Évaluation statistique et prévision de la performancede gestionnaires d’actifs

Mémoire

Marie-Hélène Simard

Maîtrise en statistiqueMaître ès sciences (M.Sc.)

Québec, Canada

© Marie-Hélène Simard, 2015

Résumé

En finance, la gestion passive consiste à gérer un portefeuille d’actifs afin d’obtenir un ren-dement similaire à un indice de marché ciblé. La gestion active quant à elle vise à obtenir unrendement supérieur. Les coûts reliés à une gestion active et les risques associés sont plusélevés. Une compagnie d’assurance se pose la question si les gestionnaires d’actifs ont lescapacités de battre l’indice de marché de façon statistiquement significative. Un modèle aucoeur du type d’analyse permettant de répondre à cette question est le modèle d’évaluationdes actifs financiers (MÉDAF). Dans ce mémoire, différents modèles de régression et deuxapproches ont été retenus pour évaluer la performance de ces gestionnaires dans le cadredu MÉDAF, soit une approche par critère et une approche par prévision. Nos résultats sug-gèrent que certains gestionnaires d’obligations ont les capacités de battre l’indice de marchéde façon significative alors que ce n’est pas le cas pour les gestionnaires d’actions.

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Abstract

In finance, passive management is about managing assets to achieve a return similar to atargeted market index, whereas active management aims to achieve superior performance.The costs associated with active management and the associated risks are higher. An insur-ance company wants to know whether the asset managers have the ability to beat the marketindex, statistically speaking. The principal model to answer this question is the CAPM. Inthis thesis, different regression models and two approaches were used to evaluate the perfor-mance of these managers under the CAPM, an approach based on criteria and an approachbased on forecasts. Our results suggest that some bond managers have the ability to beat themarket index significantly, while this is not the case for stock managers.

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Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Table des matières vii

Liste des tableaux ix

Liste des figures xiii

Remerciements xv

Introduction 1

1 Méthodes classiques pour évaluer la performance des gestionnaires 51.1 Modèle d’évaluation des actifs financiers (MÉDAF) . . . . . . . . . . . . . 61.2 Modèle à trois facteurs de Fama-French . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Extension à l’évaluation des gestionnaires d’actifs . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Mesure de performance en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Méthodes statistiques utilisées 132.1 Données disponibles pour les analyses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 La régression linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 La régression quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 La régression linéaire mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Comparaisons multiples de gestionnaires d’actifs . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Évaluation des critères de mesure de performance 413.1 Données et objectifs pour ce type d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Sélection des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Approche par critère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Approche par prévision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Étude de la performance des gestionnaires d’actifs 554.1 Gestionnaires d’actions engagés par la compagnie . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Gestionnaires d’obligations engagés par la compagnie . . . . . . . . . . . . 584.3 Tous les gestionnaires d’actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4 Tous les gestionnaires d’obligations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5 Librairie R utilisée pour les analyses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

vii

Conclusion 75

A Résultats pour tous les gestionnaires d’actions 79A.1 Approche par critère pour les 12 derniers mois . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.2 Approche par critère pour le deuxième modèle . . . . . . . . . . . . . . . . 81A.3 Approche par prévision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

B Résultats pour tous les gestionnaires d’obligations 89B.1 Approche par critère pour les 12 derniers mois . . . . . . . . . . . . . . . . 89B.2 Approche par critère pour le deuxième modèle . . . . . . . . . . . . . . . . 91B.3 Approche par prévision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94B.4 Approche par prévision pour le deuxième modèle . . . . . . . . . . . . . . 98

C Fonctions de la librairie R : "ÉvaluationGestionnaire" 103

D Résultats des taux de bonnes classifications des modèles sélectionnés 125D.1 Tableaux présentant les résultats avec la technique de bonne classification 125D.2 Code R utilisé pour un modèle de régression avec la technique de bonne

classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Bibliographie 137

viii

Liste des tableaux

2.1 Nombres d’erreurs commises en testant n hypothèses nulles . . . . . . . . . . 38

3.1 Statistiques descriptives des rendements mensuels nets des gestionnaires d’ac-tions pour la période de septembre 2009 à mars 2014 . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Statistiques descriptives des rendements mensuels nets des gestionnaires d’obli-gations pour la période de novembre 2006 à mars 2014 . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Résultats des rendements nets et des taux de bonnes classifications obtenusavec les deux modèles sélectionnés pour les gestionnaires d’actions. Modèle1 : régression linéaire avec coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) et modèle2 : régression quantile avec coefficient bêta non fixé et erreurs i.i.d.. . . . . . . 49

3.4 Résultats des rendements nets et des taux de bonnes classifications obtenusavec les deux modèles sélectionnés pour les gestionnaires d’obligations. Mo-dèle 1 : régression quantile avec coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d. et modèle2 : régression linéaire avec coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.. . . . . . . . . . 50

3.5 Résultats des rendements nets et des taux de bonnes classifications obtenusavec l’approche par prévision pour les gestionnaires d’actions. Modèle 1 : ré-gression quantile, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.. . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6 Résultats des rendements nets et des taux de bonnes classifications obtenusavec l’approche par prévision pour les gestionnaires d’obligations. Modèle 1 :régression linéaire, coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) et modèle 2 : ré-gression linéaire avec coefficient bêta non fixé et erreurs i.i.d. . . . . . . . . . . 52

4.1 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’actions engagés par la compagnie avec le modèle de régression li-néaire, coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2), pour la période de 2009 à2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’actions engagés par la compagnie avec le modèle de régression li-néaire, coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) au cours des 12 derniers mois 57

4.3 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’actions engagés par la compagnie avec le modèle de régression quan-tile, coefficient bêta non fixé et erreurs i.i.d., pour la période de 2009 à 2013

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

ix

4.4 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’actions engagés par la compagnie avec le modèle de régression quan-tile, coefficient bêta non fixé et erreurs i.i.d. au cours des 12 derniers mois . . 59

4.5 Prévisions des gestionnaires d’actions ainsi que leurs intervalles de confianceobtenus à partir du 25ième, du 50ième, du 75ième percentiles du rendement netdu marché et du dernier rendement net du marché observé, en utilisant lemodèle de régression quantile, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d. . . . . . . . 60

4.6 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’obligations engagés par la compagnie avec le modèle de régressionquantile, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.7 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’obligations engagés par la compagnie avec le modèle de régressionquantile, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.8 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’obligations engagés par la compagnie avec le modèle de régressionlinéaire, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.9 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’obligations engagés par la compagnie avec le modèle de régressionlinéaire, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.10 Prévisions des gestionnaires d’obligations ainsi que leurs intervalles de confianceobtenus à partir du 25ième, du 50ième, du 75ième percentiles du rendement netdu marché et du dernier rendement net du marché observé, en utilisant lemodèle de régression linéaire, coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) . . . . 63

4.11 Prévisions ainsi que leurs intervalles de confiance obtenus à partir du 25ième,du 50ième, du 75ième percentiles du rendement net du marché et du dernier ren-dement net du marché observé, en utilisant le modèle de régression linéaire,coefficient bêta non fixé et erreurs i.i.d.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.12 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour tous les ges-tionnaires d’actions. Modèle : régression linéaire, coefficient bêta fixé et er-reurs AR(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.13 Prévisions des gestionnaires d’actions ainsi que leurs intervalles de confianceobtenus à partir du 25ième, du 50ième, du 75ième percentiles du rendement netdu marché et du dernier rendement net du marché observé, en utilisant lemodèle de régression quantile, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.. . . . . . . . 72

4.14 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour tous les ges-tionnaires d’obligations avec le modèle de régression quantile, coefficient bêtafixé et erreurs i.i.d., pour la période de 2008 à 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.15 Prévisions des gestionnaires d’obligations ainsi que leurs intervalles de confianceobtenus à partir du 25ième, du 50ième, du 75ième percentiles du rendement netdu marché et du dernier rendement net du marché observé, en utilisant lemodèle de régression linéaire, coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) . . . . 74

x

4.16 Exemple du type de jeu de données requis pour la librairie R "EvaluationGes-tionnaire" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

xi

Liste des figures

1.1 Rendement net en fonction du taux du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Rendement net en fonction du taux du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Graphiques ACF et PACF théoriques pour un processus AR(2) . . . . . . . . . 182.2 Corrélogrammes simples et partiels des résidus du modèle (1.1) ajusté aux

rendements mensuels nets d’un gestionnaire d’obligations . . . . . . . . . . . 192.3 Fonction de répartition et fonction quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Droite d’une régression linéaire comparée à la régression quantile avec diffé-

rentes valeurs de τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Modèles linéaires mixtes sans et avec pentes aléatoires . . . . . . . . . . . . . 32

4.1 Rendement de 1$ en utilisant une gestion active contre une gestion passivepour les actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Rendement de 1$ en utilisant une gestion active contre une gestion passivepour les obligations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

xiii

Remerciements

Je tiens principalement à remercier mon directeur Thierry Duchesne et mon codirecteur Mi-chel Carbon pour la réalisation de ce mémoire. Ils m’ont beaucoup aidée tout au long de cemémoire. Leurs conseils ont été d’une grande valeur afin de le compléter. Ils étaient toujoursdisponibles pour répondre à mes questions. Ce fut un plaisir de travailler avec eux.

Par ailleurs, je tiens à remercier la compagnie qui m’a permis de réaliser ce mémoire. Ce futégalement un plaisir de travailler avec ces gens. La finance était un domaine que je voulaisexplorer et, grâce à cette compagnie, j’ai eu la chance de mettre les pieds dans un départe-ment de finance et de réaliser un travail qui m’a beaucoup plu. Un grand merci également àMITACS qui a subventionné à parts égales avec la compagnie ce projet.

Je tiens également à remercier mes amis et ma famille qui m’ont épaulée et encouragée à en-treprendre des études au cycle supérieur et qui m’ont soutenue tout au long de mes études.Un merci particulier à mon amoureux Frédérick et à mes parents pour leurs aides et leursoutien ainsi que leur présence tout au long de mes études universitaires. Un merci spécial àJessica qui m’a encouragée à poursuivre au 2e cycle en statistique et qui a été une partenaired’étude formidable tout au long de ce cheminement tout comme Elsa, Aurélien, Charleset Maxime. Également merci à Virginie ma partenaire de travail au premier cycle pour tonamitié, ce fut de belles années.

xv

Introduction

Dans la gestion de placements, deux approches sont principalement utilisées : la gestionpassive et la gestion active. La gestion passive consiste à reproduire le rendement d’un indi-cateur de référence utilisé pour mesurer la performance d’un marché, cet indicateur de réfé-rence est nommé l’indice de marché. L’indice de marché est un regroupement de plusieursactifs qui ensemble représente le mieux possible les fluctuations à la bourse. Contrairementà la gestion passive, la gestion active vise à obtenir en moyenne, sur un certain horizon detemps, un rendement supérieur à cet indice de marché. Les coûts reliés à la gestion activesont plus élevés que ceux associés à la gestion passive puisque la gestion active mise ha-bituellement sur les talents d’un gestionnaire et vise à obtenir des rendements supérieurs,ce qui augmente les coûts. En fait, la gestion active vise à obtenir sur un certain horizonde temps, un rendement supérieur à ce qui pourrait être obtenu avec une gestion passivequi tente de reproduire l’indice de marché en sélectionnant les mêmes actifs que cet indice.La gestion active mise sur les talents d’un gestionnaire d’actifs qui utilise son jugement, lesétudes financières déjà réalisées, la statistique et les données économiques pour constituerson portefeuille d’actifs et décider quand il vend et quand il achète des actifs. Il cherche defaçon simultanée à diminuer le risque et augmenter le rendement de son portefeuille d’ac-tifs. Ces deux approches peuvent être utilisées sur les actifs que possède un individu ou unecompagnie. Un actif est un contrat ou un titre pouvant permettre au détenteur de celui-cid’obtenir des revenus en échange d’un certain risque (Dispas and Boudghene (2011)). Dansle domaine de l’assurance, pour rester compétitif et solvable, une compagnie doit s’assurerd’obtenir sur les actifs qu’elle possède le meilleur rendement offert sur le marché et ce àmoindre coût, en limitant les risques associés à une volatilité trop élevée. Pour ce faire, ellefait souvent affaire avec des gestionnaires externes spécialisés dans la gestion active. Deuxquestions se posent : les rendements obtenus par ces gestionnaires sont-ils supérieurs à ceuxqui auraient pu être obtenus par la compagnie, en limitant ses coûts, en utilisant une gestionpassive ? Est-ce que les rendements obtenus sont simplement liés à la chance, ou plutôt auxcompétences du gestionnaire ?

En finance, la demande est grandissante pour l’évaluation de la performance des gestion-naires en gestion active au sein des compagnies d’assurances. Avec les nouvelles législationsstipulant entre autres que toutes les entreprises doivent enregistrer et signaler ces investis-

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sements, il existe de plus en plus de bases de données disponibles pour ce type d’analyse.Par ailleurs, la littérature entourant l’évaluation de la performance des gestionnaires est trèsvaste, mais les méthodes utilisées ainsi que les conclusions en résultant sont souvent dif-férentes. Les modèles de régression usuels tels que la régression linéaire ou la régressionlogistique ont longtemps été au centre de la recherche dans les domaines financiers et écono-miques. Un premier modèle d’évaluation des actifs financiers (MÉDAF, traduction de l’an-glais CAPM) a été proposé par Sharpe (1964), utilisant la régression linéaire pour obtenirle rendement espéré d’un actif, c’est-à-dire pour calculer les revenus moyens auquel le dé-tenteur d’un actif peut s’attendre. Ce modèle a servi de référence jusque dans les années 80,année où Ross a amélioré ce même modèle (Ross et al. (1986)) en y incorporant différentes va-riables explicatives. Par la suite, avec les progrès technologiques en informatique, telles quel’amélioration de la performance des ordinateurs en matière de calcul, leur procurant uneplus grande puissance et leur permettant une plus grande capacité pour entreposer des don-nées, de nouvelles approches d’estimation sont utilisées telles que l’estimation bayésienne(Silli (2006)) et la simulation par bootstrap (Chen et al. (2012)).

Au cours des dernières années, le recours à l’utilisation de la régression quantile pour éva-luer la performance des gestionnaires a augmenté de façon graduelle. On peut entre autresciter des références où l’évaluation de la performance de gestionnaires d’actifs se fait à l’aidede la régression quantile (David Ellen and Powell (2009) et Carlo Matallin-Saez and Tortosa-Ausina (2013)). Cette technique permet d’élargir de façon considérable les options de modé-lisation en permettant d’analyser les différents impacts pour chaque quantile. Ce mémoirese base sur l’utilisation de la régression linéaire, la régression quantile et la régression li-néaire mixte pour évaluer si la performance des gestionnaires d’actifs est significativementmeilleure que le rendement qu’on pourrait obtenir avec une gestion passive basée sur l’évo-lution d’un indice de marché approprié. Les objectifs principaux de cette étude sont de dé-velopper des modèles de régression en utilisant les données disponibles d’une compagnied’assurance sur les rendements de ses gestionnaires et à partir des modèles retenus, de clas-ser les gestionnaires d’actifs par ordre de performance et de déterminer rapidement si ungestionnaire en gestion active a les capacités et le talent de surpasser l’indice de marchécomparable de façon significative. On voudra aussi utiliser les modèles conçus pour pré-dire les rendements futurs attendus pour un gestionnaire en gestion active à partir de sonhistorique.

La théorie associée aux modèles financiers et les outils pour évaluer la performance des ges-tionnaires d’actifs se trouve au chapitre 1. Au chapitre 2, la théorie concernant les méthodesstatistiques utilisées, telles la régression linéaire, la régression quantile et la régression li-néaire mixte, est expliquée. Au chapitre 3, on présente les approches utilisées pour sélec-tionner les modèles qui permettent de bien classer les gestionnaires et de faire les meilleuresprévisions. Finalement au chapitre 4, on retrouve les résultats obtenus pour ces gestionnaires

2

d’actifs.

3

Chapitre 1

Méthodes classiques pour évaluer laperformance des gestionnaires

Ce chapitre présente une brève introduction aux modèles et aux outils utilisés dans lalittérature pour évaluer la performance des gestionnaires utilisant une stratégie de gestionactive. Il est important de comprendre que l’évaluation de la performance d’un gestionnaired’actifs financiers ne tient pas compte uniquement de son rendement moyen, c’est-à-dire desrevenus moyens qu’il peut générer, mais également du risque qui lui est associé : l’argent in-vesti dans un actif n’est pas plus garanti que le rendement de l’actif. En effet, si une compa-gnie prend un grand risque, donc si elle investit une grande somme d’argent, dans un actif,c’est qu’elle anticipe un rendement espéré élevé, sinon elle ne prendrait pas ce risque. Lesdeux classes d’actifs retenues pour les analyses sont les actions et les obligations. Une actionest une part dans une entreprise et les revenus qui y sont associés sont les dividendes. Lesobligations sont un financement public des dettes d’une entreprise, d’un état ou d’une col-lectivité locale et les revenus qui y sont associés sont nommés les coupons. Ainsi, l’émissiond’actions permet de diversifier les moyens de financement tandis que l’émission d’obliga-tions permet de varier les emprunts (Dispas and Boudghene (2011)).

Dans la section 1.1, on détaille le premier modèle, développé en tenant compte de l’effet durisque associé à un actif, c’est-à-dire le modèle d’évaluation des actifs financiers (MÉDAF).Dans la section 1.2, on décrit un modèle complémentaire au modèle d’évaluation des actifsfinanciers, le modèle de Fama-French. Dans la section 1.3, on explique comment les modèlesdes deux sections précédentes sont adaptés pour les appliquer aux rendements des gestion-naires d’actifs. Finalement, la section 1.4 traite de certains outils principalement utilisés pourévaluer la performance des gestionnaires et ensuite les classer par ordre de rendement at-tendu.

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1.1 Modèle d’évaluation des actifs financiers (MÉDAF)

Au cours des années 1961 à 1972, grâce à la collaboration de Sharpe, Treynor, Mossin,Linter et Black, un modèle d’évaluation des actifs financiers (MÉDAF), traduit du nom an-glais "Capital asset pricing model" (CAPM), a été développé. Plusieurs ouvrages et articlestraitent de ce modèle, par exemple Dispas and Boudghene (2011), Womack and Zhang (2003)et Amenc and Sourd (2002). Ce modèle est considéré comme une extension du modèle créépar Markowitz (1952) avec l’introduction d’un taux sans risque, un taux d’intérêt connu surune certaine période de temps. L’ajout de cette nouvelle variable permet le calcul d’indicesde mesure de performance. Ce modèle est conditionnel au taux sans risque qui est supposédéterministe, donc de variance zéro. Par conséquent, sa corrélation et sa covariance avec lesautres actifs risqués sont nulles. Habituellement, le type de taux sans risque utilisé est celuides obligations gouvernementales, car celles-ci sont moins risquées. Lors de l’évaluation desactifs, le MÉDAF est le premier modèle à prendre en compte la notion de risque dû aux fluc-tuations économiques et financières qui peuvent à tout moment réduire la valeur de l’actif. Ilpermet de modéliser la relation entre le risque associé à l’actif et le rendement espéré. Il faitégalement appel à une variable représentant le rendement du marché de référence, appelé"benchmark", auquel est comparé le rendement obtenu par l’actif qui est la seule variableexplicative du modèle. Le modèle s’écrit de la façon suivante :

(rit − rTt ) = αi + βi(rM

t − rTt ) + ε it i = 1, ..., n t = 1, ..., T (1.1)

où

rit : rendement obtenu pour l’actif i au temps t, où t est défini habituellement de façonjournalière, hebdomadaire ou mensuelle

rTt : taux sans risque au temps t

αi : ordonnée à l’origine associée à l’actif i

βi : coefficient bêta associé à l’actif i

rMt : rendement du marché de référence ("benchmark") associé à l’actif i évalué au temps t

ε it : terme de fluctuation aléatoire au temps t pour l’actif i

n : nombre d’actifs observés

T : dernier temps d’observation du rendement observé

La variable dépendante (rit − rTt ) représente le rendement net associé à l’actif i évalué. Ce

rendement net est le revenu rapporté par l’actif en excès de celui de l’actif sans risque. Lavariable explicative (rM

t − rTt ) représente le rendement net associé à l’indice auquel l’actif i

est comparé (le "benchmark"). Il est important de choisir le "benchmark" se rapprochant le

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plus de l’actif évalué, car c’est par rapport à ce "benchmark" qu’on interprétera le coefficientαi, comme nous l’expliquerons plus bas.

Le modèle d’évaluation des actifs financiers permet ainsi d’obtenir le rendement espéré d’unactif tout en tenant compte du risque qui lui est associé, et ce, de façon relativement simple.L’utilisation du MÉDAF se base sur plusieurs hypothèses. En voici quelques-unes :

− il ne doit y avoir aucun coût de transaction ou de taxes ;

− les investisseurs doivent tous avoir le même horizon d’investissement ;

− les mêmes informations doivent être disponibles pour tous les investisseurs.

Dans l’équation (1.1), l’ordonnée à l’origine, αi est une mesure qui permet de classer les actifspar ordre de préférence. Cette mesure permet d’évaluer la performance obtenue par un actifet sera détaillée dans la section 1.4.

Le coefficient βi représente la partie du risque qui est corrélée avec le rendement du marché.Il mesure la manière dont le rendement de l’actif évolue quand ce rendement du marchéchange. Sa valeur avoisine habituellement 1 et s’interprète ainsi :

β = 1 : rendement de l’actif suit le rendement du marché

β < 1 : rendement de l’actif change moins rapidement que le rendement du marché

β > 1 : rendement de l’actif change plus rapidement que le rendement du marché (rende-ment du gestionnaire plus volatile)

En résumé, le MÉDAF est l’un des modèles les plus utilisés en finance. Il est simple d’utilisa-tion et les conclusions tirées de ce modèle sont claires et reflètent bien la réalité présente dansla variation des prix des actifs financiers, même si plusieurs articles ont remis en question àla fois les postulats sur lesquels il s’appuie et son pouvoir prédictif (Mirza (2005)).

1.2 Modèle à trois facteurs de Fama-French

Une extension au MÉDAF fut conjointement développée en 1992, par Eugene Fama et KenFrench, nommé le modèle Fama-French, voir Womack and Zhang (2003) et Fama and French(1996). Ils ont essayé de trouver un modèle permettant de mieux mesurer le rendement at-tendu d’un actif. Pour cela, ils ont ajouté deux variables explicatives macroéconomiques auMÉDAF, nommées SMB "Small Minus Big" et HML "High Minus Low". La variable "SMB" re-présente la différence entre la moyenne des rendements de certains portefeuilles d’actions depetites entreprises et la moyenne des rendements de certains portefeuilles de grandes entre-prises tandis que la variable "HML" représente la différence entre des portefeuilles d’actionsde type "value" et des portefeuilles d’actions de type "growth". Les actions de type "value"

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sont des actions dont la valeur moyenne calculée à partir de certains ratios comptables estinférieure à la moyenne du marché. À l’inverse, les actions de type "growth" sont des actionsdont la moyenne est supérieure à celle du marché. Ces deux variables, "SMB" et "HML", per-mettent d’augmenter le pouvoir prédictif du modèle. Ce modèle permet toujours de calculerle rendement attendu d’un actif tout en tenant compte du risque. Ces modèles avec ajoutde variables explicatives au MÉDAF sont des modèles de type multifactoriels. Ceux-ci s’uti-lisent principalement avec des variables macroéconomiques ou statistiques ; voir le chapitre15 de Zivot and Wang (2006). Le modèle de Fama et French est un modèle dérivé de cesmodèles multifactoriels et s’écrit de la façon suivante :

(rit − rTt ) = αi + βi(rM

t − rTt ) + βsSMBt + βhHMLt + ε it i = 1, ..., n , (1.2)

où

βs : coefficient bêta associé à la variable SMB ;

βh : coefficient bêta associé à la variable HML.

Dans le cas où les paramètres βs et βh devant les deux nouvelles variables sont nuls, on re-trouve l’équation (1.1) du MÉDAF. Comme ces nouvelles variables sont construites à partirde rendements d’actions, ce modèle est principalement utilisé pour l’évaluation des actions.Par contre, pour évaluer des obligations, il est possible d’utiliser le même concept en rem-plaçant les variables "SMB" et "HML" par d’autres variables macroéconomiques permettantd’améliorer le pouvoir prédictif du modèle (1.1), comme c’est le cas dans l’article de Litter-man and Scheinkman (1991).

Ce modèle a également certaines limites, car les deux variables ajoutées ne permettent pasd’expliquer certaines particularités. Par exemple, lorsque le rendement d’un actif est élevé/basau temps t, il aura tendance à être également élevé/bas au temps t + 1 ce qu’on appelle, la"tendance". C’est pourquoi un nouveau modèle à quatre facteurs a été développé en 1997 parCarhart, comme indiqué dans l’article de Wang et al. (2014), en y incorporant une variableexplicative représentant la tendance, nommée "MOM". Cette variable est déterminée par ladifférence entre les rendements d’actifs qui sont performants, et ceux qui ne le sont pas. Lemodèle est le suivant :

(rit − rTt ) = αi + βi(rM

t − rTt ) + βsSMBt + βhHMLt + βm MOMt + ε it i = 1, ..., n , (1.3)

βm : coefficient bêta associé à la variable MOM.

L’interprétation de l’ordonnée à l’origine et de la pente associée aux rendements nets dumarché pour les deux modèles définis aux équations (1.2) et (1.3) reste la même que pour leMÉDAF défini à l’équation (1.1).

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1.3 Extension à l’évaluation des gestionnaires d’actifs

Dans ce mémoire, l’objectif principal est de comparer la gestion active à la gestion passiveafin de déterminer si les rendements obtenus par les gestionnaires d’actifs sont supérieursaux rendements qui auraient pu être obtenus par la compagnie, en limitant les coûts, en uti-lisant une gestion passive. De plus, la compagnie veut être en mesure de déterminer si desgestionnaires d’actifs ont les talents nécessaires pour battre le marché de façon significative.Pour répondes à ces objectifs, nous utilisons les modèles présentés aux sections précédentesavec les rendements rit étant les rendements des gestionnaires sur une certaine période detemps, au lieu du rendement d’un seul actif. Les rendements finaux des gestionnaires repré-sentent les rendements obtenus en gérant différents actifs sur une certaine période de temps.En fait, la compagnie engage des gestionnaires pour gérer certains montants, chacun desgestionnaires engagés par la compagnie investit une partie de cette somme dans différentsactifs dans le but de faire fructifier l’argent. C’est le rendement final obtenu sur ces différentsactifs à la fin de la période qui est utilisé dans les modèles pour être en mesure d’évaluer laperformance des gestionnaires.

Pour être en mesure de comparer divers gestionnaires en gestion active entre eux et de lesclasser par ordre d’efficacité, il est important que leurs coefficients bêta présentés dans lesmodèles précédents soient de valeurs similaires. Pour illustrer ce concept, les figures 1.1 et1.2 présentent deux scénarios différents.

FIGURE 1.1: Rendement net en fonction du taux du marché

Dans la figure 1.1, les deux gestionnaires ont une même pente, donc un bêta similaire. Danscette situation, l’ordonnée à l’origine permet de très bien classer les gestionnaires par ordrede performance et ce, peu importe que le rendement espéré du marché soit élevé ou faible.Le gestionnaire 1 aura toujours un rendement espéré supérieur au gestionnaire 2. Dans cetype de situation, pour choisir son gestionnaire la compagnie d’assurance doit orienter sonchoix sur le gestionnaire dont l’ordonnée à l’origine est la plus élevée, soit le gestionnaire 1.

Dans la figure 1.2, les conclusions sont différentes de celles de la figure 1.1 puisque les pentes

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FIGURE 1.2: Rendement net en fonction du taux du marché

ne sont pas égales pour les deux gestionnaires. Le gestionnaire 2 a un rendement espéréassez constant, et ce, peu importe la valeur du marché, tandis que le gestionnaire 1 aurade forts rendements espérés lorsque le rendement du marché sera élevé et, inversement,un rendement espéré faible lorsque le rendement du marché sera faible. Dans le cas où lesrendements moyens obtenus par chacun des deux gestionnaires seraient les mêmes à la find’une année, une compagnie d’assurance devrait préférer le gestionnaire 2, qui est beaucoupplus constant. Ses rendements attendus sont beaucoup moins volatils et donc moins risquéspour la compagnie.

1.4 Mesure de performance en pratique

Les sections 1.1 et 1.2 présentent les modèles souvent utilisés en finance pour évaluer laperformance des gestionnaires d’actifs. La valeur des paramètres composant ces modèles estinconnue et chacune d’entre elles doit être estimée. L’estimation de ces paramètres se faità partir de séries d’observations des rendements et trois variables sont nécessaires. La pre-mière variable est le rendement observé (rit) des gestionnaires à évaluer sur une certainepériode de temps t ∈ {1, 2, ..., T}, et idéalement à intervalles réguliers, par exemple, chaquejour, chaque semaine ou chaque mois. La deuxième variable nécessaire est le rendement dumarché (rM

t ) auquel sont comparés les rendements des gestionnaires sur la même périodeet avec les mêmes intervalles temporels que les rendements observés des gestionnaires. Fi-nalement, il est nécessaire d’avoir les valeurs observées du taux sans risque (rT

t ), égalementsur la même période de temps et aux mêmes intervalles que les deux autres variables. Cesobservations sont utilisées dans des modèles paramétriques de régression pour estimer lesparamètres composant le MÉDAF, présenté à la section 1.1. Pour être en mesure d’utiliserles extensions au MÉDAF de la section 1.2, d’autres variables explicatives doivent être ob-servées, c’est-à-dire les variables SMBt, HMLt et MOMt définies à la section 1.2. Dans cemémoire, la régression linéaire, la régression quantile ainsi que la régression linéaire mixte

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seront utilisées pour estimer les différents paramètres des modèles présentés aux sections1.1 et 1.2. La théorie concernant ces méthodes d’estimation sera présentée au chapitre 2.

À partir de ces observations et de la régression choisie, les paramètres sont estimés selonle modèle désiré, ce qui permet également d’obtenir des écarts types et des valeurs p asso-ciés aux estimations de ces paramètres. La valeur p est une probabilité qui correspond à laprobabilité d’obtenir une valeur aussi extrême que celle observée dans l’échantillon étudié,sous l’hypothèse nulle que le rendement moyen du gestionnaire évalué n’est pas différent durendement du marché. Une fois les paramètres des modèles estimés à l’aide des rendementsobservés et de la régression, des mesures de performance peuvent être calculées à partir deces estimations. Une mesure de performance très utilisée pour comparer des gestionnairesprenant des risques similaires est le coefficient alpha de Jensen (1968), comme indiqué dansFerson (2010). Cette mesure est une estimation de l’ordonnée à l’origine des modèles de ré-gression du MÉDAF donné à l’équation (1.1). C’est une mesure très sensible au choix durendement de marché utilisé pour mesurer le rendement espéré. Le coefficient alpha de Jen-sen mesure la différence entre le rendement réel et le retour attendu selon le niveau de risquemesuré par le coefficient bêta. C’est la valeur du coefficient alpha de Jensen qui permet dedéterminer si la valeur ajoutée est due à un coup de chance ou au talent du gestionnaire. Enfait, on parle de coup de chance si les rendements excédentaires obtenus par le gestionnairene sont pas dus à ses compétences et aux informations récoltées, c’est-à-dire que les rende-ments excédentaires obtenus risquent, dans le futur, de ne pas être constants et donc de nepas persister. Déterminer si les rendements excédentaires sont dus à un coup de chance estimportant, car si c’est le cas, le gestionnaire ne sera probablement pas en mesure dans le futurde répéter ses performances. Dans le cas où les performances du gestionnaire sont dues à uncoup de chance, une compagnie n’aurait pas intérêt à sélectionner ce gestionnaire si d’autresont également réussi à battre le marché grâce à leurs talents. Un coefficient alpha significati-vement supérieur à zéro indique que le gestionnaire a réussi à battre le marché tandis qu’uncoefficient alpha non significativement supérieur à zéro indique qu’il n’a pas réussi à battrele marché. Le coefficient alpha de Jensen permet ainsi d’effectuer le test statistique bilatéralsuivant :

Hypothèse nulle (H0) : le gestionnaire i n’a pas obtenu un rendement moyen différent dumarché (αi = 0) ;

Hypothèse alternative (H1) : le gestionnaire i a obtenu un rendement moyen différent dumarché (αi 6= 0).

Ainsi un coefficient alpha supérieur à zéro avec une valeur p associée au test ci-dessus infé-rieur à un certain seuil indiquerait que le gestionnaire i a battu le marché, et ce, non grâce à lachance, mais probablement à cause de son talent. C’est une valeur qui permet de classer lesgestionnaires, mais uniquement ceux dont les actifs comparés possèdent un risque similaire,

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c’est-à-dire un coefficient bêta similaire.

Une autre mesure de performance plus adaptée pour évaluer la performance des gestion-naires est le coefficient alpha standardisé, nommé également le ratio d’information, voirAmenc and Sourd (2002) et Bodson et al. (2010). Cette valeur est estimée par l’ordonnée àl’origine divisée par son erreur standard et elle peut être interprétée comme le rendement di-visé par le risque. Contrairement au coefficient alpha de Jensen, qui utilise uniquement l’or-donnée à l’origine de la régression, le coefficient alpha standardisé tient également comptede la volatilité présente dans cette estimation de l’ordonnée à l’origine. Cette volatilité per-met de voir si le gestionnaire conserve une certaine forme de régularité lorsqu’il dépassele "benchmark" associé à son indice. Cette erreur associée au coefficient alpha est le prix àpayer par un gestionnaire pour espérer obtenir de meilleurs rendements. Clairement, elle estdirectement associée à la valeur p du test de nullité du coefficient αi.

Le coefficient alpha standardisé est une mesure très utilisée pour classer les gestionnaires deportefeuilles d’actifs, car le ratio représente la partie qui n’est pas expliquée par le rendementdu marché de référence. Cette partie non expliquée est due aux choix faits par le gestionnairepour tenter de battre le marché. Le ratio s’écrit de la façon suivante :

IR =αi

σ(αi)=

E[ri − rTi ]− E[rm − rTi ]

σ(E[ri − rTi ]− E[rm − rTi ])(1.4)

où

σ(αi) : représente l’écart-type associé à l’estimé de l’ordonnée à l’origine (αi).

