4 lentilles sphériques minces

Plan détaillé

A - les propriétés générales

1- les définitions a- Les caractéristiques géométriquesUne lentille est un milieu transparent limité par deux calottes sphériques (ou une calotte sphérique et un plan).

b- La classification physique

2- le centre optiqueTout rayon passant par le centre optique d’une lentille mince (convergente ou divergente) traverse la lentille sans subir de déviation.

3- l’obtention d’images nettes (conditions de Gauss)Une lentille ne donne d’images nettes que :─ si elle est diaphragmée (rayons traversant la lentille à une petite distance de l’axe); ─ si l’objet est de petite dimension;─ si l’objet se trouve au voisinage de l’axe (rayons peu inclinés sur l’axe).

B – les lentilles convergentes

1- foyers. plans focaux. distance focale.

a- Les deux foyers principaux● Tout rayon incident parallèle à l’axe principal émerge de la lentille en passant par le foyer principale image.● Tout rayon incident qui passe par le foyer principal objet émerge de la lentille parallèlement à l’axe principal.

b – Les foyers secondaires et les plans focaux● Tout rayon incident parallèle à un axe secondaire OF’1 émerge de la lentille en passant par le foyer secondaire image F’1.● Tout rayon incident qui passe par un foyer secondaire objet F1 émerge de la lentille parallèlement à l’axe secondaire F1O.

c – La distance focale

La distance f d’un plan focal à la lentille s’appelle distance focale.

1 2 – construction géométrique des images a – Image d’un objet ponctuelle b – Image d’un objet étendu

2 3 – variations des caractéristiques de l’image en fonction de la position de l’objet a – L’objet est réel b – L’objet est virtuel

4 – les formules des lentilles convergentes (Descartes) a – La relation de position b – La relation de grandissement

C – les lentilles divergentes

1- les foyers et les plans focaux sont virtuels● Tout rayon incident parallèle à l’axe principal, émerge de la lentille comme s’il venait du foyer principal image F’.● Tout rayon incident dont le support passe par le foyer principal objet F, émerge de la lentille parallèlement à l’axe principal.

● Tout rayon incident parallèle à un axe secondaire, émerge comme s’il provenait du foyer image virtuel situé sur cet axe.● Tout rayon incident qui se dirige en direction d’un foyer secondaire objet virtuel, émerge parallèlement à l’axe secondaire qui le porte.

3 2- la construction géométrique des images a – Image d’un objet ponctuel b – Image d’un objet étendu

4 3- variation des caractéristiques de l’image en fonction de la position de l’objet a – L’objet est réel b – L’objet est virtuel

4- les formules des lentilles divergentes(Descartes) a – La formule de position b – La formule de grandissement

D – la vergence des lentilles minces

1- la définition de la vergenceLa vergence d’une lentille est l’inverse de sa distance focale.- Une lentille convergente a une vergence positive, ou convergence, V > 0.- Une lentille divergente a une vergence négative, ou divergence, V < 0.

2- l’expression de la vergence

Questions développées

1 la construction géométrique des images

a – Image d’un objet ponctuel sur l’axe● Le point- objet est réel.- Soit P le point lumineux considéré. Pour déterminer son image, il suffit de trouver le point P’ où se coupent les supports de tous les rayons émergents qui proviennent de P.Remarque ─ Deux de ces rayons suffisent à la construction, et il est tout indiqué de les choisir parmi ceux dont nous connaissons déjà la marche.Nous prendrons par exemple :

─ le rayon PI qui passe par le foyer secondaire objet F1, émerge parallèlement à l’axe secondaire F1O relatif à ce foyer secondaire F1;─ le rayon PO qui suit l’axe principal passe par le centre optique et ne subit aucune déviation.La rencontre des rayons émergents IP’ et OP’ détermine l’image P’ de P.Comme les rayons de sortie sont convergents, l’image P’ est réelle (on peut la recevoir sur un écran).Un faisceau lumineux divergent qui émane de P se réfracte à travers la lentille qui le transforme en un faisceau convergent de sommet P’.● Le point-objet est virtuel.- Soit P un point image réel donné par un système optique quelconque. L’interposition de la lentille mince convergente empêche l’arrivée des rayons au point de convergence P qui devient objet virtuel pour la lentille.Parmi les rayons qui se coupaient en P avant l’interposition de la lentille :─ le rayon XO qui suit l’axe principal passe par le centre optique O et ne subit aucune déviation;─ le rayon YI dont le support passe par P et par le foyer secondaire objet F1, émerge parallèlement à l’axe secondaire F1O relatif à ce foyer secondaire F1.L’image de P est P’, intersection effective des rayons émergents I P’ et OP’. Cette image est donc réelle.Un faisceau lumineux convergent de sommet virtuel P, se réfracte à travers la lentille qui le transforme en un faisceau convergent de sommet réel P’.

