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Mathématiques grecques Les premiers temps des mathématiques et le problème de l’infini Thalès, Pythagore, Zénon, Eudoxe, Euclide et Archimède Qui est Achille ? Le paradoxe de Zénon (animations) : -Achille et la Tortue, problème -solution -Autres paradoxes

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Mathématiques grecques

• Les premiers temps des mathématiques et le problème de l’infini Thalès, Pythagore, Zénon, Eudoxe, Euclide et Archimède

• Qui est Achille ?

• Le paradoxe de Zénon (animations) : -Achille et la Tortue, problème -solution -Autres paradoxes

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Mathématiques grecques

Les premiers temps des mathématiques et le problème de l’infini

• Les mathématiques babyloniennes fournissaient le moyen de

résoudre des problèmes pratiques sans élaborer de lois

générales.

• Par contre les grecs considéraient la science comme une fin

en soi ; cela permit d'organiser logiquement la connaissance,

la spéculation et la déduction.

La spéculation philosophique était propre à la Grèce.

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Mathématiques grecques

Les premiers temps des mathématiques et le problème de l’infini THALES de Milet ( 627 - 547 av J.C )

• Thalès fut l’un des fondateurs des mathématiques grecques,

un savant universel curieux de tout, très proche des conceptions

modernes de la science :

• Pourquoi en est-il ainsi ?

Pourquoi cela fonctionne-t-il ?

Expérience de Thalès

montrant la

proportionnalité des

longueurs des ombres de

la pyramide et de la canne

par rapport aux hauteurs

de la pyramide et de la

canne.

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Mathématiques grecques

Les premiers temps des mathématiques et le problème de l’infini THALES ( 627- 547 av J.C )

• Si deux triangles ADE et ABC ont leurs côtés parallèles,

alors on a :

AC / AE = AB / AD

AC / AE = B C / DE

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Les premiers temps des mathématiques et le problème de l’infini PYTHAGORE ( 570- 500 av J.C )

Le nombre est « la source et la racine de toute chose ».

• Pythagore est né sur l’île de

Samos dans la mer Egée.

Il connaissait Thalès.

Il s ’établit à Crotone où il fonda

sa société de disciples.

• Les membres de sa secte ne

prononçaient jamais son nom

mais l ’appelaient « le Maître »

ou « le Grand Homme ».

• Il fut le premier qui réussit

le gigantesque progrès de

conduire les exemples

concrets vers la théorie

générale.

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Mathématiques grecques

Les premiers temps des mathématiques et le problème de l’infini

PYTHAGORE et l’INFINI

• Hippase de Métaponte, disciple de

Pythagore, essaya de calculer la diagonale

d'un carré de côté 1 et trouva .

• Les pythagoriciens ne trouvèrent aucune

fraction égale à ce nombre !

Etonnés, bouleversés ils qualifièrent cette

mesure d ’irrationnelle, d’innommable...

Cette découverte détruisit l'idée d'unicité numérique du pythagorisme.

Le problème de l’infini était posé !

La légende raconte que les pythagoriciens finirent par jeter le mathématicien

à la mer par-dessus bord pour qu'il soit flagellé à perpétuité par les vagues.

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Mathématiques grecques

Les premiers temps des mathématiques et le problème de l’infini ZENON d’Elée ( 490 - 430 av J.C )

L'infini intervint dans les

paradoxes de Zénon qui

soulignaient la confrontation

dialectique entre diverses

tendances philosophiques

grecques.

L'œuvre de Zénon a été consacrée à argumenter contre les contradicteurs

de son maître Parménide.

Zénon est surtout connu pour ses paradoxes, dont le but est de montrer

l'impossibilité du mouvement.

A propos de Zénon, Bertrand Russel affirme en 1903 :

« Après avoir été réfutés durant deux mille ans, ces sophismes furent réhabilités et

devinrent le fondement de la renaissance mathématique... ».

Zénon d’Elée montrant à ses disciples les portes de la Vérité et de l’Erreur.

Fresque de la bibliothèque royale du monastère de l’Escurial.

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Mathématiques grecques

Les premiers temps des mathématiques et le problème de l’infini EUDOXE de CNIDE ( 410 - 350 av J.C )

Ses traités de mathématiques ont influencé les Éléments d'Euclide.

Il est considéré comme le fondateur de l’astronomie scientifique (système géocentrique avec sphères homocentriques).

Eudoxe (disciple de Platon),

donna une définition

de l'infini qui permit

entre autres de

surmonter la crise des

incommensurables.

Il fut le précurseur du

calcul intégral avant

Archimède.

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Mathématiques grecques

Les premiers temps des mathématiques et le problème de l’infini EUCLIDE ( ~ 300 av J.C )

Ce fut le premier recueil imprimé à Venise en 1482.

Seule la Bible le précède quant au nombre d’éditions publiées.

Pendant des siècles les éléments ont fait partie du cursus universitaire standard.

Les Eléments d’Euclide :

un traité mathématique

et géométrique

constitué de 13 livres.

Proposition 47

du livre d’Euclide

(théorème de Pythagore)

pages 38 et 39

du volume 1.

