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Aberrationchromatique d’unelentille mince

Olympiades de la Physique 2004 – 2005.

Elèves : Barbe Antoine, Philippe Antoine,

Ilic Dejan.

Professeur responsable : Jussiaux Jean-Michel.

Conseillers scientifiques : Obert Dominique, Van Labeke Daniel.

Fig 1. Document Canon

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Aberration chromatique d’une lentille mince convergente ; correction par une lentille diffractive.

Olympiades de la Physique 2004 – 2005.

Elèves : Barbe Antoine, Philippe Antoine, Ilic Dejan. Professeur responsable : Jussiaux Jean-Michel. Conseillers scientifiques : Obert Dominique, Van Labeke Daniel. Résumé :

Les lentilles réfractives présentent, entre autres défauts, une aberration chromatique due au fait que le verre est un milieu dispersif, dans lequel la lumière a une vitesse de propagation qui dépend de sa longueur d’onde. Les lentilles diffractives présentent une aberration chromatique de sens opposé, due aux phénomènes de diffraction et d’interférences auxquels elles donnent lieu.

Nous réalisons, par impression sur un transparent, une lentille diffractive, réseau de Soret, que nous associons à une lentille réfractive, dans le but de corriger l’aberration chromatique. Dans un premier temps, nous multiplions les essais infructueux, nous testons divers montages, divers objets lumineux, divers réseaux de Soret et divers filtres. Les images sont peu visibles, les mesures difficiles, les résultats obtenus ne correspondent pas du tout à ce que nous attendions. Dans notre impatience, nous faisons varier trop de paramètres simultanément, nous oublions de noter des informations indispensables. Nous recherchons par essais successifs une lentille diffractive qui corrigerait l’aberration chromatique de la lentille réfractive, sans succès.

Puis nos recherches théoriques nous conduisent à une propriété des réseaux, nommée blaze, ou éclat. En recommençant nos mesures, nous découvrons, que les lentilles diffractives que nous avons réalisées ont plusieurs foyers. De même que leur association avec une lentille réfractive.

Nous trouvons par le calcul les caractéristiques de la lentille diffractive qui doit être utilisée et nos dernières expériences montrent que nous sommes parvenus à une correction de l’aberration chromatique, en employant l’ordre –1 de la lentille diffractive. Par contre, notre lentille diffractive n’étant pas blazée possède plusieurs foyers qui brouillent l’image.

Nous mettons finalement au point, avec des prismes en crown et flint, ainsi que des réseaux linéaires, des expériences qui montrent les principes physiques mis en jeu dans la correction de l’aberration chromatique, par la méthode classique (doublet achromatique crown flint) et par la méthode nouvelle (crown plus réseau).

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Sommaire

Lentille mince convergente, réfraction de la lumière, aberration chromatique........................................................................................................................ 4 Indices de réfraction de matériaux courants, valeurs moyennes dans le visible....................... 4 Indices d’autres verres optiques communs ............................................................................... 5 Calcul de la correction de l’aberration chromatique par la méthode classique du doublet achromatique ......................................................................................................... 6 Méthode employée pour la réalisation de nos lentilles diffractives ....................... 8 Vérification des propriétés de la lentille diffractante imprimée.............................. 9 Le blaze serait-il en cause ? ............................................................................................ 10 Mise en évidence expérimentale des différents ordres de la lentille diffractive..................... 11 Association lentille réfractive, lentille diffractive, différents ordres ...................................... 12 Calculs .................................................................................................................................. 13 Calcul de la lentille diffractive ............................................................................................... 13 Rayon des anneaux ................................................................................................................. 13 Calcul de la correction de l’aberration chromatique............................................................... 14 Expériences d’association de lentilles réfractive et diffractive ...................................... 15 Mesures.................................................................................................................................. 15 Association lentille réfractive de 3 dioptries, lentille diffractive de 5,4 m de focale pour l’ordre –1, photographies .................................................................................................... 16 Applications ........................................................................................................................ 18 Conclusion........................................................................................................................... 19

Aberrations chromatiques

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Tout a commencé avec la lecture d’une publicité de la firme Canon annonçant la mise sur le marché mi 2001, de la version commerciale du premier « Elément Optique

Diffractif Multicouches » pour objectif photographique (figure 1). Nous avons alors décidé d’en savoir plus et d’essayer de réaliser par nous-mêmes un montage basé sur les

mêmes principes physiques.

Lentille mince convergente, réfraction de la lumière, aberration chromatique Raisonnement avec le modèle du rayon lumineux

La courbure des faces de la lentille convergente, plus épaisse au milieu que sur les bords et le fait que son indice de réfraction de la lumière n soit supérieur à 1, c’est à dire le fait que la lumière se déplace moins vite dans le verre que dans l’air, conduisent à une brisure des rayons lumineux qui frappent la lentille, appelée phénomène de réfraction. Cela entraîne que des rayons incidents parallèles à l’axe optique convergent en un point F’ de celui-ci, appelé foyer.

