thèse de do torat

Chapitre 3A tivités d'enseignement3.1 Introdu tionA la se tion 3.2 de e hapitre, je pro ède à une rapide des ription de mon expérien e d'en-seignement antérieure à mon arrivée à l'ENST. A la se tion 3.3, je dé ris ave pré ision les oursdispensés depuis mon arrivée en tant que Maître de Conféren es à l'ENST.3.2 Enseignement ante-ENSTJusqu'en 2001, mon expérien e d'enseignement s'est déroulée dans les trois établissements sui-vants :1. Université de Marne-la-Vallée (UMLV),2. E ole Supérieure d'Ingénieurs en Ele tronique et Ele trote hnique (ESIEE),3. Ly ée Condor et (Paris).Les enseignements universitaires sont regroupés dans le tableau 3.1 et orrespondent à 85h deTravaux Dirigés (TD) et 38h (en équivalent TD) de Travaux Pratiques (TP).Travaux Dirigés 85hMaîtrise EEA de l'UMLV Traitement d'Images Ban de �ltres et Morphologie 2×16hTraitement du Signal Pro essus sto hastiques 21hESIEE Traitement du Signal Filtrage numérique 8hDEUG de l'UMLV Télé ommuni ations Transformée de Fourier et Filtrage 24hTravaux Pratiques 38hMaîtrise EEA de l'UMLV Automatique Etude de systèmes bou lés 2×12hLi en e EEA de l'UMLV Traitement du Signal Analyse spe trale 8hESIEE Traitement du Signal Filtrage numérique 6hTableau 3.1 � Bilan des enseignements universitaires ante-ENSTDurant quatre années, pour un total de 192h, j'ai aussi été interrogateur en mathématiquessupérieures ou spé iales M dans des Classes Préparatoires aux Grandes E oles au Ly ée Condor et(Paris). Les thèmes abordés regroupaient toutes les mathématiques allant de l'Algèbre (Groupes,Corps, Espa es ve toriels, Matri es, Espa es normés, omplets), à l'Analyse (Suites, Fon tions,Séries de fon tion, Cal ul di�érentiel, Intégration de Lebesgue) en passant par la Géométrie (Géo-métrie algébrique, Coniques, Cinématique).

14 A tivités d'enseignement3.3 Enseignement ENSTDans ette se tion, je présente les ours que j'ai enseignés ou que je vais enseigner durantl'année universitaire 2006-2007. En terme de volume horaire, mon servi e représente environ 230héquivalent TD. Ce régime de roisière a été atteint dès ma deuxième année de présen e à l'ENST.Le ursus standard d'un futur ingénieur de l'ENST est formé de deux parties distin tes : lapremière année est dispensée sous forme de tron ommun e qui implique que les étudiants ne hoisissent pas leurs ours. Durant les deux années restantes, les étudiants hoisissent leurs ourslibrement dans un atalogue de plus de ent Unités d'Enseignement (UE). Ces unités d'enseigne-ment appartiennent elles-mêmes à deux lasses di�érentes : d'une part, les unités d'enseignementdites de base représentant 30h d'enseignement et, d'autre part, les unités d'enseignement ditesde spé ialité représentant 60h d'enseignement et né essitant la validation préalable d'un ertainnombre d'unités d'enseignement de base pré-requises. Pour raison de lisibilité, les unités d'ensei-gnement sont regroupées au sein de par ours. Chaque par ours omprend au minimum deux unitésd'enseignement de spé ialité.Le par ours organisé par le groupe � Communi ations Numériques � est omposé des unitésd'enseignement de spé ialité suivantes :� � Te hniques de ré eption avan ées pour les ommuni ations �,� � Systèmes numériques avan és de ommuni ation �.Les unités d'enseignement de base requises sont les suivantes :� � Systèmes de ommuni ation �,� � Modulations numériques �,� � Codage orre teur d'erreur �,� � Théorie de l'information �.J'interviens dans les ours � Systèmes de ommuni ation �, � Modulations numériques �, � Te h-niques de ré eption avan ées pour les ommuni ations � et � Systèmes numériques avan és de ommuni ation � qui sont dé rits dans la sous-se tion 3.3.1.Le servi e d'enseignement à l'ENST n'in lut pas uniquement les enseignements pour la forma-tion d'ingénieur mais également des enseignements en Master re her he ( f. sous-se tion 3.3.2) eten Formation ontinue ( f. sous-se tion 3.3.3).Les unités d'enseignement sont présentées sous le format suivant : le volume horaire e�e tué au ours de l'année 2006-2007 en équivalent TD est a� hé en gras sur la même ligne que le titre. A laligne, suivent l'obje tif du ours, mes éventuelles responsabilités, le volume horaire et le progammedétaillés des ours e�e tivement dispensés.3.3.1 Formation ingénieurUE � Systèmes de ommuni ation � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30hCette unité d'enseignement propose une appro he pragmatique basée sur la mise en oeuvrematérielle ou logi ielle de dispositifs réels présents dans les systèmes de ommuni ation �laire,optique ou radiomobile. Les méthodes de odage de l'information et les formats de modulation dessignaux sont notamment étudiés et analysés en termes de taux d'erreur binaire.Dans le adre de ette UE, je suis responsable d'un TP portant sur l'évaluation empirique dutaux d'erreur binaire d'un système basique de ommuni ation.Ce TP de trois heures est répliqué inq fois par période durant trois périodes 1.UE � Modulations numériques � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80hCe ours a pour obje tif de fournir des onnaissan es omplètes des te hniques de bases desmodulations numériques, 'est-à-dire, des opérations que doit e�e tuer un modem pour mettre enforme le signal émis et pour retrouver l'information à partir du signal reçu. Après une su in temodélisation des anaux de propagation, e ours se on entre sur les te hniques d'émission et deré eption adaptées aux di�érents types de anaux suivants : anal gaussien, anal de Rayleigh et anal séle tif en fréquen e.1La s olarité à l'ENST est divisée en deux semestres qui sont eux-mêmes subdivisés en deux périodes.

3.3 Enseignement ENST 15Je suis responsable de e ours et en e�e tue les vingt heures de ours magistraux et les neufheures de TD. Ce ours est dispensé pendant deux périodes.Le ontenu détaillé de e ours est le suivant :� Des ription générale d'un système de ommuni ation� Modélisation des anaux� Espa e des signaux, enveloppe omplexe� Modulations linéaires� Canal gaussien (ré epteur optimal et performan es)� Canal de Rayleigh (ré epteur, performan es et diversité)� Canal séle tif en fréquen e (Algorithme de Viterbi, Egalisation linéaire et non linéaire)� Modulation multiporteuse de type OFDMUE � Te hniques de ré eption avan ées pour les ommuni ations � . . . . . . . . . . . . . 22hL'obje tif de e ours est de permettre aux étudiants de on evoir des ré epteurs pour lesnouveaux systèmes radiomobiles. Les algorithmes de dé odage itératifs sont étudiés de même queles déte teurs pour les systèmes linéaires de façon à pouvoir dé oder les odes spatio-temporelset les s hémas de odage oopératifs. En�n la problématique de l'estimation des paramètres depropagation est abordée.Je suis responsable du module portant sur l'estimation. Ce module orrespond à un volumehoraire de quinze heures de ours magistraux.Le ontenu détaillé du module onsa ré à l'estimation est le suivant :� Rappels de théorie de l'estimation� Capa ité de anal ave anal in ertain� Estimation de anal supervisée� Estimation autodida te du anal� Syn hronisation mono-porteuse� Syn hronisation multi-porteuses� Bornes de performan esUE � Systèmes numériques avan és de ommuni ation � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9hDans e ours, de nouvelles te hniques d'émission ainsi que leurs appli ations à des systèmesde ommuni ation sans �l sont présentées. Quatre modules omposent e ours. Le premier abordeles outils né essaires (théorie de l'information pour les anaux aléatoires, anal MIMO, réseauxde points, algèbre y lique de division). Le se ond est onsa ré aux te hniques de odage spatio-temporel ( ritères de Tarokh, ode d'Alamouti, odes parfaits). Le troisième est dédié à l'a èsmultiple (théorie de l'information multi-utilisateurs, te hniques de pré odage, ou he MAC). Lequatrième et dernier module on erne l'étude de plusieurs systèmes (Wi�, Wimax, UMTS, ADSL,CPL).J'interviens dans e ours dans les deux derniers modules à hauteur de six heures de oursmagistraux sur les sujets suivants :� Pré odage optimal ave onnaissan e parfaite du anal à l'émetteur dans un ontexte multi-utilisateurs� Des ription des modems ADSL et VDSL� Des ription des modems pour des ommuni ations sur âble éle trique (CPL)UE � Projets �Cette unité d'enseignement propose, sous la forme d'un projet et par un travail en équipe,d'aborder les nouvelles te hnologies dans le domaine des ommuni ations. Le travail demandé peutêtre en partie bibliographique, théorique, expérimental, lié à la modélisation et à la simulation ouun mélange de es di�érents aspe ts. Tout projet doit aboutir au développement et à la réalisationd'un travail personnel de type théorique, logi iel ou matériel.Durant mes inq années de présen e à l'ENST, j'ai en adré les onze projets suivants (soit deuxpar an en moyenne) :

16 A tivités d'enseignement1. Cal ul de apa ité ergodique et de probabilité de oupure en présen e d'un anal in ertain2. Bornes de Ziv-Zakaï pour la syn hronisation3. Communi ations numériques dans un environnement à bruit impulsif4. Estimation du anal par séquen e d'apprentissage superposée5. Estimation supervisée optimale pour les anaux MIMOArti le de référen e : G. Leus, A.-J. Van der Veen, "Optimal training for ML and LMMSE hannel estimation in MIMO systems", SSP, 2005.6. Allo ation des ressour es dans un système OFDMAArti le de référen e : C. Mohanram et S. Bhashyam, " A sub-optimal joint sub arrier andpower allo ation algorithm for multiuser OFDM", IEEE Com. Letters, 2005.7. Un nouveau regard sur les transmissions mono-porteuseArti le de référen e : L. Deneire, B. Gyselin kx et M. Engels, "Training Sequen e versusCy li Pre�x : A new look on single arrier ommuni ation", IEEE Com. Letters, 2001.8. Classi� ation de modulations numériquesArti le de référen e : L. Izzo et D. Mattera, "A y lostationnary-based lassi�er for digitallinear modulations", GRETSI, 2001.9. Estimation des paramètres de syn hronisation en OFDMArti le de référen e : G. Levin et D. Wuli h, "Frequen y o�set estimation in OFDM usingsample ovarian e". MILCOM, 2000.10. Egalisation autodida te par signaux transformésArti le de référen e : A.G. Oroz o-Lugo et D.C. M Lernon, "Blind hannel equalization using hirp modulating signals", ICASSP, 2000.11. Syn hronisation par modulations asymétriquesArti le de référen e : T. Thaiupathump, C.D. Murphy et S.A. Kassam, "Asymmetri signaling onstellations for phase estimation", SSAP, 2000.3.3.2 Masters re her heL'ENST est o-responsable du par ours � Systèmes de Télé ommuni ations Numériques �(STN) du Master de S ien es et Te hnologies 2 de l'Université Paris VI.L'ENST est un établissement partenaire de la spé ialité � S ien e des Réseaux et des Télé- ommuni ations � (SRET) du Master de S ien es, Te hnologies et Santé 3 de l'Université ParisXI.J'interviens dans deux unités d'enseignement du master de Paris VI et dans une unité d'ensei-gnement du master de Paris XI.UE � Information et ommuni ations � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12hLe but de e ours de niveau M1 (du par ours STN) est de rappeler les notions essentielles deprobabilité et de traitement du signal ainsi que de modulations numériques ( anal gaussien) et de odage orre teur d'erreur ( odage en blo ).Je suis responsable du module onsa ré au traitement du signal omposé de 7h30 de oursmagistraux et 1h30 de TD.Le programme e�e tué est le suivant :� Transformée de Fourier,� Impulsion de Dira ,� Produit s alaire, produit de onvolution, �ltrage linéaire� Pro essus aléatoires (ergodisme, stationnarité, densité spe trale de puissan e)� Enveloppe omplexe pour des signaux déterministes et aléatoires2mention � S ien es de l'ingénieur �, spé ialité � Ele tronique et systèmes de ommuni ation �3mention � Information, systèmes et te hnologie �

3.3 Enseignement ENST 17UE � Communi ations numériques avan ées � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30hCe ours de niveau M2 (du par ours STN) a pour obje tif de montrer les te hniques lassiqueset modernes d'élimination de l'interféren e entre symboles, de syn hronisation, d'estimation du anal et d'a ès multiple.Je suis le responsable de e module qui est formé de 21h de ours magistraux et de 9h de TD.Généralement je dispense 16h30 de ours magistraux et 6h de TD, le reste étant assuré par d'autresenseignants.Le plan de ette unité est le suivant :� Gestion de l'interféren e entre symboles (Viterbi, Egalisation, OFDM)� Syn hronisation supervisée et autodida te� Estimation supervisée et autodida te du anal� Etalement de spe tre et CDMA ave ré epteurs asso iés� MC-CDMA, OFDMAUE � Communi ations numériques � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18hCette unité d'enseignement de niveau M2 (de la spé ialité SRET) a pour mission de présenteren détail le anal gaussien et d'évoquer également les dernières te hniques à déployer dans dessystèmes modernes de ommuni ation sans �l.Je suis o-responsable de ette unité qui est omposée de deux modules, l'un portant sur le analgaussien et l'autre sur les te hniques avan ées. J'interviens dans le deuxième module à hauteur de12h de ours magistraux selon le programme suivant :� Modélisation statistique des anaux de propagation� Performan es sur anal de Rayleigh� Canal séle tif en fréquen e (Viterbi, Egalisation, OFDM)� A ès multiple (CDMA : ré epteur Rake et déte tion multi-utilisateurs)� Théorie de l'information et odage pour les anaux Rayleigh MIMO3.3.3 Formation ontinueSession � Te hniques multi-porteuses � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9hCette session de deux jours doit permettre de maîtriser les on epts d'une modulation OFDMutilisée dans les nouvelles normes radiomobiles ou �laires.J'ai monté ette formation à mon arrivée et j'en suis responsable depuis. J'y interviens égalementà hauteur des 6h de ours magistraux suivants :� Prin ipe de l'OFDM� Dimensionnement de l'ADSL� Dimensionnement de la TNT� Dimensionnement du Wimax� A ès multiple et l'OFDMSession � Te hniques de ré eption pour les mobiles � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12hDurant ette session, les parti ipants doivent a quérir les di�érentes te hniques de traitementde signal employées dans les systèmes de ommuni ations mobiles.Je suis o-responsable de ette formation et j'interviens à hauteur de 7h30 des ours magistrauxdé rits i-dessous :� les méthodes lassiques d'estimation de paramètres de transmission (ave ou sans séquen ed'apprentissage)� l'apport de la diversité (exemple du odage espa e-temps)Session � Ultra-large bande � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6hL'obje tif de ette session est de présenter les prin ipes de base, les performan es des te hniquesUltra Large Bande (ULB) né essaires pour la on eption de systèmes de radio ommuni ation.

18 A tivités d'enseignementJ'interviens dans ette nouvelle formation pendant 3h de ours magistraux ayant le ontenusuivant :� Cou he physique pour la radio par impulsions� Cou he physique pour la te hnique à base de multi-bandes� Problématique de l'a ès multiple3.3.4 Do uments pédagogiquesEnviron la moitié de mes ours, et notamment eux de base, sont dispensés dire tement sur letableau noir tandis que pour l'autre moitié, prin ipalement les ours avan és, je m'aide de plan hesque j'ai moi-même réalisées. Quelque soit la méthode retenue, au un poly opié n'est distribué auxétudiants. Je leur fournis ependant une liste ommentée de livres de référen e et évidemment une opie des plan hes le as é héant.La liste des plan hes (généralement formatées pour 3h de ours magistraux) est donnée i-dessous.• Vulgarisation :� Aperçu des ommuni ations numériques� Dimensionnement d'un système de ommuni ation• Te hniques avan ées :� Modulations multi-porteuses OFDM� A ès multiple par odes (CDMA)� Te hniques multi-porteuses ave a ès multiple (MC-CDMA, OFDMA)� Théorie de l'information et odage pour les anaux MIMO� Ultra Large Bande par impulsions (ULB)• Estimation pour les ommuni ations :� Estimation de fréquen e et bornes asso iées� Estimation du anal ULB� Estimation supervisée du anal et des paramètres de syn hronisation� Egalisation autodida te : état de l'art• Systèmes réels :� ADSL� CPL� TNT� Wimax

Chapitre 4A tivités de re her he4.1 Thèmes de re her heDans ette se tion, je présente, par le biais de quelques mots- lefs, les prin ipales thématiquesde re her he développées depuis la �n de ma thèse de do torat. Elles sont dé rites en détail dansla deuxième partie de e do ument onsa rée à mes travaux de re her he.Syn hronisation et estimation de anal1. Syn hronisation autodida te pour des systèmes avan és : en se basant sur la propriété de y lostationnarité des signaux de ommuni ation, nous avons mis en pla e des estimateursperformants de la fréquen e dans le ontexte mono-porteuse et mult-porteuses ( f. sous-se tion 7.2.1), analysé des estimateurs de la phase ( f. se tion 7.4) et développé de nouveauxestimateurs du dé alage temporel ( f. se tion 7.5).2. Bornes de performan es minimales valides pour tout RSB : al uls des bornes de Cramer-Rao,des bornes de Barankin et des bornes de Ziv-Zakaï ( f. sous-se tion 7.2.2).3. E�et de dé ro hement : analyse théorique de et e�et sur l'estimateur standard de la fréquen epar élévation à la puissan e ( f. sous-se tion 7.2.3).4. Séquen e d'apprentissage : on eption de séquen e optimale pour le problème de la syn hro-nisation fréquentielle en présen e d'un anal ( f. sous-se tion 7.2.4).5. Estimation du anal dans un ontexte Ultra-Large Bande : al ul et analyse de la borne deCramer-Rao ( f se tion 8.4).6. Identi� ation de systèmes pour la radio ognitive ( f. le point 2. du hapitre 10).Allo ation dynamique des ressour es1. Analyse de l'interféren e multi- ellulaire : étude de l'interféren e multi- ellulaire d'un systèmeFH-OFDMA et analyse de débit maximum atteignable ( f. se tion 9.2).2. Algorithme d'allo ation équitable entre les utilisateurs : mise en pla e d'algorithmes d'allo a-tion de porteuses dans un système OFDMA ave ontrainte de masque véri�ant des propriétésd'équité ( f. se tion 9.3).3. Te hnique d'a ès multiple pour l'Ultra-Large Bande : analyse des odes d'a ès multiple mi-nimisant la varian e de l'interféren e, omparaison de te hniques d'a ès multiple ( f. se tion8.2).4. Te hniques de pré odage pour les anaux MIMO à onnaissan e partielle ( f. le point 3. du hapitre 10).

20 A tivités de re her he4.2 ContratsRNRT � IDILE � :� Titre : Internet à haut-débit sur ligne d'énergie� Date : Janvier 2003-Dé embre 2006� Partenaires : EDF, SAGEM, INSA Rennes, Supéle , CEA/LETI, Elsys.� Responsable ENST du projet� Sujet : e projet avait pour obje tif de développer omplètement un modem pour un systèmed'a ès à haut débit par Courant Porteur en Ligne (CPL) basé sur le MC-CDMA.� Résultats : nous avons entièrement onçu la ou he réseau (dimensionnement des paquets etdes trames, détermination des entêtes, et ), la ou he d'a ès multiple (en privilégiant, aprèsétude omparative l'OFDMA au MC-CDMA) et la ou he physique (dimensionnement del'OFDM, syn hronisation). Outre e travail de développement, e projet a permis de réaliserdes travaux plus a adémiques qui sont reportés aux se tions 7.3 et 9.2.CIFRE Thalès � Deleuze � :� Titre : Modems à a ès multiple pour la transmission par impulsions dans un milieu depropagation réaliste� Date : Dé embre 2002-Novembre 2005� Partenaire : Thalès Communi ations (Colombes)� Responsable ENST du projet� Résultats : se reporter au hapitre 8.Réseau d'ex ellen e � NEWCOM � :� Titre : Network of ex ellen e in wireless ommuni ations� Date : Mars 2003-Février 2007� Partenaires : 61 universités, é oles, instituts ou entreprises. Les prin ipaux partenaires étaientle Polite ni um de Turin, l'Université atholique de Louvain, l'Université polyte hnique deBar elone, ...� Responsable ENST du projet� Résultats : d'un point de vue s ienti�que, e réseau a permis de ontinuer des ollaborationsengagées par ailleurs ave Supéle et Thalès. D'un point de vue organisationnelle (qui étaitla raison d'être du réseau), j'étais� Réda teur-adjoint du bulletin d'information du réseau� Organisateur de deux é oles1. Estimation theory for wireless ommuni ations, Paris, O tobre 2005.2. Spa e-time oding, Turin, O tobre 2006.Je reviendrai sur e point à la se tion 4.3.P�le de ompétitivité � Systemati � :� Titre : Urbanisme des radio ommuni ations� Date : O tobre 2006-Septembre 2009� Partenaires : Thalès, Motorola, Fran e Télé om R&D, Comsis, ENSEA, ENSTA� Sujet : nous intervenons dans le sous-projet qui se fo alise sur les nouveaux modes d'a èsdans un réseau ellulaire ou autogéré. Nous nous intéresserons notamment au problème du odage/pré odage spatio-temporel quand l'émetteur a une onnaissan e partielle du anal.ANR Télé om � RISC � :� Titre : Réseaux hétérogènes intelligents pour situations de rise� Date : Janvier 2007-Dé embre 2009� Partenaires : Université de Lille, ENSEA, Université de Reims, Thalès, RSC� Sujet : le but de e projet est de développer un réseau de déploiement, sur zone à risques (detype in endie a identel). Ce réseau faisant intervenir des éléments divers (téléphone, appareilde mesure, et ) et des débits hétérogènes (parole, �ux vidéo, image �xe), nous pré onisonsd'emblée une démar he d'optimisation inter- ou hes. De plus le anal de propagation risquant