Généralement, un bon ratio d’information se situe aux alentours de 2.5, voir Blatt (2004).Comme pour le coefficient alpha de Jensen, le ratio d’information permet de classer les ges-tionnaires par ordre de préférence et de déterminer si les rendements excédentaires obtenussont dus au talent du gestionnaire et non à la chance. Lorsque deux gestionnaires d’actifsont un ratio similaire, il est important de regarder l’écart-type de chacun d’eux, car pluscelui-ci sera faible, moins le risque encouru sera élevé et plus le gestionnaire aura tendanceà poursuivre dans le même sens, soit limiter le risque.

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Chapitre 2

Méthodes statistiques utilisées

Au chapitre 1, on a présenté les modèles utilisés principalement en finance pour évaluer laperformance des gestionnaires. Ce chapitre présente les outils statistiques nécessaires pourestimer les paramètres de ces modèles financiers afin d’être en mesure de classer les gestion-naires par ordre de performance sur la base d’observations de leurs rendements.

Dans la section 2.1, on présente les données disponibles pour réaliser ces types d’analyses.Dans la section 2.2, on détaille la première méthode utilisée pour estimer les paramètres desmodèles financiers, soit la régression linéaire. La section 2.3 offre une alternative au modèlede régression linéaire, la régression quantile, une méthode plus robuste aux données aber-rantes que la précédente. La section 2.4 est consacrée à la régression linéaire mixte, une ap-proche différente utilisée pour estimer simultanément les paramètres des modèles financiersde plusieurs gestionnaires. La section 2.5 présente la méthode de comparaisons multiplesutilisée dans ce mémoire pour être en mesure de comparer plusieurs gestionnaires entreeux.

2.1 Données disponibles pour les analyses

Comme mentionné au chapitre 1, les vraies valeurs des paramètres composant les mo-dèles pour évaluer la performance des gestionnaires sont inconnues ; il faut donc les estimer.Pour ce faire, l’analyse se base sur les rendements obtenus par des gestionnaires d’actionset d’obligations au cours d’une période d’observation donnée. Pour chacun de ces gestion-naires, une série de ses rendements bruts est nécessaire sur une certaine période de temps,par exemple, chaque mois pendant quelques années. La période étudiée doit être assezlongue, principalement si on a recours à l’utilisation de séries temporelles pour modéliser lacorrélation entre les observations. Au chapitre 1, on a décrit le modèle d’évaluation des actifsfinanciers (MÉDAF), le modèle de Fama-Frech et le modèle de Carhart pour évaluer la per-formance de gestionnaires. Par contre, pour la suite du mémoire, seul le MÉDAF représentépar l’équation (1.1) sera considéré. L’ajout de variables explicatives au MÉDAF, comme celles

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suggérées par Fama-French et Carhat, définies à la section 1.2, a été testé, mais ces variablesn’ont pas permis d’améliorer la qualité des modèles en terme de prédictions et pour classerles gestionnaires par ordre de performance. Le taux sans risque est déterminé par l’analystefinancier et celui-ci est habituellement représentatif de l’horizon de placement visé. La va-riable dépendante de l’équation (1.1) du MÉDAF est le rendement net d’un gestionnaired’actifs, soit le rendement brut du gestionnaire, après déduction des frais encourus, moinsle taux sans risque. La variable explicative utilisée est le taux du marché (benchmark) moinsle taux sans risque. Le taux du marché est également déterminé par l’analyste financier etcelui-ci n’est pas le même pour les gestionnaires d’actions et les gestionnaires d’obligations.Ainsi, au final, deux types de modèles seront créés, un pour les gestionnaires d’actions et unautre pour les gestionnaires d’obligations, et l’estimation des paramètres est détaillée dansles sections suivantes.

2.2 La régression linéaire

La régression linéaire est un modèle simple et facile d’utilisation. Elle est utilisée dans dif-férents domaines pour étudier la relation entre une variable réponse quantitative et une oudiverses variables explicatives et pour faire de la prédiction. On parle de régression linéairesimple lorsqu’on considère une seule variable explicative et on parle de régression linéairemultiple lorsque plusieurs variables explicatives modélisent la variable réponse.

2.2.1 Modèle

Le modèle correspondant à une régression linéaire simple est le suivant :

Yt = α + βxt + εt t = 1, ..., T , (2.1)

où

Yt : variable réponse du modèle, soit le rendement net d’un gestionnaire pour la période t

α : ordonnée à l’origine du modèle qui correspond à l’alpha de Jensen, une mesure de per-formance du gestionnaire

β : représente le risque systématique, c’est-à-dire le risque associé à la volatilité du marché

xt : variable explicative du modèle, soit le rendement net du marché à la période t

εti.i.d.∼ N(0, σ2), t = 1, ..., T

T : nombre de périodes d’observations

L’ordonnée à l’origine du modèle, c’est-à-dire le coefficient α de la régression linéaire, repré-sente la valeur moyenne de Yt lorsque xt vaut zéro. Dans ce mémoire, le coefficient α indique

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que, lorsque le rendement net du marché est nul, la valeur moyenne des rendements netsdu gestionnaire est α. En effet, dans le cas où xt = 0 et quand l’hypothèse de linéarité estrespectée, le coefficient α représente l’espérance de Yt,

E [Yt] = E [α + β× 0 + εt] = α + E [εt] = α.

C’est pourquoi on peut dire qu’un coefficient α supérieur à zéro indique que le gestionnaire aréussi à battre le marché. La pente de la régression, le coefficient β, représente l’augmentationde la valeur moyenne de Yt lorsque la valeur de xt augmente d’une unité. Ainsi le coefficientβ est l’augmentation de la valeur moyenne des rendements du gestionnaire lorsque le ren-dement du marché augmente d’une unité. Généralement en pratique, on s’attend à ce que lecoefficient β avoisine 1, c’est-à-dire que le gestionnaire d’actifs suit son "benchmark".

Pour utiliser la régression linéaire, certaines hypothèses doivent être respectées pour chacundes termes d’erreurs (ε). Les trois principales hypothèses sont la linéarité, l’homoscédasticitéet la non-corrélation des termes d’erreurs, ce qui signifie que chacun des termes d’erreur doitêtre d’espérance nulle, de variance σ2 (homoscédasticité) et deux termes d’erreurs provenantd’observations différentes ne doivent pas être corrélés entre eux (Cov(ε i, ε j) = 0 pour i 6= j).Une quatrième hypothèse est que les termes d’erreurs doivent tous suivre une distributionnormale. Si l’une ou plusieurs de ces hypothèses ne sont pas respectées, les résultats obtenusà partir de ce modèle tels que les estimations de paramètres, les intervalles de confiance oules tests utilisés ne sont pas interprétables.

2.2.2 Estimation des paramètres

Les principaux paramètres à estimer sont les coefficients α et β. Pour les estimer, la mé-thode qui est généralement utilisée est celle des moindres carrés. Cette méthode vise à mini-miser l’écart quadratique entre les valeurs observées Yt et la droite Yt = α + βxt. L’estimé ducoefficient α est :

α = Y− βx , (2.2)

où

Y : est la moyenne des rendements nets obtenus par un gestionnaire d’actifs

x : est la moyenne des rendements nets du marché

et une estimation de sa variance est :

ˆvar[α] = σ2

(1n+

x2

Sxx

), (2.3)

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où

σ2 = 1n−2 ∑n

i=1 ε2 et Sxx = ∑ni=1(xi − x)2 .

L’estimation du coefficient α ainsi que l’estimation de sa variance sont utilisées, principale-ment, pour le calcul de mesures de performance ainsi que pour la prévision de rendementsfuturs, tel que présentés à la section 2.2.4. L’estimé du coefficient β est :

β =∑n

t=1 Ytxt − Y ∑nt=1 xt

∑nt=1 x2

t − x ∑nt=1 xt

=∑n

t=1 (xt − x)Yt

∑nt=1 (xt − x)2 . (2.4)

et sa variance est :

ˆvar[β] =σ2

Sxx.

L’estimation du coefficient β et l’estimation de sa variance sont surtout utilisées pour la pré-vision. Certaines mesures de performance utilisent l’estimation du coefficient β, mais ce nesont pas celles retenues dans ce mémoire.

2.2.3 Série temporelle

Une série temporelle est une suite d’observations obtenues à des intervalles réguliers, parexemple chaque jour, chaque semaine, chaque mois. L’étude des séries temporelles vise àdéterminer un modèle qui permettra de bien identifier la structure de corrélation entre lesobservations.

Habituellement, la régression linéaire se base sur l’hypothèse que les erreurs sont identi-quement distribuées et indépendantes (i.i.d.) de moyenne zéro et de variance sigma carrée.Par contre, dans certains cas, il peut arriver que les erreurs soient autocorrélées, c’est-à-direque les erreurs dépendent de leurs valeurs passées, principalement lorsque les données sontobtenues à intervalles réguliers. Dans ce cas, des modèles de série temporelle doivent êtreutilisés pour bien spécifier la distribution des erreurs afin d’être en mesure de bien tenircompte de l’incertitude dans l’estimation de la relation entre la variable réponse et la va-riable explicative.

Un des principaux modèles utilisés dans l’étude des séries temporelles est le modèle ARMA(p, q) « Processus autorégressif moyenne mobile ». Ce modèle est composé d’une partie au-torégressive (p) et d’une partie moyenne mobile (q). Dans le cas où il n’y a pas de moyennemobile, on parle de processus autorégressif, AR (p)=ARMA (p, 0). Un processus autorégres-sif est expliqué non pas par une combinaison de variables explicatives, mais par ses valeurspassées. Un processus autorégressif d’ordre 2 signifie que la loi de la prochaine valeur à pré-dire sera en fonction des deux dernières valeurs observées. Plus généralement, un processus

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autorégressif d’ordre p signifie que la loi de la prochaine valeur à prédire sera en fonctiondes p dernières valeurs observées. Voici, par exemple, le modèle associé à un processus au-torégressif d’ordre 2 :

εt = ϕ1εt−1 + ϕ2εt−2 + ωt , (2.5)

où les ωt sont i.i.d. ∼ N(0, σ2ω) avec σ2

ω > 0 et ϕ1 et ϕ2 sont des paramètres autorégressifs.

Afin de déterminer si les erreurs de la régression nécessitent l’utilisation de séries tempo-relles, il faut tout d’abord vérifier s’il y a dépendance entre les termes d’erreur. Dans le casoù les erreurs sont simplement indépendantes, il n’y a pas lieu d’aller plus loin. Pour validers’il y a dépendance ou non entre les erreurs, la fonction d’autocorrélation simple (ACF) estutilisée. La fonction d’autocorrélation simple notée ρ(h) est définie à partir de la fonctiond’autocovariance notée γ(h) qui est la covariance entre deux variables décalées de h unités,soit γ(h) = cov(εt, εt+h). La fonction d’autocorrélation simple s’écrit de la façon suivante :

ρ(h) =γ(h)γ(0)

=cov(εt, εt+h)

var(εt).

Pour être un processus autorégressif AR(p) les autocorrélations doivent tendre vers zéro avech, et ce, de façon exponentielle. L’autocorrélation partielle r(h) (PACF) est définie par :

r(h) =

ρ(h)− [ρ(h− 1) · · · ρ(1)] R(h− 1)−1

ρ(1)

...ρ(h− 1)

1− [ρ(h− 1) · · · ρ(1)] R(h− 1)−1

ρ(h− 1)

...ρ(1)

où R(h− 1)−1 est la matrice d’autocorrélation du vecteur εt, · · · , εt+N−1 où N représente le

nombre d’observations du processus εt : R(h) =

1 ρ(1) ρ(2) · · · ρ(N − 1)

ρ(1) 1 ρ(1) · · · ρ(N − 2)...

. . . . . . . . ....

ρ(N − 1) ρ(N − 2) · · · ρ(1) 1

Ce sont les autocorrélations partielles qui permettent de déterminer l’ordre p, car celles-cis’annulent à partir de l’ordre p + 1. L’autocorrélation partielle est définie comme la corréla-tion entre deux variables décalées de h unités en leur enlevant l’information linéaire conte-nue entre ces deux variables. Pour plus d’information sur les fonctions d’autocorrélation

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simples et partielles, se référer à Kirchgässner and Wolters (2007). La figure 2.1 présente lesgraphiques ACF et PACF théoriques d’un processus autorégressif d’ordre 2.

FIGURE 2.1: Graphiques ACF et PACF théoriques pour un processus AR(2)

En pratique, on n’observe pas directement les valeurs associées aux autocorrélations simpleset partielles, il faut les estimer à partir des données observées. Pour l’estimation des autocor-rélations simples, on utilise :

ρ(h) =γ(h)γ(0)

, h = 0, 1, · · · ,

où γ(h) = 1n ∑n−h

t=1 (εt − εn) (εt+h − ε).

Quant à l’estimation des autocorrélations partielles, elle se fait à l’aide des estimateurs sui-vants :

r(h) =

ρ(h)− [ρ(h− 1) · · · ρ(1)] R(h− 1)−1

ρ(1)

...ρ(h− 1)

1− [ρ(h− 1) · · · ρ(1)] R(h− 1)−1

ρ(h− 1)

...ρ(1)

, h = 0, 1, · · · ,

où RN = Γ(h)γ(0) et Γ(h) =

γ(0) γ(1) · · · γ(N − 1)γ(1) γ(2) · · · γ(N − 2)

.... . . . . .

...γ(N − 1) γ(N − 2) · · · γ(0)

.

La figure 2.2 montre un exemple de ce qui a été obtenu à partir des rendements nets ob-servés d’un gestionnaire d’obligations. Ces graphiques permettent très bien de déterminer

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qu’il s’agit d’un processus autorégressif d’ordre deux. En effet, sur le premier graphique(ACF), les autocorrélations décroissent rapidement en dessous de la bande de confiance tan-dis que dans le second graphique (PACF), seules les deux premières autocorrélations par-tielles sortent de l’intervalle de confiance, et sont donc significativement non nulles.

FIGURE 2.2: Corrélogrammes simples et partiels des résidus du modèle (1.1) ajusté aux ren-dements mensuels nets d’un gestionnaire d’obligations

Lorsque les erreurs de la régression sont bien de type autorégressif d’ordre 2, deux nouveauxparamètres doivent être estimés, soit ϕ1 et ϕ2, et l’estimation du coefficient α sera modifiée.

Avant d’attaquer l’estimation de ces deux nouveaux paramètres et de voir l’effet d’erreursautocorrélées sur le modèle de régression linéaire simple, il est important de définir l’opé-rateur "retard". C’est cet opérateur qui permettra la réécriture de l’équation (2.5) pour êtreen mesure de modifier l’estimation du coeffcient α. L’opérateur "retard", dénoté B, est unopérateur linéaire qui se définit de la façon suivante :

Bεt = εt−1 (εt, t ∈ Z)

et de façon plus générale, on a :

Biεt = εt−i (εt, t ∈ Z) , ∀i ∈N.

En fait, l’opérateur "retard" permet de créer un décalage d’une ou de plusieurs unités de

19

temps. À l’aide de l’opérateur "retard", on peut réécrire l’équation (2.5) de la façon suivante :

ωt = εt(

I − ϕ1B− ϕ2B2)︸ ︷︷ ︸Φ(B)

,

où Φ (B) est un polynôme de degré deux. Ainsi, on a

εt =ωt

Φ (B)(2.6)

et si Φ (B) est inversible on peut donc réécrire l’équation (2.1) en substituant le côté droit del’équation (2.6) pour εt :

Φ (B)Yt = Φ (B) α + Φ (B) βxt + ωt. (2.7)

De l’équation (2.7), on obtient :

Y?t = Yt − φ1Yt−1 − φ2Yt−2 = Φ (B)Yt (2.8)

x?t = xt − φ1xt−1 − φ2xt−2 = Φ (B) xt (2.9)

α? = (1− φ1 − φ2) α = Φ (B) α (2.10)

À partir de l’équation (2.10), il est possible d’obtenir l’estimation du nouveau coefficient α :

α =α?(

1− φ1 − φ2) , (2.11)

où α? est celui défini par l’équation (2.2). L’estimation de sa variance est :

ˆvar[α?] =ˆvar[α]

(1− φ1 − φ2)2, (2.12)

où ˆvar[α] est défini à l’équation (2.3).

L’estimé de la pente reste le même qu’à l’équation (2.4).

Estimation des paramètres ϕ1 et ϕ2

Pour estimer les paramètres autorégressifs ϕ1 et ϕ2, la méthode de Yule-Walker peut êtreutilisée. Les équations de Yule-Walker dans le cas d’une série autorégressive d’ordre 2 s’écriventde la façon suivante :

γ(h) = ϕ1γ(h− 1) + ϕ2γ(h− 2), h = 1, 2. (2.13)

20

Ainsi, en remplaçant h dans l’équation (2.13) par 1 et 2, on obtient le système de deux équa-tions et deux inconnues suivant :

γ(1) = ϕ1γ(0) + ϕ2γ(−1)

γ(2) = ϕ1γ(1) + ϕ2γ(0).

En utilisant la parité de γ(h) et en remplaçant les fonctions d’autocovariance par leurs esti-mations respectives, on obtient les deux équations suivantes :

γ(1) = ϕ1γ(0) + ϕ2γ(1) (2.14)

γ(2) = ϕ1γ(1) + ϕ2γ(0). (2.15)

Chaque membre des deux équations (2.14 et 2.15) est divisé par γ(0) pour faciliter les calculs,ce qui permettra de retrouver les fonctions d’autocorrélation simples ρ(h) = γ(h)

γ(0 :

ϕ1 = ρ(1)− ϕ2ρ(1) (2.16)

ϕ2 = ρ(2)− ϕ1ρ(1). (2.17)

Par la suite, il suffit de remplacer ϕ1 donné par (2.16) dans (2.17) pour obtenir

ϕ2 = ρ(2)− ρ(1) [ρ(1)− ϕ2ρ(1)]︸ ︷︷ ︸ϕ1

ϕ2 =ρ(2)− ρ(1)2

1− ρ(1)2 = r(2) , (2.18)

où r(2) est la fonction d’autocorrélation partielle estimée qui est une conséquence du théo-rème de Frisch-Waugh. Ceci permet d’obtenir l’estimé de ϕ2. Pour l’estimé de ϕ1, on rem-place ϕ2 par son estimé ( 2.18) dans l’équation (2.16) :

ϕ1 = ρ(1)− ρ(1)r(2). (2.19)

Les équations de Yule-Walker permettent également d’obtenir une équation pour la variancedu bruit blanc, notée σ2

ω :

21

σ2ω = γ(0)− ϕ1γ(1)− ϕ2γ(2).

Ainsi, l’estimé de la variance du bruit blanc sera

σ2ω = γ(0)− ϕ1γ(1)− ϕ2γ(2).

Utiliser une série temporelle pour modéliser les termes d’erreurs de la régression linéairea un impact sur l’estimé des paramètres. En effet, comme le démontre l’équation (2.11), lecoefficient alpha est modifié pour tenir compte de l’impact du fait que les erreurs sont pos-siblement autocorrélées. Cet impact se reflètera sur le classement des gestionnaires, car lesprincipaux outils utilisés pour évaluer la performance de gestionnaires sont basés sur desestimés du coefficient α.

2.2.4 Prévision

Dans le contexte actuel, la prévision des valeurs futures des rendements des gestionnairespermettra à une compagnie de guider son choix lors de la sélection des gestionnaires. Eneffet, si la compagnie a en sa possession une prévision des rendements futurs de chacundes gestionnaires d’actifs qu’elle peut potentiellement engager, elle préfèrera un gestion-naire dont le rendement attendu est le plus élevé et le moins risqué. De plus, en connaissantl’estimation des rendements attendus des gestionnaires qu’elle aura sélectionnés, la compa-gnie sera en mesure de mieux prévoir le risque présent au sein de son portefeuille d’actifs.Pour être en mesure de prévoir les valeurs futures des rendements des gestionnaires, il fautconnaître la valeur future des variables explicatives du modèle. Pour le modèle d’évaluationdes actifs financiers, la seule variable explicative est le rendement net du marché. Connais-sant cette valeur, disons x0, l’équation pour prédire une nouvelle valeur de Y sachant lavaleur du rendement du marché sera, dans le cas où les erreurs sont i.i.d,

Y0 = α + βx0.

L’intervalle de confiance associé à cette prévision est le suivant :

[α + βx0 ± tn−2 (1− α/2)

√var

[Yi]]

,

où

tn−2 : quantile de la loi de student à n− 2 degrés de liberté et

var[Yi]= σ2

[1 + 1

n + (x0−x)2

∑ni=1(xi−x)2

].

22

Dans le cas où les erreurs sont de type autorégressif d’ordre deux, la prévision d’une nou-velle valeur va dépendre des erreurs (ε) aux deux temps précédents. Par exemple, la pré-vision de Y au temps t = T va dépendre de la l’erreur au temps t = T − 1, εT−1 et autemps t = T − 2, εT−2. Supposons toujours qu’au temps t = T, xT = x0. Alors on obtient laprévision suivante :

YT = α + βx0 + ϕ2 εT−2 + ϕ1 εT−1

avecα = α∗ (2.20)

où α∗ est obtenu à partir de l’équation (2.10) et

β =∑n

t=1 (x∗t − x∗)Y∗t∑n

t=1 (x∗t − x∗)2 (2.21)

où x∗t et Y∗t sont obtenus à partir des équations (2.9) et (2.8). Le terme εT−1 est calculé à partirde T− 1 observations et εT−2 est calculé à partir de T− 2 observations, pour plus de détails,voir Malinvaud (1961). Les estimations des paramètres autorégressifs ϕ1 et ϕ2 sont obtenuesà partir des équations (2.16) et (2.17).

Un intervalle de confiance à approximativement 95% correspondant à cette prévision est :

[YT ± t0.025;T−2 ×

√var(YT)

],

où var(YT) =var[α]

(1−ϕ1−ϕ2)2 + x20var[β] + σ2[ϕ1

2 + ϕ22] + σ2

w.

2.2.5 Variante au modèle de régression linéaire

Deux variantes au modèle de régression linéaire simple ont été testées pour permettred’ajuster le meilleur modèle possible aux données afin de bien comparer les gestionnairesentre eux.

1- Transformation de la variable réponse

Pour la construction des modèles, la variable réponse représentant le rendement net associéà un actif a été remplacée par le log(1+rendement). Puisqu’en finance il arrive souvent queles distributions soient asymétriques, l’utilisation du log permet souvent de corriger ce pro-blème. La constante 1 du log(1+rendement) permet de conserver les propriétés suivantes :

− lorsque le rendement est de zéro, le log(1+rendement) est également de zéro ;

23

− lorsque le rendement tend vers l’infini, le log(1+rendement) tend également vers l’infini ;

− lorsque le rendement tend vers -1, le log(1+rendement) tend vers - l’infini.

Effet sur la prévision

Pour obtenir la prévision du rendement net d’un gestionnaire en utilisant comme variableréponse le log(1 + Yt), il est nécessaire d’utiliser la transformation suivante :

Y??t = exp

[Yt +

12

σ2]− 1 ,

ce qui permet d’obtenir une prévision sans biais du rendement futur du gestionnaire.

2- Pente égale à 1 pour tous les gestionnaires

Il pourrait arriver que la valeur estimée du coefficient β soit très différente d’un gestionnaireà l’autre. Comme mentionné dans la section 1.4, pour comparer des gestionnaires entre euxsimplement à partir du coefficient α, il est important que le risque systématique (β) soit égal,ou du moins similaire, d’un gestionnaire à l’autre. Pour ce faire, des modèles avec paramètreβ fixé à 1 ont été testés. Avec un coefficient bêta fixé à 1, on a le modèle suivant :

Yt = α + xt + εt.

Dans le cas où les erreurs sont i.i.d., il y a un seul paramètre à estimer, soit le coefficient α. Laprévision sera :

Yt = α + xt,

où α est donné par l’équation (2.2) en posant β = 1.

Dans le cas où les erreurs sont de type autorégressif d’ordre deux, la prévision sera :

YT = α + x0 + ϕ2 εT−2 + ϕ1 εT−1.

où le coefficient α est défini par l’équation (2.11).

Les estimateurs obtenus par la méthode des moindres carrés sont très affectés par les valeursextrêmes, comme on en observe souvent dans des séries de rendements financiers. C’estpourquoi on dit souvent que la régression linéaire manque de robustesse. De plus, lorsqueles données ne sont pas distribuées de façon normale, comme c’est souvent le cas avec des

24

données de rendement sur un indice de marché, les intervalles de confiance et les tests ob-tenus ne sont pas interprétables. C’est pourquoi une variante à cette méthode est considéréedans la section suivante.

2.3 La régression quantile

La régression quantile, telle que décrite par Koenker (2005), est utilisée pour généraliser larégression linéaire. L’utilisation de la régression linéaire permet d’obtenir la moyenne condi-tionnelle de la variable à prédire selon les variables explicatives, tandis que la régressionquantile suppose un modèle pour la médiane ou d’autres quantiles conditionnels de la va-riable réponse.

Dans certaines situations, et c’est souvent le cas dans le domaine de la finance lorsqu’on étu-die les rendements obtenus par les gestionnaires suite à une gestion active, les distributionssont souvent asymétriques. En effet, ces distributions, dans bien des cas, s’éloignent de la loinormale. Elles ont des queues épaisses et contiennent souvent des valeurs extrêmes et desdonnées aberrantes. Dans ces circonstances, la régression quantile est beaucoup plus robuste,car elle ne met pas l’accent seulement sur la moyenne, mais sur l’ensemble de la distribu-tion conditionnelle de la variable explicative. La médiane est une mesure plus robuste auxdonnées aberrantes que la moyenne, car elle est beaucoup moins influencée par les valeursextrêmes. Par ailleurs, les résultats obtenus avec la régression quantile sont généralementplus stables en terme d’estimation des paramètres que ceux qui peuvent être obtenus avec larégression linéaire lorsque les résidus sont très dispersés. C’est pourquoi la régression quan-tile est de plus en plus utilisée et populaire pour évaluer la performance de gestionnairesd’actifs, voir David Ellen and Powell (2009), Carlo Matallin-Saez and Tortosa-Ausina (2013)et Chiang and Li (2012).

2.3.1 Modèle

Le τième quantile, qτ, est défini de sorte que P(Y ≤ qτ) = τ. Par exemple, le quantilereprésentant la médiane, q0.5 , est défini de sorte que P(Y ≤ q0.5) = 0.5, ce qui divise lapopulation en deux groupes de même "taille". En fait, la fonction de quantile, QY(τ), d’unevariable aléatoire est définie comme l’inverse généralisé de sa fonction de répartition :

QY(τ) = F−1Y (τ) = inf {Y : FY(Y) ≥ τ} , 0 ≤ τ ≤ 1.

Cette fonction de quantile est représentée par le seuil où la probabilité d’observer une va-riable inférieure au seuil est exactement τ, comme illustré à la figure 2.3. Les rendementsles moins élevés seront associés aux quantiles les plus faibles tandis que les rendements lesplus élevés seront associés aux quantiles les plus élevés. Ainsi, la fonction de quantile décrit

25

de façon complète les caractéristiques statistiques de la variable aléatoire. L’ensemble desvaleurs de τ est compris dans (0, 1).

FIGURE 2.3: Fonction de répartition et fonction quantile

Tout comme la fonction de quantile, la fonction de quantile conditionnelle de la variableréponse Y sachant x est l’inverse de la fonction de répartition conditionnelle correspondante :

QY(τ|x) = F−1Y|x(τ|x) = inf {Y : FY(Y|x) ≥ τ} , 0 ≤ τ ≤ 1.

Le but principal de la régression quantile est de déterminer comment chacun des quantilesde la distribution conditionnelle dépend des variables explicatives. Le modèle développépour évaluer les rendements nets d’un gestionnaire d’actif avec une seule variable explica-tive, comme c’est le cas avec le MÉDAF, est le suivant :

QYt(τ|x = xt) = α(τ) + β(τ)xt + εt(τ), 0 ≤ τ ≤ 1.

Tout comme le modèle de régression linéaire qui suppose une relation linéaire entre la moyennede Y et les valeurs prises par la variable explicative, la régression quantile postule, elle aussi,une relation linéaire, mais entre le τième quantile de Y et les valeurs prises par la variableexplicative. On distingue deux principaux modèles :

1- Modèle de translation linéaire

Dans ce type de modèle, seule l’ordonnée à l’origine varie d’un quantile à l’autre et les pentesdes droites restent les mêmes. Ainsi, dans ces modèles, les droites seront parallèles d’unquantile à l’autre puisque les variables explicatives ont un effet uniquement sur la moyennedes rendements et non sur la variance. Dans ce type de modèle, la variance des résidus restela même, peu importe le quantile, et l’hypothèse d’homoscédasticité est respectée. Mêmesi les hypothèses de la régression linéaire sont respectées, il peut être avantageux d’utiliserla régression quantile avec un modèle de translation linéaire puisque les estimateurs de la

26

régression quantile sont plus robustes. En effet, ils sont moins sensibles à la présence devaleurs aberrantes.

2- Modèle de translation-échelle

Dans ce type de modèle, l’ordonnée à l’origine ainsi que la pente varient d’un quantile àl’autre. Il y a un effet sur la moyenne, mais également sur la variance de la variable dépen-dante Y. La variance de Y varie en fonction des valeurs prises par la variable explicativex. Dans un modèle de translation-échelle, les pentes ne sont plus parallèles d’un quantile àl’autre. Ce type de modèle est une variante très intéressante au modèle linéaire de la section2.2, principalement lorsque l’hypothèse d’homoscédasticité n’est pas respectée.

Dans le cas de la régression quantile, les termes d’erreurs, εt(τ), ne suivent pas nécessaire-ment une loi normale, mais sont habituellement indépendants et identiquement distribués.Comme dans le cas de la régression linéaire section (2.2.3), il est possible d’ajuster un modèlede série temporelle sur les erreurs lorsque celles-ci sont autocorrélées.

Contrairement à la régression linéaire, qui doit respecter les hypothèses mentionnées à lasection 2.2 sur la distribution des termes d’erreurs, la régression quantile ne nécessite pasl’homoscédasticité des termes d’erreurs.

FIGURE 2.4: Droite d’une régression linéaire comparée à la régression quantile avec diffé-rentes valeurs de τ

2.3.2 Estimations des paramètres

Koenker (2005), présente une méthode d’estimation qui ne requiert pas que les donnéessoient ordonnées, ce qui peut réduire considérablement les calculs. On sait que la moyennepeut-être définie de la façon suivante :

µ = arg minc

E[(Y− c)2

].

27

De manière analogue la médiane peut-être définie de la façon suivante :

Med = arg minc

E [|Y− c|] . (2.22)

Pour estimer les paramètres de la régression linéaire, c’est la fonction de perte quadratiquequi est utilisée avec la méthode des moindres carrés. Dans le cas de la régression quan-tile, l’alternative développée par Koeker remplace la fonction de perte quadratique par unefonction linéaire ρτ(u) en forme de V. Cette fonction linéaire va donc augmenter de façon li-néaire avec les résidus au lieu d’augmenter de façon quadratique. L’impact sera donc moinsimportant pour des résidus plus éloignés, ce qui rend la régression quantile plus robuste quela régression linéaire aux données aberrantes. L’estimation peut se faire pour tout quantileτ ∈ (0, 1). On peut noter que ρ0.5(u) = 1

2 |u| et donc que l’équation (2.22) peut se récrirecomme Med = arg min

cE [ρ0.5(Y− c)].

La fonction à minimiser pour obtenir les estimations pour un quantile τ est

argminc∈R

n

∑t

ρτ(Yt − c),

où ρτ(Yt − c) = (Yt − c) {τ − 1((Yt − c) < 0)} avec τ ∈ [0, 1], 1 représente la fonction indi-catrice qui fait que si la différence entre la variable dépendante et les résidus (Yt − c) est plusgrande que zéro, alors un poids de τ sera assigné tandis que si cette différence est inférieureà zéro, alors ce sera un poids de (τ − 1). Ainsi, pour obtenir l’estimation de la pente ou del’ordonnée à l’origine au quantile τ, l’équation à résoudre sera :

β(τ)‘ = argminα,β

n

∑t=1

ρτ(Yt − α + βxt)

= argminα,β

∑t∈{t:Yt>α+βxt}

τ|Yt − α + βxt|+ ∑t∈{t:Yt<α+βxt}

(1− τ)|Yt − α + βxt| , (2.23)

où

β(τ)‘ =(α(τ) , β(τ)

).

On remarque à partir de l’équation (2.23) que les résidus positifs et négatifs se font attribuerdes poids différents. Par exemple, si l’on veut le 10e percentile, les observations se situant endessous de la droite de régression (α+ βxt) sont d’un poids de 0.9 tandis que les observationsau dessus de cette même droite sont d’un poids de 0.1, ce qui fait en sorte que 90% desobservations sont des résidus positifs et 10% sont des résidus négatifs.

28

Il est à noter qu’il n’existe pas de forme explicite pour les estimateurs des coefficients alphaet bêta. Le recours à des algorithmes numériques est nécessaire. Les algorithmes souventutilisés dans les logiciels sont :

1- la méthode du simplexe (voir Lei and Anderson (2001)) ;

2- la méthode d’inversion des rangs (voir Koenker (2005)) ;

3- la méthode des points intérieurs de Frisch–Newton (voir Koenker and Ng (2005)).

Habituellement, l’algorithme utilisé par défaut pour calculer l’estimation des coefficients dela régression quantile est l’algorithme du simplexe modifié de Barrodale et Robert (voir, Leiand Anderson (2001)). C’est un algorithme très populaire et souvent utilisé pour résoudredes équations linéaires. Cette méthode est très pratique pour des échantillons de moins de 1000 observations. Pour des échantillons plus grands, il est conseillé d’utiliser une méthodedes points intérieurs (voir, Koenker and Ng (2005)) pour réduire le temps de calcul. Les écartstypes associés aux coefficients peuvent être calculés de différentes manières et permettent decalculer des intervalles de confiance. La méthode par défaut pour calculer des écarts typessuppose que les résidus sont identiquement distribués et indépendants de moyenne nulleet de variance σ2. Lorsque les résidus ne sont pas i.i.d, il est préférable d’utiliser d’autresméthodes. Par exemple, une technique de bootstrap peut être utilisée pour calculer les écartstypes ou également une méthode basée sur l’estimation par noyau proposée par Powell et al.(1990). Dans nos analyses, l’algorithme retenu est celui du simplexe modifié de Barrodale etRobert puisque pour chaque gestionnaire, le nombre de rendements nets observés ne dépas-sait pas 1 000.