2 b – Image d’un objet étendu● L’objet est réel.- Soit à construire l’image de l’objet AB. Il suffit de construire B’, image de B, et d’abaisser de B’ la perpendiculaire B’A’ sur l’axe principal.Parmi les rayons émanés de B, on considère :─ le rayon BI, parallèle à l’axe principal, qui émerge en passant par le foyer principal F’;─ le rayon BO, passant par le centre optique, qui traverse la lentille sans être dévié.A titre de vérification, nous pouvons encore tracer le rayon BF qui émerge parallèlement à l’axe principal; il doit couper les deux autres en B’. Cette construction géométrique conduit à distinguer deux cas :1o) L’objet est en avant du plan focal objet.- Alors, le point B’ est effectivement sur les rayons émergents; l’image est du coté de la lumière émergente, elle est réelle et renversée.Un faisceau divergent, issu de B (objet réel) est transformé par le passage à travers la lentille en un faisceau convergent en B’ (image réelle).2o) L’objet est entre la lentille et le plan focal objet.- B’ est alors sur les prolongements des rayons émergents; l’image est située du même coté que l’objet par rapport à la lentille; elle est virtuelle, droite et toujours plus grande que l’objet.Si on regarde à travers la lentille, on voit cette image virtuelle. C’est ainsi que fonctionnent les verres de presbytes et les loupes.Un faisceau divergent, issu de B (objet réel) est transformé par le passage à travers la lentille en un faisceau divergent de sommet B’ (image virtuelle).● L’objet est virtuel.- Formons une image réelle AB au moyen d’un système optique quelconque puis interposons une lentille mince convergente L entre le système et AB : cette image disparait, devenant un objet virtuel pour la lentille L qui l’empêche de se former.Parmi les rayons qui se coupaient en B;─ le rayon XI, parallèle à l’axe principal et dont le prolongement passe par B, se réfracte en passant par le foyer image F’;─ le rayon FJ, qui passe par le foyer principal objet et dont le prolongement passe par B, se réfracte parallèlement à l’axe principal;

─ le rayon YO, qui continue en ligne droite, doit passer par B’, intersection des deux autres rayons réfractés.Nous constatons qu’une lentille convergente mince donne, d’un objet virtuel, une image qui est toujours réelle, située entre la lentille et le plan focal image, droite et plus petite que l’objet.Un faisceau lumineux qui irait converger au point B (objet virtuel), se trouve arrêté par la lentille et transformé en faisceau convergent de sommet B’ (image réelle).

O B J E T I M A G E

1. Réel, à l’infini, de diamètre apparent .

Réelle, dans le plan focal, renversée. A’B’ f .

2. Réel, entre l’infini et 2f.

Réelle, renversée, plus petite; entre f et 2f.

3. Réel, à 2f. Réelle, renversée, égale; à 2f.

4. Réel, entre 2f et f Réelle, renversée, plus grande; entre 2f et l’infini.

5. Réel, dans le plan focal.

A l’infini, de diamètre apparent ’ ABf.

6. Réel, entre F et O Virtuelle, droite, plus grande; entre l’infini et O.

7. Réel, sur la lentille.

Virtuelle, coïncide avec l’objet.

8. Virtuelle, entre O et l’infini

Réelle, droite, plus petite; entre O et F’.

