Les solides

Ce dossier sur les solides apporte les données classiques sur ce sujet mais aussi une chronologie de présentation cohérente.Par contre, les niveaux estimés pour chaque séance sont susceptibles d’être modifiés selon l’appréciation de chaque maître.

De même, les fiches théoriques récapitulatives peuvent être simplifiées pour les premiers niveaux : une possibilité que nous laissent les dossiers Word.

La partie « découverte à partir des Arts » se place en début d’année, chaque notion étant reprise par la suite de façon plus technique et plus mathématiques au fil des différentes séances.

Notions théoriques

Le solide est un "objet géométrique" à trois dimensions : une longueur, une largeur et une hauteur.

Ainsi,- Un point n’a pas de dimension- Une ligne a une dimension : sa longueur- Une figure a deux dimensions : sa longueur et sa largeur- Un solide a trois dimensions : sa longueur, sa largeur et sa hauteur.

Dans le langage courant, les mots « épaisseur » ou « profondeur » remplacent l’un ou l’autre des mots longueur / largeur / hauteur : la profondeur d’un puits, de champ (en photographie), l’épaisseur d’un livre …

L’aire de l’enveloppe d’un solide est égale à la somme des aires des faces de son patron.

Le volume est la mesure l'espace compris à l'intérieur d'un solide. On calcule combien d’unités de la mesure choisie « rentrent » dans ce volume. Cette mesure est exprimée en « cube » : m3, cm3, mm3. Si le volume mesure une capacité, son unité sera le litre (L), le kilo- litre (kL), le millilitre (mL) …

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Les figures géométriques planes sont en une seule partie (connexe), dont on peut faire le tour sans lever le crayon ; - Elles sont formées de :

o côtés droits (segments de droite) ; deux côtés droits consécutifs ne sont jamais alignéso et/ou de côtés courbes lisses, dépourvus d'aspérité (sans pointe) sauf éventuellement aux extrémités; aux lignes fermées sur elles-mêmes

(cercle) ou qui ont des extrémités sommets d’arcs de cercle- les sommets sont l'extrémité et le point de rencontre de deux côtés (droits ou courbes)

3 types de figures planes géométriquesLes polygones : tous leurs côtés sont des segments de droites Les non polygones

Les figures hybrides possèdent au moins un côté droit et un côté

courbe

Les figures rondes: tous leurs côtés sont des courbes

Figures planes Toutes les figures géométriques et tous les solides peuvent être convexes ou concaves. Solides

Les polyèdres (plusieurs faces) sont en une seule partie :

Toutes leurs faces sont des polygones. Deux faces contiguës ne sont jamais dans un même plan. Leurs arêtes sont la ligne d’intersection / de rencontre de deux faces / plans. Les points de rencontre des extrémités des arêtes sont les sommets du polyèdre. Ils côtoient au minimum trois faces. Aucun sommet n’est commun à plusieurs angles polyèdres.Le polyèdre convexe est situé en entier d’un même côté de plan par rapport à chacune de ses faces.Un polyèdre régulier n’a que des faces polygonales régulières et tous ses angles sont égaux : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre, l’icosaèdre. Les polyèdres irréguliers sont par exemple les prismes et les pyramides.

Les corps hybrides ont au moins une face hybride et au moins une face courbe (non plane). Ils peuvent aussi avoir une ou des faces polygonales Ex : tunnel à voûte ronde, cônes, cylindres …

Les corps ronds ont toutes leurs faces courbes (non planes) ou /et planes rondes.Ex : sphère, ballons, anneaux ronds …

Les non polyèdres sont limités seulement en partie ou pas du tout par des morceaux de plans.

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3 types de solides géométriquesLes solides géométriques sont des objets volumiques à 3 dimensions (une hauteur, une largeur et une profondeur : H, L, P) que l’on peut voir sous différentes angles / sous toutes ses faces : de dessous, de dessus, de côté, de devant, de derrière.

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Un polyèdre est un solide : - délimité par des faces

polygonales : carrés, rectangles, triangles, hexagones … dont certaines peuvent être des bases. Les bases sont la partie qui repose sur « le sol » et la partie supérieure qui lui est directement opposée quand il y en a.