Les quantiles que l’on peut estimer avec précision dépendent de la taille de l’échantillon. Eneffet, il n’est pas conseillé d’estimer des percentiles extrêmes lorsque l’échantillon est petit.Dans le contexte de cette étude, uniquement le quantile 0.5, soit la médiane, sera considéré,mais dans certains articles, tels que David Ellen and Powell (2009) et Carlo Matallin-Saezand Tortosa-Ausina (2013) (2013), les auteurs utilisent d’autres quantiles pour analyser laperformance de gestionnaire, tels que les quantiles 0.05, 0.25, 0.5 et 0.75.

Les paramètres de la régression quantile s’interprètent de la même façon que dans le cas dela régression linéaire. Par exemple, au quantile 0.5, β(0.5) représente l’augmentation de lavaleur médiane de Y lorsque la valeur de la variable explicative x augmente d’une unité.

L’ordonnée à l’origine α de la régression quantile est également utilisée de la même façonqu’en régression linéaire pour évaluer la performance des gestionnaires d’actifs, c’est-à-direqu’un coefficient α significativement supérieur à zéro indique que le gestionnaire a réussi àbattre le marché. En effet, le coefficient α représente maintenant le rendement net médian dugestionnaire quand le rendement net du marché est nul.

29

L’estimation de la variance du coefficient α, pour permettre de calculer le ratio d’information,peut être obtenue, par exemple, soit par une technique du bootstrap ou également par uneméthode basée sur l’estimation par noyau. Dans nos analyses, c’est la méthode par boostrapqui a été utilisée. Cette méthode se base sur l’hypothèse que l’échantillon aléatoire tiré estreprésentatif de l’échantillon de départ et peut se décomposer en 3 étapes :

1- tirer M échantillons aléatoires de taille T avec remise à partir de l’échantillon de départ ;

2- estimer pour chacun des échantillons le coefficient α à l’aide de la régression quantile ;

3- calculer l’écart-type échantillonnal des M coefficients α obtenus à l’étape 2.

2.3.3 Prévision

La prévision d’un nouveau rendement net d’un gestionnaire sachant que la valeur durendement du marché sera de x = x0 pour τ = 0.5 et avec erreurs i.i.d. est :

Yt = QYt(0.5|x = x0) = α(0.5) + β(0.5)x0.

Dans le cas où les erreurs sont autorégressives d’ordre deux la prévision d’une nouvelleobservation pour Y, toujours en supposant que x = x0 au temps T et que τ = 0.5 est :

Yt = QYt(0.5|x = x0) = α(0.5) + β(0.5)x0 + ϕ1 εT−1(0.5) + ϕ2 εT−2(0.5).

Un intervalle de confiance à approximativement 95% correspondant à ces prévisions est :

[Yt ± 1.96

√ˆvar(Yt)

],

où ˆvar(Yt) peut être calculée en utilisant une méthode de bootstrap par bloc, voir Buhlmannand Kunsch (1999).

2.3.4 Variante au modèle de régression quantile

Tout comme pour la régression linéaire, les mêmes variantes ont été testées afin de validers’il était possible d’améliorer l’ajustement des modèles pour permettre de mieux classer lesgestionnaires d’actifs.

Pour les mêmes raisons que dans le cas de la régression linéaire, des modèles utilisantcomme variable réponse le log(1+rendement) ont été testés. La transformation à appliquerpour obtenir le rendement prévu et non le log(1+rendement) n’est pas la même que pour larégression linéaire. En fait, une propriété intéressante des quantiles conditionnels est qu’ils

30

possèdent la propriété d’invariance aux transformations monotones. Ainsi, pour toute trans-formation monotone h(·),

Qτ {h(Y)|x} = h {Qτ(Y|x)}⇒ Qτ {log(Y)|x} = log {Qτ(Y|x)}

où h(·) représente une transformation non décroissante ∈ R. Ainsi pour obtenir le rende-ment prédit, il suffit d’utiliser uniquement la transformation inverse, soit :

Yt = exp(α + βx0)− 1.

2.4 La régression linéaire mixte

Les modèles mixtes sont considérés comme une extension des modèles linéaires, car ilspermettent de tenir compte de la corrélation entre les variables dépendantes lorsque celles-ci ne sont pas indépendantes. Dans cette analyse, les modèles mixtes permettront de tenircompte de l’hétérogénéité possiblement présente entre les gestionnaires afin de déterminers’il existe un effet « gestionnaire ». Pour ce faire, les modèles mixtes utilisent toute l’informa-tion disponible sur tous les gestionnaires pour estimer les paramètres du modèle, ce qui per-met de gagner de la précision sur les estimations. Ainsi, seuls deux modèles sont construits,un pour les gestionnaires d’actions et un autre pour les gestionnaires d’obligations, au lieud’avoir un modèle distinct pour chaque gestionnaire.

2.4.1 Modèle

Ces modèles se décomposent en deux parties, une partie fixe et une partie aléatoire. Lapartie fixe est celle qui est la même pour tous les gestionnaires et représente « l’effet moyenpour l’ensemble des gestionnaires». Ce sont des paramètres qui sont constants et inconnus.Quant à la partie aléatoire, elle est unique à chacun des gestionnaires et c’est ce qui diffé-rencie les gestionnaires entre eux. Ce sont des variables aléatoires, non observées, que l’onsuppose habituellement de distribution normale. Par exemple, pour que les gestionnairesaient tous une ordonnée à l’origine différente, il suffit d’ajouter un effet aléatoire à cette or-donnée à l’origine :

Yit = (α + γ0i)︸ ︷︷ ︸αi

+βxt + ε it ,

où

31

Yit : rendement net du iième gestionnaire au temps t ;

xt : rendement net du marché au temps t ;

α : ordonnée à l’origine commune à tous les gestionnaires ;

γ0i : effet aléatoire associé à l’ordonnée à l’origine pour le gestionnaire i ;

β : pente commune à tous les gestionnaires ;

ε it : terme d’erreur aléatoire.

L’ordonnée à l’origine au temps t = 0 s’interprète de la façon suivante : un effet aléatoire γ0i

supérieur à zéro indique que le gestionnaire i aura une ordonnée à l’origine supérieure à lamoyenne de celles des gestionnaires. À l’inverse, un effet aléatoire inférieur à zéro indiqueque le gestionnaire i aura une ordonnée à l’origine inférieure à la moyenne de celles desgestionnaires.

Si l’on veut également ajouter une pente spécifique pour chacun des gestionnaires, il suffitd’ajouter un autre effet aléatoire à la pente :

Yit = (α + γ0i)︸ ︷︷ ︸αi

+ (β + γ1i)︸ ︷︷ ︸βi

xt + ε it , (2.24)

où

γ1i : est l’effet aléatoire associé à la pente pour le gestionnaire i.

FIGURE 2.5: Modèles linéaires mixtes sans et avec pentes aléatoires

L’ajout d’une variable aléatoire pour la pente aléatoire permet de faire varier celle-ci d’ungestionnaire à l’autre. C’est le modèle de l’équation (2.24) qui a été retenu pour les analyses.

32

De façon matricielle, le modèle s’écrit de la façon suivante :

Yi = xiβ + Ziγi + ε i ,

où

Yi est un vecteur de dimension Ti × 1 des observations (Ti représentant le nombre de ren-dements nets observés pour le gestionnaire i) (t = 1, ..., Ti).

Le vecteur Yi est de la forme :

Yi‘ = (Yi1, Yi2, · · · , YiTi).

xi est une matrice de dimension Ti × (p + 1) des effets fixes (p : nombre de variables expli-catives dans le modèle). Dans cette étude, xi est de la forme :

xi =

1 x1

1 x2...

...1 xTi

,

où xt est le rendement net du marché à la période t.

β est un vecteur de dimension 2 représentant les paramètres inconnus du modèle à estimer.Ce sont des effets fixes, β‘ = (α, β).

Zi : est une matrice de dimension Ti × q connue (q représente le nombre d’effets aléatoiresdans le modèle). Puisque dans l’analyse on suppose une ordonnée à l’origine aléatoireet une pente aléatoire, la matrice des effets aléatoires sera de la forme

Zi =

1 x1

1 x2...

...1 xTi

.

γi est un vecteur de dimension q× 1 représentant les effets aléatoires pour le gestionnairei, soit ici

γi =

(γ0i

γ1i

).

ε i est un vecteur de dimension Ti × 1 représentant les erreurs :

33

ε i =

ε i1

ε i2...

ε iTi

.

Ce modèle nécessite certaines hypothèses. La variance associée aux effets aléatoires est var[γi] =

D, celle associée aux erreurs est var[ε i] = Vi, et leurs moyennes sont toutes les deux nulles.Aussi, si le modèle suppose la normalité des variables aléatoires :

1. γii.i.d.∼ Nq(0, D)

2. ε iindép∼ NTi(0, Vi)

3.

[ε i

γi

]indép∼ Nni×q

(0,

[Vi 00 D

])

On suppose que les effets aléatoires dans un modèle mixte sont indépendants des erreurs.Ainsi, on a E[Yi] = E[xiβ + Ziγ + ε i] = xiβ comme c’est le cas avec la régression linéaireet var[Yi] = ZiDZ′i + Vi = Σi. La variance du modèle mixte modélise la corrélation desobservations d’un même gestionnaire, soit directement dans la matrice Vi, soit en ajoutantdes effets aléatoires au modèle.

Pour les composantes des variances Vi et D, il existe différentes formes possibles.

La matrice autorégressive d’ordre 1

Cette structure de variance possède la même variance pour tous les termes d’erreurs d’unmême gestionnaire. Les covariances diminuent de façon géométrique de telle sorte que cov(ε it, ε it′) =

ρ|t−t′|σ2. En fait, les covariances sont de plus en plus faibles lorsque les observations s’éloignentdans le temps, car ρ < 1. Elle est de la forme :

σ2 ρσ2 ρ2σ2 · · ·ρσ2 σ2 ρ2σ2 · · ·

ρ2σ2 ρσ2 . . . · · ·...

... · · · σ2

Cette structure de variance s’utilise principalement pour des données de type série tempo-relle. Deux observations récoltées à un mois d’intervalle auront une plus forte covariance

34

que deux observations récoltées dans un intervalle d’une année. Ce n’est pas une structureutilisée pour la matrice des effets aléatoires, mais c’est une structure qui s’utilise très bienpour la matrice des variances des erreurs lorsque les observations sont récoltées à un inter-valle de temps régulier.

La matrice diagonale principale

Avec cette structure de variance, les variances sont différentes, mais les covariances sonttoutes nulles.

σ2

0 0 · · · 00 σ2

1 0 0...

.... . .

...0 0 · · · σ2

q

Ce type de matrice s’utilise principalement pour la matrice des effets aléatoires (D).

Dans cette étude, pour analyser la performance des gestionnaires d’actifs à l’aide du mo-dèle mixte, c’est la structure AR(1) qui a été retenue pour la matrice de variance des termesd’erreurs. C’est la structure choisie puisque les rendements des gestionnaires sont obtenushabituellement à intervalles de temps réguliers. Pour la matrice de variance des effets aléa-toires, c’est une structure diagonale principale qui a été sélectionnée.

2.4.2 Estimation des paramètres

Les coefficients de la régression ainsi que les matrices de variance (β, D et Vi ) du mo-dèle sont inconnus, mais fixes et chacun d’entre eux doit être estimé à partir des donnéesrécoltées. Le paramètre γ des effets aléatoires est aussi inconnu, mais celui-ci ne peut être es-timé puisqu’il est considéré comme une variable aléatoire ; il doit donc être prédit. Puisqueles effets aléatoires ne sont pas connus et que l’on doit les prédire, la distribution conjointede f (Yi, γi) ne peut être utilisée. C’est pourquoi les deux méthodes d’estimation proposéespar R sont la méthode du maximum de vraisemblance (ML) et la méthode du maximum devraisemblance restreint (REML).

Estimation par maximum de vraisemblance

La méthode du maximum de vraisemblance permet d’obtenir l’estimation des paramètresinconnus en optimisant la fonction de la log-vraisemblance des données observées Y1, · · · , Yn,

L(β, V, D) =n

∏i=1

1√(2π)Ti ‖Σi‖

exp{−12(Yi − xiβ)

′Σ−1i (Yi − xiβ)

}

35

où ‖Σi‖ est la valeur absolue du déterminant de Σi.

Les estimateurs du maximum de vraisemblance possèdent des propriétés de convergence etde normalité asymptotique, ainsi que d’efficacité asymptotique et d’invariance. Par contre,si la taille de l’échantillon n’est pas grande, ces estimations ont tendance à sous-estimer lesvariances.

Estimation par maximum de vraisemblance restreinte

La méthode du maximum de vraisemblance restreinte est souvent préférée à celle dumaximum de vraisemblance, car elle est non biaisée pour les estimations des composantesde variance. En effet, elle maximise la vraisemblance d’une combinaison linéaire des Yi

où l’on a supprimé les effets fixes : Y ∼ NN(0, K′(ZDZ′ + V)K), où Y = (Y1′, · · · , YN

′),D = diag(D1, · · · , DN) et V = diag(V1, · · · , VN) . C’est à partir de cette nouvelle distributionque les équations du maximum de vraisemblance sont faites. K est une matrice composée deN vecteurs linéairement indépendants k1, ..., kN de telle sorte que kix = 0 ∀i = 1, ...N et oùN représente le nombre de rangées de la matrice x moins son rang.

Contrairement à la méthode du maximum de vraisemblance, cette méthode ne donne pasd’estimations biaisées pour les éléments de D ou V. Habituellement, c’est la méthode utili-sée par défaut par les logiciels statistiques comme c’est le cas avec R. C’est également uneméthode qui est stable numériquement.

Les prévisions pour les paramètres des effets aléatoires γ s’obtiennent à partir de l’équationsuivante :

γ = DZ′Σ−1(Y− x′β),

où Σ = ZDZ′ + V, et où les paramètres inconnus sont remplacés par leur varleur estimée.

Il s’agit de la meilleure prévision linéaire non biaisée, où γ est le vecteur des estimés deseffets aléatoires pour tous les gestionnaires de dimension (q× n)× 1 avec n représentant lenombre de gestionnaires analysé (i = 1, · · · , n). Dans le cas où q = 2 on a :

γ =

γ01

γ11...

γ0N

γ1N

.

36

2.4.3 Prévision

La prévision d’un nouveau rendement net pour un gestionnaire i, sachant que la valeurdu rendement du marché sera de x = x0, pour un modèle mixte avec ordonnée à l’originealéatoire et pente aléatoire est :

Yi = (α + γ0i)︸ ︷︷ ︸αi

+ (β + γ1i)︸ ︷︷ ︸βi

x0,

où l’estimation des coefficients α et β sera la même pour tous les gestionnaires et l’estimationdes effets aléatoires γ0i et γ0i sera propre à chaque gestionnaire.

2.4.4 Variante au modèle mixte

Pour les mêmes raisons que dans le cas de la régression linéaire et la régression quan-tile, un second modèle utilisant comme variable réponse le log(1+rendement) a été testé. Latransformation à appliquer pour obtenir le rendement prévu et non le log(1+rendement) est :

Y??i = exp

[Yi +

12

σ2]− 1.

2.5 Comparaisons multiples de gestionnaires d’actifs

Pour comparer au marché plusieurs gestionnaires simultanément, il est important d’ajus-ter le seuil de signification δ utilisé lorsqu’on compare un seul gestionnaire au marché afinque l’analyse globale signale qu’un gestionnaire est significativement différent du marchéalors qu’en réalité il ne l’est pas uniquement δ× 100% du temps. Pour conserver ce mêmeseuil δ de signification global, l’approche utilisée est la méthode de Benjamini and Hochberg(1995) qui permet de corriger le taux de fausses découvertes. Par ailleurs, cette approche aégalement été testée dans le cadre d’une étude semblable pour tenter de déterminer si la per-formance d’un grand nombre de gestionnaires de fonds est attribuable ou non à leurs talentspar Barras et al. (2010).

2.5.1 Méthode de Benjamini et Hochberg

Lorsqu’on effectue des tests statistiques, deux types d’erreurs peuvent être commises :

Erreur de type I : conclure que l’hypothèse nulle (H0) est fausse alors qu’elle est vraie ;

Erreur de type II : conclure que l’hypothèse nulle (H0) est vraie alors qu’elle est fausse .

En effectuant plusieurs tests statistiques de façon simultanée pour valider si les gestion-naires d’actifs sont significativement meilleurs, pires ou égaux au marché, le risque global

37

de commettre une erreur de type I est plus élevé que lorsque l’on utilise qu’un seul test. Lescomparaisons multiples visent à corriger ce problème en contrôlant la probabilité globale decommettre une erreur de type I.

TABLE 2.1: Nombres d’erreurs commises en testant n hypothèses nulles

Nbr acceptées Nbr rejetéesNbr H0 vraies A B n0

Nbr H0 fausses C D n− n0

n− E E n

Plus particulièrement, la méthode de Benjamini et Hochberg tente de contrôler le taux defausses découvertes (FDR). Le FDR représente la proportion d’erreurs commises en rejetantfaussement l’hypothèse nulle (H0) :

FDR = E[B/E],

où B et E sont définies au tableau 2.1.

Dans notre analyse, le test effectué est :

H0 : le gestionnaire i n’a pas obtenu un rendement moyen différent du marché

H1 : le gestionnaire i a obtenu un rendement moyen différent du marché

Algorithme

Au total, l’hypothèse nulle est testée n fois, où n représente le nombre de gestionnaires com-parés, ce qui fait en sorte qu’il y aura un seuil observé Pi, i = 1, · · · , n, associé à chacun deces tests.

Étape 1 : Classer les seuils observés pi par ordre croissant et dénoter par p(i) la ie valeur :

p(1) ≤ p(2) ≤ · · · ≤ p(n).

Étape 2 : Calculer pour chacun des tests :

in× δ

où

i : rang associé à l’étape 1 de l’algorithme ;

38

n : nombre total d’hypothèses testées ;

δ : seuil de signification désiré.

Étape 3 : Rejetter l’hypothèse nulle s’il y a un i tel que :

p(i) ≤in× δ.

Cet algorithme permet, lorsque les tests sont indépendants, de contrôler le taux de faussesdécouvertes pour qu’il soit inférieur ou égal à δ.

Dans le chapitre suivant, nous évaluerons différents critères pour évaluer la performancedes gestionnaires d’actifs et pour les classer par ordre de préférence.

39

Chapitre 3

Évaluation des critères de mesure deperformance

À partir de certaines données, tels les rendements mensuels fournis par une compagniesur ses gestionnaires d’actifs, les rendements du marché et le taux sans risque, il est possibled’estimer les paramètres du modèle des actifs financiers présenté aux chapitres précédents.Ces estimations permettent de calculer les indices de performance introduits au chapitre1, ainsi que des prévisions sur les rendements futurs des gestionnaires dans le but de lesclasser par ordre de performance attendue. Selon le modèle de régression sélectionné, lesestimations des paramètres du MÉDAF varient, de même que la valeur des indices de per-formance et des prévisions basés sur ces paramètres. Ces différentes méthodes doivent êtretestées afin de valider lesquelles permettent le mieux d’ordonner les gestionnaires par ordrecroissant de performance et de déterminer quels gestionnaires ont réussi à battre le marchéde façon significative, deux objectifs de ce mémoire. Ce chapitre présente la méthode uti-lisée pour sélectionner les meilleurs modèles de régression et en estimer les paramètres etprésente également les résultats obtenus avec les modèles sélectionnés. La section 3.1 dé-taille les données réelles utilisées pour les analyses et la sélection des modèles. La section 3.2fait un petit retour sur les différents modèles utilisés pour évaluer la performance des ges-tionnaires. À partir de ces modèles, une sélection a été faite pour conserver uniquement lesmeilleurs d’entre eux pour chacune des deux approches, l’approche par critère et l’approchepar prévision. La section 3.3 présente la première approche basée sur le coefficient alphastandardisé pour déterminer, parmi tous les gestionnaires, ceux qui ont réussi à battre lemarché de façon significative. La section 3.4 présente la seconde approche qui se base sur laprévision obtenue à partir de modèles de régression. Elle permet de classer les gestionnairespar ordre de performance et d’anticiper leurs rendements futurs.

41

3.1 Données et objectifs pour ce type d’analyse

Les analyses présentées dans ce mémoire ont été réalisées à partir de données qu’une com-pagnie d’assurance nous a fournies sur certains de ses gestionnaires d’actifs. Au total, huitde ses gestionnaires d’actions et cinq de ses gestionnaires d’obligations ont été évalués. Pourles gestionnaires d’actions, les rendements mensuels bruts sont disponibles sur une périodede 7 ans et 5 mois, de septembre 2009 à mars 2014. Pour ce qui est des gestionnaires d’obliga-tions, les rendements mensuels bruts sont disponibles sur une période de 6 ans et 7 mois, denovembre 2006 à mars 2014. La variable dépendante Y est obtenue à partir des rendementsbruts observés du gestionnaire moins le taux sans risque sélectionné. Dans cette étude, letaux sans risque retenu par l’analyste financier est celui des Obligations du Canada 5 ans,car ce taux est le plus représentatif de l’horizon de placement de cette compagnie. La va-riable explicative utilisée est le taux du marché (benchmark) sélectionné moins le taux sansrisque. Pour les gestionnaires d’actions, le rendement du marché utilisé est le rendement del’indice S&P 500 (SPX). Cet indice regroupe 500 grandes sociétés cotées à la bourse améri-caine, voir Bloomberg (2015). Pour les gestionnaires d’obligations, le "benchmark" utilisé estle rendement du FTSE TMX Canada Bond Universe qui se compose de plusieurs titres et quia pour but d’évaluer la performance des obligations du gouvernement canadien, voir FTSE(2015).

Les tableaux 3.1 et 3.2 présentent certaines statistiques descriptives des rendements obtenuspar les gestionnaires d’actifs. Les rendements nets des gestionnaires d’actions sont beaucoupplus volatiles que ceux des gestionnaires d’obligations ; en effet, on remarque que la varianceest beaucoup plus élevée pour les gestionnaires d’actions. De plus, leurs coefficients d’asy-métrie et d’aplatissement sont beaucoup plus grands. La moyenne pour les rendements netsdes gestionnaires d’actions s’éloigne beaucoup de la médiane, ce qui porte à croire que l’uti-lisation de la régression quantile soit appropriée, spécialement pour les gestionnaires d’ac-tions dont la distribution semble s’éloigner de la loi normale.

TABLE 3.1: Statistiques descriptives des rendements mensuels nets des gestionnaires d’ac-tions pour la période de septembre 2009 à mars 2014

Gestionnaired’actions

Moyenne Médiane Écart-typeCoefficientd’asymétrie

Coefficientd’aplatissement

1 0.321 0.800 4.737 -1.179 2.4232 0.447 0.960 6.127 -1.089 2.2383 0.346 1.200 4.786 -1.321 2.8794 0.731 1.500 3.485 -1.423 3.0495 0.433 1.140 4.714 -1.101 2.1536 0.241 1.180 4.292 -0.807 1.7197 0.336 0.900 4.953 -0.845 1.6208 0.390 1.380 4.676 -0.649 0.702

42

TABLE 3.2: Statistiques descriptives des rendements mensuels nets des gestionnaires d’obli-gations pour la période de novembre 2006 à mars 2014

Gestionnaired’obligations

Moyenne Médiane Écart-typeCoefficientd’asymétrie

Coefficientd’aplatissement

1 0.208 0.190 0.938 -0.142 -0.0912 0.296 0.425 1.031 -1.191 3.2513 0.201 0.220 0.765 -0.333 0.8754 0.261 0.240 1.026 0.041 -0.0035 0.298 0.215 1.291 -0.349 0.887

3.2 Sélection des modèles

Pour évaluer la performance des gestionnaires, il existe différents critères de performance.Pour être en mesure de calculer ces critères, des paramètres doivent être estimés, soit ceuxdu MÉDAF. Pour ce faire, les données nécessaires ainsi que les modèles de régression utiliséspour l’estimation des paramètres ont été présentés au chapitre 2. On a vu que la régressionlinéaire atteignait vite ses limites lorsque les données s’éloignaient de la loi normale. Pource qui est de la régression quantile, elle est plus robuste aux données aberrantes et ne né-cessite pas que les hypothèses de la régression linéaire soient toutes respectées. Quant à larégression linéaire mixte, elle permet d’estimer simultanément les paramètres du MÉDAFde plusieurs gestionnaires et elle est donc une alternative à la régression linéaire et quan-tile. Pour chacune de ces régressions, la variable réponse (Y) représente le rendement netobservé des gestionnaires tandis que la variable explicative (x) représente le rendement netdu marché :

(rit − rTt )︸ ︷︷ ︸

Yit

= αi + βi (rMt − rT

t )︸ ︷︷ ︸xit

+ε it i = 1, ..., n t = 1, ..., T (3.1)

où

rit : rendement obtenu pour le gestionnaire i au mois t ;

rTt : taux sans risque (Obligations du Canada 5 ans) au mois t ;

αi : ordonnée à l’origine associée au gestionnaire i ;

βi : coefficient bêta du portefeuille associé à au gestionnaire i ;

rMt : pour les gestionnaires d’actions, il s’agit du rendement de l’indice S&P 500 (SPX) au

mois t tandis que pour les gestionnaires d’obligations, il s’agit du rendement du FTSETMX Canada Bond Universe au mois t ;

43

ε it : terme de fluctuation aléatoire au mois t pour le gestionnaire i ;

n : nombre de gestionanires observés, soit 8 pour les gestionnaires d’actions et 5 pour lesgestionnaires d’obligations ;

T : le mois de mars 2014, soit le dernier mois observé pour les gestionnaires d’actions etd’obligations.

3.2.1 Modèles

L’estimation des paramètres α et β pour un gestionnaire va dépendre du type de régressionutilisé. Les modèles testés dans cette analyse sont les suivants :

1. La régression linéaire avec coefficient bêta non fixé et erreurs identiquement distri-buées et indépendantes (i.i.d.) :

Yit = αi + βixit + ε it, i = 1, ..., n, t = 1, ..., T

avec ε it ∼ N(0, σ2), car les erreurs sont i.i.d.. Il y a un total de n modèles indépendants,soit un modèle pour chaque gestionnaire (i).

2. La régression linéaire avec coefficient bêta non fixé et erreurs autorégressives d’ordre2 (AR(2)) :

Yit = αi + βixit + ε it, i = 1, ..., n, t = 1, ..., T

avec ε it = ϕ1ε it−1 + ϕ2ε it−2 + ωit où ωit ∼ N(0, σ2), ϕ1 et ϕ2 sont les paramètres auto-régressifs ; pour l’estimation de ces paramètres se référer aux équations (2.18) et (2.19).

3. La régression quantile avec coefficient bêta non fixé et erreurs i.i.d. :

Yit = αi,τ + βi,τxit + ε it,τ , i = 1, ..., n, t = 1, ..., T

avec ε it,τ ∼ N(0, σ2). L’indice τ permet aux coefficients de la régression de changerd’un quantile à l’autre, mais nous ne considérons que τ = 0.5.

4. La régression quantile, mais avec coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) :

Yit = αi,τ + βi,τxit + ε it,τ , i = 1, ..., n, t = 1, ..., T

avec ε it,τ = ϕ1ε(it,τ)−1 + ϕ2ε(it,τ)−2 + ωit où ωit ∼ N(0, σ2).

5. La régression linéaire mixte :

Yit = (α + γ0i) + (β + γ1i)xit + ε it, i = 1, ..., n, t = 1, ..., T

44

où γ0i est l’effet aléatoire associé à l’ordonnée à l’origine (α) et γ1i est l’effet aléatoireassocié à la pente (β), avec ε i ∼ NTi(0, V), V est une matrice autorégressive d’ordre 1et (γ0i, γ1i) ∼ N2(0, D), D est une matrice diagonale principale.

Comme mentionné au chapitre 2, deux variantes ont été testées dans le cas de la régressionlinéaire et de la régression quantile, ce qui augmente le nombre de modèles testés :

1- transformation de la variable réponse en utilisant le log(1 + Y),

2- pente égale pour tous les gestionnaires, soit βi = 1 ∀i.

Pour les modèles de régression linéaire et quantile, un modèle séparé est calculé pour chacundes gestionnaires, tandis que pour les modèles mixtes, toutes les données des gestionnairessont combinées pour faire un seul modèle. Dans ces modèles, on retrouve une partie fixequi est la même pour tous les gestionnaires et une partie aléatoire qui varie en fonction dugestionnaire. Par contre, dans cette étude, les modèles mixtes ont seulement été utilisés avecl’approche par prévision puisqu’il est difficile d’obtenir la variance de l’ordonnée à l’originecomprenant une partie fixe et une partie aléatoire. La racine carrée de cette variance est né-cessaire pour l’approche par critère lors du calcul du ratio d’information, défini à la section1.4, pour comparer les gestionnaires sur une même base. Ainsi, les 13 modèles ont été testésavec l’approche par prévision et tous les modèles, sauf le modèle mixte, ont été testés avecl’approche par critère. Ces modèles sont utilisés dans le but de trier les gestionnaires parordre de performance et de déterminer lesquels ont des rendements significativement dif-férents du marché. Pour déterminer quels modèles répondent le mieux à ces objectifs, deuxapproches sont utilisées. La première approche est l’approche par critère et la seconde estl’approche par prévision. Un avantage intéressant de l’approche par critère est qu’elle ne né-cessite pas de prévision de la variable explicative (rendement net du marché), contrairementà l’approche par prévision. Ces deux approches seront détaillées dans les deux prochainessections.

3.3 Approche par critère

L’approche par critère se base sur les paramètres de la régression et utilise l’estimation ducoefficient alpha standardisé obtenu à partir d’un des modèles présentés à la section 3.2.1.Cette valeur est obtenue en divisant le coefficient alpha estimé par son écart-type tel queprésenté au chapitre 1. Le coefficient alpha standardisé peut être utilisé pour classer les ges-tionnaires par ordre de performance, mais également pour déterminer quels gestionnairesont réussi à battre le marché, et ce, de façon significative. L’approche par critère, contrai-rement à l’approche par prévision, ne fait aucune hypothèse sur les valeurs prises par lavariable explicative, ce qui est un avantage de la méthode puisqu’il est très difficile de pré-voir les rendements futurs du marché et de l’actif sans risque, ceux-ci étant très volatils. Un

45

gestionnaire performant est un gestionnaire qui aura un alpha "théorique" supérieur à zéro(α > 0), ce qui se reflètera généralement par un alpha standardisé au moins supérieur à 2(α∗ > 2). Plus la valeur du coefficient alpha standardisé est élevée, meilleur est le gestion-naire. Comme mentionné précédemment, la gestion active est plus risquée que la gestionpassive, car elle a pour but d’obtenir des rendements supérieurs à l’indice de référence. Parailleurs, la gestion active est plus coûteuse puisqu’elle nécessite souvent d’engager des ges-tionnaires externes à la compagnie. Le fait qu’elle soit plus coûteuse et risquée impliqueque la compagnie ne se contentera pas d’un alpha légèrement supérieur à zéro, elle voudraplutôt s’assurer que l’investissement aura été bénéfique. Par ailleurs, la compagnie préfè-rera des gestionnaires moins risqués et plus constants à des gestionnaires très risqués quipeuvent obtenir de très hauts rendements comme de très bas rendements.

Pour cette approche, deux coefficients alpha standardisés sont calculés sur deux périodes dif-férentes. Le premier coefficient alpha standardisé utilise tous les rendements mensuels netsdisponibles du gestionnaire tandis que le second coefficient utilise uniquement les 12 der-niers rendements mensuels nets du gestionnaire. Pour les gestionnaires d’actions, le premiercoefficient alpha standardisé est calculé à partir des données mensuelles de septembre 2009à mars 2014 tandis que pour les gestionnaires d’obligations il est calculé à partir des don-nées mensuelles de novembre 2006 à mars 2014. Le second coefficient alpha standardisé estcalculé à partir des données mensuelles d’avril 2013 à mars 2014 pour les gestionnaires d’ac-tions et pour les gestionnaires d’obligations. Le premier coefficient donne un aperçu completde la performance du gestionnaire au fil des années tandis que le second permet d’obtenir unaperçu de la performance du gestionnaire uniquement au cours de la dernière année. Dansle cas où un seul gestionnaire est évalué, l’approche par critère calcule à l’aide d’un modèlede régression le coefficient alpha standardisé. Par la suite, cette approche teste au seuil de5% le fait que le gestionnaire est significativement différent ou non du marché (α différentde 0). Le seuil indique qu’il y a 5% de chance de déclarer que le gestionnaire soit significati-vement différent du marché alors qu’en réalité, il ne l’est pas. Pour la suite du mémoire, cetest sera nommé test de comparaison simple. Lorsque plus d’un gestionnaire est évalué, oncompare au marché les gestionnaires simultanément afin de les classer par ordre de préfé-rence. Ce test sera nommé test des comparaisons multiples dans la suite du mémoire. Dansce cas, un indice est calculé pour chacun des gestionnaires afin de déterminer s’ils sont signi-ficativement meilleurs, pires ou égaux au marché. Pour calculer cet indice, il est importantd’ajuster le seuil de signification utilisé afin que l’analyse globale signale qu’un gestionnairesoit significativement différent du marché alors qu’en réalité il ne l’est pas uniquement 5 %du temps. L’approche utilisée est la méthode de Benjamini and Hochberg (1995) qui permetde corriger le taux de fausses découvertes. Cette méthode a été détaillée à la section 2.5.

46

3.3.1 La technique de bonne classification

Parmi tous les modèles présentés, nous devons déterminer les modèles qui classent lemieux les gestionnaires par ordre de performance. Cette méthode a été nommée la techniquede bonne classification. Si les données sont disponibles de 2008 à 2013, l’algorithme que nousproposons pour obtenir ce taux de bonnes classifications est le suivant :

Pour tous les modèles, (total de 12 modèles pour l’approche par critère) :

1. Déterminer pour ce modèle le meilleur gestionnaire de l’année 2008. Pour ce faire, unmodèle est construit pour chacun des gestionnaires en utilisant uniquement les don-nées de 2008. À partir de ce modèle, un coefficient alpha standardisé est estimé pourtous les gestionnaires, le meilleur gestionnaire sera celui avec le plus grand coefficientalpha standardisé,

2. Utiliser les rendements de l’année 2009 du gestionnaire sélectionné à l’étape 1 pour calcu-ler le rendement obtenu en investissant une somme x$. Par exemple, si le gestionnaire"1" est sélectionné, on calcule combien on aurait eu à la fin de l’année 2009 si on avaitinvesti x$ au début de l’année avec ce gestionnaire. Le montant à la fin de 2009 seranommé x2, avec

x2 = x12

∏t=1

(1 + r2009t ), (3.2)

où r2009t est le rendement mensuel du gestionnaire choisi au mois t de l’année 2009.

