verbaliser en mathématiques - wordpress.com · 2019. 10. 6. · nourdin témagoult, claire lommé,...

NourdinTémagoult,ClaireLommé,RMANormandie 1

Verbaliserenmathématiques

Laverbalisationdoitêtreappréhendéeàl’oraletà l’écrit.L’écritsedécomposelui-mêmeenplusieursentrées:lesécritsintermédiaires,lesnotationsetcodages,lesécritsfinaux,etc.

Ainsilaverbalisationpeutconduireàtroisobjectifs:

1. Laverbalisationcommeobjetd’étude;

2. Laverbalisationfavorisantl’accèsàl’abstraction;

3. Laverbalisationcommeobjetderégulationdessituationsd’apprentissage.

Le langagemathématique joue un rôlemajeur à la fois dans la communication des idées et dans lacréativité. (…) L’art de la pédagogie relève donc d’un savant dosage entre explications textuelles etformulesmathématiques. http://images.math.cnrs.fr/A-propos-du-langage-et-des-notations-mathematiques.html

Aprèsavoirproposédesregardssynthétiquessurcestroisobjectifs,lasuitedudocumentproposedes

misesenactivitésconcrètespourleformateuretpourl’enseignant.


1. Laverbalisationcommeobjetd’étude.

La verbalisation peut porter sur des objets mathématiques (fractions, quadrilatères), les propriétésmathématiques(un losangeestunquadrilatèrequiaquatrecôtésdemêmelongueur)et lesrelationsentrelesobjetsmathématiques(deuxdroitessontperpendiculaires,(d)⊥(d’)).

Lalangueemployéeparlesélèvesseverraconcrétiséedansdifférentsregistres,autrementquedanslalanguenaturelle:dansleregistresymbolique(leschiffres,leslettres,lessignesopératoires),dansdesregistresgraphiques(celuidudessinengéométrie,lestableaux)parexemple.

• L’enseignantdevraveillerà l’articulationentre lesdifférentsregistresdereprésentationetcomprendrequelssontlesavantagesetlesinconvénientsdesunsetdesautres.

Exemples

o Pourtracerunecourbereprésentatived’unefonction,untableaudevaleursestbienpratique.Mais il propose une vision discrète donc non continue, et ne permet pas de connaîtrel’évolutionlesvariationsdesvaleursprisesparlafonctionentredeuxvaleursdutableau.Celanelerendpasinutile,maisamèneàréfléchiràsonsens.

o Pourévoquer lenombrecorrespondantà laquantitédetroisdizainesetquatredixièmes,onpeutdire«trentevirgulequatre»,«trentevirgulequarante»(notammentdansuncontextemonétaire),«trenteunitésetquatredixièmes».Onpeutécrire«30,4»ouutiliserdesfractionsdécimales30+4/10…Ilfaudralàencoresepenchersurleslimites, lesobstaclesqueposerontcertainsregistresdanscertainessituations.Lecasde lavirguleestparticulièrementsaillant,carellepeutêtreinterprétéecommeunséparateurdedeuxnombresentiers,maispermetdesautomatisationsapparentesquirassurentl’enseignant.

• L’enseignant devra veiller également à l’articulation entre différentes formalisations d’unmême concept. Même si le concept est stable, les représentations mentales peuventconsidérablementvarierchezlesélèves.

Exemples

o «8estunnombrepair»;«8estunmultiplede2»;«8estdivisiblepar2»;«Dansladivisioneuclidiennede8par2,leresteestnul».

o «Les deux droites dont perpendiculaires»; «les deux droites forment un angle droit»;«l’angleforméparlesdeuxdroitesmesure90°».

• L’enseignantdevratravaillersurlesensdesmots.Lesexemplessontnombreux:

Exemples

o Traceruncarré(unexempledecarré);uncarréestunrectangle(touslescarrés…)o Lesensdonnéausymbole«=»peutsignifier:

û Leplussouvent,l’annonced’unrésultat,commeparexempledans8+13=21.Lesigne«=»estalorslucommesignifiant«çadonne»,«çafait»,etilapparaîtcommeétantorienté«gauche-droite».Desécriturescomme2,3+3,8=6,1–1,5=4,6,produitesàl’occasion de la résolution d’un problème, témoignent de cette conception parfoisexclusive. Cette signification correspond à celle de la touche [=] des calculatricesordinaires.

û Ladécompositiond’unnombre.C’estlecaslorsquel’élèvedécomposeunnombresousformedeproduit (36=4 x9)ou,plus fréquemment lorsqu’il décomposeunnombre,


entieroudécimal,suivantlespuissancesdelabasedansnotresystèmedenumérationdécimale. Ainsi l’égalité 2304 = 2 x 1000 + 3 x 100 + 4 traduit que 2304 c’est deuxmilliers,3centaineset4unités.

o Le fait que deux écritures représentent unmême nombre, comme 1/4=0,25. Lorsque lesélèves ont à placer le nombre sept quarts sur une demi-droite graduée en quarts, ilspeuventvoirseptquartscommeétantquatrequartsplustroisquarts,c’est-à-direuneunitéettroisquarts,ouencorecommeétanthuitquartsmoinsunquart,c’est-à-diredeuxunitésmoinsunquart.Lesigned’égalitéexprimealorsunerelationsymétrique.

o L’homophonieetlapolysémiedumotmilieu.Jerenvoieversl’excellentlivredeJeanClaudeDenisot «Le vocabulaire au quotidien» dans la rubrique Polysémie, synonymie etantonymie, homonymie comme nous le verrons plus en détail plus loin. Un autreexempleest donné par lemot base qui peut désigner aussi bien la base d’un triangle, labased’unepyramide(etdanslaformule«base×hauteur»,celachangetout!),labasedenumération(base10pournotrenumération,base60danslanumérationbabylonienne).

o Certainsmotsserontdéfinisbienplustard.C’estpourl’instantenactequ’ilsserontcompris.C’estlecaspourlemotangle,maisaussiencycle1pourlemotcarré,etplustardlesmotspoint,droite…

o Les mots qui renvoient aux méthodes: démontrer, prouver, justifier par exemple.L’étymologiepourraitaideràlesdistinguer.


2. Laverbalisationfavorisantl’accèsàl’abstraction.

Les mathématiques sont-elles un langage ? Ne sont-elles que cela ? Vieille question de l’épistémologie,appendue à la questionmajeure : que sont les objets du discoursmathématique, et quel est leurmoded’existence?(…) YvesChevallard

La construction d’un concept est à lier au triptyquede Ferdinandde Saussure: signifiant; signifié etréférent.

• Lesignifiantestunmot,ungeste,undessin,uneimagequisertàévoquercedontonparle.Parexemple, si j’écris lemot triangle, cet ensembledehuit lettresmepermet d’évoquer la figuregéométriquedontjevaisparler.

• Lesignifiécorrespondàlareprésentationmentale,àl’idéequejemefaisd’unechose.Sij’écristriangleautableau,l’élèveseferaunereprésentationmentaled’untriangle.

• Leréférentestlachoseelle-même.

IlestànoterquececiestàmettreenlienaveclesnotionsdegéométriedessinéeetgéométrieabstraitedéveloppéeparC.Houdement1quitirentleursoriginesdesidéesplatoniciennes.

