Initiation aux Ondelettes

Partie 1 Transforme en ondelette continue

CWT

1. Gnralits Signal En pratique, la plupart des signaux, sous leur format brut, sont reprsents dans le domaine temporel: temps-amplitude. Pour diffrentes applications cette reprsentation n'est pas toujours la meilleure. Dans beaucoup de cas, l'information pertinente est cache dans la composante de frquence du signal. Frquence La frquence est lie au rgime de changement dune grandeur physique. Si cette grandeur ne change pas on dit elle a une frquence zro. Si elle change rapidement, elle a une haute frquence. Si elle change lentement, elle a une basse frquence.

Stationnarit Un signal dont le contenu en frquence ne change pas au cours du temps est dit stationnaire. Autrement dit, la composition en frquences dun signal stationnaire est indpendante du temps. Echantillonnage Dans un signal discret, quand on prend une valeur sur deux, on dit quil est sous chantillonn par 2 (dcimation- down sampling). Lorsquon intercale un zro entre les valeurs du signal, on dit quil est sur chantillonn par 2 (up sampling). Principe d'incertitude Les informations de frquence et de temps d'un signal en un certain point du plan temps-frquence ne peuvent tre simultanment connues.

Relation Heisenberg Une composante de basse frquence est mieux localise en frquence qu'une composante de haute frquence. Une composante haute frquence, est mieux localise en temps. Transforme de Fourier La transforme de Fourier dans le cas continu est donne par La transforme de Fourier dans le cas discret est donne par La relation de Parseval est donne par

t. f 1/ 4

j.2 p.nn

f p f n .e

j.2 xf( ) f(x).e dx

f(x).g(x).dx (1/ 2 ). f( ).g( )d

Echelle et frquence Lchelle et la frquence sont deux notions correspondantes. Une haute frquence (variation rapide) correspond une petite chelle (compression). Une basse frquence (variation lente) correspond une grande chelle (dilatation). Le paramtre dchelle est semblable lchelle utilise dans les cartes routires, les hautes chelles correspondent une vue globale non-dtaille, et les basses chelles correspondent une vue dtaille. En pratique, les basses chelles (hautes frquences) apparaissent habituellement de temps en temps en tant que des transitoires. Les hautes chelles (basses frquences) durent habituellement la dure entire du signal.

Une translation correspond un changement de position, une dilatation est une augmentation dchelle et une compression est une diminution dchelle.

2. Ondelettes 2.1. Prsentation Les ondelettes sont employes dans un grand nombre de domaines tels: la gophysique, lastrophysique, les signaux sonores en mdecine, limagerie dans tous ses aspects (mdicale ou satellitaire), le codage de signaux vido, la modlisation du trafic (internet), lanalyse de la turbulence atmosphrique ou de souffleries, etc. Le terme ondelette signifie une petite onde (selon ses inventeurs le gophysicien Franais Morlet et son collaborateur physicien croate Grossman au dbut des annes 80). Londe se rapporte la condition que cette fonction est oscillante. La petite dimension se rapporte la condition que cette fonction de fentre est de longueur finie.

Le terme mre implique que les fonctions qui sont employes dans le processus de dcomposition sont drives d'une fonction principale, ou l'ondelette mre. En d'autres termes, l'ondelette mre est un prototype pour produire dautres fonctions de fentre. 2.2. Proprits Une ondelette est une fonction continue, drivable, relle ou complexe, caractrise par un ensemble de proprits: Centrage; Normalisation; Localisation et Rgularit. Centrage: londelette (x) est une fonction centre si sa valeur moyenne est nulle (la partie positive compense la partie ngative, ce qui implique quune ondelette est oscillante).

(x).dx 0

(x) 0 (0) 0

Normalisation: elle est obtenue par Rgularit: cest une proprit permettant de localiser les singularits dans un signal. Cette proprit se traduit sur les coefficients d'ondelettes par une amplitude importante. Une ondelette est rgulire si on peut l'approximer localement par un polynme. Le moment dordre n dune fonction est donne par Une ondelette admet n moments nuls si pour tout entier k entre 0 et n1 le moment dordre k est nul. Ceci veut dire que (x) est orthogonale tous les polynmes de degr

Localisation: signifie que l'nergie d'une ondelette est contenue dans un intervalle fini. Idalement, l'ondelette est une fonction nulle en dehors d'un intervalle fini. Le caractre oscillant et la localisation signifient que la transforme de Fourier de l'ondelette est localise, c'est dire que le contenu frquentiel est limit une certaine bande de frquence. La localisation dune ondelette est caractrise par le nombre de ses drives continues. Si une ondelette est n fois drivable, elle a au moins n moments nuls (notion de rgularit) n n (n)x . (x) j . ( )