4.3 E oles d'été 21d'être souvent déli at, des te hniques de relayage de l'information devront ertainement êtreenvisagées.ANR Télé om � DEMAIN � :� Titre : Radio évolutive, mobile, adaptative et intelligente� Date : Janvier 2007-Dé embre 2009� Partenaires : ENST Bretagne, INT, UMLV, CEA, Fran e Télé om R&D, I2E� Sujet : l'obje tif de e projet est de mettre en pla e des te hniques e� a es de traitement dusignal permettant de dis riminer rapidement et de manière autodida te les systèmes aptéslors d'une é oute du spe tre.CIFRE Thalès � Le Du � :� Titre : Optimisation inter- ou hes de l'a ès radio dans les réseaux mobiles ad ho � Date : Dé embre 2006-Novembre 2009� Partenaire : Thalès Communi ations (Colombes)� Sujet : le but de ette thèse est de répondre à ertaines questions posées par le projet ANRTélé om � RISC � en se on entrant surtout sur l'optimisation d'une ou he d'a ès multiplebasée sur l'OFDMA.4.3 E oles d'étéJ'ai organisé ou je suis intervenu dans les é oles d'été suivantesEstimation theory for wireless ommuni ations :� Date : 24-28 o tobre 2005� Lieu : ENST, Paris� Cadre : Réseau d'ex ellen e européeen NEWCOM� Organisateur unique� Conféren ier à hauteur de 3h de ours magistraux sur les thèmes suivants : Harmoni retrievalin multpli ative and additive noise and related lower bounds et Channel estimation for UWBsystems� Nombre de parti ipants : 90 her heurs (de 12 nationalités)� Site Internet : http ://www. omele .enst.fr/∼ iblat/summer_s hool/Spa e-time oding :� Date : 9-12 o tobre 2006� Lieu : Polite hni um, Turin, Italie� Cadre : Réseau d'ex ellen e européeen NEWCOM� Co-organisateur ave EmanueleViterbo (Polite hni um) et Jean-ClaudeBelfiore (ENST)� Nombre de parti ipants : 25 her heurs (de 6 nationalités)� Site Internet : http ://www. omele .enst.fr/∼ iblat/stb _s hool/Ultra-Large Bande (Communi ations, lo alisation et radar) :� Date : 23-27 o tobre 2006� Lieu : ESISAR, Valen e, Fran e� Cadre : GDR Ondes� Membre du omité de programme. Organisateur prin ipal : Xavier Begaud (ENST)� Conféren ier à on urren e de 1h30 de ours magistraux sur la ou he physique et d'a èsmultiple de l'ultra-large bande par impulsion� Nombre de parti ipants : 60 her heurs� Site Internet : http ://www. omele .enst.fr/∼begaud/E oleULB.html

22 A tivités de re her he4.4 EvaluationJe onsa re une part non-négligeable de mon temps de her heur à e travail d'évaluation/expertise.Néanmoins, depuis un an, j'essaie de la limiter fortement.• Réda teur adjoint / Asso iate Editor pour la revue � IEEE Communi ations Letters � depuisjanvier 2004.• Evaluateur pour les revues suivantes (une demi-douzaine par an sur une vingtaine de de-mandes) :� IEEE Transa tions on Signal Pro essing� IEEE Transa tions on Communi ations� IEEE Transa tions on Vehi ular Te hnology� IEEE Transa tions on Wireless Communi ations� IEEE Communi ations Letters� IEEE Signal Pro essing Letters� Journal on Communi ations and Network� EURASIP Signal Pro essing� EURASIP Journal of Wireless Communi ation and Network� IEE Pro eedings of Communi ations� Annales des Télé ommuni ations• Evaluateur pour les ongrès suivants (une vingtaine par an sur une quarantaine de de-mandes) :� Evaluateur o� iel / Adjun t reviewer pour ICASSP'2007� ICASSP� SPAWC� GLOBECOM� ICC� VTC� ISSPA� GRETSI� ...• Evaluateur de projets pour les organismes suivants ( inq par an en moyenne) :� Resear h Grants Coun il (RGC) of Hong Kong� Agen e Nationale de la Re her he (ANR)• Parti ipation aux omités des ongrès suivants� Membre du omité d'organisation d'IEEE Information Theory Workshop (ITW), Avril2003, Paris, Fran e.� Membre du omité de programme d'IEEE/EURASIP Seventh International Symposiumon Signal Pro essing and its Appli ations (ISSPA), Paris, Fran e, Juillet 2003.� Membre du omité de programme d'IEEE/ACM International Wireless Communi ationsand Mobile Computing Conferen e (IWCMC), Honolulu, Etats-Unis, Août 2007.� Membre du omité de programme d'IEEE/ICST International Conferen e in Communi a-tions and Networking in China (China om), Shangaï, Chine, Août 2007.� Membre du omité de programme d'EURASIP European Conferen e on Signal Pro essing(EUSIPCO), Pozna«, Pologne, Septembre 2007.• Parti ipation à des jurys de thèse :� Raphaël Visoz : Iterative and joint pro essing for wireless mobile systems, ENST, Mars2002.4.5 CollaborationsAu niveau international, des onta ts étroits ont été noués ave � Er hin Serpedin (Université A&M du Texas, College Station, Etats-Unis).Durant l'été 2003, j'ai passé un mois à College Station en séjour sabbatique via un �nan ementinterne de l'Université A&M.

4.5 Collaborations 23� Mounir Ghogho (Université de Leeds, Royaume-Uni).Durant l'été 2004, j'ai passé un mois à Leeds en séjour sabbatique via un �nan ement de laRoyal So iety. Un nouveau séjour de quatre mois est programmé pour le printemps/été 2007.Au niveau national, mes travaux a adémiques ou ontra tuels, m'ont onduit ou vont onduireà ollaborer ave � Walid Ha hem (Supéle )� Pas al Bian hi (Supéle )� Jean-François Hélard (INSA de Rennes)� Pas al Larzabal (ENS de Ca han)� Christophe Le Martret (Thalès Communi ations)� Pierre Jallon (CEA/LETI)� Sébastien Hou ke (ENST de Bretagne)

24 A tivités de re her he

Chapitre 5En adrement5.1 Do torantsSophie Gault :� Titre : Con eption et optimisation de systèmes multi-porteuses� Date : Septembre 2002-O tobre 2005� Dire tion de thèse : Walid Ha hem (Supéle ) et Philippe Ciblat� Taux d'en adrement : 1/3� Finan ement : RNRT � IDILE �� Résultats : se reporter aux se tions 7.3 et 9.2.Anne-Laure Deleuze :� Titre : Contributions à l'étude des systèmes ultra-large bande par impulsions� Date : Dé embre 2002-Janvier 2006� Dire tion de thèse : Christophe Le Martret (Thalès) et Philippe Ciblat� Taux d'en adrement : 1/2� Finan ement : CIFRE � Thalès �� Résultats : se reporter au hapitre 8.Qi Tang :� Titre : Analyse des systèmes MIMO ave onnaissan e partielle� Début : O tobre 2006� Dire tion de thèse : Walid Ha hem (CNRS/ENST) et Philippe Ciblat� Taux d'en adrement : 1/2� Finan ement : Projet � Urbanisme des radio ommuni ations � du p�le de ompétitivité� Systemati �� Sujet : se reporter aux points 3.a et 3.b du hapitre 10.Abdelaziz Bouzegzi :� Titre : Algorithmes de dis rimination des signaux pour la radio ognitive� Début : O tobre 2006� Dire tion de thèse : Pierre Jallon (CEA/LETI) et Philippe Ciblat� Taux d'en adrement : 1/4� Finan ement : Bourse de thèse � CEA �� Sujet : se reporter au point 2. du hapitre 10.Aude Le Du :� Titre : Optimisation inter- ou hes de l'a ès radio dans les réseaux mobiles ad ho � Début : Janvier 2007� Dire tion de thèse : Christophe Le Martret (Thalès), Houda Labiod (ENST/INFRES) etPhilippe Ciblat

26 En adrement� Taux d'en adrement : 1/3� Finan ement : CIFRE � Thalès �� Sujet : se reporter au point 3. du hapitre 10.5.2 Postdo torantAntonio Cipriano :� Titre : Allo ation dynamique des ressour es dans les systèmes multi-porteuses et multi-utilisateurs� Date : Janvier 2005 - O tobre 2005� Dire tion : Philippe Ciblat� Taux d'en adrement : 1/1� Finan ement : RNRT � IDILE �� Résultat : se reporter à la se tion 9.3.5.3 StagiairesCynthia Pozun :� Titre : Estimation d'harmoniques dans un bruit multipli atif et additif : limites et perfor-man es� Date : Eté 2002� Dire tion : Philippe Ciblat� Taux d'en adrement : 1/1Khaled Bou hireb :� Titre : Système ULB : Résolution de trajets pour la lo alisation dans les réseaux ad ho � Date : Eté 2005� Dire tion : Philippe Ciblat� Taux d'en adrement : 1/1

Chapitre 6Publi ations6.1 Arti les de revueArti les soumisR20 A. Cipriano, P. Ciblat et W. Ha hem : Fair resour e allo ation management in multi-userOFDM, soumis à EURASIP Journal of Wireless Communi ations and Networking, Janvier2007.R19 P. Ciblat, A.-L. Deleuze et C. Le Martret : Cramer-Rao bound for Channel Estimationin UWB Impulse Radio, soumis à IEEE Journal on Sele ted Topi s in Signal Pro essing,Novembre 2006.Arti les publiésR18 S. Gault, W. Ha hem et P. Ciblat : Performan e of OFDMA on Rayleigh Fading Channelsin a Multi-Cell Environment, a epté à IEEE Transa tions on Communi ations.R17 P. Ciblat et M. Ghogho : Blind NLLS arrier frequen y-o�set estimation for QAM, PSK, andPAM modulations : performan e at low SNR, IEEE Transa tions on Communi ations, vol.54, no. 10, pp. 1725-1730, O tobre 2006.R16 C. Le Martret, A.-L. Deleuze et P. Ciblat : Optimal time-hopping odes for multi-user in-terferen e mitigation ultra-wide bandwidth impulse radio, IEEE Transa tions on WirelessCommuni ations, vol. 5, no. 6, pp. 1516-1525, Juin 2006.R15 S. Gault, W. Ha hem et P. Ciblat : Joint Sampling Clo k O�set and hannel estimation forOFDM signals : Cramer-Rao bound and Algorithms, IEEE Transa tions on Signal Pro essing,vol. 54, no. 5, pp. 1875-1885, Mai 2006.R14 P. Ciblat, M. Ghogho, P. Larzabal et P. Forster : Harmoni retrieval in the presen e of non- ir ular Gaussian multipli ative noise : Performan e bounds, EURASIP Signal Pro essing,vol. 85, no. 4, pp. 737-749, Avril 2005.R13 K. Shi, E. Serpedin et P. Ciblat : De ision-Dire ted Fine syn hronization in OFDM systems,IEEE Transa tions on Communi ations, vol. 53, no. 3, pp. 408-412, Mars 2005.R12 Y. Wang, E. Serpedin et P. Ciblat : Blind feedforward y lostationarity-based timing esti-mation for linear modulations, IEEE Transa tions on Wireless Communi ations, vol. 3, no.3, pp. 709-715, Mai 2004.R11 P. Ciblat et E. Serpedin : A �ne blind frequen y o�set estimator for OFDM/OQAM systems,IEEE Transa tions on Signal Pro essing, vol. 52, no. 1, pp. 291-296, Janvier 2004.R10 Y. Wang, E. Serpedin et P. Ciblat : An alternative blind feedforward symbol estimator usingtwo samples per symbol, IEEE Transa tions on Communi ations, vol. 51, no. 9, pp. 1451-1455, Septembre 2003.R9 Y. Wang, E. Serpedin et P. Ciblat : Optimal Blind Carrier Re overy for M-PSK Burst Trans-missions, IEEE Transa tions on Communi ations, vol. 51, no. 9, pp. 1571-1581, Septembre2003.

28 Publi ationsR8 Y. Wang, E. Serpedin et P. Ciblat : Optimal blind nonlinear least-squares arrier phase andfrequen y o�set estimation for general QAM modulations, IEEE Transa tions on WirelessCommuni ations, vol.2, no. 5, pp. 1040-1054, Septembre 2003.R7 P. Ciblat et L. Vandendorpe : Blind arrier frequen y o�set estimation for non- ir ular onstellation based transmission, IEEE Transa tions on Signal Pro essing, vol. 51, no. 5,pp. 1378-1389, Mai 2003.R6 P. Ciblat, Y. Wang et E. Serpedin : On a blind fra tionally-sampling based arrier frequen yo�set estimator, IEEE Signal Pro essing Letters, vol. 10, no. 4, pp. 89-92, Avril 2003.R5 Y. Wang, P. Ciblat, E. Serpedin et P. Loubaton : Performan e analysis of a lass of non-dataaided arrier frequen y o�set and symbol timing delay estimators for �at-fading hannels,IEEE Transa tions on Signal Pro essing, vol. 50, no. 9, pp. 2295 -2305, Septembre 2002.R4 E. Serpedin, P. Ciblat, G. B. Giannakis et P. Loubaton : Performan e Analysis of BlindCarrier Phase Estimators for General QAM Constellations, IEEE Transa tions on SignalPro essing, vol. 49, no. 8, pp. 1816-1823, Août 2001.Arti les relatifs aux travaux de do toratR3 P. Ciblat, P. Loubaton, E Serpedin et G.B. Giannakis : Asymptoti analysis of blind Cy li orrelation based symbol rate estimation, IEEE Transa tions on Information Theory, vol. 48,no. 7, pp. 1922-1934, Juillet 2002.R2 P. Ciblat, P. Loubaton, E Serpedin et G.B. Giannakis : Performan e Analysis of Blind CarrierFrequen y O�set Estimators For Non-Cir ular Transmissions Through Frequen y-Sele tiveChannels, IEEE Transa tions on Signal Pro essing, vol. 50, no. 1, pp. 130-140, Janvier 2002.R1 P. Ciblat, A. Chevreuil et P. Loubaton : Repetition/Modulation and blind se ond order equa-lization, IEEE Transa tions on Signal Pro essing, vol. 48 , no. 11, pp. 3153-3161, Novembre2000.6.2 Congrès internationauxArti les publiésCI38 A.-L. Deleuze, P. Ciblat et C. Le Martret : Rake re eiver improvement for residual interfe-ren e an ellation in UWB ontext, a epté à IEEE Vehi ular Te hnology Conferen e (VTC),Dublin (Irlande), Avril 2007.CI37 A. Cipriano, P. Ciblat, S. Gault et W. Ha hem : Balan ed allo ation strategy in multi-user OFDM with Channel State Information at the transmitter, EURASIP European SignalPro essing Conferen e (EUSIPCO), Floren e (Italie), Septembre 2006.CI36 S. Gault, W. Ha hem et P. Ciblat : Performan e of a resour e allo ation strategy for an FH-OFDMA based system in a multi- ell environment, IEEE Workshop on Signal Pro essingAdvan es in Wireless Communi ations (SPAWC), Cannes (Fran e), Juillet 2006.CI35 A.-L. Deleuze, P. Ciblat et C. Le Martret : Inter-Symbol/Inter-Frame Interferen e in Time-Hopping Ultra Wideband Impulse Radio system, IEEE International Conferen e on Ultra-Wideband (ICU), Züri h (Suisse), Septembre 2005.CI34 M. Sahmoudi, K. Abed-Meraim, M. Lavielle, E. Kunth et P. Ciblat : Blind sour e sepa-ration of noisy mixtures using semi-parametri approa h with appli ation to heavy-tailedsignals, EURASIP European Signal Pro essing Conferen e (EUSIPCO), Antalya (Turquie),Septembre 2005.CI33 P. Ciblat et M. Ghogho : Ziv-Zakai bound for harmoni retrieval in multipli ative and additiveGaussian noise, IEEE Workshop on Statisti al Signal Pro essing (SSP), Bordeaux (Fran e),Juillet 2005.CI32 S. Gault, W. Ha hem et P. Ciblat : An OFDMA based modem for powerline ommuni a-tions over the low voltage distribution network, IEEE International Conferen e on PowerlineCommuni ations and its Appli ations (ISPLC), Van ouver (Canada), Avril 2005.

6.2 Congrès internationaux 29CI31 A.-L. Deleuze, C. Le Martret et P. Ciblat : Time-Hopping ode hara terization for Multi-User Interferen e mitigation in Ultra-Wide Band Impulse Radio, Asilomar Conferen e onSignals, Systems, and Computer, Pa i� Grove (CA, Etats-Unis), Novembre 2004.CI30 S. Chabbouh, P. Ciblat et J.-C. Bel�ore : Iterative algorithms for SDP relaxation asso iatedwith MIMO ML dete tion problem, International Symposium on Information Theory and itsAppli ations (ISITA), Parme (Italie), O tobre 2004.CI29 P. Ciblat, P. Forster et P. Larzabal : Harmoni retrieval in non ir ular omplex-valued mul-tipli ative noise : Barankin bound, EURASIP European Signal Pro essing Conferen e (EU-SIPCO), Vienne (Autri he), Septembre 2004.CI28 A.-L. Deleuze, C. Le Martret et P. Ciblat : Cramer-Rao bound for hannel parameters inUltra-Wide Band based system, IEEE Workshop on Signal Pro essing Advan es in WirelessCommuni ations (SPAWC), Lisbonne (Portugal), Juillet 2004.CI27 K. Shi, E. Serpedin et P. Ciblat : De ision-Dire ted �ne syn hronization for oded OFDM sys-tems, IEEE International Conferen e on A ousti s, Spee h and Signal Pro essing (ICASSP),Montréal (Canada), Mai 2004.CI26 P. Ciblat et M. Ghogho : Harmoni retrieval in non ir ular omplex-valued multipli ativenoise : Cramer-Rao bound, IEEE International Conferen e on A ousti s, Spee h and SignalPro essing (ICASSP), Montréal (Canada), Mai 2004.CI25 S. Gault, W. Ha hem et P. Ciblat : Cramer-Rao bound for data-aided sampling lo k o�setand hannel estimation, IEEE International Conferen e on A ousti s, Spee h and SignalPro essing (ICASSP), Montréal (Canada), Mai 2004.CI24 P. Ciblat : A tutorial on performan e bounds for harmoni retrieval in multipli ative noise,Joint Workshop for Communi ations and Coding (JWCC), Nuits-Saint-Georges (Fran e),O tobre 2003.CI23 Y. Wang, E. Serpedin et P. Ciblat : Blind Feedforward Two-Sample-per-Symbol Based TimingDelay Estimator, World Multi onferen e on Systemi s, Cyberneti s, and Informati s (SCI),Orlando (FL, Etats-Unis), Juillet 2003.CI22 P. Ciblat et E. Serpedin : A blind frequen y o�set estimator for OFDM/OQAM system,IEEE Workshop on Signal Pro essing Advan es for Wireless Communi ations (SPAWC),Rome (Italie), Juin 2003.CI21 A. Safavi, K. Abed-Meraim et P. Ciblat : Blind hannel identi� ation robust to order ove-restimation, Asilomar Conferen e on Signals, Systems, and Computers, Pa i� Grove (CA,Etats-Unis), Novembre 2002.CI20 Y. Wang, E. Serpedin et P. Ciblat : Optimal blind feedforward arrier syn hronisation forgeneral QAM modulations, Asilomar Conferen e on Signals, Systems, and Computers, Pa i� Grove (CA, Etats-Unis), Novembre 2002.CI19 Y. Wang, E. Serpedin et P. Ciblat : Uni�ed performan e analysis of blind feedforward timingestimation, Asilomar Conferen e on Signals, Systems, and Computers, Pa i� Grove (CA,Etats-Unis), Novembre 2002.CI18 P. Ciblat, E. Serpedin et Y. Wang : A fra tionally-sampling based frequen y o�set enhan edblind estimator for non- ir ular transmissions, Asilomar Conferen e on Signals, Systems, andComputers, Pa i� Grove (CA, Etats-Unis), Novembre 2002.CI17 S. Hou ke, A. Chevreuil et P. Ciblat : Estimation of the symbol period in presen e of frequen yo�set, EURASIP European Signal Pro essing Conferen e (EUSIPCO), Toulouse (Fran e),Septembre 2002.CI16 P. Ciblat et L. Vandendorpe : On the Maximum-Likelihood based data-aided frequen y o�-set and hannel estimates, EURASIP European Signal Pro essing Conferen e (EUSIPCO),Toulouse (Fran e), Septembre 2002.CI15 Y. Wang, E. Serpedin et P. Ciblat : Optimal blind arrier syn hronisation for M-PSK bursttransmission, IEEE International Conferen e on A ousti s, Spee h and Signal Pro essing(ICASSP), Orlando (FL, Etats-Unis), Mai 2002.

30 Publi ationsCI14 Y. Wang, E. Serpedin et P. Ciblat : Non-data-aided feedforward estimation of PSK modulated arrier frequen y o�set, IEEE International Conferen e on Communi ations (ICC), New-York(NY, Etats-Unis), Mai 2002.CI13 Y. Wang, E. Serpedin et P. Ciblat : Optimal blind nonlinear least-squares arrier phase andfrequen y o�set estimation for burst QAM modulations, Asilomar Conferen e on Signals,Systems, and Computers, Pa i� Grove (CA, Etats-Unis), Novembre 2001.CI12 Y. Wang, E. Serpedin, P. Ciblat et P. Loubaton : Non-data-aided feed-forward y lostatio-nary statisti s based arrier frequen y o�set estimators for linear modulations, IEEE GlobalCommuni ations Conferen e (GLOBECOM), San Antonio (TX, Etats-Unis), Novembre 2001.CI11 Y. Wang, E. Serpedin, P. Ciblat et P. Loubaton : Blind y lostationary statisti s based arrierfrequen y o�set and symbol timing delay estimators in �at-fading hannels, IEEE MilitaryCommuni ations Conferen e (MILCOM), Washington (D.C., Etats-Unis), O tobre 2001.CI10 P. Ciblat et Lu Vandendorpe : Non-data-aided arrier frequen y o�set estimation for OFDMand downlink DS-CDMA systems, IEEE Vehi ular Te hnology Conferen e (VTC), Atlanti City (NJ, Etats-Unis), O tobre 2001.CI9 P. Ciblat et A. Quadrat : New proof for a blind equalization result : a module theory approa h,International Federation of Automati Control - Symposium on System Stru ture and Control(IFAC-SSSC), Prague (T héquie), Août 2001.CI8 Y. Wang, E. Serpedin, P. Ciblat et P. Loubaton : Performan e analysis of blind arrierfrequen y o�set and symbol timing delay estimators in �at-fading hannels, IEEE Internatio-nal Conferen e on A ousti s, Spee h and Signal Pro essing (ICASSP), Salt Lake City (UT,Etats-Unis), Mai 2001.Arti les relatifs aux travaux de do toratCI7 P. Ciblat, P. Loubaton, E Serpedin et G.B. Giannakis : Asymptoti analysis of blind y li orrelation based symbol rate estimation, EURASIP European Signal Pro essing Conferen e(EUSIPCO), Tampere (Finlande), Septembre 2000.CI6 E Serpedin , P. Ciblat, G.B. Giannakis et P. Loubaton : Performan e analysis of blind arrierphase estimators for general QAM onstellations, IEEE Workshop on Statisti al Signal andArray Pro essing (SSAP), Po ono Manor (PA, Etats-Unis), Août 2000.CI5 P. Ciblat, P. Loubaton, E Serpedin et G.B. Giannakis : Performan e of non-data aided arriero�set estimation for non- ir ular transmissions through frequen y-sele tive hannel, IEEEInternational Conferen e on A ousti s, Spee h and Signal Pro essing (ICASSP), vol. 5, pp.2525-2528, Istamboul (Turquie), Juin 2000.CI4 P. Ciblat, A. Chevreuil et P. Loubaton : Repetition/Modulation and blind se ond orderidenti� ation, Asilomar Conferen e on Signals, Systems, and Computers, Pa i� Grove (CA,Etats-Unis), O tobre 1999.CI3 L. Mazet, P. Ciblat et P. Loubaton : Fra tionally Spa ed Blind Equalization : CMA ver-sus Se ond Order Bases Methods, IEEE Workshop on Signal Pro essing Advan ed WirelessCommuni ations (SPAWC), Annapolis (MD, Etats-Unis), Mai 1999.CI2 P. Ciblat et P. Loubaton : Se ond order blind equalization : band-limited ase, IEEE In-ternational Conferen e on A ousti s, Spee h and Signal Pro essing (ICASSP), Seattle (WA,Etats-Unis), Mai 1998.CI1 B. Simon, B. Ma q, J.Y. Mertès et P. Ciblat : Lo al Interpolation in Multiresolution De om-position of Images, IEEE International Conferen e on Image Pro essing (ICIP), Lausanne(Suisse), Septembre 1996.6.3 Congrès nationauxArti les publiésCN5 P. Ciblat et M. Ghogho : Probabilité de dé ro hement d'un estimateur autodida te du résidude porteuse, GRETSI, Louvain-la-Neuve (Belgique), Septembre 2005.