Aussi,cetteconstructionetlespratiqueslangagièressontindissociables.

Il serait illusoire de croire que l’utilisation d’un mot nouveau est synonyme de compréhension etréciproquement que lamanipulation un concept «en acte» suffit pour savoir en parler. Les deux seconstruisenteninteraction,pardesmécanismescomplexes.Lesmathématiquesnesecomprennentpassansmédia:ellesseparlent,ellessedessinent,elless’écrivent.C’estainsiqu’ellessepensentetqu’ellesvivent.L’importancedeschangementsderegistreestdoncencoreunefoisàsoulignerpourpermettrelaconstructiondesconcepts.

Verbaliserestaussiunmoyenderéévaluersespropresreprésentations:letâtonnement,l’erreursontdes éléments fondamentaux de la recherche et de la compréhension en mathématiques. Réussir àdéconstruireunereprésentationets’engagerdansunereconstructionestunpassupplémentaire,etdetaille,versl’abstraction.

Lesécritsintermédiairessontaussiunbiaispourameneràl’abstraction.Cesécritssontplusoumoinsdurables:réaliséssuruncahierd’essais,surunefeuilledebrouillonjetéeaussitôt,suruneardoise,ilsn’ontpasvocationàêtreévaluésautrementquede façon formativeou formatrice. Ilspeuventnepasêtre évaluésdu tout, doncpas viséspar l’enseignant, enparticulier si ce regard induit une inhibitionchezl’enfant.

Lorsque l’élève produit des écrits intermédiaires, sa pensée s’élabore. Elle est enmouvement et sesrétroactions lamodifient à loisir. Les traces lui permettent d’exercer sa réflexivité et d’avancer versl’abstractionenéliminantprogressivementlesélémentsparasites:lapenséedel’enfantseparleàelle-même.Ladéconstructiondescroyancesestfavoriséeetengageverslesconcepts.

Parcequelesécritsintermédiairespermettentdes’expliqueràsoi-même,ilsdoiventêtredeformetoutàfaitlibre,sansnorme.

1http://www.irem.sciences.univ-nantes.fr/archives/geometriePlane/geometriesDessineeAbstraite.pdf


3. La verbalisation comme objet de régulation des situationsd’apprentissage.

La verbalisation est tout autant un moyen d’apprentissage qu’un levier d’enseignement et donc dedifférenciation.Eneffet,lelangagepermetàl’enseignantdereleverdesindicespermettantderégulersaréflexiondidactiqueetsonactionpédagogique.Lelangageparticipedurelevédesconceptionsinitialesdesélèves.

Cependant,unécueil tropsouventobservéà l’exigenced’un lexiquespécifiquede façon tropprécoce.L’enseignantatoutintérêtàintroduireunvocabulaireprécis,rigoureuxetunivoque(maisnonunique),des expressions correctes et complètes dès que possible. Mais il doit reformuler et faire reformulersystématiquement, illustrer, montrer ces mots nouveaux dans leur sens mathématique. Il peut enévaluerl’usageparlesélèves,maisautraversd’uneévaluationformative,quiluipermetdecomprendreoùenest l’enfantdesadémarchementale,desonrapportauxconcepts. Ilyaparfoisconfusionentrel’objectif à atteindre et le cheminement (naturellement long et irrégulier) pour l’atteindre.L’apprentissageetl’usagedulexiquesontprogressifsetdesexpressionsintermédiairessonttoutàfaitnormales.Unetraceécriteestévolutive,etsonévolutiondoitêtreexplicite.

Ceci sera d’autant plus avéré avec des publics de l’éducation prioritaire afin de ne pas creuser lesinégalitésscolaires.

L’enseignant doit en permanence exercer un contrôle sur ses propres pratiques langagières: lesformulationshabituellesdanssadisciplinesontnaturellespour lui, transparentes. Il fautréussirà lesréinterroger et prendre conscience de la difficulté qu’elles peuvent représenter pour les élèves. Celanécessiteunechargecognitiveetmentaleimportantequ’ilconvientdenepasnégliger,etd’anticiper.

Les écrits intermédiaires sont des ébauches, indices précieux de l’activité de l’élève: ils sontgénéralement gommés de la version au « propre ». Ils rendent visible le travail d’élaboration, lecheminement de la pensée, les erreurs et les impasses. Ils constituent en cela unmatériau très richepour l’enseignant pour réguler les situations d’apprentissage et pour comprendre des démarchesmentales inédites pour l’adulte. C’est un véritable travail d’enquête que peutmener l’enseignant, enpartantdupostulatqueriendanslaverbalisationnerésulteduhasard,quetouts’expliqueàlalumièredelapenséepropredesonauteur.Lesécritsintermédiairespermettentaussid’expliquerauxautres.


Verbaliserenmathématiques:

Exemplesdeséances

Éclairagesdidactiques

Pourillustrercepremierobjectif,focalisons-noussurl’articulationentredifférentesformalisationsd’unmêmeconcept:laperpendicularité.

Le concept de perpendicularité s’enracine dans les expériences des enfants dans l’espace sensible, lemacro-espace,etdanslesconnaissancesspatialesquiendécoulent.

Certaines feront obstacle et d’autres seront des points d’appui fréquents, utiles dans la résolutiondeproblèmes.

Des situationsde référence sont fondamentalespour identifier laperpendicularité. Celles-ci pourrontêtretiréesdedifférentesreprésentations:unangledroit,unangleplatetsabissectrice,«lecheminleplus court» entre un point et une droite, un segment et sa médiatrice, une corde et son diamètremédiateur, un triangle isocèle et son axe de symétrie, deux parallèles et une perpendiculaire, unrectangle,un«coindecarré»,90°,untrianglerectangle,lesdiagonalesd’unlosange,unquartdetour…

Laconstructiond’uninvariantperceptifdepositionsspatialesdedeux«traits»quipermettraàl’élèvedereconnaîtrel’angledroitoulaperpendicularité,quellequesoitladirectiondeleursconstituants,estunobjectifd’apprentissagefondamentalaucycle3.

La perpendicularité relève d’abord des deux directions privilégiées de l’être humain que sont laverticaleetl’horizontale.Touteslessituationsmathématiquesdevronttenircomptedecetaspecttoutenpermettantauxélèvesdeledépasserafind’éviterlaconstructiond’imagesmentalesprototypiques.Ainsi dans le cadre duméso-espace, l’espace de la feuille pourrait s’ériger en obstacle, car les élèvesplacerontcelle-cidefaçonàavoirlescôtésdel’angleenvéritablepositionhorizontale/verticale.

Leconceptdeperpendicularitéseconstruiraenlienavecd’autresconceptsdegéométrie.Toutd’abordavec celui de l’angle, ici l’angle droit (même si les autres angles seront travaillés),mais aussi avec laperpendicularité et la symétrie axiale, la perpendicularité et la distance, la perpendicularité dansdesfiguresgéométriquesparticulièrescommelerectangle.

On retrouve ici la théorie des champs conceptuels comme espace de problèmes ou de situations-problèmes dont le traitement implique des concepts et des procédures de plusieurs types en étroiteconnexion, ainsi que les représentations langagières et symboliques susceptiblesd’êtreutiliséespourlesreprésenter.