3 la construction géométrique des images

a – Image d’un objet ponctuel sur l’axe● Le point-objet est réel.- Soit P le point lumineux considéré. Nous prendrons par exemple :─ le rayon PO, passant par le centre optique, ne subit aucune déviation;─ le rayon PI, parallèle à l’axe secondaire X’O, émerge suivant IS en semblant venir du foyer secondaire image F’1. La rencontre des prolongements des deux rayons émergents, en sens inverse de la propagation de la lumière, donne l’image virtuelle P’ du point P.Un faisceau lumineux divergent de sommet P, sortirait de la lentille suivant un faisceau divergent dont le sommet serait le point P’ (point virtuel).● Le point-objet est virtuel.- Formons une image réelle P au moyen d’un système optique quelconque, puis interposons une lentille mince divergente entre le système et P : cette image disparait, devenant un objet virtuel pour la lentille qui l’empêche de se former.Parmi les rayons qui se coupaient en P avant l’interposition de la lentille :─ le rayon XO qui passe par le centre optique n’est pas dévié;─ le rayon YI, parallèle à l’axe secondaire ZO, émerge comme s’il venait du foyer secondaire image F’1.La rencontre des supports des rayons émergents donne l’image P’ du point objet virtuel P.Nous devons distinguer deux cas :1o) Le point-objet virtuel est au-delà du plan focal objet. – L’image P’ est alors sur le prolongement des rayons émergents. Elle est donc virtuelle et de l’autre côté de la lentille.Un faisceau lumineux qui irait converger au point-objet P (objet virtuel) se trouve arrêté par la lentille et transformé en faisceau lumineux divergent de sommet P’ (image virtuelle).2o) Le point-objet virtuel est entre la lentille et son plan focal objet.- Alors, le point P’ est effectivement sur les rayons émergents. L’image P’ est donc réelle et du même côté que l’objet.Un faisceau lumineux qui irait converger au point P (objet virtuel),

est transformé, par la lentille, en faisceau lumineux convergent de sommet P’ (image réelle).  

4 b– Image d’un objet étendu● L’objet est réel.- Considérons par exemple le cas de l’objet réel AB. Utilisons :─ le rayon BI, parallèle à l’axe principal, se réfracte comme s’il venait du foyer principal image F’;─ le rayon BJ, dirigé vers le foyer principal objet F, sort parallèlement à l’axe principal.Les prolongements de ces deux rayons réfractés se coupent en B’.A titre de vérification, nous pouvons encore tracer le rayon BO qui passe par le centre optique : ce rayon n’est pas dévié et passe par B’.L’image A’B’ est donc virtuelle, droite, plus petite que l’objet, située entre le plan focal image et la lentille.Un faisceau lumineux divergent issu de B (objet réel) est transformé par le passage à travers la lentille en un faisceau divergent de sommet B’ (image virtuelle).● L’objet est virtuel.- Formons une image réelle AB au moyen d’un système optique quelconque, puis interposons une lentille mince divergente entre le système et AB : cette image disparait, devenant un objet virtuel pour la lentille qui l’empêche de se former.Parmi les rayons qui se coupaient en A avant l’interposition de la lentille :─ le rayon XO, passant par le centre optique et par A, n’est pas dévié;

─ le rayon YI, parallèle à l’axe principal et visant A, émerge comme s’il venait du foyer principal image F’ de la lentille.Les supports des rayons XO et YI se coupent au point A’, qui constitue l’image du point-objet virtuel A’.Nous devons maintenant distinguer 2 cas :1o) Objet virtuel au-delà du plan focal objet.- La construction de A’ montre que l’image A’B’ est ici virtuelle, de l’autre côté de la lentille et reversée; elle peut être :

─ A’B’ > AB si p < 2f;─ A’B’ = AB si P = 2f;

─ A’B’ < AB si P > 2f.Un faisceau lumineux qui irait converger au point A (objet virtuel), est transformé, par la lentille, en faisceau lumineux divergent de sommet A’ (image virtuelle).2o) Objet virtuel entre la lentille et le plan focal objet.- Le point A’ est effectivement sur les rayons émergents; l’image A’B’ est donc réelle, du même côté que l’objet, droite et plus grande que l’objet.Un faisceau lumineux qui irait converger au point A (objet virtuel) est transformé, par la lentille, en faisceau lumineux convergent de sommet A’ (image réelle). Remarque ─ Si l’objet virtuel se trouve dans le plan focal objet, les rayons émergents sont parallèles : il n’y pas d’image dans ce cas; on dit qu’elle est rejetée à l’infini.Inversement, quand l’objet réel se trouve à l’infini, son image virtuelle se trouve dans le plan focal image.