- des arêtes, lignes d’intersection des faces

- et des sommets, points d’intersection des arêtes

6 faces colorées

Parfois des bases Des arêtes

Des sommets

Apex

Base

Arts en relation avec le volume

Tous les arts en relation avec le volume permettent d’aborder le vocabulaire et les notions ou caractéristiques qui lui sont liées :

« Notions » Dans les œuvres Le volume provient d’un « développement du plan »

Superposition d’épaisseursAmoncellement d’un même élément

Distinguer le solide / volume de l’espace / creux

Encastrement de solides dans des volumes : œuvres architecturales …

Il possède une structure Œuvres en fil de fer, squelettes, Emballages

Caractéristiques du solide Reproduction de la réalité, œuvres mathématiques …Exploration d’une dimension : la hauteur, l’épaisseur …

En plus pour un œuvre Recherche d’équilibre, de rigidité, de pesanteur, de fixation, de mouvement, d’éclairage, installation …

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Proposer plusieurs thèmes de travail en arts plastiques et les présenter / comparer entre elles :

Type d’activitésDescription Références artistiques

Créer un reliefAdjoindre, intégrer des éléments dans une matière pour lui donner du relief, de la

texture …Le relief reste solidaire de son support : Bas / demi, haut– relief, relief gravé ou écraséColler sur une plaque de bois (bas-relief) des papiers, plaquettes de bois … pour créer un relief.Jouer avec la matière de la gouache pour créer des reliefs (possibilité d’inclure des objets). Utiliser le couteau, la truelle …

Karel Appel, Enfants quémandeurs, 1948Agam, Assemblage mouvant 1953Arp, portrait de Tirstan Tzara 1916

Utiliser du papier déchiré pour créer des volumes (avec ou sans structure)

B. Réquichot, Châsse de papiers 1961Tous les pop up Les tableaux en papiers déchirés : Arp …

GraverGraver dans un matériau souple (plaque de terre, pâte à sel …) Il peut s’agir aussi de prendre des empreintes d’objets formant un tableau d’ensemble : impression de nervures de feuilles sur terre …

Brassaï, Sans titre de la série Graffiti, 1935/1950DubuffetPoteries utilisant un système d’empreintes, de couches successives (Matthiew Chambers)

SculpterEn ronde – bosse (objet indépendant autour duquel on peut se déplacer)En bas ou haut relief (la visibilité ne se fait que sous un certain angle).La statue est la représentation d’un être animé (personnage et animal) On sculpte dans des matériaux : - Durs et / ou stables par percussion (Michel – Ange) : les blocs de plâtre, savon, bois, béton cellulaire- Mous ou plastiques qui se modèlent ou se moulent (Rodin) / les pâtes : terre, argile, plâtre, à modeler, à bois, à modeler, à papier, a sel

ModelerFabriquer de la pâte à papier ou utiliser de la terre, de la pâte à modeler pour sculpter

Rodin : Le penseur Claes Oldenburg : projet pour un mur extérieur Caracas, 1954

Tailler : retirer, évider, creuser, percer …Evider les pages d’un livre pour former une sculpture en creux.

Tous les livres sculptures et livres transformés

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Tailler dans de la terre, de la cire, du savon en enlevant les masses inutiles …

Degas : petite danseuse de 14 ans 1881 Salon des impressionnistes

Travailler un matériau pour qu’il ne soit plus un obstacle à la vue, à la lumière, pour qu’il forme un dessin dans la lumière.

Daniel Buren : Le vent souffle où il veut 2009 Paige Bradley : Expansion Sculpture sale 1

Accumuler, entasser, rassembler, réunir …En formant des piles, sur des tiges, côte à côte …

Arcimboldo : portraits en légumes Moulins à prière du Tibet Arman : Swatchmania, Tadashi Kawamata : empilage de caisses à photographier 1Kusama Yayoi Horse-Play : Woodstock 1967Gérard Deschamps : Les bleus

Jouer avec les volumes (l’opposé à l’à- plat)Remplir, combler un volume, un creux, un espace

Couler du plâtre dans un moule, dans un ballon … pour obtenir un objet en volume.

Kit d’empreintes à remplir Les statues du musée Grévin ou en fonte ont leur place ici.

Remplir un espace, mettre en scène, jouer avec la perspective

Daniel Buren : les colonnes du Palais Royal à ParisAndy Goldsworthy : Balanced Sticks, 1987

Expanser, dilater de la matièreMousse de bricolage (voir les conditions de sécurité) Ballon, sacs plastiques : gonfler, (puis remplir ou envelopper).