1. Laverbalisationcommeobjetd’étude.

1.2 Séancetraitsurtrait2

Descriptionrapide:Danscettesituation,leproblèmethéoriqueposéestdeconstruirelaperpendiculaireàunedroiteenunpointdecettedroite.

L’élèvevadevoirrechercherl’axepermettantd’anticiperlepliaged’unedroitesurelle-même,pliagequiest désignépar «pliage trait sur trait»: il s’agit deplier la feuille de telle façonque lesdeuxpartiesobtenuesdutraitenquestionse«superposent»commedanslesdessinsci-dessous.

Après un temps de familiarisation avec ce pliage, les élèves vont progressivement conceptualiser; ils’agitdefaireapparaîtrelaperpendicularitécommeoutilderésolutiondeproblème.

L’angle droit apparaît ici dans un contexte de perpendicularité de droites. Là encore, il ne s’agit pasd’introduirelaterminologiecorrespondanteetaucuneinstitutionnalisationdelaperpendicularitén’estprévue. Des connaissances relatives à l’angle droit (reconnaissance, tracé, instruments…) qui ontcommencé à s’élaborer au cours des situations suivantes précédentes devraient réapparaître etpermettreà l’élèvededépasser lecadreperceptifpouravancervers laconstructiond’un invariantdepositionspatialededeuxtraits.

Objectif:

Amenerprogressivementlesélèvesàdépasserladimensionperceptiveetinstrumentéedespropriétésdesfiguresplanespourtendreversleraisonnementhypothético-déductif.

Compétences:

Chercher:S’engagerdansunedémarche

Modéliser:Passerd’unlangagecourantàunlangagemathématique

Représenter:Imaginer,concevoiretréaliserdesproductionsdenaturesdiverses

Raisonner:Rechercherlavaliditédesaffirmations

Communiquer:Expliqueràl’écritouàl’oralunedémarche,unraisonnement.

2Séanceissued’ERMELapprentissagegéométriqueetrésolutiondeproblèmeaucycle3


Déroulement:• Étape1:Pliertraitsurtrait

L'enseignantdonneàchaqueélèvesafeuilledeplisetluidemande,enluimontrantcommentprocéder,deplierselonletrait«Jeplielafeuilledefaçonàamenerletraitsurletrait ; faitesdeuxplisdecettemanière ». Pour guider le pliage, on utilise le fait que le trait initial se devine à travers la feuille(intérieurouextérieur).

Quandchaqueélèveaeffectuésesdeuxplis,iléchangesafeuilledeplisavecsonvoisin,quivérifiesionobtientbiendeuxpliagestraitsurtrait.Siunpliagen'estpasconforme,ilbarrelepli.Onproposedesfeuillesnonrectangulairespournepasdonnerpourrepèresauxélèveslesbordsdroitsdelafeuille.

• Étape2:Reprise

L'enseignantdemandeensuitedefairelemêmetypedepli,maispassantcettefoisparlespointsAetB,puisdetracerlesplisencouleur.

Chaqueélèveéchangeensuitesaproductionavecsonvoisinquilavalide.Cettefoisdeuxconditionssontàvérifier:ils'agitd'unpliagetraitsurtraitetleplipassebienparlepointmarqué.

• Étape3:Anticipationdutraitdepliagepassantparunpoint.

Danscettephase, lesélèvesdoiventanticiper lapositionduplipermettantunpliage trait sur trait ettracerletraitquiguideralepliageavantdelaréalisereffectivementlepliage.«Voussavezpliervotrefeuille,traitsurtraitenpassantparlepointC.Maiscettefois,avantdeplier,vousdevezprévoirparuntrait au feutre l'emplacement du pli. Vous vérifierez ensuite si votre prévision est bonne en pliant lafeuille.»Lesélèvesontàleurdispositiontoutlematérielnécessaireàleursexpérimentations.Plusieursprocéduressontpossibles:

o Procédure1 : trait tracéau jugé, trèséloignéde lapositionperpendiculaireau traitinitial.

o Procédure 2 : trait « à peu près » perpendiculaire basé sur une perception de laperpendicularitéissuedestracésantérieurs.

o Procédure3:traitobtenuenutilisantuncoindefeuillerectangulaire.o Procédure4 : trait tracé à l'aided'un instrumentdu typeéquerre, réquerre,double

décimètreutilisécommeuneréquerre.

Pargroupede4,lesélèvesvérifientsilestraitstracéscorrespondentbienauxpliages.


• Étape4:Jugersansplier

Onproposeraauxélèvesdesproductionsdutype«J'aiphotocopiéquatrefeuillesdepliseffectuésdansuneautreclasse.Pourchaquetrait fin,vousdevezdires'ilcoïncideavec leplidupliagetraitsurtraitcorrespondant.Lamiseencommunpermettradevaliderl'usagedesdifférentsoutilsutilisés.

• Étape5:Construireunangledroitavectouslesoutils.


1.2 Séancequatredroitspouruntour3Descriptionrapide:

Cettesituationpermetd’aborderunenouvellesignificationdel’angledroit:lequartdel’anglepleinoul’angleduquartdetour.Laclassedisposed’anglesde30°,45°et60°.Ils’agirapourlesélèvesdetrouvertouteslescombinaisonspossiblesd’anglespourformeruntour,sanssuperpositionniécartementdespièces;cespiècesaurontunsommetcommunetuncôtécommun;lesanglesserontdoncadjacents.

Objectifs:

Envisagerunangledroitcommeangleduquartdetour(ouquartdel’angleplein).

Reporterunangle.

Construireunangledroit.

Percevoirquedansdifférentesreprésentationsd’unmêmeangle,seulel’ouvertureestinvarianteetnonlalongueurdestraitsoulasurfacecorrespondante.

Fixerdesélémentsdevocabulaire:angle,report,«tour»

Compétences:






3D’aprèsuneséancetiréedusitePierrecarréeetd’ERMELapprentissagegéométriqueetrésolutiondeproblèmeaucycle3


Déroulement:

• Étape1:Qu’est-cequ’unangle?

Ilestdifficilededéfinircequ’estunangleavecdesélèvesdel’écoleélémentaire.Nousallonstenterdeledéfinirenacteenutilisantl’ouverturedelaporteafind’amenerlesélèvesaveclejeuduJacquesaditàcomprendrecequ’estunangle.Jemeplaceàl’extérieurdelasalleetj’ouvreplusoumoinslaporteetjedis:«Jacquesaditd’êtredansl’angledelaporte».Certainsélèvesrisquentdenepascomprendre.C’estl’occasiondeleurexpliquercequ’estunangle.Unedéfinitionpossiblepour l’enseignant :portiondeplandélimitéepardeuxdemi-droitesdemêmeorigine.Pour lesélèves ;définitionprovisoireet fonctionnelle : c’est toute laplacequ’ilyaentre lemuret laporte en remarquant que je me trouve à la « rencontre » des deux (à l’intersection, à l’origine, ausommet).Cette«place»estinfinieets’étendendehorsdelaclasse,del’école.PourillustrermonproposjeproposeauxélèvesdecontinueràjoueràJacquesaditencommentantlesréactionsdes élèves et enproposantdespositionsquine conviendraientpas. Il ne fautpashésiter àconfronterlespointsdevuedesélèvesenlesfaisantverbaliseretenreformulant.

• Étape2:Travaileninteractionaveclesélèves.