O B J E T I M A G E

1. Réel, entre l’infini et O Virtuelle, droite, plus petite; entre F’ et O.

2. Virtuel, entre O et F Réelle, droite, plus grande; entre O et l’infini.

3. Virtuel, en F. A l’infini, de diamètre apparent ’ AB f.

4. Virtuel, entre F et l’infini

Virtuelle, renversée; entre l’infini et F’.

Exercices types

1 ─ Derrière une lentille convergente L, on dispose un miroir plan M perpendiculaire à l’axe principal de la lentille en F. La face réfléchissante du miroir est tourné du coté de la lentille. Les rayons lumineux traversent la lentille L, se réfléchissent sur le miroir M et retraversent L. 1o) – Figurer la marche d’un rayon lumineux quelconque traversant le système. Montrer qu’il émerge de L parallèlement au rayon incident.2o) – Étudier les deux cas particuliers suivants :

a) – le rayon incident est parallèle à l’axe;b) – le rayon incident passe par F’, symétrique de F par rapport à la

lentille.─3o) – Utiliser l’étude du 2o pour construire l’image d’un petit objet AB, perpendiculaire à l’axe, situé à une distance p>2f devant la lentille.

Solution1o) – Un rayon quelconque XI parallèle à l’axe secondaire Δ se réfracte en passant par le foyer secondaire placé sur cet axe. Il est réfléchi par le miroir M suivant F1I’, symétrique de F1I par rapport à la normale au point d’incidence F1 (2de loi de la réflexion). Or F1I’ passe par le

foyer secondaire F1. Il émerge donc de la lentille parallèlement à Δ, et aussi à XI.2o) – a) – Le rayon XI, parallèle à l’axe principal de L, se réfracte suivant IF en passant par le foyer principal F. Le rayon réfléchi FI’, passant par F, émerge de la lentille parallèlement à l’axe principal. b) – Le rayon XF’I, passant par le foyer principal F’, émerge de la lentille L parallèlement à l’axe principal. Rencontrant le miroir M en I’ sous une incidence nulle, le rayon II’ est réfléchi sur lui-même parallèlement à l’axe principal de la lentille L et par conséquent repasse par le foyer principal F’. 3o) – Pour construire l’image de AB, remarquons d’abord que B a son image B’ sur l’axe principal. L’image A’ de A est au point de rencontre des deux rayons (1 ) et(2 ), après qu’ils ont traversé la lentille L et se sont réfléchis sur le miroir M. L’image A’B’ de AB est réelle, reversée et plus petite que l’objet AB.

2 – Étant donné un objet ponctuel A et un écran E séparés par une distance d, montrer qu’il existe entre eux deux positions à donner à une lentille convergente L, de distance focale f, telles que l’image de l’objet se forme sur l’écran E. Discuter.Applications : d = 1,60m ; f = 0,30m.SolutionConsidérons la lentille de centre optique C et de foyers F et F’.

Soit un point A sur l’axe. Pour que son image puisse être reçue sur un écran, A doit être à gauche de F. Si A est situé entre F et le point Q d’abscisse |2f |, son image est à droite du point Q’ d’abscisse |2f |.Nous voyons donc que la distance d entre l’objet et l’écran est limitée inférieurement.Avec les conventions et notations adoptées, nous aurons : AA’ = d = p + p’,et par suite : p’ = d – p.La relation de conjugaison de Descartes pour les lentilles sphériques minces s’écrit :

1p+ 1d−p

=1f∙

D’où : P2 – pd + df =0 .Cette équation n’a de racines que si d2 – 4df ≥ 0 ou d ≥ 4f. Nous trouvons ainsi qu’il y a deux positions possibles de la lentille si d > 4f. Elles sont à une distance de A donnée par :

p=+d ±√d2−4 fd2

∙

Si d = 4f, il n’y a qu’une position : d/ 2 ; elle est au milieu du segment qui joint A à A’.Application numérique   : Les distances de la lentille à A sont :