César Expansion n°14, 1970Claes Oldenburg, ViolonJeff Koons Exposition à Versailles Philippe Lerestif Mark Mawson Aqueous Fluoreau I& II 

Compresser, froisser …Papier à froisser, à empiler … César Compressions

Assembler – Associer / fragmenterAssembler / réunir différents éléments ou composants, des matériaux visuels, objets et images : occupation de l’espace par les matériaux choisis qui ont de la densité, du poids et forment un volume et un relief.

M. Duchamps : Rotoreliefs Arman : Colère de Chopin

Représenter par juxtaposition d’éléments (notion de morcellement, segmentation)

Laurent Hunziger : Ecriture

Associer différents objets pour suggérer une idée. Picasso Tête de taureau Fractionner, trouer des éléments. Moore Henry : Style Envelopper, emballer, empaqueter, recouvrir, dissimuler de façon partielle ou complète

(révéler en cachant), Pétrifier (plâtre)Envelopper avec des bandes de papier, de plâtre, du scotch de

Christo : emballage du Pont NeufEtienne Martin : le manteau 1962

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couleur … Les objets peuvent être semblables ou se compléter, s’opposer …

Eva Hesse : not yet Oppenheim : le déjeuner de fourrureKeith Haring Elephant

Donner une forme à un tissu encollé et le laisser sécher pour créer une structure rigide (chapeau, toit de maquette, aile d’oiseau, voile de bateau …)

Niki de Saint Phalle : la fontaine Beaubourg Claes Oldenburg : soft sculpture

Plonger un objet dans une pâte pour le rigidifier, le dissimuler …

Les grottes pétrifiantes de Savonnières (Villandry 37) ou de Saint Nectaire

Rigidifier (squelette ou armature)Planter des pointes dans des plaques ou reliefs divers. Les relier par des fils, de la laine … pour créer une structure

Alexandre Calder : mobiles Alberto Giacometti : le chien – l’homme qui marche

DéformerDéformer du papier, du carton pour obtenir des volumes en suivant un thème (la rondeur, la légèreté, l’équilibre …)

Sarkis : I love my Lulu 1984 (en bandes magnétiques)

Suspendre (mobile), équilibrer, emboîter, enfiler, scotcher, coller …Utiliser des objets différents pour réaliser un mobile

Alexandre Calder : mobiles Jean Tinguely: Machine SpectacleJean Dubuffet : Site à l’homme assis 1984

Sommaire Découvrir les volumes

Création de volumes à partir de matériaux choisis : baguettes, cartons, fil, ballon ou poches à gonfler …

Trier des objets

Distinguer lignes, figures planes et solides.Définir des objets mathématiques : les polyèdres, les polyèdres ronds ou hybrides …

Représenter des solides

Découverte de la nécessité de représenter un objet.Distinguer entre le dessin d’un objet et ses représentations mathématiques.Représenter un objet : la perspective Distinguer les différents angles de vision d’un solide. Savoir quand un solide déterminer et reconnu par l’angle de vision que l’on en a.Définir la perspective par des moyens simples : l’ossature d’un objet et sa projection.Apparier un objet et sa représentation.Distinguer les représentations mathématiques d’un objet : appariement, observation.

Description des solides

Décrire par jeu de devinettes ou jeu du portrait.

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Construire des squelettes de solides.Elaborer des patrons :- Les empreintes / formes des faces, - le nombre (jeu de commande ou de l’habillage) de ces faces,- la position relative des pièces et les différents développements des

patrons, - L’importance des angles (parallélogramme ou parallélépipède …) - le traçage des patrons : la chronologie des actes, la prise de mesure

Identité des solides

Connaître l’identité et les caractéristiques des solides usuels.

Les mesures des solides

Savoir calculer la surface d’un polyèdreDéfinir le volume par rapport à un étalon : assemblages de cubes et comptage Distinguer volume et surface

Cycle 3 Découvrir les volumes Objectifs du maître Connaître le lexique lié au volume :

- Prise de conscience du volume : plein, creux, vide, concave / convexe, - Epaisseur : empilements, taille dans les livres … - armature : architecture d’un solide- aire d’un volume : emballage / recouvrement

En déduire certaines caractéristiques des volumes.Présentations d’œuvres, d’artistes et de techniques liés au volume.