Onprésentelespiècesauxélèvesetonlesdisposeautableau.Onpeutleurposerdesquestionsdutype:o Oùsetrouvel’anglesurchacunedespièces?(Ils’agitd’êtrevigilant;lesélèvesrisquent

dedésignerl’origineoulesdeuxdemi-droites.Ilfautimpérativementlesreprendre.)o Pouvez-vousrangercesanglesdansl’ordrecroissantdeleursmesures?o Commentpourrait-onlescomparer?(Parsuperposition)

«Voiciledéfiquejevouspropose.Jevaiscommenceràplacercertainespièceslesunesàcôtédesautrespourfaireuntourcomplet.Vousdevrezvenirautableaupourterminermontravail.»Lesélèvesferontunepremièrepropositionetdesajustements.Relancer la classe en demandant s’il y avait d’autres solutions possibles; les élèves font d’autrespropositions.

• Étape3:Nouvellerechercheplusspécifique.

Voici un nouveau défi : en utilisant une seule pièce, comment faire un tour complet ? (Réponse parreport)

o Faireunpremiertracéetproposerauxélèvesdefairelesautres.o Compterlenombredereportsenchangeantdepièces.o Recommenceravecunepièceaveclaquellenousnepouvonspasobtenirdetourcomplet

(demanièreànepasgénérerdeconceptionsfaussesauprèsdesélèves)

• Étape4:Dernierdéfi(leplusimportant)

«Vous allez maintenant fabriquer votre propre pièce. Elle devra répondre à une règle : votre piècedevrapermettredefaireuntourcompletenfaisantexactement4reports.Jevaisvousdonnerdupapieretvouspourrezfaireplusieursessais.Nous prendrons la pièce d’un élève qui a réussi. Nous vérifions que la pièce répond à la règle encollectif.»L’enseignant pourra amener les élèves à faire quelques remarques : à quel matériel géométriqueressemblecettepièce?(àÉquerre)Oùsetrouvel’angle?Commentlenomme-t-on?(àAngledroit).Enfin, l’enseignantproposeraune comparaisondesanglesdedébutde séanceavec l’angledroitpourposerlevocabulaireetinstitutionnaliser.


1.4 Surlatracedesroues

Descriptionrapide:

Cettesituationmobiliseunereprésentationduparallélisme:«l’écartconstantentredeuxdroites».

NousnousimaginonssurlerallyeParisDakar,danslasteppeafricaine…Uncamionaroulésurlesable,lestracesdesesrouessontbienvisibles;ilatraverséunmarigot,maisleventaeffacéunepartiedestracesqu’ilalaisséesensortant.Ils’agitdetracerleuremplacement.

Objectifs:

Identifier perceptivement deuxdroites parallèles et associer cette relationdeparallélisme à un écartconstant.

Faireapparaîtrel’écartconstantentredeuxdroites,associéàlaperpendicularité,commeunoutilpourreconnaîtredeuxdroitesparallèles.

Faireapparaîtrel’écartconstantentredeuxdroites,associéàlaperpendicularité,commeunoutilpourtracerunedroiteparallèleàunedroitedonnée.

Compétences:







Problème

Un trait droit, représentant le bord d’une bande, est dessiné sur une feuille. L’élève doit tracer ledeuxièmeborddelabandeenallantchercherdesinformationssurunebandetémoindemêmelargeur.La mesure de cet écart selon une direction donnée est implicitement induite par le contexte de lasituation.

12 3

Pourobtenirlesfeuillesdetravail,ilsuffitdedécouperdescopiesdelafeuilledeprésentation.

Lapartie1,miseàdistance,estlasourced’informations,lapartie2estlafeuilledetravaildel’élèveetlapartie3sertàlavalidationpratique.

Un changement de direction entre le couple de droites parallèles données et le couple de droitesparallèles à construire est prévu pour limiter le recours aux procédures relevant du glissement oumêmedel’alignement,etpourfavoriserlesprocéduresrelevantdel’écartconstant.

L’inclinaisondu couplededroitesdonnéespar rapport auborddumarigot est différentede celle ducouplededroitesàconstruiredefaçonàmettreenévidencelanécessitédemesurerl’écartlelongd’unedirectionfixe.

Variabledidactique

L’écartentrelesdroitesparallèles

L’écartestd’environ3,5cmdansunpremiertemps(attentionàcequ’ilnecorrespondepasàlalargeurd’une règle.), et il devient d’environ 5 cm ensuite, de façon à rendre plus difficile l’utilisation desprocéduresaujugéouutilisantleglissement.

Procédurespossibles

• Aujugé• Parglissement,enconservantladirection,lalargeurdelabandeétantestiméeaujugé.• Parmesurede l’écartsur leborddumarigotetreportsur l’autrebordselonunedirection

déterminéeparglissementoudefaçonperceptive.• Parmesuredel’écartselonladirectionperpendiculaireàcelled’unborddechaquebandeet

reportendeuxpoints.• Utilisation de la double perpendicularité pour le tracé avec mesure de l’écart en un seul

point,selonuneperpendiculaireàl’undesbords(tracéesurchacunedesdeuxbandes).


Matériel

• Pourlaclasseo Unexemplairedelafiche1agrandieauformatA3oupourlaprojectiono Un exemplaire de la fiche 2 agrandie au format A3 et coupée en trois parties selon les

pointillés.o Quelquesexemplairesdelafiche2agrandieà141%dontlestroispartiessontdécoupées

selonlestirets.

• Pouruneéquipededeuxélèveso Un exemplaire de la partie 2 de la fiche 2 (à découper selon les tirets pour enlever les

partieshachurées)agrandieà141%.o Unexemplairedelapartie2delafiche2,agrandieà141%etdécoupéeselonlestirets.

Onveilleraàenleverlesrèglesgraduéesdontlalargeurestinférieureàcelledelabandedefaçonànepasfaciliterlestracésaujugé.

1 2 3

• Pourchaqueélèveo Unexemplairedesfiches3et4.

Déroulement:

• Premièrephase:Résolutiondeproblèmeo Étape1:présentation

Lesélèvessontrépartispargroupededeux.

Leprofesseurmontrelafiche1agrandieauformatA3(ouprojetée)pendantqu’ilprésenteleproblème.

«NousnousimaginonssurlerallyeParisDakar…Latâchereprésenteunmarigotetlesdeuxbordsdelabandereprésententauxtraceslaisséesparlesrouesd’uncamiondanslesable.Celui-ciatraversélemarigot,maisleventaeffacéunepartiedestracesquelecamionalaisséesensortant.

Vousdevreztracerletraitreprésentantlatraceeffacée.»

Leprofesseurafficheau tableauau tableau la fiche2agrandieau formatA3préalablementdécoupéeselonlestirets.

«Attention, les plans dont nous disposons sont partagés en trois parties. Je vais distribuer unexemplaire de la partie 2 à chaque groupe; c’est sur cette feuille que vous devrez dessiner le trait


représentant la partie effacée. Si vous en avez besoin, vous pourrez consulter les exemplaires de lapartie1quejevaisrépartirdanslaclasse,maisvousnepouveztransporternicesfeuillesnilesvôtres.Jegardelesexemplairesdelapartie3;ilsservirontplustard.

o Étape2:Réalisationetmiseencommun

Lesélèvesréalisentlatâcheparbinômespuisceux-civiennentsuccessivementafficherleurstravauxautableauendécrivantleursprocédures.