La vergence réfractive f1C=

d’une lentille mince dépend de ses deux rayons de courbure et de

l’indice n du verre employé, selon la relation)R

1R1()1n(C

21+−=

, appelée formule des opticiens, où R1 et R2 sont les rayons de courbure des faces de la lentille, comptés positivement si ces faces sont convexes.

Aberration chromatique L’indice n = c / v (rapport de c, célérité de la lumière dans le vide, à la célérité v de la lumière dans le verre) varie avec la longueur d’onde de la lumière employée. Il est plus élevé pour le bleu, que pour le rouge. La lumière bleue va donc moins vite dans le verre que la lumière rouge. Ce phénomène est appelé dispersion de la lumière. Une lentille mince est donc plus convergente en lumière bleue qu’en lumière rouge. C’est l’aberration chromatique.

Nous aurions pu tout aussi bien raisonner en terme d’ondes. Des rayons parallèles (optique géométrique) correspondent à des surfaces d’onde planes (optique ondulatoire). Une onde plane frappant une lentille convergente se déplace moins vite dans la zone centrale de cette lentille. A la sortie de la lentille, la surface d’onde est devenue une portion de sphère centrée sur le foyer image et qui y converge. Longueurs d’ondes en fonction de la couleur de la lumière Couleur Rouge Rouge

clair Jaune Vert Bleu vert ou

Cyan Bleu sombre

Longueur d’onde en nm

687 656 589 527 486 431

Nom de la raie B C D E F G Indices de réfraction de matériaux courants, valeurs moyennes dans le visible Matériau Air Eau Verre crown Verre au plomb Plexiglas Indice 1,0003 1,33 1,52 1,90 1,50

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Dispersion d’un verre crown, d’après un livre de Physique Couleur Bleu sombre F, Cyan D, Jaune C, Rouge clair Rouge sombreLongueur d’onde en nm

434 486 589 656 768

Indice 1,528 1,523 1,517 1,514 1,511

1,51

1,515

1,52

1,525

1,53

0 200 400 600 800 1000Longueur d'onde en nm

indice n

Fig 2.

Indices d’autres verres optiques communs Type de verre F, cyan, 486,1 nm D, jaune, 587,6 nm C, rouge clair, 656,3 nm BK 7 n = 1,522 n = 1,516 n = 1,514 F 1 n = 1,632 n = 1,620 n = 1,615 Le BK 7 a les mêmes indices que le type crown du tableau précédent. Le F1 est un flint. L’indice augmente du rouge vers le bleu, c’est à dire quand la fréquence de l’onde lumineuse augmente et que sa longueur d’onde dans le vide diminue. Cela est dû au fait que les fréquences de la lumière visible sont inférieures et proches d’une fréquence d’absorption du

verre, située dans l’ultraviolet. La vergence réfractive)R

1R1()1n(C

21R +−=

est fonction affine de l’indice n, et n’est donc, selon la figure 2, qu’approximativement fonction affine de la longueur d’onde.

Une lentille mince convergente donne donc, d’un objet lumineux coloré ou blanc, une image dans le bleu plus proche de la lentille que l’image dans le rouge. Cela se traduit par des irisations sur les bords de l’image, surtout autour des zones lumineuses, et une perte de netteté. Dans le sens de propagation de la lumière, les images nettes seront dans l’ordre bleu, vert, rouge.

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Voyez la photographie en page 3, réalisée à l’aide d’un appareil photographique numérique, présentant nettement le phénomène d’aberration chromatique, particulièrement visible le long des reflets brillants sur l’eau.

L’aberration chromatique sera délicate à mesurer à cause de la latitude de mise au point (phénomène de même nature que la profondeur de champ) due au faible diamètre de la lentille mince. Nous effectuerons donc plusieurs mesures et en calculerons la moyenne. Calcul de la correction de l’aberration chromatique par la méthode classique du doublet achromatique

Associons à une lentille convergente en BK7, de vergence 6,9 δ (dans le jaune), une lentille divergente en F1 de vergence –3,9 δ ; l’association (les deux lentilles sont supposées minces et accolées) a une vergence de +3 δ. Le F1 étant plus dispersif, les deux aberrations chromatiques se compensent. Il s’agit d’un doublet achromatique. La simulation sous Excel donne respectivement pour le cyan (486 nm), le jaune (588 nm) et le rouge clair (656 nm) des vergences de 3,0047 puis 3,0000 et 3,0047. Au lieu de 3,0349 puis 3,0000 et 2,9884 pour une lentille en BK7 de 3 dioptries, soit 0,16 % de variation (avec repliement des couleurs et correction incomplète de l’aberration chromatique) au lieu de 1,6 %.