Proposer aux élèves de construire un objet simple à partir de différents types de matériaux :

- Des papiers / cartons … à superposer, plier, encoller … - Des ballons ou des sacs à gonfler, recouvrir, tordre, assembler- Des files électriques, de fer, de laine …- Des plaques d’argile à graver- De la terre à modeler- Du tissu- Des pailles (à boire) et des piques en bois

La règle est de ne pas utiliser, dans la mesure du possible, une technique déjà utilisée par un autre ou un autre groupe.

Les élèves peuvent être seuls ou en groupe, l’essentiel étant qu’ils ne se copient pas les uns les autres mais qu’ils proposent des œuvres différentes dont le groupe tirera des notions différentes.

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La formulation ors de la remise en commun porte sur :

Le vocabulaire de l’art mais aussi sur celui de la géométrie.

Ce n’est qu’après la remise en commun des productions que le maître peut présenter une série d’œuvres utilisant le volume, en reprenant les techniques utilisées par les élèves pour présenter des artistes qui ont utilisé la même technique ou des techniques de même catégories. Ce n’est aussi qu’après le remise ne commun que le maître peut compléter la liste des techniques par celles qui auraient été omises ou ignorées.

Une liste d’œuvres est proposée en début de dossier dans la partie « Arts en relation avec le volume » :

Il est à remarquer aussi que cette séance et la suivante devraient précéder toutes les séances de géométrie de l’année :

- Elles positionnent la notion de volume par rapport aux productions des élèves et donc à leur notion de l’espace.

- Elles permettent une exploration du monde de l’art.- Elles permettent la différenciation entre les différentes dimensions géométriques : le

point, la ligne (une dimension), la figure géométrique (deux dimensions), le solide et le volume (trois dimensions).

- Elles donnent une cohérence à la programmation en géométrie qui devient une exploration systématique de ces dimensions (caractérisées et représentées par des exemples), qu’elle soit effectuée dans l’ordre ou le désordre.

Cycle 3 Tri d’objets Objectifs du maître

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Différencier figures linéaires, planes et solides.Savoir reconnaître autour de soi les formes des objets quotidiens. Savoir représenter leurs formes. Décrire, comparer des formes avec un vocabulaire explicite.Comparer les propriétés caractéristiques de certaines figures linéaires, planes ou solides.

Lignes, figures planes ou solidesPour explorer les différentes facettes de la découverte des dimensions d’un objet, de ces formes, de son volume, le maître programme un travail en ateliers :

1- Tri d’objets mathématiques « Vous avez devant vous une collection d’objets, pour réaliser un Petit Musée de Géométrie, vous devez les classer pour pouvoir les présenter sur l’étagère. Attention, il faut que tous les objets soient triés / rangés. La fiche proposée représente un échantillon à classer, mais il est nécessaire à ce stade que les élèves manipulent un échantillon représentatif réel permettant d’obtenir un classement selon les dimensions :

- les points : grains de sable, graines fines de fleurs …- les lignes : ficelles, fils de couture, fils métalliques … - les formes / figures planes : feuilles d’arbres, feuilles de

papier, sets de table- les solides : emballages, livres, pots à crayons …

2- Jeu de Kim : Présenter une collection complète d’objets aux élèves.Puis placer l’un d’entre eux discrètement dans un sac et inviter un élève à deviner quel est cet objet en le tâtant à l’aveugle. Nota bene : il ne semble pas possible ici d’utiliser du sable ou des graines fines dans la collection d’objets.

3- Associer les objets présentés dans la collection à des objets usuels / de la vie courante.

Les élèves trient d’abord les objets de la collection présentées puis :- ils découpent des publicités et fabriquent des fiches pour chaque classe d’objets

créée.- Ils donnent un titre à chaque classe créée : la fiche des « points », celle des « fils »,

celles des « plats », celle des volumes » … 4- Jeu de l’intrus

Le maître propose une fiche dans laquelle les objets sont déjà triés mais dont chaque collection comporte un intrus.Aux élèves de retrouver l’intrus et des rétablir la cohérence de chaque classe ou type d’objets.

Nota bene : les élèves utilisent ici une représentation des objets, ce jeu vient donc en

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complément de ceux sur des objets réels. 5- Jeu des paires

La fiche élèves propose des séries de paires qui fonctionnent ou ne fonctionnent pas : c’est une variante du jeu précédent.Il est aussi possible de jouer au jeu classique du mistigri adapté aux dimensions, en appariant les cartes quand elles représentent deux objets de même dimension.