Ceuxquireconnaissentleurprocéduredanscellequedécriventleurscamaradesviennentafficherleurtravailau-dessous.Onréaliseainsiuntridestravauxselonlesprocéduresutilisées.

Untempsdedébatdoitpermettreunepremièreévaluationdesproductionsaffichées(oudecertainesd’entreelleschoisiesparlemaître)entermesdutype«c’estbon»«c’estpasbon»

L’idéedevalidationparrecollementde lapartie3ouéventuellementparsuperpositionde lapartie1devraitémerger.

Cettephasedevalidationdoitpermettredemettreenévidence leserreursou imprécisionsde tracésdanslesprocédures1,23et4.

• Deuxièmephase:Reprise

Pourlareprise,onutiliseunagrandissementduplanprécédent(parties1et2agrandiesà141%)aveclesmêmes contraintes demise enœuvre. En ce qui concerne la validation, lamise en commun doitporter essentiellement sur les procédures employées pour prendre en compte les contraintes duproblème.

Lavalidationpratiquen’estplusnécessaire;siellesefait,ilestpréférabled’utiliserlasuperpositiondelabanderéponsesurlabandedonnéedefaçonàéloignerlecontexte.Silemaîtrechoisitdeconserverune validation par recollement avec la partie 3 ou si les élèves en ont besoin, il faut alors utiliser lapartie3agrandieà141%.

L’agrandissementdoitpermettred’accentuer leserreurs,de lesmettreplus facilementenévidenceetparconséquentderejeterlesprocéduresdetracéaujugéouparreporterronédel’écartsicelan’apasétéfaitàl’étapeprécédente.

• Troisièmephase:Institutionnalisationetexerciceso Étape1:Institutionnalisation

«Lestracesdesrouessontdeuxdroitesparallèles»ou«nousavonstracéunedroiteparallèleàcellequiétaittracée».

o Étape2:Entraînement

Proposerdesexercicesoùils’agiradereconnaîtresideuxdroitessontounesontpasparallèles,maisaussitracerunedroiteparallèleàunedroitedonnée.

Prolongementpossible:

Onpourrait,enprolongement,fairechercherauxélèvesletrajetsuiviparlevéhiculedanslemarigot.Leproblèmeadmetdiversessolutionsqu’ilseraitintéressantdefaireexpliciteretdecomparer.


1.4 «1,2,3soleil»4

Descriptionrapide:

Dans l’espace ordinaire, la notiondedroite perpendiculaire à une autre est généralement convoquéespontanément par les élèves dans la situation de jeu « 1, 2, 3, soleil ». On peut parler ici de «connaissance en acte ». Cette situation est particulièrement intéressante, car elle met en avant lapropriétédepluscourtedistanced’unpointàunedroite.Vécuedanslacourderécréation,puissurunemaquette avec de petits personnages, cette situation est reprise en représentation sur la feuille depapier demanière à renforcer les imagesmentales de droites ou de segments perpendiculaires sansprivilégierlespositionshorizontalesetverticalesouparallèlesauxbordsdesfeuillesdepapier.

La fabrication d’une équerre en papier par double pliage met en évidence le fait que deux droitesperpendiculairessecoupentenfaisantquatreanglesdroits.

Desexercicesd’entraînementd’identificationoudeconstructiondedeuxdroitesperpendiculairesentreelles ou de droites perpendiculaires à une droite donnée sont proposés ; perception visuelle globale,vérificationinstrumentéealternentpouraffinerlaconstructiondecettenotiondeperpendicularitéchezlesélèves.

Objectifs:

• Se construire des images mentales de droites perpendiculaires, quelles que soient leursdirections.

• Comprendrequedeuxdroitesperpendiculairesformentdesanglesdroits.• Recherchedelapluscourtedistanced’unpointAàunedroitedLaperpendiculaireissuedeAà

ladroiteestlasolutionexperte.

Compétences:






4D’aprèsEuromathsCE2


Déroulement:

• Étape1:danslacour

Proposerunepartiedejeu«1,2,3,soleil».

Lamoitiédesélèvesjouent,lesautresobservent.

Faire à plusieurs reprises des arrêts de jeu. À chaque arrêt, les joueurs entourent l’emplacement deleurspieds,cequivapermettredevisualiserlatrajectoiredechacun.

Puisfaireundernierarrêtdejeu,endemandantauxobservateursdemesurerladistancequ’ilresteàparcourirpourchaquejoueur(unobservateurpourunjoueur).

Reprendreunepartieenéchangeantlesrôles.

Discuter sur les procédures utilisées pour mesurer les distances restantes et sur les positions desdifférentestrajectoiresparrapportaumur.

Matériel:

Pour l’activité préparatoire, dans la cour : mètre de la classe, ficelle, mètre de menuisier ou decouturière.

• Étape2:avecunemaquette

Reprendrecetteactivitéengroupeavecunemaquette(lesdifférentsgroupespeuventveniràcetatelierà tour de rôle) : sur une feuille de papier de format A3, positionner unmur (par exemple avec desbriquesdejeudeconstruction)etplusieurspersonnages(autantqued’élèves).

Demanderàchacundetraceraucrayonlatrajectoirequedevraempruntersonpersonnage,puisfaireavancerlespersonnagessurleurchemin.

Engagerunediscussion.

Matériel:

Pour lamaquettede l’activitépréparatoire :une feuilleA3,des cubesd’un jeude constructionetdespetitspersonnages.

• Étape3:

Distribuerlasituationci-dessous.


Lesélèvesprennentconnaissancedu textede l’illustration,duschémaetdesconsigneset font le lienavecl’activitépréparatoire.

Sur le schéma, on voit de « haut » le mur représenté par un long rectangle jaune, on voit lesemplacementsdesenfants ;maisonnevoitpasceluidumeneurde jeu.Questionner lesélèvessur letravailàfaire.

Travail individuel: laisser les élèves travailler seuls sans leur donner d’indication sur lamanière derépondreauxquestions.

Miseencommun:reproduiresurletableaudelaclasseleschémadulivre,enprenantsoindenepasplacerlemurverticalementouhorizontalement(afindenepasfavoriserdesconceptionserronéesdelaperpendicularité:uneperpendiculairec’estuneverticalevoireunehorizontale).

DemanderàquelquesélèvesdevenirtraceràmainlevéelescheminsdeHugoetdeThéo.Discuterdespropositions,fairedéterminerapproximativementleurlongueur.

Conclurequepourallerleplusviteaumur,ilfautparcourirlepluscourtchemin,c’est-à-direceluiquiestperpendiculaireaumur.

Fairevérifieravecl’équerreenpapierlescheminsquiconviennent.

L’enseignantpourraarticulercetravailsurlesdifférentesformalisationsd’unmêmeconceptavecceluisurlesensdesmots,notammentlasynonymie.