L’inconvénient est que l’ensemble est moins convergent que la seule lentille convergente. L’objectif sera donc plus encombrant et plus lourd. La lentille convergente devant l’être plus (6,9 δ au lieu de 3 δ), cela introduira plus d’aberration de sphéricité (voir page 7).

Vergence du doublet achromatique

2,9983

3,0023,0043,006

0,00E+00 2,00E-07 4,00E-07 6,00E-07 8,00E-07Longueur d'onde en m

Ver

genc

e en

di

optri

e

Fig 3.

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Fig 4. Document Canon.

Une autre idée, est d’associer une lentille convergente réfractive en verre, à une lentille convergente diffractive, dont l’aberration chromatique est de sens inverse. La lentille diffractive étant très mince et convergente, les inconvénients cité plus haut disparaissent. Mais il y a une quantité non négligeable de lumière défocalisée dans les ordres non désirés qui brouille l’image ; la réalisation de cette lentille est difficile.

Fig 5. Document Canon

Réalisation et étude d’une lentille diffractive Les lentilles diffractives utilisées par les laboratoires sont calculées sur ordinateur, puis gravées sur une lame transparente, selon différentes techniques résumées dans la conclusion de ce mémoire. Les différences d’épaisseur font que les lentilles modifient la phase de l’onde

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qui les traverse ; il s’agit de lentilles de phase. Le document suivant, figure 6, montre deux de ces lentilles. Les échelettes gravées sont en réalité beaucoup plus fines.

Fig 6. Document Canon

Ce ne sont pas uniquement des lentilles convergentes ou divergentes qui sont ainsi réalisées. Il est possible de fabriquer par la même méthode des séparateurs de faisceau laser…

Cette aberration chromatique ne doit pas être confondue avec l’Aberration de sphéricité, liée à la forme en calotte sphérique des faces de la lentille : Les rayons qui frappent la lentille loin de l’axe optique sont trop déviés et viennent converger trop près de la lentille. Cette aberration diminue lorsque la lentille est diaphragmée. L’aberration de sphéricité peut elle aussi être corrigée, par une lentille diffractive, en modifiant les diamètres des anneaux diffractants. La lentille diffractive se comporte alors comme une lentille asphérique. Tâtonnements Méthode employée pour la réalisation de nos lentilles diffractives Au lieu de modifier l’épaisseur d’une lame transparente, comme dans l’industrie, nous allons modifier sa transparence, en appliquant de l’encre sur certaines zones. Les zones sont calculées par ordinateur et la lentille est imprimée sur un transparent, à l’aide d’une imprimante laser noir et blanc de haute résolution (après plusieurs essais décevants, nous avons retenu une Konica-Minolta à 1200 x 1200 points par pouce, soit 48 points par millimètre). Nous n’ employons pas de teinte grise, car celle-ci est réalisée par l’imprimante à l’aide d’un tramage qui diffracterait la lumière de façon intempestive. Remarquons tout de suite que les détails les plus fins mesurent 10-3 / 48 = 2,2 . 10-5 m, soit 35 fois la longueur d’onde de la lumière. Quant aux anneaux centraux, leur rayon vaut 2,6 mm soit 4100 fois la longueur d’onde. Et pourtant, nous allons voir que le modèle du rayon lumineux ne s’applique plus et que ce sont les phénomènes de diffraction et d’interférences qui permettent d’expliquer nos observations.

Calcul des zones à noircir Nous supposons que la lentille reçoit une onde plane de longueur d’onde 632,8 nm, longueur d’onde du laser rouge He-Ne. Nous calculons les chemins optiques, depuis différents points de la lentille jusqu’au foyer image souhaité. Lorsque ces chemins différent d’un nombre entier de longueurs d’onde (interférences constructives), ils sont conservés, le transparent n’est pas noirci. Lorsqu’ils diffèrent d’un nombre impair de demi longueurs d’ondes (interférences destructives), le transparent est noirci (imprimé).

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Voici deux lentilles de 10 m et 1 m de distance focale. Vous observez les artefacts qui apparaissent lorsque les cercles à tracer deviennent trop fins pour la résolution de l’imprimante.

Fig 7. Vérification des propriétés de la lentille diffractante imprimée

Nous réglons l’objectif du projecteur pour que l’image de la diapositive soit nette à grande distance, puis nous accolons à l’objectif une lentille diffractive, calculée pour avoir une distance focale de 1 mètre, et diaphragmée pour masquer les artefacts.