6.3 Congrès nationaux 31CN4 C. Pozun, P. Ciblat, P. Larzabal et P. Forster : Estimation d'harmonique dans un bruitmultipli atif à valeurs omplexes, GRETSI, Paris (Fran e), Septembre 2003.CN3 P. Ciblat et L. Vandendorpe : Estimation autodida te du résidu de porteuse pour diverssystèmes de transmission, GRETSI, Toulouse (Fran e), Septembre 2001.Arti les relatifs aux travaux de do toratCN2 P. Ciblat et P. Loubaton : Egalisation aveugle au se ond ordre pour des signaux à bandelimitée : onnaissan e a priori sur le �ltre, GRETSI, Vannes (Fran e), Septembre 1999.CN1 P. Ciblat, P. Loubaton et P. Larzabal : Egalisation aveugle au se ond ordre : as bandelimitée, GRETSI, Grenoble (Fran e), Septembre 1997.

32 Publi ations

Deuxième partieTravaux de re her he

Chapitre 7Syn hronisation pour les systèmesavan és de ommuni ation7.1 Introdu tionDans un système de ommuni ation, a�n de fon tionner onvenablement, le ré epteur requiertgénéralement la onnaissan e de di�érents paramètres représentant les transformations subies parle signal lors de son passage dans le anal de propagation. Lors d'une transmission radiomobile (té-léphone sans �l, réseaux lo aux) ou lors d'une transmission �laire (sur paire torsadée ou sur âbleéle trique), le anal peut être modélisé, d'une part, par un �ltre linéaire et d'autre part, par desdéfauts de syn hronisation. Le ré epteur a don besoin d'une estimée �able de la réponse impulsion-nelle du �ltre et des paramètres de syn hronisation. Con ernant les problèmes de syn hronisation,ils peuvent être de trois natures di�érentes :� Le défaut de fréquen e, lui-même, asso ié� soit à un défaut de fréquen e porteuse dû à l'e�et Doppler ou à un désa ord entre lesos illateurs lo aux de l'émission et de la ré eption,� soit à un défaut de fréquen e d'horloge et don d'é hantillonnage dû alors uniquement àun désa ord entre os illateurs lo aux.� Le défaut de phase dû à une rotation de phase provoquée par le passage dans le anal depropagation.� Le défaut de temps dû, généralement, à un retard global de transmission asso ié au tempsde propagation dans le milieu ren ontré.Il est important de remarquer que les deux derniers défauts ( 'est-à-dire de phase et de temps)peuvent être absorbés dans la réponse impulsionnelle du �ltre analogique. En revan he la modi� a-tion de la fréquen e ne peut être modélisée par un �ltre linéaire e qui implique que e défaut doitné essairement faire l'objet d'un traitement parti ulier. C'est pourquoi, dans la suite, une largepla e sera onsa rée à ette problématique d'estimation de la fréquen e tandis que l'estimation dela phase et du dé alage temporel, même si elle ont fait l'objet de travaux, sera évoquée de manièreplus su in te. En�n nous nous sommes prin ipalement pen hés sur des te hniques de syn hronisa-tion autodida te, 'est-à-dire, des te hniques ne né essitant pas l'envoi de séquen e d'apprentissage.Dans le ontexte des ommuni ations iviles, ela permet des gains en e� a ité spe trale, tandisque, dans le ontexte des ommuni ations militaires (autrement dit non- oopératives), ela permetde mettre en pla e des te hniques d'é oute passive.Le dernier sujet traité au ours de ma thèse on ernait justement la syn hronisation fréquentielleautodida te des systèmes de ommuni ation. La notion de non- ir ularité d'un signal à valeurs omplexes y revêt une importan e fondamentale. Rappelons brièvement que si un signal à valeurs omplexes (par exemple, une enveloppe omplexe d'un signal de ommuni ation numérique) estnon- ir ulaire à un ertain ordre, alors l'espéran e mathématique du signal (et non son module)élevé à e même ordre est non nul. Dans le ontexte de la syn hronisation fréquentielle, il est fa ile deremarquer que la non- ir ularité au se ond ordre des modulations d'amplitude (MDA) donne lieu àune estimation simple du résidu de fréquen e porteuse. En e�et, le arré (et non le module au arré)

36 Syn hronisation pour les systèmes avan és de ommuni ationdu signal reçu s'é rit alors omme une sinusoïde pure de fréquen e le double du résidu de porteuseperturbée par un bruit additif a priori oloré, non-stationnaire et non gaussien. Il su�t alors demettre en pla e une te hnique naturelle d'estimation basée la maximisation du périodogramme du arré du signal reçu. Ma prin ipale ontribution avait été d'étudier en profondeur les performan esasymptotiques de e type d'estimateur.Cette étude de thèse ne on ernait que les modulations d'amplitude employées dans un sys-tème basique de ommuni ation puisque elui- i était mono-porteuse et mono-utilisateur. Dans unpremier temps, nous avons étendu e type d'estimateurs à un ontexte plus a tuel, 'est-à-dire,pour des systèmes utilisant soit une te hnique d'a ès multiple à répartition par ode (CDMA),soit une te hnique de modulation multi-porteuse (OFDM). De nouveau une étude rigoureuse desperforman es asymptotiques de es nouveaux estimateurs a été onduite. De plus la question du hoix de la valeur de fréquen e d'é hantillonnage et de son in�uen e sur les performan es a étéabordée.Dans un deuxième temps, nous avons souhaité appliquer une démar he similaire pour des onstellations à plus haute e� a ité spe trale omme les modulations en phase (MDP) ou les mo-dulations en quadrature (MAQ). Néanmoins es onstellations ne présentent pas de non- ir ularitéau se ond ordre e qui a pour e�et que le arré du signal reçu ne ontient pas d'informationsur le résidu de fréquen e porteuse. Pour ontourner ette di� ulté, il onvient de onsidérer desstatistiques aux ordres supérieurs. On peut alors remarquer que es onstellations o�rent une non- ir ularité à un ertain ordre (stri tement supérieur à deux). Par onséquent des estimateurs baséssur la maximisation du périodogramme d'une fon tionnelle du signal reçu peuvent être mis en÷uvre. Ces fon tionnelles doivent évidemment faire intervenir des fon tions autres que les fon -tions linéaires et quadratiques. Ces estimateurs, omme nous le verrons ultérieurement, onduisentde nouveau à trouver la valeur d'une harmonique pure perturbée par un bruit non gaussien par lebiais d'une maximisation du périodogramme de ette harmonique bruitée. Dans e adre-là, nousavons al ulé les performan es asymptotiques de es nouveaux estimateurs et expli ité la meilleurefon tionnelle au sens de la minimisation de l'erreur quadratique d'estimation.A�n de savoir si les estimateurs proposés o�rent des performan es pro hes de l'optimal au sensde l'erreur quadratique d'estimation, il onvient de les omparer à des bornes de performan es.C'est pourquoi nous nous sommes également attardés à l'évaluation analytique des bornes deCramer-Rao (CRB). La di� ulté réside dans le fait que nous sommes en présen e d'un problèmed'estimation ave paramètres de nuisan e. En e�et le problème d'estimation de fréquen e ren on-tré peut être vu aussi de la manière suivante : le signal reçu est égal à une harmonique (ayantle résidu d'une fréquen e porteuse pour fréquen e) perturbée par un bruit multipli atif et additif.Le bruit additif est elui introduit par les omposants éle troniques et les diverses interféren es etpeut être supposé gaussien et blan . Le bruit multipli atif représente les symboles d'information(in onnus ar au une séquen e d'apprentissage n'est émise) onvolués par le �ltre du anal. Lesparamètres que sont les symboles viennent nuire à l'estimation du résidu de fréquen e porteuse.Une dé�nition unique de la borne de Cramer-Rao devient déli ate ar à haque manière de mo-déliser es paramètres (par exemple, omme un pro essus aléatoire ou déterministe) orrespondraune � ertaine � borne de Cramer-Rao. Il faut savoir que ertaines de es bornes se révèlerontsoit trop optimistes (et don sans grand utilité) soit trop ompliquées à exprimer analytiquement.Nous reviendrons plus longuement sur e problème de dé�nition dans la sous-se tion onsa rée àl'évaluation de la CRB. Dans notre travail, nous nous sommes intéressés à la borne de Cramer-Raogaussienne (GCRB) obtenue en onsidérant les paramètres de nuisan e (et don le bruit multipli- atif) omme un pro essus aléatoire gaussien. Cette hypothèse quoique fausse ave des signaux de ommuni ation numérique ar appartenant à un ensemble dis ret de points va se révéler néanmoinsutile pour omprendre l'in�uen e de ertains paramètres de dimensionnnement du système. En�n,a�n de mettre en éviden e des expressions analytiques ompa tes de la GCRB, nous avons notam-ment e�e tué une évaluation analytique en régime asymptotique, 'est-à-dire, lorsque le nombred'é hantillons disponibles est grand.Malheureusement, lorsque le nombre d'é hantillons est faible et/ou lorsque le Rapport Signal-à-Bruit (RSB) est faible, la borne de Cramer-Rao n'est absolument plus pré ise et les performan esde tous les estimateurs � dé ro hent � des performan es annon ées par la CRB. A�n d'obtenir demeilleures prédi tions des performan es limites dans ette zone (qu'on appelera, dans la suite, zonede dé ro hement), nous nous sommes intéressés à des bornes de performan es ayant la propriété

7.1 Introdu tion 37d'être pré ise dans la zone de dé ro hement. En revan he, la détermination d'expressions analy-tiques pour es bornes s'avère souvent beau oup plus déli ate. Nous avons dans un premier tempsséle tionné la borne de Barankin (BB) pour laquelle nous avons obtenu une expression analytiquedans le ontexte de l'estimation de fréquen e perturbée par un bruit multipli atif et additif gaus-siens. Cette borne nous a permis de mettre en exergue des zones de dé ro hement. Comme pour laborne de Cramer-Rao lassique, la borne de Barankin onsidère les paramètres à estimer ommedéterministes. D'autres lasses d'estimateurs et de bornes ont été suggérées, dans la litérature,en modélisant les paramètres à estimer omme des variables aléatoires admettant une ertainedensité de probabilité a priori. On peut notamment ité la borne de Cramer-Rao dé�nie par VanTrees ou la borne de Ziv-Zakaï (ZZB). Cette dernière borne se révèle très pré ise dans la zonede dé ro hement. Par onséquent, nous nous sommes attardés à al uler analytiquement la ZZBdans le ontexte d'une harmonique perturbée par des bruits multipli atif et additif gaussiens. Nousavons également étudié l'e�et de dé ro hement sur l'estimateur dé rit dans les paragraphes pré é-dents, 'est-à-dire, sur l'estimateur issu de la maximisation du périodogramme du signal reçu élevéà l'ordre de non- ir ularité de la onstellation onsidérée. Notre travail a résidé dans l'obtentiond'une expression analytique de la probabilité de dé ro hement. Cette expression ne dépend que dela onstellation des symboles émis et nous a permis ainsi d'observer les évolutions du phénomènede dé ro hement en fon tion de l'e� a ité spe trale du système de ommuni ation.Nous sommes également intéressés, dans une moindre mesure, à une problématique relative à lasyn hronisation fréquentielle supervisée, 'est-à-dire, lorsqu'une séquen e d'apprentissage est dispo-nible au niveau de ré epteur. Cette te hnique est en ore ultra-majoritairement répandue dans lessystèmes réellement déployés par les opérateurs ou les parti uliers (par exemple, le GSM, le Wi�, laTNT et l'UMTS). Lorsque seule la réponse impulsionnelle du �ltre est à estimer, il est bien onnuque la meilleure séquen e d'apprentissage, au sens de la minimisation de l'erreur quadratique d'es-timation de ette dite réponse, est une séquen e pseudo-aléatoire blan he. Dans nos travaux, aprèsavoir obtenu des expressions analytiques nouvelles des ovarian es asymptotiques de l'estimateur onjoint du maximum de vraisemblan e asso ié à la réponse impulsionnelle du �ltre et au résidude fréquen e porteuse, nous avons été en mesure de ara tériser la séquen e d'apprentissage quiminimise l'erreur quadratique d'estimation du résidu de fréquen e porteuse.Dans le premier paragraphe de ette introdu tion, nous avons évoqué plusieurs formes de désyn- hronisation : elle asso iée au résidu de fréquen e porteuse sur laquelle la majorité de nos travauxont porté ; mais aussi elle asso iée au résidu de fréquen e d'horloge (et don d'é hantillonnage).Ce dernier type de désyn hronisation peut se révéler atastrophique dans le ontexte de ommu-ni ation multi-porteuses à grand nombre de porteuses. C'est pourquoi nous nous sommes attardésà développer de nouveaux estimateurs supervisés performants et à les omparer à la borne deCramer-Rao qu'il a fallu évaluer théoriquement ar indisponible dans la littérature. A�n d'obte-nir des expressions simples et interprétables de la CRB, nous avons en ore une fois onsidéré unrégime asymptotique, 'est-à-dire, lorsque le nombre de porteuses est grand. Comme estimateurs,nous avons développé une version simpli�ée du maximum de vraisemblan e (ML) ainsi qu'un esti-mateur aidé par les dé isions (DD) et les avons omparés, ave su ès, aux estimateurs existantsdans la littérature.De manière marginale et restreinte dans le temps, nous avons dé liné notre savoir-faire on er-nant les notions de non- ir ularité et de y lostationnarité pour résoudre quelques problèmes re-latifs à l'estimation de la phase et du dé alage temporel. Nous sommes prin ipalement intéressésà analyser les performan es asymptotiques (via le al ul expli ite des ovarian es asymptotiques)d'estimateurs existants dans la littérature. Dans le ontexte de la désyn hronisation temporelle,nous avons également proposé plusieurs nouveaux estimateurs du dé alage temporel basés sur lapropriété de y lostationnarité du signal suré hantillonné.Avant de lire e hapitre, il est onseillé au le teur de lire la sous-se tion 2.3 qui résume mestravaux de thèse dans le domaine de la syn hronisation de fréquen e. Ce présent hapitre qui ex-pose mes travaux post-do torat dans le domaine de la syn hronisation est organisé de la manièresuivante : la se tion 7.2 on erne la problématique de l'estimation du résidu de fréquen e porteuseet est subdivisée en quatre sous-se tions. Ainsi dans la sous-se tion 7.2.1, nous traitons e pro-blème d'estimation lorsqu'un pré odeur linéaire est présent au niveau de l'émetteur. Ce i permetd'englober dans un unique formalisme le DS-CDMA, l'OFDM et même un suré hantillonnage àla ré eption. La dé�nition pré ise de la CRB en présen e de paramètres de nuisan e ainsi que la

38 Syn hronisation pour les systèmes avan és de ommuni ationdémar he permettant d'obtenir une expression analytique de la GCRB est exposée à la sous-se tion7.2.2. L'étude on ernant l'e�et de dé ro hement à travers l'évaluation des bornes de Barankin etde Ziv-Zakaï et des performan es réelles de l'estimateur de l'élévation à une ertaine puissan e dusignal reçu est présentée à la sous-se tion 7.2.3. En�n, à la sous-se tion 7.2.4, nous abordons leproblème de la on eption de la séquen e d'apprentissage. La se tion 7.3 on erne le problème del'estimation de la fréquen e d'é hantillonnage. Les problématiques d'estimation relatives à la phaseet au dé alage temporel sont respe tivement présentées aux se tions 7.4 et 7.5.Ces résultats représentent environ six années de travail. Ils sont également le fruit de di�érentes ollaborations internationales et nationales. On peut notamment mentionner Er hin Serpedin(Université A&M du Texas, Etats-Unis), Mounir Ghogho (Université de Leeds, Royaume-Uni),Lu Vandendorpe (Université atholique de Louvain, Belgique), Walid Ha hem (E ole Supé-rieure d'Ele tri ité) et Pas al Larzabal (E ole Normale Supérieure de Ca han). Ces travaux ontdonné lieu à la publi ation de treize revues internationales [R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10, R11,R12, R13, R14, R15, R17℄, de dix-neuf ongrès internationaux [CI8, CI10, CI11, CI12, CI13, CI14,CI15, CI16, CI18, CI19, CI20, CI22, CI23, CI24, CI25, CI26, CI27, CI29, CI33℄ et de trois ongrèsnationaux [CN3, CN4, CN5℄.7.2 Estimation du résidu de fréquen e porteuse7.2.1 De nouveaux estimateursContexte d'un pré odage à l'émission Depuis bient�t une dé ennie, nous assistons à undéveloppment de systèmes de transmission employant des te hniques de modulation multi-porteuses(de type OFDM) et/ou des te hniques d'a ès multiple à répartition par odes (de type DS-CDMA).Ces te hniques né essitent d'appliquer une transformation linéaire sur les symboles à émettre. Onpeut parler ainsi de systèmes munis de pré odeur linéaire à l'émetteur.Pour un système DS-CDMA (en liaison des endante), la présen e d'un résidu de porteuse donnelieu à une perte d'orthogonalité entre les di�érents utilisateurs. Dans le adre d'un système OFDM,il subsiste, après appli ation de la transformée de Fourier dis rète, de l'interféren e entre les sous-porteuses qui dégrade fortement les performan es [48℄. Il onvient don d'estimer et d'�ter le résidude porteuse dès ré eption du signal, 'est-à-dire, avant même que le ara tère dispersif du �ltre du anal n'ait été ompensé.Nous rappelons, qu'au ours de ma thèse, un nouvel estimateur du résidu de porteuse a étéintroduit dans le ontexte d'une ommuni ation mono-utilisateur et mono-porteuse ( f. sous-se tion2.3). Celui- i repose sur le fait que, lorsque la onstellation utilisée est non- ir ulaire au se ond ordre( e qui signi�e que l'espéran e du arré des symboles, est non nulle), le double du résidu de porteuseest l'unique fréquen e y lique du signal reçu é hantillonné à la aden e des symboles relativementà sa fon tion d'auto orrélation onjuguée. Cet estimateur est alors obtenu en maximisant, dansle domaine des fréquen es y liques, une somme de oe� ients de y lo orrélations onjuguées.Son omportement asymptotique a été analysé et il a été montré que ses performan es étaientquasiment insensibles à la présen e du anal dispersif si l'on onsidère su�samment de oe� ientsde y lo orrélations onjuguées.Nous avons étendu e type d'estimateur au ontexte des transmissions multi-porteuses (OFDM)et multi-utilisateurs (DS-CDMA pour liaison des endante).Nous rappelons que le modèle mono-utilisateur et mono-porteuse a été représenté à la sous-se tion 2.3 et est dé rit par l'équation (2.6) dont nous reprenons, dans e hapitre, les notations.Dans un système ave pré odeur à l'émetteur, on transmet en lieu et pla e des symboles usuels{sn}n∈Z (à la aden e 1/Ts) des � pseudo-symboles � {vn}n∈Z (à la aden e 1/Tv = Q/PTs ave P et Q des entiers tels que P ≤ Q) dé�nis par

VQ(n) = KSP (n), (7.1)où VQ(n) = [vnQ, · · · , vnQ+Q−1]T et SP (n) onstruit de manière analogue [53℄. K désigne unematri e de rang omplet. Ce formalisme englobe les systèmes OFDM munis d'un pré�xe y lique(K est alors une matri e Vandermonde parti ulière) ainsi que les systèmes DS-CDMA dans la voie

7.2 Estimation du résidu de fréquen e porteuse 39des endante (les olonnes de K représentant les odes d'étalement attribués aux di�érents utilisa-teurs et haque élément de SP (n) orrespondant à un utilisateur). Ce modèle permet égalementde traiter le problème d'un système sans pré odeur à l'émetteur pour lequel le signal à tempsdis ret reçu est le résultat d'un suré hantillonnage par rapport à la aden e de symboles. Dans e as, la matri e K est un ve teur dont le premier élément vaut 1 et les autres zéro. Le systèmemono-utilisateur et mono-porteuse orrespond au as parti ulier P = Q = 1 et K = 1.Pour traiter du problème de l'estimation du résidu de porteuse, nous nous plaçons dorénavantdans e adre uni� ateur. Nous onsidérons que le ré epteur onnaît exa tement le pré odeur.L'équation (2.6) nous onvain qu'estimer le résidu de porteuse revient à estimer la fréquen ede sinusoïde perturbée par un bruit multipli atif et additif. Pour un système mono-utilisateur etmono-porteuse, e bruit multipli atif est stationnaire tandis que, pour des systèmes multi-porteuseou multi-utilisateur, il devient y lostationnaire, en raison de la stru ture que onfère l'équation(7.1) aux � pseudo-symboles �. En e�et la suite des � pseudo-symboles �, et don le pro essusa(n) =

∑k hkvn−k, est y lostationnaire (relativement à ses fon tions d'auto orrélation et d'auto- orrélation onjuguée) ave pour ensemble de fréquen es y liques {k/Q | 0 ≤ k ≤ Q− 1}.La propriété de y lostationnarité du bruit multipli atif nous empê he de ré-employer, sansmodi� ation, l'estimateur introduit durant ma thèse pour le système mono-utilisateur et mono-porteuse.On peut remarquer que le signal y(n) est y lostationnaire relativement à ses orrélations onjuguées et admet omme fréquen es y liques l'ensemble {α0 + k/Q | 0 ≤ k ≤ Q − 1} ave

α0 = (2φ1 mod 1). Par onséquent, nous pouvons introduire naturellement la fon tion de ontrastesuivante pour déterminer la valeur de α0

α0 = arg maxα∈A0

JW(α) ave JW(α) =

Q−1∑

l=0

∥∥∥r(α+l/Q)c

∥∥∥2

Wlave r(α)c = [r

(α)c (−Υ), · · · , r(α)

c (Υ)]T, Υ un entier, {Wl}l=0,Q−1 un ensemble de matri es de pon-dération hermitiennes positives et A0 un ompa t de ]0,min(1/2, 1/Q)[.En suivant une démar he similaire à elle employée au ours de ma thèse, il est possible d'é rirel'estimateur de la fréquen e y lique, quandN observations sont disponibles de la manière suivante.αN = arg max

α∈A0

JN,W(α) ave JN,W(α) =

Q−1∑

l=0

∥∥∥∥∥1

N

N−1∑

n=0

z(n)e−2iπαn

∥∥∥∥∥

2

Wlave z(n) =

Q−1∑

l=0

r(α0+l/Q)c e2iπ(α0+l/Q)n + e(n)une somme de sinusoïdes à amplitudes ve torielles bruitées additivement par le pro essus e(n) àmoyenne nulle.Nous rappelons que le passage de la fon tion JW(α) à la fon tion de oût empirique repose surle rempla ement des y lo orrélations onjuguées y liques r