ÉclairagesdidactiquesParlerdesynonymie,c’estdansl’entendementgénéralévoquerdesmotsdemêmesensetonproposeassezrapidementdessériessusceptiblesd’illustrerdessens«identiques»(lefameux«mêmesens»).Des mots de même sens devraient pour correspondre à cette caractéristique être totalementinterchangeables,parfaitementsuperposablesquellequesoitlasituationdanslaquelleonlesemploie.Cettesynonymieparfaiteettotaleestrare.La majorité des cas correspond soit à une synonymie partielle soit à une synonymie conjoncturelle(c’est-à-diredanscertainesconditionsd’emploi).Enréalité,sil’oninterrogel’étymologie,cen’estpasdemotsdemêmessensquel’ondevraitparler,maisbiendemotsquel’onpeutregrouperensemble(syn.veutdireavec)etcettealliancesémantiqueneseréalisegénéralementqu’àcertainesconditions.Cettedifficultéréelledetrouverdessynonymes«parfaits»estaisémentcompréhensible.Leslistesdemotsproposéssonthabituellementconstruitesavecdestermescourantsgénéralementpolysémiques.Lasynonymienes’appliquealorsqu’àunefractionduchampsémiquedulexèmeconsidéréetseulslesmotssémantiquement«étroits»sontsusceptiblesdes’apparierdemanièreprécise.Aussi,un travailscolairesurlasynonymiesedoitd’intégrerlarichesselexicaleetsémantiquedelalangue;etlerecoursàdes tableauxdedistribution sémiquequenous allons illustrer avec l’exempledumotdroit (en lienavecl’angledroitvudanslesséancesprécédentes).


1ertravailpossible:Recherchedesynonymesoud’expressionsynonymiques.

SupportsdetravailSynonymeouexpressionsynonymique

1.Pourallerauvillage,vousdevezroulertoutdroit

2.Pouvez-vousremettredroitlecadrephoto?

3.Avecmonéquerre,jepeuxidentifierunangledroit.

4.Vousparlezbeaucoup!Allezdroitaubut!

5.J’aimalaubrasdroit.

6.Pourallervoircespectaclevousdevezvousacquitterd’undroitd’entrée.

7.Monfrèreestavocat.Ilestspécialistedudroit.

8.Vousavezdesdroits,maisaussidesdevoirs.

2etravailpossible:Constructiond’untableausémique.Supportsdetravail

1.Cecheminestbiendroit.

2.Pouvez-vousremettredroitlecadrephoto?

3.Avecmonéquerre,jepeuxidentifierunangledroit.

4.Vousparlezbeaucoup!Allezdroitaubut!

5.J’aimalaubrasdroit.

6.Pourallervoircespectaclevousdevezvousacquitterd’undroitd’entrée.

7.Monfrèreestavocat.Ilestspécialistedudroit.

8.Vousavezdesdroits,maisaussidesdevoirs.

Quelques synonymes possibles : rectiligne - 90°- directement - opposé à la gauche - loi – privilèges-vertical-contribution.Àpartirdecettelistedesynonymesproposés,ilestpossiblederechercherlesensdesmots.


Construireuntableausémique:(enrépondantparouiouparnon)

Phrase1 Phrase2 Phrase3 Phrase4 Phrase5 Phrase6 Phrase7 Phrase8

rectiligne

90°

directement

Opposé à lagauche

loi

privilèges

vertical

contribution


2. Laverbalisationfavorisantl’accèsàl’abstraction

2.1 SéancedesfigurestéléphonéesObjectifs:

Fairereproduireauxélèvesunefiguresimpleetleurfaireécrireunprogrammedeconstructionqu’ils

vonttransmettreàd’autresquinevoientpaslafigure.

Compétences:






Déroulement:

LesélèvessontpargroupesdedeuxetchaquegroupeAestassociéavecunautregroupeB.Lesélèves

desgroupesAontlafigureAetlesélèvesdugroupeBontlafigureB.

Lesélèvesontpourconsigned’écrireunmessageàdestinationde leurgroupeassociéquinevoitpas

leur figure, afin que ceux-ci puissent la reproduire. Lemessage ne doit comporter aucun dessin. Les

motsdéictiques«haut»,«bas»,«droite»et«gauche»sontinterdits.Leprofesseursechargedefaire

circulerlesmessagesdanslaclasse.

L’activité se fait en groupe. Chaque groupe est à la fois émetteur d’un message et récepteur d’un

message.

Lesgroupesdoiventd’aborddécrireàl’aided’unprogrammedeconstruction,lesfiguresquileursont

données. Chaque groupe possède des figures différentes (fiche A, B ou C), mais dont l’approche est

semblable.

Après un temps qu’il vaut mieux ne pas définir en début d’activité, les groupes s’échangent leur

productionetdevrontalorsréaliserlesconstructionsénoncéespard’autres.

Ilestattribuédespointsd’«aller»(cequicorrespondàl’écritureduprogrammedeconstruction)et

despointsde«retour»(cequicorrespondàlaréussiteparunautregroupedelafigureainsidécrite).

Afin d’éviter que l’autre groupe ne se précipite, il bénéficie aussi des points de « retour » (ce qui

correspondàlaréussitedelafiguredécrite).


2.2 Lamanipulationdel’équerre5

Objectifs:

Fairecomprendreàquoisertvéritablementl’équerre,enpassantparlamanipulationetlaverbalisation

decetoutilpourconceptualiserl’angledroitets’abstrairedesesreprésentations.

Compétences:

Chercher:S’engagerdansunedémarche,tester,conjecturer

Modéliser:Passerdelaperceptionàl’abstractionens’appuyantsurlelangageetlamanipulation

Représenter:Changerderegistresdereprésentation



Déroulement:

• Étape1:découvrirl’objetéquerreetposerunvocabulairecommununivoque

L’équerre devrait être un outil réservé à la vérification et la construction d’angles droits (et parextension de parallèles). Ce n’est pas le cas, car souvent les équerres sont graduées. Une équerregraduéedevientaussiunerèglegraduée,cequiluiôtedesonsens.Pourdesenfantsdecycle2,ilseraitpréférable,entre legabaritet l’équerregraduéeclassique,deproposer l’utilisationd’uneéquerrenongraduée.Demême l’équerrede tableaudevrait êtrenongraduée.Cela rend l’objetplus simple sur leplancognitif,enlienplusdirectavecdaraisond’être.

Puisque l’équerre est une représentation de l’angle droit, il n’est pas utile, etmême contre-productifqu’elle dispose d’une hypoténuse. La présence de l’hypoténuse est pratique comme «poignée»,maiselletransformel’équerreentriangle.Làencore,c’estdévierl’équerredesaraisond’être.

5Latotalitédecetteactivités’appuiesurlestravauxd’EdithPetitfour:https://www.ldar.website/edith-petitfour

Hypoté

nuse :

dans u

n trian

gle rec

tangle

,

côté q

ui fait

face à

l’angl

e droi

t


Équerre non isocèle; la graduation débute à quelquesmillimètresdusommetdel’angledroit

Équerrenonisocèle;lagraduationdébutesurlesommetdel’angledroit.