Nous obtenons bien une image, située à peu près à l’endroit espéré.

Nous observons l’aberration chromatique attendue, l’image rouge plus près de l’objectif que la bleue, dans l’ordre rouge, vert, bleu. Séries de mesures, peu concluantes Nous employons comme objet lumineux une diapositive couleur, puis une fente réalisée dans une feuille d’aluminium, placée dans un projecteur de diapositives, sans son objectif. La fente est à p = -0,472 m de la lentille de 3 dioptries que nous voulons corriger. Nous cherchons les positions des images rouge, verte et bleue, en utilisant des filtres colorés, pris dans la collection du lycée, pour la lentille réfractive seule, puis pour l’association lentilles réfractive et diffractive.

Voici les premiers résultats : Couleur Rouge Vert Bleu Ecart Lentille de 3 δ seule, Distance p lentille – image en mètre Distance focale correspondante en m Vergence en dioptrie

1,1940 0,3383 2,956

1,1624 0,3367 2,970

1,1476 0,3344 2,990

0,046 0,0039 =1,2%

Lentille de 3 δ accolée à unelentille diffractive de +15mètres de distance focale ; pen mDistance focale correspondanteen m

1,1942 0,3383

1,1694 0,3363

1,1574 0,3353

0,037 0,0030 =0,89%

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Lentille de 3 δ accolée à unelentille diffractive de +10mètres de distance focale ; pen mDistance focale correspondanteen m

1,215 0,3399

1,182 0,3373

1,166 0,3360

0,049 0,0039 =1,2%

Veuillez noter que le dernier chiffre gardé n’est peut-être pas significatif (il est le résultat d’un calcul de moyenne). Ces premiers résultats font ressortir l’aberration chromatique de la lentille réfractive. La fente est de très bonne qualité, mais nous voyons mal les franges colorées qui devraient border son image. Le montage sera modifié.

Par contre, ces résultats ne sont pas concluants en ce qui concerne la correction de cette aberration. La lentille diffractive semble diffuser beaucoup la lumière. Nous améliorerons sa fabrication.

D’autres essais, avec d’autres objets lumineux, d’autres filtres colorés, et des focales de lentilles diffractives de 20 m, 14 m, 10 m et 4 m ne sont pas plus concluants. La lentille diffractive n’agit pas du tout dans les proportions espérées.

Nous découvrirons que nous avons employé l’ordre 0 de la lentille diffractive, qui ne corrige pas l’aberration chromatique de la lentille en verre, alors qu’il fallait employer l’ordre –1, où elle est convergente. Le blaze serait-il en cause ?

Nous contactons notre conseiller scientifique au laboratoire d’optique de la faculté des sciences de Besançon, Monsieur Van Labeke. Malheureusement, ce laboratoire n’emploie pas de telles lentilles diffractives. Mais nous obtenons un document en anglais rédigé par Monsieur CHAVEL, Pierre. Winter College On Optics. 9 – 27 mars 1998.

Et sommes pilotés vers un des anciens élèves de Monsieur Chavel, Monsieur Rémo Giust qui retrouve une partie de ses notes prises en cours, et ses polycopiés.

Nous nous plongeons dans l’étude du blaze. Un réseau linéaire ordinaire, éclairé en incidence normale, diffracte la lumière dans plusieurs directions ou ordres. L’ordre zéro est dirigé selon la perpendiculaire au réseau.

En modifiant le profil des traits sur le réseau – par exemple – il devient possible de concentrer le maximum d’énergie dans l’ordre 1 ou tout autre. Nous trouvons sur Internet (Université du Mans) des simulations de ce phénomène.

Nous recherchons dans notre collection de réseaux linéaires, ceux qui sont blazés ; nous en profitons pour observer les figures données par les autres objets diffractifs disponibles au lycée. Lorsque le faisceau laser frappe de la gaze, l’un de nous, s’exclame : « Je vois la même chose la nuit, avec mes lentilles de contact ! ». Affaire à suivre. Il est myope et astigmate. Ses lentilles seraient-elles des lentilles diffractives ?

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Nouvelle série de mesures, le but semble moins lointain. Mise en évidence expérimentale des différents ordres de la lentille diffractive Nous décidons de rechercher les différents ordres d’une lentille diffractive calculée pour être convergente, de focale image + 1 m, ou de vergence +1 δ, pour une longueur d’onde de 632,8 nm. Nous espérons trouver : Ordre -1 : foyer image à 1 m après la lentille diffractive (convergente). Ordre -2 : foyer à 0,5 m après la lentille (convergente). Ordre 0 : lentille afocale. Ordre +1 : foyer 1 m avant la lentille (divergente). Ordre +2 : foyer 0,5 m avant la lentille (divergente) etc. Nous réalisons le montage suivant :

Fig 8.