(α)c par leurs estimées empiriques, quisont notées r

(α)c,N et qui se dé omposent ainsi

r(α)c,N =

1

N

N−1∑

n=0

z(n)e−2iπαnave z(n) = [y(n− Υ)y(n), · · · , y(n+ Υ)y(n)]T.Cet estimateur est une extension au as d'un bruit multipli atif y lostationnaire de l'estima-teur introduit dans le hapitre 2 puisque le as d'un système mono-porteuse et mono-utilisateur estobtenu en �xant Q = 1. Le ritère JN,W(α) représente dorénavant une somme de périodogrammespondérés et non plus un périodogramme pondéré. Cet estimateur avait déjà été introduit partielle-ment pour un système muni d'un pré odeur dédié à une te hnique parti ulière de y lostationnaritéinduite à l'émetteur [57℄. Néanmoins au une y lo orrélation autre que elle de retard nul (Υ = 0)et au une matri e de pondération autre que la matri e identité (Wl = 1, pour tout l) n'avaient

40 Syn hronisation pour les systèmes avan és de ommuni ationété prises en onsidération. De plus nous avons entrepris une étude asymptotique de et estimateurpermettant d'analyser ses performan es en fon tion des matri es de pondération et du nombre de oe� ients de y lo orrélation onsidérés.De nouveau, nous avons les liens suivants :1. estimer une harmonique perturbée par un bruit multipli atif (non- ir ulaire) et un bruitadditif peut se transformer en problème d'estimation d'une fréquen e y lique.2. estimer une fréquen e y lique peut se transformer en problème d'estimation d'une harmo-nique perturbée par un bruit additif seulement.Par onséquent, nous allons pouvoir appliquer une démar he identique à elle utilisée dans lasous-se tion 2.3. L'unique di�éren e réside dans la présen e d'une somme de périodogrammes.Grâ e à l'équation (2.8), nous pouvons démontrer la onsistan e et la normalité asymptotiquede l'estimateur, 'est-à-dire,quand N → ∞, N(α− α0)p.s.−→ 0 et N3/2(α − α0)

L−→ N (0, γα0) (7.2)ave L et N (0, γ) désignent respe tivement une onvergen e en loi et une loi gaussienne entréede ovarian e γ. Comme lassiquement pour un problème d'estimation de fréquen e, la vitesse de onvergen e de l'estimateur est en ore en N3/2. A partir d'un développement en série de Taylor aupremier ordre de la dérivée du ritère JN,W(α) autour du vrai point α0, nous obtenons l'expressionsuivante pour la ovarian e asymptotique :

γα0=

3

π2

∑Q−1l,l′=0 RH

l WlGl,l′Wl′Rl′

(∑Q−1

l=0 RHl WlRl)2ave

Rl =

[r(α0+l/Q)c

r(α0+l/Q)c

],Wl =

[Wl 0

0 Wl

]et Gl,l′ =

[Γl,l′ −Γc

l,l′

−Γcl,l′ Γl,l′

]oùΓl,l′= lim

N→∞NE[(r

(α0+l/Q)c,N − r(α0+l/Q)

c )(r(α0+l′/Q)c,N − r(α0+l′/Q)

c )H] (7.3)Γc

l,l′= limN→∞

NE[(r(α0+l/Q)c,N − r(α0+l/Q)

c )(r(α0+l′/Q)c,N − r(α0+l′/Q)

c )T]. (7.4)Dans notre ontexte d'étude, il est fa ile de montrer que le bruit e(n) est, d'une part, y losta-tionnaire de fréquen es y liques {k/Q | 0 ≤ k ≤ Q−1} par rapport à sa fon tion d'auto orrélationet, d'autre part, y lostationnaire de fréquen es y liques {2α0 +k/Q | 0 ≤ k ≤ Q−1} par rapportà sa fon tion d'auto orrélation onjuguée. Après des al uls fastidieux, nous avons de plus obtenuque les matri es Γ et Γc s'é rivait de la manière suivanteΓl,l′ = S

( l−l′

Q)

e (e2iπ(α0+ lQ

)) et Γcl,l′ = C

(2α0+l+l′

Q)

e (e2iπ(α0+ lQ

)) (7.5)ave f 7→ S(α)e (e2iπf ) et f 7→ C

(α)e (e2iπf ) représentent respe tivement les y lospe tres de e(n) àla fréquen e y lique α par rapport à la fon tion d'auto orrélation et par rapport à la fon tiond'auto orrélation onjuguée. Il a ensuite été possible de déterminer l'expression analytique de esspe tres en fon tion des y lospe tres de y(n). En�n, les y lospe tres de y(n) ont été exprimésen fon tion des paramètres du système, 'est-à-dire, la matri e K, le �ltre h(z), les matri es depondération Wl, le nombre de orrélation onsidéré Υ et la varian e du bruit σ2.L'expression �nale de la ovarian e asymptotique, que nous ne reportons pas dans e mémoirepar sou i de lisibilité, nous a permis de montrer que γ admettait la dé omposition suivante :

γ = γ0 + O(σ2)ave γ0 un terme indépendant du bruit b(n). Après des al uls élémentaires mais longs, nousobtenons que si les symboles {sn}n∈Z appartiennent à une onstellation à valeurs réelles et si K està valeurs réelles également, alors hoisir Υ ≥ L +Q et Wl = δ0,lId (ave δ, l'indi e de Krone keret Id, la matri e identité) onduisait àγ0 = 0.

7.2 Estimation du résidu de fréquen e porteuse 41L'hypothèse on ernant la nature de la onstellation est peu restri tive puisque la onstellationnon ir ulaire la plus répandue, la MDP-2, la véri�e. L'autre hypothèse on ernant la matri ede pré odage est davantage restri tive. En e�et e théorème ne s'applique pas pour les systèmesOFDM puisqu'ils admettent une matri e de pré odage à valeurs omplexes. En revan he, il s'ap-plique aux systèmes DS-CDMA puisque eux- i admettent souvent une matri e de pré odage àvaleurs réelles ( f. ode de Walsh-Hadamard ou de Gold). De plus e théorème signi�e que, sion onsidère su�samment de oe� ients de y lo orrélations, l'estimateur asso ié au ritère, ditréduit, basé uniquement sur la maximisation du ve teur des y lo orrélations autour de α0, ad-met une ovarian e asymptotique nulle en l'absen e de bruit le rendant quasiment insensible àl'interféren e entre symboles présente. Ainsi, dans le adre d'un système DS-CDMA dont le odeest à valeurs réelles, l'interféren e entre symboles ne dégrade pas les performan es de l'estimateurproposé pour qu'on hoisisse judi ieusement ertains paramètres et que la onstellation utiliséesoit à valeurs réelles. Ce i s'explique par le fait que la valeur des y lo orrélations aux fréquen es y liques autres que α0 est faible rendant ainsi l'estimation de la fréquen e y lique moins �able.Les performan es théoriques et pratiques de e nouvel estimateur sur lassaient la plupart desestimateurs autodida tes existants à l'époque. On peut iter [10, 18, 32, 64℄ pour l'OFDM et [16, 31℄pour le DS-CDMA. Néanmoins depuis lors, de nouveaux estimateurs sont apparus fon tionnantmieux pour des régimes de faibles RSB et faibles nombres d'é hantillons disponibles [71, 24, 17℄.Grâ e aux expressions générales obtenues pour la ovarian e asymptotique, nous avons égale-ment été en mesure de montrer que, dans le ontexte d'un suré hantillonnage e�e tué au ré epteurse manifestant par une matri e K égal au ve teur omposé de zeros et d'une unique omposantenon-nulle, les performan es du système étaient indépendantes du fa teur de suré hantillonnage.D'autres modulations utilisées en ommuni ation numérique, qui ne sont pas stri to sensolinéaires, produisent des signaux non- ir ulaires au se ond ordre. Les plus ourantes sont les mo-dulations dé alées (O�set modulation en anglais). Ces modulations peuvent être parti ulièrementintéressantes dans un ontexte OFDM où l'on parle alors de te hnique OFDM/OQAM [7℄. Nousavons développé un estimateur du résidu de fréquen e porteuse pour e genre de signaux basé surle même prin ipe que les pré édents estimateurs développés : estimer un résidu de fréquen e por-teuse � perturbée � par un signal non- ir ulaire au se ond ordre se ramène à estimer une fréquen e y lique et estimer une fréquen e y lique onduit à estimer une fréquen e perturbée par un bruitadditif et don à l'utilisation d'un estimateur basé sur la maximisation du périodogramme du arrédu signal reçu. Grâ e aux te hniques de al uls développées pré édemment, nous avons pû trèsfa ilement analyser les performan es asymptotiques d'un tel estimateur en fon tion des paramètresdu système et pré oniser ertaines valeurs spé i�ques de es paramètres.Contexte des modulations de phase ou en quadrature Le prin ipal défaut des travauxpré édents est de ne s'appliquer qu'aux modulations d'amplitude. Ces modulations sont onnuespour avoir de piètres performan es, en terme de Taux d'Erreur binaire, lorsque l'e� a ité spe traledu système doit augmenter. C'est pourquoi, en pratique, on ne ren ontre que la MDA-2 et en oreseulement pour des systèmes ne né essitant pas une haute e� a ité spe trale. Dès que l'on onsidèredes onstellations ave un nombre d'états stri tement supérieur à deux, nous sommes obligés denous rabattre sur les modulations de phase (MDP) ou en quadrature (MAQ). Malheureusement esdeux types de modulations ne présentent pas de non- ir ularité au se ond ordre. Par onséquenttous les estimateurs performants développés pré édemment ne peuvent être mis en pla e.Dans la suite, pour simpli�er, nous onsidérerons être en présent d'un anal non séle tif entemps et en fréquen e e qui induit que h(z) = 1 et que le déphasage global de phase φ0 est nul.Dans l'équation fondamentale (2.6) reliant le signal émis et reçu à temps dis ret, nous avons don a(n) = sn.A�n de ontourner la di� ulté pour estimer le résidu de fréquen e porteuse qu'impose la non- ir ularité au se ond ordre des onstellations MDP et MAQ, il su�t de remarquer que es onstel-lations véri�ent des propriétés de non- ir ularité mais à des ordres supérieurs. En e�et, haque onstellation usuelle admet une symétrie de rotation d'angle 2π/M ave M un entier propre à haque onstellation. Par exemple M = 2 pour une MDA, M = 4 pour une MAQ et M = P pourune MDP à P états. Ce i implique que

S := E[sMn ] 6= 0

42 Syn hronisation pour les systèmes avan és de ommuni ationEn appliquant une démar he similaire au as MDA-2, on peut onstruire un estimateur basésur la maximisation du périodogramme du signal reçu élevé à la puissan e M [66, 6, 22, 58℄. On aainsiφ1|N

=1

Marg max

φ∈]−1/2,1/2]

∣∣∣∣∣1

N

N−1∑

n=0

z(n)e−2iπφn

∣∣∣∣∣

2 (7.6)ave z(n) = y(n)M = Se2iπMφ1n + e(n) (7.7)où

e(n) = (sMn − S)e2iπMφ1n +

M−1∑

m=0

M !/(m!(M −m)!)smn b(n)M−me2iπmφ1n. (7.8)est un pro essus, par onstru tion, entré et don assimilable à du bruit. Comme h(z) = 1, il estfa ile de montrer que e pro essus est stationnaire (par rapport à sa fon tion d'auto orréléation), y lostionnaire de fréquen e y lique 2Mφ1 (par rapport à sa fon tion d'auto orrélation onjuguée),non-gaussien et blan .Ainsi, en ore une fois, par le biais de l'élévation à la puissan e M du signal reçu, nous avonstransformé le modèle initial (2.6) représentant une harmonique (φ1) perturbée par un bruit multi-pli atif (sn) et additif (b(n)) en un modèle (7.7) représentant une harmonique (Mφ1) uniquementperturbée par un bruit additif (e(n)).Bien que et estimateur soit onnu depuis longtemps, au une étude de es performan es asymp-totiques n'était disponible dans la littérature. Il est lair que nos travaux pré édents on ernantl'étude des performan es de l'algorithme d'estimation fréquen e perturbée par un bruit additif y lostationnaire s'appliquent et montrent ainsi que l'estimateur étudié est onsistant, asympto-tiquement normal et onverge à la vitesse N3/2. De plus le al ul de la ovarian e asymptotiquese réduit à une évaluation des y lospe tres de e(n). Cette dernière tâ he est i i aisée ar e(n) estblan . On en déduit que

γφ1=

3

2π2

σ2e − Re[σ2

e ]

M2|S|2 (7.9)ave σ2e la varian e et σ2

e la varian e y lique onjuguée de e(n) .Dans un deuxième temps, nous nous sommes posés la question de savoir quelle était la modi� a-tion la plus adéquate que devait subir le signal reçu a�n d'améliorer les performan es d'estimationdu résidu de fréquen e porteuse. Nous présenterons es travaux dans le adre des onstellationsMDP. Des travaux similaires ont été menés dans le adre des onstellations MAQ.Au lieu de travailler sur le signal z(n) = y(n)M , nous proposons d'utiliser un signal y(n)transformé di�éremment. Pour ela onsidéronsz(n) = f(|y(n)|)eiM∠(y(n))ave f(.) une fon tion non-linéaire à valeurs réelles positives et ∠(.) désignant l'angle d'un nombre omplexe. Bien évidemment si x 7→ f(x) = xM , nous retombons dans le as de l'élévation à lapuissan e. La justi� ation d'une telle transformation est la suivante : en l'absen e de bruit et ave une onstellation MDP, la phase du signal élevé à la puissan e M s'é rit M∠(y(n)) = 2πφ1net permet d'identi�er sans di� ulté φ1 ; ainsi les déphasages dû aux termes de la onstellationont disparu et ne perturbent pas l'identi� ation. C'est pourquoi il parait raisonnable de onserver

M∠(y(n)) omme valeur de phase du signal transformé. En revan he on peut s'autoriser unetransformation non-triviale ( 'est-à-dire, di�érente du mon�me de degré M) sur son module.Pour onduire ette étude, nous allons montrer que z(n) peut s'é rire omme une harmoniqueperturbée par un bruit additif. En e�et, après avoir e�e tué un hangement de variable permettantd'établir la densité de probabilité onjointe de |y(n)| et ∠(y(n)), nous prouvons quez(n) = Ce2iπMφ1n + e(n)ave

C = E|y(n)|[f(|y(n)|)IM (2|y(n)|/σ2)/I0(2|y(n)|/σ2)]

7.2 Estimation du résidu de fréquen e porteuse 43et Im(.) la fon tion de Bessel modi�ée de première espè e d'ordre m. Il est une nouvelle fois fa ilede véri�er que e(n) est stationnaire par rapport à sa fon tion d'auto orrélation et y lostationnairede fréquen e y lique 2Mφ1 par rapport à sa fon tion d'auto orrélation onjuguée.Par onséquent l'estimateur dé rit par l'équation (7.6) peut être mis en pla e. Grâ e à nostravaux pré édents, la onsistan e, la normalité asymptotique et la vitesse de onvergen e sontautomatiquement établis. Pour obtenir une expression simple de la ovarian e asymptotique, ilsu�t de al uler les y lospe tres de e(n). Un tel al ul onduit à la formule suivanteγφ1

=1

π2

B −DC2

(7.10)ave B = E|y(n)|[f

2(|y(n)|)] et D = E|y(n)|[f2(|y(n)|)IM (2|y(n)|/σ2)/I0(2|y(n)|/σ2)]La di� ulté et le réel apport de e paragraphe réside dans l'optimisation de la ovarian easymptotique en fon tion de la fon tionnelle f(.). Grâ e à l'inégalité de Cau hy-S hwartz, on peutfa ilement montrer que

fopt.(x) = cIM (2x/σ2)

I0(2x/σ2) − I2M (2x/σ2)ave c une onstante arbitaire non-nulle.A�n de manipuler des fon tions fa iles à évaluer en pratique, on peut réduire l'ensemble defon tions admissibles aux seuls mon�mes de degré quel onque m. A partir de l'expression (7.10), ilest fa ile de montrer que la ovarian e asymptotique est invariante par rapport m lorsque le RSBest su�samment grand.Un al ul semblable mais plus pénible peut être onduit dans le adre des onstellations MAQ.On trouve alors que la fon tion optimale est approximable par une fon tion linéaire par mor eauxadmettant une pente faible lorsque le module de y(n) est faible, une pente nulle (en fait la fon tionnulle) lorsque le module de y(n) est autour de 1 et une pente très élevée dès que le module estlégèrement plus grand que 1. Autrement dit, il faut privilégier les observations ayant un fort moduleet ne absolument pas prendre en ompte les observations ayant un module pro he de 1. Le hoix quenous pré onisons pour l'allure de la transformation optimale on�rme ertains hoix déjà e�e tuésdans la littérature [41℄. Cependant es hoix pré édents n'étaient justi�ées que par l'intuition etnon le al ul.En�n, sous l'hypothèse de onstellations MDP, es travaux ont été étendus aux ontextes sui-vants :� Nous avons prouvé des résultats similaires lorsque les symboles étaient orrompus par un anal séle tif en temps modélisé par une loi de Ri e. Ainsi nous travaillons ave le bruitmultipli atif a(n) = hnsn où {hn}n∈Z est un pro essus aléatoire i.i.d gaussien de moyennenon nulle.� En�n nous avons également introduit de nouveaux estimateurs des paramètres de phase dusignal reçu lorsque elle- i est, non pas une fon tion linéaire en n, mais un polyn�me duse ond degré en n. Dans un ontexte de transmission radiomobile, le oe� ient asso ié auterme du se ond degré est lié à l'a élération du mobile tandis que le oe� ient asso ié auterme du premier degré reste onne té à la vitesse du mobile et don à la fréquen e Doppler.Une analyse asymptotique de es estimateurs a été onduite à l'aide d'une démar he en toutpoint analogue à elle présentée dans e paragraphe.Après avoir introduit de nouveaux estimateurs autodida tes du résidu de fréquen e porteuseappli ables à toutes les onstellations ouramment ren ontrées dans les systèmes avan és de om-muni ation numérique, il onviendrait d'obtenir des performan es plan hers de e problème. Lasous-se tion suivante est dédiée à ette problématique.7.2.2 Evaluation de bornes minimales de performan esDans les sous-se tions pré édentes, nous avons mis en pla e des estimateurs autodida tes du ré-sidu de fréquen e porteuse. Cependant il serait pertinent de tenter de omparer leurs performan esà des bornes minimales telles que les bornes de Cramer-Rao (CRB).

44 Syn hronisation pour les systèmes avan és de ommuni ationBornes de Cramer-Rao Nous rappelons qu'estimer un résidu de fréquen e porteuse de ma-nière autodida te est formellemment identique à estimer une harmonique perturbée par un bruitmultipli atif et additif. Dans les sous-se tions pré édentes, nous avons également montré que notredémar he de onstru tion d'estimateurs fait intervenir la problématique d'estimation d'harmoniqueperturbée par un seul bruit additif. Néanmoins al uler des bornes de performan es sur ette der-nière problématique ne serait pas orre t a priori ar nous pouvons subodorer que les manipulationse�e tuées onduisant au modèle d'une harmonique perturbée par un seul bruit additif induisentune ertaine perte d'information par rapport au modèle originel. De plus le al ul de la CRB surle modèle simpli�é ne réduit en rien la omplexité du problème puisque le bruit additif équivalentadmet une densité de probabilité for ément non-gaussienne. Par onséquent nous devons bien al- uler la CRB asso iée à une problématique d'estimation d'harmonique bruitée multipli ativementet additivement, 'est-à-dire, asso iée au modèle général (2.6).Via le modèle (2.6), nous remarquons que notre problème d'évaluation de la CRB est ompliquéen raison de la présen e d'un ertain nombre de paramètres de nuisan e que sont les symboles émisin onnus et la réponse impulsionnelle du �ltre également in onnue. En fait, suivant la manièredont on va gérer es paramètres de nuisan e, nous allons être en mesure de dé�nir di�érents typesde bornes de Cramer-Rao. Dans la suite, nous onsidérons que les paramètres de nuisan e sontseulement les symboles émis in onnus. La réponse impulsionnelle du �ltre ne sera pas interprétée omme une nuisan e puisque nous souhaitons également l'estimer. Ainsi le ve teur de paramètres àestimer omprendra la réponse impulsionnelle du �ltre, le résidu de fréquen e porteuse, la varian edu bruit additif et la phase globale.Il onvient maintenant de savoir sur quel type de borne de Cramer-Rao nous allons nous attar-der. Pour ela, ommençons par un bref rappel des di�érents types de bornes existants :� la vraie borne de Cramer-Rao (TCRB ou UCRB) onsidère les paramètres de nuisan e ommedes variables aléatoires admettant une ertaine densité de probabilité, 'est-à-dire, les inter-prête omme un bruit. Dans notre as, les symboles émis ont pour loi une somme pondéréede distributions de Dira . Cette borne est malheureusement le plus souvent totalement inex-primable analytiquement. Pour des valeurs faibles de RSB, il est possible d'obtenir une formeanalytique de ette borne asso iée à quelques problèmes d'estimation [58, 44℄. Néanmoins, enrègle générale, ette borne est onsidérée omme inexploitable et la ommunauté s ienti�ques'est don rabattue sur d'autres types de bornes de Cramer-Rao.� Une manière intuitive de ontourner le problème est d'intégrer les paramètres de nuisan e àla liste des paramètres à estimer. De e fait, es paramètres de nuisan e seront vus ommedes variables déterministes. On parle de borne de Cramer-Rao onditionnelle (CCRB).� Une manière en ore plus simple est de onsidérer le problème d'estimation où es paramètresde nuisan e sont supposés onnus. On obtient alors une borne qui dépend de la valeur de es paramètres, En faisant la moyenne statistique de ette dernière borne, nous obtenons uneborne, dite borne de Cramer-Rao modi�ée (MCRB) indépendante des valeurs des paramètresde nuisan e [13℄.� En�n, dans de nombreuses situations, il peut apparaître raisonnable de onsidérer les para-mètres de nuisan e omme des variables aléatoires gaussiennes. On parle alors de borne deCramer-Rao gaussienne (GCRB).Le le teur pourra se référer au livre de Vazquez [65℄ et aux arti les de Moene laey [39, 58, 44℄qui pro urent un ex ellent état de l'art sur les di�érentes dé�nitions des bornes de Cramer-Raoen présen e de paramètres de nuisan e. Dans et ouvrage et es arti les, une étude omparativeentre es di�érentes bornes a également été menée. Nous en rappelons, i-dessous, quelques pointsessentiels : omme nous l'avons déjà mentionné, la TCRB n'est souvent pas al ulable. Par onsé-quent, il faut songer à utiliser les autres bornes. La plus simple d'emploi est lairement la MCRB.Malheureusement l'expérien e montre qu'elle s'avère souvent trop optimiste. De plus, pour notreproblème pré is, elle sera in apable de mettre à pro�t la stru ture de non- ir ularité du bruit mul-tipli atif puisqu'elle interprète e bruit omme une suite onnue de symboles. Un raisonnementanalogue s'applique à la CCRB puisque ette borne interprète e bruit omme une suite déter-ministe de symboles. Par onséquent, il ne reste que la GCRB à examiner. Elle a pour prin ipalavantage d'être généralement exprimable analytiquement. En revan he, e n'est pas une borne àproprement parler si le bruit multipli atif se révèle ne pas être gaussien. Cependant, elle borne lesperforman es des algorithmes uniquement basés sur les statistiques au se ond ordre ( 'est-à-dire,