Équerreisocèle;beaucouptropd’informationspourdesélèvesdébutantdansl’utilisationdel’équerre

Équerreauxcôtésdel’angledroitégaux,sansgraduationnihypoténuse:équerrescolaire

Équerre aux côtés de l’angle droit non égaux, sanshypoténuseetnongraduée:équerredemaçon

Équerre aux côtés de l’angle droit non égaux, sanshypoténuseetnongraduée:équerredemenuisier

Lesélèvesmanipulentbienmieuxavecuneéquerresansgraduation.Lesgraduationsontuneinfluencedirecte sur lesprocédésmanipulatoires : les élèves laplacent «le longdu0»,mais ce «0»n’estpastoujourssurlesommetdel’angledroit.Oubienilscherchentenmêmetempsàmesureretàobteniruneperpendicularité.Pourdesenfantsdecycle2(etparfoisplustard),c’esttropenmêmetemps,etilsnesavent plus vraiment à quoi sert l’équerre. Il est donc nécessaire d’expliciter ce qu’est et à quoi sertl’équerre.

Quand un élève contemple, perplexe, son équerre, la faisant tourner et tourner encore comme s’ilpouvaitlaconsidérerdansdouzesensdifférents,c’estbienqu’ilperçoitunchoix.C’estnormal,puisquelescôtésnesontpasde lamême«nature».Onestcette foisdans l’entréede laverbalisation liéeauxconcepts... Avec une équerre quimatérialise «en dur» un gabarit, l’élève la place très généralementcommeilfaut.Sanshypoténuse,pasdeconfusionpossible.

L’enseignantdit:

à Sortezvotreéquerreà Àquoisertcetinstrument?

On attend que soit évoqué l’angle droit. L’enseignant reformule en faisant le lien avec le gabarit, déjàutilisé.

à Montrez-moil’angledroitdevotreéquerreBeaucoupd’élèvespointerontsansdoutelesommetoumontrerontlecoincorrespondant;l’enseignantfaitunemiseaupointsurlasurfaceàparcourir:l’angleestcomprisentrecesdeuxcôtés.L’enseignantfaitlemouvementdebalayageenutilisantsonpoignetousoncoudecommesommetdel’angledroit.

à Maintenantquenousavonsexpliqué,montrez-moiànouveaul’angledroitdevotreéquerre


à Parcourezavecvotredoigtuncôtédel’angledroitdel’équerre;unautrecôtédel’angledroitdel’équerre

à L’enseignantveilleàcequelesélèvesparcourentvraimentlescôtés,defaçondynamiqueetnonstatique,entouchantlesbordsdel’équerre.

à Pointezlesommetdel’angledroitdel’équerre

• Étape2:manipuler,tester

L’enseignantvérifiequelesélèvesontcompriscommentmanipulerl’équerrepourtestersiunangleestdroitounon,parexemple,surlafiched’anglesàtester6.

Ilscommencentparestimeràvued’œilpuiss’aidentdel’équerre.Lorsquel’angleestdroit,lesélèveslecodent.

• Étape3:institutionnaliser

Attention à ne pas institutionnaliser en induisant des représentations mentales incomplètes ouerronées. Par exemple, si on ne se place que dans des polygones, un enfant peut penser qu’il n’y ad’anglesdroitsquedansdespolygones.

6Commesurprimaths,http://primaths.fr/outils%20cycle%202/angledroit.html


3. La verbalisation comme objet de régulation des situationsd’apprentissage

3.1 Séancepermettantdedevinerlesolide.

Descriptionrapide:

Ils’agitpourlesélèvesderetrouver,parmiunlotdesolide,etgrâceàdesquestionsfermées(auxquelleson ne peut répondre que par «oui» ou par «non») le solide caché par un groupe d’élèves ou parl’enseignant.

Objectifs:

Amener lesélèvesàdécrire lessolidespar leurspropriétésgéométriquementtellesque lenombredefaces,d’arêtes,desommets,naturedesfaces,etnonplusparleurspropriétésqualitativestellesquelacouleur,laformegénéraleouencoreparcomparaisonavecdesobjetsdelaviecourante.

Cette situation permettra de préciser et de donner du sens au vocabulaire spécifique aux polyèdres(faces,arêtes,sommets,etc.),maiségalementàcertainesfiguresplanes.

Compétences:






Variablesdidactiques:

Lechoixdusolideàretrouveretdessolidescomposantlelot

Cesontdesvariablesquipermettentdemettreendéfautlesdescriptionsqualitativesdesélèves.Nousproposonsdoncdessolidesqui seressemblentperceptivementafind’amener lesélèvesàutiliserdespropriétésgéométriquespourlescaractériser.

Pour rendre indispensable la caractérisation des solides par leurs faces, arêtes et sommets, et ainsidonnerdusensàcevocabulaire.,nousévitonsdemettredanslelotdessolidesquelesélèvespeuventdésignerfacilementparleurnom(parexemple,lecubeoulepavé).

Lanaturedelacommunication:

Elleestégalementimportante.Eneffet,enrestreignant lacommunicationàdesquestionsfermées,oninfluesurlaprécisionduvocabulaireetlacommunicationestainsifacilementexploitable;onpeutalorsengarderunetrace.


Procéduresvisées:

Lapremièredifficultéà laquellevontseconfronter lesélèvesest la formulationdequestions ferméesnonambiguës).

Exemplesdequestionsauxquelleslesélèvespeuventpenser:

• des propriétés qualitatives définissant la forme comme dans: «Est-il en forme de pointe decrayon?»,oubien:«Est-ildelaformed’unetente?»;

• des termes sociaux etnongéométriques comme: «Y-a-t-il sixpointes?», oubien: «lesmurssont-ilsdescarrés?»;

• des ambiguïtés confondent le 2D et le 3D comme dans: «Est-il de la forme d’un losange?»(Alorsqu’ils’agitd’undoubletétraèdre).

L’enjeuestquecevocabulairesoitdisqualifiéauprofitduvocabulairegéométrique:arêtes,sommets,facesetnaturedes faces.Lesquestionspertinentessontalors:«A-t-il six faces?»,A-t-ildes facesenformedetriangles?»,A-t-ilsixsommets?».

Matériel:

Chaquesolideporte,aucrayondepapier,unelettrequipermetauxélèvesdeledésigner.

Un lotdehuitsolides(ci-dessous)etun lotsupplémentairepourextraire lesolideà fairedevinerpargroupe de quatre. Suivant les différentes phases, les solides cachés sont respectivement: le solidecomplexe,lapyramideàbaserectangulaire,puisleprismeàbasepentagonaleetlepavédroit.

Dans un grand tableau affiché seront récapitulées les questions posées et les réponses apportées,chaquegroupedisposed’unefeuillesimilairesurlaquelleilpeutpréparersesquestions(ilfautdoncaumoinsunefeuillepargroupeetparphrase).

Questions Réponses(«oui»,«non»,«pasderéponse»)

1

2

…


Déroulement:

Lesélèvespargroupesdequatre.Ilsontunlotdesolidesetposentlesquestions.

Deuxélèvesoul’enseignantontlesolideàtrouver,dansuneboîte,àl’abridesregardsdesautresélèves.Ilssontdevantletableau,parexemple,etrépondentauxquestions.

Sic’estl’enseignantquialesolidecaché,lacommunicationpeutêtreplusrigoureuseetplusstructurée,maismoinsricheendébatspossiblesentrelesgroupesquiposentlesquestions.

• Étape1:Jeudequestions-réponsesentrelaclasseetungrouped’élèves.

o Phase1:préparationdesquestions

L’enseignantdésignelesdeuxélèvesquisontautableauetlesautressontregroupésparquatreavecunlotdehuitsolides.L’enseignantpeutcommencerparleurfaireobserverlelotdesolidesàdisposition.Danscettepremièrephase,lesolidecachéestlesolidecomplexe.