Nota bene : les élèves utilisent ici une représentation des objets, ce jeu vient donc en complément de ceux sur des objets réels.

La formulation lors de la remise en commun porte sur :

Les élèves formulent les critères de tri utilisés selon le langage qu’ils connaissent (usuel, courant ou déjà géométrique) :

- Les dimensions géométriques (les points, les lignes à une dimension, les figures planes à deux dimensions, les solides à trois dimensions)

- Le nom des objets représentés : les points, les lignes (brisées ou courbes, les droites, les étoiles ou lignes sécantes …), les figures planes (carré, cercle, pentagone …), les solides (cube, cylindre, pyramide à base carrée, prisme trapézoïdal …)

- Certains tris des élèves peuvent partir d’autres critères : o les objets ronds ou non, o les objets « pleins ou non (concaves ou convexes), o les objets en couleur ou non (grisés ou blancs …) o des tris par matériauo …

Cycle 3 Représentations des solides. Objectifs du maître (représentation plane d’un polyèdre)Associer une photographie au solide correspondant (individuellement).Identifier d’un polyèdre à partir d’une photo.Utiliser des représentations planes de solides (patrons, perspectives, vues de face, de cote, de dessus, …): - Reconnaître différentes représentations du même objet : perspective plane ou cavalière

de différents points de vue du même objet …- Relier les solides et leurs représentations.

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- Nommer les solides en terme mathématiques.

Notion d’arêtes et de sommets d’un solide.

Comme toujours, ces séances peuvent faire l’objet d’un travail par ateliers avec remise en commun en fin de séance.L’objectif est le même dans les trois cas : travail sur la perspective des solides, la perspective cavalière et la représentation mathématique.

1- Représenter un solide : la perspective

Photographier des objets simples de la vie courante : un pot à crayon, une cuillère, un bloc note cubique, un feutre cylindrique, un grain de sable (bon courage), un rapporteur, une règle, un gros dictionnaire …Varier les angles de prise de vue de chaque objet.

Puis utiliser du papier calque pour dessiner les objets à partir de leurs photos.

2- Squelettes de solides et perspective cavalière Préparer des charpentes de cubes pour les élèves, à partir de pailles (à boire), de bâtonnets (piques à brochettes) ou de jeux de construction. S’ils sont plus âgés, les élèves peuvent les préparer eux-mêmes. Projeter ces charpentes sur une feuille blanche placée sur un écran pour obtenir la perspective cavalière. La redessiner sur la feuille. Une lampe de poche ou le TBI et une feuille suffisent pour obtenir les silhouettes.

Cette activité aboutit dans le même temps à la construction de la charpente des solides, à partir d’un modèle déterminé au départ ou non.Bien sûr, cette activité se décline par groupe en utilisant différents solides de départ : pyramide, prisme triangulaire, pavé ….

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3- Découvrir la représentation mathématique

Jeu de mistigri entre les photos des objets rapportés pour la séance en classe et leurs représentations. Associer chaque objet à sa représentation

La formulation lors de la remise en commun porte sur :

- Le rapport entre ce qu’on voit et ce qu’on ne voit pas : les lignes cachées sur les photos mais qu’on voit encore dans le cas d’une projection de charpente.

- Les différents positionnements d’un même solide et les différentes représentations qui en découlent.

Cycle 3 Description des solidesObjectifs du maître Observer, compter le nombre de faces et de sommets d’un cube.Identifier un polyèdre par le nombre et la nature de ses faces, le nombre de ses arêtes, de ses sommets.- Déterminer des critères de classement pour retrouver les éléments constitutifs d’un solide : face, sommet, arête. - Décrire et distinguer un polyèdre parmi d’autres solides.Vocabulaire : face, arête, sommet

Description mathématique d’un polyèdre : Jeu du « qui est-ce ? »

Un élève A choisit des yeux un polyèdre dans une série.Les élèves posent des questions fermées (réponse oui non) à l’élève A jusqu’à ce qu’ils puissent deviner quel est le polyèdre choisi (cône, cube, cylindre, pyramide, pavé).Le premier qui a trouvé le nom du polyèdre réponse (ou sa lettre représentative, son numéro) prend la place de l’élève A.