Nous éclairons la lentille diffractive avec le faisceau étalé et parallèle, issu d’une diode laser.

Pour cela, nous supprimons la lentille fixée d’origine sur une diode laser destinée à un pointeur. La diode émet un faisceau très divergent, à section rectangulaire. Nous la plaçons au foyer objet d’une lentille convergente de 15 cm de distance focale qui rend ce faisceau parallèle. Nous recherchons les différents ordres observables de la lentille diffractive. Nous voyons un foyer situé à 108,0 cm de la lentille ; c’est l’ordre –1.

Nous n’apercevons pas l’ordre –2, à 54 cm de la lentille, ordre que nous découvrirons pourtant dans le tableau suivant. Une tache lumineuse à grande distance peut être l’ordre 0. Les ordres positifs, situés avant la lentille, ne peuvent être observés directement.

Nous accolons donc à la lentille diffractive, une lentille convergente de 2 dioptries. Si la lentille diffractive se comportait seulement comme une lentille convergente de +1 δ, nous devrions observer un seul point de concentration de l’énergie lumineuse situé à 1 / (2 + 1) = 0,33 m des lentilles. Or nous en observons beaucoup plus, selon le tableau suivant : Différents ordres observés : Lentille diffractive, diode laser, faisceau parallèle, +2δδδδ Distance lentilles réfractive et diffractive accolées – image, p’

+0,26m +0,34m +0,525m +1,07m ∞, mais est-ce une image ?

Position du « foyer » de la lentille diffractive, p. Vergence

+0,54m 1,8 δ

+1,06m 0,94 δ

-10,5m ≈ ∞-0,095 δ

-0,94m -1,06 δ

-0,5m - 2 δ

Ordre de diffraction - 2 - 1 0 + 1 + 2

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Lentille diffractive Convergente

Convergente

Afocale Divergente

Divergente

Association lentille réfractive, lentille diffractive, différents ordres Lors de la première tentative de correction de l’aberration chromatique qui a été un échec, nous avions en fait observé l’association de la lentille mince réfractive et de l’ordre 0 de la lentille diffractive.

Cherchons donc si l’association lentille réfractive, lentille diffractive donne plusieurs images et testons d’autres longueurs focales pour la lentille diffractive. Le montage utilise une diapositive noire finement rayée, l’objectif du projecteur donnant une image de celle-ci à grande distance, sur le mur, la lentille réfractive de vergence CR = 3 δ accolée à une lentille diffractive de 2 mètres de focale pour l’ordre –1, donc de vergence CD = 0,5 δ. L’image sur le mur est à 3,108 m de l’association, donc p = +3,108 m. Nous trouvons, en observant à travers un filtre rouge, des images nettes situées à p’ tel que :

Les différents ordres de l’association de lentilles, CR = 3 δδδδ et CD = 0,5 δδδδ p’ +0,180m +0,264

m +0,310m +0,349

m +0,533m

Vergence CT de l’association 5,23δ 3,47δ 2,90δ 2,54δ 1,55δ Vergence CD = CT - CR 2,23δ 0,47δ -0,10δ -0,46δ -1,45δ CD = CT – CR, arrondie + 2δ 0,5δ 0 -0,5δ -1,5δ Focale correspondante en m +0,5m? +2m ∞ -2m -0,66m Ordre de la lentille diffractive ? -4 ? -1 0 +1 +3

L’association donne bien plusieurs images, ce qui nous avait échappépour plusieurs raisons : L’amélioration de nos lentilles diffractives obtenue par changement de l ‘imprimante, le changement d’objet lumineux (la diapositive noire, rayée provoque moins de brouillage entre les différents ordres qu’une diapositive ordinaire). Et nos recherches théoriques qui ont guidé nos observations. Une série de mesures aux résultats contradictoires Nous allons maintenant mesurer la position de l’image, pour les couleurs rouge, vert et bleu. Les moyennes de 5 mesures donnent pour l’ordre 0 de la lentille diffractive, p = +3,108 m (et p’ ≈ +0,31 m) :

Couleur Rouge Vert Bleu Ecart en m p’ moyen en m 0,3060 0,3074 0,3076 0,0016 Distance focale de l’association en m 0,3394 0,3411 0,3414 0,0020 Vergence de l’association en dioptrie 2,946 2,931 2,929

Notons que l’image bleue est plus éloignée de l’association de lentilles, donc qu’apparemment la correction de l’aberration chromatique réfractive est trop forte. Nous passons, dans le sens de propagation de la lumière de bleu vert rouge pour la lentille réfractive, à rouge vert bleu pour l’association. Mais la théorie prévoit une correction chromatique pour l’ordre –1 et pas

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pour l’ordre 0 de la lentille diffractive. Sommes-nous victimes des incertitudes de mesure, de l’effet de flou, de brouillages des images dû à la présence de plusieurs ordres de diffraction ?