Consigne: «Vous devez poser des questions aux deux élèves qui sont au tableau pour deviner quelsolide ilsontdevanteux.Ce solide se trouve forcémentparmi ceuxquevousavez survotre table.Legroupequialesolidecachénepeutrépondrequepar«oui»oupar«non».D’abord,vousdevezvousmettred’accordsurlesquestionsquelegroupevaposeretlesécriresurlafiche.

Chaque groupe posera ensuite une question jusqu’à ce qu’un groupe ait trouvé, à coup sûr, de quelsolideils’agit.Bienévidemment,ilestinterditdeposerdesquestionssurlalettrenotéesurlesolide.»

Lesélèvessemettentd’accordsurlesquestions.Ilsdoiventenécrireplusieurs,carcertainesquestionsvontêtreposéespard’autresgroupesetilsrisquentd’êtreàcourtdequestions.

Voiciunexempledelistedequestionspréparéesparécritparuneclasse:

Groupe1 Groupe2 Groupe3 Groupe4

Est-ilpetit? Est-cequ’ila8faces? Est-cequ’ila8faces? Est-cequ’ila8facestriangulaires?

A-t-iluneformetriangulaire? Est-cequ’ila6faces?

Est-cequ’ila10sommets?

Est-cequ’ilauneformedemaison?

Est-cequ’ila8facestriangulaires?

Est-cequ’ila5faces?

Est-cequ’ila9faces?

Est-cequ’ila8sommets?

Est-cequ’ilabaseplate?

Est-cequ’ilaunsommetprincipal?

Est-cequ’ilauneformedecrayon?

Est-cequec’estunsolideenformedelosange?

Onretrouvebienlestroisprincipalescatégoriesdequestionsleplussouventposées:lesquestionssurl’aspect général: «est-ce qu’il ressemble à …?», les questions sur les propriétés physiques: «est-ilgrand,lourd,bleu,tient-ildebout…?»etlesquestionssurlenombredefaces,desommets,d’arêtesetsurlanaturedesfaces.


o Phase2:questions/réponses

Chaquegroupeposeunequestion.Legroupequialesolidecachérépondpar«oui»oupar«non».Lesquestions et réponses sont écrites au tableau. S’il ne peut pas répondre (dans le cas d’une questionambiguëoud’unequestionquin’estpasfermée),legroupedit:«Onnepeutpasrépondre.»

Àchaquetourdequestions,l’enseignantposelaquestion:«Êtes-vouscertainsdusolideàtrouver?»

Silaréponseest«non»pourungroupe,onrefaituntourdequestions.

Silaréponseest«oui»pourtouslesgroupes,l’enseignantdemandedeleveràboutdebras.Lesolidesupposé dans chaque groupe. Enmontrant les solides, la validation est immédiate. La situation doitresterlaplusouvertepossible.

o Phase3:Miseencommun

Il s’agitde récapituler, grâceauxquestionsquiontétéécritesau tableau, cellesqui sont restées sansréponseafind’identifiercequiestambiguetcequifaitquelaquestionn’estpasfermée.

Onpeutdemanderauxélèvesdelisterlevocabulairequiaétéutiledanslesquestionsetquiapermisdefaireavancerl’activité.

Onétablit la listeduvocabulairemathématiqueutileen le substituantéventuellementauvocabulaireapproximatifdesélèves:faces,arêtes,sommets,triangles,carrés,rectangles,pentagone.

• Étape2:Jeudequestionsentrelesélèvesetl’enseignant.

o Phase1:préparationdesquestionsetaideauchoix.

Cettefoisc’estl’enseignantquialesolideàdevinercequiaccélèreleséchangesetéviteleserreursdedénombrement (l’enseignant peut plus facilement dire qu’il ne peut pas répondre à une questionambiguë).

Il s’agitde lapyramideàbaserectangulaire.Tous lesgroupesposentunequestionet l’enseignant lesnoteautableau. Ildonneetécrit lesréponsesàcesquestions.Puis ilengage lesélèvesàcompléter lagrillesuivante:

Tour Onestsûrquec’estlesolidedésignéparlalettre… Onestsûrquecen’estpaslesolidedésignépar…

1

2

Puisd’autrestoursdequestionssontànouveauréalisés.Àlafindechaquetour,lesélèvesd’ungroupedoivent semettre d’accord avant de remplir la grille. Tant que tous les groupes n’ont pas rempli lacolonne:«onestsûrquec’estlesolidedésignépar…»etnesontpasd’accordsurlesolidequiestdanscettecolonne,onrefaitdes«tours»dequestions.


o Phase2:miseencommunetinstitutionnalisation

Cettemise en commun sedéroule comme celle de la premièrephase et doit permettrededéfinir lesquestionspermettantdetrouverlesolideetcellesquinesontpaspertinentes.Lesgrillespermettentderevenirsurletraitementdesinformationsréaliséparchaqueéquipe.

Àl’issuedecettephase,oninstitutionnalisedéfinitivementlevocabulaireliéauxpolyèdres.

Onpeutainsilatraceécritesuivante:

Pourconnaîtreunsolide,onpeutposerdesquestionssur:

- Sonnombredefaces,d’arêtesdesommets;- Laformedesesfaces.


3.2 Anglesdroitsetartsvisuels

Objectifs:

Remettreenquestionlavisionprototypiquedel’angledroitliéeàl’horizontalitéetlaverticalité.

Compétences:

Chercher:Extrairel’informationutile

Modéliser:S’abstrairedesreprésentationsprototypiquesdel’angledroit




Déroulement:

Présentationdel’activité,donnéeauxélèvessousformedefiche(pagesuivante).

Rôledel’enseignantetanalysedesproductionsdesélèves:

Les élèves vont sans doute «copier» le style de Mondrian en s’en tenant aux horizontales et auxverticales,commeévoquéplushautdanscedocument.L’enseignantlaisselesenfantsallerauboutdeleurtravail,etproposeensuiteunediscussion.Sidesenfantsonteul’idéedetravaillerl’angledroitsansselimiterauxhorizontalesetauxverticales,ilpourras’appuyersurleursproductions.Danstouslescas,lebutestdefaireréfléchiràquelconceptesttransmisderrièrelaprésentationdutravaildeMondrian,classiquement présentée comme dans l’activité: quelles confusions sont-elles commises? Pourquoi?Commentalorstravaillerleconceptd’angledroitdansuntravaild’artsvisuels?

L’objectifdel’enseignantestdefaireprendreconscienceauxenfantsdudécalage«culturel»,«social»delavisiondel’angledroitaveccequ’ilestvraimentconceptuellement.


L’artiste:PietMondrian(1872-1944)

PietMondrianestunpeintrenéerlandaisabstrait.

Ilreprésentecequ’ilveutpeindrenonpasendessinantleurvraieforme,maisavecdesligneshorizontalesetverticales.

Il choisit souvent d’utiliser le noir, le blanc et des couleurs vives (jaune,bleu,rouge).

Àtoi!RéaliseunecompositionàlafaçondeMondrian,enutilisantdesanglesdroits.

Composition,1919

Compositionenrouge,jaune,bleuetnoir,1926

«Jetéeetocéan»,PietMondrian,1915Lamer-compositionV,1914


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