La Physique animée – CultureSciencesPhysique.ens-lyon.fr et Unisciel.fr

Olivier Granier, Delphine Chareyron, Nicolas Taberlet

 Vibrations  transversales  d’une  corde,  équation  de  d’Alembert  :    Introduction : Jean le Rond d’Alembert naît à Paris en novembre 1717 et meurt en octobre 1783. Il n’a que 24 ans lorsqu’il entre à l’Académie des Sciences, et participera 10 ans plus tard avec Denis Diderot à la publication de « L’Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers ». Ces travaux ont couvert de nombreux domaines tels que les mathématiques, la mécanique, l’hydrodynamique, l’optique, l’astronomie ainsi que la théorie de la musique et la philosophie. Il s’est notamment intéressé, à la frontière entre les mathématiques et la physique, aux équations différentielles et aux dérivées partielles. L’équation d’onde qui porte son nom est une équation aux dérivées partielles, établie en 1746, obtenue lors de l’étude des cordes vibrantes. Elle relie les variations temporelles du déplacement transversal d’une corde vibrante à ses variations dans l’espace par l’intermédiaire de la vitesse de propagation de l’onde, encore appelée célérité de l’onde. On la retrouve en électromagnétisme où elle caractérise la propagation des champs électrique et magnétique dans le vide et les diélectriques, en mécanique, moyennant certaines approximations, pour la propagation des ondes dans les gaz, les fluides et les solides, ou encore en électricité, pour la propagation d’ondes électriques dans un câble coaxial sans perte. L’équation de d’Alembert admet, comme solution classique, des solutions sinusoïdales, encore appelées harmoniques, sous forme d’ondes progressives ou stationnaires. Ce modèle simple de propagation est une bonne introduction à des phénomènes similaires mais plus complexes, comme la propagation des ondes sonores dans les tuyaux, les phénomènes de vibration des poutres et des plaques ou encore les mouvements de structures mécaniques comme les câbles, les caténaires et les ponts suspendus à haubans, … Nous allons, dans cette vidéo « la physique animée », établir l’équation de d’Alembert pour une corde vibrante et, à travers ses solutions stationnaires, montrer l’intérêt de l’analyse de Fourier en physique ondulatoire. Expérience : Nous allons mettre en évidence des ondes stationnaires sur une corde et déterminer les modes propres de ce système. Historiquement, on doit cette expérience au physicien allemand Franz Melde dans la 2nde moitié du XIXème siècle. Le dispositif expérimental est constitué d’un oscillateur mécanique de fréquence réglable auquel est accrochée une corde. L’autre extrémité de la corde repose sur une poulie et lestée par une masse. Nous travaillons ainsi en régime d’oscillations forcées. L’excitation produit une onde transversale qui se propage le long de la corde. Cette onde est ensuite réfléchie au niveau de la poulie, imposant un nœud de déplacement. Ainsi en chaque point de la corde l’amplitude de la vibration résulte de la superposition de l’onde émise par l’excitation et de ses réflexions successives aux extrémités du système. Pour une tension imposée par la masselotte, nous faisons varier la fréquence des oscillations. Après un régime transitoire court, la corde oscille en présentant des fuseaux. La corde est le siège d’ondes stationnaires. Les interférences entre les ondes « aller » et «retour » forment pour certaines fréquences une succession de nœuds et de ventres de grande amplitude : la corde entre en résonance. A la résonance, l’amplitude des fuseaux est alors beaucoup plus grande que celle imposée par l’excitation, le vibreur coïncide quasiment avec un nœud de vibration.

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Un éclairage stroboscopique permet de figer le mouvement de la corde lorsque la fréquence des flashs correspond à un sous multiple de la fréquence d’oscillations de la corde. Nous venons de mettre en évidence des ondes stationnaires à l’aide d’un objet linéique, qu’en est-il avec une surface ? A l’aide du même excitateur, nous observons le mouvement transversal d’une plaque métallique circulaire puis carrée. Afin de visualiser les ventres et les nœuds de vibration, on dépose des grains de sable sur la plaque. Lorsque la plaque vibre à sa fréquence propre, les grains de sable migrent et s’immobilisent le long de certaines courbes. Ces courbes sont l’analogue des nœuds de vibration sur la corde, on les appelle « lignes nodales ». On doit à Ernst Chladni les premières expériences mettant en évidence les différents modes de vibration de membranes de diverses géométries. Théorie: On considère une corde inextensible de longueur L, comme celle d’une guitare, d’un piano ou d’un clavecin. On note m sa masse linéique. Elle est tendue horizontalement selon une force constante F. La corde étant horizontale à l’équilibre, on supposera dans la suite que la pesanteur n’intervient pas. On se propose d’étudier les petits mouvements au voisinage de cet équilibre en utilisant le modèle suivant : On considère un point de la corde dont les coordonnées sont (x,0) à l’équilibre. Il se trouve au point de coordonnées (x,y(x,t)) hors équilibre : on néglige ainsi son déplacement le long de l’axe (Ox) en considérant le déplacement purement transversal. On choisit comme système mécanique l’élément de corde situé entre les abscisses x et x+dx, de masse µdx. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à cet élément de corde s’écrit alors :