2.3. Ondelettes prototypes Ondelette Haar: ondelette discontinue dfinie par

H

H

H

(x) 1 0 x 1/ 2

(x) 1 1/ 2 x 1

(x) 0 ailleurs

Le spectre de londelette Haar est donn par j 2

H ( ) j.e .(sin ( / 2) / / 2)

Ondelette Morlet: fonction complexe forme par une ondelette sinusode module par une Gaussienne. Elle est dfinie par Ou A est un paramtre de modulation. En pratique, londelette Morlet est bien localise en espace et en frquence pour A=10 (frquence =5)

Le spectre de londelette Morlet est donn par

2x iA xM(x) e .e

2x i10 xM(x) e .e

2( 5)M

( ) e

Ondelettes DOG (Derivative of Gaussian) sont dfinies par Leur spectre est donn par Londelette DOG2 (drive dordre 2) est appele Chapeau Mexicain. En pratique elle est utilise pour la dtection des discontinuits, et elle est dfinie par Le spectre de londelette Chapeau mexicain est donn par

2n x / 2 nDOG(x) d (e ) /dx

2n n / 2DOG

( ) j . (e )

22 x / 2MH(x) (1 x ).e

21/ 2 2 (2 ) / 2MH

( ) (2 ) .(2 ) e

2.4. Ondelettes analysantes Une ondelette analysante est obtenue par la translation et la mise en chelle dune ondelette mre. Elle est donne par On note u paramtre translation et s paramtre chelle. Londelette mre (prototype) nest quune ondelette analysante centre (u=0) dchelle unit (s=1). Dans lespace de Fourier, le spectre de londelette analysante est donn par

1/ 2 1s,u(x) s s (x u)

1,0(x) (x)

1/ 2 j.2 us,u ( ) s s .e

3. Transformation CWT 3.1. Formulation Une dcomposition en ondelettes continue dun signal f(x) permet dobtenir des coefficients en ondelettes w(s,u) par la projection du signal dans une base forme par les ondelettes analysantes.

s,uw(s,u) f(x). (x)dx

1/ 2 1w(s,u) s f(x). (s (x u))dx

3.2. Procdure La procdure de dcomposition cwt seffectue en 3 tapes aprs avoir choisie une ondelette mre (prototype) en fonction du signal analyser. Etape 1. Londelette mre tant une analysante avec s=1 et u=0, on dtermine le coefficient en ondelette w(1,0) dune section du signal.

Etape 2. A lchelle s=1, par translation on calcule les coefficients w(1,u) pour toutes les sections du signal. Etape 3. Par changement dchelle (dilatation) des analysantes, on calcule de nouveau les coefficients pour toutes les sections du signal. On obtient finalement les coefficients w(s,u) diffrentes chelles et pour diffrentes sections du signal.

3.3. Relation Parseval Dans lespace de Fourier, les coefficients en ondelettes sont obtenus partir du spectre du signal et du spectre de londelette mre par la relation de Parseval

1/ 2 1w(s,u) s f(x). (s (x u))dx

1/ 2 * j.2 u w(s,u) (s / 2 ). f( ) s .e d

1/ 2 j.2 us,u ( ) s s .e

3.4. Transforme inverse La transforme en ondelettes admet une transformation inverse, le signal est reconstruit partir des coefficients en ondelettes et de londelette mre de dcomposition. On a La condition dadmissibilit est donne par C est une constante dpendant de l'ondelette (x) choisie. La condition dadmissibilit est vrifie si C < infini.

2s,u

0

f(x) (1/ C ). w(s,u). (x).s .ds.du

2

0C ( ) /

3.5. Interprtation Notion de projection (Produit scalaire) La transforme en ondelette continue est la projection du signal f(x) sur une base de famille dondelettes s,u(x) construite partir dune ondelette mre Le produit scalaire est donn par Par identification, la transforme cwt est Avec

1/ 2 1w(s,u) s f(x). (s (x u))dx

*f,g f g f(x).g (x)dx

n

f[n],g[n] f[n] g[n] f[n]. g[n]

s,uw(s,u) f,

1/ 2 1s,u s (s (x u))

Notion de similarit (Corrlation) La transforme en ondelette continue est le produit de corrlation entre le signal f(x) avec londelette dilate s(x) Les coefficients mesurent le taux de ressemblance entre le signal et les ondelettes analysantes. Le produit de corrlation est donn par Par identification, la transforme cwt est Avec

1/ 2 1w(s,u) s f(x). (s (x u))dx

*f(x) g(x) f(t).g (t x)dt

m

f[n] g[n] f[m].g[m+n]

sw(s,u) (f )