Et pour l’ordre +1 de la lentille diffractive, p = +3,108 m (p’ ≈ +0,349 m) :

Couleur Rouge Vert Bleu Ecart en m p’ moyen en m 0,3480 0,3470 0,3476 0,0010 Distance focale de l’association en m 0,3919 0,3906 0,3914 0,0013 Vergence de l’association en dioptrie 2,552 2,560 2,555

Notons que la lentille diffractive est divergente pour cet ordre +1 et que la théorie prévoit une aggravation de l’aberration chromatique. Remarquons qu’ici, sous réserve de la précision des mesures, la correction chromatique a replié les trois foyers. Nous passons de bleu vert rouge à vert bleu rouge.

Mais nous avons oublié d’effectuer les mesures pour l’ordre –1 et p’ = 0,264 m, alors que c’est lui qui permet de réduire l’aberration !

Il faut revoir tout cela, en ne faisant varier qu’un paramètre à la fois, pour que les résultats puissent être comparés entre eux. Il faut aussi reprendre nos mesures et nous plonger dans les calculs. Calculs Calcul de la lentille diffractive Rayon des anneaux Calculons les rayons Ri des anneaux transparents tracés sur nos lentilles diffractives : i est le numéro de l’anneau ; l’anneau central a le numéro 0. fD est la distance focale de la lentille

diffractive, dans son ordre –1 :22

i ).i(.i.f.2R D λ+λ= .

On peut montrer que dans notre réalisation, le deuxième terme est négligeable, donc λ= .i.f.2R D2

i , le rayon Ri est proportionnel à la racine carrée de son numéro i. Le résultat serait identique pour des anneaux de phase.

Application numérique : Supposons que nous ayons affaire à l’anneau numéro 200, pour une focale f = 5,4 m. Le premier terme 2 fD i λ vaut 1,4 . 10-3, pour la longueur d’onde 632,8 nm. Le deuxième terme vaut 1,6 . 10-8. Il est bien négligeable. R200 vaut 0,037 m soit 3,7 cm. La lentille diffractive a un diamètre de 7 cm. La différence entre R200 et R199 est donnée par 2 R dR = 2 fD λ di ou, avec di = 1, dR = fD λ / R ; dR = 9,2 . 10-5 m. Pour mémoire, notre imprimante à 1200 pixels par pouce donne des pixels de 2,08 . 10-5 m.

La relation λ= .i.f.2R D2i peut s’écrire 2

iD

D R.i.2Cf

1 λ==ou encore, en posant CDRouge, la vergence

pour la longueur d’onde 632,8 nm, RougeDRougeD CC λ

λ= : La vergence est proportionnelle à la

longueur d’onde λ. Voici représentée, dans le domaine de la lumière visible, la vergence de la lentille diffractive calculée pour avoir une focale de 5,4 m à 632,8 nm.

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Vergence diffractive

0

0,1

0,2

0,3

0,00E+00 4,00E-07 8,00E-07 1,20E-06Longueur d'onde en m

Verg

ence

en

diop

trie

Fig 9.

Plongeons-nous dans la lecture de Winter College On Optics, de Monsieur Pierre Chavel. Calcul de la correction de l’aberration chromatique Lorsque les deux lentilles réfractive et diffractive sont accolées, les vergences s’ajoutent (Nous avons eu longtemps un doute sur la question, doute levé à la lecture de Winter College). Les calculs dans Winter College sont basés sur une approximation de l’indice d’un verre par une fonction affine de la longueur d’onde λ de la lumière. Pour une lentille de 3 dioptries en BK7, cela donne fD = 5,41 m en lumière rouge du laser.

Nous choisissons d’employer Excel pour trouver par essais successifs la valeur de vergence diffractive.

Vergences de la lentille en verre et de l'association

2,953

3,053,1

3,153,2

3,25

0,00E+00 3,00E-07 6,00E-07 9,00E-07Longueur d'onde en m

Verg

ence

s en

di

optr

ie

Fig. 11

Voici une lentille en BK7 de 3 δ corrigée par une lentille diffractive de focale 5,3 m et de vergence 0,19 δ (vergences dans le jaune). L’association simulée sous Excel donne respectivement pour le cyan (F, 486 nm), le jaune (D, 588 nm) et le rouge clair (C, 656 nm) des vergences de 3,1797 puis 3,1756 et 3,1782, soit 0,14 % de variation. Voici un tableau des vergences, résumant tous ces calculs :