3. Recalculer selon le même modèle le meilleur gestionnaire, mais en utilisant les donnéesde l’année 2009.

4. Utiliser les rendements de l’année 2010 du gestionnaire sélectionné à l’étape 3 pour cal-culer le rendement obtenu avec la somme x2 à la fin de l’année 2009. Le montant à lafin de l’année 2010 sera nommé x3, avec

x3 = x2

12

∏t=1

(1 + r2010t ), (3.3)

où r2010t est le rendement mensuel du gestionnaire choisi au mois t de l’année 2010.

5. Répéter cette procédure jusqu’à la fin de l’année 2013.

À la fin de l’année 2013, on aura accumulé un montant "x_ f inal" pour chacun des modèlesutilisés.

Parallèlement, un échantillon aléatoire composé de 1 000 montants "x∗_ f inal" est créé. Cetéchantillon est obtenu à partir des mêmes étapes 1 à 5 décrites ci-dessus, mais au lieu dechoisir le meilleur gestionnaire aux étapes 1 et 3, on sélectionne un gestionnaire au hasard.

47

On répète le processus 1 000 fois, ce qui permettra d’avoir un échantillon aléatoire de 1 000montants "x∗_ f inal".

Chacune des 1 000 observations "x∗_ f inal" est comparée au montant "x_ f inal". On déterminele nombre de fois sur 1 000 où le montant obtenu avec le choix du meilleur gestionnaire estsupérieur au montant obtenu en sélectionnant les gestionnaires de façon aléatoire, ce quidonne une proportion de bonnes prédictions. Plus celle-ci est élevée, meilleur est le critère.Par exemple, si à la fin de l’année 2013 on a obtenu un montant x_ f inal = Y$ en sélection-nant chaque année le meilleur gestionnaire selon l’approche par prévision avec le modèlede régression linéaire, coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2), on compare ce Y$ aux 1 000montants obtenus en sélectionnant chaque année le gestionnaire de façon aléatoire. Si le Y$est supérieur à 900 des 1 000 montants simulés, on a donc un taux de bonnes classificationscorrespondant à 90%, ce qui voudrait dire qu’on bat de beaucoup le hasard avec ce type demodèle. Si le modèle est équivalent au hasard, on s’attend à un taux de bonnes classificationsavoisinant 50%.

Pour bien utiliser cette technique de bonne classification et ainsi être en mesure de biendéterminer quels modèles permettent le mieux de classer les gestionnaires par ordre de per-formance et d’obtenir les meilleures prévisions, la compagnie a fourni des rendements sup-plémentaires pour d’autres gestionnaires d’actifs. Ces rendements ne proviennent pas degestionnaires avec qui elle fait affaire, mais les rendements sont quand même disponibles.Cela permettra de plus à la compagnie de comparer ses gestionnaires avec les autres gestion-naires. Au total, la compagnie a fourni les rendements nets pour 43 gestionnaires d’actions et34 gestionnaires d’obligations, dont 8 de ces gestionnaires d’actions et 5 de ces gestionnairesd’obligations sont des gestionnaires engagés par la compagnie.

Tous les modèles retenus dans l’approche par critère et dans l’approche par prévision uti-lisent comme variable réponse le log(1+rendement). C’est cette alternative qui permet d’ob-tenir de loin les meilleurs taux de bonnes prédictions.

3.3.2 Les modèles retenus pour les gestionnaires d’actions

Pour les gestionnaires d’actions, la technique de bonne classification a été utilisée sur unepériode de 5 ans, de 2009 à 2013 et également sur deux périodes de 3 ans : période 1 (2009à 2011) et période 2 (2011 à 2013). La technique de bonne classification a été utilisée surdifférentes périodes pour s’assurer de la validité des résultats, car un modèle pourrait bienreprésenter les données en début de période, mais en fin de période ce serait peut-être untout autre modèle qui modéliserait le mieux les données. Dans un premier temps, les mo-dèles ont été utilisés avec seulement les gestionnaires engagés par la compagnie (total de 8gestionnaires) pour vérifier si, parmi ces gestionnaires, il y en avait qui se démarquaient des

48

autres de façon positive ou négative. Dans un deuxième temps, les modèles ont été mis àl’épreuve avec tous les gestionnaires disponibles (total de 43 gestionnaires), c’est-à-dire enincluant les gestionnaires engagés par la compagnie et les autres gestionnaires qui n’ont pasété engagés par la compagnie. Le fait d’analyser les résultats avec tous les gestionnaires dis-ponibles permet de valider la robustesse de la méthode utilisée, c’est-à-dire de valider si lescritères de classement continuent à être aussi performants.

Le premier modèle retenu est celui utilisant la régression linéaire avec un coefficient bêta nonfixé et des erreurs autorégressives d’ordre 2. Le second modèle est celui utilisant la régressionquantile avec un coefficient bêta non fixé et des erreurs indépendantes et identiquement dis-tribuées. Les deux modèles retenus sont très constants et ce, peu importe la période utiliséeet le nombre de gestionnaires évalués, comme on peut le voir au tableau 3.3. L’approche parcritère semble être une très bonne option pour classer les gestionnaires par ordre de perfor-mance, les taux de bonnes classifications sont tous supérieurs à 97% pour les deux modèles.Pour les résultats complets sur tous les modèles, voir l’annexe D

TABLE 3.3: Résultats des rendements nets et des taux de bonnes classifications obtenus avecles deux modèles sélectionnés pour les gestionnaires d’actions. Modèle 1 : régression linéaireavec coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) et modèle 2 : régression quantile avec coeffi-cient bêta non fixé et erreurs i.i.d..

Approche par critère pour les gestionnaires d’actions

Période2009 à 2013 2009 à 2013 2009 à 2011 2011 à 2013

Gest. de la cie. Tous les gest. Tous les gest. Tous les gest.Modèle rend. % pred. rend. % pred. rend. % pred. rend. % pred.

1 2.34 99.9 2.24 99.8 1.72 100 1.30 97.42 2.15 97.5 2.24 99.8 1.64 99.6 1.37 99.7

3.3.3 Les modèles retenus pour les gestionnaires d’obligations

Pour les gestionnaires d’obligations, afin de déterminer le modèle à utiliser selon l’ap-proche choisie, les analyses se basent sur une période de 6 ans. La technique de bonne clas-sification a été utilisée sur une période de 6 ans (2008 à 2013) et également sur deux périodesde 3 ans : période 1 (2008 à 2010) et période 2 (2011 à 2013). Tout comme pour les gestion-naires d’actions, cette technique a été utilisée avec seulement les gestionnaires engagés parla compagnie (total de 5 gestionnaires) et également avec tous les gestionnaires disponibles(total de 34 gestionnaires).

Le premier modèle retenu pour les gestionnaires d’obligations est la régression quantile avecun coefficient bêta fixé à un et des erreurs i.i.d.. Ce modèle obtient de très bons taux debonnes classifications, excepté pour la période de 2008 à 2010. Ce critère s’interprète trèsbien. Il permet facilement de classer les gestionnaires par ordre de préférence et permet dedéterminer si la performance du gestionnaire est due à un coup de chance ou aux talents

49

de celui-ci. Le second modèle retenu est la régression linéaire avec un coefficient bêta fixé àun et des erreurs i.i.d.. Il est par contre beaucoup moins performant que le premier modèle,ses taux de bonnes classifications étant plus faibles. Les résultats obtenus pour le taux debonnes classifications pour ces deux modèles sont présentés dans le tableau 3.4. Pour obtenirles résultats pour tous les modèles, consulter l’annexe D.

TABLE 3.4: Résultats des rendements nets et des taux de bonnes classifications obtenus avecles deux modèles sélectionnés pour les gestionnaires d’obligations. Modèle 1 : régressionquantile avec coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d. et modèle 2 : régression linéaire avec coeffi-cient bêta fixé et erreurs i.i.d..

Approche par critère pour les gestionnaires d’obligations

Période2008 à 2013 2008 à 2013 2008 à 2010 2011 à 2013

Gest. de la cie. Tous les gest. Tous les gest. Tous les gest.Modèle rend. % pred. rend. % pred. rend. % pred. rend. % pred.

1 1.76 100 1.23 73.3 1.11 31.2 1.08 74.52 1.23 60.2 1.20 44.1 1.11 35.8 1.08 66.7

En résumé, l’approche par critère a pour objectif de classer les gestionnaires par ordre deperformance, et ce, sans devoir prévoir le rendement net du marché. Pour les gestionnairesd’actions, le meilleur modèle est celui de la régression linéaire avec un coefficient bêta nonfixé et des erreurs AR(2) et pour les gestionnaires d’obligations le meilleur modèle est celuide la régression quantile avec un coefficient bêta fixé à un et des erreurs i.i.d.. Parmi les ges-tionnaires qu’elle a engagés, la compagnie ayant ce type d’information en main pourra avoirun aperçu de ceux qui ont obtenu les meilleurs rendements. L’année suivante, elle pourrase baser sur cette information pour décider avec quels gestionnaires elle veut continuer defaire affaire. De plus, elle pourra voir si ces gestionnaires se sont bien classés parmi tous lesgestionnaires d’actifs disponibles.

3.4 Approche par prévision

L’approche par prévision est utilisée pour classer les gestionnaires non pas à partir dualpha standardisé, mais plutôt à partir des prévisions des rendements qu’ils obtiendront à lapériode suivante. Les prévisions sont calculées avec le 25ième, le 50ième, le 75ième percentilesdu rendement net du marché et le dernier rendement net du marché observé. Les prévisionssont utilisées avec différents percentiles du rendement du marché puisque, dépendammentdu rendement net attendu du marché, un gestionnaire peut se classer différemment. En fait,un gestionnaire qui se classe premier parmi tous les autres lorsque le marché est bas ne serapas nécessairement aussi performant lorsque le rendement du marché sera élevé. Avoir enmain la prévision selon différents percentiles du rendement du marché permet également devoir si le classement des gestionnaires est relativement le même, peu importe le rendementnet du marché, et de voir qui réussit, peu importe le rendement du marché, à obtenir de bons

50

rendements. Ces prévisions permettront de mieux guider la compagnie pour la sélection deses gestionnaires dans le futur. Par exemple, si la compagnie s’attend à ce que le rendementnet du marché soit faible l’année prochaine, elle préfèrera sélectionner les gestionnaires ayantobtenu les meilleures prévisions de rendement futur pour le 25e percentile du rendementnet du marché. Au contraire, si elle s’attend à ce que le rendement net du marché restesemblable à la dernière valeur observée, elle préfèrera choisir les gestionnaires ayant obtenules meilleures prévisions pour cette dernière valeur observée du rendement du marché. Enfait, cette approche permet, tout comme l’approche par critère, de classer les gestionnairespar ordre de performance. Contrairement à l’approche par critère, l’approche par prévisionnécessite de connaître ou d’estimer la valeur future du rendement net du marché.

3.4.1 La technique de bonne classification

La technique de bonne classification a également été utilisée pour l’approche par prévi-sion. Contrairement à l’approche par critère, le modèle de régression linéaire mixte peutaussi être utilisé, ce qui fait un total de 13 modèles à tester. L’algorithme est le même quecelui pour l’approche par critère présenté à la section 3.4.1, en remplaçant l’étape 1 par

Déterminer à l’aide de l’approche par prévision le meilleur gestionnaire de l’année 2008.Pour ce faire, un modèle est construit pour chacun des gestionnaires en utilisant uni-quement les données de 2008. À partir de ce modèle, une prévision pour le mois sui-vant, janvier 2009, est calculée. Cette prévision est obtenue en utilisant le rendementnet du marché de décembre 2008 comme valeur de la variable explicative pour chaquemois de 2009. Le meilleur gestionnaire sera celui avec la plus grande prévision.

3.4.2 Les modèles retenus pour les gestionnaires d’actions

Un seul modèle a été retenu pour l’approche par prévision, il s’agit de la régression quan-tile avec un coefficient bêta fixé à un et erreurs i.i.d.. Ce critère donne des résultats quivarient entre 51.9% et 85.6% pour le taux de bonnes classifications, ce qui est moins élevéque l’approche par critère. Néanmoins, les résultats obtenus sont tout de même bons étantdonné qu’en général, ils battent le hasard. Ces résultats sont meilleurs lorsque le nombrede gestionnaires d’actions évalués est plus élevé, (voir tableau 3.5). En effet, le 51.9% a étéobtenu lorsque l’analyse a été faite uniquement sur les gestionnaires engagés par la compa-gnie. Puisque les rendements des actions sont beaucoup plus fluctuants, cela entraine qu’ungestionnaire ayant obtenu de bons résultats l’année précédente peut au contraire l’annéesuivante obtenir de moins bons résultats qu’un gestionnaire qui avait été médiocre l’annéeprécédente. De plus, le fait que le coefficient bêta soit fixé à 1 entraîne que toutes les com-paraisons sont effectuées sur la même échelle et que le risque systématique est considéréêtre le même pour chacun des gestionnaires. Par contre, certains coefficients bêta fixés à 1peuvent ne pas être cohérents avec un gestionnaire et c’est pourquoi les résultats ne peuvent

51

être parfaits. En fait, l’approche par prévision avec un coefficient bêta fixé à 1 pour tous lesgestionnaires revient à comparer les gestionnaires entre eux en utilisant la valeur de leurcoefficient alpha non standardisé.

TABLE 3.5: Résultats des rendements nets et des taux de bonnes classifications obtenus avecl’approche par prévision pour les gestionnaires d’actions. Modèle 1 : régression quantile,coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d..

Approche par prévision pour les gestionnaires d’actions

Période2009 à 2013 2009 à 2013 2009 à 2011 2011 à 2013

Gest. de la cie. Tous les gest. Tous les gest. Tous les gest.Modèle rend. % pred. rend. % pred. rend. % pred. rend. % pred.

1 1.79 51.9 1.88 85.6 1.38 67.8 1.16 63.5

3.4.3 Les modèles retenus pour les gestionnaires d’obligations

Pour les gestionnaires d’obligations, c’est l’approche par prévision qui permet d’obtenirles meilleurs taux de bonnes classifications, (voir le tableau 3.6). Le premier modèle sélec-tionné pour cette approche est le modèle de régression linéaire, coefficient bêta non fixé eterreurs de type autorégressif d’ordre 2 (AR(2)). Ce critère donne de très bons résultats, etce, peu importe la période et le nombre de gestionnaires évalués. Le taux de bonnes classi-fications obtenues avec cette méthode varie entre 77.4% et 91.8% en fonction de la périodeutilisée et du nombre de gestionnaires d’obligations évalués, ce qui bat amplement le ha-sard. Il est important de faire attention en utilisant un modèle de séries temporelles, car ilfaut avoir les données sur au moins une période de 3 ans si l’on veut pouvoir obtenir un mo-dèle dont les paramètres sont tous bien estimés. Le second modèle retenu est la régressionlinéaire avec un coefficient bêta non fixé et des erreurs i.i.d.. Les taux de bonnes classifica-tions obtenus avec l’approche par prévision sont largement supérieurs à ceux de l’approchepar critère et les taux de bonnes classifications sont très bons, quelle que soit la durée de lapériode à évaluer et le nombre de gestionnaires.

TABLE 3.6: Résultats des rendements nets et des taux de bonnes classifications obtenus avecl’approche par prévision pour les gestionnaires d’obligations. Modèle 1 : régression linéaire,coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) et modèle 2 : régression linéaire avec coefficient bêtanon fixé et erreurs i.i.d.

Approche par prévision pour les gestionnaires d’obligations

Période2008 à 2013 2008 à 2013 2008 à 2010 2010 à 2013

Gest. de la cie. Tous les gest. Tous les gest. Tous les gest.Modèle rend. % pred. rend. % pred. rend. % pred. rend. % pred.

1 1.27 91.8 1.25 90.4 1.15 86.2 1.09 77.42 1.27 91.8 1.25 89.2 1.15 83.3 1.09 77.4

Selon le but visé par la compagnie, elle pourra choisir l’approche par critère pour détermi-ner quels gestionnaires sont significativement différents du marché ou elle pourra choisir

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l’approche par prévision pour sélectionner ces gestionnaires si elle pense pouvoir prédirele rendement net attendu du marché. Les deux approches pourront être utilisées pour clas-ser les gestionnaires par ordre de préférence, mais comme on l’a vu dans certains cas, unedes deux approches est plus performante que l’autre. Pour les gestionnaires d’actions, l’ap-proche par critère a permis d’obtenir de meilleurs taux de bonnes classifications tandis quepour les gestionnaires d’obligations, c’est l’approche par prévision qui a permis d’obtenir lesmeilleurs taux de bonnes classifications.

Dans le prochain chapitre, les résultats détaillés des gestionnaires d’actifs selon les modèlessélectionnés pour chacune des deux approches sont présentés. La première partie du cha-pitre présente les résultats obtenus en analysant uniquement les rendements nets des ges-tionnaires de la compagnie tandis que la seconde partie présente les résultats obtenus enutilisant tous les gestionnaires disponibles, incluant ceux engagés par la compagnie.

53

Chapitre 4

Étude de la performance desgestionnaires d’actifs

Dans les chapitres précédents, on a présenté le MÉDAF pour analyser la performance degestionnaires d’actifs. L’approche par critère et l’approche par prévision ont été développéespour classer les gestionnaires par ordre de performance et prédire de nouveaux rendements.Les modèles retenus pour estimer les paramètres du MÉDAF ont également été présentés,que ce soit pour les gestionnaires d’actions ou pour les gestionnaires d’obligations. Dansce chapitre, on présente les résultats obtenus selon les modèles sélectionnés par les deuxtypes d’approches. Ces résultats permettent de répondre aux objectifs du mémoire : validersi un gestionnaire a le talent pour battre le marché, classer les gestionnaires par ordre deperformance et prévoir le rendement net futur des gestionnaires. La section 4.1 présente lesrésultats pour les gestionnaires d’actions engagés par la compagnie tandis que la section4.2 présente les résultats pour les gestionnaires d’obligations engagés par la compagnie. Lasection 4.3 présente les résultats globaux sur tous les 43 gestionnaires d’actions. La section4.4, présente les résultats pour tous les 34 gestionnaires d’obligations. La dernière section dece chapitre, la section 4.5, détaille la librairie créée à l’aide du logiciel "R" pour réaliser lesanalyses.

4.1 Gestionnaires d’actions engagés par la compagnie

4.1.1 Approche par critère

Pour les gestionnaires d’actions engagés par la compagnie, l’étude du chapitre 3 indiqueque l’approche par critère est celle qui permet d’obtenir les meilleurs taux de bonnes clas-sifications. Les résultats obtenus sur la période de 2009 à 2013 avec cette approche pour lepremier modèle sélectionné, soit le modèle de régression linéaire avec un coefficient bêtanon fixé et des erreurs AR(2), sont présentés au tableau 4.1. L’approche par critère permet

55

de conclure que parmi les gestionnaires engagés par la compagnie, aucun d’entre eux nese démarque du marché, il sont tous considérés égaux au marché (α1 = 0, · · · , α8 = 0) auseuil de 5% lorsque l’on tient compte du test des comparaisons multiples avec la méthodede Benjamini and Hochberg (1995), et ce, sur toute la période et également au cours des 12derniers mois comme on peut le voir au tableau 4.2. Par contre, cette méthode permet quandmême de classer les gestionnaires par ordre de préférence. En comparant les gestionnaires defaçon individuelle au rendement net du marché, en utilisant le test de comparaison simple(αi = 0), le gestionnaire 4 ayant obtenu un coefficient alpha standardisé de 2.6029 et unevaleur p de 0.0127 a des rendements nets significativement meilleurs que le marché au seuilde 5%. C’est le seul gestionnaire qui a réussi à battre le marché avec ce test, les autres sonttous considérés égaux aux rendements nets du marché.

TABLE 4.1: Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestionnaires d’actionsengagés par la compagnie avec le modèle de régression linéaire, coefficient bêta non fixé eterreurs AR(2), pour la période de 2009 à 2013

Comparaison multiple M : rendement meilleur que le marché au seuil de 5 %Comparaison multiple P : rendement moins bon que le marché au seuil de 5 %

Comparaison multiple ns : rendement non différent par rapport à celui du marché au seuilde 5 %

Approche par critère pour la période 2009 à 2013

Gestionnaired’actions

Alpha standardisé Coeff. bêta Valeur pComparaisonmultiple

4 2.6029 0.6984 0.0127 ns5 0.4551 1.0335 0.6628 ns8 0.3463 1.017 0.7393 ns2 0.0249 1.078 0.9808 ns3 -0.0865 1.0635 0.9335 ns1 -0.2176 1.0562 0.8339 ns7 -0.2785 1.0981 0.7887 ns6 -0.8379 0.9567 0.4298 ns

Les résultats obtenus avec le second modèle, soit le modèle de régression quantile avec uncoefficient bêta non fixé et des erreurs i.i.d., sont présentés au tableau 4.3. Comme pour lepremier modèle sélectionné, les gestionnaires d’actions engagés par la compagnie sont consi-dérés tous égaux au marché avec le test des comparaisons multiples. En comparant de fa-çon individuelle chacun des gestionnaires aux rendements nets du marché, c’est-à-dire enutilisant le test de comparaison simple, aucun d’entre eux n’obtient de rendement signifi-cativement différent du marché, contrairement au modèle 1. Par contre, on remarque quele classement avec les deux modèles est similaire, ceux classés parmi les meilleurs avec lepremier modèle le sont également avec le second modèle et c’est également le cas avec ceuxclassés parmi les moins bons. Les résultats obtenus au cours des 12 derniers mois avec lesecond modèle sont présentés au tableau 4.4.

56

TABLE 4.2: Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestionnaires d’actionsengagés par la compagnie avec le modèle de régression linéaire, coefficient bêta non fixé eterreurs AR(2) au cours des 12 derniers mois

Comparaison multiple M : rendement significativement meilleur que le marché au seuil de5 %

Comparaison multiple P : rendement significativement moins bon que le marché au seuilde 5 %

Comparaison multiple ns : rendement non significativement différent par rapport à celuidu marché au seuil de 5 %

Approche par critère au cours des 12 derniers mois

Gestionnaired’actions

Alpha standardisé Coeff. bêta Valeur pComparaisonmultiple

7 3.4600 0.7602 0.0105 ns3 3.2605 0.8812 0.0139 ns8 2.9476 0.8526 0.0215 ns1 2.6139 0.9388 0.0347 ns4 1.9923 0.6090 0.0866 ns2 1.5467 0.7145 0.1659 ns5 1.4010 0.9070 0.2040 ns6 0.3239 0.9584 0.7555 ns

En résumé, l’approche par critère permet de conclure qu’avec le test des comparaisons mul-tiples aucun des gestionnaires ne se démarque du marché, au seuil de 5%, sur la période de2009 à 2013 et au cours des 12 derniers mois. Dans ce cas, une gestion passive aurait pro-bablement été moins coûteuse et tout aussi efficace. De plus, les deux modèles sélectionnéspour l’approche par critère arrivent à un classement très similaire des gestionnaires sur lapériode de 2009 à 2013.

4.1.2 Approche par prévision

Avec l’approche par prévision, un seul modèle a été sélectionné et il s’agit du modèlede régression quantile avec un coefficient bêta fixé à un et des erreurs i.i.d.. Les résultatssont présentés dans le tableau 4.5. On remarque que l’ordre de classement des gestionnairesest le même, et ce, peu importe le rendement du marché ; puisque le modèle utilisé pourl’approche par prévision a un coefficient bêta fixé à 1, les performances des gestionnairessont uniquement basées sur la valeur du coefficient alpha non standardisé. Les valeurs ob-tenues pour les prévisions sont très près les unes des autres pour tous les gestionnaires.Bien que le gestionnaire 2 se classe au premier rang, il ne serait peut-être pas le meilleurchoix pour la compagnie, car son intervalle de confiance est très grand comparativementaux autres. L’ordre des prévisions reste concordant avec l’ordre des alpha standardisés. Lesgestionnaires ayant obtenu les meilleures prévisions sont également ceux ayant obtenu lesmeilleures valeurs pour le coefficient alpha standardisé.

57

TABLE 4.3: Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestionnaires d’actionsengagés par la compagnie avec le modèle de régression quantile, coefficient bêta non fixé eterreurs i.i.d., pour la période de 2009 à 2013

Comparaison multiple M : rendement meilleur que le marché au seuil de 5 %Comparaison multiple P : rendement moins bon que le marché au seuil de 5 %

Comparaison multiple ns : rendement non différent par rapport à celui du marché au seuilde 5 %

Approche par critère pour la période 2009 à 2013

Gestionnaired’actions

Alpha standardisé Coeff. bêta Valeur pComparaisonmultiple

4 1.0871 0.7037 0.3130 ns2 0.5581 1.0212 0.5942 ns5 0.5558 1.0210 0.5957 ns8 0.3509 0.9858 0.7360 ns3 0.1118 1.0365 0.9141 ns7 -0.0196 1.0946 0.9849 ns6 -0.0748 0.9707 0.9425 ns1 -0.4359 1.0421 0.6760 ns

4.2 Gestionnaires d’obligations engagés par la compagnie

4.2.1 Approche par critère

Les résultats obtenus avec le modèle de régression quantile, coefficient bêta fixé et er-reurs i.i.d., pour les gestionnaires engagés par la compagnie sont présentés au tableau 4.6pour la période de 2008 à 2013 et au tableau 4.7 pour les 12 derniers mois. En utilisant letest des comparaisons multilples pour comparer les gestionnaires au rendement net du mar-ché, aucun d’entre eux n’a obtenu des rendements significativement différents du marchéau seuil de 5%. Par contre, si on utilise le test de comparaison simple pour comparer chacundes gestionnaires de façon individuelle au rendement net du marché, le gestionnaire 4 et legestionnaire 2 ont obtenu des rendements significativement meilleurs que ceux du marché.Aucun des gestionnaires n’a obtenu de rendements significativement pires que le marché.Au cours des 12 derniers mois, c’est la même chose avec le test des comparaisons multiples :aucun des gestionnaires ne se démarque du marché, et de plus, aucun avec le test de compa-raison simple n’a obtenu de rendements significativement différents du marché. Ceux ayantobtenu de bons rendements au cours des 12 derniers mois ont réussi à maintenir de bonsrendements également sur toute la période de 2008 à 2013.

Les résultats obtenus avec le second modèle, soit la régression linéaire avec un coefficientbêta fixé à 1 et des erreurs i.i.d., sont présentés au tableau 4.6 pour la période de 2008 à 2013et au tableau 4.9 pour les 12 derniers mois. Le classement des gestionnaires est légèrementdifférent du modèle 1 sur toute la période. Par contre, les gestionnaires 2 et 4 dans les deux

58

TABLE 4.4: Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestionnaires d’actionsengagés par la compagnie avec le modèle de régression quantile, coefficient bêta non fixé eterreurs i.i.d. au cours des 12 derniers mois

Comparaison multiple M : rendement meilleur que le marché au seuil de 5 %Comparaison multiple P : rendement moins bon que le marché au seuil de 5 %

Comparaison multiple ns : rendement non différent par rapport à celui du marché au seuilde 5 %

Approche par critère au cours des 12 derniers mois

Gestionnaired’actions

Alpha standardisé Coeff. bêta Valeur pComparaisonmultiple

7 0.9090 0.7965 0.3936 ns5 0.6896 0.9274 0.5127 ns8 0.6406 0.8083 0.5422 ns3 0.4974 0.9498 0.6341 ns4 0.4754 0.7808 0.6490 ns1 0.4115 0.9005 0.6930 ns6 0.3977 0.8838 0.7027 ns2 0.1016 1.0392 0.9219 ns

modèles se classent parmi les 3 meilleurs. Il sera intéressant, dans les prochaines sections,d’observer avec un plus grand nombre de gestionnaires si le classement varie beaucoup et side bons gestionnaires avec le modèle 1 le sont toujours avec le modèle 2. Pour les 12 derniersmois, le classement des gestionnaires est identique.

En résumé, pour les gestionnaires d’obligations engagés par la compagnie, l’approche critèresemble indiquer qu’une gestion active ne permet pas de battre le marché de façon significa-tive au seuil de 5% avec le test des comparaisons multiples. Avec l’approche par critère, lemodèle 1 est à prioriser, mais le second modèle peut aider à confirmer les résultats obtenusà partir du modèle 1.

4.2.2 Approche par prévision

Dans le cas des gestionnaires d’obligations engagés par la compagnie, c’est l’approche parprévision qui permet d’obtenir les meilleurs résultats en terme de taux de bonnes classifi-cations, comme cela a été présenté au chapitre précédent. Les résultats obtenus avec le pre-mier modèle, le modèle de régression linéaire, coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) sontprésentés au tableau 4.10 pour la période de 2008 à 2013. L’ordre des gestionnaires pour lesprévisions varie d’un percentile à l’autre, contrairement aux gestionnaires d’actions, puisquele coefficient bêta n’est plus fixé à 1. On remarque que, selon le rendement du marché, cer-tains gestionnaires obtiennent de meilleures performances que d’autres. Le gestionnaire 2semble être un très bon choix, et ce, peu importe le rendement net du marché. Par ailleurs,il a obtenu un rendement significativement vraiment meilleur que le marché au seuil de 5%

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TABLE 4.5: Prévisions des gestionnaires d’actions ainsi que leurs intervalles de confianceobtenus à partir du 25ième, du 50ième, du 75ième percentiles du rendement net du marché etdu dernier rendement net du marché observé, en utilisant le modèle de régression quantile,coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.

Gest.L Prévision U

Gest.L Prévision U

25ième percentile (x=-0.0179) 50ième percentile (x=0.0101)2 -0.020537 -0.012640 -0.004680 2 0.007225 0.015346 0.0235324 -0.021069 -0.014515 -0.007918 4 0.006678 0.013418 0.0202025 -0.020550 -0.016559 -0.012551 5 0.007212 0.011316 0.0154378 -0.019792 -0.016706 -0.013610 8 0.007991 0.011165 0.0143493 -0.019497 -0.016954 -0.014405 3 0.008295 0.010909 0.0135317 -0.019562 -0.017057 -0.014546 7 0.008228 0.010803 0.0133866 -0.019396 -0.017993 -0.016588 6 0.008398 0.009841 0.0112861 -0.023212 -0.019375 -0.015523 1 0.004474 0.008420 0.012382

Gest. 75ième percentile (x=0.0325) Gest. dernier rendement (x=0.0109)2 0.029990 0.038294 0.046665 2 0.008031 0.016158 0.0243514 0.029431 0.036322 0.043260 4 0.007484 0.014229 0.0210185 0.029977 0.034174 0.038388 5 0.008018 0.012126 0.0162508 0.030774 0.034019 0.037275 8 0.008798 0.011974 0.0151603 0.031084 0.033758 0.036438 3 0.009102 0.011718 0.0143427 0.031015 0.033649 0.036290 7 0.009035 0.011612 0.0141976 0.031190 0.032665 0.034143 6 0.009205 0.010649 0.0120961 0.027177 0.031212 0.035263 1 0.005278 0.009227 0.013192

avec l’approche par critère. Certains gestionnaires, tels que le gestionnaire 5, ont de bonnesprévisions quand le rendement du marché se situe au-dessus du 50ième percentile tandis qued’autres obtiennent de meilleures performances lorsque le rendement est plus bas. Il est doncimportant de faire le choix des gestionnaires selon le rendement du marché attendu pour lesprochaines périodes, car l’ordre de classement des gestionnaires varie beaucoup.

Les mêmes résultats pour le modèle 2, soit le modèle de régression linéaire avec un coeffi-cient bêta non fixé et des erreurs i.i.d. sont présentés dans le tableau 4.11. Avec ce secondmodèle, le classement selon le rendement du marché est pratiquement le même que pourle modèle 1. Ce sont deux très bons modèles qui peuvent être utilisés avec l’approche parprévision.

Pour conclure, l’approche par critère indique que les gestionnaires d’actions et les gestion-naires d’obligations engagés par la compagnie ne semblent pas battre le marché de façonsignificative avec le test des comparaisons multiples. Dans ce cas, une gestion passive seraitpeut-être préférable et moins coûteuse. En général, on remarque que pour les gestionnairesd’actions, la régression quantile est préférable à la régression linéaire. En effet, seul le critèrepar défaut pour le coefficient alpha standardisé utilise la régression linéaire. Par contre, lesecond critère utilisant la régression quantile est presque équivalent.

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TABLE 4.6: Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de compa-raison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestionnaires d’obligationsengagés par la compagnie avec le modèle de régression quantile, coefficient bêta fixé et er-reurs i.i.d..

Comparaison multiple M : rendement meilleur que le marché au seuil de 5 %Comparaison multiple P : rendement moins bon que le marché au seuil de 5 %

Comparaison multiple ns : rendement non différent par rapport à celui du marché au seuilde 5 %

Gestionnaired’actions

Alpha standardisé Coeff. bêta Valeur pComparaisonmultiple

Période : 2008 à 20134 3.6756 1 0.0213 ns2 3.3473 1 0.0286 ns3 2.0645 1 0.1079 ns5 1.6538 1 0.1735 ns1 -0.0248 1 0.9814 ns

TABLE 4.7: Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de compa-raison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestionnaires d’obligationsengagés par la compagnie avec le modèle de régression quantile, coefficient bêta fixé et er-reurs i.i.d..