µdx ∂2y(x, t)∂t2

uy= −T(x, t)+T

(x + xdx, t)

Où – T (x,t) et T(x+dx,t) désignent les forces de tension du fil respectivement en x et en x+dx. Cette relation vectorielle, projetée sur l’horizontale, permet de montrer simplement que, pour de faibles mouvements, la norme de la tension est constante, égale à la force F avec laquelle est tendue la corde à l’équilibre. En projection selon l’axe (Oy), on obtient ensuite l’équation suivante où α(x,t) et α (x+dx,t) désignent les angles que font, à l’instant t, les deux tensions avec l’horizontale en x et x+dx. Ces angles restant faibles, on peut assimiler les sinus aux valeurs des angles en radians. On obtient ainsi l’équation simplifiée suivante. En assimilant l’arc de corde situé entre x et x+dx à sa tangente, on peut écrire la relation précédente sous la forme classique d’une équation de d’Alembert : ∂2y(x, t)∂t2

= c2 ∂2y(x, t)∂x2

où c = Fµ

apparaît comme la vitesse de propagation de la déformation

transversale de la corde le long de l’axe (Ox). Que la corde soit pincée, frottée ou tapée, on constate que la vitesse de propagation reste la même. Elle augmente avec la « raideur » du milieu (donnée par la tension F de la corde) et diminue avec l’inertie (représentée ici par la masse volumique m) On peut retenir, plus généralement, que les ondes mécaniques se propagent d’autant plus mal que le milieu est plus mou et plus inerte.

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On s’intéresse maintenant aux oscillations libre et à une famille de solutions de l’équation de d’Alembert sous forme d’ondes stationnaires. On suppose que la corde est fixée à ses deux extrémités en x = 0 et en x = L, où L est la longueur de la corde. C’est le cas de la guitare, par exemple, où les cordes reposent d’un côté sur le chevalet et de l’autre sur le sillet. Le guitariste met en vibration les cordes d’une guitare : il génère ainsi de nombreuses ondes progressives. Seules certaines d’entre elles seront constructives après réflexions multiples. On obtient finalement un système d’ondes stationnaires et on a des conditions aux limites de résonance de la corde. L’amplitude de l’onde reste constamment nulle en certains points appelés nœuds de vibration et distants d’une demi-longueur d’onde de vibration λ. Elle est maximale en un ventre de vibration. Deux ventres de vibration sont également distants de λ / 2. L’onde obtenue se propage sur place : les nœuds et les ventres ne se déplacent pas le long de la corde. Le chevalet et le sillet, distants de L, sont situés à des nœuds de vibration.

Par conséquent, en notant n un entier naturel quelconque : L = n λn2

où λn est la longueur

d’onde associée au mode propre stationnaire de la corde, ainsi quantifié par l’entier n. La fréquence et la pulsation associées au mode n sont νn et ωn et le vecteur d’onde (encore appelée pulsation spatiale) est kn. On peut alors commenter l’influence de chaque paramètre :

• Si la corde est légère (masse volumique plutôt faible), alors la vitesse est grande et la fréquence élevée.

• Si la corde est bien tendue (la force F plutôt grande), la vitesse sera plus élevée et la fréquence également : le son sera aigu.

• Si la corde est longue (L plutôt grande), la fréquence sera faible et le son émis grave. En particulier, si la longueur doublée, la fréquence est divisée par deux : la noté jouée se situe à l’octave inférieure.

L’amplitude yn de vibration pour le mode n peut s’écrire sous la forme d’une onde stationnaire harmonique, appelée mode propre. L’équation de d’Alembert étant linéaire, la vibration globale de la corde sera une superposition de ces modes propres et l’amplitude totale y(x,t) pourra s’écrire comme la somme des contributions des différents modes propres.

• Le fondamental correspond au mode n = 1. Il a pour fréquence f1 = pc / L. • Les harmoniques correspondent à tous les autres modes, de fréquences 2f1, 3f1, …,

nf1, …. • On obtient le spectre acoustique du son en traçant l’amplitude du fondamental et de

chaque harmonique en fonction de la fréquence. • Le nombre d’harmoniques dans un son complexe, ainsi que leurs amplitudes,

dépendent de la nature de l’instrument de musique et lui confèrent sa propre caractéristique sonore que l’on appelle le timbre de l’instrument.

• En résumé, l’amplitude de l’onde donne une intensité sonore forte ou faible, sa fréquence correspond à la hauteur du son : aigu ou grave, et le contenu spectral correspond à son timbre : chaud, sourd, strident, dur…

Par exemple, une guitare et un piano jouant la même note avec la même amplitude sonore produiront des sons dont le timbre est tout à fait différent.