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Couleur λλλλ en

nm Lentille BK7 6,9δδδδ

Lentille F1 –3,9δδδδ

Doublet achromatique

Lentille BK7 3δδδδ

Diffractive 0,19δδδδ ordre -1

Diffractive réfractive

F, Cyan 486 6,9802 -3,9755 3,0047 3,0349 0,1449 3,1797 D, Jaune 588 6,9000 -3,9000 3,0000 3,0000 0,1756 3,1756 C, Rouge 656 6,8733 -3,8685 3,0047 2,9884 0,1956 3,1782 Variation en % 0,16% 1,6% 0,14% Expériences d’association de lentilles réfractive et diffractive Mesures Nous reprenons nos mesures, avec une distance focale en lumière rouge de 4 m pour la lentille diffractive (nous n’avons pas encore de lentille de 5,4 m). Une diapositive noire, rayée, est placée dans le projecteur sans son objectif, à une distance p = - 0,450 m de la ou des lentilles. Lentille réfractive seule, l’image est observée à environ 1,350 m de la lentille. En lui accolant la lentille diffractive de 4 m de focale, nous observons l’ordre 0 à environ 1,367 m, l’ordre –1 à 1,049 m, l’ordre –2 à 0,866 m, encore une image à 0,708 m et une autre, au-delà du banc optique, correspondant à l’ordre +1, lorsque la lentille diffractive se comporte comme une lentille divergente.

A l’aide de filtres colorés en matière plastique de la collection du lycée, placés soit devant la lentille, soit devant l’œil lorsque la lumière manque, nous effectuons plusieurs mesures, en calculons la moyenne et l’écart type, pour avoir une idée de leur reproductibilité.

Lentille réfractive de 3 δ seule Rouge Vert Bleu

(p = - 0,450 m) p’ en m 1,3946 1,3496 1,3006 Ecart type en m 0,0031 0,0042 0,0051

Vergence de la lentille en δ 2,9393 2,9632 2,9911

Les images sont rencontrées, en suivant le sens de la lumière, dans l’ordre bleu, vert, rouge. La variation relative de vergence est de 1,7%, ce qui correspond bien aux calculs.

Pour l’association, nous multiplions les mesures dans le bleu, car elles sont les plus difficiles.

Lentille de 3 δ réfractive, plus lentille diffractive convergente,

de 4 m de focale, utilisée dans l’ordre -1 Rouge Vert Bleu

(p = - 0,450 m) p’ en m 1,0555 1,0639 1,0484 Ecart type en m 0,0068 0,0067 0,0054

Vergence de l’association en δ 3,1696 3,1622 3,1761 Les images sont rencontrées, en suivant le sens de la lumière, dans l’ordre bleu, rouge, vert. La variation relative de vergence est de 0,44%, ce qui correspond à une correction partielle. La simulation sous Excel donne dans ce cas une variation de 0,46%, mais l’ordre rouge, vert, bleu. Mais les images sont brouillées, ce qui peut induire de graves erreurs de mesure. Les mesures étant très éprouvantes pour nos yeux, nous ne les poursuivons pas pour les autres ordres.

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Association lentille réfractive de 3 dioptries, lentille diffractive de 5,4 m de focale pour l’ordre –1, photographies Voici une série de photographies réalisées de la manière suivante : L’objet est une diapositive noire finement rayée, placée à p = - 0,450 m de la ou des lentilles. Nous travaillons en lumière blanche. Nous plaçons l’écran avant, puis là où l’image blanche semble la plus nette, puis après. Pour la lentille réfractive seule, les franges colorées sont bien visibles. Pour l’association lentille réfractive et lentille diffractive dans l’ordre –1 (convergente de focale 5,4 m), les images sont plus sombres (la lentille diffractive est très absorbante) et brouillées (par la présence des multiples plans de netteté et la diffusion due aux défauts de la lentille diffractive), mais l’aberration chromatique semble corrigée. Pour la lentille diffractive dans l’ordre 0 (afocale), l’aberration chromatique semble inchangée. Dans son ordre +1 (divergente) l’aberration chromatique est aggravée.

Les images ont été recadrées dans un logiciel de dessin, mais pas retouchées. L’appareil photographique numérique a été employé en mode entièrement manuel, pour la mise au point et l’exposition. Pour les photographies réalisées avec la lentille réfractive seule, l’ouverture de diaphragme était de 5,6 et la durée d’exposition de 1/6 seconde. Pour les autres 5,6 et 1 seconde.