Ce jeu se fait à partir de solides réels, puis à partir de leurs représentations cavalières ou imagées.

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Les élèves donnent la réponse dans un premier temps en désignant le solide réponse ou en le nommant par une lettre, mais dans une dernière étape, les élèves doivent pouvoir donner son vrai nom mathématique.

La formulation lors de la remise en commun porte sur :

Le vocabulaire mathématique employé : - Faces, arêtes, sommets - Comptage des éléments du solide (faces, arêtes, sommets)- Formes des faces planes : carré, rectangle, triangle, pentagone, hexagone …- Notion de taille : grand / petit : cette notion devra plus tard laisser place aux mesures.

Cycle 3 Patrons de solides Objectifs du maître Observer, compter le nombre de faces et de sommets d’un cube.Identifier un polyèdre par le nombre et la nature de ses faces, le nombre de ses arêtes, de ses sommets.- Déterminer des critères de classement pour retrouver les éléments constitutifs d’un solide : face, sommet, arête. - Décrire et distinguer un polyèdre parmi d’autres solides.Vocabulaire : face, arête, sommet

Anticiper la position relative des faces d’un cube à partir d’un patron.Observer et compléter un patron (les contraintes sont données) :- Le jeu de commande des faces (patron) ou des arêtes (squelette) Remarquer que des patrons identiques sont superposables, éventuellement par rotation et / ou par retournement.

Reproduire ou construire un polyèdre (mesures comprises) par reproduction de figures usuelles.Construire un solide identique au modèle réel (patron ou squelette).Repérer la forme et le nombre des faces, assembler des faces en contact par des arêtes de même longueur.Fabriquer un cube à partir d’un patron fourni.

Cette séance fait l’objet d’un travail par ateliers avec échange et remise en commun à la fin. Les activités qui portent le même numéro ont le même objectif : le maître peut choisir de ne proposer que l’une ou l’autre aux différents groupes de la classe.

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Construction de patrons 1- Les empreintes de solides

Ces empreintes de solides sont réalisées à l’encre ou sur pâte à modeler. L’objectif est de chercher quelles sont les différentes formes des faces de chaque solide. Cette expérience n’est pas complète car les élèves ne repèrent pas les positions relatives des différentes faces, ni leur nombre.

2- Les pièces de construction des polyèdres L’empreinte de toutes les faces d’un même polyèdre permet de dessiner un patron éclaté de celui-ci : toutes les faces y sont représentées, mais elles ne sont pas positionnées relative ment les unes par rapport aux autres. Cela permet néanmoins de compléter ou de corriger le tableau de l’autre activité n° 2.

2- Nombres et formes des pièces d’un solide Découper des solides pour savoir quelles pièces les composent Découper des solides de différentes manières pour observer les différents patrons possibles Construire, reproduire ou habiller des solides Construire des solides avec des gabarits des faces (carton, polydrons).

3- Reconnaitre le patron d’un solide Il s’agit de reconnaître le patron d’un solide.Dans cette fiche, les critères de distinction entre solides portent surtout

3- Associer un solide et son patron Distinguer les patrons valables d’une figure des « faux » patrons.Cette activité est plus difficile que la précédente, car les élèves doivent prendre en

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sur la forme des faces, et non sur la position relative des différentes pièces.

compte le nombre de pièces de chaque forme et leurs positions relatives.

Sur les positions relatives entre les différentes faces 4- Les différents patrons du cube - Déplier un vrai cube en papier pour en chercher les

différents patrons.- La recherche peut s’effectuer à l’inverse, en dessinant un

patron de six cases puis en vérifiant que plié, il permette la création d’un cube.

Ce travail peut donc être répartie sur plusieurs groupes. Il peut aussi donner naissance au même type de recherche des différents plans des pyramides carrées ou triangulaires, des prismes, des pavés …

4- Repérer les faces d’un cube coloré ou d’un dé.

Cette activité nécessite de positionner de façon relative les couleurs ou les nombres d’un dé.Elle complète donc l’activité précédente, en en proposant une variante plus ludique, peut-être !

Les 11 patrons valables du cube :

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Un jeu d’orientation de cubes les uns par rapport aux autres existe dans les jeux pour enfants. Son but est de reconstituer des photos :- Prendre une photo de la dimension de la

série de cubes utilisés (par exemple 24 cubes) - La coller sur cette face des cubes et la

découper pour que chaque cube « retrouve son indépendance ».