7.2 Estimation du résidu de fréquen e porteuse 45les orrélations et les orrélations onjuguées). C'est pourquoi elle sera a priori sans intérêt pourévaluer les estimateurs onçus pour les onstellations MDP et MAQ. Par ontre, elle devrait parfai-tement onvenir pour les estimateurs que nous avons développés dans le ontexte des onstellationsMDA.Dorénavant, nous allons nous intéresser à l'évaluation de la GCRB, 'est-à-dire, que nous allonssupposer que les symboles émis sont gaussiens e qui implique bien évidement que le bruit multi-pli atif est gaussien. Ainsi nous problème se résume au al ul de la CRB d'une harmonique lorsque elle- i est perturbée par des bruits multipli atif et additif gaussiens.De nombreux travaux ont déjà été menés pour résoudre e problème : dans [23℄, le bruit mul-tipli atif est supposé ir ulaire ; dans [19, 5℄, le bruit multipli atif est à valeurs réelles. Ces deuxpapiers examinent aussi bien la GCRB dite exa te ( 'est-à-dire, à nombre �ni d'observations) quela GCRB asymptotique ( 'est-à-dire, lorsque le nombre d'observations tend vers l'in�ni). La GCRBasymptotique, quoique bien plus di� ile à obtenir, onduit généralement à des expressions ana-lytiques très ompa tes et très fa ilement interprétables. C'est pourquoi, le but de notre travaila été d'exprimer analytiquement la GCRB exa te et asymptotique lorsque le bruit multipli atifest supposé non- ir ulaire. Ce as de �gure orrespond tout à fait à notre problème d'estimation :en e�et, le bruit multipli atif a(n) est à valeurs omplexes ar nous travaillons sur l'enveloppe omplexe du signal et est non- ir ulaire ar les symboles émis sont non- ir ulaires.A�n de présenter les résultats prin ipaux, a�nons le modèle (2.6) de la manière suivante :a(n) est don un pro essus stationnaire gaussien à valeurs omplexes et non- ir ulaire de moyennenulle, de orrélation r(τ) = E[a(n + τ)a(n)] et de orrélation onjuguée rc(τ) = E[a(n + τ)a(n)].Le spe tre et le spe tre onjugué sont notés respe tivement omme suit

s(e2iπf ) =∑

τ∈Z

r(τ)e−2iπfτ et c(e2iπf ) =∑

τ∈Z

rc(τ)e−2iπfτ .Nous onsidérons également que les statistiques de a(n) ( 'est-à-dire, {r(τ), u(τ)}τ∈Z) dépendentseulement d'un nombre �ni K de paramètres in onnus à valeurs réelles, notés, {θk}k=1,...,K . Cesparamètres peuvent notamment représenter les parties réelles et imaginaires de la réponse impul-sionnelle du �ltre ainsi qu'un dé alage de phase φ0.Pour analyser la CRB, nous pro édons en trois étapes :� la première étape onsiste à exprimer analytiquement la matri e d'information de Fisherpour les parmaètres d'intérêt [φ1, σ

2, θ1, · · · , θK ] lorsqu'un nombre �ni d'é hantillons est dis-ponible.� la se onde étape permet d'obtenir des équivalents asymptotiques des di�érents éléments de lamatri e d'information de Fisher. Pour y parvenir nous nous basons sur le théorème d'inversiondes grandes matri es de Toeplitz ([26℄) dont nous rappelons l'énon é i-dessous : soit tN =(tl−k)−N<k,l<N une matri e de Toeplitz dé rite de manière bije tive par

s(e2iπf ) =∑

k∈Z

tke−2iπfk ⇔ tk =

∫ 1

0

s(e2iπf )e2iπfkdf e qui justi�e la notation suivante tN = TN (s). Sous des onditions peu restri tives sur{tk; k = 0,±1, · · · }, pour N grand, on obtient que

TN (s)−1 ≈ TN (s−1). (7.11)� la troisième étape a pour obje tif d'inverser la matri e d'information de Fisher asymptotique.Il su�t pour ela d'utiliser le lemme de S hur d'inversion de matri es dé�nies par blo .Ces trois étapes nous onduisent au résultat �nal suivantCRBφ1

≈ 3

4π2ξN3ave ξ =

∫ 1

0

c(e2iπf )c(e−2iπf )

X (e2iπf )df

46 Syn hronisation pour les systèmes avan és de ommuni ationetX (e2iπf ) = (s(e2iπf ) + σ2)(s(e−2iπf ) + σ2) − c(e2iπf )c(e−2iπf ).Ce résultat nous livre les quelques enseignements suivants :i) La vitesse de onvergen e pour la fréquen e est de N3/2 indépendamment de la ouleur dubruit multipli atif. Cette vitesse est identique à elle obtenue dans le as de bruit multipli atifà valeurs réelles [19℄. Rappelons ependant que pour un bruit multipli atif à valeurs omplexes ir ulaire, la fréquen e n'est identi�able que si le bruit multipli atif est oloré ave une vitessede onvergen e en N1/2. Ainsi le as de signaux non- ir ulaires se rappro he plus du as dessignaux réels que du as des signaux ir ulaires. Par onséquent, en termes de performan e,la rupture se situe non pas entre signaux omplexes et signaux réels mais plut�t entre signaux ir ulaires et signaux non- ir ulaires 1.ii) Les performan es d'estimation de la fréquen e dépendent seulement de ξ. Ainsi ξ orrespondà un taux d'information apporté par la non- ir ularité. En e�et, plus ξ est grand et meilleuressont les performan es.iii) Dans le as non-bruité, on observe un e�et plan her ar la GCRB est non-nulle quand σ2vaut zéro. Cet e�et peut disparaître si on pose s(e2iπf )s(e−2iπf ) = c(e2iπf )c(e−2iπf ). Enpratique, ette ondition est au moins véri�ée par un bruit multipli atif à valeurs réelles.Il onvient maintenant de omparer la GCRB asymptotique à la ovarian e asymptotique del'estimateur du résidu de fréquen e porteuse mis en pla e pour des onstellations non- ir ulairesau se ond ordre. Cet estimateur est dé�ni par l'Eq. (2.7) et sa ovarian e asymptotique est donnéepar l'Eq. (2.9).Lorsque nous onsidérons Υ = L, 'est-à-dire, lorsque la ovarian e asymptotique est minimale,il est possible de ré-é rire l'Eq. (2.9) sous la forme suivante

γφ1=

3η

4π2N3(7.12)ave

η =

∫ 1

0|c(e2iπf )|2X (e2iπf )df(∫ 1

0 |c(e2iπf )|2df)2 .En utilisant l'inégalité de Cau hy-S hwartz, il est possible de montrer que η ≥ 1/ξ et qu'il ya égalité si et seulement si la fon tion f 7→ X (e2iπf ) est onstant. Par onséquent l'estimateurintroduit atteint au moins la GCRB lorsque le bruit multipli atif est blan , 'est-à-dire, lorsquenous sommes en présen e d'un anal gaussien.Bornes de Barankin Il est onnu maintenant que dans les problèmes de ré upération d'har-monique, les performan es des estimateurs ouramment utilisés se dégradent fortement lorsque leRSB et/ou le nombre d'é hantillons disponible est faible [51℄. On parle alors de phénomène de� dé ro hement �. La borne de Cramer-Rao ne permet pas de mettre en éviden e e phénomène.Par onséquent il est naturel de se poser la question suivante : e phénomène est-il intrinsèque auproblème d'estimation ou non ? En introduisant des bornes de performan es plus pré ises dans lazone des faibles RSB, nous allons pouvoir répondre positivement à la question soumise.Dans un premier temps, nous avons al ulé la borne de Barankin asso iée au problème de ré u-pération d'harmonique perturbée par des bruits multipli atif et additif gaussiens. Il est onnu que ette borne est apable de visualiser le phénomène de dé ro hement notamment pour le problèmede ré upération d'harmonique bruitée additivement. Notre ontribution est d'exprimer analytique-ment la borne de Barankin dans le ontexte d'une harmonique perturbée par un bruit multipli atifgaussien quel onque ( 'est-à-dire, soit à valeurs réelles, soit à valeurs omplexes non- ir ulaire etsoit à valeurs omplexes ir ulaire) et additif gaussien.Dans la suite, par sou i de simpli ité, nous supposons que les statistiques des bruits, en l'o - urren e {r(τ), rc(τ)}τ∈Z et σ2, sont onnus du ré epteur. En revan he, nous supposons que lesignal a(n)e2iπφ1n subit une rotation d'un ertain angle φ0 in onnu. Il est fa ile de véri�er que laGCRB asymptotique asso iée au paramètre de fréquen e admet une valeur qui ne dépend pas de la1On peut noter qu'un pro essus à valeurs réelles est un as spé i�que de pro essus à valeurs omplexes non- ir ulaire pour lequel la partie imaginaire est nulle.

7.2 Estimation du résidu de fréquen e porteuse 47validité de l'hypothèse de onnaissan e des statistiques du bruit. C'est la raison pour laquelle, onpeut onje turer que ette hypothèse aura peu d'in iden e sur les valeurs numériques de la bornede Barankin.Soit φ = [φ0, φ1]T le ve teur des paramètres à estimer. On dé�nit également les points suivants

{ψ(k) = [ψ0(k), ψ1(k)]T}1≤k≤n, dits, � points-tests �. La borne de Barankin à l'ordre n est dé�niede la manière suivante : BBn(φ0, φ1) = sup

ESn(E)où

Sn(E) = E(B(E) − 1n1Tn )−1ETave E = [ψ(1)−φ, . . . ,ψ(n)−φ], et 1n = ones(n, 1). De plus B = (Bk,l)1≤k,l≤n est la matri e detaille n× n suivante

Bk,l = Ey

[p(y|ψ(k))

p(y|φ)

p(y|ψ(l))

p(y|φ)

]et y = [y(0), . . . , y(N − 1)]T est le ve teur dans lequel les N observations disponibles sont empilés.Le point important est que l'erreur quadratique moyenne de tout estimateur sans biais est plusgrande que la borne de Barankin onsidérée à n'importe quel ordre. Quand n tend vers l'in�ni, elleest même la plus pré ise des bornes [2, 49, 1℄.Comme y est à valeurs omplexes et a priori non- ir ulaire, nous introduisons le pro essussuivant y = [yT,yH]T dont la matri e de ovarian e sera notée Rφ. Cette matri e dépend évidem-ment des paramètres d'intérêt φ. Après quelques manipulations algébriques fastidieuses basées surla onnaissan e des moments exponentiels de la distribution de Wishart, nous avonsBk,l =

{1√

det(Qk,l)si Qk,l > 0

+∞ ailleurs ,ave Qk,l = (R−1

ψ(k) + R−1ψ(l))Rφ − Id2N .Dans la littérature, il est usuel de onsidérer les points-tests suivants

E =

[ψ0 − φ0 0

0 ψ1 − φ1

]= diag(ε0, ε1).Alors une borne de Barankin à l'ordre 2 pour le paramètre de fréquen e φ1 prend la forme suivanteBBφ1

= supε0,ε1

ε21(B1,1 − 1) − (B0,1 − 1)2/(B0,0 − 1)

.Cette expression analytique ne fournit pas dire tement des indi ations sur le omportement de laborne de Barankin en fon tion des paramètres de dimensionnement du système. En revan he, parle biais de simulations, nous avons observé, d'une part, que la borne de Barankin dé ro he biende la borne de Cramer-Rao pour des valeurs faibles du RSB et/ou du nombre d'observations et,d'autre part, que le taux de non- ir ularité du signal in�uen e très fortement les performan es àfaible RSB tandis que la ouleur du bruit multpli atif a un e�et négligeable sur la valeur de laborne.Il peut être intéressant de trouver une expression analytique (dépendant du RSB et de N) duseuil en-dessous duquel la borne de Barankin et la borne de Cramer-Rao di�èrent. La démar heappliquée pour obtenir la valeur de e seuil est identique à elle exposée dans [30℄. Par sou i desimpli ité, nous nous sommes limité au as d'une phase φ0 onnue, d'un bruit multipli atif blan de varian e unité et d'une borne de Barankin au premier ordre. L'information sur la puissan e dela non- ir ularité est donnée par ρ = E[a(n)2]. Après quelques al uls simples, nous obtenons quele phénomène de dé ro hement entre les deux bornes de produit dès queN ≥ 3

√16ν

1 − ϑN/4

ϑN/4

48 Syn hronisation pour les systèmes avan és de ommuni ationave ν =

3[(1 − |ρ|2) + 2σ2 + σ4

]

8π2|ρ|2 et ϑ =(1 + σ2)2 − 9|ρ|2(1 + σ2)2 − |ρ|2 .A titre d'exemple, ette dernière équation nous indique pour un RSB de -5dB et un taux denon- ir ularité ρ de 1, un é art entre les deux bornes existe dès que le seuil N est inférieur à 60.Bornes de Ziv-Zakaï Dans [9, 4℄, il est a�rmé que la borne de Ziv-Zakaï, introduite dans[73℄, dé rit mieux le phénomène de dé ro hement que la borne de Barankin en e qui on erne leproblème de ré upération d'harmonique perturbée par un bruit additif gaussien. C'est pourquoiil nous a semblé légitime de onsidérer l'évaluation de la borne de Ziv-Zakaï dans le ontexte dela ré upération d'harmonique perturbée par des bruits multipli atif et additif gaussiens. Il fautmentionner qu'à notre onnaissan e au un al ul antérieur de la borne de Ziv-Zakaï n'existe dansle ontexte onsidéré.Avant de dé�nir pré isément la borne de Ziv-Zakaï, il faut souligner que ette borne présenteune di�éren e fondamentale ave les deux bornes déjà présentées dans ette sous-se tion : elle onsidère le paramètre à estimer omme une variable aléatoire qui possède alors une densité deprobabilité a priori. Nous sommes don en présen e d'un problème d'estimation bayésienne. Enfait, il est possible d'adapter la borne de Cramer-Rao ainsi que la borne de Barankin au ontextebayésien. Pour la borne de Cramer-Rao, on parlera alors de borne de Cramer-Rao sto hastiqueou de Van Trees [62℄. Ces bornes ne bornent alors non pas l'erreur quadratique moyennée sur lesobservations mais l'erreur quadratique moyennée sur les observations et aussi sur le paramètre àestimer. Ainsi en e on erne les estimateurs introduits au début de e hapitre, il faudra omparerles bornes bayésiennes à l'erreur quadratique moyennée à la fois sur les observations et la fréquen e.La fréquen e a pour densité de probabilité a priori une loi uniforme sur son intervalle de re her he ar rien ne prédispose la fréquen e à estimer à admettre des valeurs privilégiées.Nous ommençons par rappeler la dé�nition d'une borne de Ziv-Zakaï dans le ontexte d'unparamètre d'intérêt bi-dimensionnel puisque nous nous intéressons à l'estimation de la phase φ0 etdu résidu de fréquen e porteuse φ1. Soient φ0 et φ1 des estimateurs respe tifs de φ0 et φ1. L'erreurquadratique moyenne ommise sur φ1 peut être bornée de la manière suivante

Ey,φ1[|φ1 − φ1|2] ≥

∫ ∞

0

ℓ1

(max

ℓ0f(ℓ0, ℓ1)

)dℓ1 (7.13)ave

f(ℓ0, ℓ1) =

∫min(p(ϕ0, ϕ1), p(ϕ0 + ℓ0, ϕ1 + ℓ1))Pe([ϕ0, ϕ1], [ϕ0 + ℓ0, ϕ1 + ℓ1])dϕ0dϕ1. (7.14)La fon tion p(.) est la densité de probabilité a priori du paramètre d'intérêt bi-dimensionnel [φ0, φ1],et Pe([ϕ0, ϕ1], [ϕ0 + ℓ0, ϕ1 + ℓ1]) est la probabilité d'erreur du problème de dé ision qui onsiste à hoisir entre les deux hypothèses équiprobables suivantes

{H0 : y(n) = a(n)e2iπ(ϕ0+ϕ1n) + w(n)H1 : y(n) = a(n)e2iπ((ϕ0+ℓ0)+(ϕ1+ℓ1)n) + w(n)quand le déte teur optimal ( 'est-à-dire, le déte teur du maximum de vraisemblan e) est mis en÷uvre. Le terme de droite de l'Eq. (7.13) est appelé, dans la suite, borne de Ziv-Zakaï (ZZB).En montrant que Pe(.) ne dépend pas de ϕ0 et ϕ1 et en utilisant des densités de probabilitéuniformes pour les paramètres à estimer, nous obtenons queZZBφ1

=

∫ 1/2

0

(1/2 − h1)h1(maxh0

(1/2 − h0)Pe(h0, h1))dh1ave Pe(ℓ0, ℓ1) orrespondant au terme Pe([ϕ0, ϕ1], [ϕ0 + ℓ0, ϕ1 + ℓ1]).La di� ulté réside maintenant dans l'évaluation du terme Pe(ℓ0, ℓ1). Nous avons d'abord montréquePe(ℓ0, ℓ1) = Prob (p1 < p2) où pm =

∑

n

λ(m)n u2

n (7.15)

7.2 Estimation du résidu de fréquen e porteuse 49ave {un} une suite iid de variables aléatoires gaussiennes de moyenne nulle et de varian e unité. Deplus les (−λ(2)n ) ave λ(2)

n > 0 pour n = 0, · · · , q− 1 orrespondent aux q valeurs propres négativesde Vℓ0,ℓ1 tandis que les λ(1)n ave λ(1)

n ≥ 0 pour n = q, · · · , 2N − 1 orrespondent aux (2N − q)valeurs propres positives de Vℓ0,ℓ1 . Cette matri e Vℓ0,ℓ1 est dé�nie de la manière suivanteVℓ0,ℓ1 = Λ

1/20 D0

(R−1

ℓ0,ℓ1− R−1

0,0

)DT

0 Λ1/20 ave ave Rϕ0,ϕ1

= E[yyT] pour un signal y présentant un dé alage en fréquen e égal à ϕ1 et de phaseégal à ϕ0, D0 la matri e des ve teurs propres de R0,0, Λ0 la matri e diagonale des valeurs propresde R0,0 et y = [Re(yT), Im(yT)]T où Re(.) et Im(.) sont respe tivement les parties réelles etimaginaires d'un nombre omplexe.Si les ÷� ients de pondération sont di�érents, les variables pm ne sont pas distribuées selonune loi du χ2. Néanmoins, la distribution des pm peut être bien approximé par la distributionGamma notée G(α, θ). Par onséquent, nous avonspm ∼ G(αm, θm)ave

αm =1

2

(∑

n λ(m)n )2

∑n λ

(m)n

2 et θm = 2

∑n λ

(m)n

2

∑n λ

(m)n

.Nous obtenons �nalement quePe(ℓ0, ℓ1) =

θα1

α1B(α1, α2)2F1(α1 + α2, α1, α1 + 1;−θ)ave � θ = θ1/θ2,� B(α1, α2) = Γ(α1 + α2)/Γ(α1) la première intégrale d'Euler ou la fon tion Beta.� 2F1(α, β, γ;x) une fon tion hyper-géométrique.L'expression i-dessus est le prin ipal résultat de e paragraphe. Bien que ette expression nesoit pas interprétable, des évaluations numériques de elle- i nous permettent de remarquer quel'estimateur du résidu de fréquen e porteuse par élévation à la puissan e a une erreur quadratiquemoyenne pro he de la borne de Ziv-Zakaï. De e fait, l'e�et de dé ro hement est intrinsèquementlié au problème d'estimation ren ontré et non aux estimateurs utilisés. Par onséquent, l'axe dere her he onsistant à développer des estimateurs autodida tes �ables à RSB faible n'est pas per-tinent. Ainsi à RSB faible, nous pré onisons l'emploi d'estimateurs supervisés ( 'est-à-dire qui uti-lisent une séquen e d'apprentissage) ou bien des estimateurs aidés par des dé isions. A RSB faible,il est maintenant ourant de mettre en ÷uvre des odes orre teurs d'erreurs de type � turbo �. Ilest alors possible de on evoir des estimateurs aidés les dé isions souples fournies par les opérationsde dé odage. On parle alors de turbo-syn hronisation. Ces méthodes ont montré leur e� a ité àRSB faible [45℄.7.2.3 Etude du phénomène de dé ro hementPour étudier le phénomène de dé ro hement, nous sommes attardés dans la sous-se tion pré é-dente à évaluer analytiquement des bornes qui mettaient en exergue e phénomène. Il est égalementd'intérêt d'étudier et e�et de dé ro hement sur les estimateurs réellement mis en pla e a�n d'exa-miner leur omportement exa t vis-à-vis de e phénomène. Comme dans le reste de nos travaux,nous avons porté notre attention sur l'estimateur d'élévation à la puissan e dé rit par l'Eq. (7.6).Traditionnellement, pour étudier les performan es théoriques d'un estimateur, il est d'usage dedéterminer l'erreur quadratique moyenne (EQM) asymptotique qui orrespond au rapport entre la ovarian e asymptotique de l'estimateur et le nombre d'é hantillons élevé à une ertaine puissan e.La puissan e est égale au arré de la vitesse de onvergen e. Cette appro he n'est plus valide dansla zone où se produit l'e�et de dé ro hement. Pour l'expliquer, examinons de plus près l'estima-teur onsidéré. La fon tion à maximiser ( f. Eq. (7.6)) n'est pas on ave. Cependant il est possibled'obtenir le maximum de ette fon tion en pro édant de la manière suivante [51℄ :

50 Syn hronisation pour les systèmes avan és de ommuni ation� une étape dite grossière permettant de déte ter le pi autour de la fréquen e Mφ1. Cetteétape est réalisée via une Transformée de Fourier dis rète (FFT) de taille N .� une étape dite �ne examinant la fon tion de oût autour du pi déte té par l'étape pré édente.Un algorithme du gradient permet de mettre en pla e ette étape.A faible RSB ou à faible nombre d'é hantillons, l'étape grossière peut onduire à la déte tion d'unpi se situant loin du point- ible Mφ1. L'étape �ne, alors mal initialisée, fournit des estimateursaberrants.Par sou i de simpli ité, nous supposerons, dans la suite, que la phase φ0 in onnue est nulleet que la fréquen e re her hée est nulle et au entre de l'intervalle de re her he. La vraie ErreurQuadratique Moyenne de l'estimateur d'élévation au arré s'é rit alorsEQM = Ey[|φ1|N− φ1|2] =

p

12+ (1 − p)EQMs.d.où p est la probabilité d'é he de l'étape grossière et est appelée � probabilité de dé ro hement �et où EQMs.d. est l'EQM quand l'e�et de dé ro hement n'est pas pris en ompte [51℄.Si le anal de propagation est à évanouissement plat ( 'est-à-dire, h(z) = 1), une expressionanalytique de EQMs.d. basée sur la ovarian e asymptotique de l'estimateur est disponible grâ eà nos travaux antérieurs : le le teur pourra se référer à l'Eq. (7.9) valable pour les trois typesde onstellations MDA, MDP et MAQ. Cependant, au un al ul on ernant la probabilité dedé ro hement p n'est disponible dans la littérature. C'est pourquoi, dans la suite, nous allons nousatta her à évaluer analytiquement la probabilité de dé ro hement p quand le anal est gaussien( 'est-à-dire, h(z) = 1). Ainsi, nous serons ensuite en mesure d'obtenir les vraies performan esthéoriques valables quelque soit la zone de RSB onsidérée.Etant donné les Eqs. (7.6) et (7.7), notre problème se ramène à al uler la probabilité de dé ro- hement de l'estimateur basé sur la maximisation du périodogramme d'une harmonique perturbéepar un bruit additif e(n). Dans la littérature, e al ul a déjà été e�e tué si le bruit additif estgaussien (à valeurs omplexes) et ir ulaire [51℄. Dans notre ontexte e(n) n'est ni gaussien ni ir- ulaire. Néanmoins, pour mener à bien le al ul analytique de la probabilité de dé ro hement, nousimposons à e(n) de suivre une loi gaussienne. Cette modélisation est également motivée par le faitque les performan es de l'estimation d'un signal déterministe en présen e d'un bruit blan sont lesplus mauvaises quand le bruit suit une loi gaussienne [60℄. Don l'hypothèse gaussienne onduiraà une borne supérieure du terme EQMs.d.. Bien que e résultat ne tienne pas ompte de l'e�etde dé ro hement, les simulations montrent que l'EQM totale est en ore la plus mauvaise quand lebruit e(n) est onsidéré gaussien. Cependant, nos simulations montrent que ette borne supérieureest pertinente dans la plupart des s énarios pratiques. Même après avoir imposé l'hypothèse gaus-sienne sur e(n), les résultats présentés dans [51℄ ne sont pas appli ables ar e(n) n'est toujours pas ir ulaire ( f. Eq. (7.9)). En onséquen e, les expressions disponibles dans la littérature ne peuventêtre utilisées dans notre problème. Nous fournissons une expression analytique nouvelle pour laprobabilité de dé ro hement quand le bruit e(n) est modélisé par un pro essus blan gaussien àmoyenne nulle et non- ir ulaire.En suivant une démar he analogue à elle introduite par [51℄, nous obtenons que

p = 1 − 2

uσ4e

e−uwN

×∫ ∞

0

ye−y2

R(r, y2)