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Mathématiques grecques

Les premiers temps des mathématiques et le problème de l’infini

ARCHIMEDE et l’INFINI ( 287 - 212 av J.C )

Les mathématiques et la philosophie se préoccupent de l'infini.

Archimède est le seul mathématicien

grec à avoir fait fi de la négation de

l'infini énoncée par Aristote.

Il le fit avec modération et raison.

--> Gravure de la fin du XVIe siècle illustrant

la célèbre anecdote d e l’« Euréka !» .

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Mathématiques grecques

Les premiers temps des mathématiques et le problème de l’infini ARCHIMEDE et l’INFINI ( 287 - 212 av J.C )

• Archimède a su faire une utilisation

magistrale de la méthode

d'exhaustion en calculant par

exemple la surface des spirales :

la méthode consiste à considérer

une aire comme une série de

segments et un volume comme une

série d'aires.

Par exemple «les droites tracées dans

un triangle constituent ce même

triangle ». Ces collections sont

nécessairement infinies.

Un exemple de calcul d’aire

par une méthode d ’exhaustion

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Mathématiques grecques

Les premiers temps des mathématiques et le problème de l ’infini ARCHIMEDE et l’INFINI ( 287 - 212 av J.C )

Avant le XVIIe siècle, les contributions liées au calcul infinitésimal sont très minces.

Ensuite, une raison théologique permit l'utilisation de l'infini avec plus de liberté

que dans le monde grec :

l'infini était conçu comme un attribut du Dieu des chrétiens.

Newton lui-même, fervent théologien, croyait en un Dieu omnipotent.

--> Mosaïque retrouvée à Pompéi

évoquant la mort d ’Archimède à

70 ans.

Il fut tué par un légionnaire romain

lors de la conquête de Syracuse.

Archimède penché sur ses figures

géométriques tracées au sol,

était absorbé dans ses pensées et

inconscient de la cruauté du sort qui

l’attendait.

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Mathématiques grecques ARCHIMEDE ( 287 - 212 av J.C )

.A gauche, sur l’endroit de la médaille :

le profil d’Archimède et l’inscription latine de l’écrivain romain Manilius signifiant :

« Traverser ton propre cœur et te rendre maître de l’Univers. »

.A droite, le revers de la médaille une inscription latine signifiant :

« Les mathématiciens du monde entier rassemblés ont remis cette médaille récompensant de

remarquables écrits. »

.En arrière-plan, on distingue une sphère inscrite dans un cylindre,

représentant le croquis qu’Archimède fit graver sur sa tombe (d’après les récits de Cicéron et Plutarque),

qui symbolise la méthode de calcul du volume d’une sphère.

La médaille Fields : la plus haute distinction en mathématiques.

John Charles Fields

(1863-1932)

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Qui est Achille ?

• Achille, "semblable aux dieux" mais non pas dieu lui-même, fut le plus fameux des héros grecs et un acteur incontournable de la guerre de Troie.Fils de Pélée, roi des Myrmidons et de la néréide Thétis, il naquit à Larissa en Thessalie. Thétis qui était fort jolie, fut recherchée par Zeus et Poséidon pour l'épouser.

• Thémis (seconde épouse de Zeus et sa conseillère) savait que le fils qui naîtrait serait plus grand et plus fort que son père.

• Alors, pour éviter d'être détrônés, les dieux décidèrent de marier Thétis à Pélée, non sans quelques difficultés car elle ne voulait pas épouser un simple mortel. De ce fait leur enfant serait supérieur à son père mais inférieur aux immortels.

• Suivant la tradition post homérique, Thétis tenta, à plusieurs reprises, de procurer à son fils Achille l'immortalité. Pour cela, elle le frottait le jour avec de l'ambroisie et le plongeait la nuit dans le feu céleste afin de brûler sa composante mortelle ; son père se hâta de le retirer du feu.

• Toutefois le bébé eut un pied brûlé. Pélée fit appel à la science du sage Chiron. Celui-ci alla à Pallène et déterra les ossements du géant Damysos qui passait pour être le plus rapide du monde. Il remplaça ensuite l'astragale endommagé d'Achille qui devint un excellent coureur. Mais lors de la guerre de Troie son astragale de remplacement se rompit et il fut tué.

• D'autres auteurs rapportent que Thésis le plongea dans le Styx (fleuve entourant les Enfers) pour le rendre invulnérable, exception faite du talon par lequel elle le tenait.

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Achille et la tortue

Achille aux pieds ailés est considéré comme l'homme le plus rapide

à l'opposé de la tortue animal particulièrement lent sur terre.

Les deux font une course.

Un avantage est donné à la tortue, aussi petit soit- il.