P1 =1,6+0,82 = 1,2 m, et p2 = 1,6−0,8

2 = 0,4 m.Dans le 1er cas l’image est à p’1 = 0,4m et le grandissement est γ1 = - 1/3. Dans le 2d cas l’image est à p’2 = 1,2m et le grandissement est γ2 = -3.La distance des deux positions de la lentille est 0,8 m.Exercices avec réponses1 – Un faisceau lumineux vient former une image réelle, haute de 6mm, sur un écran. A 30cm en avant de cet écran, on place une lentille convergente L de 15cm de distance focale. Déterminer la nature, la position et la grandeur de l’image.■ Image réelle, droite, de 2mm, à 10cm de L.

2 – Avec une lentille convergente, de 10cm de distance focale, on veut obtenir d’un petit objet plan une image réelle 3 fois plus grande que cet objet. Où faut-il placer celui-ci ? Où se forme l’image ?■ p ≈ 13cm; p’ = 40cm.

3 – On veut obtenir, sur un écran situé à 2m d’un objet, une image réelle 4 fois plus grande que cet objet, Quelle est la distance focale de la lentille qu’il faut prendre et où faut-il la placer ?■ f = 32cm; p = 40cm; p’ = 160cm.

4 – L’axe d’une lentille convergente, de distance focale 10cm, est dirigé vers le centre du Soleil. Sachant que le diamètre apparent du Soleil est 32’, on demande de calculer la grandeur de l’image qu’en donne la lentille.■ 0,9mm.

5 – Comment faut-il placer, par rapport à une lentille convergente de 75cm de distance focale, un objet et un écran rectangulaire, pour que l’image de l’objet donnée par la lentille recouvre exactement l’écran ?Dimensions du rectangle objet : 3 et 4cm.Dimensions du rectangle écran : 18 et 24cm.■ p = 87,5cm; p’ = 525cm.

6 – Un objet et un écran sont distants de 50cm. Lorsqu’on place entre eux une lentille convergente, on obtient une image nette sur l’écran pour deux positions de la lentille distantes de 10cm, En déduire la distance focale de la lentille.■ f = 12cm.

7 – Deux lentilles convergentes ayant même distance focale 10cm sont séparées par 10cm. On veut obtenir d’un objet une image réelle 5 fois plus grande que l’objet lui-même. Comment doit-on placer l’objet et l’écran destiné à recevoir l’image ?■ p = 2cm; p’= 50cm.

8 – Un système optique est formé de deux lentilles convergentes identiques L et L’, de 1m de distance focale chacune, situées à 50cm l’une de l’autre et ayant le même axe principal. Ce système est dirigé vers le Soleil. Sur un écran normal à l’axe principal et placé derrière ce système, on reçoit une image réelle du Soleil. Sachant que le diamètre du Soleil est 32’, déterminer la position et la grandeur de l’image solaire.■ 33cm environ derrière L’; 0,6cm environ.

Exercices types supplémentaires 1 – On place sur le même axe, à 16cm l’une de l’autre, une lentille convergente de 20cm de distance focale et une lentille divergente dont la distance focale est de 6cm. On demande la grandeur et la position de l’image du Soleil, de diamètre apparent 32’, donnée par le système, La lumière traverse successivement la lentille convergente puis la lentille divergente.

SolutionL’objet (le Soleil) étant très éloigné, son image se formera dans le plan focal de la lentille convergente L1. La grandeur de cette image serait :

AB ≈ f1٠ α ≈ 20 ٠ 32 ٠ 3 ٠ 10-4 = 192 ٠ 10-5 m = 0,192cm.Cette image joue le rôle d’objet virtuel pour la lentille divergente L2. L’objet virtuel étant situé à p = 20 – 16 = 4cm de la lentille L2, celle-ci en donne une image A’B’ dont la position, la nature et la grandeur sont données par les relations de Descartes pour les lentilles minces :

−1p

+ 1p'

=−1f,

−14

+ 1p'

=−16 ⇒ p’= 12 cm .