Comparaison mutliple M : rendement significativement meilleur que le marché au seuil de5 %

Comparaison mutliple P : rendement significativement moins bon que le marché au seuilde 5 %

Comparaison mutliple ns : rendement non significativement différent par rapport à celuidu marché au seuil de 5 %

Gestionnaired’actions

Alpha standardisé Coeff. bêta Valeur pComparaisonmutliple

Période : 2008 à 20132 2.6714 1 0.0557 ns3 2.2449 1 0.0881 ns4 -0.3778 1 0.7248 ns1 -0.4067 1 0.705 ns5 -1.1083 1 0.3299 ns

4.3 Tous les gestionnaires d’actions

4.3.1 Approche par critère

L’analyse précédente a été répétée, mais cette fois-ci pour tous les gestionnaires dispo-nibles, autant ceux engagés par la compagnie que les autres. Les résultats obtenus par cetteapproche avec le modèle de régression linéaire, coefficient bêta fixé et erreurs AR(2) pourtous les gestionnaires sont présentés dans le tableau 4.12 pour la période de 2009 à 2013. Les

61

Comparaison multiple M : rendement meilleur que le marché au seuil de 5 %Comparaison multiple P : rendement moins bon que le marché au seuil de 5 %

Comparaison multiple ns : rendement non différent par rapport à celui du marché au seuilde 5 %

Gestionnaired’actions

Alpha standardisé Coeff. bêta Valeur pComparaisonmultiple

Période : 2008 à 20134 3.6364 1 0.0220 ns5 1.5701 1 0.1915 ns2 0.9200 1 0.4096 ns3 -0.3151 1 0.7684 ns1 -0.3563 1 0.7396 ns

TABLE 4.8: Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de compa-raison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestionnaires d’obligationsengagés par la compagnie avec le modèle de régression linéaire, coefficient bêta fixé et er-reurs i.i.d..

Comparaison multiple M : rendement meilleur que le marché au seuil de 5 %Comparaison multiple P : rendement moins bon que le marché au seuil de 5 %

Comparaison multiple ns : rendement non différent par rapport à celui du marché au seuilde 5 %

Gestionnaired’actions

Alpha standardisé Coeff. bêta Valeur pComparaisonmultiple

Période : 2008 à 20132 1.5165 1 0.2040 ns3 1.4778 1 0.2135 ns4 -0.7005 1 0.5222 ns1 -0.7427 1 0.4989 ns5 -1.1230 1 0.3243 ns

TABLE 4.9: Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de compa-raison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestionnaires d’obligationsengagés par la compagnie avec le modèle de régression linéaire, coefficient bêta fixé et er-reurs i.i.d..

gestionnaires 1 à 8 représentent toujours ceux engagés par la compagnie. Encore une fois,en utilisant le test des comparaisons multiples, aucun des gestionnaires ne se démarque defaçon statistique ; ils sont tous considérés comme ayant obtenu des rendements similaires àcelui du marché. Par contre, on remarque que le gestionnaire 4 engagé par la compagnie estcelui dont la performance a été la meilleure parmi tous les gestionnaires. En utilisant le testde comparaison simple, les deux premiers gestionnaires obtiennent des rendements signi-ficativement meilleurs que les rendements nets du marché. Les 3 derniers gestionnaires duclassement eux obtiennent des rendements nets significativement moins bons que le marché.Tous les autres gestionnaires, sur une base statistique, ont obtenu des rendements similaires

62

TABLE 4.10: Prévisions des gestionnaires d’obligations ainsi que leurs intervalles deconfiance obtenus à partir du 25ième, du 50ième, du 75ième percentiles du rendement net dumarché et du dernier rendement net du marché observé, en utilisant le modèle de régressionlinéaire, coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2)

Gest.L Prévision U

Gest.L Prévision U

25ième percentile (x=-0.0380) 50ième percentile (x=0.0026)2 -0.014574 -0.000161 0.01441 2 -0.009813 0.004671 0.0193113 -0.007795 -0.002196 0.003426 5 -0.004322 0.003624 0.0116181 -0.006474 -0.003172 0.000137 4 0.000882 0.003086 0.0052944 -0.005654 -0.003464 -0.001271 1 -0.000636 0.002685 0.0060145 -0.012179 -0.004296 0.003635 3 -0.003348 0.002275 0.007923

Gest. 75ième percentile (x=0.0089) Gest. dernier rendement (x=-0.0033)5 0.003473 0.011482 0.019538 2 -0.014203 0.000216 0.0147924 0.007357 0.009576 0.011798 3 -0.007448 -0.001848 0.0037762 -0.005103 0.009449 0.024160 1 -0.006019 -0.002716 0.0005951 0.005144 0.008485 0.011833 4 -0.005145 -0.002954 -0.0007593 0.001048 0.006697 0.012369 5 -0.011568 -0.003679 0.004256

TABLE 4.11: Prévisions ainsi que leurs intervalles de confiance obtenus à partir du 25ième,du 50ième, du 75ième percentiles du rendement net du marché et du dernier rendement netdu marché observé, en utilisant le modèle de régression linéaire, coefficient bêta non fixé eterreurs i.i.d..

Gest.L Prévision U

Gest.L Prévision U

25ième percentile (x=-0.0380) 50ième percentile (x=0.0026)2 -0.003201 -0.001322 0.000503 5 0.002632 0.003515 0.0043813 -0.002947 -0.002190 -0.001443 2 0.001647 0.003277 0.0048511 -0.003899 -0.003402 -0.002909 4 0.002817 0.003055 0.0032914 -0.003762 -0.003488 -0.003216 1 0.002053 0.002483 0.002915 -0.005376 -0.004361 -0.003361 3 0.001662 0.002317 0.002963

Gest. 75ième percentile (x=0.0089) Gest. dernier rendement (x=-0.0033)5 0.010253 0.011328 0.012386 2 -0.002804 -0.000963 0.0008234 0.009248 0.009537 0.009825 3 -0.002580 -0.001839 -0.0011071 0.007787 0.008310 0.008830 1 -0.003430 -0.002943 -0.0024612 0.005849 0.007824 0.009745 4 -0.003247 -0.002979 -0.0027123 0.005979 0.006774 0.007560 5 -0.004742 -0.003748 -0.002769

au marché. L’annexe A.1 présente les résultats obtenus avec l’approche par critère pour lemême modèle, mais pour une période plus courte, les 12 derniers mois. Sur cette période,les gestionnaires ont des alpha standardisés plus élevés. Cette période a engendré de plusgrands rendements. Avec le test des comparaisons multiples, plusieurs gestionnaires ontréussi à se démarquer du marché de façon significativement favorable au seuil de 5%. Seulle gestionnaire 3 a obtenu un rendement moins bon que le marché au seuil de 5% en utilisantle test des comparaisons multiples.

63

En résumé, l’approche par critère permet de conclure qu’avec le test des comparaisons mul-tiples, aucun des gestionnaires ne se démarque du marché, ils sont tous statistiquement si-milaires au seuil de 5% sur la période de 2009 à 2013. Dans ce cas, une gestion passive auraitprobablement été moins coûteuse. Par contre, on remarque que pour les 12 derniers mois,plusieurs gestionnaires ont obtenu des rendements nets significativement meilleurs que ceuxdu marché avec le test des comparaisons multiples. Les résultats obtenus avec le second mo-dèle sont présentés à l’annexe A.2. Ceux-ci permettent également de conclure que sur toutela période, aucun gestionnaire n’a réussi à se démarquer de façon significative du marché,que ce soit positivement ou négativement avec le test des comparaisons multiples.

4.3.2 Approche par prévision

Les 8 meilleurs résultats obtenus avec l’approche par prévision sont présentés dans letableau 4.13 pour le modèle de régression quantile avec un coefficient bêta fixé à 1 et deserreurs i.i.d.. Les mêmes résultats pour tous les gestionnaires sont présentés à l’annexe A.3.L’ordre de classement des gestionnaires est le même, et ce, peu importe le rendement dumarché. En effet, puisque le coefficient bêta est fixé à 1, les performances des gestionnairessont uniquement basées sur la valeur du coefficient alpha et ne dépendent plus de la valeurdu rendement net du marché. Les valeurs obtenues pour les prévisions sont très près lesunes des autres pour tous les gestionnaires. L’ordre des prévisions reste concordant avecl’ordre des alpha standardisés. Les gestionnaires ayant obtenu les meilleures prévisions sontégalement ceux ayant obtenu les meilleures valeurs pour le coefficient alpha standardisé.

Deux des gestionnaires (2 et 4) de la compagnie se positionnent parmi les 8 meilleurs. Parailleurs, le gestionnaire 4 est celui ayant obtenu le premier rang avec l’approche par critère.

4.3.3 Calcul de la valeur de 1$ avec une approche active et passive

Pour chacune des approches, la figure 4.1 présente l’évolution de la valeur de 1$ investiau début de l’année 2008 avec les premiers modèles sélectionnés pour une gestion active,comparativement à une gestion passive. La gestion active est utilisée avec l’approche parcritère et l’approche par prévision. Pour calculer la valeur de 1$ investi au début de l’année2008 à la fin de chacune des années de 2008 à 2013, la technique est la suivante :

1 : Sélectionner selon l’approche utilisée le meilleur gestionnaire de l’année 2007. Par exemple,pour l’approche par critère le meilleur gestionnaire de l’année 2007 sera celui qui aurale plus grand coefficient alpha standardisé.

2 : Calculer la valeur de 1$ investi au début de l’année 2008 à la fin de l’année 2008. La

64

formule sera la suivante :

Y2008 = 1$(1 + rendement net du mois de janvier du meilleur gestionnaire de l’année 2008 )

(1 + rendement net du mois de février du meilleur gestionnaire de l’année 2008)

· · ·

(1 + rendement net du mois de décembre du meilleur gestionnaire de l’année 2008),

où Y2008 représente la valeur de 1$ investi au début de l’année 2008.

3 : Sélectionner toujours avec la même approche utilisée le meilleur gestionnaire de l’année2008.

4 : Calculer la valeur de 1$ investi au début de l’année 2009 à la fin de l’année 2009. Laformule sera la suivante :

Y2009 = (Y2008)$(1 + rendement net du mois de janvier du meilleur gestionnaire de l’année 2009)

(1 + rendement net du mois de février du meilleur gestionnaire de l’année 2009)

· · ·

(1 + rendement net du mois de décembre du meilleur gestionnaire de l’année 2009),

5 : Répéter cette procédure jusqu’à la fin de l’année 2013. De sorte que pour calculer lavaleur de 1$ investi au début de l’année 2008 à la fin de l’année 2013 la formule sera lasuivante :

Y2008 = 1$(1 + rendement net du mois de janvier du meilleur gestionnaire de l’année 2008 )

(1 + rendement net du mois de février du meilleur gestionnaire de l’année 2008)

· · ·

(1 + rendement net du mois de décembre du meilleur gestionnaire de l’année 2008)

Y2009 = (Y2008)$(1 + rendement net du mois de janvier du meilleur gestionnaire de l’année 2009)

(1 + rendement net du mois de février du meilleur gestionnaire de l’année 2009)

· · ·

(1 + rendement net du mois de décembre du meilleur gestionnaire de l’année 2009)...

65

Y2013 = (Y2012)$(1 + rendement net du mois de janvier du meilleur gestionnaire de l’année 2013)

(1 + rendement net du mois de février du meilleur gestionnaire de l’année 2013)

· · ·

(1 + rendement net du mois de décembre du meilleur gestionnaire de l’année 2013)

La gestion passive vise à calquer l’indice et c’est pourquoi, sur le graphique, elle est repré-sentée par le rendement net du marché. Pour calculer la valeur de 1$ investi au début del’année 2008 à la fin de l’année 2013 avec la gestion passive, la formule est la suivante :

Y2008 = 1$(1 + rendement net du marché au mois de janvier 2008)

(1 + rendement net du marché au mois de février 2008)

· · ·

(1 + rendement net du marché au mois de décembre 2008)

Y2009 = (Y2008)(1 + rendement net du marché au mois de janvier 2009)

(1 + rendement net du marché au mois de février 2009)

· · ·

(1 + rendement net du marché au mois de décembre 2009)...

Y2013 = (Y2012)(1 + rendement net du marché au mois de janvier 2013)

(1 + rendement net du marché au mois de février 2013)

· · ·

(1 + rendement net du marché au mois de décembre 2013).

La valeur de x0 utilisé pour obtenir les rendements nets des gestionnaires d’actions est tou-jours le rendement de l’indice S&P.

Les deux modèles utilisés pour la gestion active sont :

- Approche par critère : Modèle de régression linéaire avec coefficient bêta non fixé et er-reurs AR(2)

66

FIGURE 4.1: Rendement de 1$ en utilisant une gestion active contre une gestion passive pourles actions

- Approche par prévision : Modèle de régression quantile avec coefficient bêta fixé et erreursi.i.d.

Sur cette figure, on remarque dans les deux cas que la gestion active est plus rentable que lagestion passive à la fin de la période. Par contre, ce graphique ne permet pas de conclure sicette différence est significative. Pour l’approche par critère, l’investissement de 1$ avec lagestion active est toujours plus payant. En fait, la valeur du 1$ investi en 2008 en utilisantune gestion active est toujours supérieure à la valeur du 1$ en utilisant une gestion passive.Lorsqu’on évalue la performance de gestionnaires, la période sur laquelle cette évaluationest effectuée est un critère important. En effet, comme on peut le remarquer sur le graphiquedu rendement de 1$ avec l’approche par prévision, ce rendement est plus important pourla gestion active à long terme tandis que pour la période de 2008 à 2010, les deux types degestions s’équivalent. Par contre, on a vu avec l’approche par critère que les rendementsobtenus par les gestionnaires sont tous non significativement différents du marché.

4.4 Tous les gestionnaires d’obligations

4.4.1 Approche par critère

Les résultats obtenus avec l’approche par critère avec le modèle de régression quantile,coefficient bêta fixé à un et erreurs i.i.d. pour tous les gestionnaires sont présentés au tableau4.14. Les gestionnaires 1 à 5 sont ceux engagés par la compagnie. Contrairement aux ges-

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tionnaires d’actions, les 11 premiers gestionnaires d’obligations ont obtenu des rendementssignificativement vraiment meilleurs que le marché au seuil de 5% avec le test des comparai-sons multiples. Parmi ces gestionnaires on y retrouve deux des cinq gestionnaires engagéspar la compagnie. Aucun des gestionnaires n’a obtenu des rendements significativementpires que le marché avec le test des comparaisons multiples.

Les résultats obtenus avec tous les gestionnaires d’obligations pour les 12 derniers mois sontprésentés à l’annexe B.1. Au cours des 12 derniers mois avec le test des comparaisons mul-tiples, un seul gestionnaire s’est vraiment démarqué de façon significativement meilleureque le marché, il s’agit du gestionnaire 21. Celui-ci avait également été significativementdifférent du marché sur toute la période.

Les résultats obtenus avec le second modèle, soit la régression linéaire avec un coefficientbêta fixé à un et des erreurs i.i.d., sont présentés à l’annexe B.2. Avec le test des comparai-sons multiples, un seul gestionnaire a obtenu des rendements significativement vraimentdifférents du marché sur toute la période, soit le gestionnaire 4. Par contre, il est importantde se rappeler que ce second modèle a obtenu de moins bons taux de bonnes classificationset c’est pourquoi il est préférable d’utiliser le premier modèle. Le second modèle peut toutde même servir à confirmer les résultats.

En résumé, pour les gestionnaires d’obligations, l’approche critère semble indiquer qu’unegestion active permet de battre le marché. Pour les deux modèles sélectionnés, certains ges-tionnaires ont obtenu des rendements significativement différents du marché avec le test descomparaisons multiples, que ce soit pour la période de 2008 à 2013 ou les 12 derniers mois.

4.4.2 Approche par prévision

Les 8 meilleurs résultats obtenus avec l’approche par prévision sont présentés au tableau4.15, pour le modèle de régression linéaire avec un coefficient bêta non fixé et des erreursAR(2). Les mêmes résultats pour tous les gestionnaires sont présentés à l’annexe B.3. Le ges-tionnaire 2 semble être un très bon choix, car ses prévisions sont parmi les 8 meilleures, etce, peu importe le rendement net du marché. Par ailleurs, il a obtenu un rendement signifi-cativement vraiment meilleur que le marché au seuil de 5% avec l’approche par critère. Onnote que le classement des gestionnaires varie beaucoup lorsque le coefficient bêta n’est pasfixé à 1 selon le rendement du marché.

Les résultats pour tous les gestionnaires pour le second modèle, soit le modèle de régressionlinéaire avec un coefficient bêta non fixé et des erreurs i.i.d., sont présentés à l’annexe B.4.Avec ce second modèle, ce sont pratiquement les mêmes gestionnaires en tête de classementque pour le modèle 1. Ce sont effectivement deux très bons modèles qui peuvent être utilisésavec l’approche par prévision.

68

4.4.3 Calcul de la valeur de 1$ avec une approche active et passive

La figure 4.2 présente l’évolution de la valeur de 1$ investi avec les premiers modèlessélectionnés pour une gestion active pour chacune des deux approches comparativement àune gestion passive. L’évolution de la valeur du 1$ investi au début de l’année 2007 a étécalculée en utilisant la technique présentée à la section 4.3.3. Sur cette figure, on remarqueque dans les deux cas, la gestion active est plus rentable que la gestion passive à la fin dela période. Pour l’approche par critère, l’investissement de 1$ avec la gestion active devientplus rentable après 2008. Avec l’approche par prévision, le rendement de 1$ indique que lagestion active est toujours plus profitable que la gestion passive, et ce, sur toute la période.

La valeur de x0 utilisée pour obtenir les rendements nets des gestionnaires d’obligations esttoujours le rendement de l’indice FTSE TMX.

Les deux modèles utilisés pour la gestion active sont :

- Approche par critère : Modèle de régression quantile avec coefficient bêta fixé et erreursi.i.d.

- Approche par prévision : Modèle de régression linéaire avec coefficient bêta fixé et erreursAR(2)

FIGURE 4.2: Rendement de 1$ en utilisant une gestion active contre une gestion passive pourles obligations

En conclusion, pour les gestionnaires d’actions, l’approche par critère est celle à privilégier.Pour les gestionnaires d’obligations, c’est l’approche par prévision qui est à privilégier. L’ap-proche par critère indique que les gestionnaires d’actions ne semblent pas battre le marché de

69

façon significative avec le test des comparaisons multiples. Dans ce cas, une gestion passiveserait peut-être préférable et moins coûteuse. Au contraire, pour ce qui est des gestionnairesd’obligations, une gestion active semble plus avantageuse qu’une gestion passive. Plusieursgestionnaires ont réussi à battre le marché de façon significative au seuil de 5% avec ce mêmetest.

4.5 Librairie R utilisée pour les analyses

Une librairie en R a été créée, nommée "EvaluationGestionnaire". Cette librairie permetd’évaluer facilement la performance des gestionnaires qui utilisent une stratégie de gestionactive, autant pour les obligations que pour les actions. Elle est conçue dans le but de vali-der si un gestionnaire a les capacités ou non de battre le rendement du marché. Elle permetégalement de classer un ensemble de gestionnaires selon un ordre de préférence et de fairedes prévisions sur leurs rendements futurs en fonction de leurs rendements nets et du ren-dement net du marché. La librairie utilise l’approche par prévision pour obtenir les rende-ments prédits des gestionnaires et l’approche par critère pour obtenir les coefficients alphastandardisés des gestionnaires. Les modèles retenus pour chacune des deux approches sontceux présentés à la section 3.3 et à la section 3.4. Pour utiliser les fonctions de l’approche parcritère, il est nécessaire d’avoir les rendements nets passés des gestionnaires sur une certainepériode, au moins 3 ans, ainsi que les rendements nets passés du marché sur cette même pé-riode. La figure 4.5 présente un aperçu du jeu de données à fournir à la librairie pour utiliserles différentes fonctions. Pour l’approche par prévision, les mêmes données sont nécessaires,mais il faut également donner à la fonction une valeur du rendement du marché pour la pé-riode à prévoir. Puisqu’il est très difficile d’évaluer le rendement net du marché dans le futur,il est possible d’utiliser le 25ième, le 50ième, le 75ième percentile ou le dernier rendement netobservé du marché pour obtenir une prévision. Les fonctions de la librairie sont détaillées àl’annexe C de ce mémoire et les résultats obtenus pour chacun des modèles selon l’approcheet le type d’actifs sont présentés à l’annexe D. Un guide sur l’utilisation de cette librairie aété conçu par Simard (2014). C’est cette librairie qui a été utilisée pour obtenir les résultatssur les gestionnaires d’actifs présentés dans le présent chapitre.

70

TABLE 4.12: Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de compa-raison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour tous les gestionnaires d’actions.Modèle : régression linéaire, coefficient bêta fixé et erreurs AR(2)

Comparaison multiple M : rend. meilleur que le marché au seuil de 5 %Comparaison multiple P : rend. moins bon que le marché au seuil de 5 %

Comparaison multiple ns : rend. non différent par rapport à celui du marché au seuil de 5 %Approche par critère pour les gestionnaires d’actions

Gestionnaire d’actions Alpha standardisé Coeff. bêta Valeur p Comparaison multiple4 2.6029 0.6984 0.0127 ns35 1.6971 0.7812 0.0971 ns37 1.5322 0.597 0.133 ns25 1.5311 1.0464 0.1332 ns12 1.4064 0.8064 0.167 ns13 1.0679 0.8876 0.2917 ns17 0.9419 0.8942 0.3516 ns33 0.8603 0.9809 0.3945 ns18 0.7845 1.0466 0.4371 ns40 0.775 0.8254 0.4427 ns20 0.7274 0.9727 0.471 ns28 0.6587 0.8423 0.5137 ns30 0.62 0.8859 0.5386 ns5 0.4551 1.0335 0.6514 ns16 0.4236 1.0397 0.674 ns22 0.3915 1.0171 0.6974 ns19 0.3814 0.9966 0.7048 ns8 0.3463 1.017 0.7308 ns27 0.2533 0.7411 0.8013 ns29 0.1651 0.7883 0.8697 ns2 0.0249 1.078 0.9803 ns3 -0.0865 1.0635 0.9315 ns14 -0.1081 1.0843 0.9144 ns1 -0.2176 1.0562 0.8288 ns23 -0.2408 1.0036 0.8109 ns34 -0.2739 0.9642 0.7855 ns7 -0.2785 1.0981 0.782 ns31 -0.5243 0.879 0.6028 ns42 -0.6093 1.002 0.5456 ns15 -0.6987 0.988 0.4886 ns6 -0.8379 0.9567 0.4068 ns43 -0.8556 0.9977 0.3971 ns26 -0.9353 1.0924 0.355 ns38 -1.1813 0.9116 0.2441 ns10 -1.3097 1.0651 0.1974 ns41 -1.575 1.0798 0.1228 ns36 -1.6222 1.0634 0.1122 ns39 -1.8689 1.0966 0.0686 ns24 -1.8694 1.0683 0.0685 ns21 -1.8945 1.0328 0.0651 ns32 -2.3733 1.0164 0.0223 ns9 -2.6295 1.0221 0.0119 ns11 -2.762 1.3068 0.0085 ns

71

TABLE 4.13: Prévisions des gestionnaires d’actions ainsi que leurs intervalles de confianceobtenus à partir du 25ième, du 50ième, du 75ième percentiles du rendement net du marché etdu dernier rendement net du marché observé, en utilisant le modèle de régression quantile,coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d..

Gest.L Prévision U

Gest.L Prévision U

25ième percentile (x=-0.0179) 50ième percentile (x=0.0101)2 -0.020512 -0.01264 -0.004706 2 0.007251 0.015346 0.02350513 -0.01784 -0.012675 -0.007484 13 0.009999 0.015309 0.02064835 -0.018436 -0.014098 -0.009741 35 0.009386 0.013846 0.01832730 -0.02123 -0.014281 -0.007282 30 0.006512 0.013659 0.02085622 -0.017032 -0.014508 -0.011978 22 0.010829 0.013425 0.0160274 -0.020945 -0.014515 -0.008043 4 0.006805 0.013418 0.02007334 -0.019594 -0.01515 -0.010687 34 0.008195 0.012765 0.01735516 -0.018951 -0.015186 -0.011405 16 0.008856 0.012728 0.016616

Gest. 75ième percentile (x=0.0325) Gest. dernier rendement (x=0.0109)2 0.030017 0.038294 0.046638 2 0.008057 0.016158 0.02432413 0.032826 0.038257 0.043717 13 0.010807 0.016122 0.02146535 0.032199 0.036761 0.041343 35 0.010193 0.014658 0.01914230 0.029261 0.036569 0.043929 30 0.007318 0.01447 0.02167322 0.033675 0.03633 0.038991 22 0.011638 0.014236 0.016844 0.029561 0.036322 0.043129 4 0.007611 0.014229 0.0208934 0.030982 0.035655 0.040349 34 0.009002 0.013575 0.01816916 0.031657 0.035617 0.039593 16 0.009663 0.013539 0.017429

72

TABLE 4.14: Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de compa-raison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour tous les gestionnaires d’obli-gations avec le modèle de régression quantile, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d., pour lapériode de 2008 à 2013

Comparaison multiple M : rendement meilleur que le marché au seuil de 5 %Comparaison multiple P : rendement moins bon que le marché au seuil de 5 %

Comparaison multiple ns : rendement non différent par rapport à celui du marché au seuilde 5 %

Gestionnaired’actions

Alpha standardisé Coeff. bêta Valeur pComparaisonmultiple

Période : 2008 à 201329 4.1649 1 2e-04 M26 3.9646 1 4e-04 M13 3.8841 1 5e-04 M4 3.7995 1 6e-04 M17 3.7844 1 6e-04 M12 3.5421 1 0.0012 M21 3.2393 1 0.0027 M2 3.1971 1 0.0031 M31 2.9852 1 0.0053 M28 2.8638 1 0.0072 M20 2.824 1 0.008 M16 2.3994 1 0.0222 ns32 2.3989 1 0.0223 ns24 2.2846 1 0.0289 ns15 2.1751 1 0.0369 ns11 2.1001 1 0.0434 ns14 2.033 1 0.0502 ns23 1.9783 1 0.0563 ns19 1.8864 1 0.0681 ns3 1.7956 1 0.0817 ns5 1.7286 1 0.0932 ns30 1.6827 1 0.1019 ns34 1.5784 1 0.124 ns25 1.4784 1 0.1488 ns9 1.2269 1 0.2285 ns22 1.1086 1 0.2756 ns18 1.079 1 0.2884 ns6 0.6794 1 0.5016 ns27 0.4947 1 0.6241 ns8 -0.8634 1 0.3941 ns7 -0.6143 1 0.5432 ns10 -0.0763 1 0.9396 ns33 -0.0466 1 0.9631 ns1 -0.024 1 0.981 ns

73

TABLE 4.15: Prévisions des gestionnaires d’obligations ainsi que leurs intervalles deconfiance obtenus à partir du 25ième, du 50ième, du 75ième percentiles du rendement net dumarché et du dernier rendement net du marché observé, en utilisant le modèle de régressionlinéaire, coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2)

Gest.L Prévision U

Gest.L Prévision U

25ième percentile (x=-0.0370) 50ième percentile (x=0.0027)2 -0.014574 -0.000161 0.01441 2 -0.009813 0.004671 0.0193113 -0.007795 -0.002196 0.003426 16 -0.00463 0.003674 0.01202931 -0.007534 -0.002668 0.002216 5 -0.004322 0.003624 0.01161821 -0.006418 -0.002752 0.000924 18 -0.002272 0.003405 0.00910523 -0.007691 -0.002761 0.002188 21 -0.000373 0.003315 0.0070146 -0.008585 -0.002833 0.002945 31 -0.001638 0.003257 0.0081728 -0.01017 -0.002901 0.004408 23 -0.001755 0.003205 0.00818413 -0.006485 -0.003011 0.000472 26 -0.001817 0.003183 0.008201

Gest. 75ième percentile (x=0.0085) Gest. dernier rendement (x=0.0037)16 0.003155 0.011524 0.019944 2 -0.014203 0.000216 0.0147925 0.003473 0.011482 0.019538 3 -0.007448 -0.001848 0.00377629 0.006417 0.009848 0.013289 31 -0.007074 -0.002206 0.0026818 0.004117 0.00983 0.015567 21 -0.005947 -0.002279 0.0013999 0.007543 0.009783 0.012026 23 -0.007229 -0.002296 0.00265526 0.004595 0.009627 0.014677 6 -0.008123 -0.002367 0.0034134 0.007357 0.009576 0.011798 28 -0.009734 -0.002462 0.0048512 -0.005103 0.009449 0.02416 13 -0.006007 -0.002531 0.000954

TABLE 4.16: Exemple du type de jeu de données requis pour la librairie R "EvaluationGes-tionnaire"

Date Taux_sans_risque Index Gest_6 Gest_71 2007/09 0.35% 3.46 4.61 4.622 2007/10 0.35% 3.91 6.03 6.643 2007/11 0.32% -6.22 -4.87 -5.714 2007/12 0.33% 1.34 2.83 0.895 2008/01 0.29% -4.72 -8.07 -6.76

74

Conclusion

Évaluer la performance de gestionnaires d’actifs n’est pas une tâche facile. Il existe diffé-rentes mesures pour quantifier si un gestionnaire est bon ou mauvais. Par contre, ces me-sures peuvent vite atteindre leurs limites. Par exemple, on a vu que le coefficient alpha peutêtre une bonne mesure pour classer les gestionnaires par ordre de performance, mais ceuniquement si la valeur de leur coefficient bêta avoisine 1. Dans le cas inverse, lorsque lescoefficients bêta des gestionnaires ne sont pas similaires, le coefficient alpha perd une grandepartie de son sens. Dans ce mémoire, les mesures de performance retenues sont le coefficientalpha standardisé et la prévision. Le coefficient alpha standardisé ainsi que les prévisionsont été obtenus à partir de la régression linéaire et de la régression quantile en utilisantdes erreurs indépendantes et identiquement distribuées et en utilisant des erreurs de typeautorégressif d’ordre deux. Le modèle mixte a également été utilisé dans l’étude pour l’ap-proche par prévision. Ce modèle étant une extension aux modèles linéaires, il permet detenir compte de l’hétérogénéité possiblement présente entre les gestionnaires afin de déter-miner s’il existe un effet "gestionnaire". L’approche par critère et l’approche par prévisionont permis de sélectionner les modèles qui modélisent le mieux les gestionnaires d’actifs etainsi répondent aux objectifs de l’étude. Ces objectifs étaient de développer des modèles derégression pour modéliser les rendements des gestionnaires selon le rendement du marché,d’être en mesure de classer les gestionnaires par ordre de préférence et de déterminer si ungestionnaire a les talents ou non de battre le marché, et ce, de façon significative et d’utiliserles modèles pour prédire les rendements futurs attendus par un gestionnaire à partir de sonhistorique de rendements.

Les modèles retenus pour les gestionnaires d’actions sont principalement des modèles uti-lisant la régression quantile puisque les rendements associés aux actions sont très variableset s’éloignent beaucoup de la loi normale. Ces modèles sont la régression linéaire avec uncoefficient bêta non fixé et des erreurs AR(2), la régression quantile avec un coefficient bêtanon fixé et des erreurs i.i.d. pour l’approche par critère et le modèle de régression quantileavec un coefficient bêta fixé à un et des erreurs i.i.d. pour l’approche par prévision. Pour lesgestionnaires d’obligations, les rendements sont beaucoup moins variables, la médiane esttrès près de la moyenne. Ainsi les modèles retenus sont principalement des modèles de ré-gression linéaires. Pour l’approche par critère les modèles retenus sont la régression quantile

75

avec un coefficient bêta fixé à un et des erreurs i.i.d. et la régression linéaire avec un coef-ficient bêta fixé à un et et erreurs i.i.d.. Pour l’approche par prévision, ce sont le modèle derégression linéaire avec un coefficient bêta non fixé et des erreurs AR(2) ainsi que le mêmemodèle, mais avec des erreurs i.i.d.. L’approche par critère a permis d’affirmer que pour lesgestionnaires d’actions, on ne peut pas conclure qu’il existe une différence significative entrela gestion active et la gestion passive. En effet, en utilisant le test de comparaisons multiples,aucun des gestionnaires d’actions ne s’est démarqué de façon significative du marché auseuil de 5%. C’est tout à fait l’inverse pour les gestionnaires d’obligations. Plusieurs d’entreeux ont réussi à se démarquer de façon significative du marché et ainsi obtenir des rende-ments plus élevés. Une gestion active est donc considérée significativement différente d’unegestion passive et dans ce cas et il est préférable d’utiliser la gestion active. L’approche parcritère est la technique à utiliser pour valider si les gestionnaires se démarquent de façonpositive ou négative du marché. L’approche par prévision est à privilégier principalements’il est possible de prévoir le rendement du marché, car cette approche permet d’avoir desprévisions en fonction du rendement prévu du marché. Pour classer les gestionnaires parordre de performance, l’approche à privilégier selon les taux de bonnes classifications ob-tenus est l’approche par critère pour les gestionnaires d’actions et l’approche par prévisionpour les gestionnaires d’obligations. En résumé, les analyses présentées dans ce mémoirepermettront à la compagnie de mieux sélectionner ses gestionnaires et par la suite de mieuxles évaluer. En fait, ces analyses seront une étape du processus de sélection des gestionnairesde la compagnie ainsi qu’une étape du processus d’évaluation de ses propres gestionnaires.

Les résultats obtenus permettent de très bien répondre aux objectifs fixés pour ce mémoire.Quelques points forts de ce mémoire sont les taux de bonnes classifications obtenus pourla sélection des modèles. Ceux-ci sont largement supérieurs au hasard, ce qui signifie qu’enutilisant les modèles sélectionnés pour choisir le meilleur gestionnaire chaque année, on ob-tient des rendements supérieurs à ce qu’on obtiendrait si, chaque année, on choisissait ungestionnaire de façon aléatoire. Par ailleurs, les différents modèles obtenus pour chacunedes approches pointent tous vers la même direction. Le classement des gestionnaires ob-tenus avec le modèle 1, le meilleur des modèles, est similaire au classement obtenu avec lemodèle 2, le deuxième meilleur modèle, autant avec l’approche par prévision que l’approchepar critère. De plus, l’utilisation de la librairie R créée pour ce mémoire permet facilementde répondre aux objectifs du mémoire, et ce, uniquement en fournissant au logiciel les ren-dements des gestionnaires et du marché sur une certaine période de temps d’au moins 36observations à intervalle régulier, soit mensuel, hebdomadaire...