Image tirée du film japonais ( 2008 ) de Takeshi Tikano : Achille et la tortue

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Achille et la tortue : le paradoxe

Achille et la tortue Pour devancer Achille, une faible tortue En efforts impuissants, vainement s'évertue : Bien qu'elle ait comme avance dix pas de chemin, Il va dix fois plus vite et son but est certain. Voyons s'il peut la joindre en cette circonstance Et cherchons en quel point il regagne l'avance. Zénon le philosophe, qu'on nommait stoïcien, N'était pas, sûrement, fin mathématicien. Il pensait faussement que l'intrépide Achille N'attraperait jamais la tortue malhabile. Car pendant, disait-il, qu’Achille entreprenant Ferait le premier pas, il paraissait constant Que la faible tortue, en suivant son système, Assurément d'un pas parcourrait le dixième. Et lorsqu'à ce dixième on verrait le héros, Notre adroite tortue, continuant à propos, De ce dixième acquis, comptant sur elle-même,

En ferait le dixième, ou plutôt le centième.

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Mathématiques grecques

Achille et la tortue : ANALYSE

Prenons par exemple, le rapport 10 entre les deux vitesses.

En toute logique, Achille doit pouvoir rattraper la tortue :

en effet au bout d'un temps égal à deux par exemple,

Achille parcourt 2000 mètres et la tortue 200 mètres.

Donc Achille a rattrapé la tortue sans problème.

Pourtant quand nous calculons avec le temps

1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 +...

la tortue a toujours une avance sur Achille.

Et cela même si nous ajoutons indéfiniment une fraction du temps dix fois

plus petite que la précédente.

En fait nous avons une somme infinie de termes de plus en plus petits,

et on démontre que cette somme est finie, on a :

1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/ 104 + ... 1/10n + ... = 10/9

(il s'agit de la somme des termes d'une progression géométrique de raison 1/10).

Achille rattrape la tortue au temps 10/9.

A cet instant, Achille aura parcouru 10 000/9 mètres soit 1111 mètres et 1/9 mètre

et

la tortue elle aura parcouru 111 mètres et 1/9 mètre

au-delà de ses 1000 mètres d'avance du début.

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Achille et la tortue : le paradoxe

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Mathématiques grecques

Somme finie d ’une série infinie

Découpage d ’une feuille A4.

La réunion de tous les morceaux nous donne la feuille initiale entière.

Sur le dessin, nous constatons donc que la somme infinie des puissances de 1/2 :

1/21 + 1/22 + 1/23+ 1/24+ 1/25 + 1/26 + ... vaut exactement 1.

Euclide avait pressenti ce résultat et trouvait que la limite de 1/2n quand n tend

vers l'infini est nulle.

Cette notion de limite sera plus clairement définie des siècles plus tard par

Weierstrass en 1865.

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Mathématiques grecques

Somme finie d’une série infinie

Si le disque initial représente l’unité 1, la réunion des morceaux donne :

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...

C’est aussi la somme infinie des puissances de 1/2 :

1/21 + 1/22 + 1/23+ 1/24+ 1/25 + 1/26 + ... Qui donc vaut exactement 1.

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ATTENTION certaines séries n’ont pas de somme finie :

1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … + 1/n + … ne converge pas (série harmonique divergente).

De même 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + … + n + … diverge

et aussi 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -1 + … - 1 + 1 … n ’a pas de limite car on trouve alternativement 0 ou -1.

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Mathématiques grecques

Les paradoxes de Zénon d’Elée ( 490 - 430 av J.C )

La source principale de la pensée de

Zénon,

nous est parvenue par le Parménide, l'un

des dialogues de Platon.

Il affirme que « tout est un » et que « le

changement n'existe pas ».

L 'œuvre de Zénon a été consacrée à argumenter contre les contradicteurs de

son maître Parménide.

On le connaît pour ses paradoxes dont les plus connus sont :

- Achille et la tortue ;

- la dichotomie ;

- la flèche volante ;

- le stade.

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Mathématiques grecques

Les paradoxes de Zénon d’Elée ( 490 - 430 av J.C )

Un mobile devant se déplacer entre A et B,

doit parcourir la moitié de la distance entre

A et B,

puis la moitié de la distance restante et

ainsi de suite.

Du fait de l'infinité des distances à

parcourir, le mobile ne peut le faire en un

temps fini et donc le mouvement est

impossible.

La dichotomie ou l'impossibilité du mouvement

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externe en anglais

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Mathématiques grecques

Les paradoxes de Zénon d’Elée ( 490 - 430 av J.C )

C'est assez confus...

Une flèche qui vole est en fait immobile.

A chaque instant, la flèche est dans un espace égal à elle-même.

Elle est donc à chaque instant au repos.

Si on décompose le mouvement en une suite d'instants, elle ne

peut donc pas se mouvoir, puisqu'elle est constamment au repos.

La flèche volante

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Mathématiques grecques Les paradoxes de Zénon d’Elée ( 490 - 430 av J.C )

Un groupe de quatre personnes identiques croise sur un stade un autre

groupe de personnes qui va en sens inverse et un groupe à l'arrêt.

Dans le même temps où il parcourt deux personnes du groupe immobile,

il croise quatre personnes du groupe allant en sens contraire.

Donc il a parcouru dans le même temps deux distances différentes.

Ce paradoxe est incertain et férocement critiqué par Aristote qui prétend

JUSTEMENT que Zénon prend une même référence pour les personnes

au repos et en mouvement.

Le stade

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MERCI de votre Attention !

Thérèse Eveilleau

Proposition 5 du livre II des Eléments d’Euclide.

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