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Fig. 12 et 13

Il nous faudrait encore mesurer les indices de la lentille réfractive, pour différentes longueurs d’ondes pour s’assurer qu’elle est bien en BK7, puis mesurer les valeurs moyennes des longueurs d’ondes que laissent passer les filtres colorés du lycée. Polarisation de la lumière et blaze Notre conseiller scientifique, Monsieur Daniel Van Labeke, attire notre attention sur le fait que les calculs de blaze pour les réseaux sont approximatifs ; ils donnent les bonnes directions pour les maxima d’intensité, mais pas forcément les bonnes valeurs d’intensité : Le blaze dépend de nombreux facteurs dont la polarisation de la lumière incidente. Nous tentons de vérifier cela par une expérience, avec le réseau le plus diffractif en notre possession. Nos essais ne sont pas concluants. Le laser du lycée a un comportement curieux : Il émet une lumière polarisée de manière rectiligne, mais il arrive que le plan de polarisation tourne de 90° lors d’un choc. Une diode laser émet elle aussi une lumière polarisée. Mais nos observations visuelles ne permettent pas de montrer l’influence de la rotation du plan de polarisation sur la répartition d’intensité dans les différents ordres d’un réseau blazé. De plus, selon notre conseiller scientifique, il n’est pas possible de blazer parfaitement un réseau zoné. Cela explique peut-être que le fameux objectif Canon, testé dans Chasseur d’images, soit jugé manquant de contraste. Nous relisons les communications de la firme Canon. Ils expliquent qu’ils emploient deux réseaux diffractifs par objectif pour supprimer « la lumière diffractée superflue » qui cause du flou (flare en anglais). Depuis, ils sont passés à trois réseaux par objectif.

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Fig. 14, document Canon

Applications Les réseaux zonés sont couramment employés en optique infrarouge ; ils constituent une des seules méthodes permettant de focaliser des rayons X. Ils permettent de corriger les lentilles en silice, pour leur emploi dans l’ultraviolet. En effet, à ces courtes longueurs d’onde, peu de matériaux sont transparents et il n’est donc pas facile d’associer une lentille réfractive convergente et une divergente plus dispersive. Pour illustrer cela, voici un court extrait du rapport rédigé sous la responsabilité de Pierre Chavel « Les matériaux fonctionnels pour l’optique ». « L'optique diffractive concerne la gravure de motifs sur le plan du substrat. Fournissant à la fois une alternative aux lentilles pour la focalisation des faisceaux, un moyen de contrôle des aberrations et un moyen unique pour diviser les faisceaux, elle intervient à deux titres : en association avec des optiques conventionnelles ou isolément, dans des microsystèmes optiques. La possibilité de graver des motifs diffractifs sur une lentille ou un miroir fournit un degré de liberté supplémentaire à la conception des systèmes optiques macroscopiques, qui de ce fait deviennent "hybrides". Leur performance globale, évaluée en termes conjoints de poids, de coût et de qualité d'image, s'en trouve améliorée. Elle est utilisée surtout dans l'infrarouge, où elle constitue une des meilleures méthodes d'achromatisation ; un fabricant américain a récemment mis à son catalogue un triplet hybride de performances remarquables pour le visible. Cependant, les techniques de fabrication (usinage par outil diamanté, masquage par inscription de photorésines suivi d'un usinage par faisceau d'ions, photoablation par laser) progressent et doivent progresser encore. On peut alors envisager l'extension de la technique à l'ultraviolet, qui en-dessous d'une longueur d'onde de 350 nm est difficile à achromatiser et en-dessous de 200 nm environ reste un secteur pratiquement impénétrable à l'imagerie optique par manque de matériaux transparents. » Nous avons découvert avec surprise des recherches récentes sur des matériaux perforés par des trous plus petits que la longueur d’onde de la lumière et qui semblent prometteurs.

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Conclusion Nous avons pu, à l’aide de moyens simples disponibles dans tout laboratoire de Physique de lycée, réaliser une lentille diffractive. Associée à une lentille réfractive en verre, elle a contribué à diminuer l’aberration chromatique de celle-ci. Cette lentille diffractive n’étant pas blazée, l’association donne plusieurs plans de focalisation de l’énergie lumineuse, ce qui brouille l’image. La lentille absorbe une forte proportion de l’énergie lumineuse incidente. Le modèle du rayon lumineux n’est pas applicable ici. Bibliographie CHAVEL, Pierre. Winter College On Optics. Trieste, Italie : International Centre For Theoritical Physics, 1998 CHAVEL, Pierre. Les matériaux fonctionnels pour l’optique. Rapport rédigé sous la responsabilité de Pierre Chavel. Institut d’Optique Théorique et Appliquée – Université Paris 11, 91403 Orsay. CHAVEL, Pierre. Taboury, J. Cours d’optique physique 2, holographie synthétique. Ecole Supérieure d’Optique, E.S.O. 2. Trouvé sur Internet : Algorithme chez Nasatech, mais pour Linux seulement.