Dans le futur, il serait intéressant de refaire les mêmes analyses avec des rendements hebdo-madaires ou même journaliers. Les rendements boursiers sont connus pour être très volatils.On l’a remarqué principalement pour les gestionnaires d’actions. Avoir les rendements surune base plus rapprochée permettrait d’obtenir un meilleur pouvoir prédictif, ce qui permet-

76

trait d’améliorer la précision des résultats obtenus. Dans ce mémoire, les modèles proposéssont comparés à un algorithme qui choisit au hasard les gestionnaires pour l’année précé-dente. Étant donné que dans une compagnie les gestionnaires ne sont pas sélectionnés defaçon aléatoire, mais plutôt selon certains critères de performance, il serait intéressant de va-lider si les modèles performent aussi bien en les comparant, par exemple, à un algorithmequi choisit, pour la prochaine période, le gestionnaire qui a eu le meilleur rendement l’an-née précédente. Finalement, il serait également intéressant de regarder d’autres approchesnon couvertes dans ce mémoire pour déterminer si un gestionnaire a les talents pour battrele marché. Par exemple, des modèles qui permettent la décomposition de la performanceen utilisant plus d’une fois certains types de régression et en tenant compte du temps, voirAgnesens (2013) . Par ailleurs, il serait intéressant de valider si des variables explicativesautres que celles présentes dans le CAPM et dans le modèle de Fama-French permettentd’améliorer les taux de bonnes classifications afin d’améliorer la précision des résultats. Dansce mémoire, le modèle mixte a seulement été utilisé avec l’approche par prévision. Il seraitintéressant de l’utiliser également avec l’approche par critère en utilisant le test des compa-raisons multiples. Le modèle mixte ayant obtenu d’excellents taux de bonne classificationpourrait éventuellement permettre d’obtenir de meilleures prévisions et d’améliorer le clas-sement des gestionnaires.

77

Annexe A

Résultats pour tous les gestionnairesd’actions

A.1 Approche par critère pour les 12 derniers mois

79

Voici les resultats pour les 12 derniers mois

Gestionnaire Alpha_standardisé Bêta Valeur_P Comparaison

multiple

8 Gest_16 7.1958 0.8302 0 M

10 Gest_18 6.3762 0.7871 0 M

27 Gest_35 4.7656 0.6582 0 M

16 Gest_24 4.1068 0.6742 2e-04 M

15 Gest_23 3.9611 0.8246 3e-04 M

17 Gest_25 3.8263 0.9524 4e-04 M

5 Gest_13 3.6003 0.7009 8e-04 M

19 Gest_27 3.4965 0.6357 0.0011 M

42 Gest_7 3.46 0.7602 0.0013 M

28 Gest_36 3.3749 0.817 0.0016 M

22 Gest_30 3.3153 0.9 0.0019 M

38 Gest_3 3.2605 0.8812 0.0022 M

2 Gest_10 3.211 0.8132 0.0025 M

29 Gest_37 3.077 0.5078 0.0037 M

43 Gest_8 2.9476 0.8526 0.0052 M

6 Gest_14 2.8934 0.9038 0.006 M

9 Gest_17 2.7962 0.7467 0.0078 M

31 Gest_39 2.644 0.8579 0.0115 M

36 Gest_1 2.6139 0.9388 0.0124 M

4 Gest_12 2.6091 0.8458 0.0125 M

20 Gest_28 2.4857 0.6013 0.017 M

1 Gest_9 2.3833 0.9116 0.0218 M

12 Gest_20 2.2299 0.7965 0.0312 -

39 Gest_4 1.9923 0.609 0.0529 -

14 Gest_22 1.9189 0.7094 0.0618 -

13 Gest_21 1.8634 0.836 0.0694 -

30 Gest_38 1.8566 0.8152 0.0704 -

24 Gest_32 1.7988 0.9064 0.0792 -

11 Gest_19 1.7938 0.8885 0.08 -

25 Gest_33 1.7035 0.9401 0.0959 -

37 Gest_2 1.5467 0.7145 0.1294 -

7 Gest_15 1.4219 0.8354 0.1624 -

40 Gest_5 1.401 0.907 0.1686 -

18 Gest_26 1.3609 0.9701 0.1808 -

21 Gest_29 1.3515 0.6838 0.1838 -

26 Gest_34 1.3232 0.8984 0.1929 -

34 Gest_42 1.0381 0.9834 0.3052 -

35 Gest_43 0.7461 0.9698 0.4598 -

41 Gest_6 0.3239 0.9584 0.7476 -

32 Gest_40 0.2962 0.8716 0.7685 -

33 Gest_41 0.2437 1.0241 0.8086 -

23 Gest_31 -1.1193 0.9563 0.2694 -

3 Gest_11 -4.7325 1.2756 0 P

Légende pour comparaison multiple :

M: rendement sign. vraiment meilleur que le marché au seuil de 5 %

P: rendement sign. vraiment moins bon que le marché au seuil de 5 %

-: rendement non sign. par rapport a celui du marché au seuil de 5 %

Nombre de gestionnaire(s) évalué(s): 43

A.2 Approche par critère pour le deuxième modèle

81

Fonction appelée pour les actions :

Action(jeu = act_3, critereAlpha = "rq")

Vous avez choisi l'approche alpha

Voici les résultats pour toutes les données

Gestionnaire Alpha_standardisé Bêta valeur_P Comparaison

multiple

5 Gest_13 1.4233 0.9529 0.162 -

25 Gest_33 1.3715 0.9602 0.1775 -

39 Gest_4 1.0871 0.7037 0.2832 -

14 Gest_22 1.0865 0.9956 0.2835 -

22 Gest_30 1.0715 0.8436 0.2901 -

4 Gest_12 1.0419 0.7793 0.3034 -

27 Gest_35 1.0023 0.7552 0.3219 -

26 Gest_34 0.8762 0.9496 0.3859 -

21 Gest_29 0.8208 0.778 0.4164 -

29 Gest_37 0.7691 0.6173 0.4461 -

17 Gest_25 0.7456 1.0613 0.4601 -

10 Gest_18 0.6256 1.0425 0.535 -

8 Gest_16 0.5993 1.028 0.5522 -

37 Gest_2 0.5581 1.0212 0.5797 -

40 Gest_5 0.5558 1.021 0.5813 -

11 Gest_19 0.5202 0.9885 0.6057 -

6 Gest_14 0.5036 1.0825 0.6172 -

32 Gest_40 0.4338 0.8136 0.6667 -

9 Gest_17 0.3829 0.9375 0.7037 -

43 Gest_8 0.3509 0.9858 0.7274 -

12 Gest_20 0.3174 1.0011 0.7525 -

19 Gest_27 0.262 0.8036 0.7946 -

34 Gest_42 0.1692 1.0144 0.8665 -

20 Gest_28 0.1557 0.8533 0.877 -

23 Gest_31 0.1375 0.9135 0.8913 -

7 Gest_15 0.1255 0.9926 0.9007 -

38 Gest_3 0.1118 1.0365 0.9115 -

35 Gest_43 0.0404 0.9624 0.968 -

42 Gest_7 -0.0196 1.0946 0.9845 -

41 Gest_6 -0.0748 0.9707 0.9407 -

2 Gest_10 -0.1061 0.9507 0.916 -

16 Gest_24 -0.2207 1.075 0.8264 -

15 Gest_23 -0.2993 0.9827 0.7662 -

36 Gest_1 -0.4359 1.0421 0.6651 -

30 Gest_38 -0.5914 0.9 0.5574 -

28 Gest_36 -0.6314 1.0329 0.5312 -

31 Gest_39 -0.677 1.0558 0.5021 -

18 Gest_26 -0.7497 1.0529 0.4576 -

33 Gest_41 -1.0837 1.0971 0.2847 -

13 Gest_21 -1.3793 1.0602 0.1751 -

1 Gest_9 -1.7362 1.0091 0.0899 -

24 Gest_32 -1.7432 0.998 0.0886 -

3 Gest_11 -2.3082 1.3218 0.026 -

Voici les résultats pour les 12 derniers mois

Gestionnaire Alpha_standardisé Bêta Valeur_P Comparaison

multiple

10 Gest_18 2.3006 0.7987 0.0264 -

8 Gest_16 1.6391 0.8474 0.1087 -

22 Gest_30 1.6317 0.8652 0.1102 -

20 Gest_28 1.5269 0.6003 0.1343 -

9 Gest_17 1.4132 0.6527 0.165 -

6 Gest_14 1.1924 0.8824 0.2398 -

16 Gest_24 1.0687 0.7115 0.2913 -

2 Gest_10 1.0274 0.81 0.3101 -

28 Gest_36 0.9736 0.788 0.3358 -

25 Gest_33 0.933 0.8707 0.3562 -

14 Gest_22 0.9255 0.8109 0.36 -

12 Gest_20 0.9212 0.7938 0.3622 -

42 Gest_7 0.909 0.7965 0.3685 -

27 Gest_35 0.9046 0.6828 0.3708 -

13 Gest_21 0.8725 0.8582 0.3879 -

15 Gest_23 0.8266 0.8715 0.4131 -

31 Gest_39 0.8248 0.8454 0.4141 -

5 Gest_13 0.8103 0.7863 0.4223 -

30 Gest_38 0.7081 0.8276 0.4828 -

40 Gest_5 0.6896 0.9274 0.4942 -

1 Gest_9 0.6724 0.8381 0.505 -

29 Gest_37 0.6526 0.5238 0.5176 -

43 Gest_8 0.6406 0.8083 0.5253 -

26 Gest_34 0.6322 0.8451 0.5307 -

21 Gest_29 0.619 0.5978 0.5393 -

19 Gest_27 0.6101 0.6827 0.5451 -

35 Gest_43 0.6087 0.9075 0.546 -

17 Gest_25 0.59 0.9977 0.5584 -

32 Gest_40 0.5588 0.8121 0.5793 -

34 Gest_42 0.5374 0.9747 0.5938 -

4 Gest_12 0.5147 0.6647 0.6095 -

38 Gest_3 0.4974 0.9498 0.6215 -

39 Gest_4 0.4754 0.7808 0.637 -

11 Gest_19 0.4444 0.8841 0.659 -

36 Gest_1 0.4115 0.9005 0.6828 -

24 Gest_32 0.4097 0.9327 0.6841 -

41 Gest_6 0.3977 0.8838 0.6929 -

33 Gest_41 0.2903 0.9883 0.773 -

7 Gest_15 0.2418 0.8688 0.8101 -

37 Gest_2 0.1016 1.0392 0.9196 -

23 Gest_31 -0.0442 0.9251 0.965 -

18 Gest_26 -0.0925 1.1836 0.9267 -

3 Gest_11 -0.3354 1.141 0.739 -

Légende pour comparaison multiple :

M: rendement sign. vraiment meilleur que le marché au seuil de 5 %

P: rendement sign. vraiment moins bon que le marché au seuil de 5 %

-: rendement non sign. par rapport a celui du marché au seuil de 5 %

Nombre de gestionnaire(s) evalué(s): 43

A.3 Approche par prévision

84

Modèle de régression quantile avec coefficient bêta non fixé et erreurs

(i.i.d.)

Fonction appelée pour les actions :

Action(jeu = act_3, approche = "prevision")

Vous avez choisi l'approche prévision

Les rendements du marché utilisés pour calculer les prévisions sont :

Index

25% -0.01785

50% 0.01010

75% 0.03245

dernier 0.01090

Les résultats sont les suivants:

$Prediction_25

Gestionnaire L Pédiction U

[1,] "Gest_2" "-0.020512" "-0.01264" "-0.004706"

[2,] "Gest_13" "-0.01784" "-0.012675" "-0.007484"

[3,] "Gest_35" "-0.018436" "-0.014098" "-0.009741"

[4,] "Gest_30" "-0.02123" "-0.014281" "-0.007282"

[5,] "Gest_22" "-0.017032" "-0.014508" "-0.011978"

[6,] "Gest_4" "-0.020945" "-0.014515" "-0.008043"

[7,] "Gest_34" "-0.019594" "-0.01515" "-0.010687"

[8,] "Gest_16" "-0.018951" "-0.015186" "-0.011405"

[9,] "Gest_33" "-0.018365" "-0.01527" "-0.012166"

[10,] "Gest_29" "-0.02125" "-0.015765" "-0.010248"

[11,] "Gest_17" "-0.019984" "-0.016211" "-0.012424"

[12,] "Gest_18" "-0.018226" "-0.016335" "-0.014441"

[13,] "Gest_25" "-0.018177" "-0.01635" "-0.01452"

[14,] "Gest_14" "-0.020043" "-0.016375" "-0.012694"

[15,] "Gest_12" "-0.020519" "-0.016518" "-0.0125"

[16,] "Gest_5" "-0.020027" "-0.016559" "-0.013078"

[17,] "Gest_40" "-0.019304" "-0.016652" "-0.013994"

[18,] "Gest_8" "-0.02031" "-0.016706" "-0.013088"

[19,] "Gest_19" "-0.018381" "-0.016854" "-0.015325"

[20,] "Gest_3" "-0.019337" "-0.016954" "-0.014566"

[21,] "Gest_20" "-0.01897" "-0.01701" "-0.015046"

[22,] "Gest_7" "-0.019595" "-0.017057" "-0.014513"

[23,] "Gest_31" "-0.019878" "-0.01726" "-0.014635"

[24,] "Gest_43" "-0.019754" "-0.017636" "-0.015514"

[25,] "Gest_24" "-0.019884" "-0.017646" "-0.015403"

[26,] "Gest_42" "-0.018768" "-0.017718" "-0.016667"

[27,] "Gest_15" "-0.019532" "-0.017843" "-0.016151"

[28,] "Gest_27" "-0.020307" "-0.017849" "-0.015384"

[29,] "Gest_6" "-0.019388" "-0.017993" "-0.016596"

[30,] "Gest_28" "-0.022709" "-0.018034" "-0.013337"

[31,] "Gest_39" "-0.019257" "-0.018112" "-0.016965"

[32,] "Gest_41" "-0.020433" "-0.018145" "-0.01585"

[33,] "Gest_10" "-0.01988" "-0.018426" "-0.016969"

[34,] "Gest_21" "-0.020721" "-0.018445" "-0.016165"

[35,] "Gest_37" "-0.028096" "-0.018479" "-0.008766"

[36,] "Gest_36" "-0.019963" "-0.01851" "-0.017056"

[37,] "Gest_23" "-0.020799" "-0.018533" "-0.016261"

[38,] "Gest_26" "-0.020787" "-0.019109" "-0.017429"

[39,] "Gest_38" "-0.022052" "-0.01914" "-0.016219"

[40,] "Gest_1" "-0.023253" "-0.019375" "-0.015482"

[41,] "Gest_9" "-0.020835" "-0.019793" "-0.01875"

[42,] "Gest_32" "-0.021152" "-0.019795" "-0.018437"

[43,] "Gest_11" "-0.025759" "-0.021677" "-0.017578"

$Prediction_50

Gestionnaire L Pédiction U

[1,] "Gest_2" "0.007251" "0.015346" "0.023505"

[2,] "Gest_13" "0.009999" "0.015309" "0.020648"

[3,] "Gest_35" "0.009386" "0.013846" "0.018327"

[4,] "Gest_30" "0.006512" "0.013659" "0.020856"

[5,] "Gest_22" "0.010829" "0.013425" "0.016027"

[6,] "Gest_4" "0.006805" "0.013418" "0.020073"

[7,] "Gest_34" "0.008195" "0.012765" "0.017355"

[8,] "Gest_16" "0.008856" "0.012728" "0.016616"

[9,] "Gest_33" "0.009458" "0.012641" "0.015833"

[10,] "Gest_29" "0.006492" "0.012133" "0.017806"

[11,] "Gest_17" "0.007794" "0.011673" "0.015568"

[12,] "Gest_18" "0.009602" "0.011546" "0.013494"

[13,] "Gest_25" "0.009652" "0.011531" "0.013413"

[14,] "Gest_14" "0.007733" "0.011505" "0.015291"

[15,] "Gest_12" "0.007244" "0.011358" "0.01549"

[16,] "Gest_5" "0.00775" "0.011316" "0.014896"

[17,] "Gest_40" "0.008494" "0.01122" "0.013954"

[18,] "Gest_8" "0.007459" "0.011165" "0.014885"

[19,] "Gest_19" "0.009442" "0.011012" "0.012585"

[20,] "Gest_3" "0.008459" "0.010909" "0.013366"

[21,] "Gest_20" "0.008836" "0.010852" "0.012871"

[22,] "Gest_7" "0.008194" "0.010803" "0.01342"

[23,] "Gest_31" "0.007903" "0.010595" "0.013294"

[24,] "Gest_43" "0.00803" "0.010208" "0.012391"

[25,] "Gest_24" "0.007897" "0.010198" "0.012505"

[26,] "Gest_42" "0.009045" "0.010124" "0.011205"

[27,] "Gest_15" "0.008259" "0.009996" "0.011736"

[28,] "Gest_27" "0.007461" "0.009989" "0.012524"

[29,] "Gest_6" "0.008407" "0.009841" "0.011277"

[30,] "Gest_28" "0.004991" "0.009799" "0.01463"

[31,] "Gest_39" "0.008541" "0.009719" "0.010899"

[32,] "Gest_41" "0.007332" "0.009685" "0.012045"

[33,] "Gest_10" "0.007901" "0.009396" "0.010894"

[34,] "Gest_21" "0.007036" "0.009376" "0.011722"

[35,] "Gest_37" "-0.000548" "0.009342" "0.019329"

[36,] "Gest_36" "0.007816" "0.009309" "0.010805"

[37,] "Gest_23" "0.006955" "0.009286" "0.011622"

[38,] "Gest_26" "0.006968" "0.008693" "0.010422"

[39,] "Gest_38" "0.005668" "0.008662" "0.011665"

[40,] "Gest_1" "0.004432" "0.00842" "0.012424"

[41,] "Gest_9" "0.006919" "0.007991" "0.009063"

[42,] "Gest_32" "0.006593" "0.007988" "0.009384"

[43,] "Gest_11" "0.001855" "0.006053" "0.010268"

$Prediction_75

Gestionnaire L Pédiction U

[1,] "Gest_2" "0.030017" "0.038294" "0.046638"

[2,] "Gest_13" "0.032826" "0.038257" "0.043717"

[3,] "Gest_35" "0.032199" "0.036761" "0.041343"

[4,] "Gest_30" "0.029261" "0.036569" "0.043929"

[5,] "Gest_22" "0.033675" "0.03633" "0.038991"

[6,] "Gest_4" "0.029561" "0.036322" "0.043129"

[7,] "Gest_34" "0.030982" "0.035655" "0.040349"

[8,] "Gest_16" "0.031657" "0.035617" "0.039593"

[9,] "Gest_33" "0.032274" "0.035528" "0.038793"

[10,] "Gest_29" "0.02924" "0.035009" "0.04081"

[11,] "Gest_17" "0.030571" "0.034539" "0.038522"

[12,] "Gest_18" "0.032421" "0.034409" "0.036401"

[13,] "Gest_25" "0.032472" "0.034393" "0.036318"

[14,] "Gest_14" "0.03051" "0.034367" "0.038238"

[15,] "Gest_12" "0.030009" "0.034217" "0.038441"

[16,] "Gest_5" "0.030526" "0.034174" "0.037834"

[17,] "Gest_40" "0.031287" "0.034075" "0.036871"

[18,] "Gest_8" "0.030229" "0.034019" "0.037823"

[19,] "Gest_19" "0.032258" "0.033863" "0.035471"

[20,] "Gest_3" "0.031252" "0.033758" "0.036269"

[21,] "Gest_20" "0.031638" "0.033699" "0.035764"

[22,] "Gest_7" "0.030981" "0.033649" "0.036324"

[23,] "Gest_31" "0.030683" "0.033436" "0.036196"

[24,] "Gest_43" "0.030814" "0.03304" "0.035272"

[25,] "Gest_24" "0.030677" "0.033031" "0.035389"

[26,] "Gest_42" "0.031851" "0.032955" "0.03406"

[27,] "Gest_15" "0.031047" "0.032823" "0.034603"

[28,] "Gest_27" "0.030231" "0.032817" "0.035409"

[29,] "Gest_6" "0.031199" "0.032665" "0.034134"

[30,] "Gest_28" "0.027706" "0.032622" "0.037562"

[31,] "Gest_39" "0.031336" "0.03254" "0.033747"

[32,] "Gest_41" "0.030099" "0.032506" "0.034918"

[33,] "Gest_10" "0.030681" "0.03221" "0.033742"

[34,] "Gest_21" "0.029797" "0.03219" "0.034588"

[35,] "Gest_37" "0.022041" "0.032154" "0.042368"

[36,] "Gest_36" "0.030594" "0.032121" "0.033651"

[37,] "Gest_23" "0.029714" "0.032098" "0.034486"

[38,] "Gest_26" "0.029727" "0.031492" "0.033259"

[39,] "Gest_38" "0.028397" "0.031459" "0.034531"

[40,] "Gest_1" "0.027134" "0.031212" "0.035306"

[41,] "Gest_9" "0.029677" "0.030773" "0.03187"

[42,] "Gest_32" "0.029344" "0.03077" "0.032198"

[43,] "Gest_11" "0.024498" "0.028791" "0.033102"

$Prediction_dernier

Gestionnaire L Pédiction U

[1,] "Gest_2" "0.008057" "0.016158" "0.024324"

[2,] "Gest_13" "0.010807" "0.016122" "0.021465"

[3,] "Gest_35" "0.010193" "0.014658" "0.019142"

[4,] "Gest_30" "0.007318" "0.01447" "0.021673"

[5,] "Gest_22" "0.011638" "0.014236" "0.01684"

[6,] "Gest_4" "0.007611" "0.014229" "0.02089"

[7,] "Gest_34" "0.009002" "0.013575" "0.018169"

[8,] "Gest_16" "0.009663" "0.013539" "0.017429"

[9,] "Gest_33" "0.010266" "0.013451" "0.016646"

[10,] "Gest_29" "0.007297" "0.012943" "0.01862"

[11,] "Gest_17" "0.0086" "0.012483" "0.016381"

[12,] "Gest_18" "0.01041" "0.012356" "0.014305"

[13,] "Gest_25" "0.01046" "0.01234" "0.014224"

[14,] "Gest_14" "0.00854" "0.012315" "0.016103"

[15,] "Gest_12" "0.00805" "0.012168" "0.016302"

[16,] "Gest_5" "0.008556" "0.012126" "0.015708"

[17,] "Gest_40" "0.009301" "0.012029" "0.014765"

[18,] "Gest_8" "0.008265" "0.011974" "0.015697"

[19,] "Gest_19" "0.01025" "0.011821" "0.013395"

[20,] "Gest_3" "0.009266" "0.011718" "0.014177"

[21,] "Gest_20" "0.009644" "0.011661" "0.013682"

[22,] "Gest_7" "0.009001" "0.011612" "0.014231"

[23,] "Gest_31" "0.008709" "0.011404" "0.014105"

[24,] "Gest_43" "0.008837" "0.011017" "0.013201"

[25,] "Gest_24" "0.008704" "0.011007" "0.013315"

[26,] "Gest_42" "0.009852" "0.010933" "0.012014"

[27,] "Gest_15" "0.009066" "0.010804" "0.012545"

[28,] "Gest_27" "0.008267" "0.010798" "0.013334"

[29,] "Gest_6" "0.009214" "0.010649" "0.012087"

[30,] "Gest_28" "0.005795" "0.010607" "0.015442"

[31,] "Gest_39" "0.009348" "0.010527" "0.011708"

[32,] "Gest_41" "0.008138" "0.010494" "0.012855"

[33,] "Gest_10" "0.008707" "0.010204" "0.011703"

[34,] "Gest_21" "0.007842" "0.010184" "0.012531"

[35,] "Gest_37" "0.000251" "0.010149" "0.020145"

[36,] "Gest_36" "0.008622" "0.010117" "0.011614"

[37,] "Gest_23" "0.007761" "0.010094" "0.012432"

[38,] "Gest_26" "0.007774" "0.009501" "0.01123"

[39,] "Gest_38" "0.006473" "0.009469" "0.012475"

[40,] "Gest_1" "0.005236" "0.009227" "0.013234"

[41,] "Gest_9" "0.007725" "0.008797" "0.009871"

[42,] "Gest_32" "0.007399" "0.008795" "0.010192"

[43,] "Gest_11" "0.002656" "0.006858" "0.011077"

Nombre de gestionnaire(s) évalué(s): 43

Annexe B

Résultats pour tous les gestionnairesd’obligations

B.1 Approche par critère pour les 12 derniers mois

89

Modèle de régression quantile coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.

Voici les resultats pour les 12 derniers mois

gestionnaire Alpha_standardisé P_value Comparaison

multiple

16 Gest_21 4.7804 0 M

19 Gest_24 2.9521 0.0058 -

31 Gest_2 2.8723 0.0071 -

32 Gest_3 2.7332 0.01 -

12 Gest_17 2.6685 0.0117 -

20 Gest_25 2.1418 0.0397 -

25 Gest_30 2.0996 0.0435 -

26 Gest_31 1.9857 0.0554 -

13 Gest_18 1.9136 0.0644 -

7 Gest_12 1.5041 0.1421 -

6 Gest_11 1.3385 0.1899 -

18 Gest_23 1.2099 0.2349 -

8 Gest_13 1.0753 0.29 -

15 Gest_20 0.7611 0.452 -

23 Gest_28 0.7437 0.4623 -

27 Gest_32 0.6298 0.5332 -

4 Gest_9 0.3655 0.7171 -

21 Gest_26 0.32 0.751 -

17 Gest_22 0.2306 0.819 -

29 Gest_34 0.1323 0.8956 -

14 Gest_19 0.1311 0.8965 -

3 Gest_8 -1.7531 0.0889 -

2 Gest_7 -1.3617 0.1825 -

28 Gest_33 -1.046 0.3032 -

34 Gest_5 -1.0245 0.3131 -

11 Gest_16 -0.8411 0.4063 -

30 Gest_1 -0.4045 0.6885 -

33 Gest_4 -0.3582 0.7225 -

22 Gest_27 -0.3236 0.7483 -

10 Gest_15 -0.3137 0.7557 -

9 Gest_14 -0.3024 0.7642 -

5 Gest_10 -0.2918 0.7723 -

1 Gest_6 -0.2724 0.787 -

24 Gest_29 -0.0133 0.9895 -

Legende pour comparaison multiple :

M: rendement sign. vraiment meilleur que le marche au seuil de 5 %

P: rendement sign. vraiment moins bon que le marche au seuil de 5 %

-: rendement non sign. par rapport a celui du marche au seuil de 5 %

Nombre de gestionnaire(s) evalue(s): 34

B.2 Approche par critère pour le deuxième modèle

91

Modèle de régression linéaire avec coefficient bêta fixé et erreurs

i.i.d.

Fonction appelee pour les obligations :

Obligation(jeu = obl_3, approche = "alpha", critereAlpha = "lm")

Vous avez choisi l'approche alpha

Voici les résultats pour toutes les données

Gestionnaire Alpha_standardise Valeur_P Comparaison

multiple

33 Gest_4 3.6364 9e-04 M

24 Gest_29 2.2594 0.0306 -

12 Gest_17 2.0602 0.0473 -

8 Gest_13 1.9669 0.0576 -

16 Gest_21 1.6824 0.1019 -

11 Gest_16 1.6475 0.1089 -

34 Gest_5 1.5701 0.1259 -

15 Gest_20 1.3136 0.198 -

21 Gest_26 1.2214 0.2306 -

7 Gest_12 1.1503 0.2583 -

18 Gest_23 1.0546 0.2993 -

4 Gest_9 1.0505 0.3011 -

29 Gest_34 1.002 0.3236 -

31 Gest_2 0.92 0.3642 -

1 Gest_6 0.884 0.3831 -

23 Gest_28 0.8471 0.403 -

17 Gest_22 0.8048 0.4267 -

25 Gest_30 0.7855 0.4378 -

9 Gest_14 0.7385 0.4654 -

10 Gest_15 0.7385 0.4654 -

28 Gest_33 0.7337 0.4683 -

27 Gest_32 0.6888 0.4958 -

6 Gest_11 0.6755 0.5041 -

22 Gest_27 0.6446 0.5236 -

20 Gest_25 0.5279 0.6011 -

13 Gest_18 0.4302 0.6698 -

26 Gest_31 0.3926 0.6971 -

14 Gest_19 0.2617 0.7952 -

3 Gest_8 -1.0178 0.3162 -

19 Gest_24 -0.7238 0.4743 -

2 Gest_7 -0.482 0.633 -

5 Gest_10 -0.357 0.7234 -

30 Gest_1 -0.3563 0.7239 -

32 Gest_3 -0.3151 0.7547 -

Voici les résultats pour les 12 derniers mois

gestionnaire Alpha_standardise Valeur_P Comparaison

multiple

12 Gest_17 4.726 0 M

16 Gest_21 4.1506 2e-04 M

19 Gest_24 3.9672 4e-04 M

26 Gest_31 2.2934 0.0283 -

25 Gest_30 2.2161 0.0337 -

13 Gest_18 2.1777 0.0367 -

31 Gest_2 1.5165 0.1389 -

32 Gest_3 1.4778 0.1489 -

18 Gest_23 1.2203 0.231 -

8 Gest_13 0.8265 0.4145 -

24 Gest_29 0.711 0.4821 -

6 Gest_11 0.6543 0.5175 -

15 Gest_20 0.6493 0.5206 -

20 Gest_25 0.6181 0.5408 -

23 Gest_28 0.5891 0.5598 -

7 Gest_12 0.3241 0.7479 -

17 Gest_22 0.3016 0.7648 -

14 Gest_19 0.204 0.8396 -

29 Gest_34 0.1387 0.8905 -

21 Gest_26 0.0621 0.9509 -

3 Gest_8 -2.0308 0.0504 -

11 Gest_16 -1.131 0.2662 -

34 Gest_5 -1.123 0.2695 -

5 Gest_10 -0.9482 0.3499 -

2 Gest_7 -0.9368 0.3557 -

30 Gest_1 -0.7427 0.4629 -

28 Gest_33 -0.7184 0.4776 -

33 Gest_4 -0.7005 0.4885 -

22 Gest_27 -0.6838 0.4989 -

9 Gest_14 -0.554 0.5833 -

10 Gest_15 -0.554 0.5833 -

1 Gest_6 -0.3951 0.6953 -

27 Gest_32 -0.3672 0.7158 -

4 Gest_9 -0.3127 0.7565 -

Légende pour Comparaison multiple

:

M: rendement sign. vraiment meilleur que le marché au seuil de 5 %

P: rendement sign. vraiment moins bon que le marché au seuil de 5 %

-: rendement non sign. par rapport a celui du marché au seuil de 5 %

Nombre de gestionnaire(s) evalué(s): 34

B.3 Approche par prévision

94

Modèle de régression linéaire coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2)

Fonction appelée pour les obligations :

Obligation(jeu = obl_3)

Vous avez choisi l'approche prévision

Les rendements du marché utilises pour calculer les prévisions sont :

Index

25% -0.0038

50% 0.0026

75% 0.0089

dernier -0.0033

Les résultats sont les suivants:

$Prediction_25

Gestionnaire L Prévision U

[1,] "Gest_2" "-0.014574" "-0.000161" "0.01441"

[2,] "Gest_3" "-0.007795" "-0.002196" "0.003426"

[3,] "Gest_31" "-0.007534" "-0.002668" "0.002216"

[4,] "Gest_21" "-0.006418" "-0.002752" "0.000924"

[5,] "Gest_23" "-0.007691" "-0.002761" "0.002188"

[6,] "Gest_6" "-0.008585" "-0.002833" "0.002945"

[7,] "Gest_28" "-0.01017" "-0.002901" "0.004408"

[8,] "Gest_13" "-0.006485" "-0.003011" "0.000472"

[9,] "Gest_30" "-0.009108" "-0.003041" "0.003054"

[10,] "Gest_34" "-0.006089" "-0.00306" "-2.4e-05"

[11,] "Gest_18" "-0.00872" "-0.00308" "0.002584"

[12,] "Gest_10" "-0.007783" "-0.003121" "0.001557"

[13,] "Gest_17" "-0.005627" "-0.003172" "-0.000712"

[14,] "Gest_1" "-0.006474" "-0.003172" "0.000137"

[15,] "Gest_12" "-0.00668" "-0.003276" "0.000137"

[16,] "Gest_26" "-0.008288" "-0.003321" "0.001664"

[17,] "Gest_20" "-0.006655" "-0.003416" "-0.00017"

[18,] "Gest_24" "-0.008746" "-0.003441" "0.001886"

[19,] "Gest_19" "-0.006131" "-0.003444" "-0.000751"

[20,] "Gest_32" "-0.007015" "-0.003451" "0.000123"

[21,] "Gest_4" "-0.005654" "-0.003464" "-0.001271"

[22,] "Gest_14" "-0.005943" "-0.003466" "-0.000984"

[23,] "Gest_15" "-0.005943" "-0.003466" "-0.000984"

[24,] "Gest_29" "-0.006943" "-0.003557" "-0.000162"

[25,] "Gest_25" "-0.005325" "-0.003563" "-0.001798"

[26,] "Gest_22" "-0.006815" "-0.003586" "-0.000348"

[27,] "Gest_11" "-0.006113" "-0.003661" "-0.001204"

[28,] "Gest_33" "-0.006244" "-0.003672" "-0.001095"

[29,] "Gest_27" "-0.006335" "-0.003768" "-0.001196"

[30,] "Gest_9" "-0.006066" "-0.003856" "-0.001643"

[31,] "Gest_8" "-0.006786" "-0.003889" "-0.000985"

[32,] "Gest_7" "-0.006487" "-0.003951" "-0.00141"

[33,] "Gest_16" "-0.012476" "-0.004238" "0.004051"

[34,] "Gest_5" "-0.012179" "-0.004296" "0.003635"

$Prediction_50

Gestionnaire L Prévision U

[1,] "Gest_2" "-0.009813" "0.004671" "0.019311"

[2,] "Gest_16" "-0.00463" "0.003674" "0.012029"

[3,] "Gest_5" "-0.004322" "0.003624" "0.011618"

[4,] "Gest_18" "-0.002272" "0.003405" "0.009105"

[5,] "Gest_21" "-0.000373" "0.003315" "0.007014"

[6,] "Gest_31" "-0.001638" "0.003257" "0.00817"

[7,] "Gest_23" "-0.001755" "0.003205" "0.008184"

[8,] "Gest_26" "-0.001817" "0.003183" "0.008201"

[9,] "Gest_29" "-0.000233" "0.003176" "0.006594"

[10,] "Gest_13" "-0.000348" "0.003148" "0.006652"

[11,] "Gest_6" "-0.002649" "0.003138" "0.00895"

[12,] "Gest_12" "-0.000325" "0.003101" "0.006536"

[13,] "Gest_4" "0.000882" "0.003086" "0.005294"

[14,] "Gest_9" "0.000769" "0.002994" "0.005222"

[15,] "Gest_10" "-0.001712" "0.002978" "0.007685"

[16,] "Gest_17" "0.000494" "0.002964" "0.005439"

[17,] "Gest_34" "-0.000117" "0.00293" "0.005984"