[(1 − e

− y2

uσ4e ) + e

− y2

uσ4e

[Q(√

2ry,√

2y)−Q

(√2y,

√2ry)] ]N/2−1

P (ry2/uN2, 2S(σ2e − σ2

e)y/(|σe|√uNN);N2u)dyoù r = |σ2

e |/σ2e , u = 1/(σ4

e − |σ2e |2), w = |S|2σ2

e − Re[σ2eS

2] et

R(a, y) =

∫ y

0

e−zI0(az)dz, P (a, b; z) =1

2π

∫ π

−π

ezRe[ae−2iθ−beiθ ]dθave Q(α, β) la fon tion Mar um et I0(z) la fon tion de Bessel modi�ée de première espè e.On remarque que ette équation est di�érente de elle donnée dans [51℄. On retrouve l'expressionde [51℄ lorsque σ2e = 0, 'est-à-dire, lorsque e(n) est ir ulaire. La ontrainte σ2

e = 0 est véri�ée

7.2 Estimation du résidu de fréquen e porteuse 51uniquement quand une onstellation MDP est employée. On notera que pour les onstellationsMAQ, e(n)) n'est pas ir ulaire et de e fait l'expression fournie par [51℄ n'est plus valable et doitêtre rempla ée par notre expression.Par l'intermédiaire de simulations numériques de es expressions théoriques, nous observons queles probabilités de dé ro hement théorique et empirique sont bien en orrespondan e. A RSB élevé,nous remarquons également qu'il existe un e�et de palier pour les onstellations MAQ dès que lataille de la onstellation dépasse stri tement quatre. La prédi tion théorique, dans e dernier as,est légèrement pessimiste ( e i est ertainement dû à l'hypothèse gaussienne réalisée sur e(n)). Cete�et de palier est provoqué par l'auto-bruit induit par les onstellations MAQ, et en fait, engendrépar la non-nullité de σ2e et σ2

e dans le as non-bruité. Nous observons également que la probabilitéde dé ro hement est indépendante du nombre d'états de la onstellation MAQ onsidérée (dès que e nombre est stri tement supérieur à quatre). Ce i est dû au fait que pour les onstellations MAQ,M = 4 quelque soit la taille de ette onstellation. En revan he, pour les ontellations MDP, Mest égal à la taille de la onstellation. Par onséquent, les performan es se dégradent quand Maugmente. Finalement l'EQM théorique al ulée à l'aide de l'expression de p est maintenant ena ord ave l'EQM empirique.7.2.4 Con eption de séquen e d'apprentissage optimaleBien que la très grande majorité de notre travail onsidère des méthodes autodida tes d'estima-tion, nous nous sommes intéressés aussi au problème a priori plus fa ile d'estimation de la réponseimpulsionnelle du anal et du résidu de fréquen e porteuse en présen e d'une séquen e d'appren-tissage. Ainsi le modèle (2.6) reste in hangé formellement ; en revan he, outre la onnaissan e dupro essus reçu {y(n)}n, nous disposons également au ré epteur de la onnaissan e de la suite desymboles {sn}n qui s'apparente ainsi à une séquen e d'apprentissage.Lorsque seul le anal est à estimer ( 'est-à-dire, que le résidu de fréquen e porteuse est onnuou nul), le problème d'estimation de la réponse impulsionnelle du �ltre à l'aide d'une séquen ed'apprentissage est résolue depuis fort longtemps : la séquen e d'apprentissage optimale, 'est-à-dire, elle qui minimise l'erreur quadratique moyenne d'estimation est une suite pseudo-aléatoirestationnaire blan he. Alors l'estimateur du maximum de vraisemblan e est donné par la orrélationempirique entre le signal reçu et la séquen e d'apprentissage. Que se passe-t-il pour le problèmedual qui onsiste à onsidérer le résidu de fréquen e porteuse in onnue et le �ltre onnu. Nousavons montré que l'estimateur du maximum de vraisemblan e asso ié au résidu de fréquen e por-teuse onsistait à maximiser la partie réelle du périodogramme du signal reçu multiplié par lesignal provenant du �ltrage de la séquen e d'apprentissage ave le �ltre. Nous avons également al ulé analytiquement l'erreur quadratique moyenne asso iée au problème d'estimation du résidude fréquen e porteuse et obtenu que la meilleure séquen e d'apprentissage est un ve teur propreasso ié à une ertain matri e, que nous avons déterminée, dépendant du �ltre. Pour peu que ettematri e soit de grande dimension, nous avons également montré que la meilleure séquen e pseudo-aléatoire stationnaire était olorée à bande étroite entrée sur la fréquen e qui maximise la réponsefréquentielle du �ltre.Ainsi, la meilleure séquen e asso iée à l'estimation du �ltre ne privilégie au une fréquen e tan-dis que la meilleure séquen e asso iée à l'estimation du résidu ne se fo alise que sur la meilleurefréquen e du �ltre (qui est onnue puisque le �ltre est i i onsidéré onnu). Il est lair que esdeux séquen es sont de nature radi alement di�érente et qu'au une séquen e ommune ne mini-mise l'erreur d'estimation. Pour examiner e dernier point, nous allons onsidérer que les deuxparamètres sont maintenant in onnus. L'estimateur du maximum de vraisemblan e onjoint estdé rit dans [36℄. Nous avons al ulé les ovarian es asymptotiques de et estimateur. Dans [42℄, un al ul partiel des ovarian es asymptotiques a été developpé par le biais de l'évaluation de la bornede Cramer-Rao. De plus, dans [42℄, au une mention sur la on eption de la � bonne � séquen ed'apprentissage n'est visible. Contrairement à [42℄, nous avons également al ulé analytiquementles bornes de Barankin de e problème d'estimation a�n de quanti�er l'e�et de dé ro hement (quiest de nouveau présent) sur l'estimateur du résidu de fréquen e porteuse.Le prin ipal défaut de e travail en termes de on eption de séquen e d'apprentisage réside dansle fait que les séquen es séle tionnées pour améliorer l'estimation du résidu de fréquen e porteusedépendent du anal de transmission. Nous admettons que ette hypothèse est fort irréaliste. Pour

52 Syn hronisation pour les systèmes avan és de ommuni ation ontourner e problème, le le teur trouvera des éléments perspi a es dans le hapitre 10 on ernantles perspe tives de re her he.7.3 Estimation du résidu de fréquen e d'horlogeDans un ontexte non- oopératif, même la fréquen e d'horloge qui est à relier à la fréquen ed'é hantillonnage est in onnue au niveau du ré epteur. C'est pourquoi des te hniques autodida tesd'estimation du temps d'é hantillonnage doivent être mises en ÷uvre. Ce fut le but d'une partie im-portante de mes travaux de thèse de do torat exposée à la se tion 2.3. Dans un ontexte oopératif, 'est-à-dire généralement pour des appli ations iviles, e problème se révèle moins ru ial puisquela fréquen e d'horloge est a priori onnue. Néanmoins, en raison de l'instabilité des os illateurslo aux et de leur impré ision, des erreurs sur la fréquen e d'horloge peuvent avoir lieu. Cependant,pour des ommuni ations mono-porteuse, es erreurs sur la fréquen e d'horloge n'induisent que despertes en performan es négligeables. En revan he, pour des ommuni ations multi-porteuses à basede modulation OFDM, la dégradation des performan es due à une erreur sur la fréquen e d'é han-tillonnage s'avère rapidement importante. Ainsi, si un os illateur du ommer e ayant une pré isiond'environ 100ppm est mis en pla e et si le nombre de porteuses onsidéré est supérieur à un millier,le dé alage temporel induit peut être fa ilement de l'ordre de la durée du symbole OFDM. C'estnotamment le as pour des systèmes �laires de type VDSL ou CPL ou pour des systèmes sans �lde type TNT. C'est pourquoi estimer orre tement le résidu de fréquen e d'é hantillonnage (SFOpour Sampling Clo k Frequen y O�set en anglais) garde de l'intérêt dans un ontexte oopératifemployant l'OFDM. Il est alors raisonnable de onsidérer qu'une séquen e d'apprentissage est dis-ponible au niveau du ré epteur. Dans la suite, nous onsidérerons qu'un symbole OFDM ompletà N porteuses est dédié à et usage. Notre problématique se traduit de la manière suivante : noussouhaitons estimer onjointement la réponse impulsionnelle du �ltre é hantillonné à la bonne a-den e et le résidu de fréquen e d'é hantillonnage à l'aide d'un symbole OFDM d'apprentissage.De manière surprenante, les bornes de Cramer-Rao n'avaient pas été al ulées et l'estimateur dumaximum de vraisemblan e n'avait pas été développé. En revan he, dans la littérature, de trèsnombreuses études ont porté sur l'estimation supervisée (voire autodida te) du anal et du résidude fréquen e porteuse (CFO pour Carrier Frequen y O�set en anglais) dans le adre de ommu-ni ations multi-porteuses. Quoique apparemment semblables, la mise en équation des problèmesd'estimation du SFO et du CFO onduit à des formulations di�érentes. Ainsi, le nème é hantillontemporel d'un symbole OFDM est noté y(n) et s'é rity(n) =

N−1∑

n′=0

L−1∑

l=0

sn′hle2iπn′(n−l)/Ne2iπnn′δSFO/Nen présen e d'un défaut de fréquen e d'é hantillonnage proportionnel à δSFO et s'é rit

y(n) =

[N−1∑

n′=0

L−1∑

l=0

sn′hle2iπn′(n−l)/N

]e2iπnδCFO/Nen présen e d'un défaut de fréquen e porteuse proportionnel à δCFO. Les termes {hl}l représententla réponse impulsionnelle du �ltre englobant le �ltre d'émission (et don le masque fréquentield'émission) et le anal de propagation multi-trajets. Cette réponse impulsionnelle est de longueur

L. En�n sn représente le symbole d'information porté par la porteuse n. On remarque que dansle premier as l'erreur est multipliée par n et n′ alors que dans le se ond as l'erreur n'est quemultipliée par n. Ainsi les études menées pour analyser et ontre arrer l'erreur de fréquen e porteusene peuvent s'appliquer sans modi� ation au ontexte d'un défaut de fréquen e d'é hantillonnage.Nos travaux se sont don résumés, dans un premier temps, à déterminer de manière exa te( 'est-à-dire ave des valeurs de N �nies) les bornes de Cramer-Rao asso iées à la réponse impul-sionnelle du anal et au résidu de fréquen e d'é hantillonnage. Cependant omme les ré epteursdans un ontexte OFDM ont plut�t besoin de onnaître la valeur de la réponse fréquentielle du�ltre aux fréquen es allouées ( 'est-à-dire aux fréquen es sur lesquelles des données sont trans-mises), nous avons exprimé analytiquement l'estimateur du maximum de vraisemblan e et les

7.4 Estimation de la phase 53bornes de Cramer-Rao pour le ve teur de paramètres représentant les valeurs de la réponse fré-quentielle du �ltre aux fréquen es de Fourier séle tionnées et la valeur du résidu de fréquen ed'é hantillonnage. A�n d'obtenir des expressions ompa tes et fa ilement interpétables, nous noussommes ensuite pla és dans un régime asymptotique pour lequel le nombre de porteuses N tendvers l'in�ni ainsi que la longueur du �ltre L. Néanmoins le rapport L/N tend vers zéro e qui si-gni�e que le nombre de porteuses roit plus vite que la longueur du �ltre. De plus nous avons émisquelques hypothèses sur la stru ture de la séquen e d'apprentissage. A�n de fa iliter la onstru tiond'estimateurs performants du résidu de fréquen e d'é hantillonnage, il est ourant d'imposer à laséquen e d'apprentissage d'être temporellement périodique de période Q [54℄. Ce i a pour e�et que,dans le domaine fréquentiel, la séquen e d'apprentissage a seulement une porteuse sur Q non nulle.Pour un système à N porteuses, la transformée de Fourier (inverse) de la séquen e d'apprentissagepeut se modéliser par N pro essus pseudo-aléatoires indépendants. Pour la porteuse n quel onque,la varian e est nulle si N n'est pas divisible par Q et vaut P (n/N) sinon ave f 7→ P (f) unefon tion sur [0, 1] représentant un masque fréquentiel que le signal émis doit satisfaire en raisonde ontrainte de ompatibilité éle tro-magnétique. Dans la suite, nous introduisons HN le ve -teur ontenant la réponse fréquentielle aux points de FFT de taille N de la fon tion temporellet 7→ ha(t). Au lieu d'é hantillonner le signal au temps symbole Ts, nous onsidérons qu'il existeun défaut d'é hantillonnage δSFO tel que la période d'é hantillonnage appliquée vaut (1+ δSFO)Ts.Les bornes de Cramer-Rao asymptotiques relatives à HN et δSFO s'expriment alors de la manièresuivante

E[||HN −HN ||2] ≥ σ2µPL1

NetE[|δN − δSFO|2] ≥

3σ2

2π2∫ 1

0 f2|H(f)|2df

1

N3ave HN et δN les estimées respe tives deHN et δSFO. La notation µP désigne la taille du support dela fon tion f 7→ P (f) et nous rappelons que σ2 est la varian e du bruit additif gaussien. Pour obtenir es expressions, nous nous sommes prin ipalement appuyés sur la théorie des grandes matri es deToeplitz et sur des résultats similaires à eux reportés à l'Eq. (2.8). Nous avons également utilisé lefait que les termes HN étaient reliés entre eux ar dépendant d'une même fon tion temporelle ha(t).Nous remarquons que le paramètre Q n'a au une in�uen e sur les performan es. Ainsi le hoix deQ ne sera guidé que par des onsidérations de omplexité algorithmique. De plus l'estimation durésidu de fréquen e d'é hantillonnage sera fa ilitée si le anal (et notamment le masque de fréquen edont dépend f 7→ H(f)) privilégie les hautes fréquen es.Dans le adre du régime asymptotique, nous avons également montré qu'il existait une versionappro hée beau oup plus simple de l'estimateur du maximum de vraisemblan e. Nous avons om-paré ses performan es à la borne de Cramer-Rao obtenue et visualisé des performan es pro hes dela CRB. En�n l'estimateur du maximum de vraisemblan e appro hé a été omparé à des estima-teurs existants dans la littérature [69, 70, 29, 61℄. Lors d'un travail parallèle, mais toujours dansun ontexte OFDM, nous avons onçu un estimateur aidé par les dé isions du résidu de fréquen ed'é hantillonnage. Ce i permet de ra�ner l'estimée du résidu de manière notable entre l'envoi dedeux séquen es d'apprentissage.7.4 Estimation de la phaseRevenons au modèle général (2.6) du signal reçu é hantillonné. Dans e adre-là, nous noussommes aussi intéressés à l'estimation autodida te du paramètre de phase φ0 lorsqu'au un résidude fréquen e porteuse n'existe (φ1 = 0) et lorsque le anal est gaussien (h(z) = 1). Dans lesannées quatre-vingt dix, quelques estimateurs autodida tes de la phase ont été introduits lorsqueles symboles transmis étaient supposés appartenir à une onstellation MAQ. Comme déjà évoquédans la sous-se tion 7.2.1, les onstellations MAQ présentent une non- ir ularité à l'ordre quatre e qui implique que E[s4n] est non nul. Ce i a onduit de nombreux her heurs à développer desestimateurs de la phase basés sur e onstat.

54 Syn hronisation pour les systèmes avan és de ommuni ationAinsi Moene laey a introduit l'estimateur suivant [38℄φ0|N,Moe.

=1

8π∠

(1

NE[s4n]

N−1∑

n=0

y(n)4

)en montrant de plus que l'estimateur était pro he de elui du maximum de vraisemblan e à faibleRSB. La notation ∠(.) désigne l'angle d'un nombre omplexe.Cartwright propose, quant à lui, l'estimateur suivant [8℄φ0|N,Car.

=1

8πarctan

(8πγa − γb

γ

)où γ, γa et γb sont les estimateurs empiriques respe tifs de γ, γa et γb dé�nis i-dessousγ = E[yr(n)4] + E[yi(n)4] − 6E[yr(n)2yi(n)2]

γa = cum(yr(n), yr(n), yr(n), yi(n)) (= E[yr(n)3yi(n)])

γb = cum(yr(n), yi(n), yi(n), yi(n)) (= E[yr(n)yi(n)3])ave yr(n) et yi(n) les parties réelle et imaginaire de y(n).En�n Fos hini suggère d'estimer la phase de la manière suivante [15℄φ0|N,Fos.

= arg minφ

(e−8iπφ 1

N

N−1∑

n=0

y(n)4 − e8iπφ 1

N

N−1∑

n=0

y(n)4

)Bien qu'assez ouramment employés et ités dans la littérature, l'étude asymptotique de estrois estimateurs s'est révelée inexistante. Notre obje tif a don été de pallier e manque. Grâ eau résultat fondamental (2.8), nous avons très fa ilement établi la onsistan e et la normalitéasymptotique de es estimateurs. Nous avons également montré queγφ0

= limN→∞

NE[(φ0|N− φ0)

2] =µ1

µ2ave µ1 = E[|sn|8] − E[s8n] + 16E[|sn|6]E[|b(n)|2]

+ 36E[|sn|4]E[|b(n)|4] + 16E[|sn|2]E[|b(n)|6] + E[|b(n)|8]µ2 = 128π2(E[s4n])2Par onséquent es trois estimateurs admettent la même vitesse de onvergen e et surtout la même ovarian e asymptotique. Ainsi ils fournissent exa tement les mêmes performan es et sont don équivalents. De plus les performan es sont indépendantes de la valeur φ0 de la phase re her hée.7.5 Estimation du dé alage temporelContrairement aux travaux présentés dans les se tions pré édentes, nous onsidérons maintenantle problème de l'estimation du dé alage temporel lorsque les autres types de désyn hronisationn'existent pas ou ont été traités au préalable. Nous nous sommes intéressés à e sujet surtoutpar e que les outils mathématiques à utiliser (notamment la y lostationnarité) sont identiquesà eux développés au ours des travaux pré édents. Ainsi de nombreux résultats intermédiairesobtenus lors des travaux pré édents, notamment eux on ernant l'établissement des ovarian esasymptotiques des estimateurs empiriques des y lo orrélations ( f. Eqs (7.3), (7.4) et (7.5)), ontété mis à pro�t dans ette se tion.Revenons au modèle (2.1) du signal analogique reçu. Si seul un retard de propagation est àprendre en ompte, le modèle du signal analogique reçu suit la forme suivante

ya(t) =∑

n∈Z

snha(t− nTs − εTs) + ba(t) (7.16)

7.5 Estimation du dé alage temporel 55ave εTs le retard de propagation in onnu à estimer de manière autodida te. Nous supposerons quele �ltre ha(t) est la omposition du �ltre d'émission, du anal de propagation et du �ltre adapté.La mise en pla e du �ltre adapté a né essité une estimation pré ise du anal de propagation.C'est pourquoi, dans la suite, il est réaliste de supposer que la fon tion ha(t) est onnue au niveaudu ré epteur. Le bruit ba(t) représente le bruit gaussien blan onvolué par le �ltre de ré eption( 'est-à-dire, le �ltre adapté) et don admet une ertaine densité spe trale de puissan e non plate.A�n de ne pas perdre d'information sur le signal analogique reçu (et don sur la fon tion ha(t)),il est né essaire de suré hantillonner le signal reçu d'un ertain fa teur. Ainsi nous onsidérons laversion é hantillonnée à la période Te = Ts/P du signal ya(t) que nous notons également y(n) =ya(nTe).En raison du ara tère bande-limitée des signaux de ommuni ation, le signal suré hantillonnéy(n) est y lostationnaire de fréquen e y lique −1/P , 0 et 1/P . Si P ≥ 3, on peut véri�er aisémentque les y lo orrélations satisfont l'équation suivante

r((±1)/P )(τ) = eiπ(±1)τ/P e−2iπ(±1)εG(±1)(τ)ave G(k)(τ) un terme réel indépendant de ε et onnu par le ré epteur et les autres termes dé�nis àla sous-se tion 2.3. En examinant ette dernière équation, il est fa ile d'en déduire des estimateursde ε basés sur la phase de la y lo orrélation. AinsiεN = − 1

2π∠

(r(1/P )N (τ)e−iπτ/P

) (7.17)ave r(k/P )N (τ) l'estimateur empirique de r(k/P )(τ) lorsque N é hantillons sont disponibles. Ce adre général permet d'englober la plupart des estimateurs existants basés sur des propriétés de y lostationnarité. Si τ = 0, on retrouve les estimateurs présentés dans [20℄ et [46℄. Si τ = 1, onse ramène à l'estimateur proposé par [25℄. En�n, si τ = P , on obtient l'estimateur introduit dans[56℄.Dans un premier temps, on remarque que les estimateurs existants se basent sur une y lo or-rélation onsidérée à un unique dé alage τ . Nous avons voulu onstruire un estimateur utilisant aumieux l'information au se onde ordre. A ette �n, nous avons développé l'estimateur de l'ajuste-ment de ovarian e optimalement pondéré basé sur l'ensemble des y lo orrélations, 'est-à-dire,sur les y lorrélations onsidérées à tous les dé alages possibles.Dans un deuxième temps, nous avons établi les performan es asymptotiques du nouvel estima-teur et des estimateurs existants. Nous avons notamment déterminé des expressions analytiquespour les ovarian es asymptotiques. Ce i nous a permis de montrer, d'une part, que les performan esde l'estimateur de l'ajustement de ovarian e optimalement pondéré étaient presque atteintes parl'estimateur de Ghogho [20℄. Par onséquent, il n'est pas né essaire, ontrairement à l'intuition quenous avions eue, de prendre en ompte toutes les y lo orrélations. Plus pré isément la y lo or-rélation de dé alage nul r(1/P )

y (0) fournit su�samment d'information sur le retard de propagationε. D'autre part, nous avons pû montrer qu'il n'était pas né essaire de onsidérer un fa teur desuré hantillonnange P stri tement supérieur à trois.Ces travaux ont été étendu aux deux situations suivantes :� Nous avons onsidéré un modèle de anal de type Rayleigh, 'est-à-dire, lorsque le signal estatténué par une amplitude variable dans le temps dont le module suit une loi de Rayleigh.� Nous avons aussi onçu des estimateurs basés non seulement sur les y lo orrélations maisaussi sur les y lo umulants (d'ordre quatre). Ce i nous a permis d'améliorer les performan esd'estimation surtout lorsque le signal émis a un faible fa teur d'ex ès de bande.