- Prendre une seconde photo et retourner les faces des cubes pour que la nouvelle photo puisse être collée sans recouvrir les morceaux du premier motif. Découper la photo pour que les cubes puissent être manipulés.

- Recommencer l’opération pour que les 6 faces des cubes présentent chacun une partie d’une des six photos.

Le but est de reconstituer chaque photo en manipulant les cubes.Bien entendu, les six photos ne seront jamais visibles en même temps, et l’orientation des morceaux de chaque photo dans le patron de chaque cube n’a ici aucune importance.

Sur internet, un autre jeu sur les positions relatives des faces d’un même cube utilisent des lignes continues : il s’agit de dessiner une ligne sur un patron pour qu’elle soit continue une fois le cube construit.

Le procédé inverse peut servir à la compréhension de la consigne : tracer une ligne continue sur un cube construit puis le découper pour obtenir son patron : observer le fait que le raccord entre certaines lignes se trouve de ce fait interrompu.

L’illustration ci-dessus représente un cube à colorier utilisant le même principe de continuité de ligne. Image empruntée à Rallye Mathom : http://www.mathom.fr/mathom/FeteDeLaScience/FS2005/Description/QuestionsJaunes.htmL’association des professeurs de mathématiques de Lorraine propose aussi des jeux reprenant ces critères : http://apmeplorraine.fr/old/index.php?module=coinjeux&choix=5&dir=12_patrons_colories

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5- Tracer le patron d’un solide

Chercher les différents patrons valides d’un solide (cube, parallélépipède, prisme, pyramide …).

Il s’agit surtout de tracer un patron valide, mais les constatations de la recherche précédente sur les différents patrons d’un même solide seront forcément réinvesties ici. Le travail peut aussi être réparti par groupes selon le solide à construire.

La formulation lors de la remise en commun porte sur :

Définition du patron d’un solide : Le patron d'un solide est le dessin plat (plan) sur une feuille et qui permettra, en le pliant sans superposition, de former ce solide.

Savoir que deux patrons identiques sont superposables, éventuellement par retournement.Savoir qu’un solide peut posséder plusieurs patrons valables.

Cycle 3 Identité des solidesObjectifs du maître Nommer des solides : cube, pave droit, prisme droit, pyramide régulière, cylindre, cône, boule.Vérifier certaines propriétés relatives aux faces ou arêtes d’un solide à l’aide des instruments. Utiliser à bon escient le vocabulaire suivant : cube, parallélépipède rectangle ; sommet, arête, face.Les éléments de vocabulaire associes aux objets et à leurs propriétés (solide, polyèdre, face, arête, polygone, côté, sommet, angle, demi- droite, segment, cercle, rayon, diamètre, milieu, médiatrice, hauteur, s’il y a lieu etc.) sont introduits et utilisés en contexte pour en préciser le sens : jeu du portrait, échange de messages, jeux d’associations (figures, désignations, propriétés, représentations).

Les séances proposées ici gagnent à être mises en place de façon chronologique, le jeu du portrait étant une excellente situation pour la mise en place des notions découvertes précédemment et préparant l’utilisation des programmes de construction.

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1- Jeu du portrait

Rédiger le portrait géométrique d’un polyèdre nommé par une lettre parmi une série.Faire deviner quel est ce polyèdre :- en répondant à des questions en Oui ou

Non, - en lisant un message sur lequel sont

indiquées les données essentielles - en lisant un message incomplet : dire

lesquelles et leurs utilités.

2- Programme de construction d’un solide

Rechercher les mesures d’un polyèdre et élaborer un programme pour le construire :Un élève A choisit un solide.Puis, il invite un de ses camarades (B) à en redessiner le patron pour le reconstruire :- B ne possède pas de modèle visuel- Il doit exécuter les consignes de traçage

mathématique indiquées par l’élève A. Ce jeu peut se jouer en équipe / groupe.

Voir le document sur la galerie des polyèdres de l’Inspection nationale de l’Education nationale de Saint Denis http://www.dsden93.ac-creteil.fr/spip/spip.php?article4561 http://www.ia94.ac-creteil.fr/maths/projet_phare/polyedres/accueil_polyedres.htm Ce site propose de réaliser aussi un dessin continu passant d’une face à l’autre des solides. Cela augmente la difficulté. Chaque maître déterminera lui-même le degré de difficulté de l’activité en fonction de ses objectifs et du niveau de ses élèves.