[18,] "Gest_30" "-0.003183" "0.00292" "0.009052"

[19,] "Gest_14" "0.00037" "0.002863" "0.00536"

[20,] "Gest_15" "0.00037" "0.002863" "0.00536"

[21,] "Gest_11" "0.000384" "0.002853" "0.005326"

[22,] "Gest_32" "-0.000769" "0.002818" "0.006414"

[23,] "Gest_19" "0.000105" "0.00281" "0.005519"

[24,] "Gest_20" "-0.000457" "0.002802" "0.006069"

[25,] "Gest_28" "-0.004574" "0.002737" "0.010087"

[26,] "Gest_27" "0.000152" "0.002735" "0.005324"

[27,] "Gest_22" "-0.000527" "0.002723" "0.005981"

[28,] "Gest_25" "0.000915" "0.002689" "0.004464"

[29,] "Gest_1" "-0.000636" "0.002685" "0.006014"

[30,] "Gest_7" "7.5e-05" "0.002628" "0.005186"

[31,] "Gest_33" "-7.4e-05" "0.002514" "0.005107"

[32,] "Gest_24" "-0.002867" "0.00247" "0.007828"

[33,] "Gest_8" "-0.00047" "0.002446" "0.005368"

[34,] "Gest_3" "-0.003348" "0.002275" "0.007923"

$Prediction_75

Gestionnaire L Prévision U

[1,] "Gest_16" "0.003155" "0.011524" "0.019944"

[2,] "Gest_5" "0.003473" "0.011482" "0.019538"

[3,] "Gest_29" "0.006417" "0.009848" "0.013289"

[4,] "Gest_18" "0.004117" "0.00983" "0.015567"

[5,] "Gest_9" "0.007543" "0.009783" "0.012026"

[6,] "Gest_26" "0.004595" "0.009627" "0.014677"

[7,] "Gest_4" "0.007357" "0.009576" "0.011798"

[8,] "Gest_2" "-0.005103" "0.009449" "0.02416"

[9,] "Gest_12" "0.00597" "0.009418" "0.012875"

[10,] "Gest_21" "0.005613" "0.009324" "0.013044"

[11,] "Gest_11" "0.006822" "0.009306" "0.011795"

[12,] "Gest_13" "0.00573" "0.009247" "0.012773"

[13,] "Gest_27" "0.006578" "0.009178" "0.011784"

[14,] "Gest_7" "0.006577" "0.009147" "0.011721"

[15,] "Gest_14" "0.006624" "0.009132" "0.011645"

[16,] "Gest_15" "0.006624" "0.009132" "0.011645"

[17,] "Gest_31" "0.0042" "0.009123" "0.014065"

[18,] "Gest_23" "0.004124" "0.009113" "0.014121"

[19,] "Gest_6" "0.003229" "0.00905" "0.014897"

[20,] "Gest_17" "0.006556" "0.009041" "0.011531"

[21,] "Gest_32" "0.005418" "0.009027" "0.012646"

[22,] "Gest_10" "0.0043" "0.009018" "0.013753"

[23,] "Gest_19" "0.006283" "0.009004" "0.01173"

[24,] "Gest_22" "0.005702" "0.008972" "0.01225"

[25,] "Gest_20" "0.005682" "0.008961" "0.012248"

[26,] "Gest_25" "0.007096" "0.00888" "0.010667"

[27,] "Gest_34" "0.005796" "0.008861" "0.011933"

[28,] "Gest_30" "0.002684" "0.008823" "0.014991"

[29,] "Gest_8" "0.005786" "0.00872" "0.01166"

[30,] "Gest_33" "0.006036" "0.00864" "0.011249"

[31,] "Gest_1" "0.005144" "0.008485" "0.011833"

[32,] "Gest_24" "0.002955" "0.008323" "0.013712"

[33,] "Gest_28" "0.000967" "0.008318" "0.015709"

[34,] "Gest_3" "0.001048" "0.006697" "0.012369"

$Prediction_dernier

Gestionnaire L Prévision U

[1,] "Gest_2" "-0.014203" "0.000216" "0.014792"

[2,] "Gest_3" "-0.007448" "-0.001848" "0.003776"

[3,] "Gest_31" "-0.007074" "-0.002206" "0.00268"

[4,] "Gest_21" "-0.005947" "-0.002279" "0.001399"

[5,] "Gest_23" "-0.007229" "-0.002296" "0.002655"

[6,] "Gest_6" "-0.008123" "-0.002367" "0.003413"

[7,] "Gest_28" "-0.009734" "-0.002462" "0.004851"

[8,] "Gest_13" "-0.006007" "-0.002531" "0.000954"

[9,] "Gest_18" "-0.008218" "-0.002575" "0.003092"

[10,] "Gest_30" "-0.008647" "-0.002577" "0.003521"

[11,] "Gest_34" "-0.005623" "-0.002593" "0.000444"

[12,] "Gest_10" "-0.00731" "-0.002646" "0.002034"

[13,] "Gest_17" "-0.005151" "-0.002694" "-0.000233"

[14,] "Gest_1" "-0.006019" "-0.002716" "0.000595"

[15,] "Gest_12" "-0.006185" "-0.002779" "0.000636"

[16,] "Gest_26" "-0.007784" "-0.002815" "0.002173"

[17,] "Gest_20" "-0.006172" "-0.002932" "0.000316"

[18,] "Gest_4" "-0.005145" "-0.002954" "-0.000759"

[19,] "Gest_19" "-0.005645" "-0.002957" "-0.000263"

[20,] "Gest_32" "-0.006529" "-0.002963" "0.000613"

[21,] "Gest_14" "-0.005451" "-0.002973" "-0.00049"

[22,] "Gest_15" "-0.005451" "-0.002973" "-0.00049"

[23,] "Gest_24" "-0.008288" "-0.00298" "0.002349"

[24,] "Gest_29" "-0.006421" "-0.003033" "0.000364"

[25,] "Gest_25" "-0.004839" "-0.003076" "-0.00131"

[26,] "Gest_22" "-0.006325" "-0.003094" "0.000145"

[27,] "Gest_11" "-0.005607" "-0.003154" "-0.000695"

[28,] "Gest_33" "-0.005763" "-0.00319" "-0.000611"

[29,] "Gest_27" "-0.005829" "-0.003261" "-0.000688"

[30,] "Gest_9" "-0.005533" "-0.003323" "-0.001108"

[31,] "Gest_8" "-0.006294" "-0.003395" "-0.00049"

[32,] "Gest_7" "-0.005976" "-0.003439" "-0.000896"

[33,] "Gest_16" "-0.011865" "-0.003622" "0.004672"

[34,] "Gest_5" "-0.011568" "-0.003679" "0.004256"

Nombre de gestionnaire(s) évalué(s): 34

B.4 Approche par prévision pour le deuxième modèle

98

Modèle de régression linéaire avec coefficient bêta non fixé et erreurs

i.i.d.

Fonction appelée pour les obligations :

Obligation(jeu = obl_3, criterePrev = "lm")

Vous avez choisi l'approche prévision

Les rendements du marché utilisés pour calculer les prévisions sont :

Index

25% -0.0038

50% 0.0026

75% 0.0089

dernier -0.0033

Les résultats sont les suivants:

$Prediction_25

Gestionnaire L Prévision U

[1,] "Gest_2" "-0.003201" "-0.001322" "0.000503"

[2,] "Gest_3" "-0.002947" "-0.00219" "-0.001443"

[3,] "Gest_28" "-0.003866" "-0.002814" "-0.001779"

[4,] "Gest_23" "-0.003762" "-0.003068" "-0.002382"

[5,] "Gest_31" "-0.003891" "-0.003077" "-0.002274"

[6,] "Gest_21" "-0.003593" "-0.003093" "-0.002597"

[7,] "Gest_6" "-0.003856" "-0.003121" "-0.002395"

[8,] "Gest_30" "-0.003988" "-0.003194" "-0.002409"

[9,] "Gest_17" "-0.003596" "-0.003206" "-0.002817"

[10,] "Gest_13" "-0.003699" "-0.003232" "-0.002769"

[11,] "Gest_34" "-0.003693" "-0.003292" "-0.002894"

[12,] "Gest_1" "-0.003899" "-0.003402" "-0.002909"

[13,] "Gest_20" "-0.003902" "-0.003465" "-0.003031"

[14,] "Gest_4" "-0.003762" "-0.003488" "-0.003216"

[15,] "Gest_24" "-0.00437" "-0.003507" "-0.002656"

[16,] "Gest_33" "-0.00387" "-0.003523" "-0.003178"

[17,] "Gest_12" "-0.004027" "-0.003545" "-0.003068"

[18,] "Gest_26" "-0.004231" "-0.003556" "-0.002888"

[19,] "Gest_19" "-0.003919" "-0.003561" "-0.003205"

[20,] "Gest_32" "-0.00405" "-0.003565" "-0.003084"

[21,] "Gest_22" "-0.003986" "-0.003583" "-0.003182"

[22,] "Gest_10" "-0.0043" "-0.003613" "-0.002934"

[23,] "Gest_25" "-0.00388" "-0.003637" "-0.003395"

[24,] "Gest_14" "-0.00395" "-0.00364" "-0.003332"

[25,] "Gest_15" "-0.00395" "-0.00364" "-0.003332"

[26,] "Gest_29" "-0.004082" "-0.003654" "-0.003229"

[27,] "Gest_18" "-0.004587" "-0.003793" "-0.003009"

[28,] "Gest_27" "-0.00412" "-0.003801" "-0.003483"

[29,] "Gest_11" "-0.004136" "-0.003809" "-0.003485"

[30,] "Gest_8" "-0.004256" "-0.003896" "-0.003537"

[31,] "Gest_7" "-0.004318" "-0.003994" "-0.003672"

[32,] "Gest_9" "-0.004345" "-0.004064" "-0.003785"

[33,] "Gest_16" "-0.00536" "-0.004287" "-0.003232"

[34,] "Gest_5" "-0.005376" "-0.004361" "-0.003361"

$Prediction_50

Gestionnaire L Prévision U

[1,] "Gest_16" "0.002658" "0.00359" "0.004505"

[2,] "Gest_5" "0.002632" "0.003515" "0.004381"

[3,] "Gest_2" "0.001647" "0.003277" "0.004851"

[4,] "Gest_29" "0.002693" "0.003064" "0.003432"

[5,] "Gest_4" "0.002817" "0.003055" "0.003291"

[6,] "Gest_13" "0.002587" "0.002991" "0.003392"

[7,] "Gest_26" "0.002388" "0.002974" "0.003552"

[8,] "Gest_28" "0.002043" "0.002956" "0.003851"

[9,] "Gest_17" "0.002604" "0.002943" "0.003279"

[10,] "Gest_21" "0.00249" "0.002931" "0.003369"

[11,] "Gest_23" "0.002296" "0.002897" "0.003492"

[12,] "Gest_6" "0.002224" "0.002861" "0.00349"

[13,] "Gest_30" "0.002164" "0.002853" "0.003532"

[14,] "Gest_20" "0.002468" "0.002846" "0.003222"

[15,] "Gest_12" "0.002426" "0.002843" "0.003257"

[16,] "Gest_9" "0.002547" "0.002791" "0.003033"

[17,] "Gest_18" "0.00208" "0.002769" "0.003448"

[18,] "Gest_34" "0.002413" "0.00276" "0.003105"

[19,] "Gest_32" "0.002322" "0.002743" "0.00316"

[20,] "Gest_22" "0.00239" "0.002739" "0.003086"

[21,] "Gest_11" "0.002427" "0.00271" "0.002991"

[22,] "Gest_31" "0.001998" "0.002703" "0.003398"

[23,] "Gest_33" "0.002402" "0.002703" "0.003001"

[24,] "Gest_27" "0.002425" "0.002702" "0.002977"

[25,] "Gest_14" "0.00243" "0.002699" "0.002965"

[26,] "Gest_15" "0.00243" "0.002699" "0.002965"

[27,] "Gest_25" "0.002441" "0.002652" "0.002861"

[28,] "Gest_19" "0.002319" "0.00263" "0.002938"

[29,] "Gest_7" "0.002267" "0.002547" "0.002826"

[30,] "Gest_1" "0.002053" "0.002483" "0.00291"

[31,] "Gest_10" "0.001881" "0.002476" "0.003064"

[32,] "Gest_8" "0.002129" "0.002441" "0.002752"

[33,] "Gest_3" "0.001662" "0.002317" "0.002963"

[34,] "Gest_24" "0.001536" "0.002284" "0.00302"

$Prediction_75

Gestionnaire L Prévision U

[1,] "Gest_16" "0.01027" "0.011406" "0.012523"

[2,] "Gest_5" "0.010253" "0.011328" "0.012386"

[3,] "Gest_29" "0.00927" "0.009721" "0.01017"

[4,] "Gest_9" "0.009288" "0.009584" "0.009879"

[5,] "Gest_4" "0.009248" "0.009537" "0.009825"

[6,] "Gest_26" "0.008731" "0.009443" "0.010149"

[7,] "Gest_18" "0.008433" "0.009271" "0.010099"

[8,] "Gest_12" "0.008664" "0.009172" "0.009676"

[9,] "Gest_11" "0.008825" "0.009169" "0.009512"

[10,] "Gest_13" "0.008663" "0.009155" "0.009644"

[11,] "Gest_27" "0.008808" "0.009145" "0.009481"

[12,] "Gest_20" "0.008637" "0.009098" "0.009556"

[13,] "Gest_17" "0.00862" "0.009032" "0.009442"

[14,] "Gest_7" "0.008687" "0.009029" "0.009369"

[15,] "Gest_22" "0.008576" "0.009002" "0.009424"

[16,] "Gest_32" "0.008479" "0.008991" "0.009499"

[17,] "Gest_14" "0.008651" "0.008978" "0.009303"

[18,] "Gest_15" "0.008651" "0.008978" "0.009303"

[19,] "Gest_21" "0.008347" "0.008897" "0.009444"

[20,] "Gest_25" "0.008624" "0.008881" "0.009136"

[21,] "Gest_33" "0.008503" "0.008869" "0.009233"

[22,] "Gest_30" "0.008004" "0.008842" "0.009669"

[23,] "Gest_23" "0.008073" "0.008805" "0.009529"

[24,] "Gest_6" "0.008011" "0.008785" "0.009552"

[25,] "Gest_19" "0.008384" "0.008761" "0.009137"

[26,] "Gest_34" "0.008331" "0.008754" "0.009174"

[27,] "Gest_8" "0.008338" "0.008718" "0.009096"

[28,] "Gest_28" "0.007559" "0.008668" "0.009759"

[29,] "Gest_10" "0.007782" "0.008506" "0.009223"

[30,] "Gest_31" "0.007569" "0.008427" "0.009273"

[31,] "Gest_1" "0.007787" "0.00831" "0.00883"

[32,] "Gest_24" "0.007108" "0.008017" "0.008915"

[33,] "Gest_2" "0.005849" "0.007824" "0.009745"

[34,] "Gest_3" "0.005979" "0.006774" "0.00756"

$Prediction_dernier

Gestionnaire L Prévision U

[1,] "Gest_2" "-0.002804" "-0.000963" "0.000823"

[2,] "Gest_3" "-0.00258" "-0.001839" "-0.001107"

[3,] "Gest_28" "-0.003395" "-0.002364" "-0.001351"

[4,] "Gest_23" "-0.003283" "-0.002603" "-0.001931"

[5,] "Gest_21" "-0.003113" "-0.002624" "-0.002138"

[6,] "Gest_31" "-0.003423" "-0.002627" "-0.00184"

[7,] "Gest_6" "-0.003375" "-0.002655" "-0.001944"

[8,] "Gest_30" "-0.003501" "-0.002723" "-0.001955"

[9,] "Gest_17" "-0.003109" "-0.002727" "-0.002347"

[10,] "Gest_13" "-0.003204" "-0.002747" "-0.002294"

[11,] "Gest_34" "-0.003213" "-0.002821" "-0.002431"

[12,] "Gest_1" "-0.00343" "-0.002943" "-0.002461"

[13,] "Gest_20" "-0.003401" "-0.002973" "-0.002549"

[14,] "Gest_4" "-0.003247" "-0.002979" "-0.002712"

[15,] "Gest_33" "-0.003377" "-0.003038" "-0.0027"

[16,] "Gest_12" "-0.003519" "-0.003048" "-0.00258"

[17,] "Gest_26" "-0.003709" "-0.003048" "-0.002393"

[18,] "Gest_24" "-0.0039" "-0.003056" "-0.002223"

[19,] "Gest_32" "-0.003549" "-0.003074" "-0.002602"

[20,] "Gest_19" "-0.003429" "-0.003079" "-0.002731"

[21,] "Gest_22" "-0.003485" "-0.00309" "-0.002698"

[22,] "Gest_29" "-0.00355" "-0.003131" "-0.002715"

[23,] "Gest_10" "-0.003811" "-0.003139" "-0.002474"

[24,] "Gest_14" "-0.00345" "-0.003147" "-0.002845"

[25,] "Gest_15" "-0.00345" "-0.003147" "-0.002845"

[26,] "Gest_25" "-0.003385" "-0.003147" "-0.00291"

[27,] "Gest_18" "-0.004059" "-0.003282" "-0.002514"

[28,] "Gest_27" "-0.003607" "-0.003294" "-0.002983"

[29,] "Gest_11" "-0.003621" "-0.003302" "-0.002984"

[30,] "Gest_8" "-0.003755" "-0.003402" "-0.003051"

[31,] "Gest_7" "-0.003802" "-0.003485" "-0.003169"

[32,] "Gest_9" "-0.003805" "-0.003531" "-0.003257"

[33,] "Gest_16" "-0.004725" "-0.003674" "-0.002641"

[34,] "Gest_5" "-0.004742" "-0.003748" "-0.002769"

Nombre de gestionnaire(s) évalué(s): 34

Annexe C

Fonctions de la librairie R :"ÉvaluationGestionnaire"

103

#' Fonction pour les gestionnaires d’actions #' Calcul de l'alpha standardisé et des prévisions pour les rendements nets des gestionnaires en action Action <- function(jeu,approche=c("alpha","prevision"),critereAlpha=c("lm","rq"), criterePrev=c("rq_iid"),rendMarche,seuil){ call <- match.call() #data<-match.arg(arg=data) approche<-match.arg(arg=approche) critereAlpha<-match.arg(arg=critereAlpha) criterePrev<-match.arg(arg=criterePrev) #Fonction pour transformer les données pour qu'ils soient utilisables act_2<-transformer(data=jeu) act_2<-as.data.frame(act_2) #Calculer le nombre de gestionnaire dans la base de données nbr_gest<-ncol(act_2)-3 #Annee debut de la serie de donnees annee<-as.numeric(substr(act_2[1,1],1,4)) #mois debut de la serie de donnees mois<-as.numeric(substr(act_2[1,1],6,7)) if(ncol(act_2)>4){ colonne<-ncol(act_2[,-c(1:3)]) nom<-names(act_2) }else{#il y a juste un gestionnaire dans la base de données colonne<-1 nom<-names(act_2) } if ("seuil" %in% names(call)) { #Si un argument est fourni pour le seuil if (!is.numeric(seuil)) stop("'seuil' doit etre numerique") if ( (seuil > 1) || (seuil < 0) ) stop("'seuil' doit etre entre 0 et 1") seuil=seuil}else{ seuil=0.05 } if(approche=="alpha"){ if(critereAlpha=="lm"){ #Calcul du coefficient alpha standardisé lm (beta non fixe et erreur AR_2) alpha_standardise<-AlphaSLmAR2(data=act_2,colonne,seuil) }else{# (critere=="rq") #Calcul du coefficient alpha standardisé rq (beta non fixe et erreur iid) alpha_standardise<-AlphaSRq(data=act_2,colonne,seuil) }

out<-list(Approche_Alpha=alpha_standardise,nbr_gest=nbr_gest,nom=nom,seuil=seuil, call=call) write.table(alpha_standardise, file = "Resultats_aproche_alpha_action.csv",quote = FALSE, sep = "\t", na = "-", row.names = TRUE, col.names = NA) class(out) <- "Action" out }else{ #approche=="prevision" for(i in 3:ncol(act_2)){ act_2[,i]<-ts(act_2[,i],start=c(annee,mois),frequency=12) } if ("rendMarche" %in% names(call)) { #Si un argument est fourni a rendMarche if (!is.numeric(rendMarche)) stop("'rendMarche' doit etre numerique") rendement=data.frame(Index=rendMarche) rend<-"oui" prevision1<-PrevRqIid(data=act_2,rendement=rendement,rend,colonne) }else{ #Aucun argument n'est fourni a rendMarche utilise percentile et dernier rendement dernier<-dim(act_2)[1] quantile_0.25<-quantile(act_2$Index,0.25) quantile_0.50<-quantile(act_2$Index,0.50) quantile_0.75<-quantile(act_2$Index,0.75) rendement<-data.frame(Index=c(quantile_0.25,quantile_0.50,quantile_0.75,dernier=act_2$Index[dernier])) rend="non" prevision1<-PrevRqIid(data=act_2,rendement=rendement,rend,colonne) } #Exporter les résultats des prévisions write.table(prevision1, file = "Resultats_aproche_prevision_action.csv",quote = FALSE, sep = "\t", na = "-", row.names = TRUE, col.names = NA) out<-list(Approche_prevision=prevision1,call = call,rend=rend, rendement=rendement, nbr_gest=nbr_gest) class(out) <- "Action" out } }

#' Fonction pour les gestionnaires d’obligations #' Calcul de l'alpha standardise et des prévisions pour les rendements nets des gestionnaires en obligation Obligation <- function(jeu,approche=c("prevision","alpha"), critereAlpha=c("rq","lm"), criterePrev=c("lm_AR2","lm"),rendMarche,seuil){ call <- match.call() #data<-match.arg(arg=data) approche<-match.arg(arg=approche) critereAlpha<-match.arg(arg=critereAlpha) criterePrev<-match.arg(arg=criterePrev) #Fonction pour transformer les données pour qu'ils soient utilisables obl_2<-transformer(data=jeu) obl_2<-as.data.frame(obl_2) #Calculer le nombre de gestionnaire dans la base de données nbr_gest<-ncol(obl_2)-3 #Annee debut de la serie de donnees annee<-as.numeric(substr(obl_2[1,1],1,4)) #mois debut de la serie de donnees mois<-as.numeric(substr(obl_2[1,1],6,7)) if(ncol(obl_2)>4){ colonne<-ncol(obl_2[,-c(1:3)]) nom<-names(obl_2) }else{ #il y a juste un gestionnaire dans la base de données colonne<-1 nom<-names(obl_2) } #Valider si l'argument seuil est fourni et de la bonne façon if ("seuil" %in% names(call)) { #Si un argument est fourni pour le seuil if (!is.numeric(seuil)) stop("'seuil' doit etre numerique") if ( (seuil > 1) || (seuil < 0) ) stop("'seuil' doit etre entre 0 et 1") seuil=seuil}else{ seuil=0.05 } if(approche=="alpha"){ if(critereAlpha=="lm"){ #Calcul du alpha standardise lm (beta non fixe et erreur iid) alpha_standardise<-AlphaSLm(data=obl_2,colonne,seuil) }else {#(critereAlpha=="rq") #Calcul du alpha standardise rq (beta non fixe et erreur iid)

alpha_standardise<-AlphaSRqIid(data=obl_2,colonne,seuil) } write.table(alpha_standardise, file = "Resultats_aproche_alpha_obligation.csv",quote = FALSE, sep = "\t", na = "-", row.names = TRUE, col.names = NA) out<-list(Approche_Alpha=alpha_standardise,nbr_gest=nbr_gest,nom=nom,seuil=seuil, call = call) class(out) <- "Obligation" out }else{#Approche=="prevision" #Transformer les données en séries temporelles for(i in 3:ncol(obl_2)){ obl_2[,i]<-ts(obl_2[,i],start=c(annee,mois),frequency=12) } if ("rendMarche" %in% names(call)) { #Si un argument est fourni a rendMarche if (!is.numeric(rendMarche)) stop("'rendMarche' doit etre numerique") rendement=data.frame(Index=rendMarche) rend<-"oui" if(criterePrev=="lm"){ prevision1<-PrevLmIid(data=obl_2,rendement=rendement,rend,colonne) }else{#criterePrev=="lm_AR2" prevision1<-PrevLmAR2(data=obl_2,rendement=rendement,rend,colonne) } #Exporter les resultats write.table(prevision1, file = "Resultats_aproche_prevision_obligation.csv",quote = FALSE, sep = "\t", na = "-", row.names = TRUE, col.names = NA) }else{ #Aucun argument n'est fourni a rendMarche utilise percentile et dernier rendement dernier<-dim(obl_2)[1] quantile_0.25<-quantile(obl_2$Index,0.25) quantile_0.50<-quantile(obl_2$Index,0.50) quantile_0.75<-quantile(obl_2$Index,0.75) rendement<-data.frame(Index=c(quantile_0.25,quantile_0.50,quantile_0.75,dernier=obl_2$Index[dernier])) rend="non" if(criterePrev=="lm"){ prevision1<-PrevLmIid(data=obl_2,rendement=rendement,rend,colonne) }else{#criterePrev=="lm_AR2 sans argument pour rendMarche prevision1<-PrevLmAR2(data=obl_2,rendement=rendement,rend,colonne) } } #Exporter les resultats write.table(prevision1, file = "Resultats_aproche_prevision_obligation.csv",quote = FALSE, sep = "\t", na = "-", row.names = TRUE, col.names = NA) out<-list(Approche_prevision=prevision1,call = call,rend=rend, rendement=rendement, nbr_gest=nbr_gest)

class(out) <- "Obligation" out }}

#’Transformer les données transformer <- function(data){ #Trier le jeu de données par date data_2<-data[order(data$Date),] #Transformer les rendements en valeurs numériques et enlever % for(i in 2:ncol(data_2)){ data_2[,i]<-sub("%", replacement="", data_2[,i], ignore.case = FALSE, perl = FALSE, fixed = FALSE, useBytes = FALSE) data_2[,i]<-as.numeric(data_2[,i]) } #calcul des rendements nets en pourcentage (pour utiliser log(1+R)) for(i in 3:ncol(data_2)){ data_2[,i]<-(data_2[,i]-data_2[,2])/100 } data_2<-as.data.frame(data_2) out<-data_2 out }

#’Fonctions : Approche par critère #’Alpha standardise régression quantile avec coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d. AlphaSRqIid<- function(data,colonne,seuil){ alpha_s<-c(rep(0,colonne)) p_value<-c(rep(0,colonne)) p_value_2<-c(rep(0,colonne)) alpha_s_12<-c(rep(0,colonne)) p_value_12<-c(rep(0,colonne)) for(j in 1:colonne){ rep<-log(1+data[,j+3])-data$Index fit<-summary(rq(rep~1,tau=0.5,method="fn"),se="boot") alpha_s[j]<-round(fit$coefficients[1,1]/fit$coefficients[1,2],4) #Calcul alpha standardisé derniers 12 mois data_12<-data[(nrow(data)-11):(nrow(data)),] Index_12<-data[(nrow(data)-11):(nrow(data)),3]

rep_12<-log(1+data_12[,j+3])-Index_12 fit_2<-summary(rq(rep_12~1,tau=0.5,method="fn"),se="boot") alpha_s_12[j]<-round(fit_2$coefficients[1,1]/fit_2$coefficients[1,2],4) if(colonne==1){ #Calcul de la p_value (si gestionnaire >1 p-e utiliser comparaison multiple) p_value[j]<-round(fit$coefficients[1,4],4) p_value_12[j]<-round(fit_2$coefficients[1,4],4) resultat<-cbind(Gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s, P_value=p_value) resultat_12<-cbind(gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s_12, P_value=p_value_12) }else{#utiliser des comparaison multiple pour classer les gestionnaires p_value[j]<-round(2*pt(-abs(alpha_s[j]),df=((colonne)-1)),4) p_value_12[j]<-round(2*pt(-abs(alpha_s_12[j]),df=((colonne)-1)),4) }} if(colonne!=1){ resultat<-cbind(Gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s, P_value=p_value) resultat_12<-cbind(gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s_12, P_value=p_value_12) #Calcul indice pour toutes les données resultat<-as.data.frame(resultat) bidon<-resultat[order(resultat$P_value),] nbr<-seq(from=1,to=nrow(bidon),by=1) p_comparaison<-(nbr/nrow(bidon))*seuil bidon3<-cbind(bidon,p_comparaison) Indice<-rep(NA,nrow(bidon3)) for(i in 1:nrow(bidon3)){ if((as.numeric(as.vector(bidon3$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3$p_comparaison[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3$Alpha_standardise[i]))>0)){ Indice[i]<-"M" }else if((as.numeric(as.vector(bidon3$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3$p_comparaison[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3$Alpha_standardise[i]))<0)){ Indice[i]<-"P" }else{ Indice[i]<-"-" } } #Calcul de l'indice pour 12 derniers mois resultat_12<-as.data.frame(resultat_12)

bidon_12<-resultat_12[order(resultat_12$P_value),] nbr_12<-seq(from=1,to=nrow(bidon_12),by=1) p_comparaison_12<-(nbr_12/nrow(bidon_12))*seuil bidon3_12<-cbind(bidon_12,p_comparaison_12) Indice_12<-rep(NA,nrow(bidon3_12)) for(i in 1:nrow(bidon3_12)){ if((as.numeric(as.vector(bidon3_12$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3_12$p_comparaison_12[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3_12$Alpha_standardise[i]))>0)){ Indice_12[i]<-"M" }else if((as.numeric(as.vector(bidon3_12$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3_12$p_comparaison_12[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3_12$Alpha_standardise[i]))<0)){ Indice_12[i]<-"P" }else{ Indice_12[i]<-"-" } } resultat<-cbind(bidon3[,-c(4)],Indice=Indice) resultat_12<-cbind(bidon3_12[,-c(4)],Indice=Indice_12) } resultat<-as.data.frame(resultat) sortie<-resultat[order(resultat$Alpha_standardise,decreasing=TRUE),] resultat_12<-as.data.frame(resultat_12) sortie_12<-resultat_12[order(resultat_12$Alpha_standardise,decreasing=TRUE),] sortie2<-list(Total=sortie,Dernier_12_mois=sortie_12) out<-sortie2 } #’Alpha standardisé régression linéaire avec coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d. AlphaSLm<- function(data,colonne,seuil){ alpha_s<-c(rep(0,colonne)) p_value<-c(rep(0,colonne)) p_value_2<-c(rep(0,colonne)) alpha_s_12<-c(rep(0,colonne)) p_value_12<-c(rep(0,colonne)) for(j in 1:colonne){

fit<-summary(lm(log(1+data[,j+3])~offset(data$Index))) alpha_s[j]<-round(fit$coefficients[1,1]/fit$coefficients[1,2],4) #Calcul alpha standardise dernier 12 mois data_12<-data[(nrow(data)-11):(nrow(data)),] Index_12<-data[(nrow(data)-11):(nrow(data)),3] fit_2<-summary(lm(log(1+data_12[,j+3])~offset(Index_12))) alpha_s_12[j]<-round(fit_2$coefficients[1,1]/fit_2$coefficients[1,2],4) if(colonne==1){ #Calcul de la p_value (si gestionnaire >1 p-e utiliser comparaison multiple) p_value[j]<-round(fit$coefficients[1,4],4) p_value_12[j]<-round(fit_2$coefficients[1,4],4) resultat<-cbind(Gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s, P_value=p_value) resultat_12<-cbind(gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s_12, P_value=p_value_12) }else{#utiliser des comparaison multiple pour classer les gestionnaires p_value[j]<-round(2*pt(-abs(alpha_s[j]),df=((colonne)-1)),4) p_value_12[j]<-round(2*pt(-abs(alpha_s_12[j]),df=((colonne)-1)),4) }} if(colonne!=1){ resultat<-cbind(Gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s, P_value=p_value) resultat_12<-cbind(gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s_12, P_value=p_value_12) #Calcul indice pour toutes les données resultat<-as.data.frame(resultat) bidon<-resultat[order(resultat$P_value),] nbr<-seq(from=1,to=nrow(bidon),by=1) p_comparaison<-(nbr/nrow(bidon))*seuil bidon3<-cbind(bidon,p_comparaison) Indice<-rep(NA,nrow(bidon3)) for(i in 1:nrow(bidon3)){ if((as.numeric(as.vector(bidon3$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3$p_comparaison[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3$Alpha_standardise[i]))>0)){ Indice[i]<-"M" }else if((as.numeric(as.vector(bidon3$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3$p_comparaison[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3$Alpha_standardise[i]))<0)){ Indice[i]<-"P" }else{