56 Syn hronisation pour les systèmes avan és de ommuni ation

Chapitre 8Performan es limites de systèmesultra-large bande8.1 Introdu tionLe prin ipe original de la te hnique ultra large bande (ULB) onsiste à émettre des impulsionsde très ourte durée ayant don une o upation spe trale importante. Elle fut d'abord utilisée pourdes appli ations radars, puis transposée aux appli ations de télé ommuni ations. Dans un premiertemps, e sont surtout les militaires qui ont porté un intérêt à ette te hnique ar elle présente unefaible probabilité de déte tion et une faible probabilité d'inter eption. Le s héma de transmissionanalogique multi-utilisateurs utilisant des impulsions remonte ainsi aux années inquante [47℄. Le on ept des transmissions numériques par impulsions fut remis mis au goût du jour et formalisémathématiquement au début des années quatre-vingt-dix [68, 55℄. On parle alors de � radio parimpulsions �. La te hnique d'a ès multiple repose en général sur des odes de saut temporel.Après l'autorisation à des �ns iviles des signaux impulsionnels promulguée aux Etats-Unis audébut des années deux mille, la ommunauté s ienti�que a ommen é à s'intéresser fortement ausujet. Comme la densité spe trale de puissan e est très faible, l'ULB peut être déployée onjoin-tement, sans li en e, ave des servi es existants dans la bande utilisée. Cette propriété est trèsintéressante pour développer des réseaux personnels sans �l. A et e�et, la so iété savante IEEEa ouvert deux omités de normalisation : d'une part le omité IEEE 802.15.3a dont le ahierdes harges impose des débits élevés pour des distan es ourtes ; d'autre part, le omité IEEE802.15.4a visant des appli ations de type réseaux de apteurs ave des débits faibles pour desdistan es moyennes. Tandis que le groupe 802.15.4a a �nalisé ses pré onisations pour la ou hephysique, le groupe 802.15.3a s'est dissout faute d'a ord. Néanmoins la re her he a adémique etindustrielle se poursuit pour les deux types d'appli ations qui ont en ommun d'être des appli a-tions de ommuni ation sans �l dé entralisée né essitant ainsi une gestion intelligente de l'a èsmultiple dans un ontexte d'asyn hronisme entre les utilisateurs.Dans nos travaux, nous nous sommes prin ipalement on entrés sur les transmissions par im-pulsions à a ès multiple par répartition de ode de saut temporel modulés soit en position ousoit en amplitude. Nous avons étudié pour e type de signaux les deux e�ets pouvant limiter lesperforman es du système, à savoir l'interféren e multi-utilisateurs réée par les di�érents utilisa-teurs asyn hrones présents dans le milieu de transmission ( f. se tion 8.2) et l'interféren e entresymboles et entre trames réée par le milieu de propagation à trajets multiples ( f. se tion 8.3).Nous avons dans les deux as her hé à modéliser mathématiquement les phénomènes et à proposerdes solutions pour minimiser leurs ontributions. De manière onnexe, nous avons établi les bornesminimales de performan es d'estimation des paramètres du anal ( f. se tion 8.4).Les résultats présentés sont le fruit d'une ollaboration de trois ans ave Christophe Le Mar-tret (Thalès Communi ations, Colombes) par le biais d'un en adrement onjoint de la do toranteAnne-LaureDeleuze. Ces travaux ont donné lieu à la publi ation d'une revue internationale [R16℄,de quatre ongrès internationaux [CI28, CI31, CI35, CI38℄ et à la soumission d'une revue interna-tionale [R19℄.

58 Performan es limites de systèmes ultra-large bande8.2 Etude relative à l'interféren e multi-utilisateursDans ette se tion, nous nous on entrons sur l'étude de l'interféren e multi-utilisateurs ave pour obje tif de minimiser ses e�ets nuisibles sur le système global. Nous obtenons, dans un premiertemps, une nouvelle expression analytique de la varian e de l'interféren e multi-utilisateurs en sortiedu ré epteur rake en onsidérant un modèle réaliste de anal à trajets multiples. Le ré epteur rake aété retenu du fait de son faible oût. Ce al ul analytique a été rendu possible grâ e à l'utilisation des odes développés. Grâ e à l'expression analytique obtenue, nous avons été en mesure de ara tériserles odes d'étalement qui minimisent la varian e d'interféren e multi-utilisateurs et don d'atténuerl'e�et de ette interféren e. Finalement les simulations montrent que hoisir les � meilleurs � odes, .-à-d., eux qui minimisent la varian e de l'interféren e multi-utilisateurs, permet un gainintéressant au niveau du taux d'erreur binaire.La première phase du travail a onsisté à al uler la varian e de l'interféren e multi-utilisateurspour un ontexte réaliste, 'est-à-dire, en prenant en ompte à la fois un environnement réalistede propagation ( 'est-à-dire, un anal de type multi-trajets) et un asyn hronisme total entre lesutilisateurs ( ette dernière hypothèse s'avère tout à fait raisonnable si la te hnique ULB est dédiéeà des réseaux personnels sans �l ad ho ).Pour simpli�er le propos, nous allons onsidérer, dans la suite, que le système utilise une mo-dulation d'amplitude à deux états. Des résultats similaires ont été obtenus dans le ontexte d'unemodulation en position que l'on peut ren ontrer régulièrement des systèmes à base de te hniqueULB. Le nème utilisateur émet ainsi le signal suivantsn(t) =

+∞∑

j=−∞

Nf−1∑

i=0

dn(j)g(t− iTf − cn(i)Tc − jNfTf − θn) (8.1)où g(t) est l'impulsion de largeur Tg ≪ Tc. Nc est le nombre de hips de durée Tc, Nf est le nombrede trames de durée Tf = NcTc, θn est une variable aléatoire distribuée uniformément entre 0 etNfTf et traduit le fait que les émetteurs, 'est-à-dire, les utilisateurs, ne sont pas syn hronisésentre eux, {dn(j)}j sont les symboles émis par l'utilisateur n. En�n l'ensemble {cn(i)

}ireprésentele ode d'étalement (de saut temporel) permettant d'atténuer les interféren es multi-utilisateurs.A�n de mettre en éviden e fa ilement l'in�uen e des séquen es de odes de saut temporel surles performan es du système, il onvient, dans un premier temps, de réexprimer le modèle (8.1)en utilisant la notion de odes développés, introduite dans [34℄. L'idée sous-ja ente est simple et onsiste à exprimer le signal transmis omme une modulation linéaire en modulant l'impulsion parun 1 quand iTf − cn(i)Tc = 0 et par un 0 pour les autres valeurs. Ainsi on représente par 1 les hips non vides et par 0 les hips vides. L'équation (8.1) se met alors sous la forme suivante

sn(t) =+∞∑

j=−∞

dn(j)

NcNf−1∑

i=0

cn(i)g(t− iTc − jNfTf − θn). (8.2)ave {cn(i)}i le ode développé. On remarque que les odes développés apparaissent en dehors del'argument de la fon tion g(t).Nous avons onsidéré que le signal se propageait dans un anal à trajets multiples. De plus lesatténuations et les retards des di�érents trajets admettent un modèle probabiliste [40℄. En�n, auniveau du ré epteur, nous mettons en pla e le ré epteur rake séle tionnant seulement un ensembleL de Lr trajets sur tous les trajets possibles. La sortie du ré epteur rake pour l'utilisateur d'intérêtm à l'instant n se dé ompose de la manière suivante

z(n) = z1(n) + z2(n) + z3(n) + z4(n) (8.3)ave z1(n) le signal utile asso ié à l'utilisateur d'intérêt, z2(n) un terme d'interféren e entre sym-boles, z3(n) un terme d'interféren e entre utilisateurs et z4(n) un terme lié au bruit additif.Dans ette se tion, nous allons nous on entrer sur le al ul et l'optimisation de la varian e del'interféren e multi-utilisateurs z3(n) en fon tion des paramètres de dimensionnement du système.Comme le anal de propagation, l'asyn hronisme entre les utilisateurs et les symboles sont supposésaléatoires, la varian e de l'interféren e multi-utilisateurs est donnée parσ2

3 = Ecanal,θ,d[z3(n)2].

8.3 Etude relative à l'interféren e entre symboles 59Après des al uls longs et fastidieux, nous obtenons queσ2

3 =

Nu∑

n=1

n 6=m

ψm,nκm,n (8.4)ave κm,n =

NcNf−1∑

q=0

(C+m,n(q))2 + (C−

m,n(q))2oùC+

m,n(q) :=

NcNf−1∑

j=q

cm(j)cn(j − q), C−m,n(q) :=

q−1∑

j=0

cm(j)cn(j − q)et Nu le nombre d'utilisateurs a tifs dans le système. Pour �nir, ψm,n est une onstante ne dépen-dant que de la forme d'onde, du débit d'information, et des statistiques des anaux des utilisateursm et n.Une fois ette expression obtenue, il onvient de déterminer les odes de saut temporel quiminimisent la varian e. Pour ommen er, nous onsidérons le problème pour une seule paire de odes, 'est-à-dire, nous her hons à ara tériser le ode asso ié à l'utilisateur m et le ode asso- ié à l'utilisateur n tel que κm,n soit minimal et e i sans e sou ier de la présen e d'éventuelsautres utilisateurs. Nous avons montré que la valeur minimale de κm,n est N2

f et que les paires de odes dites � optimales �, 'est-à-dire, qui atteignent ette borne minimale véri�ent les ontraintessuivantessup

q(C+

m,n(q) + C−m,n(q)) = 1ou

supq

(C+m,n(q) + C−

m,n(q)) = 2 avec supqC+

m,n(q) = 1 et supqC−

m,n(q) = 1.Il est lair que nous ne proposons pas de méthode rigoureuse de onstru tion de odes, véri�ant lespropriétés énon ées i-dessus. Cependant, par re her he exhaustive, nous avons été apable d'endéterminer su�samment. D'autant plus que nous avons été en mesure de montrer analytiquementque le pour entage de paires optimales tend vers ent pour ent quand Nc tend vers l'in�ni et queNf est �xe. Par onséquent, en onstruisant un système su�samment étalé (Nc grand), il n'y auraau une di� ulté à trouver par des méthodes de re her he aléatoire le nombre souhaité de pairesoptimales. En pratique, en vue d'appli ations aux réseaux ad-ho , il est né essaire de déterminerun réseau de odes optimaux, 'est-à-dire, de déterminer un ensemble de odes pour lequel haquepaire de et ensemble est optimale. Grâ e au grand nombre de paires optimales (pour peu que Ncsoit assez grand), nous avons été apable de trouver, par simulation, des réseaux de odes optimauxdeux-à-deux pour un nombre d'utilisateurs raisonnable.Comme nous avons basé nos optimisations sur la varian e de l'interféren e, nous avons impli i-tement supposé que l'interféren e était gaussienne. Cependant, il a été établi que ette hypothèseétait souvent fausse et optimiste [14℄. Grâ e à des résultats de simulation sur le Taux d'ErreurBinaire (TEB), nous avons observé, fort heureusement, que l'optimisation des odes par minimi-sation de la varian e de l'interféren e se révèle parti ulièrement pertinente puisque le TEB obtenuave les odes séle tionnés par notre méthode est amélioré de manière notable.Dans un dernier temps, nous avons remarqué que les systèmes à base de odes à saut tem-porel ou à base de odes à séquen e dire te (DS) s'é rivaient de manière analogue. Ce i nous apermis d'obtenir sans di� ulté les varian es de l'interféren e multi-utilisateurs pour les te hniquesd'étalement de spe tre à séquen e dire te. Une fois es expressions disponibles, nous avons lassépar ordre de robustesse les deux te hniques suivant les valeurs hoisies pour leurs paramètres dedimensionnement.8.3 Etude relative à l'interféren e entre symbolesDans ette se tion, nous abordons l'étude de l'interféren e entre symboles et entre trames.Cette étude nous a onduit, d'une part, à établir une expression analytique de la varian e de ette

60 Performan es limites de systèmes ultra-large bandeinterféren e en sortie du ré epteur rake et, d'autre part, à dimensionner pertinemment le systèmeave l'aide de l'expression al ulée pré édemment. Ainsi le nombre de doigts du ré epteur rake etla taille de l'intervalle de garde ont pû être hoisis de manière adéquate.Lors de la mise en pla e du ré epteur rake, hoisir le nombre de doigts à onsidérer est toujoursun problème déli at ar onduisant souvent à un ompromis entre omplexité et performan es.Lorsque de l'interféren e entre symboles et entre trames est présente, le problème se révèle en oreplus déli at ar en augmentant le nombre de doigts on ré upère ertes plus d'énergie utile (asso iéeau terme z1(n) de l'Eq. (8.3)) mais aussi plus d'interféren e entre symboles et entre trames (asso iéeau terme z2(n) de l'Eq. (8.3)). Par onséquent, il apparait important de quanti�er le rapport del'énergie apturée sur elle de l'interféren e. Pour ela, on se propose d'évaluer analytiquement lavarian e de l'interféren e entre symboles, 'est-à-dire, le terme suivantσ2

2 = Ecanal,d[z2(n)2].Parallèlement la onnaissan e de ette quantité nous permettra de quanti�er la taille du temps degarde (entre les trames ou les symboles) qui est lassiquement rajouté dans les systèmes pratiquespour lutter ontre l'interféren e entre trames et entre symboles.A�n d'alléger e manus rit, nous n'avons pas retrans rit l'expression de la varian e de l'inter-féren e. Néanmoins elle- i est reportée dans [CI35℄ et nous a permis de remarquer que� les odes de saut temporel qui minimisent la valeur de la varian e de l'interféren e entresymboles ne dépendent quasiment pas du nombre de doigts onsidérés.� les odes d'a ès multiple in�uen ent en fait peu la valeur de la varian e de l'interféren eentre symboles. Ainsi les odes d'a ès multiple à séle tionner sont bien eux qui minimisent lavarian e de l'interféren e multi-utilisateurs puisqu'ils o�rent tous des performan es analoguesen terme de résistan e à l'interféren e entre trames et entre symboles.� le rapport entre l'énergie utile et la varian e de l'interféren e entre symboles atteint rapi-dement une asymptote en fon tion du nombre de doigts onsidérés. Par onséquent il n'y aau un intérêt à mettre en pla e un ré epteur rake muni de beau oup de doigts.A�n d'éliminer l'interféren e entre trames et entre symboles, il est ourant d'insérer un tempsde garde à haque trame. Nous avons observé que la varian e de l'interféren e entre trames etentre symboles ne tend pas vers zéro lorsque e temps de garde devient indé�niment grand. Ce isigni�e qu'une autre sour e d'interféren e existe. En examinant pré isement le signal reçu, on peutse rendre ompte qu'une ollision entre une même impulsion dé alée par deux trajets di�érentspro ure une interféren e résiduelle qu'un temps de garde ne peut �ter. Pour éliminer totalement ette interféren e résiduelle, nous avons proposé de mettre en pla e des te hniques s'apparentantà de l'égalisation en sortie du ré epteur rake. En�n nous avons également observé que prendreune longueur d'intervalle de garde de l'ordre du temps dispersion du anal paraît être un hoixraisonnable.8.4 Estimation du anal de propagationDans la littérature onsa rée à la te hnique ULB, les paramètres du anal de propagationsont en ore très largement supposés onnus du ré epteur. Cette hypothèse simpli� atri e n'estévidemment pas réaliste : en e�et, une étape d'estimation est né essaire au niveau des ré epteurset malheureusement les estimées obtenues ne seront pas parfaitement exa tes. Cette partie dutravail a onsisté à déterminer analytiquement les bornes de Cramer-Rao (CRB) des paramètresd'atténuation et de retard des trajets formant le anal de propagation. Contrairement aux travauxe�e tués pré édemment dans la littérature [33℄, nous avons supposé que les é hos formés par lesdi�érents trajets ne sont pas orthogonaux entre eux. Nous avons en e�et remarqué que, pour ertains modèles de anaux, il n'était pas réaliste de supposer les é hos orthogonaux entre eux.En fait, nous avons al ulé la Borne de Cramer Rao et la Borne de Cramer Rao Modi�ée orrespondant respe tivement au as où une séquen e d'apprentissage est disponible ( 'est-à-dire,les symboles sont onnus par le ré epteur) et au as où au une séquen e d'apprentissage n'estprésente ( 'est-à-dire, les symboles sont in onnus du ré epteur). La démar he est identique dansles deux as à la di�éren e près que dans le ontexte autodida te, un moyennage sur les symboles

8.4 Estimation du anal de propagation 61de la matri e d'information de Fisher sera né essaire. Nous avons onduit nos al uls en supposantqu'un seul utilisateur était a tif dans le système.Lorsque les é hos sont supposés orthogonaux entre eux, la matri e d'information de Fisherest diagonale et les termes diagonaux sont extrêmement simples à évaluer analytiquement. Enrevan he, dès que les é hos rentrent en ollision entre eux, la matri e d'information de Fisher estnon-diagonale et la di� ulté réside alors dans la détermination des termes non-diagonaux. Le butde e travail a été de al uler es termes non-diagonaux. Pour ela, nous avons mis en ÷uvre deste hniques de al uls analogues à elles déployées pour le al ul des di�érentes varian es, à savoirnotamment l'utilisation de la notion de odes développés. Une fois es expressions obtenues (quenous ne reportons pas dans le manus rit par sou i de lisibilité mais qui sont disponible dans [CI35℄),nous avons pû e�e tivement on�rmer que la validité de l'hypothèse simpli� atri e d'orthogonalitéentre les é hos était fortement dépendant du modèle statistique du anal onsidéré. Ainsi pour lemodèle CM1 (dé�ni dans [40℄) pour lequel les trajets sont peu denses, l'hypothèse simpli� atri e estréaliste. En revan he, pour le modèle CM2 (dé�ni également dans [40℄), pour lequel les trajets sontlégèrement plus denses, une di�éren e notable intervient entre la vraie CRB et la CRB obtenue ennégligeant les ollisions entre les é hos.En on lusion, l'hypothèse d'orthogonalité entre les é hos d'un même signal est à manipulerave pré aution dans les problèmes d'estimation de anal ULB.

62 Performan es limites de systèmes ultra-large bande

Chapitre 9Allo ation de ressour es entreplusieurs utilisateurs9.1 Introdu tionDans de nombreux problèmes de transmission numérique, le anal de propagation sera traversépar plusieurs �ux de données appartenant à des utilisateurs di�érents. Un des enjeux dans la onstru tion d'un système de ommuni ation e� a e réside dans la manière de gérer l'allo ationdes ressour es (spe trales, temporelles, spatiales et en�n énergétiques) entre les utilisateurs. Late hnique d'a ès multiple très en vogue jusqu'au début des années deux mille fut l'a ès multipleà répartition par odes (CDMA). Cette te hnique allie une ertaine �exibilité d'utilisation par les ou hes supérieures du réseau à une robustesse vis-à-vis de l'asyn hronisme temporel des di�érentsutilisateurs. Néanmoins, dans le ontexte des anaux radio-mobiles à évanouissement de Rayleigh,mettre ne pla e un ré epteur performant né essitera des traitements omplexes. C'est pourquoi, envue de simpli�er le ré epteur, il a été imaginé de oupler le CDMA ave la te hnique de modulationOFDM. Lorsqu'une porteuse est partagé par plusieurs utilisateurs, il est ourant de parler de MC-CDMA (Multi Carrier CDMA). Il existe évidemment plusieurs te hniques MC-CDMA suivantla manière de distribuer les hips des utilisateurs aux porteuses. En revan he, lorsqu'une mêmeporteuse n'est employée que par un seul utilisateur, on a a�aire à une te hnique dite OFDMA.C'est en fait une extension de la te hnique d'a ès multiple à répartition fréquentielle (FDMA)puisque les porteuses ne sont pas partagées. La di�éren e fondamentale réside dans le fait de nepas né essairement attribuer des fréquen es adja entes au même utilisateur. A titre d'exemple, onpeut on evoir un s héma d'attribution déterminé par des odes propres à haque utilisateur, dits, odes de saut fréquentiel (FH).La problématique d'a ès multiple, surtout dans le ontexte OFDMA, est un sujet en pleindéveloppement. Une des questions entrales est de savoir omment allouer de manière pertinenteles di�érentes ressour es, et notamment les porteuses, aux di�érents utilisateurs. Dans e genre deproblème, il est lair que les algorithmes d'allo ation seront omplètement di�érents suivant que le anal de propagation est onnu ou non à l'émetteur :� Lorsque le anal est in onnu à l'émetteur, il faut mettre en pla e des te hniques de trans-mission gérant onvenablement la notion de diversité. Pour ela, il onvient de transmettreune même donnée sur des réalisations di�érentes du anal. Cela onduit, par exemple, auxte hniques FH-OFDMA pour laquelle un même symbole est transmis à des fréquen es dif-férentes (dont l'espa ement est supérieur à la bande ohéren e du anal) et à des instantsdi�érents (dont l'espa ement est supérieur au temps de ohéren e du anal) selon un s hémad'étalement pré-établi pour haque utilisateur. Le s héma d'étalement est en règle générale onstruit de telle manière à empê her au maximum les ollisions entre les utilisateurs. Uneautre te hnique de diversité onsiste à étaler un symbole d'information multiplié par di�érents hips sur toutes les porteuses. On parle alors de MC-CDMA au sens stri t.� Lorsque le anal est onnu à l'émetteur, on onnait don les bons et les mauvais anauxpour haque utilisateur. Au lieu de répartir une même donnée sur plusieurs porteuses et sur

