Correction de l’épreuve commune niveau troisième Octobre 2011

Partie numérique 

Exercice 1 

A=125

−35

× 79

B=( 23−3)÷ 1

9C=

1+ 13−1

2

2+ 34+ 1

3

D=57−2

7×(1−3

4 )

¿ 125

− 3×75×3×3

=( 23−9

3 )÷ 19=

66+ 2

6−3

62412

+ 912

+ 412

=57−2

7×( 4

4−3

4 )

¿ 125

− 75×3

=(−73 )÷ 1

9=

56

3712

=57−2

7× 1

4

¿ 12×35×3

− 75×3

=−73

×9=56

× 1237

=57− 2×1

7×2×2

¿ 36−715

=−7×3×33

=5×6×26×37

=57− 1

14

¿ 2915

=−21=1037

=1014

− 114

= 914

Exercice 2 

B= 0,4×103× 1500×10−7

24×1015× (104 )−2 =25×10−4−7

¿ 0,4×150024

× 103×10−7

1015× (104 )−2 =25×10−11

¿ 4×6×254×6

× 103+(−7)

1015 ×104×(−2) =2,5×101 ×10−11

¿25× 103−7

1015×10−8 B=2,5×10−10

¿25× 10−4

1015+(−8)

¿25× 10−4

107

C=0,0012×1012

¿1,2×10−3 ×1012

¿1,2×10−3+12

¿1,2×109

Exercice 3

Un nombrerest dit rationnel, si on peut le mettre sous la forme suivante :

r= pq

avec p :unnombreentier relatif et q :unnombreentier relatif

diff é rent de zé ro.

Un nombredest dit décimal, si on peut le mettre sous la forme suivante :

d= a10n avec a:unentier relatif et nunentier naturel .

Puisqueaest unentier relatif , et que10n est unentier différent de zéro. On en déduit que tout nombre décimal est un nombre rationnel.

Exemple :

2,1054=21054104 est unnombredécimal , il est aussi rationnel.

Un nombre rationnel peut ne pas être décimal.

Exemple :

23

n' est pasunnombre décimal.

Sinon, il existeaentier relatif etnentier naturel tels que :

Le dernier reste non nul

23= a

10n donc2×10n=3×a

On en déduit que3divise2×10nabsurde car la somme des chiffres du nombre2×10nest égale à2n’est pas un multiple de3.

Conclusion   :

23

n' estpasunnombredécimal .

Exercice 4

Calcul duPGCD (1515 ;1789 )à l’aide de l’algorithme d’Euclide.

Dividende diviseur Reste1789 1515 2741515 274 145274 145 129145 129 16

129 16 116 1 0

Dans l’algorithme d’Euclide lePGCDest le dernier reste non nul, doncPGCD (1515 ;1789 )=1

Les deux nombres1515 et 1789sont premiers entre eux.

Partie géométrie

Exercice 1

Construction   :

1- Calcul de BC   :

Remarque   : Condition nécessaire   : On ne peut utiliser le théorème de Pythagore que si le triangle est rectangle.

ABC :Est un triangle rectangle enA. D’après le théorème de Pythagore.

« La longueur de l’hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. »

BC2=AB2+AC 2

Application numérique   :

BC2=652+1562

BC2=4225+24336

BC2=28561

BC=√28561

BC=169mm

BC=16,9 cm

2- Calcul d’aire   :

Soit :A( ABC )L’aire du triangleABC.

A( ABC )=base×hauteur

2

A( ABC )=AB× AC

2Application numérique   :

A( ABC )=65×156

2

A( ABC )=5 070mm2

3- Calcul de AH:

Expression de l’aire en fonction deAH .Dans cette question, on prend comme base le côté: [BC ]et pour hauteur la droite( AH ) .

A( ABC )=BC× AH

2

A( ABC )=169× AH

2On en déduit que :

169× AH2

=5070

2× 169× AH2

=2×5070

169× AH=10140

169× AH169

=10140169

AH=60mm

Exercice 2

1- Le triangleLSKest rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore, on a :SK 2=LK 2+LS2

Application numérique :

SK 2=482+642

SK 2=6400SK=√6400

SK=80mm

Le triangleKLMest rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore, on a :MK2=LM2+LK 2

Application numérique :602=LM 2+482

3600=LM2+23043600−2304=LM 2+2304−2304

1296=LM2

LM=√1296

LM=36mm

2- Le triangleSKMest rectangle enK .

Pour utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, on a besoin des longueurs des trois côtés de ce triangle.

La longueur de[ KM ] .KM=60mm.

La longueur de[SK ] .D’après la question 1 :SK=80mm

La longueur de[SM ] .L∈ [SM ]DoncSM=SL+LMSM=64+36SM=100mm

Le côté le plus long est[SM ].

D’une part :

SM2=1002

SM2=10000

D’autre part :

KS2+KM2=602+802

KS2+KM2=3 600+6400

KS2+KM2=10 000

On constate queSM2=KM2+KS2.

Le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore ce triangle est rectangle d’hypoténuse le côté le plus long.

Problème

I- Première partie :

1- Peut-on répondre favorablement aux souhaits des trois enfants.

37+ 2

5+ 1

7=3×5+2×7+1×5

35=15+14+5

35=34

35Est la fraction du gâteau souhaitée par les trois enfants.

3435

<3535

Donc il est possible de répondre favorablement aux souhaits des trois enfants.

2- Le pourcentage du gâteau qui reste.

Après avoir servi les trois enfants la fraction du gâteau qui restera sera :3535

−3435

= 135

Quantité 35 1Pourcentage

100 x

Il s’agit d’un tableau de proportionnalité.10035

= x1

Donc 35×x=100×1

x=10035

x≅ 2,85 %3- La masse totale du gâteau   :

On utilise une deuxième fois un tableau de proportionnalité.

Fraction du gâteau37 1

Masse en grammes 315 x

37

×x=1×315

73

× 37

×x=73

×1×315

x=7×3153

=7×3×1053

x=735 g

Le dernier reste non nul

II- Deuxième partie :« Le reste de la division Euclidienne de 3003 par 143 est zéro »1- Traduction de la phrase ci-dessus par une égalité mathématique.

3003=143×q2- Deux phrases équivalentes :

3003 est unmultiple de143.143 est un diviseur de3003

III- Troisième partie :

1- Le plus grand nombre de bouquets identiques :Le nombre de bouquets identiques est un diviseur des deux nombres.Le plus grand nombre de bouquets identiques est donc lePGCD (3003 ;286 ).On utilise l’algorithme d’Euclide pour déterminer lePGCD (3003 ;286 )

Dividende diviseur Reste

3003 286 143286 143 0

On peut donc former au maximum 143 bouquets « identiques ».

2- La composition de chaque bouquet :3003÷143=21286÷143=2

Chaque bouquet contiendra 21 brins de muguet et 2 roses.