Indice[i]<-"-" } } #Calcul de l'indice pour 12 derniers mois resultat_12<-as.data.frame(resultat_12) bidon_12<-resultat_12[order(resultat_12$P_value),] nbr_12<-seq(from=1,to=nrow(bidon_12),by=1) p_comparaison_12<-(nbr_12/nrow(bidon_12))*seuil bidon3_12<-cbind(bidon_12,p_comparaison_12) Indice_12<-rep(NA,nrow(bidon3_12)) for(i in 1:nrow(bidon3_12)){ if((as.numeric(as.vector(bidon3_12$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3_12$p_comparaison_12[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3_12$Alpha_standardise[i]))>0)){ Indice_12[i]<-"M" }else if((as.numeric(as.vector(bidon3_12$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3_12$p_comparaison_12[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3_12$Alpha_standardise[i]))<0)){ Indice_12[i]<-"P" }else{ Indice_12[i]<-"-" } } resultat<-cbind(bidon3[,-c(4)],Indice=Indice) resultat_12<-cbind(bidon3_12[,-c(4)],Indice=Indice_12) } resultat<-as.data.frame(resultat) sortie<-resultat[order(resultat$Alpha_standardise,decreasing=TRUE),] resultat_12<-as.data.frame(resultat_12) sortie_12<-resultat_12[order(resultat_12$Alpha_standardise,decreasing=TRUE),] sortie2<-list(Total=sortie,Dernier_12_mois=sortie_12) out<-sortie2 } #’Régression quantile avec coefficient bêta non fixé et erreurs i.i.d. AlphaSRq <- function(data,colonne,seuil){ alpha_s<-c(rep(0,colonne)) beta<-c(rep(0,colonne))

alpha_s_12<-c(rep(0,colonne)) p_value<-c(rep(0,colonne)) beta_12<-c(rep(0,colonne)) p_value_12<-c(rep(0,colonne)) for(j in 1:(colonne)){ fit<-summary(rq(log(1+data[,j+3])~data$Index,tau=0.5),se="ker") alpha_s[j]<-round(fit$coefficients[1,1]/fit$coefficients[1,2],4) beta[j]<-round(fit$coefficients[2,1],4) #Calcul alpha standardise dernier 12 mois data_12<-data[(nrow(data)-11):(nrow(data)),] Index_12<-data[(nrow(data)-11):(nrow(data)),3] fit_2<-summary(rq(log(1+data_12[,j+3])~Index_12,tau=0.5),se="ker") alpha_s_12[j]<-round(fit_2$coefficients[1,1]/fit_2$coefficients[1,2],4) beta_12[j]<-round(fit_2$coefficients[2,1],4) #Calcul de la p_value if(colonne==1){ p_value[j]<-round(fit$coefficients[1,4],4) p_value_12[j]<-round(fit_2$coefficients[1,4],4) resultat<-cbind(Gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s,Beta=beta, P_value=p_value) resultat_12<-cbind(Gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s_12, Beta=beta_12,P_value=p_value_12) }else{ #Comparaison multiple pour classer les gestionnaires p_value[j]<-round(2*pt(-abs(alpha_s[j]),df=((colonne)-1)),4) p_value_12[j]<-round(2*pt(-abs(alpha_s_12[j]),df=((colonne)-1)),4) }} if(colonne!=1){ resultat<-cbind(Gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s,Beta=beta, P_value=p_value) resultat_12<-cbind(Gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s_12, Beta=beta_12,P_value=p_value_12) #Calcul de l'indice pour toutes les données resultat<-as.data.frame(resultat) bidon<-resultat[order(resultat$P_value),] nbr<-seq(from=1,to=nrow(bidon),by=1) p_comparaison<-(nbr/nrow(bidon))*seuil bidon3<-cbind(bidon,p_comparaison) Indice<-rep(NA,nrow(bidon3)) for(i in 1:nrow(bidon3)){ if((as.numeric(as.vector(bidon3$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3$p_comparaison[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3$Alpha_standardise[i]))>0)){ Indice[i]<-"M"

}else if((as.numeric(as.vector(bidon3$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3$p_comparaison[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3$Alpha_standardise[i]))<0)){ Indice[i]<-"P"}else{ Indice[i]<-"-" } } resultat<-cbind(bidon3[,-c(5)],Indice=Indice) #Calcul de l'indice pour 12 derniers mois resultat_12<-as.data.frame(resultat_12) bidon_12<-resultat_12[order(resultat_12$P_value),] nbr_12<-seq(from=1,to=nrow(bidon_12),by=1) p_comparaison_12<-(nbr_12/nrow(bidon_12))*seuil bidon3_12<-cbind(bidon_12,p_comparaison_12) Indice_12<-rep(NA,nrow(bidon3_12)) i=1 for(i in 1:nrow(bidon3_12)){ if((as.numeric(as.vector(bidon3_12$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3_12$p_comparaison_12[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3_12$Alpha_standardise[i]))>0)){ Indice_12[i]<-"M" }else if((as.numeric(as.vector(bidon3_12$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3_12$p_comparaison_12[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3_12$Alpha_standardise[i]))<0)){ Indice_12[i]<-"P" }else{ Indice_12[i]<-"-" } } resultat_12<-cbind(bidon3_12[,-c(5)],Indice=Indice_12) } resultat<-as.data.frame(resultat) standardise<-as.numeric(as.vector(resultat$Alpha_standardise)) sortie<-resultat[order(standardise,decreasing=TRUE),] resultat_12<-as.data.frame(resultat_12) standardise2<-as.numeric(as.vector(resultat_12$Alpha_standardise)) sortie_12<-resultat_12[order(standardise2,decreasing=TRUE),] sortie2<-list(Total=sortie,Dernier_12_mois=sortie_12) out<-sortie2 } #’Régression linéaire avec coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) AlphaSLmAR2 <-

function(data,colonne,seuil){ alpha_s<-rep(0,colonne) beta<-rep(0,colonne) p_value<-rep(0,colonne) alpha_s_12<-rep(0,colonne) beta_12<-rep(0,colonne) p_value_12<-rep(0,colonne) for(j in 1:colonne){ (fit=arima(log(1+data[,j+3]), order=c(2,0,0),xreg=data$Index)) alpha_s[j]<-round(fit$coef[3]/sqrt(vcov(fit)[3,3]),4) beta[j]<-round(fit$coef[4],4) #Calcul alpha standardise dernier 12 mois data_12<-data[(nrow(data)-11):(nrow(data)),] Index_12<-data[(nrow(data)-11):(nrow(data)),3] fit_2<-arima(log(1+data_12[,j+3]), order=c(2,0,0),xreg=Index_12) alpha_s_12[j]<-round(fit_2$coef[3]/sqrt(vcov(fit_2)[3,3]),4) beta_12[j]<-round(fit_2$coef[4],4) if(colonne==1){ p_value[j]<-round((1-pt(abs(alpha_s[j]),df=nrow(data)-2))*2,4) p_value_12[j]<-round((1-pt(abs(alpha_s_12[j]),df=nrow(data)-2))*2,4) resultat<-cbind(Gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s,Beta=beta, P_value=p_value) resultat_12<-cbind(Gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s_12, Beta=beta_12,P_value=p_value_12) }else{ #Utilisation de comparaison pour classer les gestionnaires p_value[j]<-round(2*pt(-abs(alpha_s[j]),df=(colonne-1)),4) p_value_12[j]<-round(2*pt(-abs(alpha_s_12[j]),df=(colonne-1)),4) }} if(colonne!=1){ resultat<-cbind(Gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s,Beta=beta, P_value=p_value) resultat_12<-cbind(Gestionnaire=names(data[,-c(1:3)]),Alpha_standardise=alpha_s_12, Beta=beta_12,P_value=p_value_12) #Calcul de l'indice pour toutes les données resultat<-as.data.frame(resultat) bidon<-resultat[order(resultat$P_value),] nbr<-seq(from=1,to=nrow(bidon),by=1) p_comparaison<-(nbr/nrow(bidon))*seuil bidon3<-cbind(bidon,p_comparaison) Indice<-rep(NA,nrow(bidon3))

for(i in 1:nrow(bidon3)){ if((as.numeric(as.vector(bidon3$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3$p_comparaison[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3$Alpha_standardise[i]))>0)){ Indice[i]<-"M" }else if((as.numeric(as.vector(bidon3$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3$p_comparaison[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3$Alpha_standardise[i]))<0)){ Indice[i]<-"P"}else{ Indice[i]<-"-" } } resultat<-cbind(bidon3[,-c(5)],Indice=Indice) #Calcul de l'indice pour 12 derniers mois resultat_12<-as.data.frame(resultat_12) bidon_12<-resultat_12[order(resultat_12$P_value),] nbr_12<-seq(from=1,to=nrow(bidon_12),by=1) p_comparaison_12<-(nbr_12/nrow(bidon_12))*seuil bidon3_12<-cbind(bidon_12,p_comparaison_12) Indice_12<-rep(NA,nrow(bidon3_12)) i=1 for(i in 1:nrow(bidon3_12)){ if((as.numeric(as.vector(bidon3_12$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3_12$p_comparaison_12[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3_12$Alpha_standardise[i]))>0)){ Indice_12[i]<-"M" }else if((as.numeric(as.vector(bidon3_12$P_value[i]))<as.numeric(as.vector(bidon3_12$p_comparaison_12[i]))) && (as.numeric(as.vector(bidon3_12$Alpha_standardise[i]))<0)){ Indice_12[i]<-"P" }else{ Indice_12[i]<-"-" } } resultat_12<-cbind(bidon3_12[,-c(5)],Indice=Indice_12) } resultat<-as.data.frame(resultat) standardise<-as.numeric(as.vector(resultat$Alpha_standardise)) sortie<-resultat[order(standardise,decreasing=TRUE),] resultat_12<-as.data.frame(resultat_12) standardise2<-as.numeric(as.vector(resultat_12$Alpha_standardise)) sortie_12<-resultat_12[order(standardise2,decreasing=TRUE),] sortie2<-list(Total=sortie,Dernier_12_mois=sortie_12)

out<-sortie2 }

#’Fonctions : Approche par prévision

#’Régression quantile avec coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d. PrevRqIid <- function(data,rendement,rend,colonne){ Index<-data$Index if(rend=="oui"){ prediction_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) for(j in 1:colonne){ rep<-log(1+data[,j+3])-Index fit=summary(rq(rep~1,tau=0.5,method="fn"),se="boot") sigma<-var(fit$residuals) pred_fin_2<-fit$coefficients[1]+rendement L<-pred_fin_2-2*fit$coefficients[2] U<-pred_fin_2+2*fit$coefficients[2] pred_fin<-cbind(pred_fin_2,L,U) prediction_1[j,1]<-as.numeric(round(exp(pred_fin[1])-1,6)) prediction_1[j,c(2:3)]<-as.numeric(round(exp(pred_fin[2:3])-1,6)) } if(colonne>1){ classement<-order(prediction_1[,1],decreasing = TRUE) prediction<-prediction_1[classement,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement] pred<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction[,2], Prediction=prediction[,1],upr=prediction[,3]) }else{ pred<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_1[,2], Prediction=prediction_1[,1],upr=prediction_1[,3]) } } else{#Aucun n'argument n'est fourni a rendMarche prediction_dernier_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) prediction_25_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) prediction_50_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) prediction_75_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) for(j in 1:colonne){ rep<-log(1+data[,j+3])-Index fit=summary(rq(rep~1,tau=0.5,method="fn"),se="boot") sigma<-var(fit$residuals) pred_fin_2<-fit$coefficients[1]+rendement L<-pred_fin_2-2*fit$coefficients[2] U<-pred_fin_2+2*fit$coefficients[2] pred_fin<-cbind(pred_fin_2,L,U) prediction_dernier_1[j,1]<-as.numeric(round(exp(pred_fin[4,1])-1,6))

prediction_25_1[j,1]<-as.numeric(round(exp(pred_fin[1,1])-1,6)) prediction_50_1[j,1]<-as.numeric(round(exp(pred_fin[2,1])-1,6)) prediction_75_1[j,1]<-as.numeric(round(exp(pred_fin[3,1])-1,6)) prediction_dernier_1[j,c(2,3)]<-as.numeric(round(exp(pred_fin[4,2:3])-1,6)) prediction_25_1[j,c(2,3)]<-as.numeric(round(exp(pred_fin[1,2:3])-1,6)) prediction_50_1[j,c(2,3)]<-as.numeric(round(exp(pred_fin[2,2:3])-1,6)) prediction_75_1[j,c(2,3)]<-as.numeric(round(exp(pred_fin[3,2:3])-1,6)) } if(colonne>1){ #Pred 25 classement_25<-order(prediction_25_1[,1],decreasing = TRUE) prediction_25<-prediction_25_1[classement_25,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement_25] pred_25<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction_25[,2], Prediction=prediction_25[,1],upr=prediction_25[,3]) #Pred 50 classement_50<-order(prediction_50_1[,1],decreasing = TRUE) prediction_50<-prediction_50_1[classement_50,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement_50] pred_50<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction_50[,2], Prediction=prediction_50[,1],upr=prediction_50[,3]) #Pred 75 classement_75<-order(prediction_75_1[,1],decreasing = TRUE) prediction_75<-prediction_75_1[classement_75,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement_75] pred_75<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction_75[,2], Prediction=prediction_75[,1],upr=prediction_75[,3]) #Pred dernier classement_dernier<-order(prediction_dernier_1[,1],decreasing = TRUE) prediction_dernier<-prediction_dernier_1[classement_dernier,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement_dernier] pred_dernier<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction_dernier[,2], Prediction=prediction_dernier[,1],upr=prediction_dernier[,3]) }else{ pred_25<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_25_1[,2], Prediction=prediction_25_1[,1],upr=prediction_25_1[,3]) pred_50<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_50_1[,2], Prediction=prediction_50_1[,1],upr=prediction_50_1[,3]) pred_75<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_75_1[,2], Prediction=prediction_75_1[,1],upr=prediction_75_1[,3]) pred_dernier<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_dernier_1[,2], Prediction=prediction_dernier_1[,1],upr=prediction_dernier_1[,3]) }

pred<-list(Prediction_25=pred_25,Prediction_50=pred_50,Prediction_75=pred_75, Prediction_dernier=pred_dernier) } out<-pred out } #’Régression linéaire avec coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) PrevLmAR2 <- function(data,rendement,rend,colonne){ Index<-data$Index if(rend=="non"){#Aucun argument n'est fourni a rendMarche prediction_dernier_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) prediction_25_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) prediction_50_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) prediction_75_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) for(j in 1:colonne){ (fit=(arima(log(1+data[,j+3]), order=c(2,0,0),xreg=Index,method="ML"))) sigma<-var(fit$residuals,na.rm=TRUE) pred<-predict(fit,newxreg=rendement,se.fit=TRUE,interval="confidence",level=0.95) se<-pred$se[1] L<-pred$pred-2*se U<-pred$pred+2*se prediction_dernier_1[j,1]<-round(exp(as.numeric(pred$pred[4])+0.5*sigma)-1,6) prediction_25_1[j,1]<-round(exp(as.numeric(pred$pred[1])+0.5*sigma)-1,6) prediction_50_1[j,1]<-round(exp(as.numeric(pred$pred[2])+0.5*sigma)-1,6) prediction_75_1[j,1]<-round(exp(as.numeric(pred$pred[3])+0.5*sigma)-1,6) prediction_dernier_1[j,c(2:3)]<-round(exp(c(as.numeric(L[4]),as.numeric(U[4])))-1,6) prediction_25_1[j,c(2:3)]<-round(exp(c(as.numeric(L[1]),as.numeric(U[1])))-1,6) prediction_50_1[j,c(2:3)]<-round(exp(c(as.numeric(L[2]),as.numeric(U[2])))-1,6) prediction_75_1[j,c(2:3)]<-round(exp(c(as.numeric(L[3]),as.numeric(U[3])))-1,6) } if(colonne>1){ #Pred 25 classement_25<-order(prediction_25_1[,1],decreasing = TRUE) prediction_25<-prediction_25_1[classement_25,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement_25] pred_25<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction_25[,2], Prediction=prediction_25[,1],upr=prediction_25[,3]) #Pred 50 classement_50<-order(prediction_50_1[,1],decreasing = TRUE)

prediction_50<-prediction_50_1[classement_50,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement_50] pred_50<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction_50[,2], Prediction=prediction_50[,1],upr=prediction_50[,3]) #Pred 75 classement_75<-order(prediction_75_1[,1],decreasing = TRUE) prediction_75<-prediction_75_1[classement_75,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement_75] pred_75<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction_75[,2], Prediction=prediction_75[,1],upr=prediction_75[,3]) #Pred dernier classement_dernier<-order(prediction_dernier_1[,1],decreasing = TRUE) prediction_dernier<-prediction_dernier_1[classement_dernier,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement_dernier] pred_dernier<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction_dernier[,2], Prediction=prediction_dernier[,1],upr=prediction_dernier[,3]) }else{ pred_25<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_25_1[,2], Prediction=prediction_25_1[,1],upr=prediction_25_1[,3]) pred_50<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_50_1[,2], Prediction=prediction_50_1[,1],upr=prediction_50_1[,3]) pred_75<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_75_1[,2], Prediction=prediction_75_1[,1],upr=prediction_75_1[,3]) pred_dernier<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_dernier_1[,2], Prediction=prediction_dernier_1[,1],upr=prediction_dernier_1[,3]) } pred<-list(Prediction_25=pred_25,Prediction_50=pred_50,Prediction_75=pred_75, Prediction_dernier=pred_dernier) }else{ prediction_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) for(j in 1:colonne){ (fit=(arima(log(1+data[,j+3]), order=c(2,0,0),xreg=data$Index,method="ML"))) pred<-predict(fit,newxreg=rendement,se.fit=TRUE,interval="confidence",level=0.95) se<-pred$se[1] sigma<-var(fit$residuals,na.rm=TRUE) L<-pred$pred-2*se U<-pred$pred+2*se prediction_1[j,1]<-round(exp(as.numeric(pred$pred[1])+0.5*sigma)-1,6) prediction_1[j,c(2:3)]<-round(exp(c(as.numeric(L[1]),as.numeric(U[1])))-1,6) } if(colonne>1){

classement<-order(prediction_1[,1],decreasing = TRUE) prediction<-prediction_1[classement,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement] pred<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction[,2], Prediction=prediction[,1],upr=prediction[,3]) }else{ pred<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_1[,2], Prediction=prediction_1[,1],upr=prediction_1[,3]) } } out<-pred } #’Regréssion Linéaire avec coefficient bêta non fixé et erreurs i.i.d. PrevLmIid <- function(data,rendement,rend,colonne){ Index<-data$Index if(rend=="oui"){ prediction_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) for(j in 1:colonne){ fit=(lm(log(1+data[,j+3])~Index)) sigma<-(summary(fit)$sigma)^2 pred_fin<-predict(fit,rendement,se.fit=TRUE,interval="confidence") prediction_1[j,1]<-round(exp(pred_fin$fit[1]+0.5*sigma)-1,6) prediction_1[j,c(2:3)]<-round(exp(pred_fin$fit[2:3])-1,6) } if(colonne > 1){ classement<-order(prediction_1[,1],decreasing = TRUE) prediction<-prediction_1[classement,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement] pred<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction[,2], Prediction=prediction[,1],upr=prediction[,3]) }else{ pred<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_1[,2], Prediction=prediction_1[,1],upr=prediction_1[,3]) } } else{#Aucun n'argument n'est fourni a rendMarche prediction_dernier_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) prediction_25_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) prediction_50_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) prediction_75_1<-matrix(rep(0,3*colonne),nrow=colonne,ncol=3) for(j in 1:colonne){

fit=(lm(log(1+data[,j+3])~Index)) pred_fin<-predict(fit,rendement,se.fit=TRUE,interval="confidence") sigma<-(summary(fit)$sigma)^2 prediction_dernier_1[j,1]<-round(exp(pred_fin$fit[4,1]+0.5*sigma)-1,6) prediction_25_1[j,1]<-round(exp(pred_fin$fit[1,1]+0.5*sigma)-1,6) prediction_50_1[j,1]<-round(exp(pred_fin$fit[2,1]+0.5*sigma)-1,6) prediction_75_1[j,1]<-round(exp(pred_fin$fit[3,1]+0.5*sigma)-1,6) prediction_dernier_1[j,c(2:3)]<-round(exp(pred_fin$fit[4,2:3])-1,6) prediction_25_1[j,c(2:3)]<-round(exp(pred_fin$fit[1,2:3])-1,6) prediction_50_1[j,c(2:3)]<-round(exp(pred_fin$fit[2,2:3])-1,6) prediction_75_1[j,c(2:3)]<-round(exp(pred_fin$fit[3,2:3])-1,6) } if(colonne>1){ #pred 25 classement_25<-order(prediction_25_1[,1],decreasing = TRUE) prediction_25<-prediction_25_1[classement_25,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement_25] pred_25<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction_25[,2], Prediction=prediction_25[,1],upr=prediction_25[,3]) #pred 50 classement_50<-order(prediction_50_1[,1],decreasing = TRUE) prediction_50<-prediction_50_1[classement_50,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement_50] pred_50<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction_50[,2], Prediction=prediction_50[,1],upr=prediction_50[,3]) #pred 75 classement_75<-order(prediction_75_1[,1],decreasing = TRUE) prediction_75<-prediction_75_1[classement_75,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement_75] pred_75<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction_75[,2], Prediction=prediction_75[,1],upr=prediction_75[,3]) #pred dernier classement_dernier<-order(prediction_dernier_1[,1],decreasing = TRUE) prediction_dernier<-prediction_dernier_1[classement_dernier,] Gestionnaire<-names(data[,-c(1:3)])[classement_dernier] pred_dernier<-cbind(Gestionnaire=Gestionnaire,lwr=prediction_dernier[,2], Prediction=prediction_dernier[,1],upr=prediction_dernier[,3]) }else{ pred_25<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_25_1[,2], Prediction=prediction_25_1[,1],upr=prediction_25_1[,3]) pred_50<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_50_1[,2], Prediction=prediction_50_1[,1],upr=prediction_50_1[,3]) pred_75<-cbind(Gestionnaire=names(data)[4],lwr=prediction_75_1[,2], Prediction=prediction_75_1[,1],upr=prediction_75_1[,3])

Annexe D

Résultats des taux de bonnesclassifications des modèlessélectionnés

D.1 Tableaux présentant les résultats avec la technique de bonneclassification

125

y=log(1+R)

Rendement %bonne prédiction Rendement %bonne prédiction Rendement %bonne prédiction Rendement %bonne prédiction

Alpha standardisé lm 1.17975 20.0% 1.23595 1.13228 61.8%

Alpha standardisé rq 1.21237 48.1% 1.25171 1.13447 65.9%

prevision lm 1.27428 91.8% 1.25171 90.4% 1.15296 86.2% 1.08565 77.4%

prévision rq 1.22300 56.8% 1.21456 58.7% 1.15132 83.5% 1.05493 5.2%

Modele mixte prevision m. mixte 1.21382 49.0% 1.13140 1.13140 60.8% 1.08741 81.8%

Alpha standardisé lm 1.15103 5.9% 1.16828 13.8% 1.07229 4.1% 1.08952 85.6%

Alpha standardisé rq 1.18727 24.7% 1.15997 9.0% 1.07290 4.1% 1.08115 66.0%

prevision lm 1.27428 91.8% 1.24948 89.2% 1.15090 83.3% 1.08565 77.4%

prévision rq 1.21382 49.0% 1.23350 76.8% 1.15296 86.2% 1.06986 32.3%

Alpha standardisé lm 1.22622 60.2% 1.20227 44.1% 1.11175 35.8% 1.08142 66.7%

Alpha standardisé rq 1.76060 100.0% 1.23040 73.3% 1.10829 31.2% 1.08465 74.5%

prevision lm 1.18057 21.0% 1.55906 100.0% 1.06003 1.0% 1.06986 32.3%

prévision rq 1.19934 35.9% 1.20837 51.3% 1.11304 37.0% 1.08565 77.4%

% bonne prévision sur 1000 simulations

Meilleur alpha standardisé

Meilleure prévision

Problème de compilation

OBLIGATIONS (5) OBLIGATIONS (34) OBLIGATIONS (34) OBLIGATIONS (34)

Tableau mesure de performance des indicateurs OBLIGATIONS

Période : 2008 à 2013 2008 à 2013 2008 à 2010 2011 à 2013

Erreurs AR(2)

Bêta non fixé

Erreurs i.i.d.

Bêta non fixé

Erreurs i.i.d.

Bêta fixé

Modèle Mesure de performance

y=log(1+R)

Rendement %bonne prédiction Rendement %bonne prédiction Rendement %bonne prédiction Rendement %bonne prédiction

Alpha standardisé lm 2.34308 99.9% 2.23900 99.8% 1.72155 100.0% 1.30310 97.4%

Alpha standardisé rq 2.16435 97.9% 1.73591 57.0% 1.39255 72.4% 1.16317 63.9%

prevision lm 1.84771 66.3% 1.58890 22.9% 1.17396 3.2% 1.14501 56.7%

prévision rq 1.77157 47.2% 1.76150 62.8% 1.30148 38.4% 1.14501 56.7%

Modele mixte prevision m. mixte 2.09216 94.9% 1.65273 43.4% 1.34255 53.9% 1.13250 50.5%

Alpha standardisé lm 2.32428 99.9% 2.14393 99.1% 1.64128 99.6% 1.30861 97.7%

Alpha standardisé rq 2.14773 97.5% 2.24249 99.8% 1.64128 99.6% 1.36877 99.7%

prevision lm 1.81301 58.3% 1.50971 10.1% 1.13070 0.3% 1.08794 29.0%

prévision rq 1.81996 59.8% 1.63930 34.7% 1.21119 9.4% 1.10282 35.7%

Alpha standardisé lm 1.64558 15.7% 1.56062 17.8% 1.20116 6.7% 1.11239 40.5%

Alpha standardisé rq 1.64143 15.2% 1.79144 70.7% 1.27627 29.2% 1.26171 92.1%

prevision lm 1.81308 58.4% 1.55906 17.2% 1.17396 3.2% 1.12350 46.6%

prévision rq 1.78578 51.9% 1.88285 85.6% 1.37787 67.8% 1.16151 63.5%

% bonne prévision sur 1000 simulations

Meilleur alpha standardisé

Meilleure prévision

ACTIONS (43)

Tableau mesure de performance des indicateurs ACTIONS

Période : 2009 à 2013 2009 à 2013 2009 à 2011 2011 à 2013

Modèle Mesure de performance

ACTIONS (8) ACTIONS (43) ACTIONS (43)

Erreurs AR(2)

Bêta non fixé

Erreurs i.i.d.

Bêta non fixé

Erreurs i.i.d.

Bêta fixé

D.2 Code R utilisé pour un modèle de régression avec latechnique de bonne classification

128

Code R utilisé pour la technique de bonne classification avec le modèle de régression

linéaire, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.

#Répertoire de sauvegarde setwd("C:/Users/Marie-Hélène/Documents/Mes documents/Maitrise/Données/rendement net") #Données rendements nets obligations et actions obl_supp<-read.table("C:/Users/Marie-Hélène/Documents/Mes documents/Maitrise/Nouveau/Donnees/Obligation_supp.csv",sep=",",header=TRUE) act_supp<-read.table("C:/Users/Marie-Hélène/Documents/Mes documents/Maitrise/Nouveau/Donnees/Action_supp.csv",sep=",",header=TRUE) #Installation du package quantreg pour utiliser la régression quantile install.packages("quantreg") library(quantreg) #Installation du package matrixStats pour utiliser le produit d'une colonne install.packages("matrixStats") library(matrixStats) ############################################################## #transformation des données en % pour utiliser log(1+rendement) #obligations obligations<-obl_supp[,-1] for(i in 1:ncol(obligations)){ obligations[,i]<-obligations[,i]/100 } #actions actions<-act_supp[,-1] for(i in 1:ncol(actions)){ actions[,i]<-actions[,i]/100 } ############################################################## #Fonction pour calculer le rendement de 1$ au fil des années Eval_mesure_performance<-function(type=c("action","obligation"),mesure=c("alpha_s_lm","alpha_s_rq", "prev_lm","prev_rq","alpha_s_mm", "prev_mm")){ options(scipen=50,digits=8) call <- match.call() type<-match.arg(arg=type) mesure<-match.arg(arg=mesure) if(type=="obligation"){

if(mesure=="alpha_s_lm"){ donnees<-obligations[-c(1:2),] rend<-1 for(i in 1:6){#de 2007 à 2012 (6 annee) annee<-donnees[c(1:12),] donnees<-donnees[-c(1:12),] Index_1<-annee$Index oblig<-annee[,-c(1)] alpha_s<-c(rep(0,ncol(oblig))) for(j in 1:ncol(oblig)){ fit=summary(lm(log(1+oblig[,j])~offset(Index_1))) alpha_s[j]<-fit$coefficients[1,1]/fit$coefficients[1,2] } pos_best<-which(alpha_s==max(alpha_s)) #rendement pour l'annee suivante annee_suiv<-donnees[c(1:12),] oblig_suiv<-annee_suiv[,-c(1)] rend<-product(1+oblig_suiv[,pos_best])*rend }}#mesure alpha standardise regression quantile else if(mesure=="alpha_s_rq"){ donnees<-obligations[-c(1:2),] rend<-1 for(j in 1:6){#de 2007 à 2013 (7 annee) annee<-donnees[c(1:12),] donnees<-donnees[-c(1:12),] Index_1<-annee$Index oblig<-annee[,-c(1)] alpha_s<-c(rep(0,ncol(oblig))) for(i in 1:ncol(oblig)){ rep<-log(1+oblig[,i])-Index_1 fit=rq(rep~1,tau=0.5,method="fn") r<-summary(fit,se="boot") alpha_s[i]<-r$coefficients[1,1]/r$coefficients[1,2] } pos_best<-which(alpha_s==max(alpha_s)) #rendement pour l'annee suivante annee_suiv<-donnees[c(1:12),] oblig_suiv<-annee_suiv[,-c(1)]

rend<-product(1+oblig_suiv[,pos_best])*rend }} else if(mesure=="prev_lm"){ donnees<-obligations[-c(1:2),] rend<-1 for(i in 1:6){#28 trismestres de 2007 à 2013 annee<-donnees[c(1:12),] pre_tri<-c(1:3) donnees<-donnees[-c(1:12),] trimestre<-annee[13-pre_tri,1] #calcul rendment moyen dernier trimestre rend_m<-mean(trimestre) Index_1<-annee$Index oblig<-annee[,-c(1)] prediction<-c(rep(0,ncol(oblig))) for(j in 1:ncol(oblig)){ fit=summary(lm(log(1+oblig[,j])~offset(Index_1))) prediction_1<-fit$coefficients[1,1]+rend_m prediction[j]<-prediction_1 } pos_best<-which(prediction==max(prediction)) #rendement pour l'annee suivante annee_suiv<-donnees[c(1:12),] oblig_suiv<-annee_suiv[,-c(1)] rend<-product(1+oblig_suiv[,pos_best])*rend } }else{#methode=prev_rq donnees<-obligations[-c(1:2),] rend<-1 for(j in 1:6){#28 trismestres de 2007 à 2013 annee<-donnees[c(1:12),] pre_tri<-c(1:3) donnees<-donnees[-c(1:12),] trimestre<-annee[13-pre_tri,1] #calcul rendement moyen dernier trimestre rend_m<-mean(trimestre)

Index_1<-annee$Index oblig<-annee[,-c(1)] prediction<-c(rep(0,ncol(oblig))) for(i in 1:ncol(oblig)){ rep<-log(1+oblig[,i])-Index_1 fit=rq(rep~1,tau=0.5,method="fn") r<-summary(fit,se="boot") prediction_1<-r$coefficients[1,1]+rend_m prediction[i]<-prediction_1 } pos_best<-which(prediction==max(prediction)) #rendement pour l'annee suivante annee_suiv<-donnees[c(1:12),] oblig_suiv<-annee_suiv[,-c(1)] rend<-product(1+oblig_suiv[,pos_best])*rend } } }else{#type=action if(mesure=="alpha_s_lm"){ donnees<-actions[-c(1:4),] rend<-1 for(i in 1:5){#de 2009 à 2013 (5 annee) annee<-donnees[c(1:12),] donnees<-donnees[-c(1:12),] Equity_1<-annee$Index acti<-annee[,-c(1)] alpha_s<-c(rep(0,ncol(acti))) for(j in 1:ncol(acti)){ fit=summary(lm(log(1+acti[,j])~offset(Equity_1))) alpha_s[j]<-fit$coefficients[1,1]/fit$coefficients[1,2] } pos_best<-which(alpha_s==max(alpha_s)) #rendement pour l'annee suivante annee_suiv<-donnees[c(1:12),] acti_suiv<-annee_suiv[,-c(1)] rend<-product(1+acti_suiv[,pos_best])*rend

}}#mesure alpha standardise regression quantile else if(mesure=="alpha_s_rq"){ donnees<-actions[-c(1:4),] rend<-1 for(j in 1:5){ annee<-donnees[c(1:12),] donnees<-donnees[-c(1:12),] Equity_1<-annee$Index acti<-annee[,-c(1)] alpha_s<-c(rep(0,ncol(acti))) for(i in 1:ncol(acti)){ rep<-log(1+acti[,i])-Equity_1 fit=rq(rep~1,tau=0.5,method="fn") r<-summary(fit,se="boot") alpha_s[i]<-r$coefficients[1,1]/r$coefficients[1,2] } pos_best<-which(alpha_s==max(alpha_s)) #rendement pour l'annee suivante annee_suiv<-donnees[c(1:12),] acti_suiv<-annee_suiv[,-c(1)] rend<-product(1+acti_suiv[,pos_best])*rend }} else if(mesure=="prev_lm"){ donnees<-actions[-c(1:4),] rend<-1 for(i in 1:5){#28 trismestres de 2007 à 2013 annee<-donnees[c(1:12),] pre_tri<-c(1:3) donnees<-donnees[-c(1:12),] trimestre<-annee[13-pre_tri,1] #calcul rendement dernier trimestre rend_m<-mean(trimestre) Equity_1<-annee$Index acti<-annee[,-c(1)] prediction<-c(rep(0,ncol(acti))) for(j in 1:ncol(acti)){ fit=summary(lm(log(1+acti[,j])~offset(Equity_1))) prediction_1<-fit$coefficients[1,1]+rend_m

prediction[j]<-prediction_1 } pos_best<-which(prediction==max(prediction)) #rendement pour l'annee suivante annee_suiv<-donnees[c(1:12),] acti_suiv<-annee_suiv[,-c(1)] rend<-product(1+acti_suiv[,pos_best])*rend } }else{#methode=prev_rq donnees<-actions[-c(1:4),] rend<-1 for(j in 1:5){#28 trismestres de 2007 à 2013 annee<-donnees[c(1:12),] pre_tri<-c(1:3) donnees<-donnees[-c(1:12),] trimestre<-annee[13-pre_tri,1] #calcul rendement dernier trimestre rend_m<-mean(trimestre) Equity_1<-annee$Index acti<-annee[,-c(1)] prediction<-c(rep(0,ncol(acti))) for(i in 1:ncol(acti)){ rep<-log(1+acti[,i])-Equity_1 fit=rq(rep~1,tau=0.5,method="fn") r<-summary(fit,se="boot") prediction_1<-r$coefficients[1,1]+rend_m prediction[i]<-prediction_1 } pos_best<-which(prediction==max(prediction)) #rendement pour l'annee suivante annee_suiv<-donnees[c(1:12),] acti_suiv<-annee_suiv[,-c(1)] rend<-product(1+acti_suiv[,pos_best])*rend } } } out<-list(rendement=rend) out

} #Lancer la fonction pour les obligations Eval_mesure_performance(type="obligation",mesure="alpha_s_lm") Eval_mesure_performance(type="obligation",mesure="alpha_s_rq") Eval_mesure_performance(type="obligation",mesure="prev_lm") Eval_mesure_performance(type="obligation",mesure="prev_rq") #Lancer la fonction pour les actions Eval_mesure_performance(type="action",mesure="alpha_s_lm") Eval_mesure_performance(type="action",mesure="alpha_s_rq") Eval_mesure_performance(type="action",mesure="prev_lm") Eval_mesure_performance(type="action",mesure="prev_rq")

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