64 Allo ation de ressour es entre plusieurs utilisateursplusieurs instants, on a intérêt à ne la transmettre qu'une seule fois mais sur un bon anal(qu'on est apable d'identi�er ar le anal est onnu à l'émetteur). C'est pourquoi il paraîtraisonnable dans e ontexte de mettre en pla e des te hniques d'a ès de type OFDMAau sens stri t. Il faut alors on evoir des te hniques d'allo ation qui attribuent à haqueutilisateur a tif es bonnes porteuses. Néanmoins il onvient de ne pas tomber dans le traverssuivant : onsidérons que la fon tion de oût soit le débit umulé de tous les utilisateurs.Les algorithmes d'allo ation basés sur ette fon tion de oût auront tendan e à privilégierles utilisateurs ren ontrant des bons anaux aux utilisateurs ren ontrant des mauvais anaux( ar plus éloignés de la station de base, par exemple). Ces algorithmes mènent à une allo ationnon équitable des ressour es e qui n'est pas a eptable. Par onséquent, la di� ulté résidedans le hoix (et ensuite seulement l'optimisation) d'une fon tion de oût onduisant paressen e à une solution équitable.Nous avons apporté une ontribution à haque ontexte. Ainsi, à la se tion 9.2, dans le ontexted'un anal in onnu à l'émetteur, nous nous proposons de déterminer la puissan e minimale globaleet la proportion de odes (à saut fréquentiel) à attribuer à haque utilisateur pour que sa requêteen débit soit véri�ée lorsque l'émetteur n'a qu'une onnaissan e statistique du spe tre du anal,autrement dit, lorsque l'émetteur ne onnait que les varian es de la réponse du �ltre pour haquefréquen e et pour haque utilisateur. A la se tion 9.3, dans le ontexte du anal onnu à l'émet-teur, nous développons des algorithmes d'attribution équitable des porteuses entre les di�érentsutilisateurs ave une ontrainte de masque fréquentiel sur le spe tre de haque utilisateur. Cesalgorithmes sont basés sur la notion de apa ité équilibrée dé�nie dans [52℄.Les résultats présentés ont été obtenus dans le adre d'un travail onjoint ave Walid Ha hem(Supéle ) par le biais d'un en adrement de la do torante Sophie Gault et du post-do torantAntonio Cipriano. Ces travaux ont donné lieu à la publi ation d'une revue internationale [R18℄,de deux ongrès internationaux [CI36, CI37℄ et à la soumission d'une autre revue internationale[R20℄.9.2 Contexte du anal in onnu à l'émetteurComme nous l'avons déjà mentionné dans l'introdu tion de e hapitre, le CDMA n'étant plus envogue en raison de la omplexité du ré epteur, les on epteurs de système radiomobile pré onisentl'emploi de te hniques à base d'OFDMA à saut fréquentiel [63℄ e qui permet de gérer de manièreintelligente l'a ès multiple, l'égalisation ainsi que la diversité. Ave le FH-OFDMA, un symboled'information est étalé sur plusieurs réalisations du anal e qui justi�e l'utilisation de la apa itéergodique omme mesure de débit atteignable [63℄.Plaçons-nous dans une ellule d'un réseau radiomobile omposé de plusieurs utilisateurs a tifs.Nous supposons que haque utilisateur admet le modèle de anal suivant : les éléments de la réponseimpulsionnelle du �ltre sont indépendants entre eux e qui orrespond à l'hypothèse lassique dedi�useurs dé orrélés. Ces éléments peuvent ependant suivre un ertain pro�l de varian e propreà haque utilisateur. Dans le domaine fréquentiel, e i implique qu'au une fréquen e n'est à privi-légier. En e�et, les varian es des éléments de la réponse fréquentielle du �ltre sont identiques. Enrevan he la valeur de ette varian e est propre à haque utilisateur puisque liée au pro�l de varian ede la réponse impulsionnelle du �ltre. Ainsi, omme toutes les fréquen es d'un utilisateur o�re enmoyenne la même qualité de transmission, le paramètre essentiel sera le nombre de fréquen es uti-lisées (et don le nombre ou la proportion de odes à saut fréquen e alloué à haque utilisateur) etnon les positions exa tes des fréquen es utilisées. De plus haque utilisateur exige un ertain débitminimal. Cette dernière ontrainte intègre par onstru tion la notion d'équité entre les utilisateurspuisque ha un est sûr d'avoir sa requête satisfaite. Les degrés de liberté du problème sont don les puissan es émises par haque utilisateur. Dans le but de ne pas perturber fortement les ellulesadja entes, nous souhaitons minimiser la puissan e globale de la ellule d'intérêt.Notre problème d'optimisation est don le suivant : déterminer la proportion de odes allouéset la puissan e attribuée à haque utilisateur de telle manière que la puissan e globale de la elluled'intérêt soit minimale et sous la ontrainte que la apa ité ergodique de haque utilisateur soitsupérieure à sa requête de débit (par utilisation de anal). Il est fa ile de véri�er que nous sommesen présen e d'un problème d'optimisation onvexe qui peut don être résolu par le biais de la

9.3 Contexte du anal onnu à l'émetteur 65méthode des multiplieurs de Lagrange. Nous obtenons ainsi des formules expli ites du nombre de odes à allouer et de la puissan e à distribuer à haque utilisateur en fon tion de la varian e de laréponse fréquentielle de son anal.La ellule d'intérêt, bien qu'ayant minimisé sa puissan e globale, va ontinuer à perturber ses ellules adja entes. En réa tion, les ellules adja entes vont augmenter leur propre puissan e a�nde maintenir la ontrainte de débit de ha un de ses utilisateurs satisfaite. De e fait, la elluled'intérêt sera pertubée à son tour par un bruit d'interféren e inter- ellulaire plus important et devrase résoudre à augmenter elle aussi sa puissan e, et ainsi de suite. Par onséquent, à haque itérationn de e pro essus, la ellule d'intérêt émettra une puissan e Pn. Cette suite est par onstru tion roissante. La question est alors la suivante : ette suite est-elle bornée ( e qui impliquera qu'elle onverge), autrement dit le système est-il stable ?Pour répondre à ette dernière question simplement, nous onsidérons un régime asymptotiquepour lequel le nombre d'utilisateurs (ainsi que la bande) tend vers l'in�ni. Nous onsidérons que lesutilisateurs sont répartis dans la ellule selon une ertaine distribution. Nous supposons égalementque les débits admettent une distribution-limite : par exemple, si tous les utilisateurs ont la mêmeexigen e de débits, la distribution-limite est égale à une impulsion de Dira . En revan he, si lesutilisateurs ont des requêtes pour des débits allant de zéro à une ertaine valeur maximale sansprivilégier de valeur parti ulière de débits, la distribution limite sera une loi uniforme.Nous obtenons des formules asymptotiques expli ites et ompa tes pour la proportion de odesà allouer et pour la puissan e à donner à haque utilisateur. A partir des formules asymptotiques,nous sommes en mesure de montrer que le système est stable si le débit umulé requis de tous lesutilisateurs (par utilisation de anal et par unité de volume de ellule) est inférieur à un ertainseuil. La valeur de e seuil dépend uniquement des paramètres de dimensionnement du systèmeet notamment de la fon tion d'atténuation. Cette fon tion d'atténuation relie la varian e de laréponse fréquentielle du anal d'un utilisateur à la distan e de et utilisateur par rapport à lastation de base. Dans un modèle de propagation en espa e libre, ette fon tion est inversementproportionnelle au arré de la distan e.En on lusion, si on néglige l'interféren e multi- ellulaires ou si on onstruit un système pourlequel les ellules adja entes sont orthogonales entre elles via notamment une lo alisation spe traledi�érente, alors n'importe quelle requête de débit peut être satisfaire pour peu que l'on augmentesu�samment la puissan e onsommée. En revan he, si on onsidère ette fois- i qu'une interféren emulti- ellulaires se produit e qui implique que les ellules adja entes o upent la même bandeque la ellule d'intérêt, alors il existe un débit umulé maximal permettant un système stable. Lavaleur de e débit umulé maximal joue ainsi le r�le d'une apa ité pour le système multi- ellulaires onsidéré.9.3 Contexte du anal onnu à l'émetteurDans ette se tion, nous onsidérons que le anal est onnu à l'émetteur. Ce genre de situationa un sens pour des anaux radiomobiles quasi-statiques ou pour des systèmes âblés utilisant soit lapaire torsadée (ADSL), soit les âbles éle triques. Dans le adre de anaux radiomobiles, l'hypothèse on ernant la stationnarité de la réponse impulsionnelle du �ltre est di� ile à valider et est don souvent sujette à aution. En ADSL le système est fondamentalement mono-utilisateur ar haqueabonné a sa propre paire de uivre, e qui implique que la problématique d'attribution des ressou esentre les utilisateurs est aduque. En revan he, pour les ommuni ations sur âble éle trique, 'est-à-dire, à ourant porteur en ligne (CPL), le âble est partagé par tous les utilisateurs e qui rend leproblème d'attribution des ressour es entre utilisateurs pertinent. C'est d'ailleurs dans e dernier ontexte que nos simulations ont été e�e tuées.En CPL, omme le anal de propagation admet une réponse impulsionnelle longue, il est re- ommandé d'utiliser une modulation OFDM pour gérer e� a ement l'interféren e entre symboles.Le problème reste ouvert sur la te hnique d'a ès multiple à a oler à la modulation OFDM.Comme le anal est onnu à l'émetteur, étaler une donnée sur plusieurs porteuses a�n de la proté-ger d'éventuels évanouissements n'a au un intérêt du point de vue de la théorie de l'information etdes performan es. Par onséquent, une donnée n'aura à être présente que sur une seule porteuse.Cela nous in ite à hoisir une te hnique d'a ès multiple de type OFDMA. Néanmoins, si une

66 Allo ation de ressour es entre plusieurs utilisateursporteuse est bonne pour plusieurs utilisateurs, il serait peut-être intéressant que es utilisateurs lapartagent. C'est pourquoi, nous pré onisons dans un premier temps de mettre en ÷uvre une te h-nique DS-CDMA pour haque porteuse. Cette te hnique d'a ès multiple a l'a ronyme suivant :MC-DS-CDMA.Avant de pro éder à une optimisation du système, il onvient de déterminer les ontraintesque nous devons véri�er et les degrés de liberté sur lesquels nous allons pouvoir agir. Dans unsystème âblé, é onomiser la puissan e n'est pas essentiel. En revan he, pour des questions de ompatibilité éle tro-magnétique, le signal émis doit respe ter un masque fréquentiel e qui signi�eque la puissan e totale à émettre sur haque porteuse ne peut dépasser un ertain seuil pré-déterminé. Par ontre nous souhaitons maximiser une ertaine fon tionnelle des débits de haqueutilisateur et déterminer le nombre de odes à allouer à haque porteuse pour haque utilisateur.Quant au hoix de la fon tionnelle, on peut onsidérer la somme des débits (autrement dit, ledébit umulé). Le problème d'optimisation étant onvexe, la solution est fa ile à obtenir et onsisteà donner tous les odes de la porteuse onsidérée à l'utilisateur qui admet le Rapport Signal-à-Bruit sur ette porteuse le plus élevé. Par onséquent, la te hnique d'a ès multiple se réduit àde l'OFDMA. L'in onvénient majeur de ette appro he réside dans une répartition non équitabledes ressour es. A titre d'exemple, le débit d'un utilisateur pourra être nul si et utilisateur neprésente sur au une porteuse un Rapport Signal-à-Bruit supérieur à elui des autres utilisateurs.Pour pallier e défaut, on peut alors envisager de onsidérer une somme pondérée des débits. Lefa teur de pondération sera d'autant plus fort que l'utilisateur présente de mauvais anaux presquepartout. Pour un jeu de pondération, e problème d'optimisation est onvexe et sa solution pré onised'a�e ter au plus deux utilisateurs par porteuse. D'ailleurs pour de nombreux jeux de pondération(en fait eux qui présentent une dispersion faible), l'appro he OFDMA s'avère optimale. C'estseulement lorsque les utilisateurs ont des onditions de transmission très déséquilibrées, 'est-à-dire, lorsqu'il faut retenir des pondérations très di�érentes que le MC-DS-CDMA (ave au plusdeux utilisateurs sur ertaines porteuses) se révèle un peu meilleur que l'OFDMA. C'est pourquoi,dans la suite, nous nous limitons à la te hnique d'a ès OFDMA.Le verrou restant est de hoisir judi ieusement les pondérations à appliquer au débit de haqueutilisateur. Le hoix va se réaliser de manière impli ite grâ e à la notion de � apa ité équilibrée �introduite par [52℄. Le on ept de la apa ité équilibrée est le suivant : pour un système multi-utilisateurs, la notion de apa ité est rempla é par la notion de région de apa ité. Tout point sur lafrontière de ette région dé�nit un ensemble de débit réalisable par haque utilisateur. Néanmoinssuivant la lo alisation de e point sur la frontière, le système est plus ou moins équitable. Le point orrespondant au débit umulé maximal (appelé aussi point de la somme- apa ité) est le point quiadmet une tangente à −π/4 radians. On note Rk le rapport entre le débit réalisable par l'utilisateurk et le débit réalisable maximal qu'il aurait eu s'il était le seul utilisateur a tif dans le système.Le point de la apa ité équilibrée est un autre point de la frontière véri�ant que le rapport Rk estidentique pour tous les utilisateurs et maximal. Cela assure que tous les utilisateurs ont la mêmefra tion de leur débit réalisable maximal obtenu dans un ontexte mono-utilisateur. Cela permet deservir n'importe quel utilisateur mais aussi de ne pas trop désavantager les utilisateurs ren ontrantdes anaux favorables.Nous avons onçu plusieurs politiques d'attribution des porteuses aux di�érents utilisateursbasées sur la notion de apa ité équilibrée :� le premier algorithme onsiste à attribuer les porteuses aux di�érents utilisateurs de tellemanière que le déséquilibre des rapports Rk soit le plus faible possible.� une autre manière d'assurer l'équité entre les utilisateurs onsiste à baser la politique d'attri-bution des porteuses sur la maximisation du minimum des débits [50℄. Malheureusement lesalgorithmes adoptant ette appro he onduisent à une valeur de débit umulé faible puisquetous les utilisateurs vont s'aligner sur le plus mauvais d'entre eux. A�n de ontourner edéfaut, nous proposons, omme se ond algorithme, de maximiser le minimum des rapports

Rk.Nos deux nouveaux algorithmes d'allo ation des ressour es ont permis d'améliorer notablementl'équité entre les utilisateurs tout en assurant un débit umulé pro he de l'optimal, 'est-à-dire,pro he de elui obtenu par des algorithmes de maximisation de la somme- apa ité.

Chapitre 10Perspe tives de re her heDans e hapitre, nous présentons la re her he que nous omptons développer à ourt et moyenterme. La logique sous-ja ente onsiste à utiliser notre expertise en traitement statistique du si-gnal, d'une part, pour traiter des problèmes lassiques mais en ore ouverts de ommuni ationsnumériques ( f. points 1. et 2.) et, d'autre part, pour travailler sur des thématiques émergentes de ommuni ations numériques relevant de l'optimisation inter- ou hes et requérant néanmoins desoutils statistiques ( f. point 3.).Par onséquent les di�érentes dire tions de re her he suivantes se dégagent :1. Estimation de anal et des paramètres de syn hronisation1.a Séquen e d'apprentissage onjointe optimale :A�n d'estimer rapidement et pré isément la réponse impulsionnelle du anal et du résidude fréquen e porteuse, une séquen e d'apprentissage est envoyée périodiquement par l'émet-teur au ré epteur. Quand la réponse impulsionnelle du anal est le seul paramètre in onnu,la meilleure séquen e d'apprentissage ( 'est-à-dire, la séquen e qui minimise la borne deCramer-Rao) est la séquen e pseudo-aléatoire blan he. Peu de travaux abordent le problèmede la on eption de la séquen e d'apprentissage optimale lorsque les deux paramètres sontà estimer onjointement. Contrairement aux travaux présentés à la sous-se tion 7.2.4, noussouhaitons on evoir une séquen e optimale indépendante de la réalisation du anal. Pour ela, ertains her heurs, ave raison, pré onisent de moyenner la borne de Cramer-Rao as-so iée au résidu de fréquen e porteuse sur les statistiques du anal. Mais pour des sou is desimpli ité, es her heurs ne onsidèrent que le as où les omposantes du anal sont indépen-dantes et identiquement distribuées (iid) [37℄ ou le pire des as [59℄. Dans de telles situations,la meilleure séquen e d'apprentissage pour l'estimation du résidu de fréquen e porteuse restela séquen e pseudo-aléatoire blan he. Néanmoins, en pratique, l'hypothèse iid est rarementvéri�ée dans les ontextes MIMO et OFDM. C'est pourquoi, nous nous proposons d'aborderla on eption de la séquen e d'apprentissage quand un anal orrélé est onsidéré. Néanmoins e premier travail ne on erne que les performan es de l'estimation du résidu de fréquen eporteuse. Or nous souhaitons que la séquen e d'apprentissage retenue soit pertinente pourles deux paramètres. Ainsi il onvient de on evoir la séquen e d'apprentissage pour le pro-blème onjoint d'estimation de la réponse impulsionnelle du anal et du résidu de fréquen eporteuse. Comme ritère, nous suggérons d'utiliser l'erreur quadratique moyenne (entre lessymboles émis et reçus) moyennée sur les statistiques du anal. Ce i nous permettra de trou-ver une séquen e � optimale � qui sera judi ieuse pour l'estimation du anal et l'estimationdu résidu de fréquen e porteuse.1.b Probabilité de oupure ave anal in ertain au ré epteur :Nous souhaitons également analyser l'erreur d'estimation des paramètres ave le point devue de la théorie de l'information. Quelques travaux ont déjà été menés mais seulementen onsidérant des erreurs d'estimation sur le �ltre de anal et seulement en al ulant des apa ités ergodiques [28℄. Il est bien onnu que, pour un anal variant lentement dans le temps,la probabilité de oupure est une mesure plus pertinente de performan e. C'est pourquoi nous

68 Perspe tives de re her heproposons d'examiner les e�ets des erreurs d'estimation du anal et du résidu de fréquen eporteuse sur la probabilité de oupure.2. Traitement du signal pour la radio ognitiveIl a été remarqué que, quoique apparemment saturé, le spe tre est loin d'être entièrement o upéà un instant donné. Par onséquent, il est possible d'imaginer que ertains systèmes hoisissentlibrement leur gamme de fréquen e après avoir déte té les zones vides du spe tre ave omme ontrainte de ne pas déranger les systèmes déjà a tifs. Ce prin ipe est appelé � radio ognitive �ou � radio opportuniste �. Ainsi avant qu'un système s'insère dans une zone libre, il doit être enmesure d'analyser �nement le spe tre et notamment les systèmes fon tionnant à un instant donné.Pour ela, il onvient de déte ter rapidement les systèmes a tifs par le biais de l'analyse de lastru ture du signal ( onstellations, nombre de sous-porteuses, et ). Cette problématique onduità un regain d'intérêt des te hniques autodida tes de lassi� ation. Dans e adre-là, nous nousproposons notamment d'évaluer le nombre de sous-porteuses d'une modulation OFDM par le biaisdes propriétés de y lostationnarité du signal reçu.3. Allo ation dynamique de ressou es3.a Pré odeur optimal pour un anal de Ri e :Lorsque le anal est onnu au ré epteur, la apa ité au sens de Shannon est non nulle et sonoptimisation onduit à un pré odage s'apparentant à une te hnique de water�lling. Lorsquele anal est in onnu à l'émetteur et que les mots de ode ne ren ontrent qu'une réalisationdu anal, la apa ité au sens de Shannon est nulle et l'outil adéquat provenant de la théoriede l'information est la probabilité de oupure. Pour un anal de Rayleigh, la probabilité de oupure se omporte en 1/RSBd à fort RSB. La puissan e d est appelée gain de diversité etreprésente la vitesse ave laquelle la probabilité de oupure dé roit à fort RSB. Lorsque leRSB roit, on souhaite généralement en pro�ter pour augmenter le débit du système. Ainsiil parait raisonnable de séle tionner un débit de l'ordre de r log(RSB) à fort RSB. Le fa teurr est appelé gain de multiplexage 1. Néanmoins, il est maintenant onnu qu'un ompromis,dénommé ompromis gain de diversité-gain de multiplexage (DMT), entre les valeurs de d etde r est né essaire. Chaque s héma de odage admet un ertain ompromis al ulé non pas àpartir de la probabilité de oupure mais dire tement à partir de la probabilité d'erreur du dits héma. Un s héma sera dit optimal au sens du ompromis si son ompromis est identiqueà elui fourni par la probabilité de oupure. Depuis les travaux de [3℄, on sait onstruire des odes optimaux au sens du ompromis pour des nombres parti uliers d'antennes d'émission etde ré eption. Lorsque l'émetteur a une onnaissan e partielle du anal, il onvient de ombinerl'appro he d'optimisation ( 'est-à-dire, anal onnu) et l'appro he de odage spatio-temporel( 'est-à-dire, anal in onnu). Ainsi il serait intéressant de déterminer la meilleure matri ede pré odage valable pour un anal de Ri e. Le anal de Ri e orrespond justement au asoù l'émetteur onnait une partie, dite déterministe, de la réponse impulsionnelle du anal.Dans e adre, des travaux ont été onduit ave su ès pour l'optimisation de la apa itéergodique. Néanmoins l'outil de la probabilité de oupure est plus adaptée à la réalité dessystèmes. C'est pourquoi, nous orientons nos re her hes sur l'étude de l'optimisaton de laprobabilité de oupure dans un ontexte de anal omportant une omposante déterministe.Tout type de anal peut alors être onsidéré : multi-antennaires ( anal de Ri e), à relais, et .De plus, omme dans le as du anal de Rayleigh où le ritère du DMT est ommunémentadmis et permet de gérer simultanément les performan es (via d) et le débit (via r), nousaimerions dé�nir un ritère analogue permettant d'englober es deux aspe ts fondamentauxdes ommuni ations numériques. Il faut rappeler que le ritère DMT est dé�ni à partir d'unrégime asymptotique sur le RSB. Ce régime asymptotique n'est pas très intéressant pourle anal de Ri e ar les performan es y sont guidées par la même diversité que le anal deRayleigh asso ié à elui de Ri e et don la spé i� ité du anal de Ri e y disparaît. En revan he,le gain de odage, 'est-à-dire le fa teur devant le terme en 1/RSBd, est peut-être un bonpoint de départ pour peu qu'on sa he le déterminer analytiquement et ensuite l'optimiser.1Avertissement : r = 0 ne signi�e pas que le débit est nul mais juste que le débit est invariant ave le RSB.

69Une autre appro he onsisterait ertainement à travailler ave un RSB faible ou moyen. Ladi� ulté réside alors dans la omplexité des développements algébriques.3.b Dimensionnement de la voie de retour :Le anal de Ri e ne modélise pas tous les anaux ave information partielle à l'émetteur,notamment, lorsque l'information provient d'une voie de retour. On peut se poser d'ailleursla question de savoir e qu'il faut renvoyer à l'émetteur lorsque la voie de retour est à faibledébit et né essite don un fort taux de quanti� ation. Ainsi, il serait intéressant, via des outilsde la théorie de l'information, de dimensionner la voie de retour né essaire pour améliorer lesystème tout en ayant des ontraintes de débit, de puissan e et de simpli ité fortes sur ettevoie. De plus ette voie de retour ne sera apable que de transmettre des informations altéréesd'un anal estimé. Quel est l'impa t de ette mauvaise estimation du anal sur l'informationpartielle à transmettre à l'émetteur. Ce dernier point est onne té au point 1.b dans lequelon examinait seulement le défaut de l'information de anal sur le ré epteur.3. Gestion des ressour es dans un système multi- ellulaires et/ou multi-utilisateurs :Un des verrous a tuels dans les nouveaux systèmes de ommuni ation oopératif se situedans la gestion des ressour es, notamment de puissan e entre plusieurs �ux de données etplusieurs n÷uds de passage. Nous aimerions nous on entrer dans un premier temps sur dessystèmes entralisés multi- ellulaires ave fa teur de ré-utilisation des fréquen es de un etave ollaboration entre les stations de base et en ne perdant pas de vue une ontrainted'équité entre les di�érents utilisateurs. Dans un deuxième, nous aimerions nous fo alisersur des problématiques de routage et d'allo ation équitable des ressour es dans des anauxà relais. La mise en ÷uvre des résultats envisagés devrait être immédiate dans des projetsde re her he de type ANR Télé om � RISC � et p�le de ompétitivité � Systemati � ( f. hapitre 4).

70 Perspe tives de re her he

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