3- Fiches identités des solides A partir des portraits validés ou complétés, rédiger les fiches d’identité des solides en leur donnant leur nom mathématique.

Elaborer les fiches d’identité des solides en commun : nom, faces et leurs formes, nombre de sommets, d’arêtes.

La formulation lors de la remise en commun porte sur :

Le programme de construction nécessite : - Un vocabulaire mathématique exact

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- Des mesures pour les faces ou les arêtes- Une chronologie de construction- Un choix du matériel et des techniques employées

Ne donner que le nombre d’arêtes, ou de faces, ou de sommets d’un polyèdre est insuffisant pour le reconnaître. Le reproduire exactement nécessite de le mesurer et de le tracer avec des outils géométriques.

Cycle 3 Les mesures des solides Objectifs du maître Reconnaitre, nommer, comparer, vérifier, décrire :- des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples) ;- des solides simples ou des assemblages de solides simples à partir de certaines de leurs propriétés.Réaliser et reproduire des assemblages de cubes et paves droits.Associer de tels assemblages a divers types de représentations (photos, vues…).

Surface d’un polyèdre Le travail s’effectue par groupes :- Un groupe élèves calcule l’aire des patrons proposés sur

fiche, puis construit les solides correspondants et les passe aux autres groupes pour qu’il en calcule les aires.

- L’autre groupe calcule les aires en prenant les empreintes des faces, calcule le total de l’aire des empreintes dessinées et découpe le solide pour retrouver le patron et vérifier ses résultats.

Le travail de remise en commun met en regard les aires trouvées par chaque groupe pour chaque polygone.

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Bien entendu, la fiche gagnera à être agrandie, et l’aire peut être calculée en cases (chaque case correspond à 1 cm2) et non en cm2 dans un premier temps pour plus de facilité.

La formulation lors de la remise en commun porte sur :

La surface d’un polyèdre est égale à la surface de son patron. Elle se calcule en additionnant chacune des surfaces de ses parties.

Assemblages de cubesCe travail initie les élèves à la notion de volume.

Assembler le même nombre de cubes différemment

Cet exercice permet de distinguer la notion de volume et la notion de forme : deux solides peuvent avoir le même volume même s’ils n’ont pas la même forme.

Compter les cubes d’un assemblageCet exercice sous-entend qu’il n’y a pas de cubes dissimulés autre que ceux nécessaires à la construction figurée : premier étage de cubes, cubes visibles par une face …

Exemple : Plusieurs façons d’assembler quatre cubes

La formulation lors de la remise en commun porte sur :

Le volume d’un polyèdre est égal au nombre d’unité de volume qui permettent de le remplir.

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Distinguer volume et surface

Les assemblages proposés présentent pour certains la même mesure de volume, sans avoir la même mesure de surface. Pour obtenir un assemblage de même volume qu’un assemblage « référence » mais de surface différente, il suffit tout simplement de changer les cubes qui le composent de place.

Les mesures de surface sont exprimées en cases, les mesures de volume en cubes.S : (4 x 9) + (2 x 8) + (2 x 5) = 62 casesV : 9 + 2 = 11 cubes

S : (4 x 9) + (4 + 16 + 3 + 4) + (8 + 9) = 70 V : 9 + 4 + 3 = 16

S : (4 x 4) + 12 + 10 = 38 V : 4 + 3 + 2 = 9

S : (4 x 4) + 10 + 8 = 34 V : 4 + 3 = 7

S : (4 x 4) + 21 + 9 = 46 V : 4 + 2 + 4 + 1 = 11

S : (3 x 4) + 8 + 16 + 12 = 48 V : 4 + 4 + 2 + 1 = 11

S : (4 x 9) + 25 + 17 = 78 V : 9 + (3 x 3) = 18

S : (4 x 9) + 15 + 13 = 64 V : 9 + 3 = 12

La formulation lors de la remise en commun porte sur :

Cette activité est une mise en comparaison des deux activités précédentes. Elles visent à montrer que :- Deux objets peuvent avoir la même empreinte pour une de leurs faces sans avoir la

même surface totale.- Deux objets peuvent avoir la même mesure de surface sans avoir le même volume- Deux objets peuvent avoir le même volume sans avoir la même surface.

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