Et : γ=−p 'p

=−12−4

=¿ 3 |A’B’| = AB ٠ γ = 0,192 ٠ 3 = 0,576 ≈ 0,6cm.L’image du Soleil donnée par le système est réelle, reversée, à 12cm de L2 et sa longueur est 0,6cm environ.

2 – Une lentille convergente de 10cm de distance focale est située à 15cm d’un objet de 2cm de hauteur. Trouver la nature, la position et la grandeur de l’image.On intercepte les rayons émergeant de la lentille au moyen d’une lentille divergente, de 10cm de distance focale, placée à 22cm de la première lentille. Indiquer la nature, la position et la grandeur de l’image définitive.Calculer la distance focale d’une lentille convergente qui donnerait du même objet une image de même grandeur que le système précédent.

SolutionLes relations de Descartes pour les lentilles sphériques minces donnent :

─ position : 115

+ 1p '1

= 110 ⇒ p’1 = 30 cm .

─ grandissement : γ1 ¿− p '1p1=−30

15 ⇒ γ1 = −¿2

L’image A’B’ de AB est réelle, renversée par rapport à AB, située à 30cm de la lentille convergente L1 et 2 fois plus petite que AB. L’interposition de la lentille divergente L2 empêche cette première image de se former. Elle devient donc un objet virtuel pour L2. La distance de A’B’ à L2

étant p2 = 30 – 22 = 8cm, la lentille en donne une image A’’B’’ telle que :−18

+ 1p' 2

=−110 ⇒ p’2 = 40 cm .

Le grandissement de L2 étant  : γ2=p' 2p2

=−40−8

=¿ 5.La grandeur de l’image définitive A’’B’’ serait :

A’’B’’ = AB ٠ γ1 ٠ γ2A’’B’’ = 2 ٠ (-2) ٠ (+5) = 20cm A’’B’’ = 20cm.L’image définitive est réelle et se trouve à 40cm de L2. Elle est renversée par rapport à l’objet et mesure 20cm.

Puisque la lentille unique doit donner une image de même grandeur que le système précédent, on peut écrire :|γ| = p 'p =20

2 = 10 et p’ = 10p.Or, on sait que : p + p’ = 77.D’où : p + 10p = 77et p = 7cm; p’ = 70cm.La distance focale f de la lentille unique convergente serait :

1f=¿ 1

7+¿ 1

70 D’où : f ≈ 6,4cm.Exercices avec réponses1 – Un objet virtuel situé à 12cm d’une lentille divergente, donne une image réelle à 48cm de cette lentille. Quelle est la distance focale de la lentille ? Que devient l’image si on augmente de 8cm la distance de l’objet virtuel à la lentille ?■ f = - 16cm; - 80cm.

2 – On veut qu’une lentille donne, d’un objet situé à 1m, une image virtuelle à 80cm devant cet objet. Quelle doit être la distance focale de la lentille ?■ f = - 25cm.

3 – On fait former une image réelle sur un écran. En avant de celui-ci, on interpose une lentille et on constate qu’on obtient une nouvelle image réelle, 2 fois plus grande que la première, à condition de reculer l’écran de 20cm. Quelles sont la nature, la position et la distance focale de la lentille utilisée ?■ f = -40cm; p = -20cm; p’ = 40cm.

4 – Un dispositif optique donne une image réelle AB, de longueur 1cm, qui joue le rôle d’objet pour une lentille L. On veut que l’image A’B’ donnée par L soit réelle, qu’elle ait 3cm de longueur et que la distance BB’ de l’objet à l’image soit de 80cm. Déterminer la nature, la position et la distance focale de la lentille L.■ a) f = 15cm; p = 20cm; p’ = 60cm. b) f = -60cm; p = - 40cm; p’ = 120cm.Pour une culture Lentille de FresnelDans les phares, il faut obtenir un faisceau suffisamment large de rayons parallèles. Pour remédier à l’aberration de sphéricité, Fresnel utilisa le premier les lentilles à échelons : elles se composent d’une lentille centrale plan-convexe et d’une série de couronnes concentriques. Le montage de ces couronnes est fait de manière que les rayons, venant de la source lumineuse F, émergent

parallèlement à l’axe principal de la lentille centrale.