Bouchard Alexis P2009Despicht Charles-Henri

MQ41

Ansys

Poutre en Flexion

Etude avec un logiciel d’éléments finis

x

AB

P

y

x

L

L1

Objectif du TP   :

L’objectif de ce TP est d’apprendre à utiliser le logiciel de calcul par éléments finis ANSYS et de maîtriser ses fonctions de bases en calcul des structures.

Dans ce 1er TP, on cherche à étudier le comportement d’une poutre en flexion de longueur totale L en lui appliquant une force à différents emplacement

Pour ce faire, on va déterminer la flèche de différents endroits de la poutre pour les diverses

positions x= L.

3; L .

2; 2 L.

3; L

du point d’application de la charge P.

Etude théorique du problème   :

Dans cette étude, nous avons d’une poutre encastrée sollicitée en flexion par une charge P de 100N, de représentation suivante :

Nous avons les données suivantes :

La longueur de la poutre, L= 0,2mLa hauteur de la poutre, h=0,02mEt l’épaisseur de la poutre, e=0.002m

Par ailleurs le module d’Young de cette poutre en acier est de E=200000MPa et le coefficient de poisson est de 0,3.

Ce problème est isostatique car nous avons 3 équations pour 3 inconnues.

Efforts dans l’encastrement :

∑ F⃗ext=0⃗

2

x

L1

A BP

y

x

L

Donc

{X A=0¿ ¿¿¿

De plus, on sait que : ∑ M⃗ F⃗

ext / A= 0⃗

Donc

M A+PL1=0

Efforts de la RDM:

On obtient : (torseur de droite)

Mf 2=0Mf 1=P∗(L1−x )

Par ailleurs, l’équation de la déformée nous donne :

E∗Igz∗y ' '=Mf

E∗Igz∗y ' '=P (L1−x )

E∗Igz∗y '=−P∗x2

2+P∗L1∗x+A

E∗Igz∗y=−P∗x3

6+P∗L 1∗x2

2+A∗x+B

Conditions limites   :

En x=0 ; y1=0 ; y’1=0

On trouve ainsi A=0 et B=0

Mf1 Mf2

3

On obtient donc : E∗Igz∗y=P∗x2

2∗(L1− x

3 )De plus Lorsque L1 = L on retrouve bien le résultat connue y= P∗L3

3∗E∗Igz

Par ailleurs, on peut calculer les contraintes via la formule suivante :

σ=−Mf 1Iy=

( x−L1 )∗PI

∗y

Avec y=H2=10mm

On constate de même que la contrainte est maxi dans l’encastrement donc quand x=0.

De plus on peut calculer le moment quadratique :

I=bh3

12=0 ,002×0 ,023

12=1 ,33 .10−9m4

Valeurs Théoriques des flèches aux points d’application de la force :

Si la force est placée en L on obtient :

y en L= 100∗2003

3∗200000∗1333=1mm

La contrainte max est à l’encastrement est égale à :

σmax=100∗200∗101333

=150Mpa

Si la force est placée en L/2 on obtient :

y en L2= 100∗1003

3∗200000∗1333=0.13mm

La contrainte max est à l’encastrement est égale à :

σmax=100∗100∗101333

=75Mpa

Si la force est placée en L/3on obtient :

4

y en L3= 100∗66.73

3∗200000∗1333=3.7∗10−2mm

La contrainte max est à l’encastrement est égale à :

σmax=100∗66.7∗101333

=50Mpa

Si la force est placée en 2L/3on obtient :

y en 2 L3

= 100∗133.33

3∗200000∗1333=0.3mm

La contrainte max est à l’encastrement est égale à :

σmax=100∗133.3∗101333

=100Mpa

Démarche Ansys   :

1) Définition de la poutre

On commence par créer notre poutre qui est assimilé dans ce problème, à une simple droite.