1/ 2s(x) s (x / s)

Notion de filtrage (convolution) La transforme en ondelette continue est le filtrage du signal f(x) par un filtre s(x) Le produit de convolution est donn par Par identification, la transforme cwt est Avec

1/ 2 1w(s,u) s f(x). (s (x u))dx

*f(x) g(x) f(t).g (x t)dt

m

f[n] g[n] f[m].g[n-m]

*sw(s,u) (f )

* 1/ 2s(x) s ( x / s)

3.6. Exploitation Scalogramme Le scalogramme est la reprsentation image en niveau de gris ou en Color map dans le plan position-chelle (s,u) ou (j,k) du carr du module des coefficients ondelettes. Le scalogramme normalis est simplement obtenu par le rapport de q et les chelles correspondantes. Il caractrise la rpartition de lnergie (densit dnergie) du signal lchelle s dans lespace u.

2q w(s,u)

2

Nq q / s w(s,u) / s

Ridges Les points ridges (squeletons) sont dfinis par lensemble des points maximums du scalogramme normalis. Un point rigde est dfinit par qNmax. Les coordonnes un point ridge sont umax et smax

Frquence locale En gnrale, toute phase peut scrire sous forme La variable x correspond la variable spatiale ou temporelle. La frquence locale est donne par Lors dune dcomposition cwt, la frquence locale est obtenue partir des chelles des points Ridge smax par Le coefficient de proportionnelle dpend de londelette mre utilise. Dans le cas de londelette Morlet, il est gal 1452.

.x 2 .f.x

/ x 2 .f

f (1/ 2 ). / x

ridgesf 1452 / s

4. Implmentation 4.1. Grille Dyadique Lors du choix des chelles de dcomposition, une grille dyadique est obtenue par discrtisation des paramtres dchelle et de translation dfinie comme suit Le signal initial correspond s=1 (chelle unit), il correspond la rsolution j=0 (signal nest pas rsolu) et en translation u=k signifie quon a tout le signal. Lchelle s=2 correspond la rsolution j=1 et u=2k. On a une dilatation de lchelle qui est une augmentation de la rsolution et qui correspond une basse frquence. En translation, on prend une valeur sur deux qui signifie quon traite un signal dcim par 2 ou sous chantillonn par 2 (down sampling).

j ju k.s s 2 u k.2

Lchelle s=1/2 correspond la rsolution j=-1 et u=k/2. On a une compression dchelle qui est une diminution de la rsolution et qui correspond une haute frquence. En translation, on a gnration dune valeur sur deux qui signifie quon traite un signal sur chantillonn par 2 (up sampling). 4.2. Dcomposition Dyadique Une transformation dyadique est la dtermination des coefficients en ondelettes sur une grille dyadique

j/ 2 * jjk

j k

w[j,k] 2 f[x]. [2 x k]

Espace dyadique

4.3. Implmentation Choix de lchelle Le choix de lchelle est conditionn par le nombre de valeurs prendre et par la valeur maximale de lchelle qui dpend de la taille du signal. Le signal au dpart , est lchelle s=1 donc de rsolution j=0. n=length(y)-1; % Taille signal y s0=1; % s0 chelle initiale (s=1 et j=0) d=1 ; % pas chantillonnage p=fix(log(n)/log(2)); % chelle maximale (2p=n) J=p/d; % nombre de valeurs s = s0*2.^((0:J)*d); % Echelle prendre

Aprs avoir choisi londelette mre et les chelles, on dtermine le produit (convolution) des spectres (FFT) du signal et de londelette mre puis on calcule les coefficients ondelettes (IFFT et normalisation). Limplmentation seffectue comme suit cwt sqrt(s).ifft(fft(sig) * conj(wave))

Exercices Exercice Soit londelette Haar dfinit par Dterminer puis illustrer londelette Haar pour la translation u= 5 et aux chelles s=2 (dilatation) et s=0.5 (compression).

H

H

(x) 1 0 x 1/ 2

(x) 1 1/ 2 x 1

Solutions Solution Pour u et s Pour u=0 et s=1

((x u) / s) 1 u x u s / 2

((x u) / s) 1 u s / 2 x u s

((x u) / s) 0 ailleurs

((x u) / s) 1 0 x 1/ 2

((x u) / s) 1 1/ 2 x 1

((x u) / s) 0 ailleurs

Pour u=5 et s=2 Pour u=5 et s=0.5

((x u) / s) 1 5 x 6

((x u) / s) 1 6 x 7

((x u) / s) 0 ailleurs

((x u) / s) 1 5 x 5.25

((x u) / s) 1 5.25 x 5.5

((x u) / s) 0 ailleurs