On créé deux point et une droite

Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>Active CS

A(0;0;0) et B(0 ;0.2 ;0)

Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Straight Line

On choisit ensuite le type d’éléments finis, ici il s’agit du type beam 3 (2D Elastic 3)

Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete

On définit ensuite les paramètres physiques ainsi que les propriétés du matériau.

Preprocessor>Real constants>Add:

On entre la section de la poutre en m2 (cross-sectional area), la hauteur h en m et le moment quadratique en m4.

Preprocessor>Matrial>Props>MaterialModels>Structural>Linear>Elastic>Isotropic

On entre le module d’Young E en Pa et le coefficient de Poisson.

On créé ensuite le maillage

Preprocessor>Meshing>Size Cntrls>ManualSize>Lines>All Lines…

On a alors deux possibilités. Soit on renseigne le champ SIZE qui va partager la poutre en morceaux de taille donnée, soit renseigner le champ NDIV par un entier n qui va découper la poutre en n morceaux égaux.

5

Preprocessor>Meshing>Mesh>Lines>All Lines…

On peut aussi visualiser le maillage de la façon suivante

Plot ctrl>Numbering>Mode Number On

2) Solution

On a ensuite définie notre type d’analyse (statique), nos contraintes (ici il s’agit d’une liaison encastrement au premier keypoint) et notre charge P.

Solution>Analysis Type>New Analysis>Static

Solution>Define Loads>Apply>Structural>Displacement

On choisit un encastrement (All DOF)

Solution>Define Loads>Apply>Structural> Force

On choisit une force qu’on appliqué sur un noeud “node” de direction FY puis on résout le système

Solution>Solve>Current LS

3) Résultats

On a ensuite affiché les résultats en traçant la déformée de la poutre

General Postproc>Plot Result>Deformed Shape

6

On peut aussi afficher les contraintes dans la poutre par nœud, les déplacements selon Y ainsi que Von Mises.

Etude Ansys d’une poutre encastrée sollicitée en flexion   :

P appliqué à L/3   :

Déplacement selon y

On trouve les valeurs de la flèche en chaque nœud :

7

Contrainte par noeud

On trouve les contraintes en chaque section de poutre. On constate que la contrainte est bien maxi à l’encastrement et que après la force les contraintes son nul. Ici elles sont très proches de zéros à partir de la section 9.

8

P appliqué à L/2   :

Déplacement selon Y

On trouve les valeurs suivantes de y :

9

Contrainte par noeud

On trouve les contraintes suivantes :10

P appliqué à 2L/3   :

Déplacement selon Y

On obtient les valeurs aux nœuds suivantes :

11

Contrainte par nœud

12

On obtient les valeurs de contraintes suivantes :

P appliqué à L:

Déplacement selon Y

13

On obtient les valeurs suivantes :

Contrainte par nœud

On obtient les valeurs de contraintes suivantes :14

15

Tableau Récapitulatif   :

Résultats L/3 L/2 2L/3 L

Etudes Théoriqu

e

y=3,7.10−2mm

σ max=50MPa

y=0,13mm

σ max=75MPa

y=0,3mm

σ max=100MPa

y=1mm

σ max=150MPa

Etudes Ansys

y=−3,713.10−2mm

σ max=50,1MPa

y=−0,12531mm

σ max=75,2MPa

y=−0,35273mm

σ max=113MPa

y=−0,93989mm

σ max=150MPa

Conclusion   :

Dans ce TP, nous avons utilisé deux méthodes pour obtenir la flèche et la contrainte maximale. Nous avons tout d’abord calculé ces valeurs théoriquement puis nous avons utilisé le logiciel de calcul par éléments finis ANSYS.

Nous obtenons les mêmes résultats, les résultats trouvés sur Ansys sont cependant plus précis.

Dans l’étude théorique, on obtient des flèches positives car elles sont dans le sens de P et comme P est dirigé vers le bas, la flèche est également dirigée vers le bas.

16